电路原理互感电路总结
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U
j M
j L1
R1
I1
*
I2
j L2
去磁耦合电路(相量模型)
_ º
I3 º +
U
*
R2
jM
I1
j ( L1 M )
R1
I2
j ( L2 M )
R2
U j MI 3 [ R1 j ( L1 M )]I1 U j MI 3 [ R2 j ( L2 M )]I 2
U I Z
2. 同名端反接：
i
R1 u1 – + u2 R2 L2 * * L1 +
i R u –
+ +
u – –
M
L
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt R R1 R2 L L1 L2 2M
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所
产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。
例. i 1
F
* 1'
* 2 2'
1 * 1'
2
3
3'
2'*
注意：线圈的同名端必须两两确定。
三、由同名端及 u , i 参考方向确定互感电压 M * * di1 u21 M dt i1 + u21 –
第10章 含有耦合电感的电路
10. 1 互感 10. 2 含有耦合电感电路的计算 10. 3 空心变压器
10. 4 理想变压器
10. 1 互感
一、 自感和自感电压 线性电感
L
i
自感系数
i
u
di u L dt
二 . 互感和互感电动势 1 . 互感： * i1
自感 磁通链
F21 F11
i1，N1 Y11= N1F11 L1=Y11/i1
U I Z
二、互感线圈的并联 1. 同名端在同侧 M i
+ u – i1 * L1 *
di1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di1 u L2 M dt dt
i2
L2
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
*
i1在线圈 N2 产生磁链 Y21= N2F21 N1 N2
互感 磁通链
F21 F22
*
i2 *
i2，N2 Y22= N2F22 L2=Y22/i2 i2在线圈 N1 产生磁链 Y12= N1F12
线圈1中的磁通链： Ψ1=Ψ11±Ψ12
线圈2中的磁通链： Ψ2=Ψ22±Ψ21
i1 *
F11 F22
i1
F21
二、互感线圈的同名端
不在一个线圈上 i1 右手
i1
一致 u2 1
F21
F 21
右手
e2
1
+ u2 1e2 1 - +
必须注意绕向
i1
*
i1 – *
F 21
* a + u21 b –
di1 u21 M dt
F 21
a – u21 +
di1 u21 M dt
* b
方向a指向b
方向b指向a
j ( L2 M )
_ º
同理可推得
-M
º
L1 º * M * º
L2
º
L1+M
L2+M
上面方法同样适合于两个互感线圈所在的支路 只有一个公共节点情况 * M M º º
º
L1
* L2
L1-M
L2 -M
º
º
P237
I3 º +
U
j M
j L1
R1
I1
*
*
I2
j L2
R2
去磁耦合电路(相量模型)
i R1 * + + u1 L – 1 M u + * L u2 – – 2 R2
i + u – R
L
U [ R1 R2 j ( L1 L2 M )]I ZI , 每一耦合电感支路的阻抗： Z1 R1 j ( L1 M ) Z 2 R2 j ( L2 M ) Z Z1 Z 2
di1 di M 2 dt dt
di1 di 2 u2 M L2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
I1
互感抗： M Z M j M
j M
I2
+
U1
* j L1
_
* j L2 U 2 _
+
U1 j L1 I1 j MI 2
U 2 j MI1 j L2 I 2
jM I 1 Z22 I 2 0
j MI1 I2 Z 22
Zin
源自文库
U1
I1
( M )2 Z11 Z 22
U1 I1 ( M ) 2 Z11 Z 22
I1
R1 j L1 1’
j M * *
R2 2
I2
I1
Z11
(ωM ) 2 Z 22
用电流控制电流源CCVS表示互感电压的作用:
I1
j M
I2
+
U1
* j L1
_
j L1
j MI 2
* j L2 U 2 _
+
U1
j L2
+ + 1
U2
j MI1
I1
+ + 2
I2
1’
2’
U1 j L1 I1 j MI 2
U 2 j MI1 j L2 I 2
j M * *
R2 2
I2
I1
Z11
(ω M ) 2 Z 22
+ –
1
+
j L2
U2
+ –
U1
Z=RL+jXL
U1
1’
2’
原边回路总抗阻 Z11=R1+j L1 付边回路总阻抗
原边等效电路
Z22=(R2+RL)+j( L2+XL)
Z11I 1 +j M I 2 U 1
_ º
二. 受控源等效电路
I1
j M * *
I2
+
+
j L2
U1
j L1
I1
I2
U2
+
j L1
+
j L2
–
–
U 1 jω L1 I 1 jωM I 2 U 2 jω L2 I 2 jωM I 1
U1
jω M I 2
+ –
+ –
jω M I 1
10. 2含有耦合电感电路的计算
一、互感线圈的串联 1. 同名端顺接 i R1 u1 * L1 + M R u – L i
+ +
u – –
– + * L2 u2
R2
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt R R1 R2 L L1 L2 2 M
U2
–
–
三.计算举例： 例1. 已知如图，求入端阻抗 Z=? M * L1 * L2 去耦等效 º
j ( L1 M )
R
C
º
º
Z
j ( L2 M )
R
j C
j M
º
例2. 列写下图电路的方程。
I 1 R1
M L1 L3 R3 L2
R2 I 2
I 1 R1
j ( L1 M )
L L1 L2 2 M 0
M 1 ( L1 L2 ) 2
i + + u – –
R1 u1 u2 – +
i
* L
1
+ M u –
R
L
R2
L * 2
U [ R1 R2 j ( L1 L2 M )]I ZI , 每一耦合电感支路的阻抗： Z1 R1 j ( L1 M ) Z 2 R2 j ( L2 M ) Z Z1 Z 2
+ –
1
+ –
+
j L2
U2
U1
US
Z=RL+jXL
2’
原边等效电路
ω2 M 2 R22 ω2 M 2 X 22 ( M ) 2 ω2 M 2 Zl 2 j 2 Rl jX l 2 2 Z 22 R22 jX 22 R22 X 22 R22 X 22
u L2 di2 di M 1 dt dt
i2 = i - i1
i1 = i - i2
画等效电路(相量模型) I j M º I2 I1 +
U
j ( L1 M )
di2 ( L2 M ) M di dt dt
U j MI j ( L1 M ) I1 U j MI j ( L2 M ) I 2
M * i1 * –
u21
+
di1 u21 M dt
i1 + u1 _ * L1
M * L2
i2
i1
M
i2 L2 * + u2 _
+ u2 _
+ u1 _
* L1
时域形式：
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
u1 L1
k
def
M 1 L1 L2
完全耦合k等于1（理想）
4. 互感电压 变化 i1 变化 F 1 1 产生自感电压 参考方向 i1 右手 右手 变化 F 21 产生互感电压 e2 1
F 21
一致
u2 1 + u2 1 e2 1
+
d 21 di1 互感电压: e 21 M dt dt di1 u21 M dt
I 3 I1 I 2
I1
+
R1 j ( L1 M ) j ( L2 M )
R2
I2
U S1
_
Ia
j ( L3 M )
R3
Ib
U S2
_
+
I3
回路电流法：
[ R1 R3 j ( L1 L3 )]I a [( R3 j ( L3 M )]I b U S1 [( R3 j ( L3 M )]I a [ R2 R3 j ( L2 L3 )]I b U S 2
j ( L2 M )
R2 I 2
+ U S1 _
I3
U S2 _
+
+ U S1 _
j ( L3 M )
R3
I3
U S2 _
+
支路电流法：
I1[ R1 j ( L1 M )] I 3[ R3 j ( L3 M )] U S1 I 2 [ R2 j ( L2 M )] I 3[ R3 j ( L3 M )] U S 2
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq L1 L2 2M 0
含有耦合电感电路的计算
一.互感消去法（去耦等效）
i º +
u _ º
M
i1 L1 * * i2 L2
di1 di2 u L1 M dt dt
di1 ( L1 M ) M di dt dt
10. 3 空心变压器
变压器是电工、电子设备中常用的电气设备， 它由耦合线圈绕在一个共同的心子上制成。其中 一个线圈作为输入，接入电源后形成一个回路， 称为原边回路（或初级回路）；另一个线圈作为 输出，称为副边回路（或次级回路）。
空心变压器的心子是非铁磁材料制成的。
空心变压器的电路模型
I1
R1 j L1
i2 *
定义： M 21
21
i1
12
i2
为线圈1对2的互感系数，单位 亨 (H) 为线圈2对1的互感系数
M 12
11 L1i1,
22 L2i2
12 M 12i2, 21 M 21i1
对于线性电感 M12=M21=M
1 L1i1 Mi2 2 Mi1 L2i2
_ º
I3 º +
U
j M
I1
j ( L1 M )
R1
I2
j ( L2 M )
R2
U j MI 3 [ R1 j ( L1 M )]I1 U j MI 3 [ R2 j ( L2 M )]I 2
_ º
P237
I3 º +
当互感与自感磁通链方 向一致取正,反之取负。
2. 互感的性质 ① 对于线性电感 M12=M21=M ② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有 M N1N2 （L N2） 3. 耦合系数 k(用于描述两个线圈耦合的紧疏程度) ：
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
M L1 L2
2. 同名端在异侧 M i + u – i1 * L1 * i2 L2
di1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di1 u L2 M dt dt
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
j M
j L1
R1
I1
*
I2
j L2
去磁耦合电路(相量模型)
_ º
I3 º +
U
*
R2
jM
I1
j ( L1 M )
R1
I2
j ( L2 M )
R2
U j MI 3 [ R1 j ( L1 M )]I1 U j MI 3 [ R2 j ( L2 M )]I 2
U I Z
2. 同名端反接：
i
R1 u1 – + u2 R2 L2 * * L1 +
i R u –
+ +
u – –
M
L
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt R R1 R2 L L1 L2 2M
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所
产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。
例. i 1
F
* 1'
* 2 2'
1 * 1'
2
3
3'
2'*
注意：线圈的同名端必须两两确定。
三、由同名端及 u , i 参考方向确定互感电压 M * * di1 u21 M dt i1 + u21 –
第10章 含有耦合电感的电路
10. 1 互感 10. 2 含有耦合电感电路的计算 10. 3 空心变压器
10. 4 理想变压器
10. 1 互感
一、 自感和自感电压 线性电感
L
i
自感系数
i
u
di u L dt
二 . 互感和互感电动势 1 . 互感： * i1
自感 磁通链
F21 F11
i1，N1 Y11= N1F11 L1=Y11/i1
U I Z
二、互感线圈的并联 1. 同名端在同侧 M i
+ u – i1 * L1 *
di1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di1 u L2 M dt dt
i2
L2
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
*
i1在线圈 N2 产生磁链 Y21= N2F21 N1 N2
互感 磁通链
F21 F22
*
i2 *
i2，N2 Y22= N2F22 L2=Y22/i2 i2在线圈 N1 产生磁链 Y12= N1F12
线圈1中的磁通链： Ψ1=Ψ11±Ψ12
线圈2中的磁通链： Ψ2=Ψ22±Ψ21
i1 *
F11 F22
i1
F21
二、互感线圈的同名端
不在一个线圈上 i1 右手
i1
一致 u2 1
F21
F 21
右手
e2
1
+ u2 1e2 1 - +
必须注意绕向
i1
*
i1 – *
F 21
* a + u21 b –
di1 u21 M dt
F 21
a – u21 +
di1 u21 M dt
* b
方向a指向b
方向b指向a
j ( L2 M )
_ º
同理可推得
-M
º
L1 º * M * º
L2
º
L1+M
L2+M
上面方法同样适合于两个互感线圈所在的支路 只有一个公共节点情况 * M M º º
º
L1
* L2
L1-M
L2 -M
º
º
P237
I3 º +
U
j M
j L1
R1
I1
*
*
I2
j L2
R2
去磁耦合电路(相量模型)
i R1 * + + u1 L – 1 M u + * L u2 – – 2 R2
i + u – R
L
U [ R1 R2 j ( L1 L2 M )]I ZI , 每一耦合电感支路的阻抗： Z1 R1 j ( L1 M ) Z 2 R2 j ( L2 M ) Z Z1 Z 2
di1 di M 2 dt dt
di1 di 2 u2 M L2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
I1
互感抗： M Z M j M
j M
I2
+
U1
* j L1
_
* j L2 U 2 _
+
U1 j L1 I1 j MI 2
U 2 j MI1 j L2 I 2
jM I 1 Z22 I 2 0
j MI1 I2 Z 22
Zin
源自文库
U1
I1
( M )2 Z11 Z 22
U1 I1 ( M ) 2 Z11 Z 22
I1
R1 j L1 1’
j M * *
R2 2
I2
I1
Z11
(ωM ) 2 Z 22
用电流控制电流源CCVS表示互感电压的作用:
I1
j M
I2
+
U1
* j L1
_
j L1
j MI 2
* j L2 U 2 _
+
U1
j L2
+ + 1
U2
j MI1
I1
+ + 2
I2
1’
2’
U1 j L1 I1 j MI 2
U 2 j MI1 j L2 I 2
j M * *
R2 2
I2
I1
Z11
(ω M ) 2 Z 22
+ –
1
+
j L2
U2
+ –
U1
Z=RL+jXL
U1
1’
2’
原边回路总抗阻 Z11=R1+j L1 付边回路总阻抗
原边等效电路
Z22=(R2+RL)+j( L2+XL)
Z11I 1 +j M I 2 U 1
_ º
二. 受控源等效电路
I1
j M * *
I2
+
+
j L2
U1
j L1
I1
I2
U2
+
j L1
+
j L2
–
–
U 1 jω L1 I 1 jωM I 2 U 2 jω L2 I 2 jωM I 1
U1
jω M I 2
+ –
+ –
jω M I 1
10. 2含有耦合电感电路的计算
一、互感线圈的串联 1. 同名端顺接 i R1 u1 * L1 + M R u – L i
+ +
u – –
– + * L2 u2
R2
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt R R1 R2 L L1 L2 2 M
U2
–
–
三.计算举例： 例1. 已知如图，求入端阻抗 Z=? M * L1 * L2 去耦等效 º
j ( L1 M )
R
C
º
º
Z
j ( L2 M )
R
j C
j M
º
例2. 列写下图电路的方程。
I 1 R1
M L1 L3 R3 L2
R2 I 2
I 1 R1
j ( L1 M )
L L1 L2 2 M 0
M 1 ( L1 L2 ) 2
i + + u – –
R1 u1 u2 – +
i
* L
1
+ M u –
R
L
R2
L * 2
U [ R1 R2 j ( L1 L2 M )]I ZI , 每一耦合电感支路的阻抗： Z1 R1 j ( L1 M ) Z 2 R2 j ( L2 M ) Z Z1 Z 2
+ –
1
+ –
+
j L2
U2
U1
US
Z=RL+jXL
2’
原边等效电路
ω2 M 2 R22 ω2 M 2 X 22 ( M ) 2 ω2 M 2 Zl 2 j 2 Rl jX l 2 2 Z 22 R22 jX 22 R22 X 22 R22 X 22
u L2 di2 di M 1 dt dt
i2 = i - i1
i1 = i - i2
画等效电路(相量模型) I j M º I2 I1 +
U
j ( L1 M )
di2 ( L2 M ) M di dt dt
U j MI j ( L1 M ) I1 U j MI j ( L2 M ) I 2
M * i1 * –
u21
+
di1 u21 M dt
i1 + u1 _ * L1
M * L2
i2
i1
M
i2 L2 * + u2 _
+ u2 _
+ u1 _
* L1
时域形式：
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
u1 L1
k
def
M 1 L1 L2
完全耦合k等于1（理想）
4. 互感电压 变化 i1 变化 F 1 1 产生自感电压 参考方向 i1 右手 右手 变化 F 21 产生互感电压 e2 1
F 21
一致
u2 1 + u2 1 e2 1
+
d 21 di1 互感电压: e 21 M dt dt di1 u21 M dt
I 3 I1 I 2
I1
+
R1 j ( L1 M ) j ( L2 M )
R2
I2
U S1
_
Ia
j ( L3 M )
R3
Ib
U S2
_
+
I3
回路电流法：
[ R1 R3 j ( L1 L3 )]I a [( R3 j ( L3 M )]I b U S1 [( R3 j ( L3 M )]I a [ R2 R3 j ( L2 L3 )]I b U S 2
j ( L2 M )
R2 I 2
+ U S1 _
I3
U S2 _
+
+ U S1 _
j ( L3 M )
R3
I3
U S2 _
+
支路电流法：
I1[ R1 j ( L1 M )] I 3[ R3 j ( L3 M )] U S1 I 2 [ R2 j ( L2 M )] I 3[ R3 j ( L3 M )] U S 2
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq L1 L2 2M 0
含有耦合电感电路的计算
一.互感消去法（去耦等效）
i º +
u _ º
M
i1 L1 * * i2 L2
di1 di2 u L1 M dt dt
di1 ( L1 M ) M di dt dt
10. 3 空心变压器
变压器是电工、电子设备中常用的电气设备， 它由耦合线圈绕在一个共同的心子上制成。其中 一个线圈作为输入，接入电源后形成一个回路， 称为原边回路（或初级回路）；另一个线圈作为 输出，称为副边回路（或次级回路）。
空心变压器的心子是非铁磁材料制成的。
空心变压器的电路模型
I1
R1 j L1
i2 *
定义： M 21
21
i1
12
i2
为线圈1对2的互感系数，单位 亨 (H) 为线圈2对1的互感系数
M 12
11 L1i1,
22 L2i2
12 M 12i2, 21 M 21i1
对于线性电感 M12=M21=M
1 L1i1 Mi2 2 Mi1 L2i2
_ º
I3 º +
U
j M
I1
j ( L1 M )
R1
I2
j ( L2 M )
R2
U j MI 3 [ R1 j ( L1 M )]I1 U j MI 3 [ R2 j ( L2 M )]I 2
_ º
P237
I3 º +
当互感与自感磁通链方 向一致取正,反之取负。
2. 互感的性质 ① 对于线性电感 M12=M21=M ② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有 M N1N2 （L N2） 3. 耦合系数 k(用于描述两个线圈耦合的紧疏程度) ：
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
M L1 L2
2. 同名端在异侧 M i + u – i1 * L1 * i2 L2
di1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di1 u L2 M dt dt
i = i1 +i2
解得u, i的关系：