弹性力学-边界条件

特例--边界面与坐标轴平行时 (1).左右两面
x yx
xy y

s
l m


f f
x y

l

1 (
)
x
s


fx

m

0 (
)
xy
s


f
y
(2).上下两面
l

0 (
)
y
s


fy

m
O
y
y
l cos m sin
x yx
xy y

s
l m


f f
x y

x s cos

xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
应力分量。 图(b)
图(a)
o
x
x
y
us u 0
xy
fy
0
y
(

)
x
s

fx
0
vs v 0
例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除与正应y力的关y 系外。，(还假有设剪任应何力界面 x上y 。y方并向确的定正边应界力上均匀 分x 、布) xy
o
y
解：
y

P A( y)
y
yx
l cosn, x cos
m cosn, y sin
x
xy
fx

由 x s m xy s f x
P
n
xy s m y s f y
y
fy
x s
n
y
2）左边界（x=y×tg）
cosn, x cos
y
m cosn, y cos( )
2
sin
y
f x 0, f y 0
由：
x n


x
s
m xy
sBaidu Nhomakorabea

fx
xy s m y s f y
cos

yx
s in
s
0
xy
cos
s

y
s in
s
0

x
s
ytg 2

p
A y

tg
2
xy
s

ytg


p
Ay
tg
[例] 写出应力边界条件。设液体比重为
解：1）右边界（x=0） x x0 y
x
O
xy x0 0
右 : (
)
x
s

q, (
)
xy
s

0
左 : (
)
x
s

q, (
)
xy
s

0
上 : (
y)s q, (
y
)
x
s

0
下: (
)
y
s

q, (
)
yx
s

0
三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一
部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个

1 (
y x) s

f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即： 式中：
us
u , vs
v （２～１４）
us、vs —是位移的边界值；
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
二、应力边界条件
边界上面力分量为已知。建立边界上微元体的应 力分量与面力分量的关系
一.圣维南原理的叙述
描述－1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系（主矢及主矩均为相同） 代换，则在加载附近的的应力发生显著变 化，而在稍远处的影响可忽略不计，亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述－2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢及主矩均为 零），则面力就只会使近处产生显著的应 力，远处的应力可忽略不计。
• 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
• 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
• 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
• 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。
• 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理：根据叠加原理，可以把原问
题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
yxx
xy y

s
l m


f f
x y

fYyn
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
二、应力边界条件
在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：
弹性体内单元体斜面上的 应力分量与坐标面应力的
y
关系有(静力平衡)
yx

px py


x yx
xy l

y

m
x
xy
Xf xn
单元体斜面恰为边界面则
面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
X 0,Y q
l 0; m 1
X q Y 0
y
X 0,Y q
x
X q Y 0
(1).左右 (2).上下
l

1 (
)
x
s


fx

m

0 (
)
xy
s


f
y
l 0 ( )y s Y m 1 ( yx)s X
§2－6.边界条件
对于上述所谈及的两种平面问题：
平衡方程（2~2） ——2个
几何方程（2~8） ——3个
八个方程
物理方程（2~12）——3个
含 、 、 、 、 、 、u、v
x
y
xy
x
y
xy
共计八个未知函数
注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求解时会 产生待定函数(常数);所以要想得出具体的解答还 必需利用边界条件来确定待定函数。