复杂网络的基础知识

第二章复杂网络的基础知识
2.1网络的概念
所谓“网络”(networks ),实际上就是节点(node)和连边(edge)的集合 如果节点对(i ,j )与(j ，i )对应为同一条边，那么该网络为无向网络(undirected networks )，否则为有向网络(directed networks )。

如果给每条边都赋予相应 的权值，那么该网络就为加权网络(
weighted networks )，否则为无权网络
(unweighted networks )，如图 2-1 所示。

如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”(regular networks )，如图2-2所示。

如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络 就称为“随机网络” (random networks )。

如果节点按照某种(自)组织原则的 方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”
(complex networks )
(a)
⑹
图2-2 规则网络示例
(a) 一维有限规则网络
(b)
二维无限规则网络
(a)无权无向网络 (b)
加权网络 (c) 无权有向网络
图2-1
网络类型示例
二二
2.2复杂网络的基本特征量 描述复杂网络的基本特征量主要有： 平均路径长度(average path length )、 簇系数 (clustering efficient )、度分布 (degree distribution )、介数 (betwee nn ess )等，下面介绍它们的定义。

2.2.1 平均路径长度 (average path len gth )
定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l j 为从其中一个节点出发到 达另一个节点所要经过的连边的最少数目。

定义网络的直径( diameter )为网
络中任意两个节点之间距离的最大值。

即
D = max{l i j }
i, j
(2-1 )
定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。

即
2
N(N -1) N -1 N ■- ■- l ij
i 吕 j -i 1
(2-2)
其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。

网络的平均路径长度L 又 称为特征路径长度(characteristic path length
)。

网络的平均路径长度L 和直径D 主要用来衡量网络的传输效率。

2.2.2 簇系数(clustering efficient )
假设网络中的一个节点i 有k i 条边将它与其它节点相连，这k i 个节点称为 节点i 的邻居节点，在这k i 个邻居节点之间最多可能有k i (k i-1)/2条边。

节点 i 的k i 个邻居节点之间实际存在的边数 N 和最多可能有的边数k i (k i-1)/2之比 就定义为节点i 的簇系数，记为C 。

即
2N j k i (k -1)
(2-3)
整个网络的聚类系数定义为网络中所有节点 i 的聚类系数C 的平均值，记
为C。

即
1 N
C〒C
i =1(2-4)
显然，0 <C <1之间。

当C=0时，说明网络中所有节点均为孤立节点，即没有任何连边。

当C=1时，说明网络中任意两个节点都直接相连，即网络是全局耦合网络。

2.2.3 度分布(degree distributen )
网络中某个节点i的度k i定义为与该节点相连接的其它节点的数目，也就
是该节点的邻居数。

通常情况下，网络中不同节点的度并不相同，所有节点的度
k i的的平均值称为网络的(节点)平均度，记为 vk>。

即
」k i
N i=i
(2-5) 网络中节点的分布情况一般用度分布函数P(k)来描述。

度分布函数P(k)表
示在网络中任意选取一节点，该节点的度恰好为k的概率。

即
1 N
P(k) (k-k i)
N y
(2-6) 通常，一个节点的度越大，意味着这个节点属于网络中的关键节点，在某种意义上也越“重要”。

2.2.4 介数(betweenness)
节点i的介数定义为网络中所有的最短路径中，经过节点i的数量。

用B
表示。

即
Bj =、
m,n g min
9mn
(2-7)
式中g mn为节点m与节点n之间的最短路径数，g min为节点m与节点n之间
经过节点i 的最短路径数。

节点的介数反映了该节点在网络中的影响力。

描述网络结构的特征量还有很多， 这里就不一一介绍，在使用到它们的地 方再给出详细的说明。

2.3复杂网络的基本模型
人们在对不同领域内的大量实际网络进行广泛的实证研究后发现：
真实网
络系统往往表现出小世界特性、无标度特性和高聚集特性。

为了解释这些现象， 人们构造了各种各样的网络模型，以便从理论上揭示网络行为与网络结构之间 的关系，进而考虑改善网络的行为。

下面介绍几类基本的网络模型。

2.3.1 规则网络(regular network )
常见的规则网络有三种：全局耦合网络( globally coupled network )、 最近邻耦合网络(nearest-neighbor coupled network )和星型网络模型(star coupled network )，如图 2-3 所示。

图2-3 三种典型的规则网络
⑻全局耦合网络
(b)
最近邻耦合网络
(c) 星型网络
图2-3(a)所示为一个含有N 个节点的全局耦合网络。

网络中共有N(N1)/2 条边，其平均路径长度L=1 (最小)，簇系数C=1 (最大)。

度分布P(k)为以N-1 为中心的S 函数。

模型的优点：能反映实际网络的小世界特性和大聚类特性。

模型的缺点：不能反映实际网络的稀疏特性。

因为一个具有 N 个节点的全
(a)
网络的簇系数为:
(2-11)
网络的度分布为:
局耦合网络的边的数目为 qW ，而实际网络的边的数目一般是 qN)
图2-3 (b )所示为一个含有N 个节点的最近邻耦合网络。

网络中的每个节 点只和它周围的邻居节点相连，其中每个节点都与它左右各 K / 2个邻居节点
相连(K 为偶数)
对于固定的K 值，网络的平均路径长度为:
N L 2K
(N (2-8)
对于较大的K 值，最近邻耦合网络的簇系数为:
C 3(K -2) 3 C 二-
4(K -1)
4
(2-9)
度分布P(k)为以K 为中心的S 函数。

模型的优点：能反映实际网络的大聚类特性和稀疏特性。

图2-3 (c )所示为一个具有N 个节点的星型网络。

网络有一个中心节点, 其余N-1个节点都只与这个中心节点相连，且它们彼此之间不连接。

网络的平均路径长度：
2(N -1) N(N -1)
(N —；
(2-10)
^--N (K=1)
P(K)= N
(K =N -1)
其它
规定：如果一个节点只有一个邻居，那么该节点的簇系数为 1。

也有些文
献规定只有一个邻居的节点的簇系数为 0,若依此定义，则星型网络的簇系数 为0。

模型的优点：能反映实际网络的小世界特性和稀疏特性。

模型的缺点：不能反映实际网络的大聚类特性。

2.3.2 ER 随机网络(random network )
该模型由匈牙利数学家Ed?s 和R 和yi 在上世纪50年代最先提出，所以被 人们称为ER 随机网络模型。

ER 随机网络的构造有两种方法。

第一种方法：定义有标记的 N 个节(网络中的节点总数)，并且给出整个 网络的边数n,这些边的选取采用从所有可能的 N(N1) /2种情况中随机选取。

第二种方法：给定有标记的N 个节点，以一定的随机概率p 连接所有可能 出现的NN-1) /2种连接，假设最初有N 个孤立的节点，每对节点以随机概率 p 进行连接。

如图2-4所示。

图2-4 ER 随机网络的演化示意图
(a) p =0时，给定10个孤立节点；(b)〜(c) p =0.1，0.15时，生成的随机图
ER 随机网络模型具有如下基本特性： (1)涌现或相变
(2-12)。