复杂网络的基础知识

第二章复杂网络的基础知识

2.1网络的概念

所谓“网络”(networks ),实际上就是节点(node)和连边(edge)的集合 如果节点对(i ,j )与(j ，i )对应为同一条边，那么该网络为无向网络(undirected networks )，否则为有向网络(directed networks )。如果给每条边都赋予相应 的权值，那么该网络就为加权网络(

weighted networks )，否则为无权网络

(unweighted networks )，如图 2-1 所示。

如果节点按照确定的规则连边，所得到的网络就称为“规则网络”(regular networks )，如图2-2所示。如果节点按照完全随机的方式连边，所得到的网络 就称为“随机网络” (random networks )。如果节点按照某种(自)组织原则的 方式连边，将演化成各种不同的网络，称为“复杂网络”

(complex networks )

(a)

⑹

图2-2 规则网络示例

(a) 一维有限规则网络

(b)

二维无限规则网络

(a)无权无向网络 (b)

加权网络 (c) 无权有向网络

图2-1

网络类型示例

二二

2.2复杂网络的基本特征量 描述复杂网络的基本特征量主要有： 平均路径长度(average path length )、 簇系数 (clustering efficient )、度分布 (degree distribution )、介数 (betwee nn ess )等，下面介绍它们的定义。

2.2.1 平均路径长度 (average path len gth )

定义网络中任何两个节点i 和j 之间的距离l j 为从其中一个节点出发到 达另一个节点所要经过的连边的最少数目。定义网络的直径( diameter )为网

络中任意两个节点之间距离的最大值。即

D = max{l i j }

i, j

(2-1 )

定义网络的平均路径长度L 为网络中所有节点对之间距离的平均值。即

2

N(N -1) N -1 N ■- ■- l ij

i 吕 j -i 1

(2-2)

其中N 为网络节点数，不考虑节点自身的距离。网络的平均路径长度L 又 称为特征路径长度(characteristic path length

)。

网络的平均路径长度L 和直径D 主要用来衡量网络的传输效率。

2.2.2 簇系数(clustering efficient )

假设网络中的一个节点i 有k i 条边将它与其它节点相连，这k i 个节点称为 节点i 的邻居节点，在这k i 个邻居节点之间最多可能有k i (k i-1)/2条边。节点 i 的k i 个邻居节点之间实际存在的边数 N 和最多可能有的边数k i (k i-1)/2之比 就定义为节点i 的簇系数，记为C 。即

2N j k i (k -1)

(2-3)

整个网络的聚类系数定义为网络中所有节点 i 的聚类系数C 的平均值，记

为C。即

1 N

C〒C

i =1(2-4)

显然，0

2.2.3 度分布(degree distributen )

网络中某个节点i的度k i定义为与该节点相连接的其它节点的数目，也就

是该节点的邻居数。通常情况下，网络中不同节点的度并不相同，所有节点的度

k i的的平均值称为网络的(节点)平均度，记为 vk>。即

」k i

N i=i

(2-5) 网络中节点的分布情况一般用度分布函数P(k)来描述。度分布函数P(k)表

示在网络中任意选取一节点，该节点的度恰好为k的概率。即

1 N

P(k) (k-k i)

N y

(2-6) 通常，一个节点的度越大，意味着这个节点属于网络中的关键节点，在某种意义上也越“重要”。

2.2.4 介数(betweenness)

节点i的介数定义为网络中所有的最短路径中，经过节点i的数量。用B

表示。即

Bj =、

m,n g min

9mn

(2-7)

式中g mn为节点m与节点n之间的最短路径数，g min为节点m与节点n之间

经过节点i 的最短路径数。

节点的介数反映了该节点在网络中的影响力。

描述网络结构的特征量还有很多， 这里就不一一介绍，在使用到它们的地 方再给出详细的说明。

2.3复杂网络的基本模型

人们在对不同领域内的大量实际网络进行广泛的实证研究后发现：

真实网

络系统往往表现出小世界特性、无标度特性和高聚集特性。为了解释这些现象， 人们构造了各种各样的网络模型，以便从理论上揭示网络行为与网络结构之间 的关系，进而考虑改善网络的行为。下面介绍几类基本的网络模型。

2.3.1 规则网络(regular network )

常见的规则网络有三种：全局耦合网络( globally coupled network )、 最近邻耦合网络(nearest-neighbor coupled network )和星型网络模型(star coupled network )，如图 2-3 所示。

图2-3 三种典型的规则网络

⑻全局耦合网络

(b)

最近邻耦合网络

(c) 星型网络

图2-3(a)所示为一个含有N 个节点的全局耦合网络。网络中共有N(N1)/2 条边，其平均路径长度L=1 (最小)，簇系数C=1 (最大)。度分布P(k)为以N-1 为中心的S 函数。

模型的优点：能反映实际网络的小世界特性和大聚类特性。

模型的缺点：不能反映实际网络的稀疏特性。因为一个具有 N 个节点的全

(a)