2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个正确选项，请将正确选项填到答题卡处1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<, {|13}B x x =<<，则A B =A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝10， 则输出的S 等于A .511B .1011C .3655D .72556．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A .318 B .315C .3824+D .31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 A .925 B .1625 C .310 D .15 10．设a ＝log 2π，12log b π=，c ＝π－2，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a11．在△ABC 中，若a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是 A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形12．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 A . 2 B . 3 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．设变量x，y满足约束条件,22,2.y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z＝x－3y的最小值为．14．已知命题p：∀x>0，(x＋1)e x>1，则﹁p为．15．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为．16．对于下列表格x196197200203204y1367m所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y^＝0.8x－155.则实数m的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)n；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．18．(满分12分)在等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝21(10)2na－，证明：数列{b n}为等比数列；(3)求数列{nb n}的前n项和T n.19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为3(9698),5(98104),4(104106).y x x x =≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩求这批产品平均每个的利润．20. (满分12分)已知点M (6，2)在椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.21．(满分12分)已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．22. (满分12分)已知椭圆C 1的方程为x24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB→＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围. 2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题 DC A . 2． B3． A 【解析】∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，4． B 【解析】由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.5． A 【解析】第一次执行后，S ＝13，i ＝4＜10；第二次执行后，S ＝13＋115＝25，i ＝6＜10；第三次执行后，S ＝25＋135＝37，i ＝8＜10；第四次执行后，S ＝37＋163＝49，i ＝10；第五次执行后，S ＝49＋199＝511，i ＝12＞10，输出S ＝511.6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.8． D 【解析】由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|c |2，由此可得a·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝14.故答案为D .9． D 【解析】以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1,2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0,1)，所以a ＞c ＞b .11．C 【解析】根据余弦定理，有a ＝2bcosC ＝2b ·a2＋b2－c22ab ，化简整理得b ＝c .所以△ABC 为等腰三角形．12． B 【解析】设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x2a2－y2b2＝1得y 2＝b 2(c2a2－1)＝b4a2，∴y ＝±b2a ，故|AB |＝2b2a ，依题意2b2a ＝4a ， ∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 二、填空题 13．－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x -3y =z 经过点A (-2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为-2-3×2=－8. 14. ∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x ≤1. 15． 40【解析】抽样比为90360＋270＋180＝19，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×19＝40. 16. 8【解析】依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8.三、解答题17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，即m ＋n ＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”． 则A 包含的基本事件有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝0.4.18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎨⎧ a1＋9d ＝30，a1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a1＝12，d ＝2.所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明：由(1)得b n ＝2n ，所以bn ＋1bn ＝2n ＋12n ＝2. 所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nb n ＝n ×2n ，得T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②得，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.19．解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n . ∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n ＝0.300，∴n ＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．20. 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a2＋2b2＝1，c a ＝63，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a2＝12，b2＝4.故椭圆C 的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x212＋y24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x1＋x22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△PAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.21．解：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)， M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)． (1)CM→＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)，因为CM →·SN→＝－12＋12＋0＝0， 所以CM→⊥SN →，所以CM ⊥SN . (2)易得NC→＝(－12，1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝x －y ＋12z ＝0，NC →·n ＝－12x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2y z ＝－2y，取x ＝2，则y ＝1，z ＝－2，n ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈n ，SN →〉|＝|n·SN →||n|·|SN →|＝22，所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22. 解：(1)设双曲线C 2的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）＞0， ∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k2，x 1x 2＝－91－3k2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k2＋73k2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k2＋73k2－1＞2，即－3k2＋93k2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
石家庄市2017～2018学年度高二数学理科第一学期期末试卷含答案(扫描版)
石家庄市2017-2018学年第一学期期末检测试题高二数学（理科）一、选择题BB CAC BCCDA A B二、填空题13.0,x R ∃∈0210x +≤ 14. 0.39 5(,242 三、解答题17.解：命题p 等价于Δ＝2a －16≥0，即a ≤－4或a ≥4； (2)命题q 等价于－4a ≤4，即a ≥－16.............4 由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假． (5)若p 真q 假，则a ＜－16； (7)若p 假q 真，则－4＜a ＜4 (9)故a 的取值范围是(－∞，－16)∪(－4,4)． (10)18. 解：由题意知:43OP k =-，所以34CP k =,…………1 所以直线CP 的方程是：316(12)4y x +=-，............2 同理直线CQ 的方程是：20x =， (4)联立解得圆心为(20,10)C -，半径10r =，…………-5所以圆22:(20)(10)100C x y -++=．…………6 （2）直线l ： x ＋y ＋a ＝0所以圆心C 到直线AB 的距离d = (8)22100=+ 解得 244a a =-=或 (10)直线l 的方程为x ＋y ＋4＝0或x ＋y －24＝0 (12)19.解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1…………2 得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5 (3)(2) 月平均用电量在[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15(户)，同理可求月平均用电量为[260,280)，[280,300]的用户分别有10户、5户，故抽取比例为15， (5)∴从月平均用电量在[240,260)的用户中应抽取15×15＝3户)，…………6 从月平均用电量在[260,280)的用户中应抽取10×15＝2(户)…………7 从月平均用电量在[280,300]的用户中应抽取5×15＝1(户)…………8 (3) 记抽取[240,260)的用户为1A 2A 3A , 记抽取[260,280)的用户为1B 2B ,记抽取[280,300]的用户为C从六户居民任取两户的基本事件有（1A ，2A ），（1A ，3A ），（1A ，1B ），（1A ，2B ），（1A ，C ），（2A ，3A ），（2A ，1B ）（2A ，2B ），（2A ，C ），（3A ，1B ），（3A ，2B ），（3A ，C ），（1B ，2B ），（1B ，C ）（2B ，C ） (10)一共有15种，满足条件的有3种，故所求的概率31155P ==. …………12 20.[解] (1)由数据得x ＝10131294+++＝11，y ＝252826174+++＝24，…………2 由公式得b ^＝2310，…………4 再由a ^＝y －b ^x 得a ^＝－1310，…………6 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2310x －1310.…………7 (2)当x ＝8时，y ^＝17110，|17110－18|<2，............9 所以该小组所得线性回归方程是理想的． (10)当x ＝6时，y ^＝23106⨯－1310＝12510＝12.5≈13，............11 ∴当温差为6℃时，就诊的人数约为13人． (12)21.解：(1)证明：以A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示． (2)则P (0，0，1)，C (0，1，0)，B (2，0，0)，11,02M （，）， 1,0,02N （），102S （1，，）.1(1,1,)2CM =- ,11(,,0)22SN =-- 0SN CM ⋅=所以CM SN ⊥ (4)（2）1(,1,0),2NC =-设(,,)a x y z =为平面CMN 的一个法向量， 所以0,0a CM a CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 则02,02z x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 令2x =，得(2,1,2)a =-， (6)因为PA ⊥平面ABC ，所以(0,0,1)AP = 是平面CBN 的一个法向量 (8)2cos ,3AP n AP n AP n⋅==-⋅ ，…………10 设二面角M NC B --的大小为θ，由图可知θ为锐角， 所以2cos 3θ=，即二面角M NC B --的余弦值为23.…………12 22. (1) 连结=42HA HE HB EA +=+=>= (2)动点H 的轨迹Γ是以,A E 为焦点，长轴长为4,焦距为2的椭圆．…………3 221(0)y a b b=>> 可知22224,22,3a c b a c ===-=213y +=…………5 解：（2）假设存在这样的点M 符合题意．设线段PQ 的中点为N ，P (x 1，y 1 )，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，直线PQ 的斜率为k (k ≠0)， 注意到(1,0)A ，则直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)， (6)由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， (7)所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3， (8)又点N 在直线PQ 上，所以N 22243()4343k kk k -++，............9 由MP MQ =得：PQ ⊥MN ， (10)所以k MN ＝0＋3k4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k ， (11)整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k 2∈1(0)4，，所以线段OF 2上存在点M (m ,0)符合题意，其中m ∈1(0)4， (12)附加题：(各校可根据本校的教学进度自行选择)解：（1）当2a =时，()ln 2f x x x x =++，求导得，()ln 2f x x '=+ (1)2f '∴=，(1)3f =，故()f x 在1x =处的切线是210x y -+=；（2）定义域为(0,)+∞，导函数()ln f x x a '=+，令()0f x '=，得a x e -=，（3）分析可得()f x 在(0,)a e -为减函数，在(,)a e -+∞为增函数，所以 m i n ()()()(1)22a a a af x f e e a a e e ----==-+-+=-+， 由题意可知()0f x >恒成立，需要20a e --+>，解得ln 2a >-.。
17—18学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案) (1)
银川一中2017/2018学年度(上)高二期末考试数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i - B ．i 2- C ．i D ．i 22．演绎推理是A ．部分到整体，个别到一般的推理B ．特殊到特殊的推理C ．一般到一般的推理D ．一般到特殊的推理3．用数学归纳法证明：“1+a +a 2+…+a 2n+1=aa n --+1112(a ≠1)”，在验证n =1时，左端计算所得项为A ．1+aB ．1+a +a 2+a 3C ．1+a +a 2D ．1+a +a 2+a 3+a 4 4．双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，－3），则k 的值是 A ．1B ．－1C ．315D ．－3155．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的余弦值是 A ．510B ．1010C ．31D ．3226．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=7．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 A ．2eB ．eC ．2D ．18．已知函数f (x )=x 2(ax +b )(a ,b ∈R )在x =2时有极值，其图象在点(1,f (1))处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f (x )的单调减区间为A ．（－∞，0）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（－∞，+∞） 9．已知函数53)(23-+-=x ax x x f 在区间[1，2]上单调递增，则a 的取值范围是 A ．]5,(-∞B ．)5,(-∞C ．]437,(-∞ D ．]3,(-∞10．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值11．设双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点， 若),(R ∈+=μλμλ，163=λμ，则该双曲线的离心率为 A ．332 B ．553 C ．223 D ．8912．已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x-，若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的取值范围为A ．[1，+∞)B ．(1，+∞)C ．[0，+∞)D ．(0，+∞) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．观察下列不等式213122+< 231151233++<， 474131211222<+++……照此规律，第五个．．．不等式为 .14．已知抛物线)0(22>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 . 15．若⎰+=12)(2)(dx x f x x f ，则⎰=1)(dx x f .16．已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆的上顶点，B 是直线 A F 2与椭圆的另一个交点，且B AF AF F 1021,60∆=∠的面积为340，则a 的值是 .三、解答题：(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本大题满分10分）已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2+y 2=64相内切求动圆C 的圆心的轨迹方程.18．（本大题满分12分）已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 (1)求a ，b 的值与函数f （x ）的单调区间(2)若对x 〔－1，2〕，不等式f （x ）c 2恒成立，求c 的取值范围19．（本大题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D角坐标系。
2017-2018学年安徽省亳州市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）椭圆的焦距为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知2018是等差数列5，8，11，14，17，…的第n项，则n＝（）A．669B．670C．671D．6723．（5分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最大值为（）A．4B．3C．0D．25．（5分）在△ABC中，已知，则C＝（）A．60°B．30°C．60°或120°D．120°6．（5分）“”是“（x+2）（x﹣1）≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝（）A．8B．±8C．D．8．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．a（c2+1）＞b|c|D．ac2＞bc29．（5分）已知A（1，2，﹣1），B（5，6，7），则直线AB与平面xOz交点的坐标是（）A．（0，1，1）B．（0，1，﹣3）C．（﹣1，0，3）D．（﹣1，0，﹣5）10．（5分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为（）A．5B．6C．D．11．（5分）设a，b∈R，a2+2b2＝6，则a+b的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣3D．﹣12．（5分）已知数列{a n}满足递推关系，（其中λ为正常数，n∈N*）且a1+a7＝1，a2+a6＝0．若等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，则正整数n的所有可能取值之和为（）A．3B．4C．6D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题“∃x＞0，”的否定为．14．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量用，，，可表示为．15．（5分）若等比数列{a n}的前n项和恒成立，则该数列的公比q的取值范围是．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若直线x＝﹣a上存在点P，使得∠OPF＝30°，其中O为坐标原点，则双曲线的离心率的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知：＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，求：（1），，；（2）（+）与（+）所成角的余弦值．18．（12分）在等差数列{a n}中，a3+a4＝12，公差d＝2，记数列{a2n+1}的前n项和为S n．（1）求S n；（2）设数列的前n项和为T n，若a2，a5，a m成等比数列，求T m．19．（12分）已知命题恒成立；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且2a cos B＝2c﹣b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．21．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，D是侧棱CC1的中点．（1）证明：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）若平面AB1D与平面ABC所成锐二面角的大小为，求四棱锥B1﹣AA1C1D的体积．22．（12分）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，C的坐标分别为，三个内角A，B，C满足．（1）若顶点B的轨迹为W，求曲线W的方程；（2）若点P为曲线W上的一点，过点P作曲线W的切线交圆O：x2+y2＝4于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形ACMN面积的最大值．2017-2018学年安徽省亳州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：椭圆，可得a＝2，b＝，所以c＝，椭圆的焦距为：2c＝2．故选：B．2．【解答】解：由等差数列5，8，11，14，17，…，可得此数列首项为5，公差为3．∴a n＝5+3（n﹣1）＝3n+2．令3n+2＝2018，解得n＝672．故选：D．3．【解答】解：根据题意，易得k+＝k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2﹣＝2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2＝0．∴k＝，故选：D．4．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）由z＝x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x＝0，y＝2，解得A（0，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝0+2×2＝4．即目标函数z＝x+2y的最大值为4．故选：A．5．【解答】解：由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∴C＝60°或C＝120°，故选：C．6．【解答】解：∵可得≥0，可得x＞1或x≤﹣2；∵“（x+2）（x﹣1）≥0”可得x≥1或x≤﹣2，∴“”⇒“（x+2）（x﹣1）≥0”∴“”是“（x+2）（x﹣1）≥0”的充分不必要条件，故选：A．7．【解答】解：根据题意，抛物线y＝mx2的标准方程为x2＝y，其焦点在x轴上，且准线方程为y＝﹣，若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则有|﹣|＝2，解可得m＝±，故选：D．8．【解答】解：令a＝，b＝，可验证A错误；令a＝16，b＝4，可验证B错误；令c＝0，可验证D错误；事实上，c2+1≥2|c|≥|c|（两个等号不同时成立）故选：C．9．【解答】解：直线AB与平面xoz交点的坐标是M（x，0，z），则＝（x﹣1，﹣2，z+1），＝（4，4，8）；又与共线，∴＝λ；即，解得x＝﹣1，z＝﹣5；∴点M（﹣1，0，﹣5）．故选：D．10．【解答】解：设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH＝p，由于点F是AC的中点，|AF|＝4，∴AM＝4＝2p，∴p＝2，设BF＝BN＝x，则，即，解得x＝∴，故选：C．11．【解答】解：因为a，b∈R，a2+2b2＝6故可设．θ⊊R．则：a+b＝，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选：C．12．【解答】解：∵，∴当n≤5，时，a n+1﹣a n＝λ，即数列{a n}的前6项构成等差数列，且公差为λ，当n≥6时，，即数列{a n}从第项起构成等比数列，且公比为2λ，∵a2+a6＝0，∴a4＝0，则a1＝﹣3λ，a6＝2λ，∵a1+a7＝1，∴﹣3λ+2λ•2λ＝1，即4λ2﹣3λ﹣1＝0．解得λ＝1或．∵λ＞0，∴λ＝1．∴数列{a n}为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，…∵（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）＝﹣3﹣2﹣1，∴当n＝1时，等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，∵（﹣1）×0×1＝﹣1+0+1，∴当n＝3时，等式a n•a n+1•a n+2＝a n+a n+1+a n+2成立，当n≠1且n≠3时，等式不成立，∴正整数n的所有可能取值之和为4．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，14．【解答】解：∵平行四边形A1B1C1D1中，对角线A1C1、B1D1相交于点M，∴向量＝＝（﹣），∵平行四边形AA1B1B中，＝；平行四边形AA1D1D中，＝，∴＝（﹣），又∵＝，∴＝＝+（﹣）＝﹣++．故答案为：﹣++15．【解答】解：根据题意，对于等比数列{a n}，其公比为q，若等比数列{a n}的前n项和恒成立，当n＝1时，a1＝S1＞0，分2种情况讨论：（1）若q＝1，则S n＝na1，只要a1＞0，S n＞0就一定成立，符合题意，（2）若q≠1，则S n＝，若S n＞0，必有＞0，又有2种情况：①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q＝﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．16．【解答】解：设△OPF的外接圆的半径r，由|OF|＝c，正弦定理可得，2r＝＝2c，即有r＝c，且圆心m在x＝上，P在圆上，所以原题等价于直线x＝﹣a与圆M存在公共点，即有≤c﹣a，由离心率公式可得e≥2．则双曲线的离心率的最小值为2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵，∴，解得x＝2，y＝﹣4，故＝（2，4，1），＝（﹣2，﹣4，﹣1），又因为，所以＝0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2，故＝（3，﹣2，2）（2）由（1）可得＝（5，2，3），＝（1，﹣6，1），设向量与所成的角为θ，则cosθ＝＝18．【解答】解：（1）∵在等差数列{a n}中，a3+a4＝12，公差d＝2，∴（a1+2×2）+（a1+3×2）＝12，解得a1＝1，∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．∵数列{a2n﹣1}的前n项和为S n，a2n﹣1＝2（2n﹣1）﹣1＝4n﹣3，∴{a2n﹣1}是1为首项，4为公差的等差数列，∴S n＝＝2n2﹣n．（2）∵a2，a5，a m成等比数列，∴a2a m＝a52，∴3（2m﹣1）＝92，解得m＝14．∴＝＝（﹣），∴T m＝T14＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．19．【解答】解：（1）＝（x﹣1）++2，∵x＞1，∴（x﹣1）++2≥2+2＝4，当且仅当x＝2时取得等号，故命题p为真命题时，m≤4．（2）若命题q为真命题，则（m﹣2）（m+2）＜0，所以﹣2＜m＜2，因为命题p或q为真命题，则p，q至少有一个真命题，p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题．当命题p为真命题，命题q为假命题时，，则m≤﹣2，或2≤m≤4；当命题p为假命题，命题q为真命题时，，舍去．综上，m≤﹣2，或2≤m≤4．20．【解答】解：（1）∵2a cos B＝2c﹣b，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝2sin C﹣sin B，可得：2sin A cos B＝2sin A cos B+2sin B cos A ﹣sin B，∴2sin B cos A＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝，又0＜A＜π，∴．（2）∵，由正弦定理可得：a＝2R sin A＝，又∵a2＝3＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc≥bc，可得：bc≤3，∴S＝bc sin A≤×3＝，即该三角形面积的最大值为．21．【解答】证明：（1）如图①，取AB1的中点E，AB的中点F，连接DE，EF，CF，由题意知EF BB 1，又CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴△ABC为正三角形，∴CF⊥AB．∵CF⊂平面ABC，CF⊥BB1，而AB∩BB1＝B，∴CF⊥平面ABB1A1．又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．而DE⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1．解：（2）（方法一）以B为原点，建立如图①所示的空间直角坐标系，设AA1＝h，则A（），D（0，2，），B1（0，0，h），则＝（﹣，h），＝（﹣）．设＝（1，y，z）为平面AB1D的一个法向量．由，得＝（1，），平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），|cos＜＞|＝＝＝cos＝，解得h＝2．∴四棱锥B1﹣AA1C1D的体积V＝×＝＝．（方法二）如图②，延长B1D与BC交于点M，连接AM．∵B1C1∥BC，D为CC1的中点，∴D也是B1M的中点，又∵E是AB1的中点，∴AM∥DE．∵DE⊥平面ABB1A1，∴AM⊥平面ABB1A1．∴∠B1AB为平面AB1D与平面ABC所成二面角的平面角．∴∠B1AB＝，∴AA1＝BB1＝AB＝2．四棱锥B1﹣AA1C1D的体积＝＝＝．22．【解答】解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由，得2b＝（a+c）．∵b＝2，∴a+c＝4，即|BC|+|BA|＝4．由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为1，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）．∴B点的轨迹方程为（y≠0）；（2）易知直线MN的斜率k存在，设MN：y＝kx+m，由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝64k2m2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＝0，得m2＝4k2+1，∵S ACMN＝S△MON+S△MCO+S△ANO，设点O到直线MN：kx﹣y+m＝0的距离为d，则d＝，∴|MN|＝2，∴＝＝＝，由，得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4＝0，，，∴y1+y2＝kx1+m+kx2+m＝k（x1+x2）+2m＝，∴S△MCO+S△NAO＝＝＝，∴S ACMN＝S△MON+（S△NAO+S△MCO）＝．而m2＝4k2+1，，易知k2≥0，∴m2≥1，则|m|≥1，∴＝，当且仅当|m|＝，即m＝时取“＝”．∴四边形ACMN面积的最大值为4．。
广东省东莞市2017-2018学年高二第一学期期末考试数学理科试题(解析版)
广东省东莞市2017-2018学年度第一学期高二理科数学期末考试（解析版）一：选择题.1.命题“，“的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．【详解】解：命题“，“的否定是为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全称命题和特称命题的否定方法是解答的关键．2.在中，若，，，则A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】由已知，利用余弦定理可得关于BC的方程，解方程可得BC的值．【详解】解：，，，由余弦定理可得：，可得：，可得：，解得：或舍去．故选：A．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.下列结论成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【详解】对于当时，不成立；对于取，，不成立；对于，，，因此不成立；对于，，又，，因此成立．故选：D．A.当时，不成立；B.取，即可判断出；C.由，，可得；D.利用不等式的基本性质即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4.等差数列中，，，则的值为A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【详解】等差数列中，，，，，，故选：B．依题意，利用等差数列的性质，可知，再利用等差中项的性质可得答案．本题考查等差数列的性质，求得是关键，属于基础题．5.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】椭圆的离心率为，则，即有，则双曲线的渐近线方程为，即有故选：C．运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．6.如果实数x、y满足条件，那么的最大值为A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，t最大是1，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是A. ab有最小值B. 有最小值C. 有最小值4D. 有最小值【答案】C【解析】【分析】根据a，b都是正数，以及即可得出，从而判断选项A错误，根据基本不等式即可排除选项B，D，从而只能选C．【详解】解：，，且；；；有最大值，选项A错误；，，即有最大值，B项错误.，有最小值4，C正确；,的最小值是，不是，D错误．故选：C．【点睛】考查基本不等式的应用，以及不等式的性质．8.等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则A. 29B. 31C. 33D. 36【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．【详解】解：等比数列的公比设为q，前n项和为，，且与的等差中项为，可得，，解得，，则．故选：B．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.已知三棱锥，点M，N分别为边AB，OC的中点，P是MN上的点，满足，设，，，则等于A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量如何得到，再利用向量的加减法法则，得到结果．【详解】解：，，故选：D．【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中应用已知棱去表示要求的结果，本题是一个基础题．10.如图在一个的二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且，，则CD的长为A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】【详解】，，，，，，．，，由，两边平方后展开整理，即可求得，则CD的长可求．本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.如图所示，为了测量A，B两处岛屿间的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为A. 海里B. 海里C. 海里D. 20海里【答案】B【解析】【分析】分别在和中利用正弦定理计算AD，BD，再在中利用余弦定理计算AB的值．【详解】解：连接AB，如图所示；由题意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，；在中，由余弦定理得海里．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是解题的关键，是中档题．12.已知双曲线E：上的四点A，B，C，D满足，若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由，则A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，如图所示，设，，，则：由，则，点A在双曲线上，则：，据此可得：，则，由，则双曲线的离心率为，故选A．由题意可知：A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，根据直线的斜率公式及双曲线的标准方程求得，根据双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，直线的斜率公式，考查数形结合思想，属于中档题．二：填空题.13.已知向量1，，，且，则实数x的值为______【答案】4【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【详解】解：向量，，且，，解得．实数x的值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查向量的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】根据已知中“，”为假命题，可以得到否定命题:“，”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：“，”为假命题，其否定“，”为真命题，当时，显然成立；当时，恒成立可化为：解得综上实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．15.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线1交抛物线于A，B两点，若，则线段AB的中点到x轴的距离为___.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程可求得准线方程，根据抛物线的定义和梯形中位线定理，可得出答案．【详解】解：如图，F为焦点，AB中点为E,抛物线准线的方程：，分别过A、E、B做的垂线并交于点L,M,N.根据梯形的中位线定理，|EM|=,又根据抛物线性质，,,,.故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义，考查分析问题解决问题的能力．16.如图，四边形ABCD中，，，，，，则线段AC长度的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】在中，根据条件求出的取值范围，然后根据正弦定理可求得AC取值范围．【详解】解：在中，，，又，，且,，即,由正弦定理，,,,故答案为：．【点睛】本题考查了正弦定理、三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三：解答题。
安徽省亳州市2017-2018学年高二上学期期末质量检测理科数学试卷 扫描版含答案
亳州市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测理科数学参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213．0x ∀>1x >- 14．c b a ++-2121 15．()()1,00,-+∞ 16．217.解：（1）因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2,y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2,－4,－1)．又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)． ……5分（2）由（1）得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )所成角为θ，因此cos θ＝5－12＋338·38＝－219. ……10分 18.解：（1）∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，∴11a =，∴21n a n =-， ∴212(21)143n a n n -=--=-，2(143)22n n n S n n +-==-. ……6分 （2）若25,,m a a a 成等比数列，则225m a a a =， 即23(21)9m -=，∴14m =∵11111()(21)(21)22121n n na S n n n n +==--+-+， ∴141111111114(1)(1)2335272922929m T T ==-+-++-=-=. ……12分19.解：（1）()()2211112111x x x x x x -+==-++---，∵(1,)x ∈+∞，∴()11241x x -++≥-，故命题p 为真命题时，4m ≤． ……5分（2）若命题q 为真命题，则(2)(2)0m m -+<，所以22m -<<， ……7分 因为命题""p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个真命题，""p q ∧为假命题，则,p q 至少有一个假命题，所以,p q 一个为真命题，一个为假命题. ……9分当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，422m m m ≤⎧⎨≤-≥⎩或，则2m ≤-，或24m ≤≤；当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，422m m >⎧⎨-<<⎩， 舍去．综上，2m ≤-，或24m ≤≤. ……12分20. 解：（1） 2cos 22sin cos 2sin sin 212sin cos sin ,cos 420.63a B c bA B C BB A B A A A ππ=-∴=-∴=∴=<<∴=分分又分（2）3sin 2==A R a ， ……8分 又bc bc c b A bc c b a ≥-+=-+=22222cos 2，"",3==≤∴取当且仅当c b bc ， ……10分43343sin 21≤==∴bc A bc S ，即4ABC ∆面积的最大值为……12分 21.解：（1）如图①，取1AB 的中点E ，AB 的中点F ，连接,,DE EF CF ，易知//1EF BB = 又//112CD BB =，∴四边形CDEF 为平行四边形，∴//DE CF . 又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，∴ABC ∆为正三角形，∴CF AB ⊥.∵CF ⊂平面ABC ，1CF BB ⊥,而1AB BB B ⋂=，∴CF ⊥平面11ABB A .又//DE CF ，∴DE ⊥平面11ABB A .而DE ⊂平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11ABB A .……6分（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设1AA h =，则()()13,1,0,0,2,,0,0,2h A D B h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得()13,1,,3,1,2h AB h AD ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 设()1,,n y z =为平面1AB D 的一个法向量.由130,302n AB y hz hz n AD y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩得3,343,3y z h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3431,,33n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =， 24323cos ,cos 42116133m n h m n m n hπ⋅====⋅++ 所以221634161332h h +=， 即216124162h h =⇒=+.所以()11111111312233332B AACD AA C D V S -=⨯=⨯+⨯⨯=. ……12分 （方法二）如图②，延长1B D 与BC 交于点M ,连接AM .∵11//B C BC ,D 为1CC 的中点，∴D 也是1B M 的中点,又∵E 是1AB 的中点,∴//AM DE .∵DE ⊥平面11ABB A ,∴AM ⊥平面11ABB A .∴1B AB ∠为平面1AB D 与平面ABC 所成二面角的平面角.所以14B AB π∠=,∴112AA BB AB ===.∵作B 1M A 1C 1与A 1C 1交于点M ，∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1∴B 1M AA 1C 1 D ，∴B 1M 是高，所以……12分22.解：（1）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===.∵2sin 3(sin sin )B A C =+，∴23()b a c =+. ∵23b = ∴4a c += 即||||4BC BA +=.由椭圆定义知，B 点轨迹是以C ，A 为焦点，长半轴长为2，半焦距为3，短半轴长为1，中心在原点(0,0)的椭圆（除去左、右顶点）.。
2017-2018年天津市部分区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设A（x 1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x 1+x2=﹣，x1x2=，∴y 1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，∴k AD •k BD =﹣1，∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， ∴m 1=﹣2k ，m 2=﹣k ，且均满足3+4k 2﹣m 2＞0，（9分）当m 1=﹣2k 时，l 的方程为y=k （x ﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾， 当m 1=﹣k 时，l 的方程为y=k （x﹣），则直线过定点（，0） ∴直线l 过定点，定点坐标为（，0）．（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018学年安徽省滁州市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出n人，若抽出的男生人数为12，则n等于（）A．16B．18C．20D．222．（5分）命题“∀x∈R，x＞lnx”的否定为（）A．∀x∈R，x≤lnx B．∀x∈R，x＜lnxC．∃x0∈R，x0≤lnx0D．∃x0∈R，x0＞lnx03．（5分）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．B．3C．2D．4．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y＝x+cos x B．y＝x+sin2x C．y＝x2+cos x D．y＝x2+sin2x 5．（5分）若正方形ABCD的边长为1，则在正方形ABCD内任取一点，该点到点A的距离小于1的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）“函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+1在区间[1，+∞）上是增函数”是“0≤a≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）设命题p：∃x∈R，x2﹣x+2＝0；命题q：若m＞1，则方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆．那么，下列命题为真命题的是（）A．p∨（￢q）B．（￢p）∨（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q）9．（5分）将曲线y＝cos（2x+）向左平移个单位后，得曲线y＝f（x），则函数f（x）的单调增区间为（）A．B．C．D．10．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝2，AB＝3，E是线段AB上一点，且AE＝AB，F是BC中点，则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（3﹣cos A）＝3a cos C+a cos B，则sin A＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，右焦点为F，过左顶点且斜率为l的直线l与双曲线C的右支交于点N，若△MNF的面积为b2，双曲线C 的离心率为（）A．3B．2C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13．（5分）已知向量＝（﹣1，3），＝（3，t），若⊥，则|2+|＝．14．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的x＝﹣1与x＝1时，则输出的两个y值的和为．15．（5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于．16．（5分）直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝1有交点，则实数k的取值范围是．17．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点E，F分别为CD，DD1的中点，点G在棱AA1上，若CG∥平面AEF，则四棱锥G﹣ABCD的外接球的体积为．18．（5分）已知椭圆+＝1的右焦点为F，点M是椭圆上第一象限内的点，MF的延长线依次交y轴，椭圆于点P，N，若＝，则直线MN的斜率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19．（10分）甲乙两人同时生产内径为25.41 mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件（单位：mm），甲：25.44，25.43，25.41，25.39，25.38乙：25.41，25.42，25.41，25.39，25.42．从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．20．（12分）已知直线y＝x﹣2p与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，O是坐标原点．（1）求证：OA⊥OB；（2）若F是抛物线的焦点，求△ABF的面积．21．（12分）某高校进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在（30，35]岁，[35，40）岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%．（1）求[30，35）岁与[35，40）岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从[30，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队．求领队的两人年龄都在[30，45）岁内的概率．22．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式和前项和S n；（2）是否存在n，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列，若存在，求出n，若不存在，说明理由．23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PB＝PD＝，AB＝1，AP＝2，Q是CD中点．（1）求点C到平面BPQ的距离；（2）求二面角A﹣PQ﹣B的余弦值．24．（12分）设椭圆M：+＝1（a＞b＞0）经过点P（，），F1，F2是椭圆M 的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2＝mk，求实数m的取值范围．2017-2018学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：性别比为2：1，现用分层抽样方法从中抽出n人，若抽出的男生人数为12，则n＝＝18，故选：B．2．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，x＞lnx”的否定为”∃x0∈R，x0≤lnx0故选：C．3．【解答】解：双曲线的焦点坐标为（4，0）或（﹣4，0），渐近线方程为y＝±x，则焦点到渐近线的距离d＝＝2，故选：C．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x+cos x，f（﹣x）＝（﹣x）+cos（﹣x）＝﹣x+cos x，f（﹣x）≠f（x），f（x）不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x+sin2x，f（﹣x）＝（﹣x）+sin（﹣2x）＝﹣（x+sin2x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝x2+cos x，f（﹣x）＝（﹣x）2+cos（﹣x）＝x2+cos x＝f（x），则f（x）是偶函数，符合题意；对于D，f（x）＝x2+sin2x，f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣2x）＝x2﹣sin2x，f（﹣x）≠f（x），f（x）不是偶函数，不符合题意；故选：C．5．【解答】解：如图：满足动点P到定点A的距离|P A|＜1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形＝1，阴影部分的面积S＝，故动点P到定点A的距离|P A|＜1的概率P＝，故选：A．6．【解答】解：∵函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，∴a＝0时，f（x）＝x，是增函数，a≠0时，f（x）是二次函数，∵函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴，解得：0＜a≤1，综上：a的范围是0≤a≤1，故“函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+1在区间[1，+∞）上是增函数”是“0≤a≤1”的充分必要条件，故选：C．7．【解答】解：第一次进行循环，S＝20，i＝2，不满足退出循环的条件；第二次进行循环，S＝10，i＝3，不满足退出循环的条件；第三次进行循环，S＝，i＝4，不满足退出循环的条件；第四次进行循环，S＝，i＝5，满足退出循环的条件；故输出的i值为5，故选：D．8．【解答】解：由x2﹣x+2＝0，∵△＝12﹣8＝﹣7＜0，即此方程无解，即命题p：∃x∈R，x2﹣x+2＝0；为假命题，即￢p为真命题，当m＞1时，2m﹣1＞m＞0，即方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆．即命题q为真命题，￢q为假命题，即（￢p）∨（￢q）为真命题，故选：B．9．【解答】解：将曲线y＝cos（2x+）向左平移个单位后，得曲线y＝f（x）＝cos（2x++）＝cos（2x+）的图象，令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．再根据函数的周期为π，故函数的周期为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：C．10．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝2，AB＝3E是线段AB上一点，且AE＝AB，F是BC中点，∴D1（0，0，2），C（0，3，0），E（2，1，0），F（1，3，0），＝（0，3，﹣2），＝（2，1，﹣2），＝（1，3，﹣2），设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，），设D1C与平面D1EF所成的角为θ，则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值sinθ＝＝＝．故选：A．11．【解答】解：∵b（3﹣cos A）＝3a cos C+a cos B，∴由正弦定理可得：3sin B＝3sin A cos C+sin A cos B+sin B cos A，可得：3sin B＝3sin A cos C+sin C，∴由正弦定理可得：3b＝3a cos C+c，∴3b＝3a•+c，可得：3b2+3c2﹣3a2＝2bc，∴cos A＝＝，∴sin A＝．故选：A．12．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为M（﹣a，0），右焦点为F（c，0），过左顶点且斜率为1的直线l：y＝x+a，直线l与双曲线C的右支交于点N，，可得：（b2﹣a2）y2﹣2ab2y＝0，解得N的纵坐标为：﹣．又因为△MNF的面积为b2，所以：﹣×2c×＝b2，﹣4ac＝3a2﹣3（c2﹣a2）所以3e2﹣2e﹣8＝0，e＞1解得e＝2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13．【解答】解：∵向量＝（﹣1，3），＝（3，t），⊥，∴＝﹣3+3t＝0，解得t＝1，∴＝（3，1），2＝（1，7），|2+|＝＝5．故答案为：．14．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y＝的值，输入的x＝﹣1时，y＝，输入的x＝1时，y＝1，则输出的两个y值的和为．故答案为：．15．【解答】解：连接BC1，∵A1B1∥C1D1，∴∠BD1C1为异面直线A1B1与BD1所成的角，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，∴C1D1⊥平面BCC1B1，∴C1D1⊥BC1，在Rt△BC1D1中，BC1＝，tan∠BD1C1＝＝，∠BD1C1＝．故答案是16．【解答】解：圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心坐标为（2，0），半径为1．由圆心到直线y＝kx+1的距离d＝≤1，解得﹣≤k≤0．∴实数k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．17．【解答】解：如图，取AB中点H，连接CH，HG，则CH∥AE，CH∥平面AEF，又CG∥平面AEF，∴平面CGH∥平面AEF，可得EF∥GH，则G为AA1的中点，∴AG＝1，则四棱锥G﹣ABCD的外接球的直径为以AB，AD，AH为棱的长方体的对角线，长为，半径为，则四棱锥G﹣ABCD的外接球的体积为．故答案为：．18．【解答】解：椭圆+＝1的右焦点为F，F（1，0），设直线的斜率为k，直线方程为：y＝k（x﹣1），代入椭圆+＝1，可得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，可得x A+x B＝，椭圆+＝1的右焦点为F，点M是椭圆上第一象限内的点，MF的延长线依次交y 轴，椭圆于点P，N，若＝，∴＝1，可得k＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19．【解答】解：甲的平均数．乙的平均数．甲的方差，乙的方差．∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高．20．【解答】（1）证明：由得x2﹣4px+4p2＝2px．∴x2﹣6px+4p2＝0．设A（x1•y1）．B（x2，y2），则y1＝x1﹣2p，y2＝x2﹣2p，且，∴．∴，∴OA⊥OB．（2）解：由（l）知△AOB的面积等于，＝．（用求解同样给分）直线y＝x﹣2p与x轴交点为M（2p，0），抛物线焦点F为，∴，∴△AFB的面积为21．【解答】解：（1）[30，35）岁年龄段“时尚族”的人数为1000×0.06×5×80%＝240．[35，40）岁年龄段“时尚族”的人数为1000×0.04×5×60%＝120．（2）由（1）知[30，35）岁中抽4人，记为a、b、c、d，[35，40）岁中抽2人，记为x、y，则领队两人是：ab、ac、ad、ax、ay、bc、bd、bx、by、cd、cx、cy、dx、dy、xy共l5种可能，其中两人都在[30，35）岁内的有6种，所以领队的两人年龄都在[30，45）岁内的概率为P＝．22．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S2＝2，S3＝﹣6．∴2a1+d＝2，3a1+3d＝﹣6，联立解得a1＝4，d＝﹣6．∴a n＝4﹣6（n﹣1）＝10﹣6n．S n＝＝7n﹣3n2．（2）假设存在n，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列，则2（S n+2+2n）＝S n+S n+3，∴2[7（n+2）﹣3（n+2）2+2n]＝7n﹣3n2+7（n+3）﹣3（n+3）2，化为：n＝5．因此存在n＝5，使S n，S n+2+2n，S n+3成等差数列．23．【解答】解：∵正方形边长AB＝1，，AP＝2．∴PB2＝P A2+AB2．PD2＝P A2+AD2．∴．P A⊥AB，P A⊥AD，∴P A⊥平面ABCD．∴分别以AB、AD、AP为x轴，y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），，C（1，1，0）∴，，，．（1）设平面BPQ的一个法向量＝（x1•y1•z1），则．令z1＝1，得＝（2，1，1），∴PC与平面BPQ所成角的正弦值．∴点C到平面BPQ的距离为．（2）设平面APQ的一个法向量＝（x2•y2•z2），则，，令x2＝2，得＝（2，﹣1，0），∴，∴二面角A﹣PQ﹣B的余弦值为．24．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c＝1，由，得∴椭圆M的方程为．（2）设直线l的方程为y＝kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，设A（x1•y2），B（x2•y2），则．．由k1+k2＝mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．。
精选2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理(普通班,含解析)
林州一中2017~2018学年上学期期末考试高二数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ）D.【答案】C选C2. ）A. B. 2 C. D. 1【答案】A选A3. “”是“）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B.故选B.4. ）A. 1B. 2C. -3D. -4【答案】D-4.故答案为：D。
5. 在长方体）【答案】B选C6. 的导数为，则（）A. B. C. -1 D. 0【答案】A，故选A.7. 在等差数列中，已知12项和等于（）A. 36B. 54C. 63D. 73【答案】B选B8. 设椭圆的左、右焦点分别为相切，则该椭圆的离心率为（）D.【答案】C【解析】由题以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为c,故选C.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．9. ）C. D.【答案】B选B10. 已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点，则此双曲线的离心率为（）【答案】C，∴，∴，∵ C.11. 上是增函数，则实数的取值范围是（）B. D.【答案】C,所以当时, ,即,选C。
河北省衡水中学2017-2018学年上学期期末考试高二(理科)数学(附答案)
河北省衡水中学2017-2018学年上学期期末考试高二（理科）数学（附答案）第I 卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
)1.已知m 为正数，则“1m >”是“11lg 1m m+< ”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 由命题“存在R x ∈，使0|1|≤--m e x ”是假命题，得的取值范围是()a ,∞-，则实数的值是（ ）A. 2B.C. 1D.3. 如图，空间四边形OABC 中，点,M N 分别在,OA BC 上， 2OM MA =， BN CN =，则MN =( )A.121232OA OB OC -+ B. 211322OA OB OC -++ C. 111222OA OB OC +- D. 221332OA OB OC +- 4. 设点P 为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）上一点， 12,F F 分别是左右焦点， I 是12PF F ∆的内心，若1IPF ∆， 2IPF ∆， 12IF F ∆的面积123,,S S S 满足()1232S S S -=，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B.C. 4D.5.如图，面ACD α⊥,B 为AC 的中点， 2,60,AC CBD P α=∠=为内的动点，且P 到直线BD则APC ∠的最大值为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°6.如图，在长方体ABCD A B C D '-'''中，点,P Q 分别是棱,BC CD 上的动点，4,3,BC CD CC '===直线CC '与平面'PQC 所成的角为030，则PQC ∆'的面积的最小值是（ ）A. B. 8 C. D. 10 7.如图，60°的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A. B. 7 C. D. 98.已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形， AD ⊥平面ABC ， 26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）A. 48πB.C. 24πD. 16π9.若直线()2y k x =-与曲线y = ）A. k ，最小值B. k 有最大值12，最小值12-C. k 有最大值0，最小值D. k 有最大值0，最小值12- 10.在四面体ABCD 中， ,E G 分别是,CD BE 的中点，若AG xAB y AD z AC =++，则x y z ++=（ ）A. 13B. 12C. 1D. 2 11.若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为（ ）A. 1B. 5C.D. 3+12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 1AB =， BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD ∆的面积最小时，棱1CC 的长为A.B. C. 2D.第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题各出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．43．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝，则A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．（5分）a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞ab D．c﹣a＞c﹣b 5．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个关于数列的运算问题，其大意为“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走分路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是下底面的中心，N 是按C1D1上任意一点，则异面直线ON与A1M所成角的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．与点N的位置有关7．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），则关于x的不等式（2ax+b）（x ﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上任一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2的乘积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，前5项和S5＝25，若S n＝39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知正四面体ABCD的棱长是a，若E是AB的中点，则＝（）A．B．C．a2D．﹣a211．（5分）下列命题中，说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“0＜x＜”是“x（1﹣2x）＞0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”的逆否命题为真命题12．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷（含答案）
2017—2018学年度第⼀学期半期考试⾼⼆理科数学试卷（含答案）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2017—2018学年度第⼀学期半期考试⾼⼆理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，满分60分）每⼩题只有⼀个正确选项，请将正确选项填到答题卡处1. 下列语句中，是命题的个数是①|x + 2|=0 ; ②⼀5€ Z; ③ n?R; ④{0} € N.A. 1B. 2C. 3D. 42 22. 设P是椭圆—+ ^ = 1上的⼀点，F1, F2是椭圆的两个焦点，贝S |PF1| +25 16| PF2|等于A. 4B. 5C. 8D. 103. 现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼⼲中抽取2盒进⾏质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学⽣，报告会结束后，为了听取学⽣的意见，需要请32名学⽣进⾏座谈.③某学校共有160名教职⼯，其中⼀般教师120名，⾏政⼈员16名，后勤⼈员24名?为了了解教职⼯对学校在教学改⾰⽅⾯上的意见，拟抽取⼀个容量为20的样本.较为合理的抽样⽅法是A. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4 .已知集合A= {2 , a}, B = {1,2,3}，贝S “ a = 3” 是“ A? B” 的A . 4B . 3C . 2次只敲击⼀个数字键）得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 2 9 3 3 A.B.C.D.1005010029.椭圆—+y 2=1的左，右焦点分别为F 1, F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与4椭圆相交，⼀个交点为P ,则| PF 2|的值为A. 4B. 2C. ：3D. -210 .若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是⼀个正⽅形的四个顶点，5.执⾏如图所⽰的程序框图，输出的S 的值为30则输⼊的n 为A . 2B . 3C . 4D . 5 6.已知点P 是边长为4的正⽅形内任⼀点，则点P 到四个顶点的距离均⼤于2的概率是 n 1 A 盲 B. 4n n C. 1-7D.空7.若⼀个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列, 3 C. 3 （&]则该椭圆的离⼼率为2B. 2 8.—个⼩孩任意敲击电脑键盘上的0到9这⼗个数字键，则它敲击两次（每则椭圆的离⼼率为 '6 代三11.已知 M （ — 2, B.<5 3 N （2C. D.2 20），则以MN 为斜边的直⾓三⾓形的直⾓顶点P 的轨迹⽅程是A2 |2■A . x + y = 42 2C . x + y =4（X M ⼠ 2） 12 .现有10个数，其平均数是 B . x 2+y 2= 2D . x + y = 2（X M ⼠ 2）4, 且这10个数的平⽅和是200,那么这组数的标准差是 /输出&/⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20 分）2 213. 已知椭圆—+ ^=1的焦距为4,20 k则k的值为_____________ .14. 命题p：?x€ R, x2+ x+ 1>0,贝y p为_________________________15. 执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的16. 在区间［—3,3］上随机取⼀个数x, 则使得lg（x—1）v lg2成⽴的概率为 .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答时，应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤）17. （满分10分）袋⼦中放有⼤⼩和形状相同的⼩球若⼲个，其中标号为0 的⼩球1个，标号为1的⼩球1个，标号为2的⼩球n个.已知从袋⼦中随机抽取1个⼩球，取到标号是2的⼩球的概率是才从袋⼦中不放回地随机抽取2个⼩球，记第⼀次取出的⼩球标号为a,第⼆次取出的⼩球标号为b.记事件A表⽰“a + b= 2”，求事件A的概率.18. （满分12分）某汽车⼚⽣产A, B, C三类⼩汽车，每类⼩汽车均有豪华型汽车A汽车B汽车C豪华型100200x标准型300400600按A、B、C三类⽤分层抽样的⽅法在这个⽉⽣产的⼩汽车中抽取50辆, 其中A类⼩汽车抽取10辆.（1）求x的值；（2）⽤分层抽样的⽅法在C类⼩汽车中抽取⼀个容量为5的样本?将该样本看成⼀个总体，从中任取2辆，求⾄少有1辆标准型⼩汽车的概率；19. (满分10分)已知椭圆的中⼼在原点，两焦点F i, F2在x轴上，且过点A(—4, 3).若F i A丄F2A,求椭圆的标准⽅程.20. (满分12分)已知椭圆C的两条对称轴分别为x轴和y轴,左焦点为F i( —1,0)，右焦点为F2,短轴的两个端点分别为B i、B2.(1) 若⼛F1B1B2为等边三⾓形，求椭圆C的⽅程；(2) 若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线I与椭圆C相交于P、Q两点, 且R P FQ 0，求直线I的⽅程.21. (满分12分)命题p :关于x的不等式x2+ (a—1)x+ a2<0的解集为，命题q :函数y= (2 a2—a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围.(1) p q是真命题；(2) p q为真命题且p q为假命题.22. (满分12分)在平⾯直⾓坐标系中，动点P(x,y)到两点F1(0，—3) > F2 (0 ,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C.(1) 求P的轨迹C的⽅程；(2) 设直线y= kx+1与C交于A、B两点，k为何值时0A丄OB ?此时| AB|的值是多少？选择题13、16 或 24 14 、 x o R,x o 21 15、 916、 3 3三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n,由题意可知：⼀n ⼀1，解得n = 2,1 1 n 2不放回地随机抽取2个⼩球的所有基本事件为：(0,1) ，(0,2 1)，(0,2 2)，(1,0) ，(1,2 1)，(1,2 2)，(2 1,0)，(2 1,1)，(2 1,22)，(2 2,0)，(22,1)，(2 2,21)，共 12 个,41 事件A 包含的基本事件为：(0,2 1) , (0,2 2) , (2 1,0) , (22,0)，共4个?所以P(A)=⽯=-.12 3贝U x = 2000 — (100 + 300) — (200 + 400) — 600= 400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型⼩汽车，由题意得迴空，即a = 2.1000 5因此抽取的容量为 5的样本中，有2辆豪华型⼩汽车，3辆标准型⼩汽车. ⽤A 1, A 表⽰2辆豪华型⼩汽车，⽤ B 1, B 2, B 3表⽰3辆标准型⼩汽车，⽤ E 表⽰事件 “在该样本中任取 2辆，其中⾄少有1辆标准型⼩汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A i , A 2) , (A i , B i ) , (A i , B 2) , (A i , B 3) , (A 2, B i ) , (A 2, B 2) , (A 2, B 3) , (B i , B 2), (B 1, B 3), (B 2, B 3).事件 E 包含的基本事件有： (A i , B i ), (A i , B 2) , (A i , B 3) , (A 2, B i ) , (A 2 , B 2), (A 2 , B 3), (B i , B 2) , (B i , B 3) , (B 2 , B 3)共 9 个. 故P(E)—,即所求概率为 —.10 10 uu n uuuULLT19、解：设焦点 F i ( — c , 0) , F 2(C , 0)( c>0) . F i A 丄 F 2A , A F ’A ? F 2A = 0,⽽ F 1A = ( — 4 + c , 3), uuuu 22F 2A = ( — 4 — C , 3) , A ( — 4+ C ) ? ( — 4 — C ) + 3 = 0, A C = 25 ,即 C = 5.A F i ( — 5 , 0) , F 2(5 , 0). A 2a = | AF i |+ |AF 2| = (— 4+ 5) 2+ 32 + (— 4— 5) 2+ 32 = 五 + 90= 4 五.2 2A a = 2航,A b 2 = a 2 — C 2= (2伍)2— 52= 15. A 所求椭圆的标准⽅程为 — — 140 15220、解：(1)设椭圆C 的⽅程为笃4 1(a b 0).a b 2a 2b根据题意知22，解得a 2 =b 2=,故椭圆2C 的⽅程为— 2⼯1a 2b 21334 123 3⑵容易求得椭圆C 的⽅程为—y 2 1. 2当直线I 的斜率不存在时，其⽅程为 x = 1,不符合题意; 当直线的斜率存在时，设直线 I 的⽅程为y = k(x — 1).18、解：(1)设该⼚这个⽉共⽣产⼩汽车解得 n = 2000.n 辆，由题意得50 10 100 300y k(x 1)由 x2 2 ，得(2 k 2+ 1)x 2 — 4k 2x + 2( k 2— 1) = 0.y 1 24k 2设 P(X 1, yj , Q(X 2, y 2)，贝U X 1+ X 2= --2k 1 uuur RP =(X 1+ 1, y" , RQ = (X 2+ 1, y 2)uuur uuur因为Ff ? FQ = 0,即⼙2(X 1+ 1)( X 2 + 1) + y 1y 2= X 1X 2+ (X 1+ X 2) + 1 + k (X 1— 1)( X 2 — 1) 2 2 2 =(k + 1)X 1X 2— (k — 1)( X 1 + X 2) + k + 1 7k ］」0，解得 k 2= 7,即⼙ k =±￥? 2k 2 1 7 7故直线I 的⽅程为x + 7y — 1 = 0或x — 7y — 1 = 0.12 2 |21、解：命题 p 为真时，△= (a — 1) — 4a v 0, 即⼙ a >3或 a v — 1.31命题q 为真时，2a — a > 1，即a > 1或a v -2 '(1)T p q 是真命题，? p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上⾯两个范围的交集，a 的取值范围是{a|a v — 1或a > 1}.p 真q 假时，3V a < 1, p 假q 真时，—K a v22、解(1)设P(x , y)，由椭圆定义可知, 点P 的轨迹C 是以(0 ,=232 1 ,故曲线 C 的⽅程为—3 ) , (0 , 3)为焦点，长半轴长为 2的椭圆.它的短半轴长 b⑵设A(x i ,y i ), B(x 2,y 2)，其坐标满⾜kx 1y 2 14消去 y ,并整理得(k 2+ 4)x 2+ 2kx — 3= 0, 故 X 1+ X 2= j k , X 1X 2=—.k 4 k 4T OA 丄 OB , ? X 1X 2+ y 1y 2= 0.⼜?/ y 1y 2= k 「x 1X 2+ k( X 1 + X 2) +1 , 3 3k2 k 2 4 k 2 41 ? k =± —.24 是 X 1X 2 + yy ⼜ X 1X 2 + y i y 2= 0, 4k 2 1k 2 412 1 . 当 k =± 2时，X 1+ X 2= ?17，X 1X 2= —⽯.| AB| = 1 k 2(X ! x 2)2 4XX 2 ,2324 12 4 X 13 ⽽(x2 + x" — 4刘％=1p +4X后=172 , 5 43X 13 4 '65 _X ------ 2 = . 4 17 17I AB| =2 2(k 1) X 1X 2= 2 ----- ,2k 2 1 uur 1 2，1 1p 、q 中有且只有⼀个真命题时，a 的取值范围为{ a|3V a wl 或⼀1< a v — $}.。
2017-2018学年度高二(理)数学期末考试试题
2017—2018学年度第一学期期末考试试题高二数学（理） 2018.1考试说明：1.本试题分第I 卷和第II 卷两部分。
第I 卷和第II 卷答案填涂在答题卡的相应位置，考试结束只上交答题卡。
2.满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.等差数列}{n a 中，155=a ，则8543a a a a +++的值为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．1202.在ABC ∆中，5=a ，15=b ，ο30=∠A ，则c 等于（ ）A ．52B ．5C ．52或5D ．以上都不对3.已知数列}{n a 的前项n 和n n S n 22+=，则数列}1{1+n n a a 的前项n 和为（ ） A ．)32(3+n n B ．)32(32+n n C ．)12(31+-n n D ．12+n n4.双曲线3x 2 －y 2 ＝3的渐近线方程是（ ）A ． y = ±3xB ． y = ±3xC ． y =±31x D ． y = ±33x5.若,1>a 则11-+a a 的最小值是（ ） A. 2 B. a C. 3 D.1-a a2 6.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -87.若点A 的坐标是（3，2），F 是抛物线y 2=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P 点的坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（2，2）D ．（0，1）8.数列{}n a 的通项公式2=n a n n +，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910 C ．1110D ．12119.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+1236x y x y x ，则目标函数)0,0(>>+=b a y ax z 的最小值为2，则2211b a +的最小值为（ ） A ．21B ．2C ．8D ．17 10.在数列}{n a 中，21=a ，)2)(111ln(1≥+++=-n n a a n n ，则=n a （ ） A ．n ln 2+ B ．n n ln )1(2-+ C ．n n ln 2+ D ．n n ln 1++11.若椭圆2211mx ny y x +==-与交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为2，则mn的值等于（ ） A.3 B.22C.3D. 212.已知椭圆 +=1（a ＞b ＞0）与双曲线﹣=1 （m ＞0，n ＞0）有相同的焦点（﹣c ，0）和（c ，0），若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为_______ . 14.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤的否定为___________．15.抛物线2x ay =（0a ≠）的焦点坐标是___________．16.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ； （2）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）设等比数列}{n a 的前项n 和n S ，812=a ，且321,,161S S S +成等差数列，数列}{n b 满足n b n 2=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前项n 和n T .19.(本小题满分12分)为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为ο120的扇形广场内（如图所示），沿ABC ∆边界修建观光道路，其中B A 、分别在线段CQ CP 、上，且B A 、两点间距离为定长360米.（1）当ο45=∠BAC 时，求观光道BC 段的长度；19. 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．(小题满分13分)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为325（1）求椭圆C 的方程；（2） 过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OF OE ⊥，求直线l 的斜率.22．（本小题满分14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
2017-2018年第一学期高二理科数学期末试题答案
2017-2017学年度第一学期高二理科数学试题答案时量：120分钟 分值：150分． 命题人：徐爱田 审题人：王凯钦一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分,） 9，14 10，221〈-〉m m 或 1112，10 13，x 22y ±= 14，52 15，29三、解答题（本大题共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16. （本小题满分12分）设：P: 指数函数xa y =在x ∈R 内单调递减；Q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于不同的两点。
如果P 为真，Q 为假，求a 的取值范围．解：当0<a<1时，指数函数xa y = 在R 内单调递减；曲线y=x 2+(2a-3)x+1与x 轴有两个不同的交点等价于(2a-3)2-4>0， 即a<21或a>25。
…（6分） 由题意有P 正确，且Q 不正确，因此，a ∈(0,1)∩[]25,21[ 即a ∈)1,21[17（本小题满分12分）．已知点A （-2，0），B （2，0），直线AP 与直线AB 相交于点P ，它们的斜率之积为41-，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）． 解：设点P ),(y x ，直线AP 的斜率)2(2-≠+=x x yk AP 直线BP 的斜率)2(2≠-=x x yk BP根据已知，有：)2(4122±≠-=-⋅+x x y x y化简得：)2(1422±≠=+x y x（没有写2±≠x 扣1分）18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1,MD NB ==（1）求证：//CN 平面AMD ；（2）求面AMN 与面NBC 所成二面角的平面角的余弦值．解：（1）ABCD 是正方形，//,//BC AD BC ∴平面AMD ；又MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，//,//NB NB MD ∴∴平面AMD ， 所以平面//BNC 平面AMD ，故//CN 平面AMD ；（2） 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 分别为x ，y ，z 轴建立图示空间直角坐标系，则：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0). N (1,1,1), M (0,0,1),(1,0,1)AM =-,(0,1,1)AM =,(0,1,0)AB =设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,由00AM n AN n ⎧=⎪⎨⎪=⎩得: 00x z y z ⎧-+=⎨+=⎩令z=1得: (1,1,1)n =-易知: (0,1,0)AB =是平面NBC 的一个法向量.cos ,AB n -==-NMODCBA∴面AMN 与面NBC19．（本小题满分13分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点。
2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)(1)
高二数学试题(理科)
一、单选题（本大题共12小题，每题5分）
1. 下列图形中不一定是平面图形的是（）
A. 三角形
B. 四个角都相等的四边形
C. 梯形
D. 平行四边形
【答案】B
【解析】根据几何公理，三角形能确定一个平面（两相交直线能确定一个平面）、梯形、平行四边形能确定一个平面（两平行线能确定一个平面），所以不能确定的是：四个角都相等的四边形。
故选B。
2. 下列等于1的积分是（）
C.
【答案】C
；
；
故选C.
点睛：定积分的计算一般有三个方法：
（1）利用微积分基本定理求原函数；
（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；
（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.
3. 在正方体与所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
与的所成角，易知，所成角为，故选B。
4.
【答案】B
B。
5. 已知三个平面、、，a、b是异面直线，a与、、分别交于A、B、C三点，b与、、分别交于D、E、F三点，连结AF交平面于G，连结CD交平面于H，则四边形BGEH的形状为( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 梯形
【答案】A
A。
6.
A. B. C. D.
【答案】D
..................。
2017-2018年湖北省武汉市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年湖北省武汉市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．7B．42C．210D．8402．（5分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为（）A．B．C．D．3．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD 所成的角的正弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）下列说法中正确的是（）A．“x＞5”是“x＞3”必要条件B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题7．（5分）在区间[﹣2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（）A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数=中位数=平均数9．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5D．2，4，8，16，3210．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．512．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为．14．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．15．（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；④若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜．其中真命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x=720（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．（附：对于线性回归方程=x+，其中=，=﹣）18．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人数25a b（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=1，点E为棱PC 的中点．AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2．（1）证明：BE⊥DC；（2）求二面角E﹣AB﹣P的大小．20．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．21．（12分）已知双曲线C：﹣=1的离心率为，点（，0）是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．22．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．2017-2018学年湖北省武汉市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．7B．42C．210D．840【解答】解：当m=7，n=3，m﹣n+1=5，k=7时，不满足退出循环的条件，S=7，k=6；k=6时，不满足退出循环的条件，S=42，k=5；k=5时，不满足退出循环的条件，S=210，k=4；k=4时，满足退出循环的条件，故输出的S值为210，故选：C．2．（5分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，这个顶点必须是短轴的端点，若椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则有b=c，则a==2c，则椭圆的离心率e==；故选：A．3．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．=（1，1，﹣1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），设平面ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，1，2），点E到平面ACD1的距离为：h===．故选：C．4．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD 所成的角的正弦值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）．∴=（﹣2，﹣2，0），=（0，0，2），=（﹣2，0，1）．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z）．∵⊥，⊥，∴，令y=1，则=（﹣1，1，0）．∴cos＜n，＞==，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin θ=|cos＜n，＞|=．故选：B．6．（5分）下列说法中正确的是（）A．“x＞5”是“x＞3”必要条件B．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题【解答】解：对于A，“x＞5”是“x＞3”充分条件，不是必要条件；所以A不正确；对于B，命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”，满足命题的否定形式，正确；对于C，∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数，不正确，因为函数是二次函数，存在对称轴，不可能关于原点对称，所以不正确；对于D，设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，只有两个命题都是真命题时p ∧q也是真命题，所以D不正确；故选：B．7．（5分）在区间[﹣2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵区间[﹣2，1]的长度为1+2=3，区间[0，1]的长度为1﹣0=1，∴区间[﹣2，1]上随机取一个数x，x∈[0，1]的概率为P=．故选：A．8．（5分）已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（）A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数=中位数=平均数【解答】解：一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，它的平均数为×（20+30+40+50+50+60+70+80）=50，中位数为×（50+50）=50，众数为50；∴它们的大小关系是平均数=中位数=众数．故选：D．9．（5分）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5D．2，4，8，16，32【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B．10．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．11．（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=﹣1，∴点A到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．12．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．∴其渐近线的斜率为．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为﹣．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=．故答案为：．15．（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；④若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1＜t＜．其中真命题的序号是③（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，方程+=1中，当4﹣t=t﹣1，即t=时，方程为x2+y2=，表示圆，故①错误；对于②，当t=时，满足1＜t＜4，而方程为x2+y2=，表示圆，故②错误；对于③，若曲线C为双曲线，则有（4﹣t）（t﹣1）＜0，解可得t＜1或t＞4；③正确；对于④，若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则有t﹣1＞4﹣t＞0，解可得＜t＜4，④错误；故答案为：③16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得x i=80，y i=20，x i y i=184，x=720（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．（附：对于线性回归方程=x+，其中=，=﹣）【解答】解：（1）由题意知n=10，=x i==8，=y i==2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）l xx=x﹣102=720﹣10×82=80；l xy=x i y i﹣10××=184﹣10×8×2=24，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由此得===0.3，a=﹣=2﹣0.3×8=﹣0.4．故所求线性回归方程为y=0.3x﹣0.4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由于变量y的值随x值的增加而增加（b=0.3＞0），故x与y之间是正相关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．（10分）18．（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表．区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人数25a b（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，[25，30）与[30，35）两组的人数相同，∴a=25人．且人．总人数人．（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=1，点E为棱PC 的中点．AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2．（1）证明：BE⊥DC；（2）求二面角E﹣AB﹣P的大小．【解答】证明：（1）取PD中点F，连接AF，EF，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，EF=CD，∵AB∥CD，AB=CD，∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF，∴PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，∴AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥CD，∴PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AF，∴CD⊥BE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）解：（2）以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=（1，1，2），=（1，0，0），设面EAB的法向量为=（x，y，z），由，令=（0，﹣1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）面PBC的一个法向量=（0，1，0），设二面角E﹣AB﹣P的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|=，∴二面角E﹣AB﹣P的大小．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣2x=0．∵直线l的参数方程是（t为参数），∴消去参数得直线l的普通方程是x﹣y﹣m=0．（2）当m=2时，直线l为：﹣2=0，∵直线l与曲线C交于A、B两点，曲线C：x2+y2﹣2x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆．圆心（1，0）到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2=．21．（12分）已知双曲线C：﹣=1的离心率为，点（，0）是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．【解答】解：（1）∵双曲线C：﹣=1的离心率为，点（，0）是双曲线的一个顶点，∴，解得c=3，b=，∴双曲线的方程为．（2）双曲线的右焦点为F2（3，0），∴经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l的方程为y=（x﹣3），联立，得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，|AB|==．22．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的定义图象判定方法性质函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018第一学期高二理科数学参考答案及评分标准_最新修正版
2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高二理科数学参考答案及评分标准13.4 14. )1,0[ 15.16.)2,3[ 三、解答题17.解：由03422≤+-m mx x 得0)3)((≤--m x m x ，又0>m ，所以m x m 3≤≤， …………………2分 （1）当2=m 时， 62≤≤x ，即p 为真时实数x 的取值范围是62≤≤x .……………3分 由()():230q x x +-≤，即:23q x -≤≤ …………………4分若p q ∧为真，则p 真 且q 真，⎩⎨⎧≤≤-≤≤3262x x ………………5分解得32≤≤x ，所以实数x 的取值范围是]3,2[ …………………6分(2 ) q ⌝是p ⌝的充分不必要条件, 等价于p q ⇒，且q p ≠>，…………………7分由03422≤+-m mx x 得0)3)((≤--m x m x ，又0>m ，所以m x m 3≤≤， 设{}m x m x A 3≤≤=,{}32≤≤-=x x B ，则A ⊂≠B ………………8分 【另解：q ⌝：2-<x 或3>x ；p ⌝：m x <或m x 3>…………………7分 {}32>-<x x x 或⊂≠{}m x m x x 3><或 ………………8分 】所以⎩⎨⎧<-≥332m m 或⎩⎨⎧≤->332m m解得12<≤-m 或12≤<-m 即12≤≤-m ，又因为0>m …………………9分所以实数m 的取值范围是(]0,1………………10分18. 解：(1)∵数列}{n a 是公差为2的等差数列，∴)1(21-+=n a a n ， …………………2分∴122a a +=， 134a a += …………………3分 又62是2a 与3a 的等比中项， ∴(2424= …………………4分2=8=- 舍去)，故数列{}n a 的通项公式为24n a n =. …………………6分(2)∵12-=⋅n nn a b ，n n n b )21()12(⋅-=∴ …………………7分54n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ① ………………8分 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(121+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②…………9分① - ② 得132)21()12()21(2)21(2)21(22121+⨯--⨯++⨯+⨯+=n n n n S …………10分 132)21()12(])21()21()21[(22121+⨯--+++⨯+=n n n n S 11)21()12(211])21(1[4122121+-⨯----⨯+=n n n n Sn n n S )21)(23(3+-=∴ …………12分19. 解：依题意，设每月生产x 把椅子，y 张书桌，利润为z 元. …………1分 那么，目标函数为1520z x y =+， …………2分x ，y 满足限制条件**61060004226000,N 0,N x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩即**353000213000,N 0,N x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩…………5分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分. …………8分作直线:15200340,l x y x y +=+=即平移直线l ，当直线通过B 点时，目标函数取得最大值 …………10分 由35300021300x y x y +=⎧⎨+=⎩,得500300x y =⎧⎨=⎩所以点B 的坐标为（500，300）， …………11分 此时，max 155002030013500z =⨯+⨯=所以该公司每月制作500把椅子、300张书桌可获得最大利润13500元. …………12分20.解：（1）22nn S n +=当1=n 时，111==S a ， ……………………………………1分 当n S S a n n n n =-=≥-12时，， ……………………………2分又1=n 时，11a =所以n a n = )(*N n ∈ ………………………3分不妨设ABC ∆三边长为7,5,3===c b a ，21532753cos 222-=⨯⨯-+=C …………4分 所以23sin =C ……………………5分所以4315235321=⨯⨯⨯=∆ABC S ……………………6分【注意：求出其它角的余弦值，利用平方关系求出正弦值，再求出三角形面积，同样得分】（2）假设数列{}n a 存在相邻的三项满足条件，因为n a n =，设三角形三边长分别是2,1,++n n n ，)121(>⇒+>++n n n n ，三个角分别是ααπα2,3,- …………………………………8分由正弦定理：αα2sin 2sin +=n n ，所以n n 22cos +=α ………………………9分 由余弦定理：αcos )2)(1(2)2()1(222++-+++=n n n n n ，即 nn n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+⋅++-+++= ………………………10分化简得：0432=--n n ，所以：4=n 或1-=n （舍去） ………………………11分当4=n 时,三角形的三边长分别是6,5,4,可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 所以数列{}n a 中存在相邻的三项6,5,4，满足条件. …………………12分21.解：（1）证明：连接,,BE AC AF .取AD 的中点O ，连接OE ， 依题意易知OE AD ⊥，平面ADE ⊥平面ABCD 又,OE ADE ADE ABCD AD ⊂⋂=平面平面平面OE ∴⊥平面ABCD ………………………1分O OA x OE z O AB y ∴以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()1,2,0C -，(E ， (F ，…2分()()(1,1,3,2,2,0,BE AC AF ∴=--=-=- 0,0BE AC BE AF ∴⋅=⋅=,A E AC F B BE ∴⊥⊥ ………………………4分又ACF AF AC A AF AC 平面、⊂=, ， ACF BE 平面⊥∴………………………5分（2）解：由（1）知()(2,1,0,BC BF =-=-设平面BCF 的一个法向量),,(1111z y x n =，由1n BC ⊥，得112x y =， 由1n BF ⊥，得033111=++-z y x ，不妨令11=x ，可得)335,2,1(1-=n . ……………6分 设),,(P P P z y x P ,EF EP λ=（)10≤≤λ，又)0,4,0(=EF则)0,4,0()3,,(λ=-P P P z y x ，所以)3,4,0(λP …………………7分)3,14,1(),0,1,2(--=-=λ设平面PBC 的一个法向量),,(2222z y x n =，由n ⊥2，得222x y =， 由BP n ⊥2，得03)14(222=+-+-z y x λ，不妨12=x ，可得)383,2,1(2λ-=n ……………9分8103)83(153403403)83(413254138333541,cos 2221=-+⋅=-++⋅++-⋅-+>=<∴λλλλn n .……10分 所以01282=-+λλ，解得41=λ， 21-=λ （舍） ………………………11分所以31=PF EP ………………………12分22.解：（1）依题意可设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，3=b …………………1分则右焦点)0,(c F .由题设条件：2323=+c , 解得：3=c .………………………3分 故所求椭圆的标准方程为：131222=+y x .………………………4分（2）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线1N M 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=- 令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--=43464622=++-+-=m m m m ∴点)0,4(P ………………7分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN-+⨯⨯=-⋅=∆ 222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴PMN ∆的面积最大值为1. ………………12分。
四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题含答案
四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题含答案四川省成都市2017-2018学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y^2=8x的准线方程是（）A。
x=-2B。
x=-4C。
y=-2D。
y=-42.从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重（单位：kg），获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是（）A。
中位数为62B。
中位数为65C。
众数为62D。
众数为643.命题“存在x∈R。
2≤x<2x2/x”的否定是（）A。
不存在x∈R。
2≤x<2x2/xB。
存在x∈R。
2>x>2x2/xC。
对于任意x∈R。
2>x>2x2/xD。
对于任意x∈R。
2≤x≥2x2/x4.容量为100的样本，其数据分布在[2,18]，将样本数据分为4组：[2,6)。
[6,10)。
[10,14)。
[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（）A。
样本数据分布在[6,10)的频率为0.32B。
样本数据分布在[10,14)的频数为40C。
样本数据分布在[2,10)的频数为40D。
估计总体数据大约有10%分布在[10,14)5.“4<k<6”是“x2+y2=1为椭圆方程”的（）A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=log2(x+3)，若在[-2,5]上随机取一个实数x，则f(x)≥1的概率为（）A。
3/4B。
4/5C。
5/6D。
6/77.在平面内，已知两定点A,B间的距离为2，动点P满足|PA|+|PB|=4.若∠APB=60，则△APB的面积为（）A。
√3B。
3C。
2√3D。
3√3/28.在2017年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格x与销售额y之间的一组数据如下表所示：根据散点图可知，销售额y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是ŷ=−3.2x+â，则a为（）A。
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2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<, {|13}B x x =<<，则A B =U A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<< C ．{|12}x x << D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝10， 则输出的S 等于A .511B .1011C .3655D .72556．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A .318 B .315C .3824+D .31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 A .925 B .1625 C .310 D .15 10．设a ＝log 2π，12log b π=，c ＝π－2，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a11．在△ABC 中，若a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是 A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形12．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 A . 2 B . 3 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．设变量x，y满足约束条件,22,2.y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z＝x－3y的最小值为．14．已知命题p：∀x>0，(x＋1)e x>1，则﹁p为．15．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为．16．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y^＝0.8x－155.则实数m的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)n；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．18．(满分12分)在等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝21(10)2na－，证明：数列{b n}为等比数列；(3)求数列{nb n}的前n项和T n.19．(满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为3(9698),5(98104),4(104106).y x x x =≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩求这批产品平均每个的利润．20. (满分12分)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.21．(满分12分)已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．22. (满分12分)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB→＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学参考答案一、选择题A . 2． B3． A 【解析】∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，4． B 【解析】由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.5． A 【解析】第一次执行后，S ＝13，i ＝4＜10；第二次执行后，S ＝13＋115＝25，i ＝6＜10；第三次执行后，S ＝25＋135＝37，i ＝8＜10；第四次执行后，S ＝37＋163＝49，i ＝10；第五次执行后，S ＝49＋199＝511，i ＝12＞10，输出S ＝511.6． B 【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.7. C 【解析】该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.8． D【解析】由已知a ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＝－c ，则(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|c |2，由此可得a·b ＝32.从而cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝14.故答案为D .9． D 【解析】以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.10． C 【解析】利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1,2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0,1)，所以a ＞c ＞b .11．C 【解析】根据余弦定理，有a ＝2bcosC ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，化简整理得b ＝c .所以△ABC 为等腰三角形．12． B 【解析】设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ， ∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 二、填空题 13．－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x -3y =z 经过点A (-2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为-2-3×2=－8. 14. ∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x ≤1. 15． 40【解析】抽样比为90360＋270＋180＝19，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×19＝40. 16. 8【解析】依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8.三、解答题17．解：(1)由频率分布表得0.05＋m ＋0.15＋0.35＋n ＝1，即m ＋n ＝0.45. 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n ＝220＝0.1，所以m ＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，等级为3的零件有3个，记作x 1，x 2，x 3；等级为5的零件有2个，记作y 1，y 2.从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共10种．记事件A 为“从零件x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取2件，其等级相等”． 则A 包含的基本事件有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4种． 故所求概率为P (A )＝410＝0.4.18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明：由(1)得b n ＝2n ，所以b n ＋1b n＝2n ＋12n ＝2.所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nb n ＝n ×2n ，得T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②得，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.19．解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n . ∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n ＝0.300，∴n ＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．20. 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ， 即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ， 即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.21．解：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)， M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)． (1)CM→＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)， 因为CM →·SN→＝－12＋12＋0＝0，所以CM→⊥SN →，所以CM ⊥SN . (2)易得NC→＝(－12，1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝x －y ＋12z ＝0，NC →·n ＝－12x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2y z ＝－2y，取x ＝2，则y ＝1，z ＝－2，n ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈n ，SN →〉|＝|n ·SN →||n |·|SN →|＝22，所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22. 解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0， ∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。