版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96双曲线教师用书文新人教版

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.6 双曲线教师

用书文新人教版

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

巧设双曲线方程

(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2

b 2＝t (t ≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2

n

＝1(mn <0)．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )

(2)方程x 2m －y 2

n

＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )

(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y

n

＝0.( √ )

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )

(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1

e 22

＝

1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )

1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双

曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2

答案 A

解析 由题意得b ＝2a ，又a 2

＋b 2

＝c 2

，∴5a 2

＝c 2

.

∴e 2

＝c 2

a

2＝5，∴e ＝ 5.

2．若方程x 22＋m －y 2

m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是( )

A ．m >－1

B ．m <－2

C ．－2

D ．m >－1或m <－2

答案 D

解析 由题意知(2＋m )(m ＋1)>0，解得m >－1或m <－2，故选D.

3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2

－y 2

4

＝1

B.x 2

4

－y 2

＝1

C.y 2

4－x 2

＝1 D ．y 2

－x 2

4

＝1

答案 C

解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±1

2

x ，只有C 符合，故选C.

4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 2

3＝1的焦距是________．

答案 210

解析 由已知，a 2

＝7，b 2

＝3，则c 2

＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5．双曲线x 2

4－y 2

＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．

答案

25

5

解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)， 一条渐近线方程是y ＝1

2x ，即x －2y ＝0，

则顶点到渐近线的距离d ＝

|2－0|5

＝25

5.

题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程

例1 已知圆C 1：(x ＋3)2

＋y 2

＝1和圆C 2：(x －3)2

＋y 2

＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2

－y 2

8

＝1(x ≤－1)

解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .

根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，

|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，

所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，

所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2

＝8.

故点M 的轨迹方程为x 2－y 2

8＝1(x ≤－1)．

命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为5

4；

(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；

(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为

x 2a －y 2b ＝1或y 2a －x 2

b ＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝

c a ＝54

.

∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.

∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2

36

＝1.

(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2

＝c 2

－a 2

＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 2

25＝1. (3)设双曲线方程为mx 2

－ny 2＝1(mn >0)．

∴⎩⎪⎨⎪⎧

9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝－1

75，n ＝－1

25.

∴双曲线的标准方程为y 225－x 2

75＝1. 命题点3 利用定义解决焦点三角形问题

例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2

－y 2

＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos