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高等传热学复习题

1．简述求解导热问题的各种方法和傅立叶定律的适用条件。

答：导热问题的分类及求解方法：

按照不同的导热现象和类型，有不同的求解方法。求解导热问题，主要应用于工程之中，一般以方便，实用为原则，能简化尽量简化。

直接求解导热微分方程是很复杂的，按考虑系统的空间维数分，有 0 维， 1 维， 2 维和

3维导热问题。一般维数越低，求解越简单。常见把高维问题转化为低维问题求解。有稳态导热和非稳态导热，非稳态导热比稳态导热多一个时间维，求解难度增加。有时在稳态解的基础上分析非稳态稳态，称之为准静态解，可有效地降低求解难度。根据研究对象的几何形状，又可建立不同坐标系，分平壁，球，柱，管等问题，以适应不同的对象。

不论如何，求解导热微分方程主要依靠三大方法：

甲．理论法

乙．试验法

丙．综合理论和试验法

理论法：借助数学、逻辑等手段，根据物理规律，找出答案。它又分：

分析法；以数学分析为基础，通过符号和数值运算，得到结果。方法有：分离变量法，积分变换法( Lapl ace 变换， Four i er 变换 ) ，热源函数法， Gr een 函数法，变分法，积分方程法等等，数理方程中有介绍。

近似分析法：积分方程法，相似分析法，变分法等。

分析法的优点是理论严谨，结论可靠，省钱省力，结论通用性好，便于分析和应用。缺点是可求解的对象不多，大部分要求几何形状规则，边界条件简单，线性问题。有的解结构复杂，应用有难度，对人员专业水平要求高。

数值法：是当前发展的主流，发展了大量的商业软件。方法有：有限差分法，有限元法，边界元法，直接模拟法，离散化法，蒙特卡罗法，格子气法等，大大扩展了导热微分方程的实用范围，不受形状等限制，省钱省力，在依靠计算机条件下，计算速度和计算质量、范围不断提高，有无穷的发展潜力，能求解部分非线性问题。缺点是结果可靠性差，对使用人员要求高，有的结果不直观，所求结果通用性差。

比拟法：有热电模拟，光模拟等

试验法：在许多情况下，理论并不能解决问题，或不能完全解决问题，或不能完美解决问题，必须通过试验。试验的可靠性高，结果直观，问题的针对性强，可以发掘理论没有涉及的新规律。可以起到检验理论分析和数值计算结果的作用。理论越是高度发展，试验法的作用就越强。理论永远代替不了试验。但试验耗时费力，绝大多数要求较高的财力和投入，在理论可以解决问题的地方，应尽量用理论方法。试验法也有各种类型：如探索性试验，验证性试验，比拟性试验等等。

综合法：用理论指导试验，以试验促进理论，是科学研究常用的方法。如浙大提出计算机辅助试验法 ( CAT) 就是其中之一。

傅立叶定律的适用条件：它可适用于稳态、非稳态，变导热系数，各向同性，多维空间，连续光滑

介质，气、液、固三相的导热问题。

2．定性地分析固体导热系数和温度变化的关系

3．什么是直肋的最佳形状与已知形状后的最佳尺寸？

答：什么叫做“好”？给定传热量下要求具有最小体积或最小质量或给定体

积（质量）下要求具有最大传热量。（对偶优化问题）

Schmidt 假定：如要得到在给定传热量下要求具有最小体积或最小质量的肋的形状和尺

寸，肋片任一导热截面的热流密度都应相等。

1928 年， Schmidt 等提出了一维肋片换热优化理论：设导热系数为常数，沿肋高的温度

分布应为一条直线。Duffin应用变分法证明了Schmidt 假定。 Wikins[3]指出只有在导热系

数和换热系数为常数时，肋片的温度分布才是线性的。Liu 和 Wikins[4]等人还得到了有内

热源及辐射换热时优化解。长期以来肋片的优化问题受到理论和应用两方面的重视。对称直

肋最优型线和尺寸的无量纲表达式分析：

假定一维肋片，导热系数和换热系数为常数，我们有对称直肋微分方程（忽略曲线弧度）：

2 2

yd θ /dx +(dy/dx)dθ /dx-θh/λ=0

由Schmidt 假定，对任意截面 x： d θ /dx ＝－ q/ λ＝ const

当λ为常量时，温度线性分布：θ＝c1x+c 2， x=H, θ＝θ0＝c1H+c2

设导热面为矩形，将温度解代入微分方程得优化肋的型线方程：

c1(dy/dx)-h/λ(c1x+c2)=0

y=h/ λ(0.5x 2+c2x/c 1+c4 )=(0.5x 2+c3x+c4)h/ λ

这是一条抛物线。如果该线满足：

x=0， y=0

x=H， y=δ /2

c4=0， c3＝c2/c 1 =( δ λ/h － H2)/2H ，θ0＝ c1H+c1( δ λ/h － H2)/2H ， c1＝ 2Hθ0/( δ λ/h+H2)

2 2 相当与 n=∞时的型线，即凹抛物

特别地若 c ＝ 0，δ /H=hH/ λ，y=0.5x h/ λ=0.5 δ (x/H)

3

线形状的直肋最省材料。此时有： c2=0，c1＝θ0/H 。

整理得： 2y/ δ＝ (x/H) 2这条抛物线的几何意义是肋各点的的导热截面比，物理意义是

肋各点的的导热截面的热流量比。同时可以求出：

(mH)2=2

ηf =0.5

3.4最佳直肋尺寸

问题：给定肋形状y=f(x)及体积或质量后，如何确定肋厚或肋高？或肋高是否越大越

好？

答案：在选取的δ，H 上，肋的传热量达到最大？数学模型为

dΦ /dH=0 V （或 q m） =CAH＝ const

对矩形等截面肋, 绝热边界条件：

dΦ /dH=d( λ Amθ0 th(mH))/dH= d(( λ VhU/(CH)) 0.5 0 λ

θ th((ChU/(

V)) 0.5 H1.5 ))/dH=( λ VhU/C)0.5 /H{(ChU/( λ V)) 0.5 Hsech2[((ChU/( λ

V)) 0.5 H1.5 )]-0.5H -0.5 th[(ChU/( λ V)) 0.5 H1.5 ]}=0

(ChU/( λ V)) 0.5 Hsech2[((ChU/(λ V))0.5H1.5)]-0.5H-0.5 th[(ChU/(λV))0.5H1.5]＝0

2

mHsech[mH]]-0.5th[mH]=0

解得：

mH=1.419

对凹抛物线肋，同样可得：

mH=1.414

对三角型肋，可得：

mH=1.309