高二第一学期数学期中考试试卷含答案
南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷及答案
南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．145B ．145-C ．73D ．73-2．过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=B ．250x y ++=C ．250x y --=D ．250x y +-=3．若k ∈R ，则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．()0,πB ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（ ）A ．[]48,22-B ．[]18,8--C ．(][),4822,-∞-+∞D ．(][),188,-∞--+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ∠=∠，则PA PB的值是（ ）A ．5BC ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的周长为5C ．1290F PF ∠<︒D ．113PF ≤≤10．已知()0,2M ，()0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP =的有（ ） A ．370x -=B ．4320x y +-=C ．221x y +=D ．2222140x y x y +-+-=11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点()1,0F c -，()2,0F c ，动点P 满足212PF PF a ⋅=（a ，0c >且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF +的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．2ca ≥时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF ⊥ 三．填空题12．与双曲线2212x y -=有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x =的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=．（1）当12l l ⊥时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点()1,2A ，()1,2B --，点P 满足4PA PB ⋅=． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点()2,0Q -分别作直线MN ，RS ，交曲线Γ于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A '，B '，C '，D '四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：(1P -，(22,P，)31P -，()49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点()3,0T -，直线3x my =+与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k +是否为定值，并说明理由． 19．设a 为实数，点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=． （ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---，∴直线的方程为()5426y x -=-+，即5763y x =-+， ∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ． 2．【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=，故选B ． 3．【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<，故选B ． 4．【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴24y =或220y =-（舍去），即214y x ==， ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C【解析】当sin 0θ=时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2， 当sin 0θ≠时，则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞，即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点， 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤，即()423775m⨯+⨯--≤，解得[]48,22m ∈-，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F θ∠=，则12sin MF c θ=，22cos MF c θ=， 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=，1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<，故选D ． 8．【答案】C【法一】由题意知()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ， 直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k =-， 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠， 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠，则122121k k k -=-， 联立解得2119k =，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠，所以cos PAB ∠=，即5PA PB =， 【法二】设()00,P x y ，则00tan 2y PAB x ∠=+，00tan 2y PBA x ∠=--， 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20144169y =5PAPB==二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a =，1c ===，∴离心率12c e a ==，故选项A 错误， 对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a +==，1222F F c ==， ∴12PF F △的周长为426+=，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，12tan23F PF c b ∠==， 又∵120902F PF ∠︒<<︒，∴12302F PF∠=︒，即1260F PF ∠=︒， ∴1290F PF ∠<︒，故选项C 正确， 对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+，∴113PF ≤≤，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ，7233d R -=>=，所以直线与圆相离，不存在点P ； 对于B ，5232553d R -==<=，所以直线与圆相交，存在点P ； 对于C ，121252133C C R R ==+=+，所以两圆外切，存在点P ；对于D ，()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-，所以两圆内含，不存在点P ． 11．【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ，用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称，用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称，用x -代x ，y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a >时，122PF PF a +≥=，当0a =时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c +=，所以B 错误； 对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确； 对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为()1,PF c x y =---，()2,PF c x y =--，所以222x y c +=，由222x y c ++=22c =222c a ≥，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，将点代入双曲线方程得121λ=-=-，故方程为2212x y -=．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ， 线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x +=，故12426AB x x p =++=+=． 14．【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =-， 又点()5,4P ，则25c PF ==，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =-，交直线2x =-于点G ， 过P 作PM 垂直直线1x =-，交直线1x =-于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=，故椭圆离心率2527c e a =≤．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ⊥，则20a a +=，解得0a =．（2）由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩，解得1a =-，直线2l 的方程为220x y -+-=，即220x y -+=， 直线1l 的方程为220x y --=， 因此，1l 与2l 之间的距离为d ==． 16．【解析】（1）设(),P x y ，则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----，故轨迹方程为229x y +=． （2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n，则12S MN RS == 因为MN RS ⊥，所以224m n +=，所以)204S m ==≤≤，所以S ⎡⎤∈⎣⎦，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值17．【解析】（1） 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += （2）设()33,A x y '，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =，即22221133x y x y=∵A ，A '均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x x +=，222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值． 18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p =-，12，2，12，故抛物线E 方程为2y x =故(1P -，)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += （2）设()12,A x x ，()22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值． 19．【解析】（1）因为点()2,3在双曲线C 上，所以22222312a a -=+，整理得42780a a +-=， 即()()22180a a -+=，解得21a =，则双曲线C 的方程为2213y x -=； （2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即112y kx k =+-， 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭， 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ， 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ，2x ，()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝； （ⅱ）设()00,H x y ，由（ⅰ）得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--，()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---， 因为1112x a ≥=>，2112x a ≥=>，()()01020x x x x --<， 又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---，0120MH x x HN x x -=-， 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--，即()()()()1202012121x x x x x x --=--， 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+，所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭， 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--，解得0832kx k -=-，即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上，所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-，故点H 恒在定直线3260x y --=上．。
安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案
2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。
山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学(A卷)含答案
2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y += B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y +=B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.12016.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.567.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0B.1C.2D.1或28.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A .两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B 共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为3y x =±C.若1MF =，则C 的渐近线方程为y =D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.14.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB .16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且||||7BC AB =，求直线l 的方程．19.若平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）圆221x y +=的一个“切立方”A 的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A 四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A 的方程为2x y +=，且正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e 的取值范围；（3）设函数312y x x =-的图象为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y +=B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=【答案】D 【解析】【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断12210A B A B -=是否成立，注意分析重合情况.【详解】:571:5710l x y l x y +=⇔+-=，对于A ：101425710x y x y +=⇔+-=，可知两直线重合，不符合；对于B ：()57750⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于C ：()55770⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于D ：5217150⨯-⨯=，1152115703x y x y +=⇔+-=，且113-≠-，所以两直线平行，符合；故选：D.2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与9,m 之间的关系式可得结论.【详解】若34m =可得221934x y +=得一个焦点坐标为()0,5，即充分性成立；若“点()0,5为C 的一个焦点”，则可得295m -=，即34m =，可知必要性成立，因此，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的充要条件.故选：C3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y += B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=【答案】B 【解析】【分析】由向量找到三点的关系，设所求点N 的坐标，由三点关系得到P 的坐标，然后代入曲线2216x y +=，得到点N 的轨迹方程.【详解】∵14PN PP'= ，∴,,'P N P 三点共线，且3''4P N PP =又∵'PP y ⊥轴，∴设(),N x y ，则()'0,P y ，4,3P x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点P 在2216x y +=上，∴224163x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221916x y +=.故选：B.4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线l 所过定点A 的坐标，分析可知，当OA l ⊥时，圆心到直线l 的距离最大，此时，直线l 截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.【详解】因为不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=的方程可化为()0ax a c y c -++=，即()()10a x y c y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩可得1x y ==，即直线l 过定点()1,1A ，因为22115+<，即点A 在圆内，圆225x y +=的圆心为原点O ，半径为r =，当OA l ⊥时，圆心到l 的距离取最大值，且最大值为OA ==，所以，直线l 被圆截得的弦长的最小值为==故选：B.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.1201【答案】D 【解析】【分析】由条件知椭圆的焦点在x 轴上，半焦距长7c =，短半轴长24b =，根据,,a b c 的关系，可求,m n .【详解】椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，过点()0,24A ，∴24924m n n -=⎧⎨=⎩，∴625576m n =⎧⎨=⎩，∴1201m n +=.故选：D.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.56【答案】A 【解析】【分析】由已知列方程组求得,a b ，再由离心率公式计算．【详解】点()6,5P 在C 上，右焦点为()6,0F ，0,0a b >>，则22223625136a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以离心率为6342c e a ===，故选：A ．7.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2D.1或2【答案】C 【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.【详解】由22124360x y x y +---=整理得：()()226276x y -+-=，可知圆22124360x y x y +---=圆心坐标为()6,2，半径为r =，再由直线l ：60x ay --=恒过点()6,0，由圆心()6,2到点()6,0的距离为2，可知2<所以点()6,0在圆的内部，即直线l 与圆一定有两个交点.故选：C.8.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=【答案】C 【解析】【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中121tan 2PF F ∠=，得到122PF PF =，由面积求出12,PF PF 的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出,m n 的值，得到椭圆方程.【详解】∵121PF PF k k ⨯=-，∴12π2F PF ∠=，∵12112PF PF k PF ==，∴设112,PF n PF n ==，则12212112422PF F S PF PF n n n ==⋅== ，∴2n =，∴126PF PF =+=，∴9m =，∵122c F F ===，∵c ==∴4n =，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆【答案】CD 【解析】【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；对于B ，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；对于C ，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；对于D ，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.【详解】对于A ，由抛物线21:4C y x =，即24x y =，则准线:1l y =-，由圆22:8150A x y x +-+=整理可得()2241x y -+=，则圆心()4,0A ，半径=1，由圆心A 到直线=−1的距离为1r =，则圆A 与直线l 相切，故A 错误；对于B ，由题意作图如下：由,,P A B 共线，且()4,0A ，当4x =时，21444y =⨯=，则()4,4P ，()4,1B -，4PA =，PQ ===，故B 正确；对于C ，由2PB =，则令1y =，2114x =，解得2x =±，当()2,1P 时，PAB 的高为422-=，面积为1222PB ⨯⨯=，如下图：当()2,1P -时，PAB 的高为()426--=，面积为1662PB ⨯⨯=，如下图：故C 正确；对于D ，由题意可作图如下：.由抛物线21:4C y x =整理可得24x y =，则其焦点()0,1F ，易知PF PB =，由直线AF 的斜率011404k -==--，线段AF 中点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则线段AF 的中垂线方程为()1422y x -=-，整理可得1542y x =-，联立2154214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消y 可得216300x x -+=，()2164301360∆=--⨯=>，所以线段AF 的中垂线与抛物线存在两个交点，故D 正确.故选：BCD.11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率2e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为33y x =±C.若16MF OM =，则C 的渐近线方程为2y x=±D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±【答案】AC 【解析】【分析】利用2tan a MF O b∠=可得l ak b =-，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率e ，知A 正确；根据斜率关系可知直线OM 为双曲线C 的一条渐近线，利用2cos QOF ∠可构造方程求得B 正确；分别利用1cos MOF ∠和cos QOF ∠可构造方程求得CD 正误.【详解】对于A ，2OM MF ⊥ ，2OF c =，OM a =，2MF b ∴==，2tan a MF O b ∴∠=，l ak b∴=-，又l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，a bb a ∴->-，即2222a bc a <=-，222c a ∴>，c e a∴=>，A 正确；对于B ，由A 知：l ak b =-，又2OM MF ⊥，OM b k a∴=，∴直线OM 即为双曲线C 的一条渐近线，22::OF MF OQ QM = ，::OQ QM c b ∴=，又222OQ QM a -=，OQ c ∴=，QM b =，2222222242cos 2c c b c b QOF c c+--∴∠==，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，2222c b ac c -∴=-2222c b a c c-∴=-，整理可得：()2222222c b c c a ac -=--=-，2220c ac a ∴--=，()()22210e e e e ∴--=-+=，2e ∴=，2=，解得：b a =C ∴的渐近线方程为y =，B 错误；对于C ，1MF == ，22222165cos 22a c a c a MOF ac ac +--∴∠==，12tan tan b MOF MOF a ∠=-∠=- ，1cos aMOF c∴∠=-，2252c a aac c -∴=-，整理可得：22252c a a -=-，即22223c a b a =+=，222b a ∴=，ba∴=，C ∴的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，2244QF MF b == ，3QM b ∴=，OQ ∴=22222222cos QOF ∴∠=，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，222ac=-，整理可得：()()22222239a b a a b -=+，422915b a b ∴=，2253b a ∴=，3b a ∴=，C ∴的渐近线方程为3y x =±，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于,,a b c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.【答案】98-【解析】【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.【详解】由圆的方程整理可得圆()2232514216x y λ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，则圆心3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =，由圆与x 1=，解得98-.故答案为：98-.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.【答案】①.4②.22【解析】【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点F 坐标和a 的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得P 点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.【详解】∵圆的标准方程：()22215x y +-=，∴圆心为0,1，半径=5r ，∴114a =，即14a =，即抛物线C ：24x y =，0,1联立方程组22242240x y x y y ⎧=⎪⎨⎪+--=⎩，解得4y =或y =-6（∵204xy =≥舍去）∴4x =±∴()4,4P 或()4,4P -∵直线OF 与y 轴重合，∴点P 到直线OF 的距离为4，由对称性可知，无论取哪个点P ，点F 到直线OP 的距离相等，∴取()4,4P ，直线:0OP x y -=，∴点F 到直线OP的距离2d ==，故答案为：①414.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.【详解】由椭圆2211612x y +=，则4,a b ==，2c =，易知,A B 为椭圆的左右焦点，由P 为椭圆上的点，则28PA PB a +==，可得8PB PA =-，所以28PA PB PA -=-，联立22221161213x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2249x y ⎧=⎨=⎩，当()2,3P 时，PA5=，则PA PB -取得最小值2如下图：；当()4,0P 时，PA 取得最大值()426--=，则PA PB -取得最大值4，如下图：.所以PA PB -的最大值与最小值的比值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB.【答案】（1）（2）487【解析】【分析】（1）由椭圆C 的方程可知,a b 的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】由椭圆C 的方程可知4a =，b =所以，椭圆C的面积πS ab ==；【小问2详解】联立22112162x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2712360x x +-=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12127x x +=-，12367x x =-，∴122427x x -==，所以，122424877AB x =-==.16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.【答案】12-【解析】【分析】根据1F AB 与2F AB 同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式∆求解出m 的值.【详解】解：将直线y x m =+与椭圆联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2234220x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()22Δ1643220m m =-⨯->，解得m <<，设1F 到AB 的距离为1d ，2F 到AB 的距离为2d ，易知1−1,0，21,0，则1d =，2d =所以12131F AB F ABS m S m-+===+ ，解得12m =-或2-(舍去)，故12m =-.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.【答案】（1）[)16,20（2）12【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，求出[)6,10AB =，求出周长的取值范围；（2）表达出2ABD A B S x x =- ，结合06A B x x <-≤，得到面积的最大值.【小问1详解】由题可得5a =，3b =，则22216c a b =-=，故4c =，所以()0,4D 为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为()0,4E -，连接,AE BE ，由对称性可知，DB AE =，故210AD DB AD AE a +=+==，则ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈，因为,,A B D 三点构成三角形，故,,A B D 不共线，所以π3π,22θ≠，故[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，则222229cos 25sin 2916sin AB AO θθθ==+=+因为[)2sin0,1θ∈，故[)22916sin 6,10AB θ=+，所以ABD △的周长[)1016,20AB +∈；【小问2详解】114222ABD AOD BOD A B A B A B S S S OD x x x x x x =+=⋅-=⨯⋅-=- ，,,A B D 不共线，故06A B x x <-≤，所以(]20,12ABD A B S x x =-∈ ，S 的最大值为12.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且7||||7BC AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（252250x y --=【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得,a b 的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C 的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】由题可知2c a =，其中222c a b =-，所以12b a =,又点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b+=，即22131a a +=，解得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆E 的方程2214x y +=，得(2,0)B ，所以2AB ==，设()00,C x y ，其中00[2,2),[1,1]x y ∈-∈-，因为||||17BC AB ==，所以()220021x y -+=，又点()00,C x y 在椭圆22:14x E y +=上，所以220014x y +=，联立方程组()20022002114x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得200316160x x -+=，解得043x =或04x =（舍），当043x =时，03y =±，即4,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或4,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以当C的坐标为4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，直线l20y +-=；当C的坐标为4,33⎛⎫-⎪⎪⎝⎭时，直线l20y --=．综上，直线l的方程为20y+-=20y--=.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆221x y+=的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为2x y+=，且正方形A为双曲线22221x ya b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数312y x x=-的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）y x=±，y x=-±（2）(（3）曲线C存在切立方，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”A的四条边所在直线的方程即可；（2）根据“切立方”的定义，联立2x y+=与双曲线22221x ya b-=，由于相切，则∆=，根据0∆=，即可求出双曲线的离心率e的取值范围；（3）设第一个切点为()3111,12x x x-，则切线为()23113122y x x x=--，根据函数312y x x=-的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为()23113122y x x x=-+，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.【小问1详解】根据“切立方”的定义，设直线方程y x m=+，y x n=-+可得1d==，m=，1d ==，n =y x =，y x =-±；【小问2详解】由正方形A 的方程为2x y +=，则2y x =±+，由正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，则222212x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=±+⎩，联立整理得22222112110x x a b b b ⎛⎫-±--= ⎪⎝⎭，则422216114Δ410b a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得224b a =-，即2224c a =-，由图可知2a >，则()22222224421,2c a e a a a -===-∈，所以(e ∈【小问3详解】由曲线312y x x =-，设切点为()3111,12x x x -，联立()()311131212y x x k x x y x x ⎧--=-⎪⎨=-⎪⎩，得()()331111212x x x x k x x ---=-，即2211120x x x x k ++--=，点()3111,12x x x -在曲线和直线上，整理得21312k x =-，则过该点的一条切线方程为()()()32111112312y x x x x x --=--，即()23113122y x x x =--，由函数312y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：()23113122y x x x =-+，设第三个切点为()3222,12x x x -（20x >），同理可得另两条切线为()33223122y x x x =-±，若存在正方形，即()()2212333123121x x ⎧--=-⎪⎪=由此可设()10,2x ∈，22x>，3310x -=，设()33f x x =，由()1.90f >，()1.950f <，且在()1.9,1.95x ∈上，函数图象连续不间断，则由零点存在性定理可知()0f x =在()1.9,1.95x ∈上有解，因此曲线C 存在切立方.【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
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42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷【含答案】
2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分）磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．903211,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．()45,162±二、多选题（每题5分）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为()4213-10．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为22的椭圆C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 是渐近线方程为320x y ±=的双曲线11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（）A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为377y x =±C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为610-三、填空题（每题5分）四、解答题2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷参考答案一、单选题（每题5分）由图可知，直线l的斜率故直线l的斜率的取值范围为故选：D．3．B）()11,M x y ，()22,N x y ，抛物线当直线l 的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l 的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线联立抛物线方程可得241y x x ty ⎧=⎨=+⎩。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线的倾斜角为，则A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是A.B. C. D.4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面的宽度EF）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆．与圆外切，则ab 的最大值为A.2B.C.D.37.若函数在区间上只有一个零点，则的1i2iz -=+z :80l x -+=αα=30︒60︒120︒150︒1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D AB 1,,a AD b AA c ===BM1122a b c ++1122a b c -++1122a b c --+1122a b c -+{}n a *,,,p q s t ∈N p q s t +=+p q s t a a a a +=+ 2.448≈≈≈221:()(3)9C x a y -++=222:()(1)1C x b y +++=52)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=+->π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ω取值范围为A. B. C. D.8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点A ，B 使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为B.D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为1510.下列四个命题中正确的是A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或C.定点到圆D.过定点且与圆相切的直线方程为或11.在棱长为2的正方体中，点满足，则A.当时，点到平面B.当时，点到平面C.当时，存在点，使得D.当时，存在点，使得平面PCD 选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设，且与相互独立，则______.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭17,66⎛⎤⎥⎝⎦17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,F F 2222:1(0)x y E a b a b+=>>E 12AF F B c c 124AF BF =E 4556m 50%1210,,,x x x 121021,21,,21x x x --- (1,1)P -x y 20x y --=(1,1)P -(3,1),(3,2)M N -k 12k - (32)k …(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=2-(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -P 1,,[0,1]AP AC AD λμλμ=+∈0λ=P 11A BC 0μ=P 11A BC 34μ=P 1BP PC ⊥34λ=P 1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()P AB =13.斜率为1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点为，则______．14.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角；（2）若，点满足，且，求的面积.16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，若.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 所成夹角的余弦值.17.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，且.（1）求的方程；（2）A ，B 为双曲线右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点，求直线AB 的斜率的取值范围.18.（17分）已知是数列的前项和，若.（1）求证：数列为等差数列.（2）若，数列的前项和为.（ⅰ）求取最大值时的值；22143x y +=(,1)M m m ={}n a n n S 457,,{5,0}a S S ∈-n S ABC π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭C 1a =D 2AD DB = ||CD = ABC Q ABCD -2,3AD QD QA QC ====QAD ⊥2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>12,,F F E y =2c =E E (0,4)C n S {}n a n 1112n n n n S S a a ++-={}n a 12,13n n a c a =-=+{}n c n n T n T n（ⅱ）若是偶数，且，求.19.（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆是直线族的包络曲线，则m ，n 满足的关系式是什么？（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线.（3）在（2）的条件下，过曲线上A ，B 两点作曲线的切线，其交点为.若且，B ，C 不共线，探究是否成立？请说明理由.m 2(1)nn n b a=-21mi i b =∑1x ty =+(1,0)221:1C x y +=1(,)mx ny m n +=∈R ()00P x y ，2:(24)4(2)0()a x y a a Ω-++-=∈R 0y ΩE E E 12,l l P (0,1)C A PCA PCB ∠=∠长沙市2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DABADDACACDBDBD1.D 【解析】因为，对应点为，在第四象限.故选D.2.A【解析】由直线，可得直线的斜率为设直线的倾斜角为，其中，可得.故选A.3.B 【解析】.故选B.4.A 【解析】甲是乙的充分条件；若为常数列，则乙成立推不出甲成立.5.D 【解析】以为原点，OC 为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设扡物线的标准方程为，由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，设，则，则，所以截面图中水面的宽度EF 约为，故选D.6.D 【解析】圆的圆心，半径，1i (1i)(2i)13i 2i (2i)(2i)55z ---===-++-13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭:80l x +=l k =l α0180α︒︒<…tan α=30α︒=11111111111111222222BM BB B M AA B A B C AA AB AD a b c =+=++=-+=-++ {}n a O y 22(0)x py p =>(1,1.5)B 22x py =13p =13p =223x y =()()0000,0,0F x y x y >>0 1.50.51y =-=200221,0.81633x x =⨯===≈0.8162 1.63m ⨯≈221:()(3)9C x a y -++=1(,3)C a -13r =圆的圆心，半径，依题意，，于是，即，因此，当且仅当时取等号，所以ab 的最大值为3.故选D.7.A 【解析】由，令，则由题意知.8.C 【解析】如图，由，得，则为梯形的两条底边，作于点，由梯形的高为，得，在Rt 中，，则有，即，在中，设，则，，即，解得在中，，同理，又，所以，即，所以离心率.故选C.9.ACD 【解析】对于A ，一个总体含有50个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，222:()(1)1C x b y +++=2(,1)C b --21r =12124C C r r =+=222()24a b ++=22122224a b ab ab ab ab =+++=…3ab …a b =)22π()sin 2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-==-⎪⎝⎭πππ2π362k x k x ωωω-=⇒=+ππππ14,626233ωωωω⎛⎤<+⇒∈ ⎥⎝⎦…214AF BF =12//AF BF 12,AF BF 12AF F B 21F P AF ⊥P 12AF F B c 2PF c =12F PF 122F F c =1230PF F ︒∠=1230AF F ︒∠=12AF F 1AF x =22AF a x =-22221121122cos30AF AF F F AF F F ︒=+-222(2)4a x x c -=+-1AF x ==12BF F 21150BF F ︒∠=2BF =214AF BF = 4=3a =c e a ==则指定的某个个体被抽到的概率为，故A 正确；对于B ，数据1，2，m ，6，7的平均数是，这组数据的方差是，故B 错误；对于C ，，第50百分位数为，故C 正确；对于D ，依题意，，则，故D 正确；故选ACD.10.BD 【解析】对于A ，过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为错误；对于B ，直线PM ，PN 的斜率分别为，依题意，或，即或，B 正确；对于C ，圆的圆心，半径，定点到圆C 错误；对于D ，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，当切线斜率存在时，设切线方程为，解得，此切线方程为，所以过点且与圆相切的直线方程为或，D 正确；故选BD.11.BD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，11100.2505⨯== 4,4512674m =⨯----=222222126(14)(24)(44)(64)(74)55s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦850%4⨯=1719182+=8x =2116115x -=-=(1,1)-x y ,A y x =-2(1)31(1)1,312312PN FM k k ----====----PMk k ...FN k k ...12k - (3)2k …22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)Q 2(1)x +2(3)4y +-=22,+=+22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)1x =C (1)y k x =-2=512k =-51250x y +-=(1,0)22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -则,，设平面的法向是为，则令，得，对于，当时，，点到平面的距离A 错误；对于B ，当时，，点到平面的距离B 正确；对于C ，当时，，则，当时，显然，方程无实根，即BP 与不垂直，C 错误；对于D ，当时，，则，显然，即，由，得，即当时，，而平面PCD ，因此平面PCD ，D 正确．故选BD.三、填空题12.0.12【解析】由，且与相互独立，得，13.【解析】设直线AB 的方程为，代入椭圆方程，1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(2,2;2),(0,2,2)A B C D A B C D 11(2,0,2),(0,2,2)BA BC =-=11A BC (,,)n x y z = 11220,220,n BA x z n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1z =(1,1,1)n =- A 0λ=11(0,2,2),(0,2,2),(0,2,22)AP AD P A P μμμμμμμ===-P 11A BC 11||n A P d n ⋅=== 0μ=(2,2,0),(2,2;0),(22,2,0)AP AC P BP λλλλλλλ===-P 11A BC 2||||n BP d n ⋅===34μ=133333(2,2,0)0,,2,2,42222AP AC AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13333112,2,,22,2,,22,2,222222P BP C P λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213135(22)228602242BP C P λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-++--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2564802∆=-⨯⨯<1PC 34λ=133333,,0(0,2,2),2,242222AP AC AD μμμμμ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3331,2,2,,2,2,(2,0,0),(0,2,2)2222P DP DC BC μμμμ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10DC BC ⋅= 1BC DC ⊥1122402DP BC μμ⎛⎫⋅=-+= ⎪⎝⎭ 18μ=18μ=1BC DP ⊥,,DC DP D DC DP ⋂=⊂1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()()()0.12P AB P A P B ==43-y x b =+22143x y +=可得，由韦达定理可得，则，则，则，所以.14.-6【解析】取得最小值，则公差或，①当时，，所以，又，所以，所以，故，令，得，所以的最小值为.②当，不合题意.综上所述：的最小值为-6.四、解答题15.【解析】（1），，，，，.…………………………………………………………………………………6分（2）由，，，分16.【解析】（1）证明：中，，22784120x bx b ++-=1287b x x +=-()121427M b x x x =+=-43177M M b y x b b b =+=-+==73b =474733M m x ==-⨯=-n S 40,5d a >=-10a =40a =7470S a ==55S =-535S a =31a =-4310a a d -==>4n a n =-0n a …4n …n S 346S S ==-4745,735a S a =-==-4570,5,0,n a S S S ==-=π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos )sin sin()2sin A A C A C A ∴+=++sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++sin sin cos 2sin ,(0,π),sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ2π,623C C ∴-=∴=222()33AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+-1212,||3333CD CA CB CD CA CB ∴=+∴=+== 22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭211230(1)(3)03,sin 1322b b b b b S ab C ∴--=⇒+-=⇒=∴==⨯⨯=QCD 2,3CD AD QD QC ====所以，所以.又平面平面QAD ，所以平面QAD.又平面ABCD ，所以平面平面ABCD .……………………………………………………5分（2）取AD 的中点，因为，所以，且，因为，平面平面ABCD ，平面平面，所以平面ABCD ．在平面ABCD 内作，以OD 为轴，OQ 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面ABQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面ABQ 的一个法向量.设平西BDQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面BDQ 的一个法向量.所以222CD QD QC +=CD QD ⊥,,CD AD AD QD D AD ⊥⋂=⊂QAD QD ⊂，CD ⊥CD ⊂QAD ⊥O QD QA =OQ AD ⊥2OQ ==OQ AD ⊥QAD ⊥QAD ⋂ABCD AD =OQ ⊥Ox AD ⊥y z O xyz -(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,0,2)O A B C D Q --()111,,x y z α=(2,0,0),(0,1,2)AB AQ ==11120,20,AB x AQ y z αα⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-112,0y x ==(0,2,1)α=-()222,,x y x β=(2,2,0),(0,1,2)BD DQ =-=-2222220,20,BD x y DQ y x ββ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =222,2y x ==(2,2,1)β=|cos ,αβ〈〉所以平面ABQ 与平面BDQ分17.【解析】（1）由题得推出所以双曲线的方程为.……………………………………………………………………4分（2）由题意可知直线AB 斜率存在且，设，设AB 的中点为.由消去并整理得，则，即，，于是点为.由中垂线知，所以，解得：.所以由A ，B 在双曲线的右支上可得：，且，且或，所以，即，综上可得，．…………………………………………………………………………15分18.【解析】（1）因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即①，2222,,b a c c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,a b ==E 2213y x -=k ≠()()1122:,,,,AB y kx m A x y B x y =+M 22,33y kx m x y =+⎧⎨-=⎩y ()22223230,30k x kmx m k ----=-≠()()()22222(2)4331230km k m m k ∆-+-+-+-=223m k >-()21212121222222326,,223333km m km m x x x x y y k x x m k m k k k k ++==-+=++=⋅+=----M 2222234331243,,333M C MC M m y y km m m k k k km k k x kmk ---+⎛⎫-=== ⎪--⎝⎭-1MC AB k k ⋅=-231241m k km k-+=-23m k =-22221223303033m m x x m k k k m++=-=->⇒=-<⇒>-12222003km x x k k k +==>⇒>-()()()()()222222221230333403m k k k k k k ∆=+->⇒-+-=-->⇒<24k >24k >2k >(2,)k ∈+∞1112n n n n S S a a ++-=n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a a =12111(1)22n n S n n a +=+-=12n n n S a +=所以②，由②-①可得，即，所以，所以，所以数列为等差数列.………………………………………………………7分（2）（Ⅰ）由题意知在等差数列中，，故.可得，当时，取最大值.………………………………………………………………………………12分（Ⅱ）.………………………………………………………………17分19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，即.……………………………………………………4分（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，4）无解.将整理成关于的一元二次方程：.1122n n n S a +++=1122n n n n a a ++=11111n n a a a a n n +====+ 111(1),n n a n a a na +=+=11n n a a a +-={}n a {}n a 1(1)2n a a n d n =+-=-132n c n =-22(1)11(2)12(6)362n n n T n n n n -=+⨯-=-=--+∴6n =n T 222222212321234521m i m mi bb b b b a a a a a a ==++++=-+-+-++∑ ()()()()22222222123456212m m a a a a a a a a -=-++-++-+++-+ ()21232284m a a a a m m =-++++=+ 1mx ny +=221x y +=1C (0,0)1mx ny +=d 1==221m n +=()00,P x y 2:(24)4(2)0(R)a x y a a Ω-++-=∈a (2a -2004(2)0x y a ++-=200(24)4(2)0a x y a -++-=a ()()2000244440a x a y x +-++-=。
北京市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含解析
2024-2025学年第一学期高二数学期中考试2024.11（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共40分）1.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l mB.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C.若l α⊥，αβ⊥，则//l βD.若l α∥，m α⊥，则l m⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或者l m ,异面，故A 错误，对于B ，若αβ⊥，l α⊂，且l 与α，β的交线垂直，才有l β⊥，否则l 与β不一定垂直，故B 错误，对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或者l β⊂，故C 错误，对于D ，若l α∥，m α⊥，则l m ⊥，D 正确，故选：D2.下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A.,,a b c两两垂直B.b cλ=C.a mb nc=+ D.0a b c ++= 【答案】A 【解析】【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A 、B 、C 、D 得解.【详解】由基底定义可知只有非零向量,,a b c不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A ，因为非零向量,,a b c 两两垂直，所以非零向量,,a b c不共面，可构成空间的一组基底，故A 正确；对于B ，b c λ= ，则,b c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a 与,b c 共面，故B错误；对于C ，由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故C 错误；对于D ，0a b c ++=即a b c =--，故由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故D 错误.故选：A.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（）A.23B.33C.3D.223【答案】C 【解析】【分析】利用解直角三角形可求点B 到直线AC 1的距离.【详解】如图，连接1BC ，由正方体的性质可得1BC =1AB BC ⊥，故B 到1AC 的63=，故选：C.4.已知直线l 的方向向量为()1,2,4v =- ，平面α的法向量为(),1,2n x =-，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.10C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直得到()1,2,4v =- 与(),1,2n x =- 平行，设v kn =r r ，得到方程组，求出12x =.【详解】直线l 与平面α垂直，故()1,2,4v =- 与(),1,2n x =-平行，设v kn =r r ，即1224kx k k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得12x =.故选：D5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB y AA z AC =++，则x y z ++=（）A.1B.12C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案.【详解】连接,AM AN如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN=+∴11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++.根据题意知1AG xAB y AA z AC =++ .32x y z ∴++=.故选：C.6.已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据两条直线平行，求出m 值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，所以6(1)1=347m m -+-≠-，解之得7m =.于是直线2:6860l x y --=，即2:3430l x y --=，所以1l 与2l2=.故选：A7.若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（）A.12k =，4b =- B.12k =-，4b =C.12k =，4b = D.12k =-，4b =-【答案】A 【解析】【分析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0，所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-.故选：A【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.8.已知圆()()22:349C x y -+-=，直线l 过点()2,3P ，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断出()2,3P 与圆的位置关系，然后根据圆心到直线l 的距离的最大值求解出弦长的最小值.【详解】直线l 恒过定点()2,3P ，圆()()22:349C x y -+-=的圆心为()3,4C ，半径为3r =，又()()222233429PC=-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d PC =，此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=．故选：A .9.已知圆C 的方程为22(2)x y a +-=，则“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出||y x =与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】由圆C 的方程为22(2)x y a +-=可得圆心()0,2，半径r =，若圆与函数y x =相交，则圆心到直线y x =的距离d ==<即2a >，若函数y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a +->，解得4a <，综上函数y x =的图象与圆C 有四个公共点则24a <<，所以“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（）A.C 的方程为22(4)16x y ++=B.在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3C.在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为1【答案】C 【解析】【分析】对A ：设点 th ，由两点的距离公式代入化简判断；对B ：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C ：设点 th ，求点M 的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D ：结合点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A ：设点 th ，∵12PA PB =12=，整理得()22416x y ++=，故C 的方程为()22416x y ++=，故A 正确；对B ：()22416x y ++=的圆心()14,0C -，半径为14r =，∵点(1,1)到圆心()14,0C -的距离1d==，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[]1111,4d r d r ⎤-+=⎦，而)34∈，故在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为9，故B 正确；对C ：设点 th ，∵2MO MA ==，整理得2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，是以28,03C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径243r =的圆，又12124833C C r r =<=-，则两圆内含，没有公共点，∴在C 上不存在点M ，使得2MO MA =，C 不正确；对D ：∵圆心()14,0C -到直线34130x y --=的距离为25d ==，∴C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为211d r -=，故D 正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B ，利用圆与圆的位置关系来判定C ，结合数形思想即可.二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知圆锥的母线与底面所成角为45 ，高为1.则该圆锥的体积为________.【答案】1π3##π3【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，从而求出圆锥底面半径，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径OA 、高PO 、母线PA 构成一个Rt PAO △，又45PAO ∠= ，1PO =，所以底面圆半径1OA =，则该圆锥的体积22111π×π11π333V OA PO =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：1π3.12.已知平面α的一个法向量为(2,3,5)n =，点(1,3,0)A --是平面α上的一点，则点(3,4,1)P --到平面α的距离为__________.【答案】3819【解析】【分析】利用空间向量法可得出点P 到平面α的距离为PA nd n⋅= ，即可求解.【详解】由题意可知()2,1,1PA =-，根据点P 到平面α的距离为19PA nd n⋅==.故答案为：381913.过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为____________（用一般式表示）20y -++=【解析】【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可；【详解】由题意可得12:30:20l x y l x y -+=⎧⎨+=⎩，解得交点坐标为()1,2-，又所求直线的倾斜角为π3，故斜率为πtan 3=所以直线方程为)21y x -=+，20y -++=.14.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为______________米．【答案】392【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设(2.5,0)A ，求出A 点处半圆的高度即可得．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O 是圆心， 2.5OA =，半圆方程为2216x y +=（0y ≥）(2.5,0)A ，B 在半圆上，且BA ⊥x 轴，则2216 2.59.75B y =-=，2B y =，故答案为：2．15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）①正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.【答案】②③【解析】【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断①，由异面直线所成角的定义确定1A M 与1BC 的夹角范围判断②，根据线面平面平行的判定定理判断③，换度后由三棱锥体积公式判断④．【详解】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为r =2412ππ==S r ，①错；正方体中AB 与11C D 平行且相等，11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ，11A BC V 是正三角形，1A M 与1BC 的夹角（锐角或直角）的范围是[,32ππ，因此②正确；由②上知11//BC AD ，而1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，同理1//A B 平面1ACD ，又11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂平面11A BC ，所以平面11//A BC 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A BC ，所以1//A M 平面1ACD ，③正确；由1//BC 平面1ACD ，因此M 到平面1ACD 的距离不变，所以11D AMC M ACD V V --=不变，④错．故答案为：②③．三、解答题（共85分）16.已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．（1）求线段BC 的中点及其所在直线的斜率；（2）求线段BC 的垂直平分线1l 的方程；（3）若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．【答案】（1）中点为()0,2-，13-（2）320x y --=；（3）2y x =或240x y +-=.【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；（3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解【小问1详解】由()3,1B --、()3,3C -，可知BC 中点为()0,2-，且()()311333BC k ---==---，【小问2详解】由（1）可得13BC k =-，BC 垂直平分线斜率1k 满足11BC k k ⋅=-，即13k =，又BC 的垂直平分线过(0,2)-，所以边BC 的垂直平分线1l 的方程为()()230y x --=-，即320x y --=；【小问3详解】当直线2l 过坐标原点时，2221k ==，此时直线2:2l y x =，符合题意；当直线2l 不过坐标原点时，由题意设直线方程为12x y a a +=，由2l 过点()1,2A ，则1212a a +=，解得2a =，所以直线2l 方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为2y x =或240x y +-=.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点()1,0A 和点()1,2B -，且圆心在直线220x y -+=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线3x ay =+被圆C 截得弦长为a 的值.【答案】（1）()2214x y ++=（2）a =【解析】【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离1d =，利用点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为()1,0A ，()1,2B -的中点为()0,1E ，且直线AB 的斜率20111AB k -==---，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为1y x =+，联立方程1220y x x y =+⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()1,0C -，2r CA ==，所以，圆C 的方程为()2214x y ++=.【小问2详解】因为直线3x ay =+被曲线C截得弦长为，则圆心到直线的距离1d ==，由点到直线的距离公式可得1=，解得a =18.已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,0A .（1）求圆C 的圆心坐标及半径长；（2）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（3）设直线l 与圆C 相切于点B ，求 R .【答案】（1）圆心坐标为 th ，半径长为2.（2）1x =或3430x y --=.（3）4.【解析】【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；（2）讨论直线l 的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程kx y k 0--=根据点到直线距离公式求解即可；（3）根据两点间距离公式求出AC 长，再根据勾股定理求解即可.【小问1详解】圆C 方程可化为:()()22344x y -+-=，圆心坐标为 th ，半径长为2.【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，方程为 ，圆心 th 到直线l 距离为2，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是h ，即kx y k 0--=.由圆心()34，到直线l2=，解得34k =，此时直线l 的方程为3430x y --=.综上，直线l 的方程为 或3430x y --=.【小问3详解】∵圆C 的圆心坐标为 th ，()1,0A ，∴()()22314025AC =-+-=.如图，由相切得，AB BC ⊥，2BC =，∴222044AB AC BC =-=-=.19.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥ ，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n ，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得 t t ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为 th t ，则11n CF n CG⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n = ，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1MN n ⊥ ，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n = ，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos,3n ANn ANn ANθ⋅=====⋅，所以直线AN与平面CFG 所成角的正弦值为53.20.如图，已知等腰梯形ABCD中，//AD BC，122AB AD BC===，E是BC的中点，AE BD M=，将BAE沿着AE翻折成1B AE△，使1B M⊥平面AECD.（1）求证：CD⊥平面1B DM；（2）求平面1B MD与平面1B AD夹角的余弦值；（3）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）存在，1112B PB C=.【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABED是菱形，AE BD⊥，得到1,AE B M AE DM⊥⊥，证明出AE⊥平面1B DM，再证明出四边形AECD是平行四边形，故//AE CD，所以CD⊥平面1B DM；（2）证明出1,,AE B M DM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面1B MD与平面1B AD夹角余弦值；（3）假设线段1B C上存在点P，使得//MP平面1B AD，作出辅助线，得到A M P Q，，，四点共面，四边形AMPQ为平行四边形，所以12PQ AM CD==，所以P是1B C的中点，求出11B PB C.【小问1详解】如图，在梯形ABCD 中，连接DE ，因为E 是BC 的中点，所以12BE BC =，又122AD BC ==，所以AD BE =，又因为//AD BE ，所以四边形ABED是平行四边形，因为AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，从而AE BD ⊥，BAE 沿着AE 翻折成1B AE △后，有1,AE B M AE DM⊥⊥又11,,B M DM M B M DM =⊂ 平面1B DM ，所以AE ⊥平面1B DM ，由题意，易知//,AD CE AD CE =，所以四边形AECD 是平行四边形，故//AE CD ，所以CD ⊥平面1B DM .【小问2详解】因为1B M ⊥平面AECD ，DM ⊂平面AECD ，则有1B M DM ⊥，由（1）知1,AE B M AE DM ⊥⊥，故1,,AE B M DM 两两垂直，以M 为坐标原点，1,,ME MD MB 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，因为AB BE AE ==，所以ABE 为等边三角形，同理ADE V 也为等边三角形，则(()()1,1,0,0,0,B A D -，设平面1B AD 的一个法向量为 tht ，则()()()(1,,0,,0m AD x y z x m B D x y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=-=⎪⎩ ，令1y =得1x z ==，故()m = ，又平面1B MD 的一个法向量为()1,0,0n = ，则cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ ，故平面1B MD 与平面1B AD 夹角的余弦值为5；【小问3详解】假设线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，过点P 作PQ CD∥交1B D 于Q ，连接MP AQ ，，如图所示：所以////AM CD PQ ，所以A M P Q ，，，四点共面，又因为//MP 平面1B AD ，所以//MP AQ ，所以四边形AMPQ 为平行四边形，所以12PQ AM CD ==，所以P 是1B C 的中点，故在线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且1112B P B C =.21.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-（1）①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②1x y +=；（2）2；（3）2，()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，然后表示(),d C B ，分类讨论求(),d C B 的最小值；（3）将i A 的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的d ，即可得到d 的最小值.【小问1详解】①(),32517d A B =-++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),x y ，则001x y -+-=，即1x y +=.【小问2详解】设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，则()11,122d C B x x =-++，当11x <-时，()1,31d C B x =--，此时(),2d C B >；当111x -≤≤时，()1,3d C B x =+，此时(),2d C B ≥；当11x >时，()1,31d C B x =+，此时(),4d C B >，综上所述，(),d C B 的最小值为2.【小问3详解】如图，A B C D E F G H ''''''''-为正方体，边长为1，则i A 对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i ）例如：,,,A B C D ''''，此时121121463d +++++==；（ii ）例如：,,,A E G C ''''，此时23113226d +++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii ）例如：,,,A C H D ''''，此时22222226d +++++==；（iiii ）例如：,,,A B E D ''''，此时221112563d +++++==；（iiiii ）例如：,,,A B E H ''''，此时112231563d +++++==；（iiiiii ）例如：,,,A B E G ''''，此时1223121166d +++++==；综上所述，d 的最大值为2，例如：()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .。
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
北京市育才2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2024-2025年度第一学期北京育才高二数学期中考试试卷（答案在最后）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.圆2221x y y ++=的半径为A.1 B.C.2D.4【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，圆2221x y y ++=，可化为22(1)2x y ++=，所以R =B ．考点：圆的标准方程．2.椭圆221178x y +=的焦点坐标为（）A.(5,0)，(5,0)-B.(3,0)，(3,0)-C.(0,5)，(0,5)-D.(0,3)，(0,3)-【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得,,a b c 的值，即可求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由题意，椭圆221178x y +=，可得2217,8a b ==，则3c ==，所以椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,,0)-.故选：B.3.圆221:4C x y +=与圆222:(3)1C x y -+=的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B 【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆221:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:(3)1C x y -+=，则圆心()23,0C ,半径21r =，所以两圆圆心距1212||3C C r r ==+，所以两圆外切.故选：B.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1,CC AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于（） A.105B.155C.45D.23【答案】B 【解析】【分析】取BC 的中点G ，连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角，在△OEH 中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC 的中点G ．连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，如图所示，∵E 是CC 1的中点，∴GC 1//EH ，∴∠OEH 为异面直线OE 和1FD 所成的角．在△OEH中，OE =HE＝11522GC ==，OH ＝52．由余弦定理，可得cos ∠OEH＝2221525OE EH OH OE EH+-==⋅．故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．5.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）A .22(2)5x y ++= B.22(2)5x y +-=C.22(2)5x y -+=D.22(2)5x y ++=【答案】C 【解析】【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.【详解】圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)-，因为点(2,0)-关于原点()0,0O 对称点为(2,0)，所以圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为22(2)5x y -+=，故选：C.6.如果方程221x ky +=表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围（）A.−∞,1 B.()1,+∞ C.()0,1 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由椭圆的标准方程，明确,a b 的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.【详解】由方程221x ky +=，则=1a，=b k，即101k <<，可得1k >.故选：B.7.已知点P 是圆22:(3)1C x y -+=上一点，则点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【详解】圆22:(3)1C x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，3=，所以点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为312-=.故选：C.8.“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直可构造方程求得a 的值，由推出关系可得结论.【详解】由两直线垂直可得：()()110a a a a -+-=，解得：0a =或1a =；10a a =⇒= 或1a =，0a =或11a a ==¿，∴“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的充分不必要条件.故选：A .9.已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A.2 B.C.2或2- D.或【答案】C 【解析】【详解】分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值．详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴=∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=12，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.10.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()1,2,2a =- ，(),,a b x y z += ，其中2221x y z ++=，则b 的最大值为（）A.3B.1+C.D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得()1,2,2b x y z =--+，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为()1,2,2a =- ，(),,a b x y z +=，则()1,2,2b x y z =--+ ，且2221x y z ++=，其中点(),,x y z 可以看作球心在原点，半径为1的球上的点所以b =()1,2,2-距离，最大值为球心到点()1,2,2-的距离再加球的半径，14=.故选：D二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分11.写出一个圆心在直线0x y -=上，且经过原点的圆的方程：______．【答案】22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆心在直线0x y -=上设圆心坐标为(,)C a a ，由于圆过原点，得半径0)r a =≠，对a 赋值，可得一个符合条件的圆的方程.【详解】解：因为圆心在直线0x y -=，则设圆心坐标为(,)C a a 又圆经过原点则圆的半径为r OC ===，且0a ≠故取1a =，得圆心为(1,1)C ，半径r =所以圆的方程为：22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=（答案不唯一）12.过点()1,4A -的直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，求直线方程______.【答案】3110x y +-=【解析】【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.【详解】因为直线将()()22231x y -+-=的面积分为相等的两部分，所以该直线过圆心()2,3，由两点式知该直线方程为3231104312y x x y --=⇒+-=---.故答案为：3110x y +-=13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与平面ABCD 所成角的正切值为______.【答案】255##255【解析】【分析】连接AE ，利用正方体的特征及线面角的定义计算即可.【详解】连接AE ，易知1AA ⊥底面ABCD ，所以1AEA ∠为所求角，不妨设正方体棱长为2，则112255,tan 55AA AE AEA AE =∠===.故答案为：25514.已知点()2,2A --，点P 在圆22:20C x y x ++=上，则AP 的取值范围是______；若AP 与圆C 相切，求切线AP 的方程______.【答案】①.1⎤-+⎦②.2x =-或3420x y --=【解析】【分析】利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空.【详解】易知点A 在圆C 外，且()2222:2011C x y x x y ++=⇒++=，即圆心()1,0C -，半径1r =，AC =，则AC r AP AC r -≤≤+，即1AP ⎤∈⎦；若直线AP 斜率不存在，即:2AP l x =-，此时圆心C 到直线AP 的距离等于半径，满足题意；若直线AP 斜率存在，不妨设其方程为：()22y k x =+-，则圆心C 到直线AP的距离()22112d k k ==⇒+=-，解之得34k =，此时直线AP 方程为3420x y --=.故答案为：1⎤-⎦；2x =-或3420x y --=15.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：()3222216x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()()32222160x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】作出圆224x y +=和四叶玫瑰线()3222216x y x y +=的图示如下图所示：()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当2x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.在平面直角坐标系中，已知()3,7A -，()2,2B ，()5,1C ，线段AC 的中点为M .（1）求过点M 与直线BC 平行的直线方程；（2）求△ABC 的面积.【答案】（1）3130x y +-=（2）5【解析】【分析】（1）由点()3,7A -，()5,1C 求出AC 的中点坐标()1,4M 和BC 的斜率，进而求出方程，（2）由（1）可知BC 的斜率求出BC 的直线方程，再点A 到直线BC 的距离，根据面积公式，求出结果.【小问1详解】∵()3,7A -，()5,1C ，∴AC 的中点坐标()1,4M ，又直线BC 的斜率121523k -==--，∴过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1413y x -=--，即3130x y +-=.【小问2详解】由（1）可知BC 的斜率13k =-，直线BC 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=，∴点A 到直线BC 的距离d ==，又B 、C 两点间距离BC ==∴△ABC 的面积11522S BC d =⨯⨯==.17.已知圆C 过原点O 和点()1,3A ，圆心在x 轴上.（1）求圆C 的方程；（2）直线l 经过点()1,1，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.【答案】（1）22(5)25x y -+=（2）1x =或15870x y --=【解析】【分析】（1）设圆C 的圆心坐标为(),0a ，由已知列出方程，求得a ，进而求得半径，即可得出结果；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【小问1详解】设圆C 的圆心坐标为(),0a .=5a =从而圆C 的半径为5r ==，所以圆C 的方程为22(5)25x y -+=.【小问2详解】依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为4，显然直线1x =符合题意.当直线l 的斜率存在时，设其方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=4=解得158k =，所以直线l 的方程为15870x y --=综上，直线l 的方程为1x =或15870x y --=.18.如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，四边形ADEF 为平行四边形.（1）求证：//CE 平面ABF ；（2）若AB ⊥平面ADEF ，AF AD ⊥，1AF AD CD ===，2AB =，求：（ⅰ）二面角A BF C --的余弦值；（ⅱ）点D 到平面BCF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）66；66【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可；（2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，利用面面夹角及点面距离公式计算即可.【小问1详解】过C 作//CG AD 交AB 于G 点，因为//AB CD ，所以四边形ADCG 为平行四边形，则CG AD =，又四边形ADEF 为平行四边形，所以,//AD EF AD EF =，所以,//EF GC EF GC =，则四边形CEFG 为平行四边形，即//CE FG ，易知FG ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，所以//CE 平面ABF ；【小问2详解】因为AB ⊥平面ADEF ，,AD AF ⊂平面ADEF ，所以,AB AD AB AF ⊥⊥，又AF AD ⊥，所以,AD AB AF ,三条线两两垂直，即可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,0,1,1,1,0B F C ，所以()()1,1,0,1,1,1CB CF =-=-- ，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CB x y n CF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11,2x y z =⇒==，即()1,1,2n = ，（ⅰ）易知平面ABF 的一个法向量为()0,1,0AD = ，二面角A BF C --的一个平面角为锐角，设二面角A BF C --的一个平面角为α，则6cos 6AD n AD n α⋅===⋅ ；（ⅱ）易知 1, , ，则点D 到平面BCF的距离66DC n d n ⋅=== .19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右焦点为()2,0F，且过点(，直线l 过点F 且交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（ⅰ）求直线l 的方程.（ⅱ）若点()4,0P -，求ABP 的面积.【答案】（1）22184x y +=；（2）20x -=或20x +-=；【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可；（2）（ⅰ）先排除直线l 斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可.【小问1详解】根据题意有222222421a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解之得224,8b a ==，所以椭圆C 的方程22184x y +=；【小问2详解】（ⅰ）显然若l 斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；不妨设直线l 的方程为()2y k x =-，AB 的中点为C ，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，l 与椭圆方程联立有222280y kx k x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()2222128880k x k x k +-+-=，则212221228128812k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以2120002242,221212x x k k x y k x k k k+===⋅-=-++，易知20204111612CM y k k k k k x ⋅=-⇒⋅=-=---，解之得2k =±，即()222y x =±-，整理得直线l的方程为20x --=或20x +-=；（ⅱ）由弦长公式可知12 AB x=-==2211121211kk++===++，由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即d==，所以ABP的面积为1122d AB=⨯=.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，1AD=，12AB AA==，,,H F M分别是棱11C D，1BB，11B C 的中点.（1）判断直线1A M与平面1B HF的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线HF与平面1A MD所成角的正弦值；（3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面11A BCD，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）相交但不垂直，证明见解析；（2）73；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（3）假设存在点Q ，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,2,1,2,2,,2,2,0,1,2,1,2,12A B M H F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()111,2,0,0,0,1,1,1,12A M FB HF ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，设平面1B HF 的一个法向量为 ,䗘,䔹，则100m FB z m HF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取11,0x y z =⇒=-=，即 1,−1, ，则11155342cos ,34A M m A M m A M m ⋅===⋅ ，连接1A M 与1B H 交于N 点，即直线1A M 与平面1B HF 相交于N 点，则直线1A M 与平面1B HF 的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值53434；【小问2详解】由上知()111,0,2,,2,22DA DM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面1A MD 的一个法向量为 ,h, ，则12012202n DA a c n DM a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取41,2a b c =⇒==-，即()4,1,2n =- ，设直线HF 与平面1A MD 所成角为α，则7sin cos ,3HF n HF n HF nα⋅====⋅ ，即直线HF 与平面1A MD所成角的正弦值为3；【小问3详解】设存在Q 满足题意，不妨设[]()0,1HQ HFλλ=∈，则(),,HQ HF λλλλ==- ，易知()()10,2,2,1,0,0A B CB =-= ，设平面11A BCD 的一个法向量为(),,p r s t = ，则12200p A B s t p CB r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取10,1s r t =⇒==，即()0,1,1p = ，而()11,1,D Q D H HQ λλλ=+=+- ，所以点Q 到平面11A BCD的距离是1D Q p d p ⋅==≠ ，所以不存在.21.在平面直角坐标系xOy 中，O为坐标原点，)M，已知平行四边形OMNP 两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）过)M 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与动点P 的轨迹交于A 、B ，2l 与动点P 的轨迹交于点C 、D ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ；证明：直线EF 恒过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下，求四边形ACBD 面积的最小值．【答案】（1）221(0)4x y y +=≠（2）证明见解析，定点43(5（3）3225．【解析】【分析】(1)根据几何位置关系可得14PM PM +=，再根据椭圆定义求解；(2)利用韦达定理表示出,E F 坐标，从而表示出EF 的直线方程即可求解；(3)利用韦达定理表示出弦长,AB CD ，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.【小问1详解】取点1(M ，则有1M O PN ∥，所以四边形1M ONP 是平行四边形，所以1PM ON =，因为4PM ON +=，所以14PM PM +=，所以动点P 的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以24a =，c =，所以2221b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为221(0)4x y y +=≠．【小问2详解】当1l 垂直于x 轴时，AB 的中点E ，直线2l 为x 轴，与椭圆221(0)4x y y +=≠，无交点，不合题意，当直线1l 不垂直于x 轴时，不妨设直线1l 的方程为(0)y k x k =≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)1240k x x k +-+-=，所以△22222()4(41)(124)16(1)0k k k =--+-=+>，所以21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以31212228323()1414y y k x x k k-+=+-=-=++，所以222433(,)4141E k k ++，因为12l l ⊥，以1k -代替k ，得22433(,)44F k k ++，所以直线EF 的斜率为22222335441(1)4(1)4343441EFk k k k k k k k +==≠±-++，所以直线EF的方程为22225(1)414(1)41k y x k k k k +=-≠±+-+，由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x 轴上，令0y =，则22225()414(1)41k x k k k =-+-+，所以22221)5(41)5(14)5k x k k ++===++，所以直线EF 恒过定点43(5，当1k =±时，433()55E ，433()55F ，所以直线EF 恒过定点43(5，综上所述，直线EF 恒过定点43(5．【小问3详解】由（2）得21228341x x k +=+，212212441k x x k -=+，所以||AB =224(1)41k k +==+，同理可得224(1)||4k CD k +=+，所以四边形ACBD 的面积222218(1)||||2(41)(4)k S AB CD k k +==++，令21t k =+，则1t >，所以2222288889933(43)(3)4994()34t t S t t t t t t t t ====-++--++-+⋅+，因为1t >，所以303t<<，当332t =，即1k =±时，23325()344t t -+⋅+≤，所以min 3225S =，所以四边形ACBD 的面积最小值为3225．。
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
首都师大附中2024－2025学年第一学期期中练习高二数学第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 已知向量(3,2,4)m =−，(1,3,2)n =−−，则||m n +=A. B. 8 C. 3 D. 9 答案：C2. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是 A. 7a =−，7b =−B. 7a =−，72b =−C. 72a =−，7b =D. 72a =−，7b =−答案：D3. 在平行六面体1111ABCD A B C D −中，若1123AC a AB bAD cA A =++，则abc 的值等于 A. 16B. 56C. 76D. 16−答案：D4. 方程2220x y ax by c ++−+=表示圆心为(2,2)C ，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为 A.4,2,4 B.4,2,4− C.4,2,4−−D.4,2,4−−答案：B5. 已知,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若//,//a a b α，则//b α B. 若//,//a a αβ，则//αβ C. 若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥D. 若,a b αα⊥⊥，则//a b答案：D6. 若直线1:310l ax y ++=与2:2(1)10l x a y +++=互相平行，则实数a 的值是 A.3−B. 2C.3−或2D.3或2−答案：A7. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点E 、F ，1F ，1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为A.32B.74C. 2D.94答案：D8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A.101− B.251−C.25D.10答案：B9. 已知动直线l 与圆O ：2216x y +=交于A ,B 两点，且120AOB ︒∠=.若l 与圆22(2)25x y −+=相交所得的弦长为t ，则t 的最大值与最小值之差为A.1B.2C.3D.4 答案：D10. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，曲线W 的方程是22||1x y y ++=，P 为W 上的任意一点．给出下面四个命题：①曲线W 上的点关于x 轴，y 轴对称；②曲线W 上两点间的最大距离为22；③||OP 的取值范围为1[,1]2； ④曲线W 围成的图形的面积小于23．则以上命题中正确命题为A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④答案：BBAC1B 1A 1C BAC1B 1A 1C E F1E 1F 甲 乙第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11．直线:10l x −=的倾斜角为______，经过点且与直线l 垂直的直线方程为______． 答案：56π ；y =12. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面1A DB的距离为3的一个顶点为______. 答案：A （答案不唯一）13. 直线l 过点(4,0)−且与圆22(1)(2)9x y ++−=相切，那么直线l 的方程为______. 答案：4x =−或512200x y ++=14. 设m ∈R ，过定点M 的直线1:310l x my m +−−=与过定点N 的直线2:310l mx y m −−+=相交于点P ，则点M 坐标为______，||||PM PN +的最大值为______. 答案：（1,3）；415. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D −所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN的距离是2； ③存在点P ，使得1190=B PD ∠︒； ④1PDD ∆面积的最小值是6． 其中所有正确结论的序号是______． 答案：①③B 1三、解答题（本大题共4小题，共70分）16. 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱1111ABCD A B C D −中，AD //BC ，AD AB ⊥，AB =．2AD =，4BC =，12AA =，点E 是1DD 的中点，点F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点．（Ⅰ）证明：EF //11A D ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值．16. （1）证明1111//C B A D ，11C B ⊂/平面11ADD A ，11//C B ∴平面11ADD A ， …………2分又11C B ⊂平面11B C EF ，平面11B C EF ⋂平面11ADD A EF =，11//C B EF ∴， …………4分 11//EF A D ∴； …………5分（2）解：设1BA 与1B F 交点为H ，连接1C H ，1BB ⊥平面1111A B C D ， 111BB B C ∴⊥，又1111B C B A ⊥，111B A B B ⊂，平面11AA B B 1111B A B B B =11B C ∴⊥平面11ABB A ， …………7分 111B C BA ∴⊥， …………8分在矩形11ABB A 中，F 是1AA 的中点，111tan tan 2A B F AA B ∠=∠=，即111A B F AA B ∠=∠，故1B 1A 1C 1D BACD EF11BA B F ⊥． …………9分又1111B C B F B =所以1BA ⊥平面11B C EF ； …………11分 可知1BA ⊥平面11B C EF ，所以1BC H ∠是1BC 与平面11B C EF 所成的角． …………12分 在矩形11AA B B中，AB =12AA =，得BH =， …………13分在1RT BHC ∆中，1BC =11sin BH BC H BC ∠== …………14分 所以1BC 与平面11B C EF． …………15分 法二因为B 1B ⊥平面A 1D 1C 1B 1，A 1B 1,B 1C 1包含于平面A 1D 1C 1B 1，所以B 1B ⊥A 1B 1，B 1B ⊥B 1C 1 …………7分 以B 1为原点，B 1A 1，B 1C 1，B 1B 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系 B(0,0,2)，C 1(0,4,0)，E(√2,2,1)），，（），，，（），，，（240BC 122E B 040C B 1111−=== …………9分 设平面11B C EF 的法向量）（z y x n ,,= ⎩⎨⎧=++=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02204,0E B 0C B 111z y x y n n …………11分 取）（2,0,2−=n …………12分 ||||,cos 111C B n C B n C B n >=< 1530=…………14分 所以1BC 与平面11B C EF． …………15分17. 已知圆C 过原点O 和点(1,3)A ，圆心在x 轴上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 经过点(1,1)，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程．（Ⅲ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．解：（1）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ， …………1分依题意得=，解得5a =，从而圆C 的半径为5r ==， …………4分 所以圆C 的方程为22(5)25x y −+= …………5分 （2）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为4， 当直线方程l 为1x =时，易得弦长为6，所以直线1x =符合题意； …………7分 当直线l 的斜率存在时，设其方程为1(1)y k x −=−，即10kx y k −−+=，由题所以圆心C 到此直线的距离为d =， …………9分因为截得的弦长为6，由垂径定理知2223r d =+即4=d 故4=，解得158k =， …………11分所以直线l 的方程为15870x y −−=； …………12分 综上，直线l 的方程为1x =或15870x y −−=．（3）设0(M x ，0)y ，(,)Q x y ，则0(N x ，0)，且2200(255)x y −+= …………14分OQ OM ON =+，(x ∴，0)(2y x =，0)y ， 即00,2xx y y ==…………17分故22(5)25(0)2x y x −+=≠，故点Q 的轨迹方程为222040(0)x x y x −+=≠． …………20分18. 图1是边长为2的正方形ABCD ，将ACD ∆沿AC 折起得到如图2所示的三棱锥P ABC −，且2PB =.（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）棱PA 上是否存在一点M ，使得二面角M BC A −−的余弦值为539，若存在，求出AMAP 的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：取AC 的中点O ，连接,OB OP ， ………………1分 在正方形ABCD 中，1OB OD OP ===，并且,OB AC ⊥ 在OBP 中，222PB OP OB =+，所以OB OP ⊥. ………………3分 因为,,OP AC O OP AC ⋂=⊂平面PAC ，所以OB ⊥平面,PAC ………………5分 而OB ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ； ………………6分 （2）解：存在点M ，当13AM AP =时，满足题意，理由如下： 因为,,OB OA OP 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −, ………………7分BACDBACPM图1 图2则(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)A P B C −， 因为OP ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1),OP = ………………8分 假设存在满足题意的点M ，且(01)AM AP λλ=≤≤， ………………9分 则(0,1,)M λλ−，设平面MBC 的法向量为(,,)n x y z =，则有0(2)0n CB x y n CM y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩ 不妨设y λ=−，得(,,2)n λλλ=−−， ………………11分 所以||53|cos ,|9||||OP n OP n OP n ⋅〈〉==⋅ ………………12分 两边平方，整理得2610λλ+−=，解得13λ=或12λ=−（舍）， ………………14分 因此，存在点M ，只需13AM AP =即可. ……………………15分19. 设正整数4n ，若由实数组成的集合{}12,,,n A a a a =满足如下性质，则称A 为n H 集合：对A 中任意四个不同的元素,,,a b c d ，均有.ab cd A +∈（Ⅰ）判断集合110,,1,22A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭和21,1,2,33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是否为4H 集合，说明理由；（Ⅱ）若集合{}0,,,A x y z =为4H 集合，求A 中大于1的元素的可能个数； （Ⅲ）若集合A 为n H 集合，求证：A 中元素不能全为正实数.19. 解：(1)集合110,,1,22A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是4H 集合， …………2分 当1{,}{0,}2a b =，{,}{1,2}c d =时，1101222A ⨯+⨯=∈； 当{,}{0,1}a b =，1{,}{,2}2c d =时，1101212A ⨯+⨯=∈；当{,}{0,2}a b =，1{,}{,1}2c d =时，11102122A ⨯+⨯=∈； …………3分集合21,1,2,33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭不是4H 集合， …………5分 取1,1,2,33a b c d ====，则211912333ab cd A +=⨯+⨯=∉，不满足题中性质. …………6分 (2)当{,}{0,},{,}{,}a b z c d x y ==时，ab cd xy A +=∈，当{,}{0,},{,}{,}a b x c d z y ==时，ab cd yz A +=∈，当{,}{0,},{,}{,}a b y c d z x ==时，ab cd xz A +=∈，所以{}{},,,,.x y z xy yz xz = 不妨设x y z <<，①若0x y z <<<，因为0yz >，从而yz A ∉，与yz A ∈矛盾； ②若0x y z <<<，因为xz yz xy <<，故,,xz x yz y xy z ===， 所以1, 1.z xy ==经验证，此时1,,0,1A x x⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是4H 集合，元素大于1的个数为0； …………9分 ③若0x y z <<<，因为0xz xy <<，所以与{}{},,,,x y z xy yz xz =矛盾； ④若0x y z <<<，因为xy xz yz <<，故,,xy x xz y yz z ===， 所以11, 1.y z x==> 经验证，此时10,,1,A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是4H 集合，元素大于1的个数为1； …………11分 综上：A 中大于1的元素的可能个数为0,1. …………13分(3)假设集合A 中全为正实数.若A 中至少两个正实数大于1，设120n a a a <<<<，则11n n a a −>>，取321{,}{,},{,}{,}n n n n a b a a c d a a −−−==，则321n n n n ab cd a a a a A −−−+=+∈， 而3211n n n n n n n a a a a a a a −−−−+>>，从而321n n n n a a a a A −−−+∉，矛盾； 因此A 中至多有1个正实数大于1. 当4n =时，设1234a a a a <<<， 若123401a a a a <<<<，当1234{,}{,},{,}{,}a b a a c d a a ==时，1234ab cd a a a a A +=+∈， 当1324{,}{,},{,}{,}a b a a c d a a ==时，1324ab cd a a a a A +=+∈， 当1423{,}{,},{,}{,}a b a a c d a a ==时，1423ab cd a a a a A +=+∈，由于()()()()()()1234132443213241320a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，()()()()()()1324142324314343210a a a a a a a a a a a a a a a a a a +−+=−−−=−−>，所以1234132414231a a a a a a a a a a a a a +>+>+>， 所以123441324314232,,.a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+= 因为3101a a <−<，所以()()()()4212341423431231a a a a a a a a a a a a a a a a −=+−+=−−−()()423142a a a a a a =−−<−，矛盾.因此当4n =时，12340,,, 1.a a a a < …………17分 当5n 时，集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1， 设{}{}j ,,1,2,,,i S t t a a i j n i j ==−∈≠，因为S 是有限集，设s r minS −=，其中,,.r s A r s ∈< 又因为集合A 中至少有4个不同的正实数不大于1，所以1s r −<，且存在,p q A ∈，且1,1p q 使,,,p q r s 互不相同， 则01p q <−<，当{,}{,},{,}{,}a b r p c d s q ==时，ab cd rp sq A +=+∈， 当{,}{,},{,}{,}a b s p c d r q ==时，ab cd sp rq A +=+∈，于是()()()()()()rp sq sp rq p r s q r s p q s r s r +−+=−−−=−−<−，与s r minS −=矛盾.因此，A 中元素不能全为正实数. …………20分。
北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。
重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
重庆市高2026届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）2024.11注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A.a b a b+- B.a b a b-+ C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可.【详解】由题意可知，斜率()()1a b a bk a c b c a b--===+-+-，故选：C.2.若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A.4B.4- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的方向向量平行于平面的法向量，即可求解.【详解】由直线l 与平面α垂直，故直线l 方向向量(),2,1x 与平面α的法向量()4,4,2n =--平行，设()()4,4,2,2,1x λ--=，即4422xλλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩.故选：D.3.圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A.22220x y x y ++-= B.22220x y x y +-+=C.22220x y x y +--= D.222210x y x y ++-+=【答案】B 【解析】【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.【详解】由题意知，()0,0在圆上，圆心为(1,1)-，所以圆的半径r ==，所以圆的标准方程为()()22112x y -++=，则一般方程为：22220x y x y +-+=，故选：B.4.椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长【答案】A 【解析】【分析】先将方程化为标准方程，再根据离心率，焦点。
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高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟 总分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ ） A.501003 B. 120 C. 150 D. 110032.在ABC ∆中，“ABC ∆是直角三角形”是“0AB AC =”的 （ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花 费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经 检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于 加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量,下列判断正确的是 ( ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2,,⋅⋅⋅ 960，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，落入区间[451,750]的做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为 （ ）A. 7B. 9C. 10D. 155. 下列命题错误的是 ( )A ．对于命题 p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥ B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C ．若p q ∨是假命题，则q p ,均为假命题D ．命题“若2320x x -+=则1x =”是正确的6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ，离心率等于32，则C 的方程为 （ ）A. 2214x -=B. 22145x y -=C. 22125x y -=D. 2212x =7. 已知平面α的一个法向量是(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A -在α内，则(2,1,4)P -到α 的距离是 （ ） A 、103B 、8C 、3D 、10 8. 如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中, M 为11A C 与11B D 的交点.若1,,AB AD AA ===a b c ,则下列向量中与BM 相等的向量是 ( )A. 1122-++a b cB. 1122++a b c C ．1122--+a b c D. 1122-+a b c9. 已知点(2,0)A ,抛物线2:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN 等于 ( )A. 251:2 C. 51:310. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A B 、 两点，若AB 的中点坐标为11-（，），则E 的方程为 （ ）A. 2214536x y +=B. 2213627x y +=C. 2212718x y +=D. 221189x y +=11. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是 （ ） A.45 B. 35 C. 25 D. 1512. 过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P ，作两条直线分别交抛物线于),(11y x A ),(22y x B ．当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，21y y y +的值为 （ ） A.21- B.2- C.2 D.无法确定二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.) 13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩 的众数是 .14. 在长为5cm 的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 .15.如图所示,二面角l αβ--为60︒, A B ,是棱l 上的点,AC BD ,分别在半平面αβ,内, AC l BD l ⊥⊥,， 且 2AB AC a BD a ===,,则CD 的长为 .16. 已知线段AB 为双曲线2222:1x y C a b-=的实轴,点D 在双曲线上,且34DBA π∠=,若4,AB =42BD =则双曲线C 的离心率是 .三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题:,p x R ∃∈使得220x x m -+<,命题:q 方程22112x ym m+=+-表示双曲线.(Ⅰ)写出命题p 的否定形式;(Ⅱ)若命题p 为假,命题q 为真,求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，,,D E F 分别为 棱11,,AB BC AC 的中点. (1)证明//EF 平面1A CD ；(2)求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.频率组距FEC 1B 1A CB19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为,,x y z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点，离心率为12，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.(1) 求椭圆的方程；(2)若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形,//AB CD ,对角线AC 与BD 交于点O ,3,1,OA OD CD == SO ⊥底面ABCD .(Ⅰ)求证:SA BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥S ABCD -的体积8V =,求二面角A SB C --的平面角的正弦值.OSDCBA22.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线1//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ， （i ）证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ii ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.数学试卷答案时量：120分钟 总分：150分 命题人：一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ A ） A. 501003 B. 120 C. 150 D. 110032.在ABC ∆中， “ABC ∆是直角三角形”是“0AB AC =”的 （ B ） A ．充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量,下列判断正确的是 ( B ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,⋅⋅⋅960，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的 人做问卷A ，落入区间[451,750]的做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为 （ C ）A. 7B. 9C. 10D. 155. 下列命题错误的是 ( D )A ．对于命题 p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥ B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C ．若p q ∨是假命题，则q p ,均为假命题D ．命题“若2320x x -+=则1x =”是正确的6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ，离心率等于32，则C 的方程（ B ）A. 2214x -=B. 22145x y -=C. 22125x y -=D. 2212x =7. 已知平面α的一个法向量是(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A -在α内，则(2,1,4)P -到α的距离是 （ A ） A 、103C 、3 B 、8 A 、10 8. 如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中, M 为11A C 与11B D 的交点.若1,,AB AD AA ===a b c ,则下列向量中与BM 相等的向量是 ( A )A. 1122-++a b cB. 1122++a b c C ．1122--+a b c D. 1122-+a b c9. 已知点(2,0)A ,抛物线2:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN 等于 ( C )A. 2:51:2 C. 51:310. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A B 、两点，若AB 的中点坐标为11-（，），则E 的方程为 （ D ）A. 2214536x y +=B. 2213627x y +=C. 2212718x y +=D. 221189x y +=11. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是 （ C ） A. 45 B. 35 C. 25 D. 1512. 过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P ，作两条直线分别交抛物 线于),(11y x A ),(22y x B ．当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则21y y y +的值为（ B ）A.21-B.2-C.2D.无法确定 二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)13. 如图是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的众数是75 .14.在长为5cm 的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 0.6 .15.如图所示,二面角l αβ--为60︒, A B ,是棱l 上的点, AC BD ,分别在半平面αβ,内, AC l BD l ⊥⊥,， 且2AB AC a BD a ===,,则CD 的长为 2a .16. 已知线段AB 为双曲线2222:1x y C a b-=的实轴,点D 在双曲线上,且34DBA π∠=,若4,AB =42BD =则双曲线C 的离心率是 62.三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题:,p x R ∃∈使得220x x m -+<,命题:q 方程22112x ym m+=+-表示双曲线.(Ⅰ)写出命题p 的否定形式;(Ⅱ)若命题p 为假,命题q 为真,求实数m 的取值范围. 【解】(Ⅰ)命题p 的否定形式::p x R ⌝∀∈,都有220x x m -+≥.………………………………………………………5分(Ⅱ)由p 为假,即p ⌝为真,所以440m ∆=-≤,即1m ≥; 又命题q 为真,则有(1)(2)0m m +-<,即1m <-或2m >;所以p 假、q 真时,2m >,即求.………………………………………………………10分频率组距18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.(1)证明//EF 平面1A CD ；(2)求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.解析：（1）连接ED ,易知1//A F ED 且1A F ED =，所以1A FED 是平行四边形，所以1//FE A D ，又FE 在平面1A CD 外，所以//EF 平面1A CD ； …………………6分 （2）5…………………12分19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为,,x y z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率. 解析：（1）123454,4,6,3,4,S S S S S =====6789105,4,5,3,5S S S S S =====0.6p = …………………………5分（2）①该样本中一等品中，随机抽取2件产品的所以可能结果为1214{,},{,},A A A A1517192425272945{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A A A 47{,},A A 49575979{,},{,},{,},{,}.A A A A A A A A …………………………8分②这批样品中综合指标为4有1257,,,A A A A ，则事件B 发生的可能结果为12{,},A A 1517252757{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A 共6种，62()155P B == ……………12分 B 1FC 1A 1C EBDA20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为12，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. (1) 求椭圆的方程；(2)若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程. 解答：（1）根据题意，b =……………………1分又离心率12e ==，所以2a =…………………………………………………3分所以椭圆的方程为22143x y += ……………………………………………………5分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线l 与椭圆的方程可得2230x mx m -+-=，21212,3x x m x x m +==- ………………………………………6分因此12|||AB x x =-=………………………………7分根据垂径定理，可得，||CD ==8分由已知||||AB CD =4=…………………………………10分解得m =l的方程为12y x =-±………………………………12分21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形,//AB CD ,对角线AC 与BD 交于点O,3,1,OA OD CD === SO ⊥底面ABCD .(Ⅰ)求证:SA BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥S ABCD -的体积8V =,求二面角A SB C --的平面角的正弦值.【解】(Ⅰ)证明 在等腰梯形ABCD 中,知1OD OC ==,又CD =所以222OD OC CD +=,故90DOC ∠=, 即BD AC ⊥,又SO ⊥底面ABCD ,得BD SO ⊥, 且SOAC O =,所以BD ⊥面SAC ,即BD SA ⊥.………………………………………5分(Ⅱ)由1144822ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=梯形, 于是183ABCD V S SO ==⨯⨯梯形,得3SO =.法一 由,,OS OA OB 两两垂直,故以O 为原点, 分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建系如图;则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(1,0,0),O A B C S -, (3,0,3),(0,3,3),(1,0,3)SA SB SC =-=-=--, 设平面ASB 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0SA SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得330,330x z y z -=⎧⎨-=⎩,令1z =,得1x y ==,即1(1,1,1)=n同理可得平面SBC 的一个法向量为2(3,1,1)=-n ,设二面角A SB C --的平面角为θ,则12|cos ||cos ,|θ=<>==n n ,故sin θ==分法二 过点O 作OH SB ⊥于点H ,连接,AH CH ,则 由,,AC BD AC SO SOBD O ⊥⊥=知AC ⊥面SBD ,所以,BD AH BD CH ⊥⊥(三垂线定理) 所以AHC ∠为二面角A SB C --的平面角.由等面积知2OS OB OH SB ⋅==,故AH ==CH ==由余弦定理有222cos 2AH CH AC AHC AH CH +-∠=⋅,即sin AHC ∠即求.22.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线1//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ， （i ）证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ii ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 解析：：(1)由题意知(,0)2pF 当点A 的横坐标为3时，不妨设设A ，则A点的纵坐标为)2p - (2))2p =-，2p = （18p =舍去） 所以抛物线C 的方程为24y x = …………………4分(2)①证明：由(1)知(1,0)F ．设()0000()(0)(0)0D D A x y x y D x x ≠>，，，因为FA FD =，则0|1|1D x x =－＋， 由0D x >得02D x x =＋，故0(20)D x ＋，． 故直线AB 的斜率02AB y k =-…………5分 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880by y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =- ………………6分 设()E E E x y ，，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E AEE y y y y y k y x x y y +-===---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--， ………………7分 由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点F (1，0)．当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ．所以直线AE 过定点(1,0)F ………………8分 ②由①知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++. 设直线AE 的方程为1x my =+， 因为点00(,)A x y )在直线AE 上， 故001x m y -=. ………………9分设11(,)B x y ．直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--，由00y ≠，得0022x y x y =-++ 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=，所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，10044x x x =++. ………………10分所以点B 到直线AE 的距离为0048|4()1|x m y d ++++-===则ABE ∆的面积00112162S x x =⨯++≥ 当且仅当001x x =，即01x =时，等号成立． 所以ABE ∆的面积的最小值为16. ……………12分。