高一数学函数的最值

第八课时 函数的最值 【学习导航】

知识网络

学习要求

1．了解函数的最大值与最小值概念；

2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；

3．能求一些常见函数的最值和值域．

自学评价

1．函数最值的定义：

一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．

若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；

若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；

2．单调性与最值：

设函数()y f x =的定义域为[],a b ，

若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ；

若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ．

【精典范例】

一．根据函数图像写单调区间和最值：

例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．

【解】

由图可以知道：

当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-；

当3x =时，函数取得最大值为3；

函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)；

该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7)

二．求函数最值：

例2：求下列函数的最小值：

（1）22y x x =-；

（2）1()f x x =

，[]1,3x ∈． 【解】

（１）222(1)1y x x x =-=--

∴当1x =时，min 1y =-； （２）因为函数1()f x x =

在[]1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得最小值为

13

．

追踪训练一

1. 函数0)>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4

()B 4-

()C 与m 的取值有关 ()D 不存在

2. 函数2()2f x x x =-++的最小值是 ０ ，最大值是

32

． 3. 求下列函数的最值：

(1)4

()1,{1,0,1,2}f x x x =+∈-；

(2)()35,[3,6]f x x x =+∈

析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．

解：(1)(1)(1)2f f =-=;(0)1f =;(2)17f =

所以当0x =时，min 1y =；当2x =时，max 17y =；

(2)函数()35f x x =+是一次函数，且30>

故()35f x x =+在区间[3,6]上是增函数

所以当3x =时，min 14y =；

当6x =时，max 23y =；

【选修延伸】

含参数问题的最值：

例３: 求2()2f x x ax =-，[0,4)x ∈的最小值．

【解】

22()()f x x a a =--，其图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线．

①若0a ≤，则()f x 在[0,4)上是增函数，∴[]min ()(0)0f x f ==；

②若04a <<，则[]2min ()()f x f a a ==-；

③若4a ≥，则()f x 在[0,4)上是减函数，∴()f x 的最小值不存在．

点评:

含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！

思维点拔：

一、利用单调性写函数的最值？

我们可以利用函数的草图，如果函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递增的，在[,]b c 上是单调递减的，则该函数在区间[,]a c 上的最大值一定是在x b =处取得；同理，若函数在区间[,]a c 上是图像连续的，且在[,]a b 是单调递减的，在[,]b c 上是单调递增的，则该函数在区间[,]a c 上的最小值一定是在x b =处取得．

追踪训练

１．函数)

1(11)(x x x f --=的最大值是 ( D)

()A 54 ()B 45 ()C 43 ()D 3

4 2. y=x 2+12-x 的最小值为( C )

A.0

B.43

C.1

D 不存在. 3. 函数2()21(0)f x ax ax a =++>在区间[3,2]-上的最大值为4，则a =____38

____． 4.函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 . 5．已知二次函数2

()21f x ax ax =++在[]3,2-上有最大值4，求实数a 的值．

解：函数2

()21f x ax ax =++的对称轴为1x =-， 当0a >时，则当2x =时函数取最大值4，即814a +=即a =

当0a <时，则当1a =-时函数取得最大值4，即14a -=所以，38a =或3a =-。

第8课 函数的最值

分层训练

1．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则 （ ）

A ．21

->k B ．21

-

C ．0>b

D ．0>b

2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内 （

）

A ． 至少有一实根

B ． 至多有一实根

C ．没有实根

D ．必有唯一的实根

3．已知f(x)=8+2x －x 2,如果g(x)=f( 2－x 2 ),那么g(x) （ ）

A ．在区间(－1,0)上是减函数

B ．在区间(0,1)上是减函数

C ．在区间(－2,0)上是增函数

D ．在区间(0,2)上是增函数

考试热点

4．函数22[0,2]

()2[3,0)x x x f x x x ⎧-∈=⎨∈-⎩的最小值是 ． 5－x -1 的最大值为_____.最小值为_____.

6，单调递减区间为 ，最大值为 .

7．(1) (2)

8．已知函数22(),[1,)x x a

f x x x ++=∈+∞．

（1）当0.5a =时，求函数()f x 的最小值；

（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．