初二图形的翻折专题
初中几何翻折变换问题题型梳理
翻折问题题型梳理折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
我们一起来探这类题目如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3解：由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．解：由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE +EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．策略：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
圆中的重要模型之翻折(学生版)-初中数学
圆中的重要模型之翻折模型圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。
翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。
这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)【知识储备】1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折(即等圆相交)：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)1)条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA2)条件：特别地，弧BC 折叠后过圆心，结论：CD =CA ，∠CAB =60°1)证明：如图，设折叠后的BDC所在的圆心是G ，连接AC ，CD .由题意得(折叠)：BC =BDC ，即：BC =BD +DC ，∴∠CAB =∠DCB +∠CBD ，∵∠CDA =∠DCB +∠CBD ，∴∠CAB =∠CDA ，∴CD =CA 。
2)证明：如图，连接AC ，CD ，CO ；由1)中证明知：CO =CA ，∵OA =OC ，∴CO =CA =OA ，∴△OAC 为等边三角形，∴∠CAB =60°。
1.(23-24九年级上·浙江台州·阶段练习)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折，交AB 于点D (不与点O 重合)，连结CD ．若∠BAC =24°，则∠ACD 的度数为()A.44°B.46°C.48°D.42°2.(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB =8，CD 为AB 边上的中线，将BC 沿BC 翻折后刚好经过点D ，若已知⊙O 的半径为25，则BC 的长是()A.43B.62C.65D.533.(2023·山西吕梁·模拟预测)如图，AC 是半圆O 的一条弦，以弦AC 为折线将弧AC 折叠后过圆心O ，⊙O 的半径为2，则圆中阴影部分的面积为()A.23B.2π-3C.3D.3+14.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)如图，将⊙O 上的BC �沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD �沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE .若AD =2OD ，则DE AB 的值．5.(2024·陕西西安·模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 为AB 的中点，将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合．点D 为优弧AB 上一点连接BD 、CD 、BC ．若∠BCD =45°，AB =23，则CD =()A.6+2B.23C.1+23D.326.(2023春·江苏盐城·九年级校考期末)如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD，EO．则EO的最小值为．7.(23-24九年级上·浙江金华·期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．8.(2023·安徽淮南·一模)如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC 沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为；(2)如图②，将BC 沿弦BC翻折，交AB于D，把BD 沿直径AB翻折，交BC于点E．(Ⅰ)若点E恰好是翻折后的BD 的中点，则∠B的度数为；(Ⅱ)如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．1.(2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，将劣弧AC沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若AC =6，∠C =60°，则⊙O 的半径长为()A.137B.237C.1321 D.23212.(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是()①AC =CD ；②AD =BD ；③AC +BD =BC ；④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.43.(2022春·福建福州·九年级校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE =DE ，则∠BCD 的度数是()A.22.5°B.30°C.45°D.60°4.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)若直角三角形中两直角边之比是1:22，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是⊙O上半圆上一点，将⊙O沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若△ABC是完美三角形，则BD:AD为()A.3:1B.22:1C.3:22D.7:25.(2022春·九年级课时练习)如图，已知半圆O的直径AB=8，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是()A.7B.6C.5D.46.(2023·河南周口·统考二模)如图①，AB为半圆O的直径，点C在AB 上从点A向点B运动，将BC 沿弦BC，翻折，翻折后BC 的中点为D，设点A，C间的距离为x，点O，D间的距离为y，图②是点C运动时y 随x变化的关系图象，则AB的长为．7.(2023·北京·统考二模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB=°．8.(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与CB 相交于点D ．若CD =13BD ，则∠ACD =．9.(2023·浙江宁波·校考一模)如图，⊙O 的半径为4．将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ．则这条劣弧的弧长为．10.(2023春·广西·九年级专题练习)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG :OC =3:5，AB =8，点E 为圆上一点，∠ECD =15°，将CE沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，图中阴影部分的面积=．11.(2023秋·四川南充·九年级统考期末)如图，在⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 折叠得弧AmB ，P 是弧AmB 上一动点，过点P 作弧AmB 的切线与⊙O 交于C ，D 两点，若⊙O 的半径为13，AB =24，则CD 的长度最大值为．12.(2024·浙江杭州·九年级校考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，则∠BAC的度数为；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=16°，则∠DCA的度数为．13.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，C是半圆上一点，AB是直径，将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿BD翻折交BC于点E，若E是弧BD的中点，AD=2，则阴影部分面积为．14.(2024·浙江金华·九年级校考期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．15.(2023·河北张家口·校考模拟预测)如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，AB=4，BC=a，以AB为直径在AB的上方作半圆O，交AD于点E，P为AB 上一动点(不与点A，B重合)，将半圆O沿BP折叠，得到点A的对称点A ，点O的对称点O ．(1)当点O 在半圆O 上时，∠ABA 的度数为；(2)如图2，连接BD ，BP 与AE 交于点F ．已知P A ∥BD ，且a =22+26．①求BD 的长度及EF BF 的值；②求阴影部分的面积；(3)点P 在AB 上运动过程中，当直线DC 能与A P 所在的圆相切时，直接写出a 的取值范围．16.(2023·河北承德·九年级校考期末)如图，⊙O 的直径AB =4，AC 是弦，沿AC 折叠劣弧AC，记折叠后的劣弧为AmC ．(1)如图1，当AmC 与AB 相切于A 时．①为画出AmC 所在圆的圆心P ，请选择你认为正确的答案．甲：在AmC 上找一点E ，连AE 、CE 并分别作它们的中垂线，交点为P ；乙：分别以A 、C 为圆心，以AO 为半径作弧，除O 外两弧另一个交点即为圆心P ．A.甲正确B.乙正确C.甲乙都正确D.都不正确②选择合适的方法做出圆心P ，求AC 的长；直接写出此时∠CAO 的度数．(2)如图2，当AmC经过圆心O 时，求AC 的长；(3)如图3，当AmC 覆盖圆心且与直径交于点D ，若∠CAO =25°，直接写出∠ACD 的度数．17.(2023·广东汕头·九年级校考期中)如图，在⊙O中，点C、D在AB 上，将BC 沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．(1)证明：AC=EC；(2)连接AD，若CE=5，AD=8，求⊙O的半径．18.(2023·江苏扬州·九年级统考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r．(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，请直接写出∠DCA的度数是．(3)如图2，若点D与圆心O不重合，BD=5，AD=7，求AC的长．。
初中几何翻折问题总结
初中几何翻折问题总结几何翻折问题是初中数学中较为有趣且富有挑战性的部分。
通过对几何图形的翻折，我们可以培养空间想象能力和逻辑思维能力。
本文将对初中阶段的几何翻折问题进行总结，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、翻折问题基本概念1.翻折：将一个几何图形沿着某条线（折痕）翻转到另一个位置，使得翻折前后的图形完全重合。
2.折痕：翻折过程中，图形沿着某条线折叠，这条线称为折痕。
3.对称轴：翻折过程中，图形两侧关于折痕对称的直线称为对称轴。
二、翻折问题类型及解题方法1.点的翻折（1）问题：已知点A关于直线l翻折得到点A"，求点A"的坐标。
（2）解题方法：利用对称性，找到点A关于直线l的对称点A"，根据对称点的性质求解。
2.线段的翻折（1）问题：已知线段AB关于直线l翻折得到线段A"B"，求线段A"B"的长度及位置关系。
（2）解题方法：利用对称性，找到线段AB关于直线l的对称线段A"B"，根据对称线段的性质求解。
3.角的翻折（1）问题：已知角∠ABC关于直线l翻折得到角∠A"B"C"，求角∠A"B"C"的大小及位置关系。
（2）解题方法：利用对称性，找到角∠ABC关于直线l的对称角∠A"B"C"，根据对称角的性质求解。
4.几何图形的翻折（1）问题：已知几何图形ABC关于直线l翻折得到几何图形A"B"C"，求几何图形A"B"C"的面积、周长等。
（2）解题方法：利用对称性，找到几何图形ABC关于直线l的对称图形A"B"C"，根据对称图形的性质求解。
三、翻折问题注意事项1.注意翻折过程中图形的形状、大小、位置关系的变化。
2.熟练掌握对称点的性质，如：对称点关于对称轴的距离相等、对称点连线的延长线交于对称轴等。
八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析
八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析work Information Technology Company.2020YEAR八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE ⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH ＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝2．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE 折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。
八年级初二数学 图形的对称-翻折变换(折叠问题) 含答案
图形的对称-翻折变换（折叠问题）一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2 C．2D．122．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：213．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：85．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．68．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．2411．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+515．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．616．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．1918．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．220．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．623．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1226．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．1227．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.529．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③S△DGF=120；④S△BEF=．其中所有正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．130．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8，CD=6，则CF的长为（）A．B．C．2 D．1图形的对称-翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）A．1 B．2C．2D．12【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质．【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解答】解：∵菱形AECF，AB=6，∴假设BE=x，∴AE=6﹣x，∴CE=6﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=6﹣x，解得：x=2，∴CE=4，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===2，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．2．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×=，然后求出两面积的比．【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，∴AB==10，∵把△ABC沿DE使A与B重合，∴AD=BD，EA=EB，∴BD=AB=5，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣x=8﹣=，∴S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，∴ED==，∴S△BDE=BD•DE=×5×=，∴S△BCE：S△BDE=：=14：25．故选B．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．3．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在Rt△ABC中，设AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折叠的性质知：DE=CE，可设出DE、CE的长，然后表示出AE的长，进而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE 的正弦值．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，设AB=2a，∴AC=a，BC=a；∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB=2a；设DE=EC=x，则AE=2a﹣x；在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；∴AE=，EC=，∴sin∠ACE==．故选：B．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4．图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先求出△BDP的面积，进而求出△DPC的面积；借助三角形的面积公式求出的值；由旋转变换的性质得到AB=PB，即可解决问题．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；由题意得：S△ABD=S△PBD=30，∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，∴=，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的方法是作高线，表示出三角形的面积；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、推理或解答．5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2=90°；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．【分析】根据翻折变换的性质、相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，∠AEB+∠FEC=×180°=90°，则∠AEF=90°，即∠2=90°，①正确；由图形可知，∠1＜∠AEC，②错误；∵∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，又∠1+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠3，④正确；∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，③正确．故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（）A．70°B．65°C．80°D．35°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．【解答】解：∵∠AED′=40°，∴∠DED′=180°﹣40°=140°，又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，∴∠DEF=70°，又∵AD∥BC，∴∠EFB=70°．故选：A．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．7．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长（）A．3 B．4 C．3.5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由矩形的性质得到∠1=∠CFE=60°，由折叠可得∠2=60°，从而求得∠4的度数，得到AE=EC，在Rt△CDE中利用勾股定理可求得EC的长度，即可得到答案．【解答】解：∵矩形ABCD，∴BC∥AD，∴∠1=∠CFE=60°，∵EF为折痕，∴∠2=∠1=60°，AE=EC，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°，Rt△CDE中，∠4=90°﹣60°=30°，∴EC=2×DE=2×1=2，∴BC=AE+ED=EC+ED=2+1=3．故选：A．【点评】本题考查了翻折问题；由折叠得到角相等，得到AE=EC利用勾股定理求解是正确解答本题的关键．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B 落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴FA=FC，设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF的长是．故选C．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．9．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，△BCM即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM 即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（）A．小平的作法正确，张萌的作法不正确B．两人的作法都不正确C．张萌的作法正确，小平的作法不正确D．两人的作法都正确【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，∴BM=2BF，∵∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC，∴△MBC是等边三角形，∴张萌的作法正确．在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，∴∠BMF=30°，∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，∵MB=MC∴△MBC是等边三角形，∴小平的作法正确．故选D．【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．10．如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC ﹣BF=4，易得△CEF的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==6，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12．故选A．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，利用勾股定理得CF的长是解答此题的关键．11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE 沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52﹣32=16，∴AF=4，DF=5﹣4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3﹣x）2+12，解得：x=．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A．cm B．cm C．2cm D．cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，∴BC==3cm，∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，∴△BED≌△BCD，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，∴AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=．故选：B．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（3，0），连接AB，将△AOB 沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣x+C．y=﹣D．y=﹣2x+【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】由点A（0，4）、B（3，0），可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得OA′的长，且△A′OC∽△AOB，再由相似三角形的性质，求得OC的长，继而利用待定系数法求得直线BC的解析式．【解答】解：∵点A（0，4）、B（3，0），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，由折叠的性质可得：A′B=AB=5，∠OA′C=∠OAB，∴OA′=A′B﹣OB=2，∵∠A′OC=∠AOB=90°，∴△A′OC∽△AOB，∴，即，解得：OC=，∴点C的坐标为：（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+．故选C．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．注意求得点C的坐标是解此题的关键．14．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，点O落在BC边上的点E处．则直线DE的解析式为（）A．y=x+5 B．y=x+5 C．y=x+5 D．y=x+5【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】首先在RT△ABE中，求出EB，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵△ADE是由△ADO翻折，∴DE=DO，AO=AE=10，∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB=8，AO=BC=10，∠B=∠BCO=∠BAO=90°，在RT△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴EB===6，∴EC=4，设DO=DE=x，在RT△DCE中，∵CD2+CE2=DE2，∴（8﹣a）2+42=a2，∴a=5，∴点D（0，5），点E（4，8），设直线DE为y=kx+b，∴解得，∴直线DE为：y=+5．故选A．【点评】本题考查翻折变换、待定系数法确定一次函数的解析式，解题的关键是巧妙利用勾股定理，用方程的思想去思考问题，属于中考常考题型．15．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，当DE=2时，BC的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先由DE∥BC与折叠的性质，可证得DE是△ABC的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，AD=DF，∴∠B=∠BFD，∴BD=DF，∴AD=BD，同理：AE=EC，∴DE=BC，即BC=2DE=4．故选B．【点评】此题考查了折叠的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．16．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B、A、E在同一条直线上，CE交AD于点F，连接ED．下列结论中错误的是（）A．AF=B．四边形ACDE是矩形C．图中与△ABC全等的三角形有4个D．图中有4个等腰三角形【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，等量代换得到AE=CD，AD=CE，推出四边形ACDE是平行四边形，于是得到AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B 正确；根据平行四边形和矩形的性质得到△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，于是得到图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；推出△BCE是等腰三角形，△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，于是得到图中有5个等腰三角形，故D错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，由折叠的性质得到AB=AE，BC=CE，∴AE=CD，AD=CE，∵点B、A、E在同一条直线上，∴AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AF=BC，四边形ACDE是矩形，故A，B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴△ACD≌△ACE≌△CDE≌△ADE≌△ABC，∴图中与△ABC全等的三角形有4个，故C正确；∵BC=CE，∴△BCE是等腰三角形，∵四边形ACDE是矩形，∴AF=EF=CF=DF，∴△AEF，△ACF，△CDF，△DEF是等腰三角形，∴图中有5个等腰三角形，故D错误；故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等腰三角形和矩形的判定方法．17．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边AB=6，AC=10，∠ABC=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD=BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE=AB=3，AE=AC=5，于是得到结论．【解答】解：∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，∴BC=8，∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴DE∥AB，∴DE=AB=3，AE=AC=5，∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18，故选C．【点评】此题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（）A．B．C．D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD==5，通过△BDC∽△DEF，得到，求出BF=，于是得到结论．【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°．∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵，∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，∴四边形AGED是矩形．∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5∴AB=CD==5，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∵∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故选B．【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．19．如图，在边长为12的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG 即可；【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=GF，∵E是边CD的中点，∴DE=CE=6，设BG=x，则CG=12﹣x，GE=x+6，∵GE2=CG2+CE2∴（x+6）2=（12﹣x）2+62，解得x=4∴BG=4．故选B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．21．如图，△ABC周长为36cm，把其边AC对折，使点C、A重合，折痕交BC 边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=6cm，则△ABD的周长是（）A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折变换的性质可得AE=EC，AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵△ABC的边AC对折顶点C和点A重合，∴AE=EC，AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=6cm，∴AC=AE+EC=6+6=12，∵△ABC的周长为36cm，∴AB+BC=36﹣12=24cm，∴△ABD的周长是24cm．故选A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边是解题的关键．22．如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，若AF=，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD=FE，FA=FC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠FCA=∠CAB，又∠FAC=∠CAB，∴∠FAC=∠FCA，∴FA=FC=，∴FD=FE，∵DC=AB=8，AF=，∴FD=FE=8﹣=，∴AD=BC=EC==6，故选：D．【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠使点A落在DC′延长线上的点A′处，若图中，∠A=30°，BC=5cm，则折痕DE的长为（）A．B．2C．2D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=5÷=cm，在Rt△BDE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．24．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．【解答】解：由勾股定理得：==10，由题意得：△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；∠AED=∠C=90°，∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；由勾股定理得：（8﹣x）2=42+x2，解得：x=3（cm），故选B．【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．25．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故选C．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=AE+DE=AE+BE=9．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选：A．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．27．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．B．C．1 D．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=2，BC=，利用勾股定理即可求得AB的长，然后由折叠的性质，求得AE的长，继而求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=，∴AB==，由折叠的性质可得：AE=AB=，∴CE=AE﹣AC=．故选A．【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．28．如图所示，折叠平行四边形的一边AD，使点A落在DC边上的点E处，已知AB=6，BC=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．1.5【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用平行四边形的对边相等得到AD=BC=4，DC=AB=6，再由折叠的性质得到DE=AD，由DC﹣DE求出EC的长即可．【解答】解：由折叠及平行四边形的性质得：AE=AD=BC=4，DC=AB=6，则EC=DC﹣DE=6﹣4=2，故选B．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．29．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：。
初中几何变换——翻折
初中数学几何变换之轴对称一、知识梳理1、轴对称基本要素：对称轴。
2、基本性质：（1）对应线段、对应角相等（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用翻折问题、最值问题等二、常考题型类型一：轴对称性质1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.第1题第2题第3题2、如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为。
4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’的值为。
D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时，CFFD5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是。
第4题第5题第6题6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是。
7、如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG ＝ .图2 图38、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.类型二：轴对称应用1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．2、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．3、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD 和AB上的动点,则BM+MN的最小值为。
初二翻折问题解题技巧
初二翻折问题解题技巧
翻折问题是在初二数学中常见的问题，涉及到对称、全等、图形变换等诸多知识点。
以下是一些解题技巧：
1. 找对称
翻折问题中，很多图形都是对称的。
因此，找到对称轴是解题的关键。
一些常见的对称图形包括轴对称和中心对称。
在找到对称轴后，可以更容易地理解翻折前后的图形关系，从而解决问题。
2. 画辅助线
有时候，翻折问题可能比较复杂，需要借助辅助线来帮助理解。
画辅助线可以帮助我们更好地理解图形的形状和大小，从而更容易地找到解题方法。
3. 利用公式
在解决翻折问题时，一些常用的公式和定理也可以帮助我们快速解决问题。
例如，勾股定理可以用来计算直角三角形的边长，相似三角形可以用来比较不同图形的形状和大小等。
4. 空间思维
翻折问题不仅涉及到平面图形，还可能涉及到空间图形。
因此，我们需要具备空间思维能力，能够想象出翻折后的图形形状和位置。
对于一些比较复杂的空间翻折问题，可以借助三维建模软件来帮助理解。
5. 反复尝试
在解决翻折问题时，有时候可能需要反复尝试不同的方法才能找到正确的答案。
因此，我们需要耐心地尝试不同的解题方法，不断总结经验，提高自己的解题能力。
总之，解决翻折问题需要综合运用数学知识、逻辑推理和空间思维能力。
在掌握基本知识点的基础上，要注重解题技巧的训练和积累，不断提高自己的解题能力。
自学初中数学资料 折叠问题 图形的翻折、轴对称(资料附答案)
自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ， 解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确； 故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（ ）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。
专题01 翻折问题(解析版)
专题01 翻折问题一、解答题1．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=6，DC=4，求AD的长．小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出△ABD和△ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−6）2＋（x−4）2＝102，求出AD＝x＝12．【详解】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，∴∠EAF=90°．又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∴四边形AEGF是矩形，又∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．∵BD=6，DC=4，∴BE=6，CF=4，∴BG=x﹣6，CG=x﹣4，在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102．化简得：x2﹣10x﹣24=0解得：x1=12，x2=﹣2（舍去）所以AD=x=12．2．（2019秋·江苏盐城·九年级校考期中）在初二的数学学习中，我们已经了解了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．张老师在课堂上又提出了这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？（1）经过小组合作交流后，小明代表小组发言，他们发现了AB＝2BC，证明方法如下：证明：如图2，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴点B、C、D三点共线．又∵∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝60°，（请在下面补全小明的证明过程）（2）受到小明“翻折”方法的启发，另一组代表小刚发言：如图3，在△ABC中，如果把条件“∠ACB＝90°”改为“∠ACB＝135°”，保持“∠BAC＝30°”不变，若BC＝1，求AB的长．【答案】（1）AB=2BC；补全证明过程见解析；（2）【分析】（1）根据翻折的性质可得AB=AD，BC=BD，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，即可AB；证明BC=12（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，根据翻折的性质可得∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，可得∠BAD=60°，∠BCD=90°，即可证明△ABD是等边三角形，可得AB=BD，根据勾股定理可得，即可得答案．【详解】（1）∵把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，∴AB=AD，BC=BD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=2BC．（2）如图，把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC，连接BD，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴∠DAC=∠BAC=30°，∠ACD=∠ACB=135°，AB=AD，CD=BC=1，∴∠BCD=360°-135°-135°=90°，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，=∴．3．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．【答案】（1）BD；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）思路见（2）（2）①过E作EF//BC，证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC，即可得到BD=EF=AE；②把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，得到△EBD≌△EBF，再证明△ACE≌△BCF，即可得到AE＝BF＝BD；【详解】（1）BD（2）①小聪思路：过点E作EF//BC，交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝BC ＝AC∵EF //BC ∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，∠FEC ＝∠ECB∵又∠A ＝60° ∴△AEF 是等边三角形∴AE ＝AF ＝EF ，∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∴CF ＝BE∵ED ＝EC∴∠D ＝∠ECB∴∠D ＝∠FEC∴∠FCE ＝∠BED在△DBE 和△EFC 中，CF BE FCE BEDCE DE =ìïÐ=Ðíï=î∴△DBE ≌△EFC （SAS ）∴BD ＝EF∴BD ＝AE②小明思路：∵DE ＝EC ∴∠ECB ＝∠D∵∠ABC ＝∠DEB +∠D ，∠ACB ＝∠ACE +∠ECB∴∠DEB ＝∠ACE∵△EBD 翻折到△EBF∴△EBD ≌△EBF ∴∠DEB ＝∠FEB ，DE ＝EF∴∠DEB ＝∠ACE ＝∠FEB∵∠CEB ＝∠CEF +∠FEB ＝∠A +∠ACE ∴∠CEF ＝∠A ＝60°∵DE ＝EF ＝CE ∴△ECF 为等边三角形∴CE ＝CF ，∠ECF ＝60°∴∠ACE +∠ECB ＝∠ECB +∠BCF∴∠ACE ＝∠BCF ，在△ACE 和△BCF 中CF BE BCF ACEAC BC =ìïÐ=Ðíï=î∴△ACE ≌△BCF （SAS ）∴AE ＝BF ＝BD4．（2022·江苏南京·统考一模）阅读下面的问题及解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．(1)填写下面的表格．(2)将函数y ＝－2x 2＋3x ＋1的图像沿y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ．(3)将函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y 轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．【答案】(1)1x +，y ，61y x =+(2)2323y x x -=-+(3)2(2)y ax a b x a b c=--+---【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；（2）根据二次函数图像与几何变换，将x 换成x -，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求得结论；（3）利用图像向左平移、关于,x y 轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答．【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点P 的坐标为(,)x y ，将点P 向右平移1个单位长度得点(1,)P x y ¢+平移后的图像对应的函数表达式为：61y x =+，故答案为：1x +，y ，61y x =+；（2）解：将二次函数2231y x x =-++的图像沿着y 轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是22()3()1y x x +=--×-+，即2323y x x -=-+，故答案为：2323y x x -=-+；（3）解：将2y ax bx c =++(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图像先向左平移1个单位长度，得2(1)(1)y a x b x c =++++，再沿y 轴翻折，得2(1)(1)y a x b x c =-++-++，即2(21)(1)y a x x b x c =-++-+，最后绕原点旋转180°，得2(21)(1)y a x x b x c -=+++++，整理得：2(2)y ax a b x a b c =--+---，故答案为：2(2)y ax a b x a b c =--+---．答：所得到的图像对应的函数表达式2(2)y ax a b x a b c =--+---．5．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）在数学活动《折纸与证明》中，有这样的一段活动材料：①如图①，把正方形ABCD 对折后再展开，折痕为EF ；②如图②，将点A 翻折到EF 上点A ¢处，且使折痕过点B ；③如图③，沿A C ¢折叠，得A BC ¢V （如图④）．回答下列问题：(1)判断：A BC ¢V 的形状为______________；并说明你的理由；(2)若正方形纸片的边长为2，则线段A F ¢的平方的值为______________．【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)3【分析】（1）由折叠的性质可知EF 垂直平分BC ，结合正方形的性质可知A C A B AB BC ¢¢===，可判断A BC ¢V 是等边三角形．（2）利用勾股定理解直角A FB ¢D 可得222A F A B FB ¢¢=-．【详解】（1）解：等边三角形．理由如下：∵如图②，把正方形纸片ABCD 对折，折痕为EF ，∴EF 垂直平分BC ．∵将点A 翻折，折痕过点B ，且使点A 落在EF 的点A ¢处，∴A C A B AB BC ¢¢===．∴A BC ¢V 是等边三角形．（2）解：∵正方形纸片的边长为2，EF 垂直平分BC ，∴2A B AB ¢==，112122FB BC ==´=，90A FB ¢Ð=°，∴2222213A F A B FB ¢¢=-=-=，线段A F ¢的平方的值为3．6．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt ABC V 中，9060A CB ，A Ð=°Ð=°，CD 平分ACB Ð，试判断BC 和AC AD 、之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将ACD V 沿CD 翻折，使点A 落在BC 边上的E 处，展开后连接DE ，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出BC 和AC AD 、之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在ABC V 中，2C B Ð=Ð，AD 平分32CA B ，A B ，A D Ð==，求ACD V 的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的E 处，展开后连接DE ，这样可以将问题解决（如图4）；请帮小明写出解答过程：【实践拓展】（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD 的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的ABC V 和ACD V ，若AC 平分10m 17m 9m BAD BC CD AC AD Ð====，，，．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．【答案】（1）A C D E C D @V V ；（2）BC AC AD =+；（3）ACD V 的周长为5；（4）需要买67m 长的栅栏【分析】（1）将ACD V 沿CD 翻折得到ECD V ，则A CD E C D @V V ，即可得答案；（2）由90,60ACB A Ð=°Ð=°，得30B Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，得30EDB B Ð=Ð=°，所以E D E B A D ==，于是B C E C E B A C A D =+=+；（3）将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，则,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，于是得2B E D B B Ð=Ð+Ð，则B EDB Ð=Ð，得EB ED CD ==，所以3A C C D A B +==，即可得答案；（4）将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，设m EF BF c ==，则()9A F x m =+，可得方程()222217910x x -+=-，解得：6x =，即可求得6m EF BF ==，()21m AB =，则()91010211767m AD BC CD AB AC ++++=++++=，可得答案．【详解】解：（1）如图2，ACD QV 沿CD 翻折得到ECDV A C D E C D \@V V ；（2）BC AC AD =+，理由：90,60ACB A Ð=°Ð=°Q ，30B \Ð=°，由翻折得,E C A C E D A D ==，60CED A Ð=Ð=°，603030E D B C E D B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，EDB B \Ð=Ð，ED EB \=，EB AD \=，B C E C E B A C A D \=+=+；（3）如图4，将ACD V 沿AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，展开后连接DE ，由翻折得,A C A E CD E D ==，2AED C B Ð=Ð=Ð，A E D E D B B Ð=Ð+ÐQ ，2B E D B B \Ð=Ð+Ð，B EDB \Ð=Ð，EB ED \=，CD EB \=，3A C C D A E E B A B \+=+==，325A C C D A D \++=+=，ACD V 的周长为5；（4）如下图5，将ACD V 沿AC 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，连接CE ，作CF AB ^于F ，10m,17m,9m BC CD CA AD ====Q ，9m,10m AE AD CE CD \====，10m BC CE \==，CF AB ^Q ，\90,A FC B FC E F B F Ð=Ð=°=，设m EF BF c ==，则()9m AF x =+，22222A C A F B C B F C F -=-=Q ，()222217910x x \-+=-，解得：6x =，6m EF BF ==Q ，()96621m AB AE EF BF \=++=++=，()91010211767m AD BC CD AB AC \++++=++++=，\需要买67m 长的栅栏．7．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有一个ABC V ，按要求回答下列问题：(1)ABC V 的面积为 ；(2)画出将ABC V 向右平移6格，再向上平移3格后的111A B C △；(3)画出ABC V 绕点B 顺时针旋转90°后的图形22A BC V ；(4)画出ABC V 沿直线EF 翻折后的图形33A B C △．【答案】(1)3(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）直接利用三角形面积求法得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出111A B C △；（3）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出22A BC V ；（4）直接利用翻折变换的性质得出对应点位置，进而得出33A B C △．【详解】（1）ABC V 的面积为：13232´´=；故答案为：3；（2）如图所示：111A B C △即为所求；（3）如图所示：22A BC V 即为所求；（4）如图所示：33A B C △即为所求；8．（2020·江苏无锡·统考一模）阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC，结合中垂线的性质定理与三角形三边长的关系，即可得到结论；（2）延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．易证△ACE≌△CAN，得AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，结合“三角形中，大角对大边”，得AP＋AQ＞2AC，QE＞CQ，PC＞PM，进而得QE＞PM，即AM＋AN＞AP＋AQ，然后即可得到结论．【详解】（1）设BC的中垂线交BC于点E，交AB于点D，连接DC．将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，∵DE为BC的中垂线，∴DB=DC．∵在△ADC中，AD＋DC＞AC，∴AD＋DB＞AC．即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE=CN，连接AE交BC于点F．∵∠ACE=∠ACN=135°，CE=CN，AC=AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE=AN．过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q．∵∠ACP=∠ACQ=90°，∴AP＞AC，AQ＞AC，∴AP＋AQ＞2AC．∵∠ACD＞∠E，∠ACD=45°，∠QCE=135°-90°=45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ．同理可得：PC＞PM．∵△ACE≌△ACN，∴∠CAN=∠CAE，又∵AC=AC，∠ACP=∠ACQ=90°，∴△ACP≌△ACQ（ASA），∴PC=CQ，∴QE＞PM，∴AM＋AN=AM＋AE=AM＋AQ＋QE＞AM＋AQ＋PM=AP＋AQ．又∵AP＋AQ＞2AC，∴AM＋AN＞2AC．∵正方形ABCD中，AC=BD，∴AM＋AN＞2BD．9．（2022秋·江苏·九年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D ＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C′DB＝_______°．（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【详解】解：（1）由折叠的性质，则∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°-45°=15°；故答案为：15°．（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面积为6．（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C ＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．10．（2021春·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）问题背景如图1，矩形ABCD中，AB=AB AD<，M、N分别是AB、CD的中点，折叠矩形ABCD，使点A落在MN上的点K处，折痕为BP．（1）用直尺和圆规在图1中的AD 边上作出点P （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AK ，判断ABK V 的形状；（3）如图2，若点E 是直线MN 上的一个动点．连接EB ，在EB 左侧作等边三角形BEF ；连接MF ，则MF 的最小值是______；（4）如图3，若点E 是射线KM 上的一个动点将BEK △沿BE 翻折，得BET △，BT 所在直线交直线MN 于点Q ，当TQE △是直角三角形时，KE 的长为多少？请直接写出答案．【答案】（1）见详解；（2）ABK V 是等边三角形，理由见详解；（3（4）4或12【分析】（1）作∠ABK 的平分线交AD 于P ，点P 即为所求；（2）先求出∠BKM ＝30°；根据对称性可得∠AKB =60°，进而即可得到答案；（3）由△FBA ≌△EBK ，因为FM 、EH 分别是AB 、BK 上的中线，推出FM ＝EH ，根据垂线段最短可知，当HE ⊥MN 时，EH 的值最小，进而即可求解；（4）分四种情形分别画出图形，求解即可；【详解】解：（1）如图①中，点P 即为所求：（2）连接AK ，在Rt △BKM 中，∵sin ∠BKM ＝BM BK ＝12，∴∠BKM ＝30°．∵M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴∠AKM =∠BKM ＝30°，AK =BK ，∴∠AKB =60°，∴ABK V 是等边三角形；（3）如图②中，连接AF ，取BK 的中点H ，连接EH ．∵等边三角形BEF中，∴∠FBE＝∠ABK＝90°-∠BKM=90°-30°=60°，又∵BF＝BE，BA＝BK，∴∠FBA＝∠EBK，∴△FBA≌△EBK（SAS），∵FM、EH分别是AB、BK上的中线，∴FM＝EH，根据垂线段最短可知，当HE⊥MN时，EH的值最小，最小值EH＝12∴FMAB MKB=30°，（4）∵MB=12∴MK=6，如图，当∠TEQ＝90°时，则TE∥MB，∴∠MBQ=∠T=∠MKB=30°，∴MQ=，设EK=ET=x，则QE，x+x+2=6，解得：x EK如图，当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，QE=2=，∴EK=6-2=4；如图当∠TEQ＝90°时，则∠BEM=45°，∴EM=BM∴EK如图：当∠TQE＝90°时，此时点Q与点M重合，∵∠TEM=90°-∠T=60°，×60°=30°，∴∠KEB=12∴∠EKB=∠KEB=30°，∴ME=MK=6，∴EK=12．综上所述，满足条件的EK的值为4或12．11．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长．【答案】(1)AE＝MN，理由见解析；(2)EQ＝CQ，理由见解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）过点B作BF//MN交CD于点F，则四边形M BFN为平行四边形，得出MN =BF，BF⊥AE，由ASA证得△ABE≌△BCF，得出AE= BF，即可得出结论；（2）在图2中，连接AQ、CQ，易证△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根据垂直平分线的性质得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD，BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HI⊥AD，HI ⊥BC，HI = AB= AD，证△DHQ是等腰直角三角形，得HD= HQ，AH = QI，由H L证得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH =∠QEI，证∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；(4)延长AG交BC于E，则EG = AG= 5，得AE=10，由勾股定理得：BE，则CE= BC-BE，由折叠的性质即可得出结果．（1）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，过点B作BF∥MN交CD于点F，如图1所示：∴四边形MBFN为平行四边形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，{BAE CBF AB BC ABE BCFÐ=Ð=Ð=Ð，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在图2中，连接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，{AB CB ABQ CBQ BQ BQ=Ð=Ð=，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F为AE中点，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：连接AQ，过点Q作HI// AB，分别交AD．BC于点H、I，如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI= AB= AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA = 45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分线，AQ= QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ= QE，AH= QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH =∠QEI，∠AQH＋∠EQI = 90°，△AQ E是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF= 45°故答案为：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延长AG交BC于E，如图4所示：则EG =AG =5，∴AE = 10，在Rt △ABE 中，BE 6==CE = BC - BE = 8-6=2，由折叠的性质得： AC '=CE =2，故答案为： AC ′=2.12．（2022·江苏盐城·校联考一模）（1）背景问题：如图①，已知矩形ABCD ，E 是边CD 上一点，将△BCE 沿BE 翻折，使得C 落在AD 上的点F 处，求证：△ABF ∽△DFE ．（1）尝试应用：如图②，已知四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，点E 在AD 上，∠BEC =90°，2∠BCE +∠ECD =180°，过点E 作EF ⊥BC 垂足为F ，若EF =2，BC =5，求AE 的长．（2）拓展创新：如图③，已知矩形ABCD ，AB =9，BC =12，E 是边CD 上一动点，将△BCE 沿BE 翻折至△BPE ，连接AP 在上取点T ，使得PT =2AT ，连接DT ，求出DT 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2（3）4【分析】（1）由矩形的性质和翻折得到∠BFE ＝∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由同角的余角相等可推得∠DEF ＝∠AFB ，证得△EDF ∽△FAB ；（2）证明△ECF ∽△BEF ，得CF =1，BF =4 ，由△ABF ∽△DFE ，2∠BCE +∠ECD =180°，构造矩形ABGD ，由BG =AD 建立方程，解方程求解即可；(3)在AB 边上取Q ，使得BO =2AQ ，连接TQ ，则ATQ APB V V ∽求得4TQ =，可得T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，根据点圆关系求最值即可．【详解】（1）证明：如图1，在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，由翻折得∠EFB ＝∠C ＝90°．∵∠DEF ＋∠DFE ＝90°，∠AFB ＋∠DFE ＝180°−90°＝90°，∴∠DEF＝∠AFB，∴△ABF∽△DFE．（1）尝试应用：如图2，过点B作BG⊥CD，交DC的延长线于点G，设DE＝m，CD＝x．∵EF⊥BC，∴∠EFC＝∠BFE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°−∠CEF＝∠FEB，∴△ECF∽△BEF，EF CFBF EF\=\EF2=CF·BF25EF BC==，Q()225CF CF\=-解得CF=1，或4（舍去）\CF=1，BF=4\EC==EB==∵△ABF∽△DFE∴12 CD DE CE AE AB BC===设CD=x，则AE=2x∵2∠BCE+∠ECD=180°∴D、C、G共线，在矩形ABGD中则DG x AB==由BG=AD得2x=∴AE=（2）拓展创新：在AB边上取Q，使得BQ=2AQ，连接TQQ PT =2AT ，PAB TAQÐ=Ð\ATQ APBV V ∽\13TQ AQ AT PB AB AP ===143TQ PB \==\T 在以Q 为圆心4为半径的圆上，当点T 落在DQ 上，即DT ＝DQ−4时，DT 的值最小，9AB DC ==Q \133AQ AB ==Q 90CB =°DQ \==∴DTmin =413．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm 点E 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度是2cm/s ；点F 从点B 出发，沿BD 方向匀速运动，速度是1cm/s ，MN 是过点F 的直线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，且在运动过程中始终保持MN ⊥BD ．连接EM 、EN 、EF ，两点同时出发，设运动时间为t （s ）（0<t <3.6），请回答下列问题：(1)求当t 为何值时，△EFD ∽△ABD ?(2)求当t 为何值时，△EFD 为等腰三角形；(3)将△EMN 沿直线MN 进行翻折，形成的四边形能否是菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD(2)当t 的值为5021或103时△EFD 为等腰三角形(3)不存在，理由见解析【分析】（1）当△EFD ∽△ABD 时，得到相似比DE DF DA DB=，解得207t =即可；（2）根据题意，等腰三角形分三种情况：EF ＝DE 时；EF ＝DF 时；DE ＝DF 时；作出相应图形，结合条件求解即可；（3）假设存在这样的菱形，当EM EN =时，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，利用勾股定理求出两条线段长，根据相等关系列方程求解即可确定结论存在与否．【详解】（1）解：如图所示：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ＝8cm ，∠A ＝∠ABC ＝90°，在Rt △ABD 中由勾股定理得10BD ===（cm ），由题意得：DE ＝2t cm ，BF ＝t cm ，∴()10DF BD BF t =-=-cm ，∵△EFD ∽△ABD ，∴DE DF DA DB =，∴210810t t -=，解得207t =∴当t 的值为207时，△EFD ∽△ABD ；（2）解：△EFD 为等腰三角形有三种情况：①EF ＝DE 时，点E 在DF 的垂直平分线上，过点E 作EG ⊥DF 于点G ，如图所示：则11022t DG DF -==cm ，在Rt △DEG 中，4cos 15DG DE Ð==，∴5DG ＝4DE ，∴105422t t -´=´，解得：5021t =；②EF ＝DF 时，点F 在DE 的垂直平分线上，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，如图所示：则12DH DE t ==cm ，在Rt △DHF 中，4cos 15DH DF Ð==，∴5DH ＝4DF ，∴()5410t t =-，解得409t =，∵40 3.69>，∴不合题意舍去；③DE ＝DF 时，则2t ＝10－t ，解得：103t =；综上：当t 的值为5021或103时，△EFD 为等腰三角形；（3）解：不存在．假设△EMN 沿直线MN 翻折后点E 落在点E ¢处，由折叠得：EM E M ¢=，EN E N ¢=，当翻折后的四边形为菱形时，EM E M E N E N ¢¢¢===，∴EM ＝EN ，∴22EM EN =，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，如图所示：则四边形EQCD 为矩形，∴EQ ＝CD ＝6cm ，CQ ＝DE ＝2t cm ，∴51382844NQ BC CQ BN t t t æö=--=--=-ç÷èø，∴222222131696852100416EN EQ NQ t t t æö=+=+-=-+ç÷èø，∵563AM AB BM t æö=-=-ç÷èøcm ，()82AE t =-cm ，∴()2222225616825210039ME AM AE t t t t æö=+=-+-=-+ç÷èø，∴22611695210052100916t t t t -+=-+，此方程无解，∴不存在这样的菱形．14．（2022秋·江苏·九年级期中）(1)【原题呈现】在课本中，安排有这样一个思考问题：“如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，那么BC 和AB 有怎样的数量关系？试证明你的结论”老师在课堂中提出这样的问题，并展示了小明的部分解答小明：AB =2B C ．证明：把△ABC 沿着AC 翻折，得到△AD C ．∴∠ACD =∠ACB =90°，∴∠BCD =∠ACD +∠ACB =90°+90°=180°，即：点B 、C 、D 在一条直线上．（请在下面补全小华后面的证明过程）(2)【变式拓展】如图2，在△ABC 中，把（1）中条件“∠ACB =90°”改为“∠ACB =135°”，保持“∠BAC =30°”不变，则2AB = 2BC ．(3)【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题．如图3，点D 是△ABC 内一点，AD =AC ，∠BAD =∠CAD =20°，∠ADB +∠ACB =210°，探求AD 、DB 、BC 三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)222BD BC AD +=，理由见解析【分析】（1）根据翻折的性质得出点B 、C 、D 共线，再由等边三角形的判定和性质即可证明；（2）把∆ABC 沿着AC 翻折，得到∆ADC ，根据翻折的性质得出∆ABD 为等边三角形，由题意确定∠BCD =90°，运用勾股定理即可得出结论；（3）把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，由翻折及各角之间的关系得出△AEC为等边三角形，再由勾股定理及等量代换即可得出结论．【详解】（1）证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△ADC．∴∠ACD=∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，即：点B、C、D共线，∴AB=AD，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=2BC；（2）如图所示，把∆ABC沿着AC翻折，得到∆ADC，由翻折得：AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，BC=CD，∴∠BAD=60°，∴∆ABD为等边三角形，∴AB=BD，∵∠ACB=∠ACD=135°，∴∠BCD=90°，2222\=+=，BD BC CD BC2即22AB BC=；2（3）222+=；BD BC AD理由：把△ABD延AB边翻折得到△AEB，连接ED，EC，∵∠BAD=∠CAD=20°，∴∠EAB=20°，∴∠EAC=60°，∵∠ACB +∠ADB =210°，∠AEB =∠ADB ，∴∠ACB =∠AEB =210°，∴∠EBC =360°-210°-60°=90°，∵AD =AC ，AE =AD ，∴AE =AC ，∴△AEC 为等边三角形，∴EC =AE =AD ，在Rt △EBC 中，222BE BC EC +=，∵BC =BD ，EC =AD ，∴222BD BC AD +=．15．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）问题情境：如图1，P 是O e 外的一点，直线PO 分别交O e 于点A ，B ．(1)探究证明：如图2，在O e 上任取一点C (不与点A ，B 重合)，连接PC ，求证：<AP PC ；(2)直接应用：如图3，在Rt ABC △中，=90ACB а，3AB AC ==，以BC 为直径的半圆O 交AB 于D ，P 是弧CD 上的一个动点，则AP 的最小值是 ．(3)构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，=60A а，M 是AD 的中点，N 是AB 边上一动点，将AMN V 沿MN 所在的直线翻折得到A MN ¢V ，连接A B ¢，则A B ¢长度的最小值为 ．(4)综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点()2,3A -，点()4,5B ，分别以1，2为半径作A e 、B e ，M ，N 分别是A e ，B e 上的动点，直接写出PM PN +的最小值为 ．【答案】(1)见解析321-(4)7【分析】(1)在POC △中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；(2)连接OA 交O e 于点P ，根据勾股定理求得OA ，进而求得AP ；(3)A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，故连接BM ，求得BM ，进而求得A B ¢的最小值；(4)作点A 关于x 轴的对称点C ，连接CB 交x 轴于点P ，求出BC 的长，进而求得PM PN +的最小值．（1）证明：如图1，<PO OC PC -Q ，()<AP OA OC PC \+-，OA OC =Q ，<AP PC \；（2）解：如图2，连接OA ，交半O e 于点P ，13==22CO BC \，在Rt AOC V 中，OA ===∴32AP OA OP =-=，\AP 32，32；（3）解：如图3，连接BM 、BD ，交M ⊙于点1A ，∵四边形ABCD 是菱形，AB AD \=，=60BAM аQ ，ABD \V 是等边三角形，∵M 是AD 的中点，A ¢的轨迹是以M 为圆心，半径是1的圆，=90AMB \а，1112AM A M AD ===，BM \==，∴111A B BM A M =-=，A B \¢1-，1；（4）解：如图4，作点A 关于x 轴的对称点C ，连接BC ，交x 轴于点P ，交B e 于点N ，连接PA 交A e 于M ，PA PC \=，PA PB PC PB BC \+=+=，∵点()2,3A -，点()4,5B ，∴点(2,3)C --，10BC \==，∵分别以1，2为半径作A e 、B e ，=1AM \，2BN =，PM PN \+PA PB AM BN =+-- 1012=--=7，故答案是：7．16．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数32y x =-的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息：x …2-1-012 (32)y x =-…4a2-14…请按要求完成下列各小题：(1)a 的值为______；(2)在图中画出该函数的图象；(3)结合函数的图象，解决下列问题：①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项）A ．函数图像关于x 轴对称B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大②直接写出不等式1324x <-<的解集为______．(4)将该函数图像在直线1y =上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线1y =进行翻折，得到新函数图像，若经过点()2,0-的一次函数y kx b =+图像与新函数图像W 只有1个交点时，请直接写出k 满足的条件______．【答案】(1)1(2)见解析(3)①BC ；②2<<1x --或12x <<(4)3k ³或3k <-或13k =【分析】（1）把=1x -代入32y x =-即可求出a 的值；（2）先描点再连线画出函数图像即可；（3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y 轴对称，关于x 轴不对称，即可判断A 错误；根据函数图象可判断当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，得出B 正确；根据函数图象可判断当0x >时，y 随x 的增大而增大，得出C 正确；②根据函数图象写出不等式的解集即可；（4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k 的范围即可．【详解】（1）解：把=1x -代入32y x =-得：3121y =´--=，即1a =，故答案为：1．（2）解：该函数的图象，如图所示：（3）解：①A ．函数图像关于y 轴对称，故A 错误；B ．当0x =时，函数有最小值，最小值为2-，故B 正确；C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大，故C 正确；故答案为：BC ；②根据函数图象可知，当2<<1x --或12x <<时，1324x <-<；故答案为：2<<1x --或12x <<；（4）解：如图所示：设点()2,4A ，()1,1B ，()0,4C ，()11D -,，()2,4E -，设AB 的解析式为11y k x b =+，把()2,4A ，()1,1B 代入得：1111241k b k b +=ìí+=î，解得：1132k b =ìí=-î，AB 的解析式为：()321y x x =->，设CD 的解析式为22y k x b =+，把()0,4C ，()11D -,代入得：22141b k b =ìí-+=î，解得：2234k b =ìí=î，CD 的解析式为：()3410y x x =+-<<，设DE 的解析式为33y k x b =+，把()11D -,，()2,4E -代入得：3333241k b k b -+=ìí-+=î，解得：3332k b =-ìí=-î，DE 的解析式为：()341y x x =--<-，根据图像可知，当直线y kx b =+经过()2,0-和点()1,1B 时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，把()2,0-，()1,1B 代入得：201k b k b -+=ìí+=î，解得：13k =；∵123k k ==，∴AB CD ∥，根据图像可知，当直线y kx b =+与AB 平行时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，且此时直线y kx b =+绕点()2,0-继续逆时针旋转，直到与DE 平行之前，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点，∴当3k ³或3k <-时，直线y kx b =+与图像W 只有一个交点；综上分析可知，当3k ³或3k <-或13k =时直线y kx b =+与图像W 只有一个交点．故答案为：3k ³或3k <-或13k =．17．（2017江苏省宿迁市，第25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将该抛物线位于x 轴上方曲线记作M ，将该抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N ，曲线N 交y 轴于点C ，连接AC 、BC ．（1）求曲线N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点P 为曲线M 或曲线N 上的一动点，点Q 为x 轴上的一个动点，若以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2（3）Q （0）或（4，0）或（5，0）或（0）或（2，0）或（1，0）．【详解】试题分析：（1）由已知抛物线可求得A 、B 坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N 的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC 与AB 的垂直平分线的交点，即直线y =x 与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q （x ，0），当BC 为平行四边形的边时，则有BQ ∥PC 且BQ =PC ，从而可用x 表示出P 点的坐标，代入抛物线解析式可得到x 的方程，可求得Q 点坐标，当BC 为平行四边形的对角线时，由B 、C 的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P 点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x 的方程，可求得P 点坐标．试题解析：（1）在2=23y x x --中，令y =0可得x 2﹣2x ﹣3=0，解得x =﹣1或x =3，∴A （﹣1，0），B （3，0），令x =0可得y =﹣3，又抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ，∴C （0，3），设曲线N 的解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 的坐标代入可得：09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得：123a b c =-ìï=íï=î，∴曲线N 所在抛物线相应的函数表达式为223y x x =-++；（2）设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点，∵B （3，0），C （0，3），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ，又线段AB 的解析式为曲线N 的对称轴，即x =1，∴M （1，1），∴MB△ABC（3）设Q （t ，0），则BQ =|t ﹣3|．①当BC 为平行四边形的边时，如图1，则有BQ ∥PC ，∴P 点纵坐标为3，即过C 点与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q ，当点P 在曲线M 上时，在2=23y x x --中，令y =3可解得x或x =1，∴PCPC﹣1．。
图形变换模型之翻折(折叠)模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
图形变换模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。
无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。
本专题以各类几个图形(三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等)为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：1)利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2)结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3)运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型【模型解读】1(2023·辽宁鞍山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB= 10，则点D的坐标是．2(2023春·江苏泰州·八年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，E是BC的中点，将△ABE 沿直线AE翻折，点落B在点F处，连结CF，则CF的长为()A.6B.325C.35 D.2543(2023·湖北·统考中考真题)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A,D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E, F，连接BM．(1)求证：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的长．4(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A EFD ，边A E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为()A.18-3B.92+37 C.12-372D.6+3725(2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E、G分别在BC、AB上，将△DCE、△BEG分别沿DE、EG翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E 四点在同一直线上时，线段GP长为()A.832 B.83C.53D.5326(2023·江苏盐城·统考中考真题)综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B ，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.【活动猜想】(1)如图2，当点B 与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：.【问题解决】(2)如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A ，B ，C在同一条直线上.【深入探究】(3)如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A B 与对角线AC平行？请说明理由.(4)在(3)的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.模型2.正方形中的翻折模型【模型解读】7(2023·河南洛阳·统考二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点F为CD边的中点，点P是AD边上不与端点重合的一动点，连接BP．将△ABP沿BP翻折，点A的对应点为点E，则线段EF长的最小值为()A.27B.25-4C.34D.37-28(2023·广西玉林·统考模拟预测)如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE=2，则△CDF的面积是()A.1+324B.32+4 C.62+8 D.3229(2023·广东九年级课时练习)如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB +∠AED=135°③GF=3；④AG⎳CF；其中正确的有(填序号)．10(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B 处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为．11(2023·江苏·统考中考真题)综合与实践定义：将宽与长的比值为22n+1-12n(n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形．(1)概念理解：当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图(1)，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽(AD)与长CD的比值是．(2)操作验证：用正方形纸片ABCD进行如下操作(如图(2))：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形． (3)方法迁移：用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图(3)中画出折叠示意图并作简要标注．(4)探究发现：小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图(4)，点E为正方形ABCD边AB上(不与端点重合)任意一点，连接CE，继续(2)中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．模型3.菱形中的翻折模型【模型解读】12(2023·四川成都·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为．13(2023·安徽·统考一模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长度的最小值是( ).A.7B.7-1C.3D.214(2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习)如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为()A.72B.12C.74D.2315(2023春·湖北十堰·八年级校联考期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为AF，FG与CD交于点H，有如下结论：①∠CFH=30°；②DE=33AE；③CH=GH；④S△ABF：S四边形AFCD=3：5，上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④16(2023·浙江·九年级期末)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B 两点重合，MN是折痕．若B M=1，则CN的长为．17(2023秋·重庆·九年级专题练习)如图，在菱形ABCD中，BC=4，∠B=120°，点E是AD的中点，点F是AB上一点，以EF为对称轴将△EAF折叠得到△EGF，以CE为对称轴将△CDE折叠得到△CHE，使得点H落到EG上，连接AG．下列结论错误的是()A.∠CEF=90°B.CE∥AGC.FG=1.6D.CFAB =145模型4.三角形中的翻折模型【模型解读】18(2023·内江九年级期中)如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C=90°，AC=7，AB=25．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB ，AB 与边BC交于点E．若△DEB 为直角三角形，则BD的长是．19(2023年四川省成都市数学中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若AGGE =73，则tan A=．20(2023·湖北襄阳·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，将BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE.若DE⊥AB于点F，BC=10，则AF的长为．21(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是．模型5.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°22(2022秋·浙江宁波·九年级校考期末)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =BC =4，把弧AB 沿弦AB 向下折叠交BC 于点D ，若点D 为BC 中点，则AC 长为()A.1B.2C.22D.623(2023·广东广州·统考一模)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC =20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则∠ACD 的度数等于( )．A.40°B.50°C.80°D.100°24(2023·浙江宁波·校考一模)如图，⊙O 的半径为4．将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ．则这条劣弧的弧长为．25(2022春·湖北荆州·九年级专题练习)如图，AB 为⊙O 的直径，将BC沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于D ．若BC =45，sin ∠ABC =55，则图中阴影部分的面积为()A.256π-2B.253π-2 C.8 D.1026(2023·河南商丘·统考二模)如图，在扇形OBA 中，∠AOB =120°，点C ，D 分别是AB 和OA 上的点，且CD ∥OB ，将扇形沿CD 翻折，翻折后的A C 恰好经过点O ．若OA =2，则图中阴影部分的面积是．27(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是()①AC =CD ；②AD =BD ；③AC +BD =BC ；④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.428(2021·湖北武汉·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE =DE ，设∠ABC =α，则α所在的范围是()A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.1°<α<23.5°29(2022·江苏扬州·统考一模)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB 上的一个动点(与A 、B 两点不重合)，若⊙O 的半径是2cm ，则△APB 面积的最大值是cm 2课后专项训练1(2023·浙江·一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，点E为DC的中点，点F在BC上，连接AF，将△ABF沿AF翻折，使点B的对应点恰为点E，则AF的长为()A.5B.233C.433D.1032(2023年湖北省黄石市中考数学真题)如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM ﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=()A.32B.1 C.233D.23(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是()A.1,2B.-1,2C.5-1,2D.1-5,2 4(2023·福建莆田·九年级校考期末)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为5，AB =45，则AC 的长是()A.5π2B.25π4C.10π3D.4π5(2022·浙江宁波·统考一模)如图，AB 是半径为4的⊙O 的弦，且AB =6，将AB 沿着弦AB 折叠，点C 是折叠后的AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接EO .则EO 的最小值为．6(2023·辽宁盘锦·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是矩形，AB =6，BC =6．点E 为边BC 的中点，点F 为边AD 上一点，将四边形ABEF 沿EF 折叠，点A 的对应点为点A ，点B 的对应点为点B ，过点B 作B H ⊥BC 于点H ，若B H =22，则FD 的长是．7(2023·山东济南·统考中考真题)如图，将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，折痕CP 交AD 于点P ．若∠ABC =30°，AP =2，则PE 的长等于．8(2023·山东淄博·统考一模)如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C =90°，AC =4cm ，BC =3cm ，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则DE的长是．9(2023秋·四川雅安·八年级统考期末)在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC=6，BE=2，则DE的长是．10(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD=8，则四边形A EBC的周长为．11(2023·新疆·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A BE，当点A 恰好落在EC上时，DE的长为．12(2023春·浙江宁波·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=8cm，现将矩形沿EF 折叠，点C翻折后交AB于点G，点D的对应点为点H，当BG=4cm时，线段GI的长为cm．13(2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习)如图，长方形ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C 处，BC 与AD 相交于点E ，若AB =3，AE =1，则BC 的长为．14(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图(1)，在等腰直角三角形纸片ABC 中，∠B =90°，AB =2，点D ，E 分别为AB ，BC 上的动点，将纸片沿DE 翻折，点B 的对应点B 恰好落在边AC 上，如图(2)，再将纸片沿B E 翻折，点C 的对应点为C ，如图(3).当△DB E ，△B C E 的重合部分(即阴影部分)为直角三角形时，CE 的长为．15(2022·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知∠AOB =120°，OA =6，则EF 的度数为；折痕CD 的长为．16(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB 上的一点，将AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)17(2023·湖北·统考中考真题)如图，将边长为3的正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上(点M 不与点A ,D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，折痕分别与边AB ，CD 交于点E ,F ，连接BM ．(1)求证：∠AMB =∠BMP ；(2)若DP =1，求MD 的长．18(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ．(1)操作发现：将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC 于点D ，连接DE ，DB ，则∠BDE =°，设AC =1，BC =x ，那么AE =(用含x 的式子表示)；(2)进一步探究发现：底BC 腰AC =5-12，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：底BC 腰AC=5-12；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC 是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1．求这个菱形较长对角线的长．19(2023秋·山西·九年级专题练习)综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，F 为AD 边上一点，连接CE 、CF ，分别将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，且C 、H 、G 三点共线．(1)如图1，若F 为AD 边的中点，AB =BC =6，点G 与点H 重合，则∠ECF = °，BE = ；(2)如图2，若F 为AD 的中点，CG 平分∠ECF ，AB =2+1，BC =2，求∠ECF 的度数及BE 的长；(3)AB =5，AD =3，若F 为AD 的三等分点，请直接写出BE 的长．20(2022·广西南宁·统考三模)综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为10cm 的⊙O 1，将圆形纸片沿着弦AB 折叠，使对折后劣弧AB 恰好过圆心O 1，同学们用尺子度量折痕AB 的长约为18cm ，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．验证如下：如图1，过点O 1作O 1F ⊥AB 于点F ，并延长O 1F 交虚线劣弧AB 于点E ，∴AB =2AF ，由折叠知，EF =O 1F =12O 1E =12×10=5(cm )，连接O 1A ，在Rt △O 1FA 中，O 1A =10，根据勾股定理得，AF =O 1A 2-O 1F 2=102-52=53(cm )，∴AB =2AF =103≈10×1.732≈17.732(cm )，通过计算：17.732≈18，同学们用尺子度量折痕AB 的长约为18cm 是正确的．请同学们进一步研究以下问题：(1)如图2，⊙O 2的半径为10cm ，AB 为⊙O 2的弦，O 2C ⊥AB ，垂足为点C ，劣弧AB 沿弦AB 折叠后经过O 2C 的中点P ，求弦AB 的长(结果保留根号)；(2)如图3，在⊙O 3中劣弧AB 沿弦AB 折叠后与直径CB 相交于点Q ，若CQ =8cm ，BQ =12cm ，求弦AB 的长(结果保留根号)．。
初二翻折题知识点归纳总结
初二翻折题知识点归纳总结初二翻折题是中学数学中的一种常见题型，主要涉及到平面图形的对称性和翻折变换。
熟练掌握翻折题的解题方法和知识点对于学生提高几何思维能力和解题水平非常重要。
本文将对初二翻折题的知识点进行归纳总结，并为初二学生提供一些解题技巧和注意事项。
一、翻折题的基本概念翻折题是通过将图形折叠或翻折来寻找图形的对称性质或变换关系的题目。
在解决翻折题时，我们需要利用图形的对称性质或翻折变换来得到答案。
二、翻折题的解题步骤解决翻折题的一般步骤如下：1. 观察题目给出的图形，注意其中的对称性质和图形的特点。
2. 根据题目的要求，进行翻折操作，绘制折线或标记翻折轴。
3. 根据折叠后的图形与原图形的对应关系，找出图形的对称性质或变换关系。
4. 利用得到的对称性质或变换关系，解决题目中的具体问题。
三、常见的翻折题型及解题方法1. 翻折轴问题：给定一个图形和一个翻折轴，要求找出翻折后的图形。
解题方法：将图形按照翻折轴进行折叠，对折之后的图形与原图形关于翻折轴有对称性。
2. 对称性质问题：给定一个图形和一个对称中心，要求找出对称中心和图形的对称部分。
解题方法：将图形与对称中心对折，对折之后的图形与原图形关于对称中心有对称性。
3. 叠加变换问题：给定两个图形，要求找出它们的叠加图形。
解题方法：对其中一个图形进行翻折，使得翻折后的图形与另一个图形重合。
四、解题技巧和注意事项1. 在解翻折题时要仔细观察题目中给出的图形，寻找可能的对称性质或变换关系。
2. 绘制合适的折线或标记翻折轴，有助于解决问题。
3. 需要注意图形的整体关系，在折叠过程中要保持图形的完整性。
4. 注意题目的要求，根据要求寻找相应的对称性质或变换关系。
5. 可以反复尝试，多动手实践来提高解题能力。
通过对初二翻折题的知识点归纳总结，我们可以看到，翻折题在中学数学中具有一定的重要性，是培养学生几何思维能力和解题能力的重要途径。
通过掌握解题的基本步骤和常见的解题方法，学生可以更加轻松地解决翻折题，并提升数学学习成绩。
初中数学专题复习(翻折变换问题)
初中数学专题复习（翻折变换问题）1．（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（）A．B．C．D．解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，由第二次折叠知，CD＝DE＝，∴AB＝．故选：A．2．（2020•西宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（）A．或2B．C．或2D．解：设CE＝x，则C′E＝x，∵矩形ABCD中，AB＝5，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，AD∥BC，∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，BN＝AM，∴DM＝CN＝4，∴四边形CDMN为平行四边形，∵∠NCD＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5由折叠知，C′D＝CD＝5，∴MC′＝＝＝3，∴C′N＝5﹣3＝2，∵EN＝CN﹣CE＝4﹣x，∴C′E2﹣NE2＝C′E2，∴x2﹣（4﹣x）2＝22，解得，x＝，即CE＝．故选：B．3．（2020•黔南州）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E 与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（）A．30°B．45°C．74°D．75°解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，由折叠可得，∠α＝∠DEG＝×150°＝75°，故选：D．4．（2020•呼和浩特）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），＝8，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EPS△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（）A．6+10B．6+5C．3+10D．3+5解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵，∠A′PF＝∠D′PG＝90°，∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，∴∠A′PE＝∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2＝8：2，∴A′P：D′H＝2：1，∵A′P＝x，∴D′H＝x，∵S△D′PH＝D′P•D′H，即，∴x＝（负根舍弃），∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，∴PE＝，PH＝，∴AD＝＝，即矩形ABCD的长为，故选：D．5．（2020•内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD 上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．3B．5C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故选：C．6．（2020•青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（）A．B．C．2D．4解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，由折叠得，∠EFC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝5，由折叠得，FC＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故选：C．7．（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（）A．B．C．D．解一：∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝DF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故选：B．解二：连接AA'．∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴A'A＝A'B，∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，∴△ABA'为等边三角形，∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°，又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，∴BM＝2AM＝4，AB＝AM＝2＝CD．在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°，∴OC＝BC•tan∠OBC＝5×＝，∴OD＝CD﹣OC＝2﹣＝．故选：B．8．（2020•重庆）如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）A．B．3C．2D．4解：如图，延长BC交AE于H，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝120°，∵将△ACB沿直线AC翻折，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，∵∠DAE＝∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝15°，∴∠CAE＝30°，∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝∠EAC，∴AC＝EC，又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，∴∠ABE＝90°，∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，∴AH＝EH，BH⊥AE，∵∠CAE＝30°，∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，∴AE＝2，∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴BE＝＝2，故选：C．9．（2020•重庆）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC 的距离为（）A．B．C．D．解：∵DG＝GE，＝S△AEG＝2，∴S△ADG∴S△ADE＝4，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，∴S△ABD∴•（AF+DF）•BF＝4，∴•（3+DF）•2＝4，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝，故选：B．10．（2020•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝．解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝10﹣6＝4，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝．故答案为：．另一解法：由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴，设BE＝x，则BE＝B'E＝x，C'E＝CE＝10﹣x，∴，解得，x＝4或6，∴BE＝B'E＝4，CE＝C'E＝6，或BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，∵B'E＞C'E，∴BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，∴B'C'＝B'E﹣C'E＝6﹣4＝2，由折叠知，AB'＝AB＝8，∠B'＝∠B＝90°，∴tan∠B'AC′＝．解法三：设BE＝a，EC＝b，则a+b＝10．由于△AB'E～△EC'F，所以AB'：EC'＝EB'：C'F，即8：a＝b：3，ab＝24．B'C'＝a﹣b，因为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣96＝4．所以B'C′＝2．所以tan∠B'AC′＝．故答案为．11．（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝5cm．解：连接AC，MC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），故答案为5．12．（2020•威海）如图，四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2．分别在边AB，BC，CD，DA上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝acm（AE＞BE），连接EF，FG，GH，HE．分别以EF，FG，GH，HE为轴将纸片向内翻折，得到四边形A1B1C1D1．若四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，则a＝4．解：∵四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2，∴正方形纸片的边长为5cm，∵AE＝BF＝CG＝DH＝acm，∴BE＝AH＝（5﹣a）cm，又∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF（SAS），同理可得△AHE≌△BEF≌△DGH≌CFG，由折叠的性质可知，图中的八个小三角形全等．∵四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，∴三角形AEH的面积为（25﹣9）÷8＝2（cm2），a（5﹣a）＝2，解得a1＝1（舍去），a2＝4．故答案为：4．13．（2020•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cos A＝，则＝．解：∵∠C＝90°，cos A＝，∴，设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，∵AE⊥AE′，∴∠AEA′＝90°，A′E∥BC，由于折叠，∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，∵∠A′EF＝∠C＝90°，∠EFA′＝∠BFC，∴△A′EF∽△BCF，∴∠BEC＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，∴EC＝3x，∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，∴，故答案为：．14．（2020•南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴＝＝＝，∴＝＝．解法二：证明△ABP和△DAE相似，＝＝．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．15．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．（1）若DE＝，求S的值；（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．解：（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE＝，∴AE＝＝，∴tan∠AED＝＝，∴∠AED＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAE＝60°，∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，∴∠AEC＝∠AEM，∵∠PEC＝∠DEM，∴∠AEP＝∠AED＝60°，∴△APE为等边三角形，∴S＝（+）×1＝；（2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，∴AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a＝，∴S＝＝．。
初中数学《翻折专题》经典题型50例
翻折练习1一．选择题（共37小题）1．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝＝2，（故④正确）；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．2．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A1+∠A1DB＝90°，即AB⊥CE，再根据勾股定理可得AB＝＝3，最后利用面积法得出AB×CE＝BC×AC，可得CE＝＝，进而依据A1C ＝AC＝4，即可得到A1E＝．【解答】解：∵A1D∥BC，∴∠B＝∠A1DB，由折叠可得，∠A1＝∠A，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A1+∠A1DB＝90°，∴AB⊥CE，∵∠ACB＝90°，AC＝4，，∴AB＝＝3，∵AB×CE＝BC×AC，∴CE＝＝，又∵A1C＝AC＝4，∴A1E＝4﹣＝，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到CE⊥AB以及面积法的运用．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出AB＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC＝30°，在根据折叠的性质得BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中可计算出CF＝，BF＝2CF＝，则EF＝2﹣，在Rt△DEF中计算出FD＝1﹣，ED＝﹣1，然后利用S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝2，∴∠BAC＝30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中，CF＝＝，BF＝2CF＝，∴EF＝2﹣，在Rt△DEF中，FD＝EF＝1﹣，ED＝FD＝﹣1，∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE＝2×BC•AD+AD•ED＝2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）＝1．故选：A．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．4．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG＝GC；通过证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC＝S△GCE﹣S，求得面积比较即可．△FEC【解答】解：①正确．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝GC；③正确．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由：∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3．故④不正确．∴正确的个数有3个．故选：C．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．5．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP 并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠P AB+∠PBA＝90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC＝90°，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．【解答】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP＝EB，∴∠EBP＝∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE＝EB，∴AE＝EP，∴∠P AB＝∠APE，∵∠P AB+∠PBA+∠APB＝180°，即∠P AB+∠PBA+∠APE+∠BPE＝2（∠P AB+∠PBA）＝180°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，由折叠得：BC＝PC，∴∠BPC＝∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠ABP＝∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE＝30°时，才有∠FPC＝∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF＝EC，AD＝BC＝PC，∠ADF＝∠EPC＝90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF＝∠APB＝90°，∠F AD＝∠ABP，当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（）A．13B．C．D．12【分析】利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，∴＝2，GC＝BG＝12，∴AG＝24，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过E点作EF⊥BC于点F，∴EF＝AG＝12，∴＝2，∴FC＝6，设BD＝x，则DE＝x，∴DF＝24﹣x﹣6＝18﹣x，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得：x＝13，则BD＝13．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG 的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．8．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（）A．B．C．2D．3【分析】作辅助线，根据点B的坐标，求出OB和正方形的边长，由正方形的对角线互相垂直平分得：DQ是梯形CMNA的中位线，则CM+AN＝2DQ＝7，证明△CMO≌△ONA，则ON＝CM，所以ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，根据勾股定理列方程求出x的值，并取舍，再根据正方形的边长求出OP的长．【解答】解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示，连接OB、AC，交于点D，过点D、A作x轴的垂线，垂足分别为Q、N，设CB′交x轴于M，则CM∥QD∥AN，∵四边形OABC是正方形，∴OD＝BD，OB⊥AC，∵O（0，0），B（1，7），∴D（，），即DQ＝由勾股定理得：OB＝＝＝5，∵△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝AO＝5，∵DQ是梯形CMNA的中位线，∴CM+AN＝2DQ＝7，∵∠COA＝90°，∴∠COM+∠AON＝90°，∵∠CMO＝90°，∴∠COM+∠MCO＝90°，∴∠AON＝∠MCO，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∵∠CMO＝∠ONA＝90°，∴△CMO≌△ONA，∴ON＝CM，∴ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，在Rt△AON中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x＝3或4，当x＝4时，CM＝3，此时点B在第二象限，不符合题意，∴x＝3，∴OM＝3，∵A′B′＝PM＝5，∴OP＝a＝2，故选：C．【点评】本题是翻折变换问题，考查了翻折的性质和正方形及坐标与图形的性质，首先明确翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；利用三角形全等和梯形中位线的性质，得出直角三角形两直角边的和为7，设未知数，根据勾股定理列方程得出结论．9．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF＝AB；②∠BAF ＝∠CAF；③S四边形ADFE＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对折的性质可得AE＝EF，∠DAF＝∠DF A，∠EAF＝∠AFE，∠BAC＝∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE＝EF，BF＝FC，但并不能说明AE＝EC，∴不能说明EF是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB＝AC，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④∠BDF＝∠BAF+∠DF A，∠FEC＝∠EAF+∠AFE，∴∠BDF+∠FEC＝∠BAC+∠DFE＝2∠BAC，故④对．正确的有两个，故选B．【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等．10．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN 的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）A．2B．4C．D．【分析】首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM＝1：4，然后设DN＝x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．【解答】解：过点N作NG⊥BC于G，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，∴CD＝NG，CG＝DN，∠ANM＝∠CMN，由折叠的性质可得：AM＝CM，∠AMN＝∠CMN，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形，∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM＝1：4，设DN＝x，则AN＝AM＝CM＝CN＝4x，AD＝BC＝5x，CG＝x，∴BM＝x，GM＝3x，在Rt△CGN中，NG＝＝x，在Rt△MNG中，MN＝＝2x，∴＝2．故选：D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．11．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为（）A．B．C．D．【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长，得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，依据△GPH≌△BCM，可得GH＝BM，再利用勾股定理得出BM，即可得到GH的长．【解答】解：设CM＝x，设HC＝y，则BH＝HM＝3﹣y，故y2+x2＝（3﹣y）2，整理得：y＝﹣x2+，即CH＝﹣x2+，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由题意可得：ED＝1.5，DM＝3﹣x，∠EMH＝∠B＝90°，故∠HMC+∠EMD＝90°，∵∠HMC+∠MHC＝90°，∴∠EMD＝∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴＝，即＝，解得：x1＝1，x2＝3（不合题意），∴CM＝1，如图，连接BM，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BM⊥GH，∴∠PGH＝∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH＝BM，∴GH＝BM＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．12．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B 落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用翻折不变性可得AE＝AB＝10，推出DE＝8，EC＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，可得x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，可得y＝3，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADER中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（）个①∠M＝∠DAB′；②PB＝PB′；；④MB′＝CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′＝B′P．A．2B．3C．4D．5【分析】根据∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①；利用折叠的性质可判断出△B'AP≌△BAP，继而可判断出②；设AE＝x，表示出EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的长度，继而可判断出③；利用反证法判断④，最后看得出的结果能证明出来；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，从而可判断出⑤．综合起来即可得出最终的答案．【解答】解：连接AB'，①由题意得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠M＝∠CB'E＝∠DAB'，故可得①正确；②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，∴PB＝PB'，故可得②正确；③在Rt△ADB'可得，B'D＝＝3，从而可得CB'＝5﹣3＝2，设AE＝x，则EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4﹣）2+4＝x2﹣25，解得：x＝，即AE＝．故可得③正确；④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，故有∠BAB'＝∠DAB'，而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'，即假设不成立．故可得④错误．⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，∴∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，∴EB'＝B'P，故可得⑤正确．综上可得①②③⑤正确，共四个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．14．如图，已知△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．【分析】首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝BC，∴AF＝AB＝，∴AC＝＝＝2，由折叠的性质得：AB′＝AB＝2，∠B′＝∠B＝30°，∵∠B′CD＝∠CAB+∠B＝60°，∴∠CDB′＝90°，∵B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，∴CD＝B′C＝﹣1，B′D＝B′C•cos∠B′＝（2﹣2）×＝3﹣，∴DE＝＝＝，∴S阴影＝AC•DE＝×2×＝．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．15．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据中点定义可得DE＝CE，再根据翻折的性质可得DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，从而得到CE＝EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝FG，设CG＝a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD＝BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．【解答】解：连接EG，∵点E是边CD的中点，∴DE＝CE，∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴CE＝EF，在Rt△ECG和Rt△EFG中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG＝FG，设CG＝a，∵＝，∴GB＝4a，∴BC＝CG+BG＝a+4a＝5a，在矩形ABCD中，AD＝BC＝5a，∴AF＝5a，AG＝AF+FG＝5a+a＝6a，在Rt△ABG中，AB＝＝＝2a，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．则阴影部分的周长＝矩形的周长＝2（10+5）＝30．故选：D．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，EC＝2cm，AD上有一点P，P A＝6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是（）cm．A．4B．4.5C．4D．4【分析】首先过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，由矩形ABCD与PF⊥AD，易证得四边形PQHD是矩形，即可求得DH＝PQ，DH＝PD，又由折叠的性质，可得QE＝PQ，然后设PQ＝xcm，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，∴∠DHQ＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝5cm，∴DE＝CD﹣EC＝5﹣2＝3（cm），∵PF⊥AD，∴∠FPD＝90°，∴四边形PQHD是矩形，∴QH＝PD＝AB﹣P A＝10﹣6＝4（cm），DH＝PQ，∵将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，∴PQ＝EQ，设PQ＝xcm，则QE＝DH＝xcm，∴EH＝DH﹣DE＝x﹣3（cm），在Rt△EQH中，QE2＝QH2+EH2，即x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝4．∴PQ＝4cm．故选：D．【点评】此题考查了折叠性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E为AC、BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，使点C的对应点C′落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为（）A．B．C．或D．或【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．【解答】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，∴DC'∥CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，经检验：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如图，当∠DC'A＝90°时，∠DCB＝90°，由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B与CE重合，由∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，∴CD＝；综上所述，CD的长为或．故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G 在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，可得即a2+（2b）2＝（3a）2，进而得出的值．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．如图，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为（）A．6B．5C．4D．3【分析】设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x．∵D是BC的中点，∴BD＝＝3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，解得：x＝5．AN＝5．故选：B．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN＝AN＝x，BN＝9﹣x，从而列出关于x的方程是解题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出＝＝．【解答】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称﹣最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．22．一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．2B．C．D．【分析】在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN﹣MN＝EM．设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解方程即可得到EM的长．【解答】解：∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，在Rt△ABD中，BD＝＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，∴MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．故选：D．【点评】本题考查折叠问题，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当A1E⊥AB时，的值等于（）A．B．C．D．【分析】先延长AB，D1A1交于点G，根据三角形三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，在Rt△A1GE中，依据勾股定理可得A1E2+GE2＝A1G2，进而得出方程x2+（x+2）2＝（2x）2，据此可得AE＝1+，即可得出的值．【解答】解：如图所示，延长AB，D1A1交于点G，∵A1E⊥AB，∠EA1C＝∠A＝120°，∴∠G＝120°﹣90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，∴∠G＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，∴GE＝1+x+1＝x+2，∵Rt△A1GE中，A1E2+GE2＝A1G2，∴x2+（x+2）2＝（2x）2，解得x＝1+，（负值已舍去）∴AE＝1+，∴＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．解题时注意方程思想的运用．24．如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（）A．B．C．2D．【分析】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，由平行线的性质得出HAE＝∠B＝45°，得出△BPE 和△AEH是等腰直角三角形，得出BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，GM＝HP＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理求出GH＝，得出PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出PF＝2﹣4，再由三角函数定义即可得出结果．【解答】解：过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，如图所示：则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAE＝∠B＝45°，∴△BPE和△AEH是等腰直角三角形，∴BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，∴GM＝HP＝2+1＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理得：12+GH2＝（2）2，解得：GH＝±（负值舍去），∴GH＝，∴PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得：32+（﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝2﹣4，∴PF＝2﹣4，∴tan∠EFG＝tan∠EFB＝＝＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．25．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G．若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为（）A．B．C．D．2【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，∴OG＝GH•sin60°＝2×＝，由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，∴PG＝＝，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC＝180°，∴∠MCG+∠OMC＝180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM＝CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM＝OG＝，根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，∴DN+CM＝2PG＝，∴DN＝﹣；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．26．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A 恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG．其中正确结论的序号是（）A．①②③④⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①④⑤【分析】①根据折叠的性质我们能得出∠ADG＝∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；②由tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，即可求得tan∠AED＝＞2，即可得②错误；③由AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得即可求得S△AGD＞S△OGD；④我们根据折叠的性质就能得出AE＝EF，AG＝GF，只要再证出AE＝AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度数进行求解，①中应经求出了∠AGD的度数，那么就能求出∠AGE的度数，在直角三角形AED中，有了∠ADE 的度数，就能求出∠AED的度数，这样得出AE＝AG后就能证出AEFG是菱形了．⑤我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．【解答】解：∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F 重合，∴∠GAD＝45°，∠ADG＝∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝112.5°，∴①正确．∵tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED＝＞2，∴②错误．∵AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，∴③错误．根据题意可得：AE＝EF，AG＝FG，又∵EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，又∵∠AEG＝∠FEG，。
专题18 平行四边形中的翻折问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)
专题18 平行四边形中的翻折问题训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分一、解答题1.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，在Rt△ABC中，AC=√62+82=10，∵长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，∴CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，∴AF=10−6=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中，x2+42=(8−x)2，解得x=3，即EF的长为3；(2)四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC=12×6×8+12×3×10=39．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．(1)依题意可得CD=AB=6，AD=BC=8，∠B=∠D=90°，再利用勾股定理计算出AC= 10，接着根据折叠的性质得CF=CD=6，ED=EF，∠EFC=∠D=90°，所以AF=4，设EF=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△AEF中利用勾股定理得x2+42=(8−x)2，然后解方程即可；(2)根据三角形面积公式，利用四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC进行计算．2.如图1，四边形ABCD为矩形，AD=12，AB>AD，线段AB上有一动点E，连接DE，将△DEA沿DE折叠到△DEA．(1)若AB=16，当A′落在BD上时，求AE的长；(2)如图2，G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，当点E在AB边上运动时，∠GHK的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数，若变化，请说明理由；(3)如图3，点M、N分别在线段DE、AD上，连接AM、MN，当∠ADE=30°时，求AM+MN的最小值．【答案】解：(1)设AE=a，∵四边形ABCD为矩形，AD=12，AB=16，∴BE=16−a，BD=√122+162=20，∵将△DEA沿DE折叠到△DEA，∴A′E=AE=a，A′D=AD=12，∴BA′=20−12=8，在Rt△A′EB中，∵A′E2+A′B2=EB2，即a2+82=(16−a)2，解得：a=6，∴AE=6；(2)当点E在AB边上运动时，∠GHK=90°；理由：连接DE，AA′，由题意知，∠DOA′=90°，∵G、H、K分别是线段DA、DA、EA的中点，∴GH//A′O，HK//DE，∴DO⊥HG，∠DPH=90°，∵HK//DE，∴∠KHP=90°，∴∠GHK=90°；(3)由题意知，∠ADM=∠EDA′=30°，∴∠ADA′=60°，连接AA′，∴△AA′D是等边三角形，∴A′D=AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，∵AD=A′D=12，A′D=6，∴DN=12∴A′N=√122−62=6√3，∴AM+MN的最小值是6√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、轴对称-最短路线问题、四边形、等边三角形的判定与性质【解析】(1)设AE=a，由勾股定理得到BE=16−a，BD=√122+162=20，根据折叠的性质得到A′E=AE=a，A′D=AD=12，在Rt△A′EB中，根据勾股定理即可得到结论；(2)连接DE，AA′，根据三角形的中位线的性质得到GH//A′O，HK//DE，根据平行线的性质即可得到结论；(3)由三角形的内角和得到∠ADA′=60°，连接AA′，得到△AA′D是等边三角形，求得A′D= AD=12，过A′作A′N⊥DA于N，交DE于M，则此时，AM+MN的值最小，AM+MN的最小值=A′N，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，最短路线问题，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3.在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF=5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//FC，∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG，∴AE=GE，∴∠FAE=∠AGE，∵∠CEB=∠CEG=1∠BEG，∠BEG=∠FAE+∠AGE，2∠BEG，∴∠FAE=12∴∠FAE=∠CEB，∴AF//EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)解：由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，∵△GCE的周长为20，∴GE+CE+GC=20，∴BE+CE+BC=20，∵四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，AE=CF=5，∴四边形ABCF的周长=AB+BC+CF+AF=AE+BE+BC+CE+CF=5+20+5= 30．【知识点】平行四边形的判定与性质、翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定、折叠与对称【解析】(1)由平行四边形的性质得出AE//FC，再由三角形的外角的性质，以及折叠的性质，可以证明∠FAE=∠CEB，进而证明AF//EC，即可得出结论；(2)由折叠的性质得：GE=BE，GC=BC，由△GCE的周长得出GE+CE+GC=20，BE+ CE+BC=20，由平行四边形的性质得出AF=CE，AE=CF=5，即可得出结果．本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键．4.将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上(点P不与点O，B重合)．(Ⅰ)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；(Ⅱ)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ= OP，点O的对应点为O′，设OP=t．①如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤1≤3时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．【答案】解：(Ⅰ)如图①中，过点P作PH⊥OA于H．∵∠OAB=90°，∠B=30°，∴∠BOA=90°−30°=60°，∴∠OPH=90°−60°=30°，∵OP=1，∴OH=12OP=12，PH=OP⋅cos30°=√32，∴P(12,√3 2).(Ⅱ)①如图②中，由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，∴OP=O′P，OQ=O′Q，∵OP=OQ=t，∴OP=OQ=O′P=O′Q，∴四边形OPO′Q是菱形，∴QO′//OB，∴∠ADQ=∠B=30°，∵A(2,0)，∴OA=2，QA=2−t，在Rt△AQD中，DQ=2QA=4−2t，∵O′D=O′Q−QD=3t−4，∴43<t<2．②①当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t=23，S=√34×(23)2=√39，当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34， 当t =1时，S =√34，当t =3时，S =12×12×√32=√38， 综上所述，√38≤S ≤4√37． 【知识点】菱形的性质、翻折变换(折叠问题)、四边形综合【解析】(Ⅰ)如图①中，过点P 作PH ⊥OA 于H.解直角三角形求出OH ，PH 即可． (Ⅱ)①解直角三角形求出DQ ，DO′即可．②求出点O′落在AB 上时，S =√34×(23)2=√39.当23<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3，当x =−3√32×(−7√38)=127时，S 有最大值，最大值=4√34.再求出当t =1或3时，S 的值即可判断．本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．5. (1)如图1，将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，折痕为AE ，点B 落在B 1处，若∠DAC =66°，则∠BAE =______°；(2)小丽手中有一张矩形纸片，AB =9，AD =4.她准备按如下两种方式进行折叠： ①如图2，点F 在这张矩形纸片的边CD 上，将纸片折叠，使点D 落在边AB 上的点D 1处，折痕为FG ，若DF =5，求AG 的长；②如图3，点H 在这张矩形纸片的边AB 上，将纸片折叠，使HA 落在射线HC 上，折痕为HK ，点A ，D 分别落在A 1，D 2处，若DK =73，求A 1C 的长．【答案】解：(1)12；(2)如图，过点F作FH⊥AB于H，∵∠D=∠A=90°，FH⊥AB∴四边形DFHA是矩形∴AD=FH=4，∵将纸片ABCD折叠∴DF=D1F=5，DG=D1G，∴D1H=√D1F2−FH2=√25−16=3∴AD1=2∵AG2+D1A2=D1G2，∴AG2+4=(4−AG)2，∴AG=32②∵DK=73，CD=9，∴CK=9−73=203，∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，∴∠CKH=∠AHK，由翻折不变性可知，∠AHK=∠CHK，∴∠CKH=∠CHK，∴CK=CH=203，∵CB=AD=4，∠B=90°，∴在Rt△CDF中，BH=√CH2−BC2=√4009−16=163，∴AH=AB−BH=11，3由翻折不变性可知，AH=A1H=113∴A1C=HC−A1H=3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、四边形【解析】解：(1)∵∠DAC=66°，∴∠CAB=24°∵将矩形ABCD折叠，使AB落在对角线AC上，∴∠BAE=∠CAE=12°故答案为：12；(2)见答案．(1)由折叠的性质可得∠BAE=∠CAE=12°；(2)①过点F作FH⊥AB于H，可证四边形DFHA是矩形，可得AD=FH=4，由勾股定理可求D1H=3，由勾股定理可求AG的长；②首先证明CK=CH，理由勾股定理求出BH，可得AH，再利用翻折不变性，可知AH=A1H，由此即可解决问题；本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题，属于中考压轴题．6.如图，已知点E是矩形一边AD上的一点，沿CE折叠矩形使点D落在对角线AC上的点F处，点G为BC上一点，且CG=DE，连FG．(1)求证：FG//EC；(2)若∠DAC=30°，CD=4，求四边形EFGC的面积．【答案】(1)证明：作FN//AD交EC于N，则FN//BC，∠DEC=∠ENF，由折叠的性质可知，∠DEC=∠FEN，FE=DE，∴∠FEN=∠FNE，∴FE=FN，又CG=DE，∴FN=CG，又FN//BC，∴四边形NFGC是平行四边形，∴FG//EC；(2)作FM⊥BC于M，∵∠DAC=30°，∴∠ACD=60°，∴∠DCE=∠FCE=30°，又CD=4，∴DE=4√33，∴△EFC的面积=△EDC的面积=12×4×4√33=8√33，∵∠ACB=90°−∠ACD=30°，∴FM=12FC=2，∴△FGC的面积=12×2×4√33=4√33，∴四边形EFGC的面积=△EFC的面积+△GFC的面积=4√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)【解析】(1)作FN//AD交EC于N，根据翻折变换的性质证明四边形EFGC是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；(2)作FM⊥BC于M，根据直角三角形的性质和翻折变换的性质分别求出△EFC的面积和△GFC的面积即可．本题考查的是翻折变换和平行四边形的判定，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．(1)求证：∠EDO=∠FBO；(2)求证：四边形DEBF是菱形：(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP+DP的最小值．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．∴△ADE≌△ODE，∴△CFB≌△OFB，∴∠ADE=∠ODE=12∠ADB，∠CBF=∠OBF=12∠CBD，∴∠EDO=∠FBO；(2)证明：∵∠EDO=∠FBO，∴DE//BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC，∠A=90°，∵DE//BF，AB//CD，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵△ADE△≌△ODE，∴∠A=∠DOE=90°，∴EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；(3)解：过点P作PH⊥AD于点H，∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE，∴∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，∴在Rt△DPH中，2PH=PD，∴2AP+PD=2PA+2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，∵△ADE≌△ODE，AD=2，∴AD=DO=2，在Rt△OMD中，∵∠ODA=2∠ADE=60°，∴∠DOM=30°，DO=1，∴DM=12∵DM2+OM2=DO2，∴12+OM2=22，∴OM=√3，∴(2PA+PD)的最小值为2OM=2√3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、轴对称-最短路线问题、四边形综合∠ADB，【解析】(1)由折叠的性质得出△ADE≌△ODE，△CFB≌△OFB，则∠ADE=∠ODE=12∠CBD，则可得出结论；∠CBF=∠OBF=12(2)证得四边形DEBF是平行四边形，由全等三角形的性质得出∠A=∠DOE=90°，则可得出结论；(3)过点P作PH⊥AD于点H，得出∠ADE=∠ODE=∠ODF=30°，得出2AP+PD=2PA+ 2PH=2(AP+PH)，过点O作OM⊥AD，与DE的交点即是2AP+PD的值最小的点P的位置．而此时(2AP+PD)的最小值=2OM，求出OM的长，则可得出答案．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．8.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=8，点E在BC上，且EC−EB=2，将△DCE沿DE折叠，点C恰好与点A重合．(1)求线段AB的长；(2)求线段DC的长．【答案】解：(1)∵BC=8=EC+EB，EC−EB=2，∴EC=5，EB=3，由折叠的性质得：EA=EC=5，∵∠B=90°，∴AB=√EA2−EB2=√52−32=4；(2)作AF⊥CD于F，如图所示：则∠AFD=∠AFC=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形ABCF是矩形，∴FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得：DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：82+(x−4)2=x2，解得：x=10，∴DC=10．【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、矩形的判定与性质【解析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．(1)由BC=8=EC+EB，EC−EB=2，得出EC=5，EB=3，由折叠的性质得EA=EC=5，再由勾股定理即可求出AB的长；(2)作AF⊥CD于F，则四边形ABCF是矩形，得出FC=AB=4，AF=BC=8，由折叠的性质得DC=DA，∠DAE=∠C=90°，设DC=DA=x，则DF=DC−FC=x−4，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．9.如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为过点作交于，连接，求证：四边形为菱形；当在边上移动时，折痕的端点，也随着移动．当点与点重合时如图，求菱形的边长；如限定，分别在，上移动，求出点在边上移动的最大距离．【答案】(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，又∵EF//AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四边形BFEP为菱形;(2) ①∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，DE=√CE2−CD2=4cm，∴AE=AD−DE=5cm−4cm=1cm在Rt△APE中，AE=1，AP=3−PB=3−PE，∴EP2=12+(3−EP)2，cm，解得：EP=53cm;∴菱形BFEP的边长为53 ②当点Q与点C重合时，如图2:点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、四边形综合、菱形的判定、正方形的性质【解析】(1)由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论;(2) ①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD−DE=cm即可;1cm;在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=53 ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识;本题综合性强，有一定难度．10.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG//CD交BE于点G，连接CG．(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG//CE，∴∠FGE=∠CEB，∴∠FGE=∠FEG，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，∴AF=√BF2−AB2=8，∴DF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6−x，∵∠FDE=90°，∴22+(6−x)2=x2，解得，x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG的面积是：CE⋅DF=103×2=203．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、全等三角形的性质【解析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质．(1)根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；(2)根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．11.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD．(1)求证：OP=OF；(2)若设AP=x，试求CF的长(用含x的代数式表示)；(3)求AP的长．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，由翻折的性质可知：∠E=∠A=90°，∴∠E=∠D，在△ODP和△OEF中，{∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)．∴OP=OF．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，∵△ODP≌△OEF(ASA)，∴OP=OF，OD=OE．∴DF=EP．∵AP=PE=DF=x，∴CF=8−x．(3)∵AD=BC=6，PA=PE=DF=x，∴PD=EF=6−x，CF=8−x，BF=BE−EF=8−(6−x)=2+x，在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即62+(8−x)2=(x+2)2，解得：x=4.8，∴AP=4.8．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．(1)由折叠的性质得出∠E=∠A=90°，从而得到∠D=∠E=90°，然后可证明△ODP≌△OEF，从而得到OP=OF；(2)由△ODP≌△OEF，得出OP=OF，从而得到DF=PE=AP，由此即可解决问题．(3)由AP=EP=DF=x，则PD=EF=6−x，DF=x，求出CF、BF，根据在Rt△BCF中，利用勾股定理得出方程，解方程即可．12.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A，C重合，若其长BC为8，宽AB为4．(1)求证：△AEF是等腰三角形；(2)EF=_________．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，由翻折不变性可知：∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形．(2)2√5．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质【解析】(1)见答案；(2)解：设AF=AE=FC=x，在Rt△ABF中，∵AF2=AB2+BF2，∴x2=42+(8−x)2，∴x=5，作FH⊥AE于H．在Rt△AHF中，AH=√AF2−FH2=3，∴HE=AE−AH=2，在Rt △EFH 中，EF =√22+42=2√5，故答案为2√5．(1)根据平行线的性质以及翻折不变性证明∠AEF =∠AFE 即可；(2设AF =AE =FC =x ，在Rt △ABF 中利用勾股定理求出x ，作FH ⊥AE 于H.在Rt △EFH 中，利用勾股定理即可解决问题；本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．13. 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由．【答案】解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB =CD ，∠B =∠D =90∘，AD//BC ．由折叠的性质，得AM =AB ，CN =CD ，∠AME =∠B =90∘，∠CNF =∠D =90∘． 所以∠ANF =∠CME =90∘，AM =CN ．所以AM −MN =CN −MN ，即AN =CM ．因为AD//BC ，所以∠FAN =∠ECM ．在△ANF 和△CME 中，{∠FAN =∠ECM,AN =CM,∠ANF =∠CME,所以△ANF ≌△CME(ASA).所以AF =CE ．又AF//CE ，所以四边形AECF 是平行四边形．(2)当∠BAE =30∘时，四边形AECF 是菱形．理由如下：由折叠的性质，得∠CAE =∠BAE =30∘．因为∠B=90∘，所以∠ACE=90∘−60∘=30∘，即∠CAE=∠ACE．所以EA=EC．由(1)，得四边形AECF是平行四边形，所以四边形AECF是菱形．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．(1)首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；(2)由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°−30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．14.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知A(0,3)、C(−4,0)，把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．(1)判断四边形AECD是什么四边形？请说明理由；(2)求折痕DE的长；(3)若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请画出图形并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)四边形AECD是菱形，理由是：如图，连接EC，AD，∵矩形OABC，∴AB//OC，∴∠EAF=∠DCF，∵矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，∴AF=CF，EA=EC，在△AEF和△CDF中，{∠EAF=∠DCF AF=CF∠AFE=∠CFD,∴△AEF≌△CDF(ASA)，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，又∵EA=EC，∴四边形AECD是菱形；(2)∵四边形AECD为菱形，∴AD=CD，设CD=x，则AD=x，OD=4−x，则在直角三角形AOD中，OA2+OD2=AD2，∴32+(4−x)2=x2，解得，x=258，∴CD=258，∵A(0,3)、点C(−4,0)，∴AC =√32+42=5， ∴S 菱形=12AC ·ED =CD ·OA ， ∴12×5×ED =258×3则DE =154；(3)存在，如图，由(2)可知，AE =CD =258， ∴E(−258,3)，D(−78,0)，①当DE 为菱形的边时，DP =DE =154，当Q 在第一、二象限时可得Q(−558,3)，Q 1(58,3)；当点Q 在第三象限，E 与Q 关于x 轴对称，Q′(−258,−3)．②当DE 为菱形的对角线时，P 与C 重合，Q 与A 重合，Q 2(0,3)，综上所述，满足条件的点Q 坐标为(−558,3)或(58,3)或(0,3) 或(−258,−3)．【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、分类讨论思想、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查四边形综合题、折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生知识和能力的考查，是一道好题．(1)根据折叠的性质通过证明△AEF≌△CDF 得到AE =CD 得出四边形AECD 是平行四边形，再由AE =EC 得出为菱形；(2)根据折叠的性质求出CD 的长，再根据勾股定理得出AC 的长，根据菱形的面积计算公式即可得出折痕DE 的长；(3)分两种情形分别讨论即可：①DE 为菱形的边．②DE 为菱形的对角线．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，点P 、点E 分别是边AB 、BC 上的动点，连接DP 、PE.将ΔADP 与ΔBPE 分别沿DP 与PE 折叠，点A 与点B 分别落在点A′，B′处． (1)当点P 运动到边AB 的中点处时，点A′与点B′重合于点F 处，过点C 作CK ⊥EF 于K ，求CK 的长；(2)当点P 运动到某一时刻，若P ，A′，B′三点恰好在同一直线上，且A′B′=4，试求此时AP 的长．【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD 为矩形，将△ADP 与△BPE分别沿DP 与PE 折叠，∴∠PFD =∠PFE =90°，∴∠PFD +∠PFE =180°，即E ，F ，D 三点在同一直线上，设BE =EF =x ，则EC =6−x ，∵DC =AB =8，DF =AD =6，∴在Rt △DEC 中，DE =DF +FE =6+x ，EC =6−x ，DC =8，∴(6+x)2=(6−x)2+82，解得x =83， 即BE =EF =83，∴DE =263，EC =103， ∵S △DCE =12⋅DC ⋅CE =12⋅DE ⋅CK ，∴CK=40．13(2)分两种情况：①如图2中，设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，∵A′B′=4，∴8−x−x=4，∴x=2，即AP=2．②如图3中，∵A′B′=4，∴x−(8−x)=4，∴x=6，即AP=6．综上所述，PA的长为2或6．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积、分类讨论思想【解析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，分类讨论，三角形的面积等知识，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．(1)设BE=EF=x，则EC=6−x，可得在Rt△DEC中，DE=DF+FE=6+x，EC=6−x，DC=8，根据勾股定理即可得出(6+x)2=(6−x)2+82，求得BE=EF=83，再根据S△DCE=1 2⋅DC⋅CE=12⋅DE⋅CK，即可得到CK的长；(2)分两种情况：设AP=x，则PB=8−x，由折叠可知：PA′=PA=x，PB′=PB=8−x，分别根据A′B′=4，即可得到x的值，进而得到PA的长为2或6．。
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初二图形的翻折专题1.如图，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，连结AE，
△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____．
2.如图1，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，
点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE
最小，则这个最小值为_________．
3.如图，将正方形ABCD沿MN折叠，使点D落在AB边上，
对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折
痕MN的长为_________．
4.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为AD边上一点，
将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，
则AP的长为_______．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把矩形ABCD沿直线
MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AE＝2AM，那么EN
的长等于．
6. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＜BC ，点M 、N 分别在 AD 、BC 上，沿直线MN 将四边形DMNC 翻折，点C 恰好与 点A 重合．如果此时在原图中△CDM 与△MNC 的面积比是 1∶3，那么MN DM 的值等于___________．
7. 如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，
则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．
8. 如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠C ＝90°，点D 是BC 的 中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折
痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么DE
CF 的值为____________．
9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ′处， 连结AC ′．直线AC ′与CB 的延长线相交于点F ．
如果∠DAB ＝∠BAF ，那么BF ＝______________．。