行列式的展开法则

03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则

定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则

1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++=L L ； 2)按一列展开法则

1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++=L L . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式

1)

x

y x y y

x

O O

； 2)

11

11

11

1

21n n

----O O

L ； 3)121111

n n n a a x D a x a x

---=-M O O .

解 1)按1c 展开得

原式1111111(1)(1)n n n n n n

n xA yA xx y y x y -+-+=+=+-=+-.

2)原式

121

(1)

(12)2

n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=

L L 按展开

. 3)法1 按1r 展开得

法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为

1111

1

(1)11i n i i x x

M x x x

x

-----=

=---O O

O O

. 将n D 按1c 展开得

11211211

(1)n

i n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑L .

法3 112

1

2121

12121101

,1,,2

10

i i n

n n n n n n n

a a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++M O O

L L L

12121n n n n a x a x a x a ---=++++L . ()

11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=

法4 按n r 展开得 定理3.2 当i j ≠时，

11220i j i j in jn a A a A a A +++=L ；

11220i j i j ni nj a A a A a A +++=L . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++=L δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++=L δ，

其中

为克罗内克(Kronecker )符号.

例3.3 1)二元(实)函数

显然

(,)xy f x y =δ. 2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯=L δ.

例3.4 设四阶行列式1212

211220211234

D =

.

1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.

行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义

做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号

例3.5 1)若正整数i j ≠，则

2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列 中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.

3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.

s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，

121()t s

n j j s t n

j j j ≤<≤=

∑

L τρ.

例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1

[]i j n n a -⨯的行列式

例3.7 填空

11112345_____4

9

16

25

82764125----=----.

例3.8 设0abcd ≠，求证

22

2

211(,,,)11a a bcd

b

b acd

V a b c d c c abd d d abc

=-.

例3.9 计算n 阶三对角行列式

11

1n a b ab a b ab D a b ab

a b

++=

++O O

O .

二、按多行(列)展开法则

定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212

A k l i i i j j j ⎛⎫

⎪⎝⎭L L 及其余子阵，

k 阶子方阵、k 阶子式；

n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式

1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=-L L ，

k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.

例3.10 设55[]A ij a ⨯=.

1)25135A ⎛⎫

⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫

⎪⎝⎭

为其余子阵； 2)1325A ⎛⎫

⎪⎝⎭

是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为

(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

3)235235A ⎛⎫

⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式

就是余子式1414A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，是A 的一个2阶主子式；

4)A 共有五个顺序主子阵(式).

定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理

1122C C ||A k k n

n

N A N A N A =+++L .

例3.11 计算四阶行列式

12345001

1

23

6511

2

D -=

--.

例3.12 计算六阶行列式

1110002

3

4000

31016111

110

111

2

41124316

1139

D =

---.

例3.13 计算六阶行列式