小学数学 约数与倍数(一).教师版
小学六年级数学重要知识归纳倍数和约数的应用技巧
小学六年级数学重要知识归纳倍数和约数的应用技巧在小学六年级的数学学习中，倍数和约数是非常重要的知识点。
掌握了倍数和约数的应用技巧，不仅可以帮助学生更好地理解数与数之间的关系，还可以在解决实际问题中起到积极的作用。
本文将归纳总结小学六年级数学中关于倍数和约数的应用技巧。
一、倍数的应用技巧1. 查找一个数的倍数：倍数是指一个数能被另一个数整除的结果。
当我们需要找一个数的倍数时，可以采用以下技巧：a. 用这个数除以各个自然数，得到的商即为倍数。
例如，若要找10的倍数，可以用10除以1、2、3等，得到的商分别为10、5、3等，这些数就是10的倍数。
b. 利用这个数的乘法表，直接找到其倍数。
例如，若要找6的倍数，可以利用6的乘法表找到6、12、18等。
2. 判定两个数是否互为倍数：判定两个数是否互为倍数，可以利用以下技巧：a. 若两个数的倍数之间存在公倍数，那么它们就互为倍数。
例如，若要判定6和9是否互为倍数，可以找到它们的公倍数18，因此6和9互为倍数。
b. 两个数的最小公倍数即为它们的互为倍数。
可以通过求解两个数的最大公约数来计算得到最小公倍数。
二、约数的应用技巧1. 查找一个数的约数：约数是指能够整除一个数的自然数。
当我们需要找一个数的约数时，可以采用以下技巧：a. 用这个数除以各个自然数，如果余数为0，则该自然数是这个数的约数。
例如，若要找12的约数，可以用12除以1、2、3等，余数都为0，即1、2、3是12的约数。
b. 对于大数，可以利用质因数分解的方法找到其约数。
例如，对于24，可以分解为2^3 × 3，那么它的约数为1、2、3、4、6、8、12、24。
2. 判断两个数是否互为约数：判断两个数是否互为约数，可以利用以下技巧：a. 若两个数的约数之间存在公约数，那么它们就互为约数。
例如，若要判断3和9是否互为约数，可以找到它们的公约数3，因此3和9互为约数。
b. 两个数的最小公约数即为它们的互为约数。
小学数学中的倍数与约数
小学数学中的倍数与约数在小学数学的学习中，倍数与约数是一个非常基础且重要的概念。
理解了倍数与约数的概念，对于后续数学知识的学习和应用具有很大的帮助。
本文将详细介绍倍数与约数的含义以及相关的性质和应用。
1. 倍数的定义与性质倍数指的是一个数能够被另一个数整除，即后者是前者的倍数。
具体地说，如果存在整数m和n，使得m ×n = a，那么b就是a的倍数。
其中，m为倍数关系的倍数，a为被乘数，n为乘数。
在学习倍数的过程中，我们需要了解和掌握一些倍数的性质：1) 任何数的倍数包括它本身和0。
例如，整数a的倍数包括：a，2a，3a，-a，0等。
2) 一个数的倍数可以无穷多个，也可以没有。
例如，2的倍数有：2，4，6，8，10......而3的倍数有：3，6，9，12，15......3) 两个数的公倍数是它们的倍数的公共部分。
例如，8的倍数有：8，16，24，32......12的倍数有：12，24，36，48......那么8和12的公倍数就是24。
2. 约数的定义与性质约数是指能够整除被除数的数，也可以叫做因数。
具体地说，如果存在整数m和n，使得m × n = a，那么m就是a的约数。
与倍数相似，约数也有一些性质需要我们了解和掌握：1) 除数一定是被除数的约数。
例如，4除以2等于2，说明2是4的约数。
2) 一个数的约数数量是有限的。
例如，数7的约数有1和7，而没有其他的约数。
3) 两个数的公约数是它们的约数的公共部分。
例如，12的约数有：1，2，3，4，6，12，而15的约数有：1，3，5，15，那么12和15的公约数就是1和3。
3. 倍数与约数的关系与应用在小学数学的学习中，倍数与约数的关系是密切相关的。
更准确地说，一个数的倍数同时也是它的约数。
通过对倍数与约数的学习，我们可以应用于以下几个方面：1) 最大公约数：最大公约数即为两个或多个数中最大的公约数。
通过列举数的约数并找到其公共部分即可求出最大公约数。
小一数学学习技巧：掌握数字的约数与倍数性质
小一数学学习技巧：掌握数字的约数与倍数性质数学是一门需要严谨思考和逻辑推理的学科，小学数学作为数学的基础阶段，对培养孩子的逻辑思维、分析问题的能力以及解决问题的方法具有重要意义。
其中，掌握数字的约数与倍数性质是小学数学的重点之一，本文将介绍一些小一数学学习的技巧，帮助孩子掌握数字的约数与倍数性质。
一、认识约数和倍数首先，我们需要明确什么是约数和倍数。
简单来说，约数是指能够整除给定数的数，而倍数是指给定数的某个整数倍。
以数字6为例，2和3都是6的约数，而12和18都是6的倍数。
对于小学生来说，最直观的理解方式是通过图形的划分来认识。
二、认识数字的约数性质1. 数字的约数个数：让孩子自己列举出一些数字的约数，发现其中的规律。
例如，让孩子列举出12的约数，可以得到1、2、3、4、6、12。
通过观察可以发现，除了1和12外，2和6分别是3的倍数和2的倍数，而3和4正好是2和3的乘积。
所以，我们可以得出一个结论：一个数的约数是成对出现的，成对的约数除了平方根外，都是一个小于平方根的数与一个大于平方根的数的乘积。
同时，让孩子尝试找出某些数字的约数个数。
例如，孩子可以发现，12的约数个数是6个（1、2、3、4、6、12）。
再比如，24的约数个数是8个（1、2、3、4、6、8、12、24）。
2. 数字的约数之和：让孩子通过试验发现数字的约数之和与它本身之间的关系。
以数字6为例，它的约数是1、2、3、6，这些数的和为12，与6本身相等。
让孩子尝试着找出其他数字的约数之和，例如10的约数是1、2、5、10，将这些数相加得到18，与10本身相等。
通过这样的尝试，孩子会发现，一个数的约数之和恰好与它本身相等。
这是因为一个数的约数包括了1和它本身，而其他的约数都是成对出现的，总和必定相等。
三、认识数字的倍数性质1. 数字的倍数之间的关系：让孩子列举一些数字的倍数，例如6的倍数有6、12、18、24等，让他们观察这些倍数有什么规律。
小学四年级数学重要知识总结倍数与约数的概念与计算方法
小学四年级数学重要知识总结倍数与约数的概念与计算方法四年级数学重要知识总结：倍数与约数的概念与计算方法一、概念解析倍数是指一个数可以被另一个数整除，即能够被该数整除的数为其倍数。
例如，2是4的倍数，因为4可以被2整除；同时，4也是自身的倍数。
约数是指能够整除一个数的数，也即能够被该数整除的数为其约数。
例如，4的约数有1、2和4，因为这些数都能够整除4。
二、倍数的计算方法要计算一个数的倍数，可以利用该数乘以另一个数的方法来得到。
下面以数值示例来说明：1. 计算2的倍数：2的倍数就是2的整数倍，可以用2乘以任意整数来得到。
如2 × 1 = 2，2 × 2 = 4，2 × 3 = 6，依此类推，这些结果都是2的倍数。
2. 计算3的倍数：3的倍数同样可以用3乘以任意整数得到。
如3 ×1 = 3，3 ×2 = 6，3 × 3 = 9，继续下去可以得到更多的3的倍数。
三、约数的计算方法要计算一个数的约数，可以通过试除法进行。
试除法即挨个尝试每一个可能的除数，如果能整除该数则为其约数。
下面以数值示例来说明：1. 计算4的约数：试除法需要将4除以所有可能的除数，并找出能够整除4的数。
当试除2时，结果是2，可以整除4，因此2为4的约数；同时，当试除4时，结果是1，同样可以整除4，所以4也是自身的约数。
2. 计算6的约数：试除法同样适用于计算6的约数。
当试除2时，结果是3，此时可以整除6，所以2为6的约数；而当试除3时，结果是2，同样可以整除6，所以3也是6的约数。
四、倍数与约数的关系倍数和约数是数学中非常重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
1. 一个数的倍数必定是该数的约数，因为倍数是能够整除该数的数。
2. 一个数的约数不一定是该数的倍数，因为约数可以是能够被该数整除的数，不一定能够整除其他数。
3. 自然数中，任意两个不相等的数之间，存在着最小公倍数和最大公约数的关系。
了解小学数学中的倍数与约数
了解小学数学中的倍数与约数在小学数学中，倍数和约数是经常出现的概念。
它们是数学学习的重要基础，对于深入理解数的性质和运算有着重要的作用。
本文将详细介绍倍数和约数的定义、性质以及在数学中的应用。
一、倍数的定义和性质1.1 定义在数学中，一个数如果能够被另一个数整除，那么后者就是前者的倍数。
例如，6能够被2整除，因此6是2的倍数。
通常表示为“6是2的倍数”。
1.2 倍数的性质（1）零是任何数的倍数，而任何数都是1的倍数。
（2）一个非零数的倍数可以是正数、负数或零。
（3）一个数的倍数总是大于或等于这个数本身。
（4）如果一个整数能同时被两个或更多个数整除，那么它一定是这些数的公倍数。
以5为例，5的倍数可以是-10、0、5、10、15等。
而10是-5和2的公倍数，15是3和5的公倍数。
二、约数的定义和性质2.1 定义在数学中，一个数如果能够整除另一个数，那么前者就是后者的约数。
例如，4可以整除8，因此4是8的约数。
通常表示为“4是8的约数”。
2.2 约数的性质（1）零的约数是所有的整数，而一个非零数的约数总是小于或等于这个数的绝对值。
（2）一个数的约数必定可以整除这个数。
（3）一个数的除数个数是有限的。
例如，8的约数有1、2、4和8。
而15的约数有1、3、5和15。
三、倍数与约数的联系倍数和约数是密切相关的概念，它们之间有以下的联系：（1）一个数是另一个数的倍数，那么这个数的约数也是后者的约数。
（2）一个数是另一个数的倍数，那么后者的倍数也是前者的倍数。
例如，8是4的倍数，那么8的约数1、2、4也是4的约数。
同时，16是8的倍数，而8是4的倍数，所以16也是4的倍数。
四、倍数和约数在数学中的应用4.1 最大公约数和最小公倍数在数学的分数运算、约分、化简、通分等问题中，最大公约数和最小公倍数是非常重要的概念。
最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个，而最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
小学五年级数学教案：约数和倍数的意义
小学五年级数学教案：约数和倍数的意义这篇关于小学五年级数学教案：约数和倍数的意义，是网络特地为大家整理的，希望让您以后工作、学习能更上一个新的台阶，对大家有所帮助！“约数和倍数的意义”是数的整除这部分知识的第一课时，这部分知识的概念非常多，如“整除”、“约数”、“倍数”、“质数”、“互质数”、“公约数”、“公倍数”、“公约数”……而且后面的每一个概念的含义都是以前三个概念为前提的，所以前三个概念（特别是“整除”）非常重要，学生是否真正理解和掌握，这关系到对后面整个单元知识的学习和运用，而且还直接影响到六年级时学习分数的约分和通分。
那么上好“约数和倍数的意义”这一节课必将是学好数的整除这部分知识的首要一关。
教学建议教材分析是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，所以是本单元中最基本的概念．教材在复习“整除”的基础上概括出“整除”这个概念，然后引出约数和倍数的概念．在整数范围内，除法算式可以分为整除和不能整除两大类．引入了小数以后，除法算式又可以分除尽和除不尽两大类．这里的除尽，不但包含了整除的情况，还包含了被除数、除数或商是有限小数的情况，所以在教学中要列举各种有代表性的实例，让学生通过对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．学生学过后往往把“倍数”和“几倍”混同起来，所以教学时应通过对比练习，使学生悟出两者的区别（可以说8是4的倍数，也可以说8是4的2倍；但是不可以说0.8是0.4的倍数，只能说0.8是0.2的2倍），从而进一步理解和掌握约数和倍数的本质．教法建议是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，是本单元中最基本的概念．复习引入时，教师要通过新旧知识的联系，抓住生长点，对已掌握的“整除”的意义进行复习，通过观察算式的特征和结果，首先将算式分为除尽和除不尽两大类，然后再对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．约数和倍数是建立在整除的基础上的，所以教学求一个数的约数和倍数的时候，首先要利用整除式帮助学生理解除数和商是被除数的一对约数，进而发现约数可以一对一对的找，在学生学会找约数的基础上，教师可以给学生创设一个研讨，发现约数特点的情景．学生掌握了约数的特点，更能提高找约数的能力．找倍数的方法学生很容易理解，难点是对一个数的倍数是无限的这个特点的认识，教师可以在练习中设计集合圈中加省略号和不加省略号两种题目，让学生通过对比讨论加深认识．教学设计示例教学目标1、掌握整除、约数、倍数的概念．2、知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系．教学重点1、建立整除、约数、倍数的概念．2、理解约数、倍数相互依存的关系．3、应用概念正确作出判断．教学难点理解约数、倍数相互依存的关系．教学步骤一、铺垫孕伏（课件演示：数的整除下载）1、口算6÷5 15÷3 23÷71.2÷0.3 24÷2 31÷32、观察算式和结果并将算式分类．除尽除不尽6÷5＝1.2 15÷3＝151.2÷0.3＝4 24÷2＝1223÷7＝3 (2)31÷3＝10 (1)3、引导学生回忆：研究整数除法时，一个数除以另一个不为零的数，商是整数而没有余数，我们就说第一个数能被第二个数整除．4、寻找具有整除关系的算式．板书：15÷3＝5 15能被3整除5、分类除尽除不尽不能整除整除6÷5＝1.21.2÷0.3＝415÷3＝1524÷2＝1223÷7＝3 (2)31÷3＝10 (1)二、探究新知（一）进一步理解“整除”的意义．1、整除所需的条件．（1）分析： 24能被2整除，15能被3整除；23不能被7整除，31不能被3整除；（商有余数）6不能被5整除；（商是小数）1.2不能被0.3整除；（被除数和除数都是小数）（2）引导学生明确：第一个数能被第二个数整除必须满足三个条件：a、被除数和除数（0除外）都是整数；b、商是整数；c、商后没有余数．板书：整数整数整数（没有余数）15÷3＝52、用字母表示相除的两个数，理解整除的意义．（1）讨论：如果用字母a和b表示两个数相除，那么必须满足几个条件才能说a能被b整除？（板书：a÷b）学生明确：a和b都是整数，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除．（板书：a能被b整除）（2）继续讨论：在什么情况下才能说a能被b整除？（板书：b≠0）学生明确：整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）．3、反馈练习．（1）下面的数，哪一组的第一个数能被第二个数整除？29和 3 36和12 1.2和 0.4（2）判断下面的说法是否正确，并说明理由．a．36能被12整除．b．19能被3整除．c．3.2能被0.4整除．d．0能被5整除．e．29能整除29．4、“整除”与“除尽”的联系和区别．讨论：综合以上所学知识讨论，“整除”和“除尽”有什么联系？又有什么区别？（举例说明）（二）约数、倍数的意义1、类推约数、倍数的意义．（1）教师讲解：15能被3整除，我们就说15是3的倍数，3是15的约数．（2）学生口述：24能被2整除，我们就说，24是2的倍数，2是24的约数．10能被5整除，我们就说，10是5的倍数，5是10的约数．a能被b整除，我们就说a是b的倍数，b是a的约数．（3）讨论：如果用字母a和b表示两个整数，在什么情况下才可以说a是b的倍数，b是a的约数？（在数a能被数b整除的条件下）（4）小结：如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）．2、进一步理解约数、倍数的意义．（1）整除是约数、倍数的前提．学生明确：约数和倍数必须以整除为前提，不能整除的两个数就没有的数和倍数的关系．（2）约数和倍数相互依存的关系．学生明确：约数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在．（3）反馈练习：A、下面各组数中，有约数和倍数关系的有哪些？16和2 140和20 45和1533和6 4和24 72和8B、判断下面说法是否正确．a、8是2的倍数，2是8的约数．b、6是倍数，3是约数．c、30是5的倍数．d、4是历的约数．e、5是约数．3、教师说明：以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括零．4、教学例2 ：12的约数有哪几个？（1）引导学生合作学习，讨论分析．（2）汇报、板书：12的约数有：1、2、3、4、6、12（3）练习：15的约数有哪几个？（4）学生明确：一个数的约数是有限的．其中最小的约数是1，的约数是它本身．5、教学例3：2的倍数有哪些？（1）引导学生合作学习，讨论、分析．（2）汇报、板书：2的倍数有：2、4、6、8、10……（3）练习：2的倍数有哪些？（4）学生明确：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身．三、全课小结这节课，我们在进一步研究整除的基础上又学到了什么？通过学习你知道了什么？（板书课题：）四、随堂练习1、下面的说法对吗？说出理由．（1）因为36÷9＝4，所以36是倍数，9是约数．（2）57是3的倍数．（3）1是1、2、3、4、5，…的约数．2、下面的数，哪些是60的约数，哪些是6的倍数？3 4 12 16 24 60教师说明：一个数可以是另一个数的约数，也可以是某个数的倍数．3、下面的说法对吗？为什么？（1）1.8能被0.2除尽． 1.8能被0.2整除．1.8是0.2的倍数． 1.8是0.2的9倍．（2）若a÷b＝10，那么：a一定是b的倍数． a能被b整除．b可能是a的约数． a能被b除尽．五、布置作业1、先写出下面每个数的约数，再写出下面每个数的倍数（按照从小到大的顺序各写5个）10 13 362、在下面的圈里填上适当的数．六、板书设计探究活动动脑筋离课堂游戏目的1、巩固．2、树立敢于探索的勇气和信心．游戏规则来源网络谢谢关注双击去除老师出示一张卡片，如果学生的学号数是卡片上的数的倍数，就可以走开．走的时候，必须先走到讲台前，大声说一句话，再走出教室．学生说的一句话，可以是“几是几的倍数”、“几是几的约数”或“几能被几整除’其中的任意一句．”11。
《约数和倍数的意义》说课稿
《约数和倍数的意义》说课稿《约数和倍数的意义》说课稿1一、说教材1、教学内容：人教版六年制数学第十册p502、教材分析：地位作用：本节课是在学生学过了整数的四则计算，了解了自然数的基础上学习的。
通过约数和倍数的学习，为后面进一步学习质数、合数、最大公约数、最小公倍数作好铺垫，也是以后学习约分、通分，分数的四则运算打下基础。
3、教学目标：⑴知识与技能：能结合具体情景探索掌握整除的意义，理解约数和倍数的含义，学会正确判断一个数是不是另一个数的约数和倍数。
⑵过程与方法：通过直观分析，让学生充分经历知识的形成过程，体验成功的乐趣。
⑶情感、态度与价值观：培养学生分析、比较、抽象、概括和判断的能力。
渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证关系。
4、重点：理解整除、约数和倍数的意义。
难点：理解整除的意义。
关键：通过分析、讨论，得出整除的特征。
相互依存的理解。
二、说教法1、通过直观分析让学生充分感知，然后经过比较归纳，最后概括整除的意义，从而使学生从形象思维逐步过渡到抽象思维，进而达到感知新知、概括新知、应用新知、巩固和深化新知的目的。
2、采用快乐教学法，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极发言，参与学习过程和敢于质疑，引导学生自己动口、动脑，以及采用判断、游戏等多种形式的巩固练习，使学生的学习不成为一种负担，而是一种快乐，把数学课上得有趣、有益、有效。
三、说学法通过本节教学使学生学会运用观察、分析、讨论的教学手段理解掌握新知识，学会有目的地观察、思考、对比分析问题、概括知识的方法。
四、说教学程序（一）揭示课题与学习目标今天这一堂课我们学习的内容是“约数和倍数的意义”，通过学习要求大家做到：①掌握整除的意义，在此基础上理解约数和倍数的意义。
②学会正确判断一个数是不是另一个数的约数或倍数。
[开门见山将具体清晰的学习目标，呈现给学生，发挥目标的导向和激励功能，使学生明确学习任务，产生积极的.学习心向，从而主动地参与学习过程。
小学五年级数学教案：约数和倍数的意义
小学五年级数学教案：约数和倍数的意义教学建议教材分析是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，所以是本单元中最基本的概念．教材在复习“整除”的基础上概括出“整除”这个概念，然后引出约数和倍数的概念．在整数范围内，除法算式可以分为整除和不能整除两大类．引入了小数以后，除法算式又可以分除尽和除不尽两大类．这里的除尽，不但包含了整除的情况，还包含了被除数、除数或商是有限小数的情况，所以在教学中要列举各种有代表性的实例，让学生通过对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．学生学过后往往把“倍数”和“几倍”混同起来，所以教学时应通过对比练习，使学生悟出两者的区别（可以说8是4的倍数，也可以说8是4的2倍；但是不可以说0.8是0.4的倍数，只能说0.8是0.2的2倍），从而进一步理解和掌握约数和倍数的本质．教法建议是在学生已经学过整除知识的基础上进行教学的，这部分内容是后面学习质数和合数、质因数、分解质因数、求公约数、求最小公倍数等知识必须具备的基础知识，是本单元中最基本的概念．复习引入时，教师要通过新旧知识的联系，抓住生长点，对已掌握的“整除”的意义进行复习，通过观察算式的特征和结果，首先将算式分为除尽和除不尽两大类，然后再对算式中被除数、除数与商各种不同情况的观察、比较，使整除的概念从除尽的概念中分化出来．从而理解整除的意义，明白整除与除尽的关系．约数和倍数是建立在整除的基础上的，所以教学求一个数的约数和倍数的时候，首先要利用整除式帮助学生理解除数和商是被除数的一对约数，进而发现约数可以一对一对的找，在学生学会找约数的基础上，教师可以给学生创设一个研讨，发现约数特点的情景．学生掌握了约数的特点，更能提高找约数的能力．找倍数的方法学生很容易理解，难点是对一个数的倍数是无限的这个特点的认识，教师可以在练习中设计集合圈中加省略号和不加省略号两种题目，让学生通过对比讨论加深认识．教学设计示例教学目标1、掌握整除、约数、倍数的概念．2、知道约数和倍数以整除为前提及约数和倍数相互依存的关系．教学重点1、建立整除、约数、倍数的概念．2、理解约数、倍数相互依存的关系．3、应用概念正确作出判断．教学难点理解约数、倍数相互依存的关系．教学步骤一、铺垫孕伏（课件演示：数的整除下载）1、口算6÷5 15÷3 23÷71.2÷0.3 24÷2 31÷32、观察算式和结果并将算式分类．除尽除不尽6÷5＝1.2 15÷3＝151.2÷0.3＝4 24÷2＝1223÷7＝3 (2)31÷3＝10 (1)3、引导学生回忆：研究整数除法时，一个数除以另一个不为零的数，商是整数而没有余数，我们就说第一个数能被第二个数整除．4、寻找具有整除关系的算式．板书：15÷3＝5 15能被3整除5、分类除尽除不尽不能整除整除6÷5＝1.21.2÷0.3＝415÷3＝1524÷2＝1223÷7＝3 (2)31÷3＝10 (1)二、探究新知（一）进一步理解“整除”的意义．1、整除所需的条件．（1）分析： 24能被2整除，15能被3整除；23不能被7整除，31不能被3整除；（商有余数）6不能被5整除；（商是小数）1.2不能被0.3整除；（被除数和除数都是小数）（2）引导学生明确：第一个数能被第二个数整除必须满足三个条件：a、被除数和除数（0除外）都是整数；b、商是整数；c、商后没有余数．板书：整数整数整数（没有余数）15÷3＝52、用字母表示相除的两个数，理解整除的意义．（1）讨论：如果用字母a和b表示两个数相除，那么必须满足几个条件才能说a能被b整除？（板书：a÷b）学生明确：a和b都是整数，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除．（板书：a能被b整除）（2）继续讨论：在什么情况下才能说a能被b整除？（板书：b≠0）学生明确：整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）．3、反馈练习．（1）下面的数，哪一组的第一个数能被第二个数整除？29和 3 36和12 1.2和 0.4（2）判断下面的说法是否正确，并说明理由．a．36能被12整除．b．19能被3整除．c．3.2能被0.4整除．d．0能被5整除．e．29能整除29．4、“整除”与“除尽”的联系和区别．讨论：综合以上所学知识讨论，“整除”和“除尽”有什么联系？又有什么区别？（举例说明）（二）约数、倍数的意义1、类推约数、倍数的意义．（1）教师讲解：15能被3整除，我们就说15是3的倍数，3是15的约数．（2）学生口述：24能被2整除，我们就说，24是2的倍数，2是24的约数．10能被5整除，我们就说，10是5的倍数，5是10的约数．a能被b整除，我们就说a是b的倍数，b是a的约数．（3）讨论：如果用字母a和b表示两个整数，在什么情况下才可以说a是b的倍数，b是a的约数？（在数a能被数b整除的条件下）（4）小结：如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b 就叫做a的约数（或a的因数）．2、进一步理解约数、倍数的意义．（1）整除是约数、倍数的前提．学生明确：约数和倍数必须以整除为前提，不能整除的两个数就没有的数和倍数的关系．（2）约数和倍数相互依存的关系．学生明确：约数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在．（3）反馈练习：A、下面各组数中，有约数和倍数关系的有哪些？16和2 140和20 45和1533和6 4和24 72和8B、判断下面说法是否正确．a、8是2的倍数，2是8的约数．b、6是倍数，3是约数．c、30是5的倍数．d、4是历的约数．e、5是约数．3、教师说明：以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括零．4、教学例2 ：12的约数有哪几个？（1）引导学生合作学习，讨论分析．（2）汇报、板书：12的约数有：1、2、3、4、6、12（3）练习：15的约数有哪几个？（4）学生明确：一个数的约数是有限的．其中最小的约数是1，的约数是它本身．5、教学例3：2的倍数有哪些？（1）引导学生合作学习，讨论、分析．（2）汇报、板书：2的倍数有：2、4、6、8、10……（3）练习：2的倍数有哪些？（4）学生明确：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身．三、全课小结这节课，我们在进一步研究整除的基础上又学到了什么？通过学习你知道了什么？（板书课题：）四、随堂练习1、下面的说法对吗？说出理由．（1）因为36÷9＝4，所以36是倍数，9是约数．（2）57是3的倍数．（3）1是1、2、3、4、5，…的约数．2、下面的数，哪些是60的约数，哪些是6的倍数？3 4 12 16 24 60教师说明：一个数可以是另一个数的约数，也可以是某个数的倍数．3、下面的说法对吗？为什么？（1）1.8能被0.2除尽． 1.8能被0.2整除．1.8是0.2的倍数． 1.8是0.2的9倍．（2）若a÷b＝10，那么：a一定是b的倍数． a能被b整除．b可能是a的约数． a能被b除尽．五、布置作业1、先写出下面每个数的约数，再写出下面每个数的倍数（按照从小到大的顺序各写5个）10 13 362、在下面的圈里填上适当的数．六、板书设计探究活动动脑筋离课堂游戏目的1、巩固．2、树立敢于探索的勇气和信心．游戏规则老师出示一张卡片，如果学生的学号数是卡片上的数的倍数，就可以走开．走的时候，必须先走到讲台前，大声说一句话，再走出教室．学生说的一句话，可以是“几是几的倍数”、“几是几的约数”或“几能被几整除’其中的任意一句．”网络搜集整理，仅供参考。
约数与倍数(正式)
约数与倍数知识点拨：a、b是两个任意整数，其中b≠0，如果存在整数q，使得a＝bq成立（或者说，如果a除以b能得到整数商q），我们就说a能被b整除，或者b整除a，记作b∣a．当a能被b 整除时，我们就说a是b的倍数，或者说b是a的约数（也叫因数）．如果满足条件a＝bq的整数q不存在，我们就说b不能整除a，或者a不能被b整除，记作b a．整除的概念是在整数范围内讨论的，即只有当被除数、除数和商都是整数（除数不能是零）时，才能叫做整除．因为自然数a的约数不会大于a，a的约数的个数也就不会多于a，所以自然数a的约数的个数是有限的．因为自然数集是无限的，所以一个自然数的倍数的个数是无限的．零可以被任何自然数整除，所以零是任何自然数的倍数，任何自然数都是零的约数．任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数．约数和倍数表达的是两个数之间的关系，所以它们只具有相对的意义．15＝3×5，只能说“15是3的倍数”，“3是15的约数“，不能说“15是倍数”或“3是约数”．将自然数N分解质因数后，N= （a1、a2、a3、a4、…a n为不相同的质因数；r1、r2、r3、r4、…r m为a1…a n的指数）；N所有约数个数：=（r1＋1）×（r2＋1）×（r3＋1）×（r4＋1）×…×（r m＋1）N所有约数个数的和：约数与倍数中的一个结论：完全平方数的约数个数是奇数。
【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）【分析】不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
LX1、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.【分析】4。
五年级下册数学教案-第一单元第1课时 倍数、因数 西师大版
五年级下册数学教案-第一单元第1课时倍数、因数
教学目标
1.认识并掌握倍数、约数、因数等的基本概念。
2.学习用除法判断一个数是否是另一个数的因数。
3.学习用数表和数线的方法表示数及其倍数。
教学重难点
1.倍数、因数的定义和区别。
2.通过数表、数线等形式体现倍数、因数的概念。
3.初步理解被除数、除数、商、余数等关键概念。
教学过程
导入
老师通过给学生两个数，引导学生思考两个数之间的关系。
例如，“6是3的倍数，3是6的因数，那么他们之间有什么联系呢？”
新学
1.通过练习，引导学生理解倍数和约数的含义。
2.通过乘法表等形式，让学生感性理解倍数的定义。
3.通过数表、数线等形式体现倍数、因数的概念，并让学生进行判断练习。
4.给学生一个数，让学生找出它的因数，并通过除法判断一个数是否是另一个数的因数。
巩固
1.情境练习，让学生用倍数、因数解决问题。
2.让学生自己编写练习题并交流解答方法。
3.辅导学生课后习题做法，巩固所学知识。
课后作业
1.完成课本上的练习，熟记倍数、约数、因数的定义及计算方法。
2.设计一道含倍数或因数的运算题，解题过程说明清楚。
总结
本课时通过对倍数、因数的定义和区别的学习，让学生对于数与数之间的关系有了更深和更准确的认识，在生活中，学生可通过习得的方法，更好地解决一些问题或运算。
小学数学五年级讲义13-最大公约数、最小公倍数
最大公约数与最小公倍数一、最大公约数定义如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。
几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。
一般地我们用（a，b）表示a，b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）＝6，如果（a，b）＝1，则称a，b两数互质。
二、求最大公约数一般有以下几种方法：1、短除法：求两个（或几个）数的最大公约数一般采用短除法。
例1：有三根铁丝，长度分别120厘米、180厘米和300厘米，现在要把他们截成相等地小段，每根无剩余。
问每段最长多少厘米？一共可截得多少段？解：因为所以（120，180，300）＝30×2＝60120÷60＝2 180÷60＝3 300÷60＝5因此，每段最长60厘米，一共有2＋3＋5＝10（段）答：每小段最长60厘米，一共可截成10段。
2、分解质因数法：分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。
例2：将693311555化成最简分数。
解：因为6933＝3×2311 11555＝5×2311所以69333 1155553、将较小数缩小倍数法：当所求两数（或几个数）较小时经常用例3：（1）求12，36和48的最大公约数。
较小数是12，12是36的约数，12也是48的约数，（12，36，48）＝12（2）求18，24和36的最大公约数。
较小数是18，可是18不是24和36的公约数，把18缩小2倍是9也不是24和36的公约数；再将18缩小3倍是6，6是24和36的公约数，所以（18，24，36）＝6三、最小公倍数定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；几个自然数的公倍数（除0以外）中，最小的一个叫做这几个自然数的最小公倍数。
一般地，我们用[a，b]表示自然数a，b的最小公倍数，如[12，18] ＝36。
四、最小公倍数的求法：1、分解质因数：例1：在总站1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆和5路车每隔20分钟发一辆。
小学数学教案：玩转约数和倍数
小学数学教案：玩转约数和倍数一、教学目标本课程的目标是帮助小学生理解和学习约数和倍数的概念，掌握枚举、列举和推算约数和倍数的方法，提高计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1.约数的概念和性质2.倍数的概念和性质3.枚举、列举和推算约数的方法4.枚举、列举和推算倍数的方法5.综合运用约数和倍数的知识，解决实际问题三、教学重点和难点重点：掌握约数和倍数的概念，掌握枚举、列举和推算约数和倍数的方法，综合运用约数和倍数的知识，解决实际问题。
难点：理解并掌握倍数和约数的性质，能够根据规律推算出约数和倍数。
四、教学方法和过程1、引入教师可以通过举例子或者让学生实际操作来引入本节课。
例如，让学生说出他最喜欢的数字，然后让他们列举出这个数字的约数和倍数。
2、概念讲解（1）约数：一个自然数能够被另外一个自然数整除，那么这个自然数就是被除数的约数。
（2）倍数：如果一个数是另外一个数的整数倍，那么这个数就是那个数的倍数。
3、方法讲解（1）枚举约数和倍数的方法：逐一找出对应的数，并测算它是否是该数的约数或倍数。
（2）列举约数和倍数的方法：将该数全部约数或倍数列出来。
（3）推算约数和倍数的方法：应用数学规律和公式，计算得到该数的全部约数或倍数。
4、练习（1）课堂练习教师可以出示一些数字，让学生尝试列举出该数字的所有约数和倍数，并对答案进行检验和讲解。
（2）小组合作练习将学生分成小组，教师给每个小组一组数字，让他们在小组合作中列举出这些数字的所有约数和倍数，并比较不同组之间的答案。
（3）个人作业布置课后作业，要求学生在家中列举判断数字的约数和倍数，并在下节课上进行讲解和检验。
5、巩固和拓展将约数和倍数的知识融入到数学发现和实际问题中，让学生解决一些实际问题，以提高他们的综合运用能力和数学思维水平。
五、教学效果评价（1）课堂表现：听讲是否认真，参与讨论是否积极，解答问题是否准确。
（2）作业表现：作业是否完成，作业的正确率和整洁度。
五年级数学下册：约数和倍数练习题教案
五年级数学下册：约数和倍数练习题教案
一、教学内容
本课内容是五年级数学下册中的约数和倍数练习题。
通过本课的学习，学生将了解约数和倍数的概念，并能够运用所学知识进行相关的练习。
二、教学目标
1.掌握约数和倍数的概念。
2.培养学生的逻辑思维能力。
3.培养学生的解决实际问题的能力。
三、教学重难点
1.掌握约数和倍数的概念。
2.学习如何应用所学知识解决实际问题。
四、教学方法
1.讲授法：通过课堂讲授形式介绍约数和倍数的概念，并讲解相关的练习题。
2.演示法：通过例题的演示，帮助学生理解并掌握题目的解决方法。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生的学习成果。
五、教学步骤
第一步，引入课题，介绍约数和倍数的概念，以及约数和倍数的关系。
第二步，讲解约数和倍数的计算方法。
第三步，通过例题演示，直观地呈现约数和倍数的计算方法，并加深学生的理解。
第四步，通过实例演练，让学生熟悉约数和倍数的计算方法。
第五步，组织学生进行练习，检测学生的学习效果。
六、教学总结
通过本节课的学习，学生们掌握了约数和倍数的概念，以及如何应用所学知识解决实际问题。
在今后的学习过程中，学生们应该继续巩固所学知识，并不断提升自身的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
小学_数学_人教版_五年级下_三 约数和倍数_1
因数与倍数教学案例棣花小学尹丹霞一、概况分析《因数和倍数》是人教版五年级下册第二单元第一课时的内容。
它是建立在学生对“数的认识”以及“乘除法”的基础上进行教学的，这部分内容的学习将直接影响到找公因数与公倍数，以及通分与约分的教学，因此我将本部分内容作为学生学习的重点，为以后轻松学习打下基础。
二、活动目标：1．从操作活动中理解因数和倍数的意义，会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。
2．培养抽象、概括的能力，理解其相互联系、相互依存的观点。
学习重点：理解因数和倍数的含义。
学法指导：自读课本第12~13页，理解倍数与因数的意义，准备方格纸3张和水彩笔。
三、导学过程（一）、动手操作1．画出面积是12平方厘少的长方形。
有几种画法?（要求：边长是整厘米数）2．小组交流摆法。
3．请用算式表达你的摆法。
学生汇报：1×12=12，2×6=12，3×4=12。
（二）、问题引领1、什么叫因数？什么叫倍数？2、因数与倍数之间是一种怎样的关系？学生活动：1、观察3×4=12，并从乘法算式各部分之间的名称来说说它们之间的关系。
2、练习（）和（）是（）的因数。
（）是（）和（）的倍数3、用因数和倍数的意义说说算式1×12=12，2×6=12的关系。
4、观察因数和倍数的相互关系。
揭示：研究因数和倍数时，所指的数是整数(一般不包括0)。
问题：如何求一个数的因数。
学生活动：1、写出乘积是20的所有乘法算式（提示：不出现小数）2、学生独立思考，小组展示3、教师引导小结归纳方法1×20=20 结论：1和20是20的因数2×10=20 2和10是20的因数4× 5=20 4和5是20的因数20的因数有：1、20、4、5、10、2 。
4、学生练习；24的因数有（）；36的因数有（）；问题：怎样求一个数的倍数。
1、2的倍数有：（）提示：从小到大写2×1= 2 ；2 ×4=8 2×7=14 2×2=4 ；2 ×5 =10 2×8=16 2×3=6；5 ×6=12 2×9=18 …… 2的倍数有：（2、4、6、8、10、12、14、16、18、…..）2，练一练：3的倍数有：（）；从小到大写10个；5的倍数有：（）从小到大写10个；50以内8的倍数有：（）（三）展示交流问题：体验新知应用——举座位号起立游戏。
小学数学中简单的倍数与约数
举例：例如，6是3的倍数，那么6的倍数 （如12、18等）也是3的倍数。
倍数的应用举例
求最大公约数：通过求两个数的最大公约数，可以简化分数运算。
求最小公倍数：通过求两个数的最小公倍数，可以解决实际问题中的“同 分母”问题。
判断两个数是否互质：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数互质。
求一个数的约数：通过求一个数的约数，可以解决实际问题中的“同分母” 问题。
小学数学中简单的倍数与 约数
汇报人：xxx
目录
01
02
03
04
05
倍数与约数 的概念
倍数的性质
约数的性质
倍数与约数 的计算方法
倍数与约数 的应用题解
析
倍数与约数的概念
倍数的定义
倍数：一个整数可以 被另一个整数整除， 那么这个整数就是另
一个整数的倍数。
约数：一个整数可以 被另一个整数整除， 那么这个整数就是另
一个整数的约数。
例如：6可以被2整除， 所以6是2的倍数。
例如：6可以被1、2、 3、6整除，所以1、2、
3、6都是6的约数。
约数的定义
约数是指一个整 数能被另一个整 数整除，即两个 整数存在除法关
系。
例如，6是12的约 数，因为12除以6 等于Байду номын сангаас，没有余数。
约数是数学中的 基本概念，对于 理解倍数、因数 等概念非常重要。
算方法与正数相同。
0的倍数与约数：0是任何 数的倍数，但不是任何数
的约数。
1的倍数与约数：1是任何 数的倍数，但不是任何数
的约数。
质数的倍数与约数：质数 的倍数只有1和质数本身， 约数只有1和质数本身。
倍数与约数的应用题解析
小学数学教案：巧解倍数与约数
小学数学教案：巧解倍数与约数一、引言数学是一门重要的学科，对于小学生的学习发展至关重要。
其中，掌握倍数与约数概念是数学基础的重要部分之一。
在本篇教案中，将重点介绍巧解倍数与约数的方法，帮助小学生更好地理解和掌握相关知识。
二、概念解析1. 倍数：一个数如果能被另一个数整除，那么我们就称这个数是另一个数的倍数。
例如，6是3的倍数，因为6能被3整除。
2. 约数：一个能够整除某个给定正整数的正整数称为它的约数。
例如，4是8的约数，因为4能够整除8。
三、巧解倍数与约数1. 倍数组成规律：a) 任意偶数都是2的倍数。
b) 个位数字为0或5的多位数字都是5的倍数。
c) 某个数字如果同时是2和5的倍数，则该数字也必然是10 的倍数。
d) 如果某个数字可以同时被两个不相等的质数整除（除了1和它自身），则该数也必然是使其被分解质因数时所包含的所有质素各自可能出现的次数均正确且不成比例。
2. 约数的性质：a) 每个数都是自身的约数，且1也是任意正整数的约数。
b) 如果一个数是另一个数的约数，则该数一定小于等于被约数。
c) 如果一个质素p是一个多位数字m 的约数，则m中所包含 p（以及其它能够整除 m 的质因总会出现在 m 的各线段间或者叠加位置上，而且它不出现在最左边一次）。
四、教案步骤1. 引入倍数与约数概念：在课堂上使用具体例子来引导学生思考倍数组成规律和约数组成特点。
例如，让学生观察1~10之间的倍数和约数，并总结规律。
2. 倍数组成规律：通过问题引导，让学生发现并总结倍数组成规律。
例如，给学生出示一些数字，让他们判断是否为某个数字的倍数，并解释原因。
然后，引导学生总结出偶数、以0或5结尾的多位数字、能同时被2和5整除的数字等频繁出现的倍数组成规律。
3. 约数组成特点：通过问题引导，让学生发现并总结约数的性质。
例如，给学生一个数字，让他们找出它的约数，并解释原因。
然后，引导学生总结出每个数都是自身的约数和1也是任意正整数的约数等共性特点。
【教培专用】数学五年级下册 第二讲 因数与倍数(一) 基础版(含答案、学生版+教师版)人教版
第2讲因数与倍数(一)知识点一：因数与倍数1、如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c 就是a和b的倍数。
因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
(1是所有非0自然数的因数)一个数的因数的求法：成对地按顺序找3、倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数知识点二：2、5、3的倍数的特征1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
考点1：因数与倍数【典例1】下面每组数中，有因数和倍数关系的是（）A．7和4B．3.6和0.9C．4和32D．0.5和1【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可。
【解答】解：根据因数和倍数的意义可知：A、7÷4＝1…3，不能整除，所以7和4不是倍数关系；B、3.6和0.9是小数，所以3.6和0.9不是倍数关系；C、32÷4＝8，所以属于因数和倍数关系的是4和32；D、0.5和1中，0.5是小数，所以0.5和1不是倍数关系。
故选：C。
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要熟练掌握。
【典例2】有数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是（）A．12、6、2B．6、18、24C．12、6、24D．8、12、2【分析】先找出24的因数，然后找出24以内（包括24）的6的倍数，进而结合题意，得出结论．【解答】解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；24以内的6的倍数有：6，12，18，24；所以数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是：6，12，24．故选：C．【点评】解题的关键是：根据求一个数的倍数的方法和求一个数的因数的方法，进行分析、解答．【典例3】30的最大因数和最小倍数都是（）A．15B．30C．60【分析】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；进行解答即可。
北师大版小学一年级数学上册《第一单元》测试题及答案
北师大版小学一年级数学上册《第一单元》测试题及答案一、连一连。
(每题8分，共16分)1．把同样多的连起来。
2．把图片和对应的数连起来。
二、圈一圈。
(6分)三、画一画。
(1题9分，5题6分，其余每题3分，共24分) 1．看数接着画。
2．画△与☆同样多。
☆☆☆☆☆________________________________________________________ 3．画○比□多。
□□□□□________________________________________________________ 4．画□比△少。
△△△△△△△△________________________________________________________ 5．哪一堆正合适？画“√”。
四、比一比。
(1题6分，2题3分，共9分)1．在少的后面画“√”。
2．在最多的下面画“√”。
五、填一填。
(1题7分，4题5分，5题4分，其余每题8分，共32分)六、分一分。
(7分)七、猜一猜，贝贝做了多少朵花？(6分)参考答案一、二、三、1.△△△○○○□□□□2.△△△△△3.○○○○○○(答案不唯一)4.□□□□□(答案不唯一)四、1.(1)在房子后面画“√”(2)在桃子后面画“√”2.在兔子下面画“√”五、1. 589865 42. ＞＜＜＞＞＝＞＞3. 59621093(除第6个空外，其他空答案不唯一)4. 1096305. 97六、七、贝贝做了5朵花、6朵花或7朵花。
【拓展资料】（一）小学数学知识：数的整除。
1．整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
2．约数和倍数（1）如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
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1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如： 231 3 7 11 ， 252 22 32 7 ，所以 231, 252 22 32 7 11 2772 ；
②短除法求最小公倍数； 2 18 12
例如： 3 9 6 ，所以 18,12 2 3 3 2 36 ；
32 ③[a,b] a b ．
苹果 8 个，桔子 6 个，梨 5 个． 【答案】42 份，每份中有苹果 8 个、桔子 6 个、梨 5 个
【巩固】教师节那天，某校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这 些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼 此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的 长和宽的最大公约数．1 米 3 分米 5 厘米＝135 厘米，1 米 5 厘米＝105 厘米， (135,105) 15 ，长方 形纸块的面积为135 105 14175 (平方厘米)，正方形纸块的面积为15 15 225 (平方厘米)，共可 裁成正方形纸块14175 225 63 (张)． 【答案】边长 15，裁成 63 块
知识点拨
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外
【巩固】一个房间长 450 厘米，宽 330 厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少 块(整块)，才能正好把房间地面铺满？
【考点】求最大公约数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间
长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公 约数．450 和 330 的最大公约数是 30． 450 30 15 ， 330 30 11 ，共需15 11 165 (块). 【答案】边长 30，需要 165 块
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 m 为 A 、 B 的最大公约数，且 A ma ， B mb ，那么 a、b 互质，所以 A 、 B 的最小公倍数为 mab ，
所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
① A B ma mb m mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 (a,b) [a,b] a b ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 23 52 7 ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
(a, b)
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3.各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ； b 即 a
5-4-1.约数与倍数（一）
教学目标
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 △☆ △☆ ... △☆ 的结构， 而且表达形式唯一”
【例 5】 有 336 个苹果，252 个桔子，210 个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物 中，三样水果各多少？
【考点】求最大公约数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有 (336, 252, 210) 42 , 即可以分 42 份，每份中有
32 ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相 除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数： 1515 600 2315 ； 600 315 1285 ； 315 285 130 ； 285 30 915 ； 30 15 20 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15．
模块二、约数
【例 6】 2004 的约数中，比 100 大且比 200 小的约数是 。 【考点】约数 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，5 分 【解析】2004=3×4×167，所以结果为 167 【答案】 167
【例 7】 过冬了，小白兔只储存了 180 只胡萝卜，小灰兔只储存了 120 棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃， 小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜 可以换__________只胡萝卜。
a
4． 约数、公约数最大公约数的关系
1
（1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公 倍 数 中 最 小 的 那 个 称 为 这 些 正 整 数 的 最 小 公 倍 数 。
【例 2】 将一个长和宽分别是是 1833 厘米和 423 厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是
（ ）个。
（A）78
（B）7 （C）5 （D）6
【考点】求最大公约数 【难度】2 星 【题型】选择
3
【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题 【解析】本题不是求1833 与 423 的最大公约数，因为题目没有强调是相同正方形，所以应该用辗转相处法，
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最 大公约数 b； b 即为所求．
求商，因为1833 423=4141 ，所以先切成 423 423 的共有 4 个 剩下长方形141 423 的 423 141=3 ，所以应该还可以切成 3 个，所以一共有 4 3=7 个，选择 B 【答案】 B
【例 3】 如图，某公园有两段路，AB＝175 米，BC＝125 米，在这两段路上安装路灯，要求 A、B、C 三点 各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯___个.
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 3 7 11 ， 252 22 32 7 ，所以 (231, 252) 3 7 21 ；
2 18 12 ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 3 9 6 ，所以 (12,18) 2 3 6 ；
【考点】求最大公约数 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第 7 题 【解析】175 与 125 的最大公约数为 25，所以取 25 米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB 段应按 7＋1
＝8 盏灯，BC 段应按 5＋1＝6 盏灯，但在 B 点不需重复按灯，故共需安装 8＋6－1＝13（盏） 【答案】13 盏
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如： 21000 23 3 53 7 ，所以 21000 所有约数的和为 (1 2 22 23)(1 3)(1 5 52 53)(1 7) 74880 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。
【例 4】 把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还缺 2 个，一共最多有多少个 小朋友？
【考点】求最大公约数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多 2 个，苹果数是人数的整数倍还缺 2 个，所以减掉 2 个梨，