理论力学14达朗贝尔原理

解：视物块A为质点，受力分析，运动分析。
切向惯性力 法向惯性力
FI
ma
m dv dt
FIn
ma n
m v2 r
将惯性力假想地加在质点上 列静力学平衡方程
F 0
Fn 0
mg sin FI 0
mg cos Fn FIn 0
g sin dv 0
mg
cos
dt Fn
m v2 R
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到
F (i) i
0
,
mO
( Fi (i )
)0
, 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0
mO (Fi(e) )mO (Qi )0
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表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用举例
§10-1 质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯
性反抗的总和。
达朗伯原理(动静法)
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用 这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从 而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法， 因而也称动静法。
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第十章 达朗伯原理
§10–1 质点的达朗伯原理 §10–2 质点系的达朗伯原理 §10–3 刚体惯性力系的简化 §10–4 定轴转动刚体的轴承动反力
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[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
Qx
max
m
d2x dt 2
Qy
Hale Waihona Puke Baidu
may
m
d2y dt 2
Qz
maz
m
d2z dt 2
Q
ma
m
d 2s dt 2
Qn
man
m
v2
Qb mab 0
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二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
0
dv dv d v dv g sin dt d dt R d
v2 2gR(1 cos )
FN mg (3cos 2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi Ni Qi 0 ( i1,2,...... ,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
质点系惯性力系的主矢量和主矩分别为：
Qi
miai
MaC
d dt
(
mi
vi
)
dp dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
d dt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
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用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
不计，斜面倾角为 ，细绳绕过定滑轮与重物A、B相连。
各处摩擦不计，求重物A下降的加速度及轴O的约束力。
解：重物A、重物B作加速运动，惯性力
FIA
FIB
FP g
a
由静力学平衡方程
Fx 0 FXO FIB cos FB sin cos 0
Fy 0 FYO FIA FA FIB sin FB sin 2 0
对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
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例2 已知重物A，重物B的重量 FA FB FP ，定滑轮C重量
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
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一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
翻 页
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
mo (F ) 0 FB R sin FAR FIAR FIBR 0
a g (1 sin )
2
FXO
1 2
FP (1 sin ) cos
FYO
1 2
FP (1 sin )2
§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力RQ 和一个 惯性力偶 MQO 。
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗伯原理
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该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
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例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
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解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma ) 由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
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例2 质量为m的物块A，沿半径为R的光滑圆形轨道从最高点 无初速滑下，求在图示位置轨道对物块A的约束力。
(负号表示与反向)
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向O点简化： RQ MaC
MQO JO
作用在O点
向质点C点简化： RQ MaC
MQC JC
作用在C点
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讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me2
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讨论： ②转轴过质点C，但0，惯性力偶 M Q JC （与反向）
请
RQ Mac
看
动
画
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二、定轴转动刚体
先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面
的简单情况。
直线 i : 平动， 过Mi点， Qi miai
O
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： 主矩：
RQ MaC
MQO mO (Qi ) mO (Qin ) ri miri 0 miri2 JO