理论力学14达朗贝尔原理
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达朗贝尔原理
理论力学
第十四章 达朗贝尔原理
一、刚体惯性力系的特点
第 三 节 刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体 上各点的绝对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成 平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成 空间一般力系。 在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究 其简化问题。 以刚体质心为简化中心
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系 赵宝生
理论力学
第十四章 达朗贝尔原理
n Fi
五、定轴转动刚体惯性力系的简化
第 三 节 刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
aC ai
a
n C
C
a in
O
mi
F i C
n FR
O
FR
F R
MIO FR
O
FR mi ai maC m(aC a )
M IC＝－J C
赵宝生
3、平面运动（质心）
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学 例题三
第十四章 达朗贝尔原理
第 三 节 刚 体 惯 性 力 系 的 简 化
均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰 链支承，A端用细绳悬挂，如图所示，试求将细绳 突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。
O
A ml/2 FOx
s
非自由质点的达朗贝尔原理
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
赵宝生
F —— 主动力； FN —— 约束力；
FI —— 质点的惯性力。
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
第十四章达朗贝尔原理
cos 2 3
mgຫໍສະໝຸດ 48.2o2 gr 3
9
v 2 2gr1 cos
2018年10月13日 理论力学CAI
v
14.2
达朗贝尔惯性力系的简化
F1
m1 a1 F2* m2 Fi* mi
*
Fi mi ai
*
F , F , , Fi , , Fi
ai 向简化中心O简化
F + FN ＋ F* ＝0
2018年10月13日 理论力学CAI
4
F
F m
ma F
F ma 0
F F 0
*
F ma
*
F F ma
2018年10月13日 理论力学CAI
反作用力
5
一摆长随时间改变的单摆如图示，摆长的变化规律 为l0vt，v为常值。试用达朗贝尔原理列写摆的运动微 分方程，并求出绳的张力F。 解：用极坐标r ，j 表示质点P的位 置，其加速度a可根据式(5.3.4)列出
20
2018年10月13日 理论力学CAI
:
Fj Fr
2vj g sin j 0 l0 vtj
:
eρ
2 F mgcosj mj l0 vt
2018年10月13日 理论力学CAI
7
小球在光滑球面顶端无初速地滑下。 求小球在何处脱离球面？此时速度多大？ an 受力分析，运动分析 FN a mg
a a r e r aj ej
rj j 2，aj rj 2r ar r
引入达朗贝尔惯性力
eφ eρ
:
F mar er，F maj ej
2018年10月13日 理论力学CAI
mgຫໍສະໝຸດ 48.2o2 gr 3
9
v 2 2gr1 cos
2018年10月13日 理论力学CAI
v
14.2
达朗贝尔惯性力系的简化
F1
m1 a1 F2* m2 Fi* mi
*
Fi mi ai
*
F , F , , Fi , , Fi
ai 向简化中心O简化
F + FN ＋ F* ＝0
2018年10月13日 理论力学CAI
4
F
F m
ma F
F ma 0
F F 0
*
F ma
*
F F ma
2018年10月13日 理论力学CAI
反作用力
5
一摆长随时间改变的单摆如图示，摆长的变化规律 为l0vt，v为常值。试用达朗贝尔原理列写摆的运动微 分方程，并求出绳的张力F。 解：用极坐标r ，j 表示质点P的位 置，其加速度a可根据式(5.3.4)列出
20
2018年10月13日 理论力学CAI
:
Fj Fr
2vj g sin j 0 l0 vtj
:
eρ
2 F mgcosj mj l0 vt
2018年10月13日 理论力学CAI
7
小球在光滑球面顶端无初速地滑下。 求小球在何处脱离球面？此时速度多大？ an 受力分析，运动分析 FN a mg
a a r e r aj ej
rj j 2，aj rj 2r ar r
引入达朗贝尔惯性力
eφ eρ
:
F mar er，F maj ej
2018年10月13日 理论力学CAI
理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT
Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
理论力学14—达朗贝尔原理
a arccos(rw 2 )
g
14.2设质质点系点的系达由朗贝尔n 原个理质点组成, 其中任一质点i的质 量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为 主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点 上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai , 则由质点的达 朗贝尔原理, 有
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
14.设1 质一点质的达点朗质贝量尔原为理m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma F FN
将上式改写成
FI
m F
F FN ma 0
令
FI ma
FN
a
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘
度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角 的关系。
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dxx sin )w 2
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFI, 它的大小为
dFI
d m an
Pw 2
gl
sin
x
dx
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
FI
l Pw2 sin x d x P lw2 sin
0 gl
2g
A
an
FAy FAx
A
dFI B
x
FI
PB x
设力FI 的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有
l
FI (d cos ) 0 (x cos ) d FI
即
l Pw2 sin x 2 dx
g
14.2设质质点系点的系达由朗贝尔n 原个理质点组成, 其中任一质点i的质 量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为 主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点 上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai , 则由质点的达 朗贝尔原理, 有
Fi FNi FIi 0 (i 1, 2,, n)
14.设1 质一点质的达点朗质贝量尔原为理m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma F FN
将上式改写成
FI
m F
F FN ma 0
令
FI ma
FN
a
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘
度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角 的关系。
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dxx sin )w 2
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFI, 它的大小为
dFI
d m an
Pw 2
gl
sin
x
dx
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
FI
l Pw2 sin x d x P lw2 sin
0 gl
2g
A
an
FAy FAx
A
dFI B
x
FI
PB x
设力FI 的作用点到点A的距离为d, 由合力矩定理, 有
l
FI (d cos ) 0 (x cos ) d FI
即
l Pw2 sin x 2 dx
《达朗贝尔原理》课件
达朗贝尔原理的微分方程形式为：dM/dt=∫F·d(dr/dt)dr，其中dM/dt表示动量 矩对时间的变化率，dr/dt表示速度矢量，∫F·d(dr/dt)dr表示力矩对时间的积分 。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
该微分方程描述了刚体在力矩作用下的动态行为，是刚体动力学中的基本方程之 一。
达朗贝尔原理的积分方程形式
达朗贝尔原理的积分方程形式为：M(t2)-M(t1)=∫t1t2F·dr， 其中M(t2)和M(t1)分别表示刚体在时刻t2和t1的动量矩， ∫t1t2F·dr表示在时间t1到t2之间力矩的积分。
船舶工程
用于分析船舶的运动特性和稳定性。
02
达朗贝尔原理的数学表达
达朗贝尔原理的公式表达
达朗贝尔原理的公式表达为： M=∫F·dr，其中M表示刚体绕固定 点O转动的动量矩，F表示刚体上任 一点的速度矢量，dr表示矢径。
该公式描述了刚体在力矩作用下的运 动规律，是刚体动力学中的基本原理 之一。
达朗贝尔原理的微分方程形式
限制条件
达朗贝尔原理在处理复杂系统时，可能无法考虑所有 相互作用力和能量转换，导致预测精度下降。
与其他物理定律的互补性
与牛顿第三定律互补
达朗贝尔原理与牛顿第三定律互补，强调了 力和运动的相互关系。
与能量守恒定律的互补性
达朗贝尔原理在处理保守系统时，与能量守 恒定律相一致，但在非保守系统中存在差异
。
详细描述
在弹性力学中，达朗贝尔原理可以用来分析 各种复杂的力学问题，如梁的弯曲、板的变 形等。通过应用该原理，我们可以建立各种 弹性力学问题的数学模型，并进一步求解其 解析解或近似解。
05
达朗贝尔原理的局限性
适用范围和限制条件
适用范围
达朗贝尔原理主要适用于线性、保守的力学系统。对 于非线性、非保守系统，达朗贝尔原理可能不适用。
理论力学第十四章 达朗伯原理讲解
FT1＝FT1
cos m1 m2 g m1l 2
§14-2 质点系的动静法
F1
Fg1
m1
a1
FN1 FNi
mi
Fg2
FN2
Fgi
m2
ai Fi
F2
a2
质点系的主动力系
F1 ,F2 ,,Fi ,,Fn 质点系的约束力系 FN1 , FN2 ,,FNi ,, FNn 质点系的惯性力系
Fg1, Fg2 ,, Fgi ,, Fgn
刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。
对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系简化结果－ 主矢与主矩 惯性力系的主矢
FgR ＝ Fgi＝ (－mi ai )＝－m aC
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 这一简化结果与运动形式无关。
i
i
i
§14-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力系简化结果
—— 主矢与主矩 刚体惯性力系主矢与主矩与动量
和动量矩之间的关系
§14-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系特点
刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
Fgi＝－ 对于平面问题m(或ia者i 可以简化为平面问题)，
§14-3 刚体惯性力系的力系的主矩 —— 惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。
3、平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平 面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚 体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一 平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进 一步简化。
理论力学第14章达郎贝尔原理
F(e) i
MO(Fi(e))
Fgi 0
MO(Fgi)0
上式表明，作用在质点系上的外力和虚加在每个质点上的惯 性力在形式上组成平衡力系，这是质点系达郎贝尔原理的又 一表述。
§14.2 质点系的达郎贝尔原理
在静力学中，称 Fi 为主矢，MO(Fi)为对点 O 的主矩，现在 称 Fgi 为惯性力系的主矢，MO(Fgi)为惯性力系对点 O 的主
第十四章 达郎贝尔原理
主要内容
§14.1 惯性力 质点的达郎贝尔原理
§14.2 质点系的达郎贝尔原理 §14.3 刚体惯性力系的简化
达郎贝尔原理
本章讨论达朗伯原理，它提供了解决质 点和质点系动力学问题的普遍方法，这 种方法就是用静力学的方法来研究动力 学的问题，从而把动力学问题形式上转 化为静力学问题，根据关于平衡的理论 来求解。所以又称之为动静法。应用动 静法既可求运动，例如加速度、角加速 度；也可以求力。
而
cosi
xi ri
sin i
yi ri
则 M g x m ix iz i2 m iy iz i
记 J y zm iy iz i,J x zm ix iz i
称其为对于 z 轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的
分布情况。于是，惯性力系对于 x 轴的矩为
Mgx JxzJyz2
因为
m ia r a r m i a r m
解得
a m1 m2 g m1 m2 m
§14.2 质点系的达郎贝尔原理
例 题 14-3
飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮 缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重 力的影响，求轮缘横截面的张力。
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
理论力学——第14章 达朗贝尔原理
Fix(e) FIix 0 Fiy(e) FIiy 0 M O (Fi(e) ) M O (FIi ) 0
Fix(e) FIix 0 ,
M x (Fi(e) ) M x (FIi ) 0
Fiy(e) FIiy 0 ,
M y (Fi(e) ) M y (FIi ) 0
由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有
F (i) i
0,
MO (Fi(i) ) 0
则上式可改写为
Fi(e) FIi 0 MO (Fi(e) ) MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上 惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理 的又一表述。对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程， 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
MIO ri (miai ) ( miri )aC mrC aC
若选质心C为简化中心，则 rC=0，有： M IC 0
故平移刚体的惯性力系可以简化
为通过质心的合力，其力大小等
于刚体质量与加速度的乘积，合
力的方向与加速度方向相反。
2、定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体，考 虑质点i，以O为简化中。 有
l 2
2
0，aCt A
l
2
方向如图所示
角加速度的计算，以杆端点A为基点，B为动点
aB
aA
a
t BA
aB
aA
aBt A
aBt A aA
ll
aC aA aCt A
B
aBt A
aB
aA
aCt A C
aA
q
A aA
因此得此杆惯性力系得主矢为
FIR
理论力学第十四章达朗伯原理new
Fy 0, FN mg m1g m2g Fg1 Fg2 0
mO(F) 0,
解得 (m1g Fg1 Fg2 m2g)r M gO 0
FN mg m1g m2 g m1a m2a 0
a
m1
m1 m2
m2 1
2
m
FNA
m(gc ah) bc
FNB
m(gb ah) bc
思考题 汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死”？
h
mg
l2
l1
车轮防抱死装置ABS: Anti-Brake System
分析汽车刹车时的动力学特性
h
Fg
F2 B FN2 l2
mg
F1 l1
M B 0, FN1(l1 l2 ) mgl2 Fgh 0
惯性力系向转轴O和质心C简化结果对比
y
Fgt
aCt
Fg n O
r C
aCn
MgO
x A
α
Fgt=matC= m rα
Fgn=mrω2= 0
MgO= JO α =
3 mr 2
2
y
aCt
Fg t
O
Cr
x
an C
Fg n A
α
MgC
Fgt=matC= m rα
Fgn=mrω2= 0
MgC= Jc α =
综上所述：
1. 刚体作平动 向质心简化
● 主矢 FgC＝(－miai ) 2. 刚体做定轴转动 向固定轴简化
● 主矢
Fgo＝－maC＝－m(aCt aCn )
● 对转轴的主矩
M go J z
十四章节达朗贝尔原理
d dt
( 12
Q g
r2
Q g
r2
1 2
Q g
r2
FP g
r
2
)
Qr
sin
FPr
2Q g
FP
r2
(Q sin
FP )r
a g(Q sin FP )
2Q F P
A a
Q
α
B
QC FP
例题4
第14章 达朗贝尔原理
飞球调速器的主轴O1y1以匀角速度转动。 试求调速器两臂的张角。设重锤C的质量为m1 ，飞球A，B的质量各为m2，各杆长均为l，杆重
W2
3 2
W1
A
MC (F) 0, JC FR 0
W2
F
JC
R
JCa R2
W2W1
2(W2
3 2
W1 )
例题
第14章 达朗贝尔原理
起重装置由匀质鼓轮D
（ 半 径 为 R ， 重 为 W1 ） 及 均 质 梁 AB （ 长 l=4R ， 重 W2=W1 ） 组成，鼓轮通过电机C（质量
FI mrc 2
2.转轴通过质心,但刚体作变速转动
a
M IO
O(C)
M IO Jc
3.刚体转轴通过质心并作匀速转动
O(C)
(c)
刚体的惯性力系自行平衡
刚体作平面运动
FI
C
aC M IC
FI mac
M Ic Jc
例题2
第14章 达朗贝尔原理
如图所示，滑轮的半径为r，质量为m均匀分 布在轮缘上，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软 绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1 >m2 。 绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承
理论力学达朗贝尔原理
Foy
P
P g
R
P 3
（4）
Fxi 0 Fox FInR 0
将（2）式代入有
Fox
P g
R 2
4 3
P
（5）
理论力学电子教程
第十四章 达朗伯原理
例14-3 滚子半径为R，质量为m，质心在其对称中心C点，如 图(a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳 作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
§14-1 惯性力的基本概念
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它 同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力 。例如，一质量为m的小球M，用细绳系住，绳的另一端 用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度 为v，半径为r，如图14－1所示。
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相应地 于是
ai ri ain ri 2
FIi mi ri FIni mi ri 2方向如图（b）。
M IO M O (FIi) M O (FIi ) M O (FIni ) (miri )ri ( miri2 )
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一、刚体作平行移动 在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 a。
任一质点M i的惯性力为
FIi miai 达朗伯原理
可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都 与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向 平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
得出上述的结论有两个限制条件：
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第十四章 达朗伯原理
（1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；
达朗贝尔原理
质点系的达朗贝尔原理
Fi+FNi+Fgi = 0 ( i = 1、2、…、n )
一．若质点系中有n个质点，对每个质点皆有：
这就是质点系的达朗伯原理。（在任一瞬时，每个
质点上的主动力、约束反力与假想的惯性力皆构成形
式上的平衡力系）。
二．把主动力系、约束反力系与假想的惯性力系简化 成各自的主矢FFR 、FNR 、FgR ，与主矩MFO 、MNO 、 MgO。由力系等效理论，可知整个力系的主矢、主矩 为零，即：
F gx m , x F g m dv dt , F gy m , y F gn m v F gz m z
2
二．质点的达朗贝尔原理
质点m受主动力F，约束反 力FN 作用，由质点动力学 基本方程： ma = F+FN， 但注意到： Fg =－ma （并 不作用在m上！）
因此可以形式上写成： F+FN+Fg = 0 质点的达朗贝尔原理。（在任一瞬时，作用在
质点上的主动力、约束反力与假想的惯性力在形 式上组成一个平衡力系。）
三．动静法
达朗贝尔原理用平衡方程的形式写出动力学 方程，这使求解动力学问题可以借用静力学的方 法——动静法（动力学问题的“静力学”解法） 。
§14-2
和一个力偶 MgC=－JCa 。
l 特例： i． 平动部分是匀速直线运动，即：ac=0时，惯 性力系合成为一个力偶Mg=－JCa。
ii． 转动部分是匀速转动，即 a = 0时，惯性力 系合成为一个过质心的力 FgR =－Mac 。 iii．平动、转动皆为匀速时（如：圆轮在直线轨 道上的匀速纯滚动），ac=a = 0 ， 惯性力系 自成平衡。
三.消除附加动反力的条件
14达朗贝尔原理
解：1、以杆为研究 对象，受力分析如图 对象， 、 F ⅠC 刚好离开地面时，地面约束力为零。 刚好离开地面时，地面约束力为零。
= m2 a
∑M
A
= 0 m aRsin 30 −m gRcos30 = 0 2 2
o o
a = 3g
2、以整体为研究对象，受力分析如图 、以整体为研究对象， 得
1 2 a FA = ma, MIA = m R I 1 1 2 R
aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC
绳BO刚剪断瞬时，杆角速度ω = 0 ，角加速度α ≠0。 BO刚剪断瞬时 杆角速度ω 刚剪断瞬时， 角加速度α
anAC = AC ·ω2 = 0
atAC = lα／2
t aAC
t aA
O
把 aA 投影到点A轨迹的法线 AO上 投影到点A AO上
MIx = ∑ x (F ) = ∑ x Fi +∑ x Fn M Ii M Ii M Ii
( )
( )
= ∑ irαcosθi zi +∑ −mrω2 sinθi zi ) mi ( ii
由
xi yi cos θi = , sinθi = 有 MI x =α∑mi x i z i−ω2∑mi y i z ri ri
第十四章 达朗贝尔原理(动静法) 达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1 惯性力 质点的达朗贝尔原理 惯性力·质点的达朗贝尔原理
m = F +F a N
F + F −m = 0 a N
令 有
F = −m a I
惯性力
F + FN + F = 0 I
理论力学14_动力学_5.达朗贝尔原理
第16章达朗伯( D′Alembert)原理※引言※几个工程实际问题※质点的惯性力与动静法※质点系的达朗伯原理※刚体惯性力系的简化※动绕定轴转动刚体的轴承动反力※结论与讨论引言♉引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗伯原理（动静法）。
♉达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
♉达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
几个工程实际问题爆破时烟囱怎样倒塌几个工程实际问题几个工程实际问题sF I F NFm axzyO mAF N ——约束力；F ——主动力；§16-1 惯性力·质点的达朗伯原理根据牛顿定律m a ＝F + F NF + F N －m a ＝0F I ＝－m a F + F N ＋F I ＝0——质点的惯性力。
非自由质点的达朗伯原理作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
F I ＝－m aF + F N ＋F I ＝0应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法动静法1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式00N N =++=++=++I I y y y x x x F F F F F F F F FωBACll l lααO 1x 1y 1例题16-1离心调速器已知：m 1－球A 、B 的质量；m 2－重锤C 的质量；l －杆件的长度；ω－O 1 y 1轴的旋转角速度。
求：ω－α的关系。
解：1、分析受力：以球B (或A )和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和约束力BF F T2CF T3F T1′2、分析运动：施加惯性力。
球绕O 1y 1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为F I ＝m 1l ω2sin αF IBF F T2CF T3F T1′F I3、应用动静法：)cos (00)sin (sin 0T2T111T2T1211=-+=∑=+-=∑αααωF F g m F F F l m F y x 对于重锤CT1T12T1T3T1cos 2F F gm F F F ＝＝＝''',,α对于球Bg l m m m 2121cos ωα+=例题16-2y振动筛平衡位置Oy＝a sin t求：颗粒脱离台面的最小振动频率平衡位置Oy yma m g F NF I解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。
达朗贝尔原理
M IO mo ( FIi ) M IO M Ixi M Iy j M iz k t n [mO ( FIi )] x mx ( FIi ) mx ( FIi ) mx ( FIi )
mi ri cos i zi (mi ri 2 sin i zi )
i 0 i
e i Ii e 0 i 0 Ii
质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力与虚 加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。
§ 14-3
质点系
刚体惯性力系的简化
e F i FIi 0 e M F 0 i M 0 FIi 0
达朗贝尔原理：
惯性力主矢： FIR
F
Ii
Fi
e
maC
注:对所有刚体均成立， 对同一刚体向任意一点简化均成立
１ 刚体平动 惯性力系向质心简化。
质心为合力作用点
FIR maC
只简化为一个力
2 刚体定轴转动 F m a mi ri F mi a mi ri
M Ix
M IC
1 2 ml 12
M IC
名词：加惯性力（步骤、注意事项）
1、判断运动形式
2、加惯性力，判断质心运动，寻找质心加速度，
直线、曲线、加在哪里 3、加惯性力偶 主矩转动惯量是关于哪个点的转动惯量 4、写出惯性力和惯性矩的表达式
表达式不应再加负号
注意主矢加的点和转动惯量下标协调
典型错误之一
D
2、以整体为研究对象
F
F 0 F G G G M (F ) 0
y
Ay 1
A
x
达朗贝尔原理
F
FAy
A
FAx
F
r
M IA
FIA
r
FIC
r 2
mgr
cos 300
0
C
FIC
3
1
3
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg
(1)
mg 30° B
取AB杆: mA(F ) 0 :
3
1
3
FAy
F 2 mAaA 2 ma A 2 mg (1)
F
A
FAx
mA(F ) 0 : mgrcos 300 FIC r sin 300 0
FI 1
A
1
L
M I 1 C1
mg
FI 2
L
B MI2
. C2 mg
2
D
P
解: 双自由度, 初瞬时问题求加速度.
P力作用在D处时, BD杆平面运动, 圆盘定轴转动, 惯性力系简化如图示.
aC1
L FI 1 m aC1 m1 2
MI1
J A1
3 2
m(
L 2
)2 1
3 8
m L21
L
aC2
FI 2 m aC2 m( 1L 2 2 )
C FIC
mg 30° B
3
1
mg 2 maA 2 0
aA 3 g ( 2 )
α
M IA
(2) 代入(1)
F
3 2 mAaA
1 2
ma A
3 mg
2
F
A
FIA
aA
aC C
FIC
mAg mg 30° B
得:
F
33 2
mAg
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质点系惯性力系的主矢量和主矩分别为：
Qi
miaiMaCFra bibliotekd dt
(
mi
vi
)
dp dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
d dt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
12
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
15
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
翻 页
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到
F (i) i
0
,
mO
( Fi (i )
)0
, 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0
mO (Fi(e) )mO (Qi )0
11
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
厢的加速度 a 。
7
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Q ma ( Q ma ) 由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
8
例2 质量为m的物块A，沿半径为R的光滑圆形轨道从最高点 无初速滑下，求在图示位置轨道对物块A的约束力。
0
dv dv d v dv g sin dt d dt R d
v2 2gR(1 cos )
FN mg (3cos 2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi Ni Qi 0 ( i1,2,...... ,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
解：视物块A为质点，受力分析，运动分析。
切向惯性力 法向惯性力
FI
ma
m dv dt
FIn
ma n
m v2 r
将惯性力假想地加在质点上 列静力学平衡方程
F 0
Fn 0
mg sin FI 0
mg cos Fn FIn 0
g sin dv 0
mg
cos
dt Fn
m v2 R
(负号表示与反向)
18
向O点简化： RQ MaC
MQO JO
作用在O点
向质点C点简化： RQ MaC
MQC JC
作用在C点
19
讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me2
20
讨论： ②转轴过质点C，但0，惯性力偶 M Q JC （与反向）
mo (F ) 0 FB R sin FAR FIAR FIBR 0
a g (1 sin )
2
FXO
1 2
FP (1 sin ) cos
FYO
1 2
FP (1 sin )2
§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力RQ 和一个 惯性力偶 MQO 。
不计，斜面倾角为 ，细绳绕过定滑轮与重物A、B相连。
各处摩擦不计，求重物A下降的加速度及轴O的约束力。
解：重物A、重物B作加速运动，惯性力
FIA
FIB
FP g
a
由静力学平衡方程
Fx 0 FXO FIB cos FB sin cos 0
Fy 0 FYO FIA FA FIB sin FB sin 2 0
对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
13
例2 已知重物A，重物B的重量 FA FB FP ，定滑轮C重量
静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用举例
§10-1 质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯
性反抗的总和。
3
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
Qx
max
m
d2x dt 2
Qy
may
m
d2y dt 2
Qz
maz
m
d2z dt 2
Q
ma
m
d 2s dt 2
Qn
man
m
v2
Qb mab 0
4
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗伯原理
5
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
6
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
请
RQ Mac
看
动
画
16
17
二、定轴转动刚体
先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面
的简单情况。
直线 i : 平动， 过Mi点， Qi miai
O
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： 主矩：
RQ MaC
MQO mO (Qi ) mO (Qin ) ri miri 0 miri2 JO
达朗伯原理(动静法)
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用 这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从 而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法， 因而也称动静法。
1
第十章 达朗伯原理
§10–1 质点的达朗伯原理 §10–2 质点系的达朗伯原理 §10–3 刚体惯性力系的简化 §10–4 定轴转动刚体的轴承动反力