matlab数值计算与符号计算
MATLAB中的数值计算与符号计算
哈 工 程 大 学 数 学 实 验 电 子 教 案
syms x y; dblquad('x*y',0,1,-1,2) ans = 0.7500 这说明 , 不是语法错误 . 实际上 ,这个命令只能计算 矩形区域的积分,如果积分区域不上矩形区域,那么, 你就得定义一个二元函数 , 让这个函数在积分区域 外为0,比如,对此积分,定义
xy , ( x ,y ) D f( x ) 0 , ( x ,y ) D
而且,它也只能计算二重积分的数值解.
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◆关于微分方程的求解
哈 工 程 大 学 数 学 实 验 电 子 教 案
命令格式: dsolve(‘eqn1’, ‘eqn2’, …….); 如果不额外说明, 默认的变量是t dsolve('Dy=y^2*(1-y)') Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. > In C:\MATLABR12\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292 ans = t+1/y-log(y)+log(-1+y)+C1=0 dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1, Dy(pi/a) = 0') ans =cos(a*t) [x,y]=dsolve('Dx = y', 'Dy = -x', 'x(0)=0', 'y(0)=1') x =sin(t) y =cos(t)
第一种方法,用梯形法计算,其命令为trapz(x,y), 其中x, y 是具有相同长度的向量 , 表示用梯形法分割时 , 数据 点上的值. 此积分的实际值为0.199(精确到20位) x=1:0.1:10; y=sin(sin(x)); trapz(x,y) ans = 1.1981
MATLAB数值计算和符号运算
贵州大学实验报告
学院：计算机科学与技术专业：网络工程班级：
姓名
学号
实验组
实验时间
指导教师
成绩
实验项目名称
MATLAB数值计算和符号运算
实验目的
1．掌握并理解Maltab在数值计算的基本用法。
2．理解matlab在工程领域解题的一般过程。
3. 掌握Matlab符合运算的基本方法。
实验环境
计算机一台（带有MATLAB7.0以上的软件环境）。
实验内容
1．线性系统方程：分别使用左除（\）和LU分解求解下面系统方程的解：
2. 使用quad和trapz求解 的数值积分，并与其解析解相比较（解析解利用符号运算进行求解，参考函数int）；（要求：使用quad求积分时，请分别用函数文件和匿名函数的方式求解）
实验代码
第一题
a=[3 6 4;1 5 0;0 7 7]
b=[1;2;3]
x=a\b
[L,U]=lu(a)
x=U\(L\b)
第二题
functiony=fun(x)
y=x.*exp(-(x./3));
Q1=quad('fun',0,5)
Q2=quad(@(x)(x.*exp(-(x./3))),0,5)
b=[400;440;484;532.4];
x0=[0.5;0.5;0.5;0.5];
[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b)
实验结果
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题ห้องสมุดไป่ตู้
matlab数值运算和符号运算
《深度探讨：从数值运算到符号运算的MATLAB应用》在科学计算领域中，MATLAB无疑是一个不可或缺的工具。
它被广泛应用于数学建模、数据分析、图形可视化和算法开发等领域。
在MATLAB中，数值运算和符号运算是两个核心概念，它们分别在不同的领域中发挥着重要作用。
本文将从数值运算和符号运算两个方面展开讨论，带您深入探索MATLAB的应用价值。
一、数值运算1. MATLAB中的数值数据类型在MATLAB中，常见的数值数据类型包括整数、浮点数和复数等。
它们在科学计算中有着广泛的应用，例如在矩阵运算、微分方程求解和优化算法中。
2. 数值计算函数的应用MATLAB提供了丰富的数值计算函数，包括线性代数运算、插值和拟合、统计分布和随机数生成等。
这些函数为科学计算提供了强大的支持，使得复杂的数值计算变得更加简单高效。
3. 数值方法在实际问题中的应用通过具体的案例，我们可以深入了解MATLAB在实际问题中的数值计算方法。
通过有限元分析解决结构力学问题、通过数值积分求解物理方程、通过数值微分求解工程问题等。
二、符号运算1. MATLAB中的符号计算工具MATLAB提供了符号计算工具包，可以进行符号变量的定义、代数运算、微分积分和方程求解等。
这为数学建模、符号推导和精确计算提供了强大的支持。
2. 符号计算函数的应用通过具体的例子，我们可以深入了解MATLAB中符号计算函数的应用。
利用符号计算求解微分方程、利用符号变量定义复杂的代数表达式等。
3. 符号计算在科学研究中的应用通过详细的案例，我们可以了解符号计算在科学研究中的应用。
利用符号计算推导物理模型、利用符号运算求解工程问题等。
总结与展望：通过本文的深度探讨，我们对MATLAB中的数值运算和符号运算有了全面的了解。
数值运算为我们提供了高效的数值计算工具，而符号运算则为我们提供了精确的符号计算工具。
这两者相辅相成，在不同的领域中发挥着重要的作用。
希望通过本文的阐述，读者可以更加深入地理解MATLAB中数值运算和符号运算的应用，提升科学计算的能力和水平。
实验四MATLAB数值计算与符号计算
实验四 MATLAB数值计算与符号计算一、实验目的1.掌握数据插值和曲线拟合的方法2.掌握求数值导数和数值积分的方法3.掌握代数方程数值求解的方法4.掌握常微分方程数值求解的方法5.掌握求解优化问题的方法6.掌握求符号极限、导数和积分的方法7.掌握代数方程符号求解的方法8.掌握常微分方程符号求解的方法二、实验原理1．数据插值a) 一维数据插值 Y1=interp1(X,Y,X1,’method’)b) 二维数据插值 Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,’method’)2．曲线拟合[P,S]=polyfit(X,Y,m)3．符号对象的建立（1）符号量名=sym(符号字符串)：建立单个的符号变量或常量；（2）syms arg1 arg2,…,argn：建立n个符号变量或常量。
4．基本符号运算（1）基本四则运算：+，-，*，\，^（2）分子与分母的提取：[n,d]=numden(s)（3）因式分解与展开：factor(s),expand(s)（4）化简：simplify, simple(s)5．符号函数及其应用（1）求极限：limit(f,x,a)（2）求导数：diff(f,x,a);（3）求积分：int(f,v)三、实验内容1．按下表用3次样条方法插值计算0～900范围内整数点的正弦值和0～750范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值，并将两种计算结果进行比较。
x2=0:75;y1=sin(pi.*x1./180);y2=tan(pi.*x2./180);;a=interp1(x1,y1,45,'cublic')b=interp1(x1,y1,45,'cublic')p1=polyfit(x1,y1,5)p2=polyfit(x2,y2,5)c1=polyval(p1,x1);c2=polyval(p2,x2);subplot(2,1,1);plot(x1,c1,':o',x1,y1,'r');subplot(2,1,2);plot(x2,c2,':o',x2,y2,'r');10203040506070802．（1）求函数33()sin cos f x x x =+在点,,,6432x ππππ=的数值导数。
mathmatic数值计算和符号计算
1五、数值计算和符号计算 两种计算的特点数值计算符号对象和符号表达式 符号计算符号函数的可视化Maple函数的使用5.1 两种计算的特点2数值计算特点：1）以数值数组作为运算对象，给出数值解；2）计算过程中产生误差累积问题，影响计算结果的精确性；3）计算速度快，占用资源少。
符号计算特点：1）以符号对象和符号表达式作为运算对象，给出解析解；2）运算不受计算误差累积问题的影响；3）计算指令简单；4）占用资源多，计算耗时长。
5.2 数值计算MATLAB具有强大的数值计算功能，可完成矩阵分析、线性代数、多元函数分析、数值微积分、方程求解、边值问题求解、数理统计等常见的数值计算。
数值计算的常用运算单元是数值数组。
MATLAB给出了大量的数值计算函数，基本上与理论数学、数值数学的数学描述式表达方式相同，便于编程和掌握。
本节主要以例题的形式给出一些常用的数值计算问题的MATLAB解算过程，以3【例5－1】矩阵常见运算% exm05_01.m A=[1 2 3; 4 7 2;7 4 3 ]; %A 为3×3矩阵b=[2; 4; 5;]; %b 为1×3矩阵%矩阵的分解[L U P]=lu(A) %矩阵的LU 分解，分成下三角和上三角阵,LU=PA [Q,R]=qr(A) %矩阵的QR 分解,分成正交方阵和上三角阵,A=QR%矩阵的特征参数Adet=det(A) %求矩阵的行列式Arank=rank(A) %求矩阵的秩Anorm=norm(A) %求矩阵的范数，通过带不同的参数可以求不同的范数P=poly(A) %求矩阵特征多项式Aroots=roots(P) %求特征根Aroots2=eig(A) %特征根的又一种求法L =1.0000 0 00.5714 1.0000 00.1429 0.3030 1.0000U =7.0000 4.0000 3.00000 4.7143 0.28570 0 2.4848P =0 0 10 1 01 0 0Q =-0.1231 -0.2641 -0.9566-0.4924 -0.8207 0.2899-0.8616 0.5067 -0.0290R =-8.1240 -7.1393 -3.93890 -4.2462 -0.91350 0 -2.3771Adet =-82Arank =3Anorm =11.9378P =1.0000 -11.0000 -6.0000 82.0000Aroots =10.8570-2.67762.8207Aroots2 =10.8570-2.67762.8207%线性方程组求解x=A\b %求方程组AX ＝b 的解x=inv(A)*b 方程组为：x 1+2x 2+3x 3=24x +7x +2x =4解为：x =0.42684【例5－2】求函数的零点% exm05_02.my=inline('cos(t)*exp(-0.1*t)-0.1','t ') %构造内联函数y ＝e -0.1t cost-0.1t=-10:0.01:10;%对自变量采样，采样步长不宜太大。
MATLAB中的数学计算方法详解
MATLAB中的数学计算方法详解在科学研究和工程领域中，数学计算方法的应用是不可避免的。
MATLAB作为一种强大的数学工具，提供了丰富的数学函数和算法，为用户提供了便捷的数学计算方式。
本文将详细介绍MATLAB中常用的数学计算方法，包括数值计算、符号计算以及优化算法等。
一、数值计算方法数值计算是MATLAB中应用最广泛的数学计算方法之一。
它通过将数值代入数学模型，利用数值逼近的方式求得近似解。
MATLAB提供了各种数值计算函数，如插值、积分、微分等。
下面我们将介绍其中几种常用的数值计算方法。
1. 插值方法插值是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
在MATLAB中，可以使用interp1函数实现一维数据的插值。
该函数支持多种插值方法，例如线性插值、样条插值等。
用户只需提供已知的数据点和插值点，即可得到插值结果。
2. 数值积分方法数值积分是计算定积分近似值的方法。
在MATLAB中，可以使用quad函数来进行一维定积分计算。
该函数采用自适应的数值积分算法，能够适应不同类型的函数。
用户只需提供被积函数和积分区间，即可得到积分结果。
3. 数值微分方法数值微分是计算函数导数的方法。
在MATLAB中，可以使用diff函数对函数进行数值微分。
该函数可以计算一阶和二阶导数，还支持多点数值微分和符号数值微分。
通过数值微分，可以方便地求得函数在给定点的导数近似值。
二、符号计算方法符号计算是指在计算过程中处理符号表达式而不是数值。
MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了强大的符号计算功能，可以进行代数操作、求解方程、求导、积分等。
下面我们将介绍几种常用的符号计算方法。
1. 代数操作在MATLAB中，可以使用符号计算功能进行代数操作，如多项式求解、多项式展开、多项式化简等。
通过定义符号变量和符号表达式，可以进行各种代数计算，方便用户进行复杂的代数操作。
2. 方程求解MATLAB的符号计算工具箱提供了solve函数用于求解方程。
在Matlab中使用符号计算和代数运算
在Matlab中使用符号计算和代数运算在Matlab中，符号计算和代数运算是非常重要的功能。
它们能够帮助我们解决各种数学问题，包括求解方程、求导、积分等等。
在本文中，我们将探讨如何在Matlab中使用符号计算和代数运算。
首先，让我们来了解一下什么是符号计算。
符号计算是一种基于符号表达式的计算方法，与数值计算相对。
在符号计算中，我们不需要给出具体的数值，而是使用符号变量来表示数学表达式。
这样，在进行运算的时候，我们能够保留运算中的符号信息，从而得到更加详细和准确的结果。
在Matlab中，我们可以通过声明符号变量来进行符号计算。
使用'sym'函数，我们可以创建一个符号变量。
例如，下面的代码创建了一个符号变量x：```matlabsyms x```有了符号变量后，我们就可以进行各种代数运算了。
比如，我们可以使用符号变量来表示一个多项式函数：```matlabf = x^2 - 2*x + 1;```在上面的代码中，变量f表示了一个二次多项式函数。
这样，我们可以对f进行各种代数运算，比如求导、积分等等。
首先，让我们来看一下如何在Matlab中进行符号微积分运算。
符号微积分是符号计算的一个重要应用领域，它能够帮助我们求导、积分等等。
在Matlab中，我们可以使用'diff'函数来对符号变量进行求导运算。
例如，下面的代码对函数f进行求导运算，并将结果保存在变量df中：```matlabdf = diff(f);```在上面的代码中，变量df表示了函数f的导函数。
同样，我们也可以对df进行各种代数运算，比如求导、积分等等。
接下来，让我们看一下如何在Matlab中进行符号积分运算。
符号积分是符号计算中另一个重要的应用领域，它能够帮助我们求解各种积分问题。
在Matlab中，我们可以使用'int'函数来对符号变量进行积分运算。
例如，下面的代码对函数f进行积分运算，并将结果保存在变量F中：```matlabF = int(f);```在上面的代码中，变量F表示了函数f的不定积分。
3MATLAB数值计算
第三节MATLAB数值计算数学计算分为数值计算和符号计算。
这两种计算的区别是：数值计算的表达式、变量中不得包含未定义的自由变量，而符号计算中则允许。
本节主要介绍MATLAB的数值计算。
一、多项式1．多项式的表达与创建MATLAB用行矢量表示多项式系数，其中各元素按降幂顺序排列，如果多项式表示为：p(x)=a0x n+ a1x n-1+…+ a n-1x+a n则系数矢量为：p=[a0 a1 …a n-1 a n] 。
例如：p(x)= x3－2x－5，其系数矢量为：p=[1 0 -2 -5]。
如果把根矢量表示为：ar=[ar1ar2…ar n]，则根矢量与系数矢量之间满足下面的关系式：(x- ar1)(x- ar2) …(x- ar n)= a0x n+ a1x n-1+…+ a n-1x+a n多项式系数矢量通过调用函数p = poly(ar)产生。
例1将多项式(x-8)(x-3)(x-6)表示为系数形式（即求出系数矢量）。
a=[8 3 6];%写成根矢量pa=poly(a)%求出系数矢量ppa=poly2sym(pa) % 表示成符号形式ezplot(ppa,[-40,40]) % 绘图输出结果为：pa =1 -17 90 -144ppa =x^3-17*x^2+90*x-144图1说明：(1) n个元素的根矢量求出的多项式系数矢量的元素一定是n+1个。
(2) 函数poly2sym把多项式系数矢量表达成符号形式的多项式，缺省情况下自变量符号为x，可以指定其他自变量，如poly2sym(pa,’t’),则表达为t的多项式。
(3) 使用简单绘图函数ezplot可以直接绘制符号形式多项式的曲线，其中第二个输入参数是由方括号内的两个数值组成的，给定了绘图范围。
若省略该参数，系统将自动按缺省范围绘图。
例2求3阶方阵A的特征多项式。
A=[6 3 8;7 5 6;1 3 5];pa=poly(A)ppa=poly2sym(pa)输出结果为：pa =1.0000 -16.0000 38.0000 -83.0000ppa =x^3-16*x^2+38*x-83说明：n阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n+1阶。
matlab中的数学符号与运算
matlab中的数学符号与运算MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和科学工程应用的高级编程语言和环境。
MATLAB中包含了丰富的数学符号和运算，用于进行矩阵操作、线性代数、微积分等数学计算。
以下是MATLAB中一些常见的数学符号和运算：1. 数学符号：-矩阵：MATLAB 中的基本数据类型是矩阵，可以使用方括号`[]` 来表示。
例如，`A = [1, 2; 3, 4]` 表示一个2x2的矩阵。
-向量：向量可以表示为一维矩阵，例如，`v = [1, 2, 3]` 表示一个包含3个元素的行向量。
-转置：使用单引号`'` 来进行转置操作。
例如，`A'` 表示矩阵A的转置。
-点乘和叉乘：点乘使用`.*`，叉乘使用`.*`。
例如，`A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘，`A * B` 表示矩阵A和B的矩阵乘法。
2. 数学运算：-基本算术运算：MATLAB支持基本的算术运算，如加法、减法、乘法和除法。
例如，`result = 2 + 3`。
-元素-wise 运算：MATLAB 支持元素-wise 的运算，即对矩阵或向量中的每个元素进行运算。
例如，`C = A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘。
-矩阵操作：MATLAB 提供了许多用于矩阵操作的函数，如`inv`（求逆矩阵）、`det`（求行列式）、`eig`（求特征值）等。
-积分和微分：MATLAB 提供了`int`（积分）和`diff`（微分）等函数，用于进行积分和微分运算。
-方程求解：MATLAB 提供了`solve` 函数，用于求解方程组。
这些是MATLAB中一些常见的数学符号和运算。
MATLAB 的强大之处在于它的矩阵操作能力，使得它非常适用于数学和工程领域的计算和建模。
如果你有特定的数学运算需求，可以查阅MATLAB 的官方文档或在线资源以获取详细信息。
MATLAB第二讲__数值计算和符号计算
（4）数值运算中必须先对变量赋值；符号运算无须事先对变 量赋值，但必须先定义，运算结果以标准的符号表达 式形式给出。
Matlab基础应用 21
2.2.2 符号运算中的运算符
（1）基本运算符 符号矩阵：‚+”，‚-”，‚*‛，‚\”， ‚/”， ‚^”, ‚ ’ ” 符号数组：‚.*”，‚./”，‚.\‛，‚.^”, ‚.’ ” （2）关系运算符 运算符只有‚==”，‚～=”。
Matlab基础应用 7
1.3.4 多项式乘除运算（续）
例4： a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x;求c=a(x)*b(x)。 解： >>a=[1 2 3];b=[4 5 0]; >>c=conv(a,b) c= 4 13 22 15 0 >>[d,r]=deconv(c,a) d= 4 5 0 r= 0 0 0 0 0
注意: 方法一只创建了符号表达式,没有创建符号变量; 而方法二既创建了符号表达式,又创建符号变量.
Matlab基础应用 19
2.1.3 创建符号矩阵
使用sym和syms命令创建
例4: A=sym(‘[a,b;c,d]’) A= [ a, b] [ c, d] syms f g h k B=[f,g;h,k] B=
%方法二
Name Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object f2 1x1 146 sym object x 1x1 126 sym object Grand total is 20 elements using 650 bytes
metlab用数值计算和符号计算两种方法求定积分
metlab用数值计算和符号计算两种方
法求定积分
在MATLAB中，你可以使用数值计算方法和符号计算方法来求解定积分。
1. 数值计算方法：数值计算方法通过将积分区间划分为小的子区间，并使用数值逼近技术来计算近似的积分值。
MATLAB中常用的数值计算函数是 integral 和 quad。
示例代码：
% 使用 integral 函数计算定积分
f = @(x) x^2 + 2*x + 1; % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = integral(f, a, b); % 计算定积分值
% 使用 quad 函数计算定积分
result = quad(f, a, b); % 计算定积分值
2. 符号计算方法：符号计算方法使用符号表达式来表示积分函数，然后对符号表达式进行符号化求解。
MATLAB中的符号计算工具箱提供了符号积分的功能，可以进行精确的符号计算。
示例代码：
% 使用符号计算方法求定积分
syms x; % 声明符号变量
f = x^2 + 2*x + 1; % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = int(f, x, a, b); % 符号化求解定积分
% 将符号表达式转换为数值结果
result = double(result);
无论使用数值计算方法还是符号计算方法，你都可以根据具体的情况选择适合的方法来求解定积分。
数值计算方法适用于数值近似解，而符号计算方法适用于精确的符号解析。
1.Matlab数值运算功能
向量的乘除运算
a. 向量的乘法运算
点乘运算的运算符为 .*， 其意义为两个向量的对应 元素进行乘法运算，例如
a=[1 2], b=[3 4] 则c=a.*b=[3 8]
^ 为向量的乘方运算，例如
c=a.^2=[1 4]
b. 向量的除法运算
Matlab与科学计算
点积、叉积和混合积
X = inv(E) X= -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 （8）矩阵元素的赋值与运算
Matlab允许用户对矩阵的单个元素进行赋值和操作，Matlab 此时命 令方式为 X(i,j)=变量名
Matlab与科学计算
( 9）矩阵的指数和对数运算 expm(a), expm1(a), expm2(a), expm3(a) logm(a) ( 10）矩阵的开方运算 sqrtm(m) 注意：以上函数如果去掉最后的‘m’，都变成只对 矩阵中的每个元素进行相应的运算。 ( 11）矩阵的行列式运算： a1=det(a)
在matlab的命令窗口键入以下字符 >> a = [1 2 3 4 5 6 9 8 7] a= 1 2 3 4 5 6 9 8 7
希望得到元素从0到20，步距为2的一个向量，只需键入以下命令即可
>> t = [0:2:20] t= 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Matlab与科学计算
》x＝258×369 x＝ 95202
Matlab与科学计算
变量
（1）变量的命名：变量的名字必须以字母开头（不超 过19个字符），之后可以是字母、数字或下划线；变 量名区分字母的大小写；变量中不能包含有标点符号。 （2）一些特殊的变量 ans：用于结果的缺省变量名 i、j：虚数单位 pi：圆周率 eps：计算机的最小数（相对精度） inf：无穷大 realmin：最小正实数 realmax：最大正实数 nan：不定量（not a number） （3）变量操作
第2章 MATLAB数值计算
第2章 MATLAB数值计算MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。
2.1 变量和数据2.1.1数据类型数据类型包括：数值型、字符串型、元胞型、结构型等数值型＝双精度型、单精度型和整数类整数类＝无符号类(uint8、uint16、uint32、uint64)和符号类整数(int8、int16、int32、int64)。
2.1.2数据1. 数据的表达方式▪可以用带小数点的形式直接表示▪用科学计数法▪数值的表示范围是10-309～10309。
以下都是合法的数据表示：-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、4.68e204(表示4.68×10204)2. 矩阵和数组的概念在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下：▪标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。
▪向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。
▪矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。
▪数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。
3. 复数复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。
复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。
复数可以有几种表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi 或z=a+bj(当b 为标量时) z=r*exp(i*theta)● 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。
a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 theta=angle(z) %计算相角 说明：复数z 的实部a=r*cos(θ)； 复数z 的虚部b=r*sin(θ)； 复数z 的幅值22b a r +=；复数z 的相角theta=arctg(b/a)，以弧度为单位。
MATLAB符号计算
例2： ：
2、常微分方程 、 matlab解常微分方程式的函数为： 解常微分方程式的函数为： 解常微分方程式的函数为 dsolve(‘equ’,’condition’); 其中， 代表常微分方程式， 为初始条件， 其中，equ代表常微分方程式，condition为初始条件， 代表常微分方程式 为初始条件 如果初始条件没有给出，则给出通解形式。 如果初始条件没有给出，则给出通解形式。 equ中 用字母D来表示求微分 D的数字表示几 来表示求微分， 注：在equ中，用字母D来表示求微分，D的数字表示几 重微分， 后的变量为因变量 后的变量为因变量。 重微分，D后的变量为因变量。如Dy表示一阶微分项 表示一阶微分项 ，D2y表示二阶微分项 表示二阶微分项 量都是对自变量t求导 求导。 量都是对自变量 求导。 ，并默认所有这些变
3.级数运算 级数运算 可用于级数的函数有： 可用于级数的函数有： (1)symsum(s,v,a,b) 自变量 在[a,b]之间取值时， 自变量v在 之间取值时， 之间取值时 对通项s求和 求和； 对通项 求和； (2)toylor（f,v,n）求f对自变量 的泰勒级数展开 （ 对自变量v的泰勒级数展开 ） 对自变量 至n阶； 阶
例：计算时间函数 f (t ) = e
−t 2
的傅立叶变换
例：计算时间函数 f (t ) = 0.1e − t sin(t −
π
3
) 的拉氏变换。 的拉氏变换。
例：计算时间函数 f (t ) = 0.1e − t sin(t − 结果： 结果：
π
3
) 的拉氏变换。 的拉氏变换。
3.5 方程求解 1、代数方程 、 利用符号表达式解代数方程所需要的函数为solve(f), 利用符号表达式解代数方程所需要的函数为 作用为解符号方程式f; 作用为解符号方程式 例：求一元二次方程
matlab符号运算
第2章符号运算- Presentation Transcript1.第二章符号运算o MA TLAB 的数学计算＝数值计算＋符号计算o其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。
2. 1. 符号变量、符号表达式和符号方程的生成o使用sym 函数定义符号变量和符号表达式o使用syms 函数定义符号变量和符号表达式3. 2 、用syms 创建符号变量o使用syms 命令创建符号变量和符号表达式o语法：o syms(‘arg1’, ‘arg2’, …, 参数) % 把字符变量定义为o% 符号变量o syms arg1 arg2 …, 参数% 把字符变量定义为符号变量的简洁形o% 式o说明：syms 用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。
参数设置和前面的sym 命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。
4.使用syms 函数定义符号变量和符号表达式▪>> syms a b c x▪>> f = a*x^2 + b*x + c▪ f =▪a*x^2 + b*x + c▪>> g=f^2+4*f-2▪g =▪(a*x^2+b*x+c)^2+4*a*x^2+4*b*x+4*c-2▪>>ex02015.符号方程的生成▪>> % 符号方程的生成▪>> % 使用sym 函数生成符号方程▪>> equation1='sin(x)+cos(x)=1'▪equation1 =▪sin(x)+cos(x)=1▪>>6. 2.2 符号形式与数值形式的转换o 1 、将符号形式转换为数值形式：o eval 与numerico例：a1='2*sqrt(5)+pi'o a1 =o2*sqrt(5)+pio b2=numeric(a2) % 转换为数值变量o b2 =o7.6137o b3=eval(a1)o b3 =o7.61377. 2.2 符号形式与数值形式的转换▪ 2 、数值形式转换为符号形式▪p=3.1416;▪q=sym(p)▪执行后屏幕显示：▪q=3927/1250▪numeric(q)▪屏幕显示：▪ans =▪ 3.14168. 2.2 符号形式与数值形式的转换3 、多项式与系数向量之间的转换3.1 sym2poly: 将多项式转化为对应的系数向量例：syms x p; p=x^3-4*x+5; sym2poly(p) 执行后屏幕显示：ans= 1 0 -4 5 9. 2.2 符号形式与数值形式的转换o 3 、多项式与系数向量之间的转换o 3.2 poly2sym: 将向量转化为对应的多项式o例o a=[1 0 -4 5];o poly2sym(a)o执行后屏幕显示o ans=o x^3-4*x+510. 3. 符号表达式( 符号函数) 的操作o(1) 符号表达式的四则运算o syms xo f=x^3-6*x^2+11*x-6;o g=(x-1)*(x-2)*(x-3);o h=x*(x*(x-6)+11)-6;o f+g-ho执行后输出：o ans =o x^3-6*x^2+11*x+(x-1)*(x-2)*(x-3)-x*(x*(x-6)+11)11.(1) 符号表达式的四则运算▪>> syms x y a b▪>> fun1=sin(x)+cos(y)▪fun1 =▪sin(x)+cos(y)▪>> fun2=a+b▪fun2 =▪a+b▪>> fun1+fun2▪sin(x)+cos(y)+a+b▪>>fun1*fun2▪ans =▪(sin(x)+cos(y))*(a+b)12.o(1) 将表达式中的括号进行展开: expando(2) 将表达式进行因式分解：factoro(3) 将一般的表达式变换为嵌套的形式：hornero(4) 将表达式按某一个变量的幂进行集项：collecto(5) 化简表达式：simplifyo(6) 化简表达式，使之成为书写长度最短的形式：simple13.o同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例如以下的f(x) 就可以分别表示为：o多项式形式的表达方式：o f(x)=x^3+6x^2+11x-6o因式形式的表达方式(factor) ：o f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)o嵌套形式的表达方式(horner) ：o f(x)=x(x(x-6)+11)-614.集项－合并符号表达式的同类项o>> syms x y▪>> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x)▪ans =▪(y-1)*x^2+(y-2)*xo>> syms x y▪>> collect(x^2*y + y*x - x^2 - 2*x,y)▪ans =▪(x^2+x)*y-x^2-2*x15.符号多项式的嵌套(horner )▪>> syms x▪>> fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40▪fun1 =▪2*x^3+2*x^2-32*x+40▪>> horner(fun1)▪ans =▪40+(-32+(2+2*x)*x)*x▪>> fun2=x^3-6*x^2+11*x-6▪fun2 =▪x^3-6*x^2+11*x-6▪>> horner(fun2)▪ans =▪-6+(11+(-6+x)*x)*x16.符号表达式的化简(simplify)▪>> syms x▪>> fun1=(1/x+7/x^2+12/x+8)^(1/3)▪fun1 =▪(13/x+7/x^2+8)^(1/3)▪>> sfy1= simplify (fun1)▪sfy1 =▪((13*x+7+8*x^2)/x^2)^(1/3)▪>> sfy2= simple (sfy1)▪sfy2 =▪(13/x+7/x^2+8)^(1/3)17.subs 函数用于替换求值▪>> syms x y▪ f = x^2*y + 5*x*sqrt(y)▪ f =▪x^2*y+5*x*y^(1/2)▪>> subs(f, x, 3)▪ans =▪9*y+15*y^(1/2)▪>> subs(f, y, 3)▪ans =▪3*x^2+5*x*3^(1/2)▪>>subs(f,{x,y},{1,1})ex0202 ex0203 ex020418. 4 、反函数的运算(finverse )▪>> syms x y▪>> f = x^2+y▪ f =▪x^2+y▪>> finverse(f,y)▪ans =▪-x^2+y使用格式： 1 、g=finverse(f):f,g 均为单变量x 的符号函数； 2 、g=finverse(f,t) 返回值g 的自变量取为t ；19. 5 复合函数的运算(compose)▪>> syms x y z t u▪>> f = 1/(1 + x^2);▪>> g = sin(y);▪>> h = x^t;▪>> p = exp(-y/u) ;▪>> compose(f,g)▪ans =▪1/(1+sin(y)^2)▪>> compose(f,g,t)▪ans =▪1/(1+sin(t)^2)使用格式：Compose(f,g) % 返回当f=f(y) 和g=g(x) 时的复合函数f(g(x)) Compose(f,g,t) % 返回的复合函数以t 为自变量，即有f(g(t))20. 6 函数的极限、导数与积分o（1 ）函数极限－limit 函数的使用o（2 ）函数求导－diff 函数的使用o（3 ）符号积分－int 函数的使用21.o符号极限(limit)假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox 提供了直接求表达式极限的函数limit ，函数limit 的基本用法如下表所示。
MATLAB符号计算
MATLAB符号计算MATLAB是一种强大的数值计算和科学计算工具，不仅可以进行数值计算，还可以进行符号计算。
符号计算是一种基于数学符号的计算方法，它可以处理复杂的代数表达式、方程、微分、积分等数学问题。
MATLAB 中的符号计算将这些问题转化为代数表达式，然后通过符号工具箱进行求解。
使用MATLAB进行符号计算需要用到符号工具箱。
可以通过输入`syms`命令来定义符号变量，例如`syms x`可以定义符号变量x。
在定义完符号变量之后，就可以使用这些变量进行符号计算了。
1.代数表达式的化简符号计算可以对代数表达式进行化简。
MATLAB提供了许多函数可以实现化简操作，如`simplify`、`collect`、`expand`等函数。
其中`simplify`函数可以将符号表达式化简为最简形式；`collect`函数可以将符号表达式按照指定的变量进行整理；`expand`函数可以将符号表达式展开为多项式形式。
例如，对于表达式`(x+1)^2`，可以使用`simplify`函数进行化简：```matlabsyms xexpr = (x + 1)^2;result = simplify(expr);```2.解方程符号计算可以解析地求解方程。
MATLAB提供了`solve`函数用于解方程。
`solve`函数可以通过指定的变量来解析地求解方程，并获得方程的解。
例如，对于方程`x^2 - 1 = 0`，可以使用`solve`函数求解：```matlabsyms xeqn = x^2 - 1;sol = solve(eqn, x);````sol`将得到方程的解，即`x = -1`和`x = 1`。
3.求导和积分符号计算可以对函数进行求导和积分。
MATLAB提供了`diff`函数用于求导，提供了`int`函数用于积分。
这些函数可以对符号表达式进行求导和积分，并获得结果。
例如，对于函数`f(x) = x^2`，可以使用`diff`函数求导：```matlabsyms xf=x^2;df = diff(f, x);```求导结果为`df = 2*x`。
MATLAB-第五章
例如: factor： 因式分解
>>factor(x^3-6*x^2+11*x-6)
第五章 MATLAB的符号计算
五、符号运算
1 初等代数运算 （3）符号表达式化简（page48，表3-4）
例如: simplify: 对表达式化简
>>simplify(x^3-6*x^2+11*x-6) >>simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) >>simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)))) >>simplify((x^2+5*x+6)/(x+2)) >>simplify(sqrt(16))
第五章 MATLAB的符号计算
三、符号表达式的定义
建立符号表达式有以下2种方法： (1)用sym函数建立符号表达式。 >> f=sym('a*x^2+b*x+c'); (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 >> syms x y a b c >> f=a*x^2+b*x+c (?)利用单引号来生成符号表达式。 >> f='a*x^2+b*x+c'
第五章 MATLAB的符号计算
五、符号运算
1 初等代数运算 （2）符号表达式的加减乘除幂次方运算
例如： >> f1=sym('1/(a-b)'); >> f2=sym('2*a/(a+b)'); >> f3=sym('(a+1)*(b-1)*(a-b)');
MATLAB基础教程 第5章 符号运算
第五章 符号运算
5.1 符号运算基础
2. 符号表达式的转换
(2)expand：该函数用于符号表达式的展开。其操作对象可以是多种类型，如多项 式、三角函数、指数函数等。
例5-6 符号表达式的展开。 >>syms x y; >>f=(x+y)^3; >>expand(f) ans= x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3 >>expand(sin(x+y)) ans= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) >>expand(exp(x+y)) ans= exp(x)*exp(y)
第五章 符号运算
5.1 符号运算基础
例5-2 符号运算和数值运算之间的差别 >>sym(2)/sym(5) ans= 2/5 >>2/5+1/3 ans=0.7333 >>sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) ans= 11/15 >>double(sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3)) ans= 0.7333 由上例可以看出，当进行数值运算时，得到的结果为double型数据；采用符号进 行运算时，输出的结果为分数形式。
第五章 符号运算
5.1 符号运算基础
2. 符号表达式的转换
(4)simplify：该函数实现表达式的化简。 例5-8 simplify函数的应用。 >>simplify(sin(x)^2+cos(x)^2) ans= 1 >>syms a b c; >>simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)))) ans= (a+b)^(1/2*c) >>S=[(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)]; >>R=simplify(S) R= [3+x, 4]
MATLAB的计算
x=
ans 1.1980 + 0.6572i = 2 0/0
Warning:Divide by zero. ans = Nan
1/0
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北京林业大学陈来荣
MATLAB的数值计算
变量、语句
算或命令都是在矩阵运算意义下进行
矩阵表现形式
标量（单个数值）: 看作为一行一列仅含一个元素的矩阵 列向量：只有一列的矩阵 矢量（行向量）：只有一行的矩阵 一般的m×n矩阵
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2.1.1 矩阵的建立
矩阵建立的4种方法
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1.2 变量的管理
内存变量文件：利用MAT文件把变量保存起来
将内存空间的变量保存到MAT文件中 变量追加 到文件
save 文件名 [变量名表] [-append] [-ascii]
MAT文件，可以不带 扩展名，可以带路径 变量之间 空格分离
变量名以字母开头，后接字母、数字或下划线， 最多31个字符 变量名区分字母大小写，系统自身的标准函数及 命令名须小写 不需对变量进行事先声明，也不需要指定变量类 型，根据赋值或对操作自动确定
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1.1 变量
预定义变量：具有特殊意义，由系统本身定义的变
A1 = 5 A2 = 3 7 11 A3 = 6 10 6 7 8 A4 = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12
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例4.2 求多项式x4 + 8x3 - 10的根。 命令如下： A=[1, 8, 0, 0, -10]; x=roots(A) 返回 x= -8.0194 1.0344 -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i 再输入 p=poly(x) 返回 p= 1.0000 8.0000 -0.0000 -0.0000 -10.0000
MATLAB程序如下： w=interp2(service, years, wage, 15, 1975) 程序运行结果如下： w= 190.6287
4.2 数值微积分 4.2.1 数值微分 DX=diff(X)，计算向量X的向前差分， DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1, 2, …, n-1。 DX=diff(X, n)，计算X的n阶向前差分，例 如diff(X, 2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A, n, dim)，计算矩阵A的n阶差分， dim=1时(默认状态)，按列计算差分； dim=2时，按行计算差分。
图4.2 用一维数据插值得到的美国100年人口分布图
(2) 二维数据插值 在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数 interp2，其调用格式为 Z1=interp2(X, Y, Z, X1, Y1, 'method') 其中，X, Y是两个向量，分别描述两个参数的采 样点；Z是与参数采样点对应的函数值；X1, Y1是 两个向量或标量，描述欲插值的点；Z1是根据相 应的插值方法得到的插值结果。method的取值与 一维插值函数相同。X, Y, Z也可以是矩阵形式。 同样，X1, Y1的取值范围不能超出X, Y的给定范 围，否则，会给出“NaN”错误。
绘出sinx和多项式P(x)在给定区间的函数曲 线，如图4.1所示。
图4.1 用6次多项式对正弦函数进行拟合
4．数据插值
(1) 一维数据插值 在MATLAB中，实现一维数据插值的函数是interp1，被 插值函数是一个单变量函数，其调用格式为 yi=interp1(x, Y, xi, method) 函数根据x, y的值，计算函数在xi处的值。x, y是两个等 长的已知向量，分别描述采样点和样本值，xi是一个向 量或标量，描述欲插值的点，yi是一个与xi等长的插值 结果。method是插值方法，允许的取值有'linear'、 'nearest'、'cubic'、'spline'，分别表示线性插值、最近 点插值、3次多项式插值、3次样条插值。 注意：xi的取值范围不能超出x的给定范围，否则，会给 出“NaN”错误。
第4章 MATLAB数值计算与符号计算 章 数值计算与符号计算
4.1曲线拟合与插值运算 曲线拟合与插值运算 4.2 数值微积分 4.3 线性方程组求解 4.4 常微分方程的数值求解 4.5 MATLAB符号计算 符号计算 4.6 级数 4.7 实验五 数值工具箱与符号工具箱的应用
4.1 曲线拟合与插值运算 1．多项式的建立与表示方法 在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n + 1的行向量表示，其元素为多项式的系数，按 降幂排列，缺少的幂次项系数为0。 例如，多项式 x 4 12 x 3 + 0 x 2 + 25 x + 116 在MATLAB中用向量p=[1 -12 0 25 116]表示。
返回 A= 16 16 16 16 B= 0 0 0 0
16 15 -140 -563 0 0 0 0
16 -140 -2549 -12089 0 0 0 0
16 -563 -12089 -43779 0 0 0 0
(5) 多项式的根 使用函数roots可以求出多项式等于0的根， 根用列向量表示，其调用格式为 r=roots(p) 若已知多项式等于0的根，函数poly可以求 出相应多项式，调用格式为 p=poly(r)
图4.3 用二维数据插值得到的peaks函数曲线图
例4.6 给定雇员数据如下： years=1950:10:1990; %工作年份 service=10:10:30; %服役时间，即在职时间 wage=[150.697 199.592 187.625 179.323 195.072 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505 153.706 426.730 249.633 120.281 598.243]; %工资 利用二维数据插值计算一个雇员在工作15年后在 1975年所获得的工资。
例4.7 设x由[0, 2π]间均匀分布的10个点组成，求 sinx的1～3阶差分。 MATLAB程序如下： X=linspace(0, 2*pi, 10) Y=sin(X) DY=diff(Y) %计算Y的一阶差分 D2Y=diff(Y, 2) %计算Y的二阶差分，也可用命 令diff(DY)计算 D3Y=diff(Y, 3) %计算Y的三阶差分，也可用 diff(D2Y)或diff(DY, 2)
例4.1 多项式P = x4-29x3 + 72x2 - 29x + 1， 以4阶pascal矩阵为自变量分别用polyval和 polyvalm计算该多项式的值。 在命令窗口输入如下命令： p= [1 -29 72 -29 1]; X=pascal(4); A=polyval(p, X), B=polyvalm(p, X)
首先在命令窗口输入插值命令interp1(t, p, 1975)， 估计1975年的人口，返回结果如下： ans= 214.8585 再利用插值估计1900～2000年每年的人口数，并 利用画图命令得出曲线分布。在MATLAB命令窗 口输入如下命令语句： x=1900:1:2000; y=interp1(t, p, x, 'spline'); %样条插值 plot(t, p, ':o', x, y, '-r') %带圆圈标记的虚线 (:o)为普查数据，红实线 %(-r)为插值数据 所得曲线如图4.2所示。
2．多项式的运算
(1) 多项式的加减运算 多项式的加减运算就是其所对应的系数向 量的加减运算。相加减的多项式必须表示 成相同的次数，如果次数不同，应该把低 次的多项式不足的高次项用0补足。
(2) 多项式的乘除运算 命令w=conv(u, v)表示多项式u和v相乘，例如 在MATLAB中输入 u=[1 2 3 4]，v=[10 20 30]，c=conv(u, v) 返回 c= 10 40 100 160 170 120 conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a, b), c)。 命令[q, r]=deconv(v, u)表示u整除v。 向量q表 示商，向量r表示余， 即有v=conv(u, q)+r。
例4.4 向量t和p表示从1900～1990年的每隔10年 的美国人口普查数据： t=1900:10:1990; p=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669... 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; 根据人口普查数据估计1975年的人口，并利用插 值估计从1900～2000年每年的人口数。
例4.9 用两种方法求 I = ∫0 在MATLAB命令窗口输入 F=inline('1./(x.^3-2*x-5)'); Q=quad(F, 0, 2) 或 Q=quadl(F, 0, 2)
2
1 dx 3 x 2x 5
返回 Q= -0.4605 或者采用函数句柄 Q=quad(@myfun, 0, 2) 也可以返回 Q= -0.4605
4.2.2 数值积分
quad(filename, a, b, tol, trace) quadl(filename, a, b, tol, trace) 其中filename是被积函数名。a和b分别是定 积分的下限和上限。tol用来控制积分精度， 默认时为10-6。trace控制是否展现积分过 程，若取非0则展现积分过程，若取0则不 展现，默认时取trace=0。
程序运行结果如下： X= 0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 4.8869 5.5851 6.2832 Y= 0 0.6428 0.9848 0.8660 0.3420 -0.3420 -0.8660 -0.9848 0.6428 -0.0000 DY= 0.6428 0.3420 -0.1188 -0.5240 -0.6840 -0.5240 -0.1188 0.3420 0.6428 D2Y= -0.3008 -0.4608 -0.4052 -0.1600 0.1600 0.4052 0.4608 0.3008 D3Y= -0.1600 0.0556 0.2452 0.3201 0.2452 0.0556 -0.1600
例4.3 用一个6次多项式在区间[0, 2π]内 逼近函数
MATLAB程序如下： x=linspace(0, 2*pi, 50); y=sin(x); P=polyfit(x, y, 6) %得到6次多项式的系 数和误差 程序运行结果如下： P= 0.0000 -0.0056 0.0874 -0.3946 0.2685 0.8797 0.0102
(3) 多项式的导函数 对多项式求导数的函数有 k=polyder(p)，返回多项式p的导函数； k=polyder(a, b)，返回多项式a与b的乘积的 导函数； [q, d]=polyder(b, a)，返回多项式b整除a的 导函数，其分子多项式返回给q，分母多项中提供了两种求多项式值的函数。 y=polyval(p, x)，代数多项式函数求值，若x为一 数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵， 则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。 Y=polyvalm(p, x)，矩阵多项式求值，要求x为方 阵。设A为方阵，p代表多项式x3-5x2+8，那么 polyvalm(p, A)的含义是 A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)) 而polyval(p, A)的含义是 A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))