三角形中最值问题
三角形中求最值的题型解析
三角形中求最值的题型解析以《三角形中求最值的题型解析》为标题，写一篇3000字的中文文章三角形中求最值是一种简单而有趣的数学题型，它要求学生在三角形内给定的某两个顶点中求出最大值或者最小值。
在三角形求最值的题型中，学生需要结合实际解决问题，考察其三角函数的知识，以及如何通过具体细节来解决实际问题。
这类题型有助于学生加深对三角学的理解，并增强学生的解决问题的能力。
要解决三角形中求最值的问题，首先要明确求最值的顶点，一般情况下，解决三角形中的求最值问题，都会考虑到三角形的外接圆，这样可以很容易找到最值顶点。
如果三角形的外接圆不存在，那么可以考虑使用勾股定理，用两个边能很容易求出第三条边，也可以用来定位最值顶点。
一旦确定了求最值的顶点，就可以计算出最值点的数值，在三角形求最值的题型中，最常见的是求另外两个顶点夹角的最大值或者最小值。
计算夹角的最大值最小值的方法是通过三角函数，利用余弦定理和正弦定理求解，计算一个顶点夹角时，要注意锐角和钝角的判断，求出夹角后要转换为相应的角度或者弧度值。
如果求某一边的最值，那么就可以使用勾股定理，求出最值边，这是最简单的做法，但是也比较单一，更新颖的方法是利用三角函数求另外两边的最值，这个方法更复杂一点，要综合运用勾股定理和三角函数，可以得到更准确的结果。
在实际的解决过程中要注意几点，首先要熟悉三角学的基础知识，这是解答此类问题的前提，其次在解决问题时要仔细观察题目已给出的信息，不要忽略题目中的细节信息，这些细节信息可以帮助我们更好的解决问题,同时要记住，有时候单纯的用三角学来解决问题可以获得更好的解决效果。
加深对三角形中求最值的题型的理解，可以多做一些相关的联系题，考察学生如何综合运用三角学的基本知识来解决问题，同时可以增强学生的解决问题能力，为解决更多复杂问题打下良好的基础。
总而言之，三角形中求最值的题型虽然简单但又有趣，它要求学生综合运用三角学的基本知识来解决实际问题，有助于加深对三角学的理解，增强学生的解决问题的能力，为解决更复杂问题打下良好的基础。
解三角形的范围与最值问题
解三角形的范围与最值问题解三角形的范围与最值问题三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。
本文将从范围和最值两个方面进行探讨。
一、解三角形的范围问题解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。
1. 正弦函数正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。
因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。
2. 余弦函数余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。
因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。
3. 正切函数正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。
对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。
4. 余切函数余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。
对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。
以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。
二、解三角形的最值问题解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。
1. 正弦函数和余弦函数的最值正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。
当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。
2. 正切函数和余切函数的最值正切函数和余切函数都没有最值，但它们在某些点上趋近于无穷或者负无穷，这些点称为函数的特殊点。
正切函数的特殊点为θ=nπ+π/2(n∈Z)，此时tanθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。
余切函数的特殊点为θ=nπ(n∈Z)，此时cotθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。
专题03 三角形中的最值、范围问题-
一、选择题1．在△ABC中，sin A＝34，a＝10，则边长c的取值范围是()A.15,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. (10，＋∞)C. (0,10)D.400,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由正弦定理得sin104040sin sin0,3sin334a Cc C CA⎛⎤===∈ ⎥⎝⎦,选D.2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为3a，则c bb c+的最大值是( ) A. 8B. 6C. 32D. 4【答案】D3．在ABC∆中，内角,,A B C的对边分别是,,a b c，若32sin242Bπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2a c+=，则ABC∆周长的取值范围是( )A. (]2,3B. [)3,4C. (]4,5D. [)5,6【答案】B【解析】由0＜B ＜π得，4π ＜324B π+ 74π< ， ∵32sin 242B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴324B π+= 34π 解得B =3π，又∵a +c =2， ∴由余弦定理可得，b 2=a 2+c 2-2accosB =（a +c ）2-2ac -ac =4-3ac ，∵a +c =2，a +c ≥2ac ，当且仅当a =c 时取等号，∴0＜ac ≤1，则-3≤-3ac ＜0， 则1≤b 2＜4，即1≤b ＜2．∴△ABC 周长L =a +b +c =b +2∈[3，4）． 故选B4．在ABC ∆中,角A B C 、、 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A .32 B . 22 C . 12 D . 12- 【答案】C5．已知ABC ∆ 是锐角三角形，若2A B = ，则ab的取值范围是（ ） A .()2,3 B .()2,2 C . ()1,3 D . ()1,2【答案】A【解析】由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a Ab B=，又因为2A B = ，所以 2cos a B b = ，又因为锐角三角形，所以ππ20,,π30,22B C B ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ππ,2cos 2,364B B <<∈故选A ．6.已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A.B. C.D.【答案】D∵是锐角三角形，∴，解得，∴， ∴．即的值范围是．二、填空题7.在ABC 中， 60ACB ∠=︒， 1BC >， 12AC AB =+，当ABC 的周长最短时， BC 的长是__________． 【答案】21+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12{1 60b c a C =+>=︒，由余弦定理，得： 2222cos c a b ab C =+-，即2221122 c a c a c⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a aca-+=-，ABC的周长：122a b c a c++=++2121212a aaa-+=++-()26321a aa-=-．令1t a=-，则三角形周长为：()()2613139993222222t ttt t+-+=++≥+，当332tt=，即22t=，212a=+时ABC的周长最短．8．设,m n R∈，若直线:10l mx ny+-=与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆224x y+=相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB∆面积的最小值为_________.【答案】3整理得：2213m n+=，令直线l解析式中0y=，解得：1xm=，1Am∴（，），即1OAm=，令0x=，解得11y Bn n=∴：，（，），即1OBn=，222m n mn+≥，当且仅当m n=时取等号，222m nmn+∴≤，又AOB为直角三角形，22111322ABCS OA OBmn m n∴=⋅=≥=+，当且仅当2216m n==时取等号，则AOB 面积的最小值为3．9．已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,a b c 其中2c = ， 3cos cos 2sin ca Bb A C+=则ABC 周长的取值范围为___________.【答案】（23+2，6].=433 (sinA +sin (23π-A ))+2=433 (sinA +32cosA +12sinA )+2 =4sin (A +6π)+2. ∵C =3π，△ABC 是锐角三角形， ∴A ，B ∈（6π， 2π），∴A +6π∈（3π， 23π），∴sin (A +6π)∈（32，1]，∴a +b +c =4sin (A +6π)+2∈（23+2，6].10．在ABC ∆中， ,2,45BC x AC B ===︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是______. 【答案】222x << 【解析】∵在△ABC 中, ,2,45BC x AC B ===︒，且三角形有两解， ∴如图： 452xsin x ︒<<， 解得222x <<， ∴x 的取值范围是(2,22， 故答案为： (2,22).11.设锐角ABC 的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，且1,2a B A ==，则b 的取值范围为____． 【答案】()2,312.在钝角中，内角的对边分别为，若，，则的取值范围是__________.【答案】【解析】三条边能组成三角形 ，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得：1<c<7，①若∠C 为钝角，则：，解得：c>5，②若∠A 为钝角，则：，解得：，③结合①②③可得c 的取值范围是.13.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若2C B =，则cb的取值范围是________． 【答案】(2,3【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos 2cos ,2cos cC B B B c b B B b==∴== 因为锐角ABC ∆，所以0,02,03,222B C B A C B B πππππ<<<=<<=--=-<()23cos ,,2,3642cB B b ππ⎛⎫∴<<∴∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭14.若的面积为,且∠C 为钝角，则∠B =_________；的取值范围是_________.【答案】15.在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，，则面积的取值范围是__________． 【答案】【解析】 ∵中、、成等差数列， ∴．由正弦定理得，∴，∴，∵为锐角三角形，∴，解得．∴， ∴，∴， 故面积的取值范围是．三、解答题16.已知函数()233sin sin cos 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()32f A =， 4b c +=，求a 的取值范围.【答案】(1) ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[)2,4a ∈【解析】（1）函数变形()1cos2133sin2sin 2223x f x x x π-⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()3sin 23f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 0,2A π<< 22333A πππ-<-<所以233A ππ-= 解得3A π=，又4b c +=，在△ABC 中， ()()22222344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈。
三角形中的范围(最值)问题
三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cos B，cos C)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝π2，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝π6.(1)设∠POM ＝α，试用α表示OM ，ON ，并写出α的范围； (2)当α取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值； (2)求b ＋c 的取值范围．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]．解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac ，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分(2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3.所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12.10分所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1.12分所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分例题1 答案：9.解法1由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac≥5＋2c a ·4a c ＝9.当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法2如图作DE ∥AB 交BC 点E ，所以∠EDB ＝∠DBA ＝∠DBE ＝60°，因为BD ＝1，所以△BDE 是边长为1的正三角形，CE CB ＝DEAB ，即a －1a ＝1c，变形得a ＋c ＝ac ，变形得44a ＋1c＝1. 于是1＝44a ＋1c ≥（2＋1）24a ＋c ，解得4a ＋c ≥9，当且仅当4a ＝2c ，当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法3设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC 中，BC sin θ＝BDsin C ，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝ 2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9. 解法4以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限，设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0，令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k，由于直线BA 的方程为y ＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0，所以c ＝－2x A ＝3－k （k ＋3）>0，则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9. 当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9. 变式联想变式1答案：(1)2π3；(2)[23，＋∞)．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得(4R ·sin A ＋2R ·sin C )cos B ＋2R ·sin B cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，即sin A (2cos B ＋1)＝0，因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ≠0，解得cos B ＝－12，B ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，S △ABC ＝12xy sin 2π3＝34xy ，S △ABD ＝12y sin π3＝34y ，S △BCD＝12x sin π3＝ 34x ，所以xy ＝x ＋y ， 即y ＝xx －1，x ∈(1，＋∞)．在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos2π3＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝(x ＋y －12)2－14，因为x ＋y ＝xy ≤（x ＋y ）24，x >0，y >0，所以x ＋y ≥4，所以AC 2≥(4－12)2－14，所以AC ≥2 3.所以AC的取值范围是[23，＋∞)． 变式2答案：(1)y ＝xx －1， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5；(2) 3. 解析：(1)由S △ABC ＝S △ABD ＋ S △ACD 得，12x sin 60°＋12y sin 60°＝12xy sin 120°，所以x ＋y ＝xy ，所以y ＝x x －1，又0<y ≤5，0<x ≤5，所以54≤x ≤5，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5. (2)设△ABC 的面积为S ，则结合(1)得S ＝12xy sin A ＝12x·x x －1·sin 120°＝3x 24（x －1）(54≤x ≤5)，因为x 2x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号． 故当x ＝y ＝2时，面积S 取得最小值3平方千米． 答：该渔民至少可以围出3平方千米的养殖区．串讲激活串讲1 答案：726. 解析：设∠BDA ＝θ，AD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD·BD·cos ∠BDA ，可得15a 24－28a ＋49＝x 2－xa cos θ，①在△ACD 中，由余弦定理得3a 24＝x 2＋xa cos θ，②，由①＋②可得2x 2＝92a 2－28a ＋49＝92(a －289)2＋499≥499，所以x ≥726，当且仅当a ＝289时等号成立，所以中线AD 的最小值为726.串讲2 答案：(1)OM ＝2sin （α＋π4），ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3；(2)α＝π6，8－4 3.解析：(1)在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，即OM ＝2sin （α＋π4），同理ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3.(2)S △OMN ＝12OM·ON sin ∠MON ＝1sin （α＋π4）×sin （α＋5π12）＝1sin （α＋π4）×sin （α＋π4＋π6）＝132sin 2（α＋π4）＋12sin （α＋π4）cos （α＋π4）＝134[1－cos （2α＋π2）]＋14sin （2α＋π2）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝112sin （2α＋π6）＋34，因为0≤α≤π3，π6≤2α＋π6≤5π6，所以当α＝π6时，sin (2α＋π6)的最大值为1，此时△OMN 的面积最小．即α＝π6时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.答案：(1)334；(2)(3，23]．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(c ＋a )(c －a )＋b (b ＋c )＝0，即c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，所以 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A 是三角形的内角，所以A ＝120°，由c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，且a ＝3，所以b 2＋c 2＝9－bc ≥2bc ，解得bc ≤3.所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3·sin120°＝334.(2)由(1)可知c 2＋b 2＋bc ＝9，(b ＋c )2－bc ＝9，即(b ＋c )2－9＝bc ≤(b ＋c 2)2，解得b ＋c ≤23，又b ＋c >a ＝3，所以b ＋c 的取值范围是(3，23]．。
解答三角形最值问题的几种措施
三角形最值问题对同学们的运算以及逻辑推理能力有较高的要求.此类问题通常侧重于考查正余弦定理、三角函数的定义、三角函数的单调性、基本不等式等.本文结合一道三角形最值问题，谈一谈解答此类问题的常用措施.例题：已知在ΔABC 中，点D 在边BC 上，BD =2CD ,AD =BD ，求tan A cos 2B 的最大值.一、利用基本不等式我们知道，若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.而运用基本不等式求最值，往往要确保：（1）两个数均为正数；（2）两数的和或积为定值；（3）当且仅当a =b 时取等号.在解答三角形最值问题时，要先灵活运用正余弦定理进行边角互化，把目标式化为只含边或角的式子；然后运用一些配凑技巧，如凑系数、添项、去常数项、平方等，配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，即可运用基本不等式求得最值.解法1.如图1所示，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，由AD =BD ，DE ⊥AB 可得E 为AB 的中点.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以DE ∥CF ，所以AE =BE =2EF ，所以F 为AE 的中点.可得BE =2AF ，即AF =12BE .所以DE CF =BD BC =23，所以CF =32DE .在RtΔACF 中，tan A =CF AF =3DE BE.在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，所以BD 2≥2DE ⋅BE ，而cos B =BE BD ，所以tan A cos 2B =3DE BE ⋅(BE BD)2=3DE ⋅BE BD 2≤3DE ⋅BE 2DE ⋅BE =32，当且仅当DE =BE ，即B =45°时不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.先添加辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质，建立各边之间的比例关系，从而求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B =3DE ⋅BEBD 2.而在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，由基本不等式可得BD 2≥2DE ⋅BE ，通过约分即可求得目标式的最值.二、利用三角函数的性质三角函数具有有界性和单调性，而这两种性质是求三角函数最值的重要依据.在解答三角形最值问题时，可先根据正余弦定理将边角关系化为关于角的关系式，并用角的三角函数式表示出目标式，将问题转化为三角函数最值问题；然后利用三角函数中的诱导公式、二倍角公式、辅助角公式等进行恒等变形，将目标式化为只含有一种三角函数名称的式子，进而利用三角函数的有界性和单调性求最值.解法2.设ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，CD =m (m >0)，则AD =BD =2m ，因为∠ADB 与∠ADC 互为邻补角，所以cos∠ADB =-cos∠ADC .在ΔABD 中，由余弦定理得c 2=4m 2+4m 2-2×2m ×2m cos∠ADB ，化简得c 2=8m 2-8m 2cos∠ADB ，即c 2=8m 2+8m 2cos∠ADC ①；在ΔACD 中，由余弦定理得b 2=4m 2+m 2-2×2m ×m cos∠ADC ，化简得b 2=5m 2-4m 2cos∠ADC ，所以2b 2=10m 2-8m 2cos∠ADC ②.将①+②得c 2+2b 2=18m 2，又因为a =3m ，所以c 2+2b 2=2a 2.在ΔABC 中，由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=a 2+c 2-(a 2-12c 2)2ac =3c4a，由正弦定理可得cos B =3c 4a =3sin C 4sin A，所以4sin A cos B =3sin C =3sin(A +B )=3sin A cos B +3cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B =3sin B cos B =32sin2B ≤32，思路探寻图149当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.我们先根据余弦定理求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B 的表达式，并根据tan B =sin Bcos B以及二倍角公式sin2B =2sin B cos B ，将目标式化为只含有正弦函数的式子，即可运用正弦函数的有界性求得目标式的最值.解法3.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以AD =2CD .因为AD =BD ，所以∠BAD =∠B ，所以∠DAC =∠A -BAD =∠A -∠B .在ΔACD 中，由正弦定理得AD sin C =CDsin∠DAC，即2CD sin(A +B )=CDsin(A -B )，所以2sin(A -B )=sin(A +B )，可得2sin A cos B -2cos A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .以下同解法2，具体过程略.该解法主要运用了正弦定理，根据角之间的关系进行三角恒等变换，得到tan A =3tan B ，再根据正弦函数的有界性求得最值.我们还也可以根据正切函数的定义和勾股定理，在RtΔBDE 中，求得tan B =DE BE =CF3AF，在RtΔACF 中，求得tan A =CF AF ，从而得出tan B =13tan A ，再根据正弦函数的有界性求得最值.利用三角函数的性质求解三角形最值问题，关键是将目标式化为关于角的三角函数式，并将其化简为只含有一种三角函数名称的式子，就能根据三角函数的有界性和单调性顺利求得最值.三、构建坐标系运用坐标法求解三角形最值问题，需先根据三角形的特征，建立合适的平面直角坐标系：可以三角形的一条底边为坐标轴，以一个顶点或底边的中点为原点；也可以三角形底边为x 轴，底边的中垂线为y 轴来建立坐标系.在建立坐标系后，求得各个点的坐标，再运用两点间的距离公式、直线的斜率公式和方程、三角函数的定义来求得角、边长以及目标式，最后运用函数的性质、三角函数的性质、基本不等式求最值.解法4.如图2所示，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，设CD =m (m >0),∠ADB =θ，则点C (m ,0),B (-2m ,0),A (-2m cos θ,2m sin θ)，所以tan B =k AB =2m sin θ-2m cos θ+2m =sin θ1-cos θ，tan C =-k AC =2m sin θ2m cos θ+m =2sin θ2cos θ+1.可得cos 2B =11+tan 2B=1-cos θ2，tan A =-tan(B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1=(sin θ1-cos θ+2sin θ2cos θ+1)÷(sin θ1-cos θ⋅2sin θ2cos θ+1-1)=3sin θ1-cos θ.所以tan A cos 2B =3sin θ1-cos θ⋅1-cos θ2=32sin θ≤32，当sin θ=1，即θ=90°时，AD ⊥BC ，不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.为了便于求得各点的坐标，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，并设∠ADB =θ，用θ表示出cos 2B 、tan A 以及tan A cos 2B ，即可利用正弦函数的有界性求得最值.解法5.因为AD =BD ，过O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立如图3所示的平面直角坐标系xOy .设CD =m (m >0)，易知AD =BD =2m ，所以点C (-m cos B ,3m sin B ),A (-2m cos B ,0)，可得tan A =k AC =3m sin Bm cos B=3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B=3sin B cos B =32sin2B ≤32，当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.根据等腰三角形三线合一的性质，过点O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，即可快速求得D 、C 的坐标.再用角B 的三角函数表示出tan A cos 2B ，便可根据正弦函数的有界性求得问题的答案.求解三角形最值问题的思路较多，无论运用哪种思路解题，都需灵活运用正余弦定理进行边角互化，求得目标式，然后根据目标式的结构特征，选用合适的方法求最值.（作者单位：山东省牟平第一中学）图3思路探寻图250。
完整版)解三角形中的最值问题
完整版)解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。
解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。
解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。
设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。
（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。
解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。
由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。
解三角形中的最值与范围问题4大题型
解三角形中的最值与范围问题4大题型解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。
一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。
一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B ．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【变式2-1】（2023·云南昆明·已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x x ωωω=-，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC周长的取值范围．【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos 2cos f x x x x x =-⋅-∈R ．（1）求函数()f x 的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =-，a =求△ABC 的面积S 的最大值．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，AD =，2CD =，BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a b c+的取值范围.6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．参考答案【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【答案】B【解析】∵cos cos 1b A B -=，即：cos cos 1b A B =+，1a =，∴cos (cos 1)b A B a =+，∴由正弦定理得：sin cos (cos 1)sin B A B A =+，即：sin cos sin cos sin B A A B A =+，∴sin()sin B A A -=，∴B A A -=或πB A A -+=，解得：2B A =或B π=（舍），又∵△ABC 为锐角三角形，则ππ3C A B A =--=-，∴ππ0022ππ00222ππ00π322A A B A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，解得：ππ64A <<，2π2sin 21cos 22sin(2)16B A A A A +=+-=-+，又∵ππ64A <<，∴πππ2663A <-<，∴1πsin(2262A <-<，∴π22sin(2)116A <-+<，22sin B A +的取值范围1).故选：B.【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【答案】43【解析】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系，可知22x x +>且22x x -<，解得223x <<，在ABD △中，由余弦定理，得()2212cos 2AD x ADB AD +-∠=，在ACD 中，由余弦定理，得221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠,所以()222212122AD x AD x AD AD+-+-=-，解得22512AD x =-，则2242251132cos 54512122x x x ADC x x -+-∠=⨯-⨯-223x <<，令2512x t -=，则1,99t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2215x t =+，()4242125x t t =++，则232131313cos 2221010105t t ADC t t t t t ++∠==⨯++≥⨯⋅+=，当且仅当1t t =，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得25x =因为3cos 05ADC ∠≥>，所以π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭．因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时24sin 1cos 5ADC ADC ∠-∠=，则4tan 3ADC ∠=，所以tan ADC ∠的最大值为43.【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【答案】（1）tan 3tan B A=-；（2）π6【解析】（1）由余弦定理可得2222cos b c a ac B =+-，代入2222b a c -=，得到()22222cos 2c a ac B a c +--=，化简得22cos 0c ac B +=，即2cos 0c a B +=.由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B +=，即()sin 2sin cos 0A B A B ++=，展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B ++=，即3sin cos cos sin A B A B =-，所以tan 3tan BA=-．（2）由2222b a c -=得2222b ac -=，故222cos 2a b c C ab +-=222222b a a b ab-+-=2233444a b a b ab b a +==+≥=当且仅当223b a =，即b =时等号成立．因为()0,πC ∈，所以π6C ≤，所以C 的最大值为π6.【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）98【解析】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）,46⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由22c b ab =+及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()2cos 1a b C =+，由正弦定理得：()sin sin 2cos 1A B C =+，又πA B C ++=，()sin sin sin cos cos sin 2sin cos sin A B C B C B C B C B ∴=+=+⋅=+，cos sin sin cos sin B C B C B ∴-=，()sin sin C B B ∴-=，,,A B C 都是锐角，C B B ∴-=，即2C B =.（2）令113sin tan tan y C B C =-+cos cos 3sin sin sin B C C B C =-+sin cos cos sin 3sin sin sin C B C BC B C -⋅=+⋅()sin 3sin sin sin C B C B C-=+⋅，由（1）2C B =得13sin sin y C C=+，在锐角三角形ABC 中，π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即()π02π022π02B C C B C π⎧<-+<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ32<<C，sin C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，令sin ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2y f t t t t ⎛⎫∴==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，又函数()13y f t t t ==+在2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()4y f t ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭，故113sin tan tan C B C -+的取值范围是46⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3C =；（2）9【解析】（1）因为sin cos c B C =，所以由正弦定理得sin sin cos C B B C =，又因为()0,πB ∈，sin 0B ≠，所以sin C C =，即有tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为π3C =，6a b +=，所以由余弦定理可得222222cos ()236336392a b c a b ab C a b ab ab ab +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当3a b ==时，等号成立，所以3c ≥，故ABC 周长的最小值9.【变式2-1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）π3；（2）(+【解析】（1）根据余弦定理可知，222cos 2a c b B ac+-=，所以2cos sin 2ac B A bc =，即cos sin cos sin sin sin B A BA A b B=⇔，则tan B =()0,πB ∈，所以π3B =；（2）设π2π,23A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，根据正弦定理可知2πsin sin sin sin 3a cb A C B ====，所以2sin a A =,2π2sin 2sin 3c C A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以周长2π2sin 2sin 3a b c A A ⎛⎫++=+-+ ⎪⎝⎭12sin 2sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭3sin A A =++π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,πππ25636A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 622πA ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π36A ⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭，所以ABC的周长为(+.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x ωωω=，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）1ω=，对称轴方程为：()ππ26k x k =+∈Z ；；（2）2.【解析】（1）211cos(2))1()cos ())cos()2222x x f x x x x ωωωωω+=-=+-，()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，因为0ω>，所以2ππ12ωω=⇒=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()()ππππ2πZ Z 6226k x k k x k +=+∈⇒=+∈，所以对称轴为()ππ26k x k =+∈Z ；（2）由πsin 6(12)1A f A ⎛⎫+=- ⇒⎪⎝⎭=-，因为(0,π)A ∈，所以ππ13ππ3π2π2(,)2666623A A A +∈⇒+=⇒=，因为a22sin ,2sin sin sin sin a b c b B c CA B C ===⇒==，π2sin 2sin 2sin 2sin 3B C B B ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1π2sin sin 2sin 223B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π(0,)3B ∈，所以ππ2π(,)333B +∈，因此ππsin ,1]2sin (2323B B ⎛⎫⎛⎫+∈⇒+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABC周长的取值范围为2.【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【答案】（1）3π；（2）()∞+.【解析】（1）在ABC 中，由三角形面积公式得:1sin 2S bc A =，由正弦定理得：()2212sin sin 2cabc A a b A b c⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭，整理得：222a b c ab +-=，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，故3C π=．（2）因为a 3C π=，由正弦定理得32sin c A=，23cos 3sin 2sin A A b A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭===即ABC的周长()31cos 33cos 2sin 2sin 2sin A A l a b c A A A +=++=+=26cos 32224sincos 2tan222AA AA =++，因为203A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则023Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故0tan 2A<所以322tan2A +>ABC的周长的取值范围是∞）.【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【答案】（1（2）8+【解析】（1）因为,,,A B C D 四点共圆，所以πABC ADC ∠+∠=，因为3cos 5ABC ∠=-，所以3cos cos 5ADC ABC ∠=-∠=，因为()0,πADC ∠∈，故sin 54ADC ∠==，在ABC 中，由余弦定理得：22232cos 25930525AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =在ADC △中，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，5=，解得：AD（2）由（1）知：AC=3cos5ADC∠=，在ADC△中，由余弦定理得：22222523cos225AD CD AC AD CDADCAD CD AD CD+-+-∠===⋅⋅，整理得：226525AD CD AD CD+=⋅+，故()216525AD CD AD CD+-=⋅，其中22AD CDAD CD+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，故()()221645255AD CD AD CD AD CD+-=⋅≤+，解得：AD CD+≤AD CD=故四边形ABCD周长的最大值为8AB BC AD CD+++≤+【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos2cosf x x x x x=-⋅-∈R．（1）求函数()f x的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2f A=-，a=求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）[]3,1-；（2【解析】（1）()1cos2πcos2sin2cos212sin2126xf x x x x x x+⎛⎫=⋅-⋅--=--⎪⎝⎭，∴()f x的值域为[]3,1-．（2）()π2sin2126f A A⎛⎫=--=-⎝⎭，即π1sin262A⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由()0,πA∈,得ππ11π2<666A-<-∴π7π2=66A-，即2π3A=，又222222π32cos33a b c bc b c bc bc==+-=++≥，即1bc≤，∴11sin 12224ABC S bc A =≤⨯ ，∴()max 4ABC S =，当且仅当1b c ==时取得．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）π4；（2）4【解析】（1）法一：左边2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos B B B BB B B===+，右边sin 1tan 1sin cos cos sin tan 1sin cos 1cos CC C CC C C C CC+++===---，由题意得sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos B C CB C B C B C B C B C C+=⇒-=+-()()()sin cos 0tan 1B C B C B C ⇒+++=⇒+=-，即tan 1A =，又因为0πA <<，所以π4A =.法二：左边2sin 22sin cos tan 1cos 22cos B B BB B B===+，右边πtan tantan 1ππ4tan tan πtan 1441tan tan4C C C C C C ++⎛⎫⎛⎫==--+=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，由题意得ππππ44B C k B C k =--+⇒+=-+，又因为0πB C <+<，所以3ππ44B C A +=⇒=.（2）由11π2sin 2244ABC S a bc a bc =⨯=⇒=△，由余弦定理得222222π2cos 4a b c bc a b c =+-⇒=+，2222222211288b c b c b c b c bc ⇒=+⇒+=+≥，(82bc ⇒≥，当且仅当b c =时取“等号”，而1πsin24ABC S bc ==△，故()(min 824ABC S =-=△【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π3C =；（2）.【解析】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：221a b ab =+-，因此12ab ab ≥-，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11sin (0,22ABC S ab C ===∈△，所以ABC 面积的取值范围是4．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【答案】（1）π3或2π3；（2【解析】（1）()sin sin 4sin C B a C =-，4sin s sin sin in C B a B C =，)sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，sin 2sin sin sin B C A B C =，因为sin sin 0B C ≠，所以sin2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =或2π3A =（2）因为2a =，且224b c +>，所以由余弦定理得222224cos 022b c a b c A bc bc+-+-==>，所以A 为锐角，由（1）知π3A =.因为O 是ABC 的内心，所以()()112ππππ223BOC ABC ACB A ∠=-∠+∠=--=，在OBC △中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以2222242cos3OB OC OB OC OB OC OB OC π=+-⋅=++⋅23OB OC OB OC OB OC ≥⋅+⋅=⋅，当且仅当33OB OC ==时等号成立，所以43OB OC ⋅≤，所以1142π3sin sin 2233OBC S OB OC BOC =⋅∠≤⨯=△所以OBC △33【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3AD =，2CD =，2BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【答案】（163；（2）218【解析】（1）∵BC CD ⊥，∴426BD =+=22cos 326362ADB ∠=⋅⋅，1in 3s ADB ∠=，3sin 3BDC ∠=，6cos 36BDC ∠==∴sin sin()sin cos cos sin ADC BDC ADB BDC ADB BDC ADB∠∠∠=+=∠∠+∠∠13===；（2）设BAD ∠=α，BCD β∠=，∴23142BD αβ=+-=+-，∴2βα-=，∴1βα=，①22222212131sin 1sin sin 2sin 24S S αβαβ⎫⎛⎫+=⨯+⋅⨯=+⎪ ⎪⎭⎝⎭()222233sin 21cos sin 2144αβα⎡⎤⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎣⎦2223535321cos cos cos 222228ααααα⎛⎫⎛=--+=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当cos 6α=-，cos 8β=时取最大值218；综上，sin 3ADC ∠=，2212S S +的最大值是218.【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【答案】2⎛ ⎝【解析】在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C ==，所以1sin sin 60b A = ，即2sin b A=，因为锐角ABC ，所以090,090A C <<<< ，即090,012090A A <<<-<，解得3090A <<，所以1sin 12A <<，所以112sin A<<，<2b ⎛∈ ⎝.【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【答案】（1）3π；（2）⎡⎣【解析】（1）因为()()cos sin cos a B C B a A -=-，可得()cos cos sin cos a B C a A B A -+=，则()()cos cos sin cos a B C a B C B A --+=，所以()cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos a B C a B C a B C B C B A +--=，即sin sin sin cos a B C B A =，由正弦定理得sin sin sin sin sin cos A B C C B A =，显然sin 0C >，sin 0B >，所以sin A A ，所以tan A =()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为sin sin a b A B==πsin sin 3a bB ==所以3a =，b B =，所以2223sin 2sin 4sin b a a b B B b b B B +⎫=+=++⎭，因为ABC 为锐角三角形且2π3B C +=，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以ππ62B <<，即1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()34f x x x =+，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数性质知函数()34f x x x =+在122⎛ ⎝⎭上单调递减，在,12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f =⎝⎭()714f =，所以())2f x ∈，即)3sin 24sin B B +∈，所以3sin 6,4sin B B ⎫⎡+∈⎪⎣⎭，即22b a b+的取值范围为⎡⎣.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【答案】（1）2；（2）(【解析】（1）由条件得：211sin tan tan A B C =+cos cos sin sin B C B C =+sin cos cos sin sin sin C B C B B C +=()sin sin sin C B B C+=sin sin sin A B C =，所以2sin 2sin sin A B C =，由正弦定理得：22a bc =，所以22a bc=.（2）b c >及22a bc =，则B C >，角C 一定为锐角，又ABC 为锐角三角形，所以cos 0cos 0A B >⎧⎨>⎩由余弦定理得：2222222222222220020222020022b c a b c bcb c bc bc bc bc c b a c b bc c b ac ac ⎧⎧+-+->>⎪⎪⎧+->⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+->+-+-⎩⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩，所以2220bc c b +->，即212b b c c ⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：11b c <<又1bc >，所以(1,1b c∈+.又22222122b c b c b c a bc c b ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令(1,1b x c =∈+，则()222112b c f x x a x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()()2211111022x x f x xx +-⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭，所以()f x在(1,1上递增，又()11f =，(1f =所以222b c a+的取值范围是(.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【答案】（1）π3；（2）【解析】（1）方法一：()11cos ,sin cos sin sin sin 22b Cc a B C C A B C +=∴+==+ ，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以()11sin sin cos ,0,π,sin 0,cos ,22C C B C C B =∈∴>∴= ()π0,π,3B B ∈∴=.方法二：在ABC 中，由正弦定理得：()1sin cos sin sin 2B C C A B C +==+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以1sin cos sin 2C B C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为()π0,π,3B B ∈=.（2）方法一:222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，16ac ∴≤当且仅当4a c ==时取“”=，1sin 112sin ,22228ac Bac B BD b BD ac =⋅=≤max BD ∴=方法二:在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 162(b a c ac B a c ac ac ac =+-⇒=+-≥-当且仅当a c =取“=”）所以16ac ≤,所以ABC 的面积1sin24ABC S ac B ac ==≤ 122ABC S b BD BD BD =⨯=≤⇒≤ 【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.【答案】（1）1；（21【解析】（1）由sin cos sin2C B B A +=cos sin C B A B =-,cos )sin C B B C B =+-，)cos sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-cos sin B C B =,因为sin 0B ≠,1C =,即cos2C =,由()0,πC ∈得π4C =，故tan 1C =.（2）由22sin ab C c =结合余弦定理得2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=,则()22π2sin cos sin 4a b ab C C C ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,于是221sin 4a a a C b b b π⎛⎫+=⨯+≤ ⎪⎝⎭,即2210a ab b -+≤.11ab≤≤,故当π4C =时，ab1.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>，则cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】222213cos212AB AC BC BC A AB AC +--==⋅，因为BC >11cos 12A <.又()0,πA ∈，所以cos A 的范围是111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+【答案】C【解析】因为πsin sin2Bb A a -=，根据正弦定理及诱导公式得sin sin sin cos2B B A A ⋅=⋅，()0,πA ∈ ，sin 0A ∴≠，sin cos2B B ∴=，即2sin cos cos 222BB B=，()0,πB ∈ ，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 02B ≠解得1sin22B =,所以ππ263B B =⇒=，所以1sin 24S ac B ===，所以8,ac a c =+≥，当且仅当a c ==时等号成立，根据余弦定理得b =，即b =，设ABC 的周长为C ，所以()ABC C a c a c =++=+ ，设,a c t t +=≥，则()f t t =根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：()f t 在)⎡+∞⎣上为单调增函数，故()(minf t f ==，故()min ABC C = ，当且仅当a b c ===时取等.故选：C.3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.【答案】32,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为2cos c b b A -=，所以sin sin 2sin cos C B B A -=，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，展开整理得()sin sin A B B -=，因为锐角ABC 中，ππππ,0,,,,2222A B A B A B ⎛⎫⎛⎫∈+>-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，由π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得π6π4B <<，()()22πsin cos sin 2cos sin2cos21214C B A B A B B B B ⎛⎫++-=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π6π4B <<，所以7ππ3π21244B <+<，π<sin 224B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2cos C B A B ++-的范围为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．【答案】【解析】在ABC 中，由2cos 2b A a c +=及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C +=，而π()C A B =-+，于是2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A A A B A B A B +=+=+，有sin 2sin cos A A B =，而0πA <<，sin 0A >，因此1cos 2B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即有222222112()3()3()()24a c a c ac a c ac a c a c +=+-=+-≥+-=+，当且仅当a c =时取等号，从而a c +≤，而a c b +>=，则a b c <++≤所以ABC周长的取值范围为.5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a bc+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(1,5).【解析】（1）∵22c ac b +=，∴22c b ac -=-，∴由余弦定理得：2222cos 222a c b a ac a cB ac ac c+---===，即：2cos c B a c ⋅=-，由正弦定理得：2sin cos sin sin C B A C ⋅=-，∴2sin cos sin()sin sin cos sin cos sin C B B C C B C C B C ⋅=+-=+-，整理得：sin cos sin cos sin 0B C C B C --=，即：sin()sin B C C -=，又∵(0,π)B C ∈、，∴B C C -=，即：2B C =.（2）∵2B C =，∴π3A C =-，又∵sin22sin cos C C C =⋅，2sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin cos 22sin cos C C C C C C C C C C C=+=⋅+⋅=⋅+⋅，sin 0C ≠，∴由正弦定理得：sin sin sin(π3)sin2sin3sin2sin sin sin a b A B C C C Cc C C C++-++===22sin cos22sin cos 2sin cos cos22cos 2cos sin C C C C C CC C CC⋅+⋅+⋅==++2222cos 12cos 2cos 4cos 2cos 1C C C C C =-++=+-，又∵0π0π3ππ0π02π 030π0π A C B C C C C <<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，∴1cos 12C <<，令cos t C =，则2421a bt t c+=+-，112t <<，∵2421y t t =+-对称轴为14t =-，∴2421y t t =+-在1(,1)2上单调递增，当12t =时，11421142y =⨯+⨯-=；当1t =时，4215y =+-=，∴15a bc+<<，即：a b c +的范围为(1,5).6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．【答案】（1）π3A =；（2）()2,4-【解析】（1）由题意知，sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，所以2cos sin cos sin sin cos A C A B A B -=，则()2cos sin sin cos cos sin sin sin A C A B A B A B C =+=+=，又()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由（1）得sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，由正弦定理得cos 2cos a B c b A -=，又2a =，π3A =，所以24cos c b B -=．因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()4cos 2,4B ∈-，故()22,4c b -∈-，即2c b -的取值范围为()2,4-．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．【答案】（1）π3；（2）⎝【解析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 2A C C B C ⎫⋅+=+⎪⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，所以()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3ab B C ==，所以2π3sin sin C a B b C⎛⎫- ⎪⎝⎭==132tan C⎛=+ ⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan 3C >，所以sin a B的取值范围是⎝．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．【答案】（1（2）(【解析】（1）若选条件①)cos sin a b C c B -=及正弦定理，)sin sin cos sin sin A B C C B-=()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，化简得sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c b C -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由)()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 22333S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A C B +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin cos 3226a c A C A A A A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l 的取值范围为(.9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）在△ABC 中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又因为6a b c ++=，所以22[6()]()3b c b c bc -+=+-，整理可得：124()b c bc -+=-，所以()124bc b c +=+得证.（2）由（1）可知：()124bc b c +=+，所以124bc +≥⨯，当且仅当b c =时取等号，6≥2≤，因为6b c +<2≤，则4bc ≤，所以1sin 424ABC S bc A =≤= ，故△ABC.10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π4A =；（2）()1,2【解析】（1）因为sin cos b c A a C -=，由正弦定理得sin sin sin sin cos B C A A C -=，。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
三角形中的最值或范围问题
三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =， 由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2； 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=， 由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-， 所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===， 所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<， 所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤， 故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值． 即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α）， 另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-， 即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>． 由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到． （2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（ ）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增， 则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。
微专题5 三角形中的最值问题
微专题5 三角形中的最值问题问题背景高考复习过程中，三角形中的范围与最值问题，是同学们学习解三角形的过程中比较常见的问题，也是高考重要题型.它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及不等式、函数、数形结合等知识与方法.高考命题方向：1.利用正余弦定理转化为三角函数求范围；2.利用正余弦定理转化为基本不等式求最值；3.利用数形结合求最值.思维模型说明：1.解决方案及流程①分析边角关系，对照正余弦定理的适用范围，确定是否选择正余弦定理，还是建系列用数形结合法；②若利用正余弦定理，确定是化边还是化角运算；若利用建系，转化为哪种几何问题； ③如化角，则利用三角变换将问题转化为某一三角式求值问题；如化边，则注意利用不等式或函数思想求解；如化为几何问题，则寻求特殊位置求解；④注意考虑变量的范围对最值的影响；⑤总结归纳在三角形中求范围问题的方法.2.失误与防范①使用正余弦定理时，究竟是化边为角，还是化角为边，有时都可以，有时只能从一个方向去突破，要扣准条件和目标；②在涉及角的问题尤其是锐角或钝角三角形时，要注意角的隐含条件的挖掘；③三角形中某些特殊类型，容易思维定势，总在正余弦定理中考虑，有时可以通过建系列用数形结合迎刃而解.问题解决一、典型例题例1 ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，2A C =，则a c 的取值范围是____. 变题：若在例1中ABC ∆改为锐角ABC ∆，则a c的取值范围是____. 例2 ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且,,a b c 成等比数列，则角B 的最大值为____.拓展：ABC ∆中，已知tan 3tan A B =，求角A —角B 的最大值.例3 满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为____.例4 ABC ∆周长为6，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，2b ac =，求B A B C 的取值范围.二、自主探究1.已知ABC ∆的周长为16，面积为6，且6BC =，则AB AC ____.2.已知圆心角为120︒的扇形AOB 的半径为1，C 为AB 的中点，点,D E 分别在半径,OA OB 上.若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是____. 3.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为sin sin ,,,tan cos cos A B a b c C A B+=+. （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围.。
高中数学专题：解三角形中的最值问题
解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题有两种解题思路：1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法：（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=.（2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值.2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值.一．转化为三角函数求最值问题.例1.（2016年北京卷理科15题）在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+.（1）求B 的大小；（2）求C A cos cos 2+的最大值.解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得：22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4π=B ， （2）)4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π+-=+-=+A A B A A C AA A A A A sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4sin(≤+=πA 当24ππ=+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1.例2.（2011年全国卷理科16题）在ABC ∆中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =， 由正弦定理得：2233sin sin sin ====C c B b A a ， 则A a sin 2=，C c sin 2=，所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+AA A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=ϕA ；（其中53tan =ϕ）， 当1)sin(=+ϕA 时，BC AB 2+取最大值，为72.例3.（2018年北京卷文科14题）若ABC ∆的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；ac 的取值范围是 .解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+， 所以B ac B ac S cos 243sin 21⨯==，则3tan =B ，所以3π=B ， 由正弦定理得：AA A A A C A A C a c tan 12321sin cos 23sin 21sin )sin(sin sin +=+=+==， 由于C 为钝角，3π=B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈6,0πA ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈33,0tan A ， ()+∞∈,3tan 1A ，所以()+∞∈,2a c . 二．转化为利用均值不等式求最值问题.例4.（2013年全国二卷理科17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.（1）求B ；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.解：（1）由C B A c b a sin :sin :sin ::=得B C C B A sin sin cos sin sin +=，则B C C B C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin )sin(+=+=+， 所以B C C B sin sin sin cos =，因为0sin ≠C ，所以B B sin cos =， 1tan =B ，所以4π=B ，（2）由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，即ac ac c a )22(2422-≥-+=，所以224224+=-≤ac ， 当且仅当c a =时，等号成立， 故1242sin 21+≤==ac B ac S ， 所以ABC ∆面积的最大值为12+.例5.（2016年山东理科16题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+. （1）证明：c b a 2=+；（2）求C cos 的最小值.（1）证明：BA B A B B A A cos cos sin sin )cos sin cos sin (2+=+， B A B A B A C B A B A B A B A B A cos cos sin sin cos cos sin 2cos cos )sin(2cos cos sin cos cos sin 2+==+=+所以B A C sin sin sin 2+=，则b a c +=2.（2）由余弦定理得：abb a b a abc b a C 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= 21221243221)(4322=-⨯≥-+=ab ab ab ab ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立，所以C cos 的最小值为21. 小结：解三角形中的最值问题或者转化为三角函数求最值，或者利用不等式求最值.。
三角形中的最值问题
钟国城（广东省梅县东山中学５１４０１７）钟国城中学一级教师，梅州市骨干教师。
主要从事高中数学教学研究。
在解三角形中，最值问题主要有三类：一是与面积（边长乘积类型）有关的最值问题；二是与周长（边长线性表示类型）有关的最值问题；三是与角度有关的最值问题．这三类解三角形中的最值问题在高考中频繁出现，技巧性强、难度较大且灵活多变，蕴含着丰富的数学思想和方法，有利于培养学生联想、化归的能力，其处理方法多样，主要解决思路是综合运用正余弦定理、函数（以三角函数与二次函数为主）的性质、基本不等式等重要知识进行求解．下面举例说明．１．与面积（边长乘积类型）有关的最值例１已知ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ的三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，ａ＝２，且（２＋ｂ）（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）＝（ｃ－ｂ）ｓｉｎＣ，则△ＡＢＣ面积的最大值为．（２０１４年全国Ⅰ卷）解由ａ＝２，（２＋ｂ）（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）＝（ｃ－ｂ）ｓｉｎＣ，得（ａ＋ｂ）（ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）＝（ｃ－ｂ）ｓｉｎＣ．由正弦定理，得（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝（ｃ－ｂ）ｃ，即ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ．由余弦定理，得ｃｏｓ Ａ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝ｂｃ２ｂｃ＝１２，所以Ａ＝π３．解法１ ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ，即ｂ２＋ｃ２－ｂｃ＝４．由基本不等式，得４＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ＝ｂｃ，当且仅当ｂ＝ｃ＝２时取等号，所以Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ≤槡３，故△ＡＢＣ面积的最大值为槡３．解法２由正弦定理，得ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２ｓｉｎπ３，即ｂ＝４槡３ｓｉｎＢ，ｃ＝４槡３ｓｉｎＣ，所以Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝４槡３ｓｉｎＢｓｉｎＣ．又Ｂ＋Ｃ＝π－Ａ＝２π３，所以Ｃ＝２π３－Ｂ，Ｂ∈０，２π３（），于是Ｓ△ＡＢＣ＝槡４ ３３ｓｉｎＢｓｉｎ２π３－Ｂ（）＝ｓｉｎ２Ｂ＋槡２ ３３ｓｉｎ２ Ｂ＝槡２ ３３ｓｉｎ ２Ｂ－π６（）＋槡３３，故当Ｂ＝π３时，Ｓ△ＡＢＣ有最大值槡３，即△ＡＢＣ面积的最大值为槡３．解法３由正弦定理，得ａｓｉｎＡ＝２槡３２＝２Ｒ，·３·即Ｒ＝２槡３，所以△ＡＢＣ的外接圆的半径为２槡３，图１由图１可知，当△ＡＢＣ为等边三角形时，点Ａ到边ＢＣ的距离最大，即面积最大，此时Ｓ△ＡＢＣ＝１２×２×２ｓｉｎπ３＝槡３，故△ＡＢＣ面积的最大值为槡３．例２若ＡＢ＝２，ＡＣ＝槡２ ＢＣ，则△ＡＢＣ面积的最大值为．（２００８年江苏卷）解法１设ＢＣ＝ｘ，则ＡＣ＝槡２ ｘ，所以Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＡＢ·ＢＣｓｉｎＢ＝ｘ １－ｃｏｓ２槡Ｂ．由余弦定理，得ｃｏｓＢ＝ＡＢ２＋ＢＣ２－ＡＣ２２ＡＢ·ＢＣ＝４＋ｘ２－２ｘ２４ｘ＝４－ｘ２４ｘ，所以Ｓ△ＡＢＣ＝ｘ １－４－ｘ２４ｘ（）槡２＝１２８－（ｘ２－１２）２１６槡，由三角形三边关系，得槡２ ｘ＋ｘ＞２，ｘ＋２＞槡２ ｘ，烅烄烆即槡２ ２－２＜ｘ＜槡２ ２＋２．所以当ｘ ＝槡２ ３时，Ｓ△ＡＢＣ取得最大值槡２ ２，即△ＡＢＣ面积的最大值为槡２ ２．解法２以ＡＢ所在直线为ｘ轴，边ＡＢ的垂直平分线所在直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系，则Ａ（－１，０），Ｂ（１，０）．设Ｃ（ｘ，ｙ），由ＡＣ＝槡２ ＢＣ，得（ｘ＋１）２＋ｙ槡２ ＝槡２（ｘ－１）２＋ｙ槡２，整理，得（ｘ－３）２＋ｙ２＝８（ｙ≠０），图２所以点Ｃ的轨迹是以（３，０）为圆心，槡２ ２为半径的圆（除去ｘ轴上的点），由图２可知，点Ｃ到ＡＢ的距离的最大值为槡２ ２，所以△ＡＢＣ面积的最大值为１２×２ ×槡２ ２ ＝槡２ ２．通过上述两个例题可知，求解与面积（边长乘积类型）有关的最值，主要可以从三个方面进行思考：一是根据条件结合余弦定理转化出边的关系，然后利用关系和面积公式把三角形的面积表示成多元的式子或一元的函数，再使用基本不等式或函数的单调性进行解决；二是根据条件结合正弦定理转化出角的关系，利用关系和面积公式把三角形面积表示成三角函数，利用三角函数的性质进行解决；三是根据条件，找出与三角形相关的圆，利用数形结合和几何性质，求得三角形面积的最值．２．与周长（边长线性表示类型）有关的最值例３在△ＡＢＣ中，Ｂ＝６０°，ＡＣ＝槡３，则ＡＢ＋２ＢＣ的最大值为．（２０１１年全国Ⅰ卷）解由正弦定理，得ＡＢｓｉｎＣ＝ＢＣｓｉｎＡ＝ＡＣｓｉｎＢ＝槡３ｓｉｎ６０°＝２，所以ＡＢ＋２ＢＣ＝２（ｓｉｎＣ＋２ｓｉｎＡ）．又Ａ＝１２０°－Ｃ，则ＡＢ＋２ＢＣ＝２［ｓｉｎＣ＋２ｓｉｎ（１２０°－Ｃ）］＝２（２ｓｉｎＣ＋槡３ｃｏｓＣ）·４·＝槡２ ７ｓｉｎ（Ｃ＋φ），其中ｔａｎφ＝槡３２，所以ＡＢ＋２ＢＣ的最大值为槡２ ７．图３例４如图３，在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，∠ＡＢＣ＝１２０°，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＣ于点Ｄ，且ＢＤ＝１，则４ａ＋ｃ的最小值为．（２０１８年江苏卷）解法１如图３，由题意，得Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＢＣＤ，即１２ａｃｓｉｎ１２０°＝１２ａ×１×ｓｉｎ６０°＋１２ｃ×１×ｓｉｎ６０°，化简得ａｃ＝ａ＋ｃ，即１ａ＋１ｃ＝１．由基本不等式，得４ａ＋ｃ＝（４ａ＋ｃ）１ａ＋１ｃ（）＝５＋ｃａ＋４ａｃ≥５＋２ｃａ·４ａｃ槡＝９，当且仅当ｃ＝２ａ＝３时取等号，所以４ａ＋ｃ的最小值为９．解法２如图４，过点Ｄ分别作ＤＦ∥ＡＢ，ＤＨ∥ＢＣ，交ＢＣ，ＡＢ于点Ｆ，Ｈ，图４则ＤＦ＝ＤＨ＝１．由平行线分线段成比例，得ＣＦＦＢ＝ＣＤＤＡ＝ＨＢＡＨ，则ａ－１１＝１ｃ－１，即（ａ－１）（ｃ－１）＝１，所以４ａ＋ｃ＝４（ａ－１）＋（ｃ－１）＋５≥２ ４（ａ－１）（ｃ－１槡）＋５＝９，当且仅当ａ＝３２，ｃ＝３时取等号，所以４ａ＋ｃ的最小值为９．解法３如图３，在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得ＡＤｓｉｎ６０°＝１ｓｉｎＡ．同理，在△ＢＣＤ中，有ＤＣｓｉｎ６０°＝１ｓｉｎＣ，所以ｂｓｉｎ６０°＝ＡＤ＋ＤＣｓｉｎ６０°＝１ｓｉｎＡ＋１ｓｉｎＣ．又ａｓｉｎＡ＝ｃｓｉｎＣ＝ｂｓｉｎ１２０°＝４ａ＋ｃ４ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，所以４ａ＋ｃ＝１ｓｉｎＡ＋１ｓｉｎＣ（）（４ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ）＝５＋４ｓｉｎＡｓｉｎＣ＋ｓｉｎＣｓｉｎＡ≥５＋４＝９，当且仅当ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＡ，即ｃ＝２ａ＝３时取等号，所以４ａ＋ｃ的最小值为９．从以上两个例子可以看出，求解与周长（边长线性表示类型）有关的最值，主要方法是利用正余弦定理，把边转化为角的函数或者根据题设条件找出边的等量关系，再借助函数的性质或者基本不等式的知识进行解决．当然，在求解过程中要注意角的取值范围，以及基本不等式取等号的条件．３．与角度有关的最值例５在△ＡＢＣ中，ａ２＋ｃ２＝ｂ２＋槡２ ａｃ．（１）求Ｂ的大小；（２）求槡２ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓＣ的最大值．（２０１６年北京卷）解（１）由余弦定理及题意，得ｃｏｓＢ＝ａ２＋ｃ２－ｂ２２ａｃ＝槡２ ａｃ２ａｃ＝槡２２，·５·所以Ｂ＝π４．（２）由（１），得Ａ＋Ｃ＝３π４，即Ｃ＝３π４－Ａ，所以槡２ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓＣ＝槡２ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓ３π４－Ａ（）＝ｓｉｎ Ａ＋π４（）．又Ａ∈０，３π４（），当Ａ＝π４时，槡２ｃｏｓ Ａ＋ｃｏｓＣ取得最大值１．例６若△ＡＢＣ的内角满足ｓｉｎＡ ＋槡２ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＣ，则ｃｏｓＣ的最小值是．（２０１４年江苏卷）解由正弦定理，得ａ＋槡２ｂ＝２ｃ．由余弦定理，得ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＝ａ２＋ｂ２－ａ＋槡２ｂ２（）２２ａｂ＝３ａ２＋２ｂ２－槡２ ２ ａｂ８ａｂ．由基本不等式，得３ａ２＋２ｂ２ －槡２ ２ ａｂ８ａｂ≥槡２ ６ ａｂ －槡２ ２ ａｂ８ａｂ＝槡６ －槡２４，当且仅当３ａ２＝２ｂ２，即ａｂ＝槡２槡３时取等号，即ｃｏｓＣ≥槡６ －槡２４，所以ｃｏｓＣ的最小值是槡６ －槡２４．从上述两个例子可以看出，求解与角度有关的最值，一是根据条件得到某个角的值或者是角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理消元，把所要求的最值转化为函数的最值问题，使用函数的性质进行解决；二是利用正余弦定理把角转化为边，把所要求的最值转化为一个多元的最值问题，使用基本不等式的知识解决．（上接第２页）由ｙ＝ｋｘ＋ｍ，３ｙ２＋ｘ２－槡２ ２ ｘ＝０，烅烄烆消去ｘ，得（３ｋ２＋１）ｘ２＋（６ｋｍ－槡２ ２）ｘ＋３ｍ２＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝－６ｋｍ－槡２ ２３ｋ２＋１，ｘ１ｘ２＝３ｍ２３ｋ２＋１，代入（＊）化简，得ｍ＝－３２槡２，所以直线ＭＮ恒过定点槡３ ２２，０（）．（２）直线ＭＮ斜率不存在，计算可得直线ＭＮ：ｘ＝槡３ ２２．综上知，直线ＭＮ恒过定点槡３ ２２，０（）．从以上分析可知，虽然新高考降低了对求轨迹的技巧要求，但是动点轨迹的基本特征以及基本求法依然是解析几何的基本问题，这样学生才能在一个貌似非位置关系的问题中，准确分析出其实质是考察曲线的位置关系，从而得出巧妙而不失自然的解法．·６·。
解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习
∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b， 由三角形三边关系可得ab＋ ＋bc>>ac， ，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1， 令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于 正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等 变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的 范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、 三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此 类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
高考数学热点必会题型第12讲-解三角形中的最值问题(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第12讲解三角形中的最值问题——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求三角形中的边长有关的最值【题型】二、求三角形中的周长有关的最值【题型】三、求三角形中的面积有关的最值【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值【题型】五、化角为边判断三角形的形状【题型】六、化边为角判断三角形的形状【题型】七、利用不等式求范围问题【题型】八、利用三角函数值域求范围问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值A B C所对的三边分别为例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC中，角,,，若ABC的面积为1，则BC的最小值是（）,,,2a b c c bDA．2 B．3 C例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ）A ．7B ．C ．D ．5【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（ ）AB ．C ．D ．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（ ）A ．8+B ．8+C ．16+D ．16+例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1BC ．2D ．例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B C D ．例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A B C ．D ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（ ）A 43B C 43D 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．D ．【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（ ）A B ．32C ．D ．2+例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD 由ACD 与等边ABC 拼接而成，其中22AD CD ==，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________. 第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（ ） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（ ） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．9D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．24例28．（2023·全国·高三专题练习）设()2πsin cos cos 4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A BC D 例29．（2023·全国·高三专题练习）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE 的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A 与湖对岸B ，F 点，设宝塔底部E 点和这三个点在同一直线上，无人机从A 点沿AD 直线飞行200米到达宝塔顶部D 点后，然后再飞到F 点的正上方，对山脚的江天禅寺EB 区域进行拍照.现测得从A 处看宝塔顶部D 的仰角为60°，sin ABD ∠=100BF =米.若无人机在C 点处获得最佳拍照角度时（即BCE ∠最大），该无人机离地面的高度为（ ）A ．B ．C ．D ．200米例30．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1B C ．2D ．例31．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，cos B =2AC =，AB k =，则（ ）A ．△ABC 外接圆面积为定值，且定值为9πB ．△ABC 的面积有最大值，最大值为3+C ．若k =60C =︒D ．当且仅当02k <≤或6k =时，△ABC 有一解例32．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）A ．若A ＝30°，3a =，4b =，则△ABC 有两解B ．若()3AB AC CB -⊥，则角A 最大值为30° C ．若222a b c +>，则△ABC 为锐角三角形D ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，则直线AP 必过△ABC 内心 【题型】八、利用三角函数值域求范围问题例33．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0,1例34．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，cos cos ()sin sin A CA B C a c+=，cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(4⎤⎦B ．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4例35．（2022·全国·高三专题练习）已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60B ︒=，ABC b 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．C ．)D ．[)2,6例36．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为36π，球心为O ，则（ ） A ．1OA BC ⊥B ．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36C ．该三棱柱侧面积的最大值为12D ．三棱锥O ABC -的体积是该三棱柱的体积的16答案第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】C【分析】由三角形面积公式得到21sin b A=，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A -=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=， 设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44AA A A -=--表示点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PA k APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC ，所以||3BC ，即BC故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．【答案】C【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++，利用三角恒等变换思想化简得出2224AD B =+，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =， ()()1112333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，即32AD AB AC =+，所以，()()22222229324444cos3AD ADAB ACAC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+ 224sin sin 6cos 224cos 23033BB B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin 6cos 224cos 223022B B BB B B ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 212cos 6cos 212cos 22302BB B B B B -=⋅+-+++ 236B =+，所以，2224AD B =+，203B π<<，则4023B π<<，当22B π=时，即当4B π=时，AD 取最大值，即max 1AD =. 故选：C.【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ） A ．7B ．C ．D ．5【答案】B【分析】设A θ=，结合正弦定理得22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ2sin BC θ=，然后结合化简整理得到关于θ的函数，进而结合函数的图象与性质即可求出结果.【详解】设A θ=，由正弦定理知22sin sin 3AB BC ===⎛⎫- ⎪⎝⎭θπθ，因此22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ 2sin BC θ=，故222sin 4sin 3AB BC ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭πθθ222sin cos cos sin 4sin 33⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πθπθθsin 4sin =++θθθ5sin =+θθ()=+θϕ，其中tan ϕ 所以当()sin 1θϕ+=时，，取得最大值，且最大值为 故选：B.【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（ ） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3B π∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+， 三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =∴a b c ++≤ABC的周长最大值为故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（ ）A．8+B．8+C．16+D．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===， 因为ABCABDCBDSSS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠， 所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=，所以4ac a c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立， 由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12， 故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+， 即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c=，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max 996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max 142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=， 所以222b bc c a -+=， 所以1cos 2A =， 又()0,A π∈， 所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b bc ab ac+-+-+=， 所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC故选：B.例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（ ）ABCD．【答案】A【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得12cos 0B +=，进而可得角B ，应用正弦定理有033c A A ππ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角形面积公式、三角恒等变换得26ABCSA π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC 面积的最大值. 【详解】由sin()2sin cos 0B C A B ++=，得sin 2sin cos 0A A B +=， ∴sin (12cos )0A B ⋅+=，又sin 0A ≠， ∴12cos 0B +=，即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴2,33B C A B A πππ==--=-，又sin sin c bC B=，∴2sin sin 302sin 33sin3A b C c A A B ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 211sin sin sin sin 2sin cos sin 2232ABCSbc A A A A A A A A A A π⎫⎛⎫==-=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2226A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由03A π<<，有52666A πππ<+<，则sin 2sin 162A ππ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC故选：A.【点睛】关键点点睛：由已知等量关系求角，利用三角形内角性质、正弦定理及三角形面积公式得到ABC 面积关于内角A 的函数式，根据内角的范围求最值.例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，则2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，则由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，则2AB x =，则211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，则()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦， 当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =， 故选：C【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，本题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，则AB BDAC CD= 例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A B C ．D ．【答案】A【分析】通过余弦定理分别表示BD ，从而找到角A ，C 的关系，将四边形的面积用角A ，C 表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在ABD △中， 有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2214214cos 178cos A A =+-⨯⨯⋅=-，在BCD △中，有2222cos BD CB CD CB CD C =+-⋅2222222cos 88cos C C =+-⨯⨯⋅=-，则9178cos 88cos cos cos 8A C A C -=-⇒-=，由四边形ABCD 的面积=三角形ABD 的面积+三角形BCD 的面积， 故1111sin sin 14sin 22sin 2222S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 2(sin sin )A C =+，在三角形中，易知,(0,)A C π∈，sin ,sin 0A C >，()22sin sin (cos cos )A C A C ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos A C A C A C A C =++++-22cos()4A C =-+≤，当且仅当A C π+=时等号成立，此时229(sin sin )4sin sin 8A C A C ⎛⎫++≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，故2(sin sin )2S A C =+≤=故选：A.【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（ ） A43BC43D【答案】C【分析】建立直角坐标系，设(,)D x y ，写出,,A B C 的坐标，利用:2:1DB DC =列式得关于,x y的等式，可得点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算AB和点D 距离直线AB 的最大距离d r +，代入三角形面积公式计算.【详解】以BC 的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B C -，设(,)D x y ，因为:2:1DB DC =，所以()()22221414++=-+x y x y ，得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大，已知直线AB0y -=，2AB =，点D 距离直线AB 的最大距离为：4433+=d r ，所以ABD △面积的最大值为1442233⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭ABD S △. 故选：C【点睛】解答本题的关键在于建立直角坐标系，设点(,)D x y ，通过:2:1DB DC =得关于,x y 的等式，从而判断出点D 的轨迹，数形结合分析得当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．D ．【答案】D【解析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=.若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinc A=，λ=b a，则实数λ的最大值是（）AB．32C．D．2+【答案】D【分析】根据余弦定理和sinc A=得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，进而得22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cosa cb b A=+-，结合sinc A=，得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，解得22212sin12aA Ab=+-，即22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则当12Aπ=时，222max(2ba⎛⎫=⎪⎝⎭．max max()2baλ==故选：D．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD由ACD与等边ABC拼接而成，其中22AD CD==，则平面四边形ABCD面积的最大值为______.【答案】2【解析】设D θ∠=，利用余弦定理求出AC ，利用面积公式将ACD 与等边ABC 的面积用θ表示，利用三角函数的性质即可求解.【详解】设D θ∠=，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⨯=- ，所以)21sin 54cos 23ABCSAC πθ=⨯=-， 因为1sin sin 2ACDSAD CD θθ=⨯⨯=，所以)sin 54cos ABC ACDS SSθθ=+=+-sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，所以2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以max 2S =，故答案为：2【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，求面积的最值，考查余弦定理、辅助角公式，属于中档题.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________.【分析】设AGP θ∠=，在,APG AQG 中由正弦定理，用θ表示出,PG GQ ，再利用正余弦的和角公式，将11GP GQ+表示为 θ的函数，求该函数的最值即可. 【详解】设BC 中点为D ，AGP θ∠=，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，如下图所示：因为G是重心，所以22233AG AD AC =⋅=⨯=. 在AGP 中，由正弦定理得，sin sin GP AGPAG APG=∠∠，所以sin165sin sin 66AG GP πππθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理在AGQ △中，由正弦定理得1sin 6GQ πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以11sin sin 2sin cos 666GP GQ πππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=++-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2πθ=时，max112GP GQ π⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B【分析】利用余弦定理进行边化角222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理可得()()2220a b c a b ab +--+=即2220c a b ab --+=，再用余弦定理可得1cos 2C =． 【详解】因为()2cos cos a b c A B +=+，则222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理得()()2220a b c a b ab +--+=，所以2220c a b ab --+=即222a b c ab +-=， 则2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ∵()0,πC ∈，所以π3C =. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ， 法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+． 于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形， （1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，()22a abc a ca c c==+++⋅，a a c =+， 上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 法二： 利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=． （1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+． 变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=， 即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形． （2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形． 故选：B例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由条件和余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，然后化简可得答案. 【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，即22222a c b a +-= 所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（ ） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形 【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A ；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B ； 由已知得022A B ππ>>->，结合正弦函数性质可判断C ；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=即90A B +=，ABC ∴为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，1sin 40sin 2540sin3040202a B =<=⨯=，即sin a Bb a <<，ABC ∴必有两解，故B 正确； 对于C ，ABC 是锐角三角形，2A B π∴+>，即022A B ππ>>->，由正弦函数性质结合诱导公式得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式知22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，cos 0C ∴>，即C 为锐角，不能说明ABC 为锐角三角形，故D 错误. 故选：BC【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD【分析】对于A ，利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简判断，对于B ，利用余弦定理统一成边化简进行判断，对于C ，先利用余弦定理求出cos A ，从而可求出sin A ，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆半径，对于D ，利用三角函数的性质结合三角形内角进行判断 【详解】解：对于A ，因为a b >，所以由正弦定理得sin sin 0A B >>，所以22sin sin A B >，所以1cos 21cos 222A B-->，所以cos2cos2A B <，所以A 正确， 对于B ，因为cos cos a B b A c -=，所以22222222a c b b c a a b c ac bc+-+-⋅-⋅=，即22222222a c b b c a c +---+=，所以222a b c =+，所以ABC 一定为直角三角形，所以B 正确，对于C ，由余弦定理得2222536163cos 22564+-+-===⨯⨯b c a A bc ，因为(0,)A π∈，所以sin A ==2sin a R A ===ABCC 错误， 对于D ，因为在ABC 中，()()()cos ,cos ,cos (1,1]A B B C C A ---∈-，()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以ABC 一定是等边三角形，所以D 正确，故选：ABD【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据降幂公式，先得到1cos 22A c bc+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】因为2cos22A b c c +=，所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+，所以sin cos sin B A C= 即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠， 所以cos 0C =，因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形.故选：B例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理得到A B =或2A B π+=，即可判断.【详解】在ABC 中，对于 cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π+= 即A B =或2A B π+=.所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式、结合诱导公式求出sin B 的值，结合角B 的范求得角B ，即可求解.【详解】因为cos sin cos b A c B a B =-由正弦定理化边为角可得：sin cos sin sin sin cos B A C B A B =-， 所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin πsin C B A B B A A B C C =+=+=-=， 因为sin 0C ≠，所以sin 1B =， 因为0πB <<，所以π2B =， 所以ABC 是直角三角形， 故选：C.例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（ ） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 【答案】ACD【分析】结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．【详解】解：因为A ，0πB ∈（，），且cos y x =在0π（，）上单调递减，故由cos cos A B >，得A B <，故a b <，结合正弦定理得sin sin A B <,故A 正确；sin cos sin cos A A B B =⇒ sin 2sin 2A B =,故22A B =，或22πA B +=，即=A B ，或π2A B +=，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 若三角形ABC 为锐角三角形，则π2A B +>π02A B ⇒>->，故πsin sin()cos 2A B B >-=， 同理可得sin cos B C >,sin cos C A >，三式相加得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，故C 正确；ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tan tan[π()]tan()C B C B C =-+=-+=tan tan tan tan 1A BA B +⋅-,整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，故D 正确． 故选：ACD ．第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．9D ．【答案】A【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到tan =2tan B C ，画出图形，作出辅助线，设,AD h BD x ==，得到22+=4x h ，利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】法一：由正弦定理得：=3cos =6cos a c B B ， ()11=sin =6cos 2sin =3sin2322ABCSac B B B B ⋅⋅≤ 法二：由正弦定理得：sin cos +cos sin =3sin cos B C B C C B ， 所以sin cos =2cos sin B C B C故tan =2tan B C ，如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 设,AD h BD x ==，则2CD x =， 由勾股定理得：22+=4x h ， 所以()2213313=3=+=4=322224ABCSx h xh x h ⋅⋅⋅≤⨯当且仅当=x h 故选：A.例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =， 由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n =⨯224362n n +-=⨯=，。
高考数学解三角形中的最值专题
【详解】
（1）由 ，可得 ，
整理得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ， , ，,
， ，
由正弦定理得 ，
∴
，
∵ ,∴ ， ，
，∴
∴ 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
3．（1） ；（2） ．
【详解】
（1）
原式
（2） ，
时等号成立.
周长的最大值为
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.
14．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由正弦定理得到关于角的三角函数关系
利用： ，得到 ，再利用两角和的正弦定理，化简为： ，利用辅助角公式得到： ，进而求得： ；（2）根据余弦定理得到关于 的关系式： ，利用基本不等式得 ，所以三角形的周长的取值范围为 .
12．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，并结合 ，可将原式转化为 ，由 ，可求出 ，进而可求出 ；
（2）由 ，可求出 ，再结合余弦定理，可求得 的值，结合 ，可求出 的值，进而可求出 的周长.
【详解】
（1）由正弦定理可得， ，
由 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）由题意， ，解得 ，
（2）根据向量数量积的定义可得 ，再利用余弦定理以及基本不等式可得 ，由三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理， ，即
（2）若 ，则 ，
三角形中的范围(最值)问题专题
(2)由正弦定理得c＝2RsinC＝ .
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，故a2＋b2＝ ＋ab.
因为a>0，b>0，所以a2＋b2> .又ab≤ ，故a2＋b2≤ ＋ ，得a2＋b2≤ .因此， <a2＋b2≤ .则a2＋b2的取值范围为 .
7．答案：(1) ；(2) .
解析：(1)由sin(2A－ )＝1，得2A－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即A＝kπ＋ (k∈Z)，又A∈(0，π)，所以A＝ .
(2)由正弦定理得
＝ ＝
＝
＝
＝
2sin(B＋ )，又△ABC是锐角三角形，所以
解得 <B< ， <B＋ < ，故有 <2sin(B＋ )≤2，所以 < ≤2.即 的取值范围为 .
三角形中的范围
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，则角B的取值范围是________．
2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围是________．
3．若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈ 都成立，则a2－a1的最小值为________．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA(m∈R)，且a2－4bc＝0，当A为锐角时，则m的取值范围是________．
4．答案： .
解析：由正弦定理及sinB＋sinC＝msinA得，b＋c＝ma，又cosA＝ ＝ ＝ ＝2m2－3，因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈(0，1)，所以 <m2<2，又由b＋c＝ma得m>0，所以 <m< .
5．答案：(3，2 ]．
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第42课 三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ；（2）△ABC 中，当A=3π时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32 ．2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 21>m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==，令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得21>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30º＜B ＜45º ．4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则rR1． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ．6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．①A sin >B sin ； ②A cos <B cos ； ③A 2sin >B 2sin ； ④A 2cos <B 2cos ． 解 A>B ⇔a >b A R sin 2⇔>B R sin 2⇔A sin >B sin ，故①正确；A cos <B cos ⇔)2sin(A -π<)2sin(B -π⇔A>B ，故②正确（或由余弦函数在(0,)π上的单调性知②正确）；由A 2cos <B 2cos ⇔212sin A -<212sin B -⇔A sin >B sin ⇔A>B ，故④正确．知识梳理1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2a b c r +-=． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．点评例2 已知△ABC 中，1,2a b ==．（1）求最小内角的最大值； （2）若△ABC 是锐角三角形，求第三边c 的取值范围．解 （1）由三角形三边关系得第三边c 满足122112c,c ,c ,+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩解得13c <<，故最小内角为A ．又22223131cos 24442b c a c A c bc c c +-+===+⨯=()≥（当且仅当c =，所以A ≤30°，即最小内角的最大值为30°．（2）因为△ABC 是锐角三角形，即A ，B ，C 三个角均为锐角，又因为a ＜b ，所以A ＜B ，故只需说明B ，C 为锐角即可．由B ，C 为锐角得0<cos 10<cos 1B ,C ,<⎧⎨<⎩ 即221401214014c ,c c ,⎧+-<<⎪⎪⎨+-⎪<<⎪⎩c <．点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“内角A 为锐角0<1cos A ⇔<”．例3 （2008江苏）求满足条件BC AC AB 2,2==的△ABC 的面积的最大值．解 设BC ＝x ，则AC．根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯=， 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有2,2,x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当212,x x ==时ABC S ∆= 点评例4 如图，已知∠A=30°，P ，Q 分别在∠A 的两边上，PQ=2．当P ，Q 处于什么位置时，△APQ 的面积最大？并求出△APQ 的最大面积．点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．例5 已知△ABC 的周长为6，||,||,||BC CA AB u u u r u u u r u u u r成等比数列，求：（1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BC BA ⋅的取值范围．解 设||,||,||BC CA AB u u u r u u u r u u u r 依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b 2=ac ．由622a c bb ac +-==≤得02b <≤（当且仅当a =c 时，等号成立）， 又由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥（当且仅当a =c 时，等号成立），故有03B π<≤，（1）22111sin sin 2sin 32223S ac B b B π==⋅⋅=≤，即max 3S =（当且仅当a =b =c 时，等号成立）；（2）22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅222(6)3(3)272b b b --==-++． 02,218b BA BC <⋅<∴u u u r u u u rQ ≤≤．点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．方法总结1．三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．2．三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定．3．三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围．练习42 三角形的最值问题班级 姓名 学号1．若直角三角形斜边的长m （定值），则它的周长的最大值是 m ．2．在锐角△ABC 中，若2C B =，则ACAB解 B B B C AC AB sin 2sin sin sin ==B cos 2=，而46ππ<<B ，32<<ACAB ．3．在△ABC 中，若1b ==，则A 的取值范围是 0º＜B ≤45º ．4．若2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则x 的取值范围是 )13,5( ．5．若三角形两边之和为16 cm ，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是 16周长的最小值是 24 ．6．已知△ABC 中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC 的最大值为___．7．钝角三角形的三边为2,1,++a a a ，其中最大角不超过120°，则a 的取值范围是332a <≤ ． 解 由题意钝角三角形中，2+a 为最大边且最大角不超过120°，因此得2)1(+>++a a a ①，222)2()1(+<++a a a ②，222121cos 212a (a )(a )A a(a )++-+=-+≥ ③，由①得1>a ，②得31<<-a ，③得a ≤1-或a ≥23，故23≤3<a ． 8．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =9，S △COD =16，则四边形面积的最小值是 49 ．9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 610 cm 2．解 由题意可围成以下几种三角形． 图（1）中，115cos sin 4,θθ==，415S =； 图（2）中，210210sin AD ,θ==，610S =； 图（3）中，13cos sin 22,θθ==，103S =．比较 上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为610cm 2．点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．10．在△ABC 中，已知223coscos 222C A a c b +=． （1）求证：a 、b 、c 成等差数列； （2）求角B 的取值范围．解11．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，∠EAF=30°，求△AEF 面积的最小值．解 设△AEF 的面积为S ，∠BAE=θ（15º≤θ≤45º），则由∠EAF=30°得∠DAF=60θ-o． ∵正方形ABCD 的边长为a ， ∴在Rt △BAE 中，cos cos AB aAE θθ==； 在Rt △DAF 中，cos(60)cos(60)AD aAF θθ==--o o ，∴1sin 2S AE AF EAF =⋅⋅∠ 21sin302cos cos(60)4cos cos(60)a a a θθθθ=⋅⋅⋅=--o o o22 22==22==22==2222sin(230)12sin(23030)13a a aθ==++⨯++o o o≤．12．（2008四川延考）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是,,a b c，已知2222a c b+=．（1）若4Bπ=，且A为钝角，求内角A与C的大小；（2）若2b=，求△ABC面积的最大值．解（1）由题设及正弦定理，有222sin sin2sin1A C B+==．故22sin cosC A=．因A为钝角，所以sin cosC A=-．由cos cos()4A Cππ=--，可得sin sin()4C Cπ=-，C=8π，A=58π．（2）由余弦定理及条件2221()2b a c=+，有22cos4a cBac+=，故cos B≥12．由于△ABC面积1sin2ac B=，又ac≤221()42a c+=，sin B当a c=时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC面积的最大值为1422⨯⨯=备用题1．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值为 21- ．2．在△ABC 中，已知sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，求证：3sin 5C ≤． 解 等式sin 2A + sin 2B = 5sin 2C 立即联想正弦定理，有a 2+b 2=5c 2．而a 2+b 2=5c 2与余弦定理连起来也无可非议．∵c 2= a 2+b 2－2ab cosC ，∴5c 2= c 2+2ab cosC ，∴4c 2=2ab cosC ．于是可知cosC ＞0，C 为锐角，而5c 2= a 2+b 2≥2ab ，故4c 2=2ab cosC ≤5c 2cosC ． ∴cosC ≥45，∴sinC ≤35． 点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中．3．已知△ABC 的内角满足)cos (cos sin sin sin C B A C B +=+． （1）求A ； （2）若△ABC 的面积为4，求△ABC 周长的最小值．4．如图，边长为a 的正△ABC 的中心为O ，过O 任意作直线交AB 、AC 于M 、N ，求2211ONOM +的最大值和最小值． 答案 最大值218a 、最小值215a．5．如图∠A = 90°，∠B = α，AH = h ，α，h 为常数，AH ⊥BC 于H ，∠AHE=∠AHD= x ，问当x 取何值时，△DEH 的面积最大？并求出最大面积．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。