托卡马克中的静电漂移不稳定性

bˆ
×
∇ϕ
⋅
∇
ln
P0
i(ω − V0||k|| )
（19）
在平板位形中，κ = 0,把（19）代入（17）给出：
∂Vˆ|| ∂t
+ V0||bˆ ⋅ ∇Vˆ||
+
c B
bˆ × ∇ lnV0||
=
( ) − e
mV0||
bˆ ⋅
⎡ ⎢
⎢∇ϕ
⎢ ⎢⎣
+
P0 en0
⎜⎛ ∇⎜
⎜⎜⎝
c B
bˆ × ∇ϕ ⋅ ∇ ln i ω − k||V0||
τ =4
2
Rq
v⊥ε 0.5
K (κ ), κ 2
≈
R 2r
v||2 v⊥2
<1
c) Toroidal drift of trapped particles
vdϕ = 4
2
mv ⊥ 2
E (κ )
(
−
1 ),
qBθ R K (κ ) 2
3, Diamagnetic drift of plasma fluids
i) 宏观不稳定性和输运； ii) 波和等离子体相互作用；
iii) 微湍流和反常输运； iV) 边界层物理； V) 高能量粒子物理
4）线性理论的作用：饱和湍流幅的计算需要包括非
线性效应, 线性理论可以：
i)确定可能的驱动机制，抑制机制；
ii)确定不稳定性条件；
iii)当湍流引起的输运占主导时，等离子体的密度和
P0
⎟⎟⎞⎥⎥⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
（20）
由方程（20）可得：
( ) ( ) V||
= i
1
ω−k||V0||
⎧
⎪⎨⎪⎪Bc bˆ×∇φ⋅∇lnV0||
+
e mV0||
bˆ⋅
⎡ ⎢
⎢∇φ
⎢
+
P0 en0
⎛ ⎜ ∇⎜ ⎜
Bc bˆ×∇φ⋅∇lnP0 i ω−k||V0||
⎞⎤⎫ ⎟⎥⎪⎪ ⎟⎥⎬ ⎟⎥⎪
计算电子漂移波频率和离子漂移波频率。
Ⅲ、离子温度梯度不稳定性的流体研究
1，基本方程： 离子连续性方程：
∂ ∂t
ni
+
∇
⋅ (n iν
i )=
0
（1）
离子运动方程 ：
mi
ni
⎜⎛ ⎝
∂ ∂t
+Vi
⋅ ∇ ⎟⎠⎞Vi
=
eni ⎜⎜⎝⎛∇φ
+
Vi
×B c
⎟⎟⎠⎞
− ∇Pi
− ∇ ⋅ Πi
（2）
离子压强的绝热演化方程：
不稳定性；其空间尺度：λ → ρe − ρi
1）捕获粒子不稳定性：环状位型（托卡马克）
中： ⎜⎜⎝⎛
ν ν
||
⎟⎟⎠⎞ 2
<
r
R
的粒子被捕获在环的外侧而引起的不稳定性
(TEM)。
2）漂移型不稳定性：由粒子的密度，温度以及
磁场的空间不均匀性引起的不稳定性，是托卡马
克中的主要微观不稳定性(ITG,ETG)。
4，漂移型不稳定性：一切与漂移运动相关的不 稳定性。 i)密度梯度( ∇n )漂移： ii)温度梯度( ∇T)漂移：
iii)磁场梯度(∇B )漂移：
Vg
=
bˆ Ω
×
μm
m
∇B
=
V⊥2 2RΩ
nˆ × bˆ
iV)磁场曲率漂移：
∇||bˆ
=
nˆ R
,
Vd
=
bˆ Ω
×V||2
∂bˆ ∂l
=
V||2nˆ × bˆ RΩ
eni ⎜⎜⎝⎛ −
∇φ
+
Vi c
×
B ⎟⎟⎠⎞
−∇pi=0 Nhomakorabea(2a)
bˆ×(2a) 给出：
Vi(0)
=V||bˆ
+
c B
bˆ
×∇φ
+
c bˆ eBn
×∇pi
(6)
其中: bˆ ≡ B B
将(6)代入（2）的右端，取到漂移近似的一级，我们
得到：
Vi (1)
=
−
mi c 2 eB 2
⎜⎛ ⎝
∂ ∂t
+ Vi(0)
Q(r,t) = Q(x) exp i(ky y + kz z − ωt)
电子漂移波频率： ω
∼ ω∗e
≡
− ckθTe eBn
dn dr
=
ckθ Te eBLn
离子漂移波频率：ω
∼ ω∗i
≡
ckθ Te qi Bn
dn dr
=
−
ckθ Te qi BLn
练习题： 1，证明反磁漂移对密度扰动无贡献，讨论其物理 意义。
d dt
=
∂ ∂t
+ V0
⋅∇
=
∂ ∂t
+ V0||bˆ ⋅ ∇ +
c enB
bˆ × ∇P0
⋅∇
=
−iω
+
ik||V0||
−
P0c(1 + ηi
enBLn
)
∂ ∂y
其中：
Ln
=
−
1 n0
dn0 dx
ηi
=
Ln LTi
LTi
=− 1 Ti
dTi dx
Pi = n iT i
方程（22）可以整理为：
( ) ( ) ( ) ( ) {1 +
Ⅰ.引言
磁场位形 θ
φ
r
R
r=r2 r
r=r1 0
πr
2πr
rθ
Poloidal direction
2πR
πR
Toroidal direRcφtion
1，Tokamak magnetic
configuration
• Equilibrium magnetic field：
Toroidal field
V）极化漂移：
Vdi
=
−
mc qB2
⎜⎜⎝⎛
dE dt
×b ⎟⎟⎠⎞
×b
=
1 ΩB
dE dt
,
E⊥B
练习题：
1，什么是反磁漂移？试证明反磁漂移对 密度扰动无贡献并讨论其物理意义。 2，Ti 对∼ T典e ∼型10的ke托v,卡B ∼马3克T ,参Ln数∼ ，50cm
kθ ∼ (0.1−1)ρ,
假设
• Rotation: v⊥ = Ωρ ≈ vth
• Drifts of guiding center
i) Electric field drift:
VE
=
E
×
bˆ B
ii) magnetic gradient ( ∇B ) drift：
Vg
=
bˆ Ω
×
μm
m
∇B
=
V⊥2 2RΩ
nˆ × bˆ
iii) magnetic curvature drift：
−
e miV0||
bˆ
⎛ ⋅⎜ ⎝
∇φ
+
P0 en0
∇Pˆ
⎞ ⎟ ⎠
(17）
方程（3）化为：
∂Pˆ ∂t
+V0||bˆ
⋅
∇Pˆ
+
c B
bˆ
×∇ϕ
⋅
∇ln
P0
+
Γ∇
⋅
Vˆ
=
0（18）
方程（16-18）是基本 方程。取 ~f = fe−iωt+ik⋅r ，略去Γ∇ ⋅Vˆ 则（18）给出：
Pˆ =
c B
2，对典型的托卡马克参数，
Ti ∼ Te ∼ 10kev, B ∼ 3T , Ln ∼ 50cm
假设 kθ ∼ (0.1−1)ρ,
计算电子漂移波频率和离子漂移波频率。
3，漂移不稳定性： 在一定条件下，漂移波会增长，称为漂移不 稳定性。由密度梯度漂移引起的不稳定性称 为漂移不稳定性，又称普适不稳定性。在电 子漂移方向传播的称为电子模，在离子漂移 方向传播的称为离子模。
⎪⎩
⎢⎣
⎝
⎠⎥⎦⎪⎭
（21）
将（19）和（21）代入（16），我们得到：
( ) ∂nˆ
∂t
+ V0||bˆ
⋅ ∇ nˆ
+
i
ω
V 0 || − V0|| k||
bˆ ⋅ ∇
( ) ⎧
⎪⎪ c
⎨ ⎪
B
⎪⎩
bˆ × ∇ ϕ
⋅∇
ln V0||
+
e mV 0||
⎡
bˆ
⋅
⎢ ⎢∇
ϕ
⎢
⎢⎣
+
P0 en 0
⎜⎛ ∇⎜
传输的三种方式:传导,对流,辐射, 这里的反常输运指的
是反常热传导(在垂直于 i)经典输运：
B0
的方向)
χe = 4.66ρe2υee
χi
=
2
ρ
υ2
i ii
ii)新经典输运（香蕉区）
−3
χ ne e
~
ε
2
q 2 ρ e2υ ee
−3
χ ne i
~
ε
2
q 2 ρ i2υii
iii)由扰动引起的输运（反常输运）
=
cT jbˆ × ∇n j q jn jB
2)粒子流强：
Γ
=
∂n ∂x