常微分方程初值问题的数值解法

第七章 常微分方程初值问题的数值解法

--------学习小结

一、本章学习体会

通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。

在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。

二、本章知识梳理

常微分方程初值问题的数值解法一般概念

步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000

'(,),()y f t y t t T y t y =≤≤⎧⎨

=⎩的数值解法的一般形式是

1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-

显示单步法

7.2.1 显示单步法的一般形式

1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-

定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ϕ在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与

1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即

1()p n O h ε+=。(且称单步法为p 阶方法)

7.2.2 Runge-Kutta 方法(显式单步法)

1111111(,)(,)(2,3,...,)(2,3,...,)

(0,1,...,1)N n n i i

i n n i i n i n ij j j i i ij j y y h c k k f t y k f t a h y h b k i N a b i N n M +=-=-=⎧

=+⎪⎪

⎪=⎪⎪

=++=⎨⎪

⎪

==⎪⎪

⎪=-⎩

∑∑∑

N 级R-K 方法的局部截断误差为111

()()N

n n n i i

i R y t y t h c k

++==--∑，其中12,,...N k k k 中的n y 都

换成()n y t 。

一级一阶R-K （Euler 方法）

1(,)n n n n y y hf t y +=+ 2

31''()()2

n n h R y t O h +=+

二级R-K

1112212

221()(,)

(,)

n n n n n n y y h c k c k k f t y k f t a h y a hk +=++⎧⎪

=⎨⎪=++⎩

最高阶数是二阶，需满足条件122210102

c c a c --=⎧⎪

⎨-=⎪⎩

33'42211()'''()''()()

n n n y a

a R h y t h y t f O h +=-++

四级R-K

经典R-K 方法（四阶）1

12341213

243(22)6

(,)11(,)2211(,)22

(,)

n n n n n n n n n n h y y k k k k k f t y k f t h y hk k f t h y hk k f t h y hk +⎧=++++⎪⎪

=⎪⎪⎪=++⎨⎪

⎪

=++⎪⎪=++⎪⎩

三、本章思考题

问题：使用数值解法求解初值问题时步长h 由什么决定 答：步长h 的选择应由两个条件决定： 1、要使求解过程绝对稳定

2、要使每个节点处的整体截断误差1+n ε按模不超过给定的界限。

四、本章测验题

题目：用梯形公式求得的近似解为22k

k h y h -⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

证明：

梯形公式为()()1,1,1[]2

k k k k k k h

y y f x y f x y +++=+

+ 将(),f x y y =-代入上式，得：11()2

k k k k h

y y y y ++=+

-- 解得：

21

110222222k k k k h h h y y y y h h h ++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪

+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

因01y =,故22k

k h y h -⎛⎫= ⎪+⎝⎭