冉绍尔-汤姆森效应实验
冉绍尔汤森效应验证和测量气体原子散射截面与电子能量的关系
散射截面用以表示A粒子与B粒子发生相互作用而离开入 射束的概率
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测量原理
冉绍尔-汤森效应实验仪
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• 测量气体原子总散射截面的原理图
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• 灯丝被加热，电子自阴极逸出，设阴极电流为Ik，电子在 加速电压的作用下，有一部分电子在到达栅极之前，被屏 极接收，形成电流Is1；有一部分穿越屏极上的矩形孔，形 成电流I0，由于屏极上的矩形孔与板极P之间是一个等势 空间，所以电子穿越矩形孔后就以恒速运动，受到气体原 子散射的电子则到达屏极，形成散射电流Is2；而未受到散 射的电子则到达板极P，形成透射电流Ip
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• 用测量所得数据作图，分别得到Ea- Is曲线、Ea-Ip曲线、 Ea- Is*曲线、 Ea- Ip*曲线、Ea-f曲线。与交流观察的现象吻 合，各个电流与加速电压的关 系基本成正比例，而Ea-Ip 曲线存在拐角，验证了在交流观察时看到的明显的凹陷。 同时得到的Ea-f曲线，f数值可以低至0.02左右，可视为 f<<1，故关系式（总有效散射截面） Q=-(1/L)*ln[（Ip/Is）*( Is*/ Ip*)]在实验处理时完全可以采用。
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作出散射几率与电子能量平方根的关系图
Pห้องสมุดไป่ตู้s
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
(eV)1/2
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曲线分析： 有效散射截面与电子的运动速度密切相关。电子能量
降到约6.5eV时，散射截面达到极大值；进一步降低电子 能量，散射截面急剧变小，当电子能量低至约0.9eV，散 射截面出现极小值，此时，气体原子呈现所谓的“透明” 现象，即电子经过原子气体时，几乎不与原子发生碰撞而 径直透过；再降低电子的能量，散射截面将迅速增大。
冉绍尔汤森效应实验
实验5-3 冉绍尔－汤森效应实验作者：任学智 同组者：关希望 指导老师：周丽霞一. 引言1921年，德国物理学家冉绍尔（Carl Ramsauer ）用磁偏转法分离出单一速度的电子，对极低能量0.75～1.1eV 的电子在各种气体中的平均自由程做了研究。
结果发现，氩气（Ar ）气中的平均自有程e λ远大于经典力学的理论计算值。
以后，他又把电子能量扩展到100eV 左右，发现Ar 原子对电子的弹性散射截面Q （与e λ成反比）随电子能量的减小而增大，在10eV 左右达到极大值，而后又随着电子能量的减小而减小。
1922年，现代气体放电理论的奠基人、英国物理学家汤森（J.S.Townsend ）和贝利（Bailey ）也发现了类似的现象。
进一步的研究表明，无论哪种气体原子的弹性散射截面（或电子平均自由程），在低能区都与碰撞电子的能量（或运动速度v ）明显相关，而且类似的原子具有相似的行为，这就是著名的冉绍尔-汤森效应。
冉绍尔-汤森效应在当时是无法解释的。
因为经典的气体分子运动论把电子看成质点，把气体原子看成刚性小球，它们之间碰撞的散射截面仅决定于原子的尺寸，电子的平均自由程也仅决定于气体原子大小及其密度 n ，都与电子的运动速度无关。
不久，在德布罗意波粒二相性假设（1924年）和量子力学理论（1925～1928年）建立后，人们认识到，电子与原子的碰撞实际上是入射电子波在原子势场中的散射，是一种量子效应，以上实验事实才得到了圆满的理论解释。
冉绍尔-汤森效应是量子力学理论极好的实验例证，通过该实验，可以了解电子碰撞管的设计原则，掌握电子与原子的碰撞规则和测量原子散射截面的方法，测量低能电子与气体原子的散射几率以及有效弹性散射截面与电子速度的关系。
本实验的目的主要有：了解电子碰撞管的设计原则，掌握电子与原子的碰撞规则和测量的原子散射截面的方法；测量低能电子与气体原子的散射几率Ps 与电子速度的关系；测量气体原子的有效弹性散射截面Q 与电子速度的关系，测定散射截面最小时的电子能量；验证冉绍尔-汤森效应，并学习用量子力学理论加以解释。
冉绍尔-汤森效应实验
冉绍尔-汤森效应实验【摘要】加速电子与充氙闸流管中的氙原子碰撞，电子被散射，把闸流管先后浸入77K 液氮和在室温下测俩观众的栅极及板极电流。
得出散射概率、散射截面与电子能量的关系，低能电子与气体原子的散射几率与电子速度的关系，验证冉绍尔-汤森效应。
用量子力学解释这一效应测量氙原子的电离电位。
【实验原理】当灯丝加热后，就有电子自阴极逸出，设阴极电流为K I ，电子在加速电压的作用下，有一部分电子在到达栅极之前，被屏极接收，形成电流1S I ；有一部分穿越屏极上的矩形孔，形成电流0I ，由于屏极上的矩形孔与板极P 之间是一个等势空间，所以电子穿越矩形孔后就以恒速运动，受到气体原子散射的电子则到达屏极，形成散射电流2S I ；而未受到散射的电子则到达板极P ，形成板流P I ,因此有10S K I I I +=21S S S I I I +=20S P I I I +=电子在等势区内的散射概率为:01I I P PS -= (1)可见，只要分别测量出P I 和0I 即可以求得散射几率。
从上面论述可知，P I 可以直接测得，至于0I 则需要用间接的方法测定。
由于阴极电流K I 分成两部分1S I 和0I ，它们不仅与K I 成比例，而且他们之间也有一定的比例关系，这一比值称为几何因子f ，即有10S I I f =(2)几何因子f 是由电极间相对张角及空间电荷效应所决定，即f 与管子的几何结构及所用的加速电压、阴极电流有关。
将式（2）带入（1）式得到111S PS I I f P -= (3)为了测量几何因子f ，我们把电子碰撞管的管端部分浸入温度为77K 的液氮中，这时，管内掉气体冻结，在这种低温状态下，气体原子的密度很小，对电子的散射可以忽略不计，几何因子f 就等于这时的板流*P I 与屏流*S I 之比，即**=SP I I f (4)如果这时阴极电流和加速电压保持与式(1)和(2)时的相同，那么上式中的f 值与式(3)中掉相等，因此有**-=PS S P S I II I P 11 (5)设L 为出射孔S 到板极P 之间的距离，则)exp(1QL P S --= (6)当f<<1时，由(5)、(6)两式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=**P S S P I I I I L Q ln 1 测量不同的加速电压Ea 下的Ps 的值，即可由上式得到总有效散射截面Q 与a E 的关系曲线。
冉绍尔-汤森德效应
冉绍尔——汤森德效应摘要：冉绍尔——汤森德效应是在研究低能电子的平均自由程时发现的一种气体原子与电子弹性碰撞的散射截面Q与电子能量密切相关的现象。
此现象与经典理论相矛盾，需要用量子理论解释。
关键词：散射截面碰撞概率加速电压补偿电压电离电位一、引言1921年德国物理学家冉绍尔在研究低能电子的平均自由程时发现：在惰性气体中，当电子的能量降到几个电子伏时，气体原子与电子弹性碰撞的散射截面Q（与平均自由程成反比）迅速减小；当电子能量约为1电子伏时，Q出现极小值，而且接近零。
如果继续减少电子能量，则Q迅速增大，这说明弹性散射截面与电子能量密切相关。
1922年英国物理学家汤森德把电子能量进一步降低，用另外的方法研究平均自由程随电子速度变化的情况，也发现类似现象。
随后，冉绍尔用实验证明了汤森德的结果。
冉绍尔——汤森德效应在当时无法解释，因为经典理论认为气体原子与电子弹性碰撞的散射截面仅决定于原子的尺寸，而与电子的运动速度无关，只有在波粒二象性和量子力学建立后，这种效应才得到圆满解释。
因此冉绍尔——汤森德效应也验证了量子力学的正确性。
图1 惰性气体的冉绍尔曲线如图1所示的是Xe、Kr、Ar三种惰性气体的冉绍尔曲线。
因为电子的速度与加速电压V的平方根成正比，故横坐标采用平方根√V表示，纵坐标为散射截面Q，采用原子单位。
由图1可以看出，结构相近的物质，其冉绍尔曲线的形状相似。
二、冉绍尔——汤森德效应的理论描述在量子力学中，碰撞现象也称作散射现象。
粒子的碰撞过程有弹性碰撞与非弹性碰撞两大类。
在弹性碰撞过程中，粒子A 以波矢k2|k|=mE（1）沿Z 入射到靶粒子B （即散射中心）上，受B 粒子作用偏离原方向而散射，散射程度可用总散射截面Q 表示。
讨论粒子受辏力场弹性散射的情况。
取散射中心为坐标原点；设入射粒子与散射中心之间的相互作用势能为U (r )，当r → ∞时，U (r )趋于零，则远离散射中心处的波函数Ψ由入射粒子的平面波Ψ1和散射粒子的球面散射波Ψ2组成12()ikrikzr e e f r ψψψθ→∞→+=+ （2）这里考虑的是弹性散射，所以散射波的能量没有改变，即其波矢k 的数值不变。
冉绍尔-汤姆森效应实验
中国石油大学近代物理实验报告成绩：班级：姓名：同组者：教师：实验B8 冉绍尔-汤姆森效应实验【实验目的】1、了解电子碰撞管的设计原则，掌握电子与原子的碰撞规则和测量的原子散射截面的方法。
2、测量低能电子与气体原子的散射几率Ps与电子速度的关系。
3、测量气体原子的有效弹性散射截面Q与电子速度的关系，测定散射截面最小时的电子能量。
4、验证冉绍尔-汤森效应，并学习用量子力学理论加以解释。
【实验原理】一、理论原理冉绍尔在研究极低能量电子（0.75eV—1.1eV）的平均自由程时，发现氩气中电子自由程比用气体分子运动论计算出来的数值大得多。
后来，把电子的能量扩展到一个较宽的范围内进行观察，发现氩原子对电子的弹性散射总有效截面Q随着电子能量的减小而增大，约在10eV附近达到一个极大值，而后开始下降，当电子能量逐渐减小到1eV左右时，有效散射截面Q出现一个极小值。
也就是说，对于能量为1eV左右的电子，氩气竟好像是透明的。
电子能量小于1eV以后Q再度增大。
此后，冉绍尔又对各种气体进行了测量，发现无论哪种气体的总有效散射截面都和碰撞电子的速度有关。
并且，结构上类似的气体原子或分子，它们的总有效散射截面对电子速度的关系曲线Q （V为加速电压值）具有相同的形状，称为冉绍尔曲线。
图B8-1为氙（Xe），氪（Ke），氩（Ar）三种VF惰性气体的冉绍尔曲线。
图中横坐标是与电子速度成正比的加速电压平方根值，纵坐标是散射截面Q值，这里采用原子单位，其中a0为原子的玻尔半径。
图中右方的横线表示用气体分子运动论计算出的Q值。
显然，用两个钢球相碰撞的模型来描述电子与原子之间的相互作用是无法解释冉绍尔效应的，因为这种模型得出的散射截面与电子能量无关。
要解释冉绍尔效应需要用到粒子的波动性质，即把电子与原子的碰撞看成是入射粒子在原子势场中的散射，其散射程度用总散射截面来表示。
图B8-1 Xe、Kr、H气体对电子的散射截面二、测量原理测量气体原子对电子的总散射截面的方法很多，装置也各式各样。
弗兰克 赫兹实验及冉邵尔 汤森效应：电子与 原子核发生的弹性和非
4. 热电子发射以及空间电荷限制电流
首先思考管子按照如图 2 连接的情况。在室温下汞蒸汽压力很小以致于阴极释放电子的 平均自由程与管子的尺度（~8mm）相比较大。阴极被灯丝加热后，会在热电子发射过程中不 断释放电子，这一过程中金属内靠近费米分布上端的电子穿越势垒并逃逸。逃逸电子的动能 分布近似于满足麦克斯韦-玻尔兹曼分布，且平均能量 E0 靠近 kT，其中 T 为阴极温度。在稳 定状态下，其中网格相对于由阴极发射出的电子形成在阴极表面的负电荷云为正电势。该负 电荷云通过驱使低能电子返回阴极，而产生能够抑制电子发射的电场，并由此产生熟知的空 间电荷有限电流的条件。热电子发射和空间电荷有限电流的物理原理在文献【2】中有讨论， 该讨论针对的为理想圆柱形管。我们实验中用到的管子，是为别的目的而设计的，有着一个 不同的几何结构，它不让自己在热电子发射中成为“干净”的实验。不论如何，利用它空间 电荷有限电流的性质特征还是可以被很好的观测到。
图 2 用于测量由热发射形成的空间电荷限制电流的管与电路的原理图。图的右边标出了管中 不同位置的电势。对于本实验拨动开关应拨到“E” （激发）处，而“遏制”电压控制应设为 零。外部香蕉插座接头的颜色在图中标出。标记为 Vcg 的电压计是 Keithley 电子伏特计， 连上它可以测量在阴极和网格间的加速电势。注意图中标有“红色”的点是出于地电势，因 此必须连接到 Keithey 电子伏特计底部输入接头上。对于加速电压该伏特计将读到一个负的 电压值。 并因此不能获得足够的能量产生电离。再低年级实验设备中，阴极与穿孔的（网格）阳极之 间的距离为 8mm，而穿孔的阳极与计数器电极板之间的距离很小（在 1mm 量级） 。
图 4 由理想化假设隐含的阳极电流随加速电压 Vcg 的变化图。 6. 汞的激发电势 现在考虑以下关于激发电势实验的理想化描述。我们假设（之前的实验显示这些假设对 不同温度来说都是不准确的） ： 所有电子在从阴极逸出时初始速度为 0。 从阴极溢出的电子数不受阴极与网格之间加速电场的影响。 当阴极逸出的电子能量在第一级激发态之下时，不受与汞原子碰撞的影响。因 此在阴极和网格之间一个特定位置的所有电子都具有相同的能量。 所有穿过网格的能量小于网格和阳极之间遏制电势差的电子，将会被网格拉回 并收集。所有能量大雨遏制电势的电子将被阳极收集。 汞原子对于能量高于临界值的电子非弹性截面很大，使得这类电子在非弹性散 射之前所飞行过的距离可以忽略。 当所有假设都成立时，阳极电流 Ia 与加速电压 Vcg 的关系将如图 4 所示。连续电流之间的间隔 增加（或减少）与汞原子第一激发的激发电势相等。最小值的宽度将由网格和阳极之间的遏 制电势决定。在第一个下落处的加速电压与激发电势之间的差为阴极和网格金属之间的功函 数之差，即，两金属之间的接触电势。事实上 Ia 相对于 Vcg 的变化曲线由于各种各样的原因而 与理想情况偏离很大。
冉绍尔-汤森效应实验
f (θ ) 即为入射平面波和散射 exp(ikr ) ， r
球面波的叠加， f (θ ) 为散射振幅。散射截面表示为
σ (θ ) =| f (θ ) |2
理论上可以通过解 Schrödinger 方程在 r → ∞ 时的解求得 f (θ ) ，从而求得 σ (θ ) 。 但这是不现实的。我们假设：弹性碰撞； V ( r ) 具有短程势；定态假设；忽略散 射波之间的干涉效应；无二次散射等，建立在方势阱模型上用“分波法”处 理 。 把非守恒量动量的本征态按照守恒的能量和角动量的本征态展开，把入射波 “分波”为：
徐世锦
上图中 E f 均为 2.00V ，右图同为在 Va =1.0V 处满足 I s + I p = I s* + I p*
由以上两图看出： （前提： Ec 在一个合适大小范围内） 1).当 Va 在 0 ∼ 2V 之间时，随着 Ec 的增大， f 整体增大。 2).在相同的测量方案下，随着 Ec 的增大， Pmin 逐渐增大，但 Emin 减小不明显。 对 Ec 作用的定性解释： 如右图所示，单考虑电源的作用，线路图不短路。把 试验管的接触电位差等等效为 E，则 � Ec = E 时，理想情况，完全刚好补偿。此时 Va 等 于真正的 Va 。 � Ec < E 时，净电压（ Ec − E ）与 Va 反向， 那么实 际 Va 读数偏大，那么 Emin 也偏大。 � Ec > E 时，净电压与 Va 同向，那么 Va 的读数偏小， Emin 也偏小。 以上定性的结论在其他条件完全相同时成立。 那么在不考虑实验精度等条件下可 以用 Ec 较小时的情况定性的说明本实验结果 Emin > 0.9 eV 。 由此可以帮助解释 f 的变化：随着 Ec 的增大，净电压逐渐趋向于 Va 的 方 向 。 极端情况下， Ec 的作用等价于一个二级加速电源。因此，对于“抽取”电子的 趋势增大， I p 增大。间接地，影响到 Pmin 。 对于探究 E f 对管子电离电位的影响时的 实验测量方案设计失败。 Ec 值选了 0.34V， 不符合控制变量规则（应设为 0.19V） 。但 是由图中（右图）还是可以得到些提示的： 随着 E f 增大（ E f 分别为 2.4V、2.7V）， 曲
冉绍尔-汤森德效应
极电流和收集极电流之用。加速电源 Ea 上还有一组交流可调电压输出，供双踪示波器动态 观察 Ia-Va 和 Ic-Va 曲线。
5、实验内容
1. 交流定性观察 ⑴按图 2.6-6 连接线路。
图 2.6-6 交流观察接线图 示波器 X 轴扫描由加速电源的交流输出电压提供， 闸流管处于室温。 调节 Ef 为某一值， 电位器 W1 用来调节交变电压 V a 的幅度,W2 用来调节 X 轴的扫描幅度， 示波器上会出现图 2.6-7a 所示图形。其中Ⅰ为 Ia-Va 曲线,Ⅱ为 Ic-Va 曲线。曲线Ⅱ中凹陷是由散射几率的变化 引起的。
图 2.6-4 微电流计面板示意图 ⑴电源开关 ⑵Is 测量输入端子 ⑶Is 量程选择⑷数显表，显示 Is ⑸Ic 测量输入端子⑹Ic 量程选择 ⑺数显表，显示 Ic⑻K、S、P 端子 ⑼Y1、Y2，BNC 插座 （10）X， BNC 插座（11）Ec 端子 （12）W1 电位器（13）W2 电位器
显然有
1 nQ 。
（2.6-9）
既入射粒子的平均自由程 与单位体积内靶粒子的总散射截面 nQ 互为倒数关系。在几种惰性 气体（Ar, Kr, Xe）的冉绍尔-汤森德效应实验中，当电子能量约为 leV 时，散射截面出现极小值， e 为极大值，入射电子径直透过势阱，犹如不存在原子一样，原子对电子像是“透明”的，这种现象称 为共振贯穿或共振透射。 密度为 N (z)的入射粒子，经由 B 粒子组成的厚度为 dz 的靶散射后，出射粒子密度的减小量为
图 2.6-7 交流定性观察 （2）一只手扶住闸流管管座，另一只手旋松支架上的固定螺丝，小心地将闸流管玻壳 缓慢移入装有液氮的保温瓶内， 让管顶浸入液氮， 切不可使金属管座接触液氮， 否则会炸裂。 观察 Ic-Va 曲线的变化, 其凹陷消失。 （3）接触电势差的补偿：由于屏蔽极和板极间接触电势差的存在，碰撞空间不是等势 空间。Va 很小时,Ia 和 Ic 不同时出现。 （必要时将 X 轴扫描扩展 10 倍,）仔细调节示波器 Y1 和 Y2 的放大倍数以及补偿电压 Ec 的值， 使曲线Ⅰ和Ⅱ基本上全部重合， 如图 2.6-7b 所示， 此时可认为接触电势差得到补偿。以后操作保持 Ec 不变。 2. 直流测量 ⑴按图 2.6-8 连接线路
冉绍尔-汤姆森效应实验
出曲线，并与 Ef=2.63V 下的 f 比较。 表 B8-1 室温下测量加速电压与板极电压、栅极电压的关系 Ea(V) 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 IP (μA) 0.04 0.12 0.22 0.35 0.51 0.68
*
IS (μA) 0.74 2.20 4.71 8.00 10.8 18.5
【注意事项】
由于实验条件所限， 没有低温环境， 因此， 本实验忽略低温测量， 即不需要测量 IP 和 IS ， 这里直接给出 Ef=2.63V 和各 Ea 下的值，如表 B8-1 所示。
* *
~4~
【数据处理】
利用公式 f Ec=0.34
Ea 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9
~5~
图1
Ps1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 Ea Ea 的关系图，测量低能电子与气体原子的散射几率 PS 随电子能量变化的关系。 0
0
4、 画出 Ef=2.63V 下几何因子 f 随加速电压 Ea Ea 的变化曲线，分析两者的关系。 5、 利用前面计算出的 PS 值，测量 Ef=2.00V 下的 IP 和 IS 并计算几何因子 f 随加速电压 Ea Ea 的变化，画
【实验原理】
一、理论原理
氩原子对电子的弹性散射总有效截面 Q 随着电子能量的减小而增大，约在 10eV 附近达到一个极大值，而后开 始下降，当电子能量逐渐减小到 1eV 左右时，有效散射截面 Q 出现一个极小值。结构上类似的气体原子或分子，它 们的总有效散射截面对电子速度的关系曲线 Q F V （V 为加速电压值）具有相同的形状，称为冉绍尔曲线。图 B8-1 为氙（Xe），氪（Ke），氩（Ar）三种惰性气体的冉绍尔曲线。图中横坐标是与电子速度成正比的加速电压平 方根值，纵坐标是散射截面 Q 值，这里采用原子单位，其中 a0 为原子的玻尔半径。
冉绍尔汤森效应实验汇报
冉绍尔-汤森效应实验汇报郭锐复旦大学物理系 上海摘要：本文简单介绍了冉绍尔-汤森实验的原理，通过实验得到散射截面与电子能量的曲线，验证了冉绍尔-汤森效应。
同时，本文也列出了一些本实验注意事项和实验技巧。
关键词：冉绍尔-汤森效应 散射截面 平均自由程 几何因子 总有效截面引言1921年，德国物理学家卡尔•冉绍尔（Carl Ramsauer ）在研究电子与气体原子的碰撞中，发现碰撞截面的大小与电子的速度有关。
在电子与氩原子的碰撞实验中，冉绍尔把电子的能量从100eV 一直降低到1eV 左右；当电子的能量较高时，氩原子的散射截面随着电子能量的降低而增大；当电子的能量小于十几个电子伏特之后，发现散射截面却随着电子能量的降低而迅速减小。
与此同时，1022年，英国卡文迪许实验室的J.S.汤森（J.S.Townsend ）也发现了类似的现象。
在测量电子在气体原子和分子中的自由程时，发现当电子以极慢的速度（～106m/s ）在氩原子中运动时，电子的自由程特别长，能量～0.37eV 时，出现极大值。
随后，Ramsauer 及其合作者用实验证实了Townsend 的结果：把能量降低到～0.2eV 时，氩原子的散射截面呈现极小值，且接近于零。
Ramsauer 与Townsend 等发现的现象是不符合经典的气体分子运动论的——在经典理论中，散射截面与电子的运动速度无关，而Ramsauer 与Townsend 的实验结果表明它们是相关的，这只有用量子力学才能做出满意的解释。
本实验中用充气闸流管，测量低能电子与气体原子的散射几率P s 与电子速度的关系；计算气体原子的有效弹性散射截面Q ，验证Ramsauer-Townsend 效应。
基本概念散射截面与平均自由程设想B 粒子杂乱的分布在一个很薄的平面层上，单位面积上平均有n 个粒子。
当一个A 粒子垂直的入射到这一平面层，它可能通过与B 粒子的相互作用而离开入射束，如果发生这一事件的概率为P ，则可如下定义散射截面σ：P n σ= （1）我们可以这样来理解上式，即把B 粒子想象成一个面积为σ的圆盘，圆盘垂直于入射的A 粒子束，当一个A 粒子随机的射向面积为S 的上述极薄平面层时，则射中圆盘的概率P 为B 粒子的圆盘总面积（=nS σ）与S 的比值，即：nS P n S σσ== 显然，（1）式所定义的散射截面只是特定事件发生的概率的量度。
冉绍尔汤森实验测量中的相关问题及其研究
冉绍尔汤森实验测量中的相关问题及其研究0730******* 马渊语摘要本文主要利用充气闸流管验证了冉邵尔汤森效应：电子与氙原子碰撞时，其散射截面与电子能量相关。
实验中，我们就如何保持阴极电流不变，如何让冉邵尔-汤森曲线更接近理想化，几何因子f 的意义以及与弗兰克-赫兹实验的联系进行了相关研究。
关键词散射截面 阴极电流 几何因子 冉邵尔-汤森曲线引言1921年，德国物理学家冉绍尔用磁偏转法分离出单一速度的电子，对极低能量0.75~1.1eV 的电子在各种气体中的平均自由程做了研究。
结果发现，在惰性气体中，当电子能量降到几个电子伏特时，气体原子和电子弹性碰撞的散射截面Q 迅速减小；当电子能量约为0.9电子伏时,Q 出现极小值，而且接近零。
如果继续减少电子能量，则Q 迅速增大，这说明弹性散射截面与电子能量密切相关。
1冉绍尔-汤森效应在当时是无法解释的。
因为经典的气体分子运动把电子看成质点，把气体原子看成是刚性小球，它们之间碰撞的散射截面仅仅决定于原子的尺寸（Q=πr^2，r 为原子有效半径），电子的平均自由程也决定于气体原子大小及其密度（λe=1/（n πr^2）），都与电子的运动速度无关。
不久，在德布罗意波粒二象性假设与量子力学理论建立后，人们认识到，电子与原子的碰撞实际上是入射电子波在原子势场中的散射，是一种量子效应。
用量子理论解释冉邵尔-汤森效应，可假设电子与原子之间的互相作用势，在原子势特性确定的情况下，低能散射截面的大小将随入射电子波波矢，即入射电子能量E 的变化而变化。
所采用的势模型是否恰当，取决于计算结果与冉绍尔实验曲线相符合的程度。
可见，实验测定弹性散射截面与入射电子能量的关系，可以提供有关原子势场的信息，这是研究基本粒子间相互作用常用的方法2。
一 实验方法阴极电流Ik ，电子在板极电压的加速下，有一部分电子在到达栅极之前，为屏蔽极接收，为电流Is1；另一部分则穿越S 上的矩形孔，为电流Io 。
冉绍尔汤森效应实验报告
冉绍尔汤森效应实验报告一、前言冉绍尔汤森效应是指当光线穿过狭缝时，会产生衍射现象，导致光线在屏幕上形成明暗条纹的现象。
这种现象的本质是光线波动性的体现。
本文将介绍冉绍尔汤森效应实验步骤和结果分析。
二、实验步骤1. 实验器材准备：激光器、狭缝、屏幕、支架、测量工具等。
2. 将激光器放置于实验装置的一端，将狭缝放置于激光器发射光束的中心位置，使光线通过狭缝后呈现出平行的光线。
3. 在狭缝后方放置屏幕，调整屏幕位置使其与狭缝处于同一水平线上，并且屏幕垂直于光线的传播方向。
4. 调整狭缝的宽度和间距，观察屏幕上形成的衍射图案。
可以发现屏幕上会出现明暗交替的条纹。
5. 测量不同狭缝大小和间距下的条纹宽度和间距，记录实验数据。
三、实验结果分析通过实验可知，冉绍尔汤森效应的条纹是由衍射现象产生的。
当光线经过狭缝时，光线会发生衍射，产生多个次级波，这些次级波在狭缝后方会叠加，形成明暗相间的衍射图案。
实验结果表明，当狭缝大小较小时，条纹宽度较大，间距较小；当狭缝大小逐渐增大时，条纹宽度逐渐变窄，间距逐渐变宽。
当狭缝间距变小时，条纹间距变大，条纹宽度变小；当狭缝间距变大时，条纹间距变小，条纹宽度变大。
实验结果还表明，冉绍尔汤森效应的条纹与光的波长有关，光的波长越小，条纹间隔越密集，条纹宽度越小；光的波长越大，条纹间隔越宽，条纹宽度越大。
四、实验结论通过本次实验，我们进一步了解了冉绍尔汤森效应的本质和特点。
实验结果表明，冉绍尔汤森效应是由光的波动性和衍射现象产生的，其条纹宽度和间距与狭缝大小、间距以及光的波长有关。
这些结论对于相关领域的研究和应用具有重要意义。
冉绍尔-汤森效应实验
戴乐山 戴道宣. 近代物理实验, 高等教育出版社:80 图2-1
测量电路
补偿电源Ec：补偿接触电势差 IP和IS同时出现
测量： VA IP IS
液氮室温:调节灯丝电压
戴乐山 戴道宣. 近代物理实验, 高等教育出版社:82 图2-3
Q
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8eV
0 0
经过路程x被散射的概率 PS(x)=1-e-nσx
散射截面测量原理
• 散射概率 Ps=1- Ip I0
• 几何因子 f= I0 IS1
几何结构、阴极周围空间电荷分布 ~加速电压V，阴极电流
f= IP* IS*
Ps=1- IP IS* IS1 IP*
f<<1时
IS1 IS
IS1 I0 IP IS2
Q=nσ=- 1 ln IP IS* L IS IP*
有关
0.6
• 电子能量约为1.8eV时，散射概 0.5
0.4
率/散射截面有极小值 0.3
0.2
0.1
0 0
0.511.5 Nhomakorabea2
2.5
3
V 3.5
A
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
VA
改成0.003
Q
1.8
误差
1.6
1.4
• 数字电流表的跳动 保持Is+Ip不变？ 1.2
1
• Is电流表的零点
0.8
-0.15 -1.5 0.6
• 换量程
0.4
0.2
VA
冉邵尔-汤森效应实验探讨
冉邵尔-汤森效应实验探讨徐元 材料物理专业关键词冉绍尔—汤森（R —T ）效应 散射概率 碰撞截面 电离电压 引言“1921年，德国物理学家卡•冉绍尔在研究电子与气体原子的碰撞中发现碰撞截面的大小与电子速度有关。
在电子与氩原子的碰撞实验中，冉绍尔把电子能量从100eV 一直降到1eV 左右。
当电子能量较高时，氩原子的散射截面随电子能量的降低而增大；当电子的能量小于十几电子伏特后，散射截面随电子能量降低而迅速减小。
1922年，J.S.汤森也发现类似现象。
” [1]经典理论中，散射截面与电子运动速度无关，无法解释冉邵尔-汤森效应，只能用量子力学的相关理论才能给出令人满意的解释。
理论/实验部分 理论部分：电子经过路径x 而散射的概率为 经典情况中，散射概率与电子运动速度无关。
本实验中应用当 1f时，可取近似 1S S I I ，则()1n xS P x e σ-=-()011n xs xd P x n xe dx n σλσσ-∞∞=-=-=⎡⎤⎣⎦⎰⎰/()1x S P x e λ=-11*0***011P S S S P S S P P S I I f I I I I P I I I P I ⎧⎫==⎪⎪⎪⎪⇒=-⎨⎬⎪⎪=-⎪⎪⎩⎭总有效截面这样，研究原子散射截面与电子能量关系由此转变为研究散射电流、透射电流等与加速电压的关系。
实验仪器碰撞管结果及原理示意图：实验中的分歧:采集数据过程中，我和实验同伴就低温到室温后，数据的采集方式产生了疑义。
实验课本中写明：“在低温和室温测量时，要保持阴极温度不变，即保持低温和室温时阴极发射电流相同”。
我们一度认为，回到室温后，只需要找一点，调节Vf，使得**P S P SI I=I+I+，就可以进行室温测量。
但是后来我们发现，这样思考实际上默认了一个观点：只要Vf不变，阴极发射电流就不会变。
这个观点太过想当然，实验事实否认了这一点。
我们找到一点定标，调节Vf使得**P S P SI I=I+I+，之后再改变Va，发现P SI+I和**P SI I+已经不再相等，而Va改变幅度越大，两者差别也就越大，这说明Vf并不是决定阴极电流的唯一因素（即使Va保持不变）。
冉绍尔-汤森效应
我们就把
P
n
P nS n
S
定义为散射截面
散射概率
可以把气体云看做一系列薄靶的叠加，设每一个薄层的厚度为dx, 单位面积中的B粒子数目为ndx，那么一个A粒子被这个薄层散射的 概率就为nσdx
设经过路程x后，未经散射的粒子数目为N(x),则有：
dN(x) nN(x)dx
考虑边界条件x=0，粒子数目为N0
f
I
* P
I
* S1
散射概率
PS
1
IP I S1
I
* S1
I
* P
一般的，f＜＜1，IS1≈IS，所以有：
PS
1 IP IS
I
* S1
I
* P
总有效截面
1 结合之前的推导结果： Q L ln(1 PS )
最终得到：
Q 1 ln L
IP IS
I
* S1
I
* P
把气体分子云想象成许多竖直的薄片，每一个入射的A粒子， 垂直地打到薄层上，可能不受到影响，继续前进，也可能与 粒子B发生相互作用，离开粒子束，设发生离开粒子束这一事 件的概率为P。
散射截面
把每一个气体粒子B想象成一个面积为σ的圆盘，设气体薄层的面积为S， 单位面积上平均有n个粒子。 射中圆盘的概率P为B粒子圆盘的总面积与S的比值。
I0-IS2=IP
电子的散射概率为：
Ps 1 IP I0
散射概率
如何用实验测得的参数来表示散射概率？
Ik=IS1+I0，事实证明IS1和I0之间是有比例关系的，这一比值称为 几何因子f，这时候散射概率Ps就等于：
PS
1Hale Waihona Puke 1 fIP IS1
冉绍尔-汤森效应报告07300300050徐世锦
• 实验探究
• 实验结果分析时，把不同实验条件的曲线作比对 时，有以上两图给予思考：
• Ec值对几何因子 和散射概率 有何影响（Ef 均为 2.00V）。
• 探究结果 • 1）在相同的Ef值下，随着Ec的增大：Va在02V之间f曲线整体逐渐上升；
• 2） 在相同的Ef值下，随Ec的增大，Pmin逐渐增 大，Emin的减小不明显。
• 对Ec作用的定性解释: Ec=E时，理想状况，刚好补偿。 • Ec<E时，净电压与Ea反向，削弱Ea，Ea偏大。 • Ec>E时，相当于Ea串联电源，Ea偏小。 • 1）Ec值小，Emin偏 大。 • 2）Ec大，Ec等价于 另一加速电源。 f=Ip*/Is*增大。 • 3）f增大，P=1-Ip/fIs1 上升。
• 这与经典理论相矛盾，只能用量子理学做出较为 合理的解释。
• 计算： • 入射粒子穿透x后的散射概率：
P( x) 1 exp(n x) 1 exp(Qx)
• 原理图得到：
P 1
Ip f * I s1
1
I p I s* I s1I p*
1
I p I s* I s I p*
冉绍尔-汤森效应实验报告
07300300050 徐世锦
着重讲实验结果部分
• 冉绍尔-汤森效应
• 1921年，物理学家冉绍尔(研究碰撞)和汤森（研 究自由程）在研究电子与气体原子相互作用时， 分别独立地得到以下等效的现象：
• 当电子的能量较高时，原子的散射截面随
电子能量降低而增大；当电子的能量较小 时，散射截面却随电子能量的减小而迅速 减小。
实验结果
• 1.交流： 室温下 I s 与低温下的 I s* 、I p* 随 Va呈“类” Ip 线性增加，而室温 曲线上有一个电子累积峰。 • I p 曲线上斜率最大处对应P-Va曲线上的极小值。
冉绍尔-汤森效应
实验仪器
实验原理图
冉绍尔-汤森效应的解释
1
经典理论 2 量子理论
经典理论
一个分子在两次连续的碰 撞之间所走过的直线路程， 称为分子的自由程。自由 程的长短不一，具有偶然 性，但对大量分子的自由 程进行统计平均，则给出 确定的数值，称为平均自 由程。 右图公式可见经典理论的 自由程与电子能量无关
冉绍尔-汤森实验
A24（胡一鸣 吕鹏勃） 吕鹏勃
冉绍尔-汤森效应
1921年，德国物理学家卡冉绍尔（Carl Ramsauer） 发现电子能量小于十几个电子 伏特后，氩原子的散射截面随电子能量的 下降而迅速减小 1922年，JS汤森（JSTownsend）发现在电子 与氩原子的弹性碰撞中，在0.39V时对应有 效散射截面的极小值
其中
tgk0 a a 1 k0 a
k k0
对Q求一阶导数，得到Q取最小的条 件是 tan( k ) k
即
tan(
2mE
2
)
2mE
2
解此方程即可得到总散射截面去最小值时 对应的
Emin
谢谢！
k T 2 d p
2
经典散射理论
刚性球模型
将原子看作刚性球，即电子与Xe原子间的相 互作用为
U (r ) 0
ra ra
按照金尚年、马永利著《理论力学》的计算 方法此刚性球模型的总散射截面为
a
2
由此可见，由经典理论得到的总散射截面 仅跟刚性球势场的半径有关，与电子的入 射能量无关。
其解为 ) u0 (r ) A sin(k r 0
r a
d u (r ) 2 k u (r ) 0 2 dr
冉绍尔-汤姆森效应实验
冉绍尔-汤姆森效应实验中国⽯油⼤学近代物理实验报告成绩：冉绍尔-汤姆森效应实验【实验⽬的】1、了解电⼦碰撞管的设计原则，掌握电⼦与原⼦的碰撞规则和测量的原⼦散射截⾯的⽅法。
2、测量低能电⼦与⽓体原⼦的散射⼏率Ps 与电⼦速度的关系。
3、测量⽓体原⼦的有效弹性散射截⾯Q 与电⼦速度的关系，测定散射截⾯最⼩时的电⼦能量。
4、验证冉绍尔-汤森效应，并学习⽤量⼦⼒学理论加以解释。
【实验原理】⼀、理论原理冉绍尔对各种⽓体进⾏了测量，发现⽆论哪种⽓体的总有效散射截⾯都和碰撞电⼦的速度有关。
它们的总有效散射截⾯对电⼦速度的关系曲线V F Q =（V 为加速电压值）具有相同的形状，称为冉绍尔曲线。
要解释冉绍尔效应需要⽤到粒⼦的波动性质，即把电⼦与原⼦的碰撞看成是⼊射粒⼦在原⼦势场中的散射，其散射程度⽤总散射截⾯来表⽰。
⼆、测量原理图B8-3 测量⽓体原⼦总散射截⾯的原理图当灯丝加热后，就有电⼦⾃阴极逸出，设阴极电流I K ，加速电压的作⽤下，部分电⼦在到达栅极之前，被屏极接收，形成电流I S1；部分穿越屏极形成电流I 0，由于屏极与板极P 之间是⼀个等势空间，所以电⼦穿越矩形孔后就以恒速运动，受到⽓体原⼦散射的电⼦则到达屏极，形成散射电流I S2；⽽到达板极P 形成板流I P ,因此有10S K I I I +=；21S S S I I I +=；20S P I I I +=。
电⼦在等势区内的散射概率为01I I P PS -=。
另外++-=-=f I I I I I f P SP P S PS 111111，1S I I f =。
为了测量⼏何因⼦f ，我们把电⼦碰撞管的管端部分浸⼊温度为77K 的液氮中，这时，管内掉⽓体冻结，在这种低温状态下，⽓体原⼦的密度很⼩，对电⼦的散射可以忽略不计，⼏何因⼦f 就等于这时的板流I P *与屏流I S *之⽐，即**S P I I f =。
所以PS PS P P S I I I I I I P ++-=***1电⼦总有效散射截⾯Q 和散射⼏率有如下的简单关系)exp(1QL P S --=式中L 为屏极隔离板矩形孔到板极之间的距离。
冉绍尔汤森效应
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ea/V
0.9
0.8
0.7
0.6
Ps
0.5
系列1 0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Ea/V
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
Ps
0.25
系列1
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Ea/V
比较三图，可见最小值对应的电压随灯丝电压增 大而减小，所以第一张图的最小值不是没有，而 是已到了0的左边，这可能是补偿电压不够而导 致
O rig in P ro 8 E va lu a tio n
0
2
4
6
Uf (V)
F=0.012exp(-Uf/1.74)+0.022
f=Ip*/Is* ExpDec1 of B
8
f=Ip*/Is*
0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04
O rig in P ro 8 E valu atio n
O rig in P ro 8 E va lu a tio n
Equation
y = a - b*ln(x+c)
O r i g i n P rAodj. R8-SqEuavrea l u a t i o0n.95909 Value
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中国石油大学 近代物理 实验报告 成绩：冉绍尔-汤姆森效应实验【实验目的】1、 了解电子碰撞管的设计原则，掌握电子与原子的碰撞规则和测量的原子散射截面的方法。
2、 测量低能电子与气体原子的散射几率Ps 与电子速度的关系。
3、 测量气体原子的有效弹性散射截面Q 与电子速度的关系，测定散射截面最小时的电子能量。
4、 验证冉绍尔-汤森效应，并学习用量子力学理论加以解释。
【实验原理】一、理论原理冉绍尔对各种气体进行了测量，发现无论哪种气体的总有效散射截面都和碰撞电子的速度有关。
它们的总有效散射截面对电子速度的关系曲线V F Q =（V 为加速电压值）具有相同的形状，称为冉绍尔曲线。
要解释冉绍尔效应需要用到粒子的波动性质，即把电子与原子的碰撞看成是入射粒子在原子势场中的散射，其散射程度用总散射截面来表示。
二、测量原理图B8-3 测量气体原子总散射截面的原理图当灯丝加热后，就有电子自阴极逸出，设阴极电流I K ，加速电压的作用下，部分电子在到达栅极之前，被屏极接收，形成电流I S1；部分穿越屏极形成电流I 0，由于屏极与板极P 之间是一个等势空间，所以电子穿越矩形孔后就以恒速运动，受到气体原子散射的电子则到达屏极，形成散射电流I S2；而到达板极P 形成板流I P ,因此有10S K I I I +=；21S S S I I I +=；20S P I I I +=。
电子在等势区内的散射概率为01I I P PS -=。
另外⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-=f I I I I I f P S PP S PS 111111，1S I I f =。
为了测量几何因子f ，我们把电子碰撞管的管端部分浸入温度为77K 的液氮中，这时，管内掉气体冻结，在这种低温状态下，气体原子的密度很小，对电子的散射可以忽略不计，几何因子f 就等于这时的板流I P *与屏流I S *之比，即**S P I I f =。
所以PS PS P P S I I I I I I P ++-=***1电子总有效散射截面Q 和散射几率有如下的简单关系)ex p(1QL P S --=式中L 为屏极隔离板矩形孔到板极之间的距离。
由（22）式和（23）式可以得到)()(ln ***P S P P S P I I I I I I QL ++=因为L 为一个常数，所以做)()(***ln P S PP S P I I I I I I ++和c E 的关系曲线，即可以得到电子总有效散射截面与电子速度的关系。
【实验装置】冉绍尔－汤森效应实验仪主机两台（一台为电源组，另一台是微电流计和交流测量装置），电子碰撞管（包括管固定支架），低温容器（盛放液氮用，液氮温度77K ），一台双踪示波器。
【实验内容】2、将灯丝电压E f 调至2.63V ，直流加速电压E a 调至0.20V ，补偿电压E c 调至0.34V 。
3、 从0.20－9.00V 逐渐增加加速电压E a ，列表记录每一点对应的电流I c （即I P ）和I S 的大小。
根据公式做a a S E E P --的关系图，测量低能电子与气体原子的散射几率P S 随电子能量变化的关系。
4、 画出E f =2.63V 下几何因子f 随加速电压0a a E E -的变化曲线，分析两者的关系。
5、 利用前面计算出的P S 值，测量E f =2.00V 下的I P 和I S 并计算几何因子f 随加速电压0a a E E -的变化，画出曲线，并与E f =2.63V 下的f 比较。
表B8-1 室温下测量加速电压与板极电压、栅极电压的关系【注意事项】由于实验条件所限，没有低温环境，因此，本实验忽略低温测量，即不需要测量I P *和I S *，这里直接给出E f =2.63V 和各E a 下的值，如表B8-1所示。
【数据处理】利用公式**S P I I f =和PS PS P P S I I I I I I P ++-=***1计算各个不同点的f 和Ps 值如表2 所示E a(V) I P*(μA) I S*(μA) I P(μA) I S(μA) f P S0.20.04 0.74 0.002 4.85 0.054054 0.991962 0 0.3 0.12 2.2 0.006 9.12 0.054545 0.987289 0.316228 0.4 0.22 4.71 0.017 14.86 0.046709 0.974393 0.447214 0.5 0.35 8 0.049 21.72 0.04375 0.9463 0.547723 0.6 0.51 10.8 0.116 29.32 0.047222 0.912608 0.632456 0.7 0.68 18.5 0.248 38.53 0.036757 0.819613 0.707107 0.8 0.92 25.9 0.441 48.12 0.035521 0.735259 0.7745970.9 1.16 32.4 0.625 56.1 0.035802 0.681236 0.836661 1.43 39.9 0.901 66.5 0.03584 0.613644 0.894427 1.1 1.75 48.7 1.19 78 0.035934 0.566789 0.948683 1.2 2.07 58 1.465 89.3 0.03569 0.531611 1 1.3 2.39 67.9 1.704 102.2 0.035199 0.517683 1.048809 1.4 2.68 67.5 1.897 115.6 0.039704 0.577215 1.095445 1.5 3.04 88 1.97 128.4 0.034545 0.54747 1.140175 1.6 3.4 100 2.08 143.1 0.034 0.564289 1.183216 1.7 3.7 112 2.16 155.9 0.033036 0.57267 1.224745 1.8 4.11 126 2.21 171.5 0.032619 0.597249 1.2649111.9 4.48 1392.24 185.5 0.03223 0.617876 1.303842 4.81 151 2.26 200 0.031854 0.63805 1.341641 2.2 5.58 180 2.28 230.2 0.031 0.673828 1.414214 2.4 6.35 207 2.26 261.5 0.030676 0.712115 1.48324 2.6 7.21 238 2.23 291.8 0.030294 0.742062 1.5491932.8 8.06 269 2.2 322.3 0.029963 0.766951 1.6124523 8.93 300 2.15 353.6 0.029767 0.790925 1.673323.5 11.3 380 2.07 430.5 0.029737 0.834291 1.816594 13.5 470 2.04 507.8 0.028723 0.856696 1.9493594.5 15.6 560 2.05 575 0.027857 0.86892 2.0736445 17.8 658 2.09 652 0.027052 0.878687 2.190895.5 20 766 2.18 735 0.02611 0.883781 2.3021736 22.3 873 2.33 815 0.025544 0.885548 2.4083196.5 24.7 981 2.53 900 0.025178 0.885862 2.509987 27.1 1087 2.77 986 0.024931 0.88483 2.6076817.5 29.8 1199 3.05 1086 0.024854 0.884517 2.7018518 32.6 1302 3.39 1190 0.025038 0.883708 2.7928488.5 35.5 1406 3.78 1286 0.025249 0.880996 2.8809729 38.3 1502 4.23 1392 0.025499 0.87816 2.966479分析：从图1可以看出，Ps 的值随着0a a E E -的增大先减小后有一个小的增加，然后再在减小，√Ea −Ea0在0a a E E -值大约为1.05左右的时候出现了最小值，约为0.52，即书中所说的透明状态，电子几乎与气体不发生碰撞。
在1.1左右P S 突然增加之后又减小。
f 的值随着0a a E E -的增大基本上呈现减小的趋势，但在减小的过程中会出现个别的突然增大的现象，在这一点f 的值会突然增大，最主要是因为，此时的Is*变化不是很大，而Ip*相对增加量相比要大得多，因此出现了f 值得猛增的现象。
而对于一些突增的点，则是因为实验的误差引起的，因为在测量数据的时候，仪器表的示数会发生不断的跳动，又时记录的数据并非此时稳定时的真实数据，所以导致在记录数据时出现了一些错误！另外 ，测出Ef=2.00V 时的Ip 、Is 得知，利用Ef=2.63时的Ps 值且利用公式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=-=f I I I I I f P S P P S P S 111111可以计算出此时各个点的f 值，其结果如下表：Ea(V)I P (μA)I S (μA)P S f0.2 0 0.16 00.991962 00.3 0 0.76 0.316228 0.987289 0 0.4 0 2.19 0.447214 0.974393 0 0.5 0 5.12 0.547723 0.9463 00.6 0.003 9.24 0.632456 0.912608 0.003728 0.7 0.01 14.76 0.707107 0.819613 0.003767 0.8 0.032 20.8 0.774597 0.735259 0.005836 0.9 0.087 28.26 0.83666 0.681236 0.009722 1 0.193 36.5 0.894427 0.613644 0.013802 1.1 0.359 45.37 0.9486830.566789 0.018456 1.2 0.587 53 10.531611 0.023947 1.3 0.836 62.4 1.048809 0.517683 0.028182 1.4 1.07 72.7 1.095445 0.577215 0.035526 1.5 1.33 83.6 1.140175 0.54747 0.035846 1.6 1.54 94.5 1.183216 0.564289 0.038208 1.7 1.73 106.6 1.224745 0.57267 0.038822 1.8 1.87 119.3 1.264911 0.597249 0.039845 1.9 1.97 131.8 1.30384 0.617876 0.040084 2 2.05 144.6 1.341641 0.63805 0.040172 2.2 2.14 170.3 1.414214 0.673828 0.039553 2.4 2.18 198.6 1.48324 0.712115 0.039193 2.6 2.18 226.2 1.549193 0.742062 0.038429 2.8 2.15 254.4 1.612452 0.766951 0.037301 3 2.12 282.5 1.67332 0.790925 0.036942 3.5 2.01 352.7 1.81659 0.834291 0.035407 4 1.94 423.5 1.949359 0.856696 0.032866 4.51.91 493.52.073644 0.868920.030304此时便可作出Ef=2.00时的f 随着0a a E E 的变化曲线如图通过图2的变化曲线和图3的变化曲线比较可以看出，此时的f 值先随√Ea −Ea0的增大而增大，然后减小，在√Ea −Ea0约为1.34左右的时候，f 达到最大值。