固体物理40题

1. 设晶体中的每个振子的零点振动能.试用德拜模型求晶体的零点振动能.证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。

()()()000012mE E g d E ωωωωωω==⎰h 将和()22332s V g v ωωπ=代入积分有402339168m m s V E N v ωωπ==h ，由于098m B D B D k E Nk ωθθ==h 得 一股晶体德拜温度为~210K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．2. 试画出二维长方格子的第一、第二布里渊区.3. 证明：在磁场中运动的布洛赫电子，在K 空间中,轨迹面积A n 和在r 空间的轨迹面积S n之间的关系A n= (qB hc)2S n()d k d rc qv B q B dt dt⋅=-⨯=--⋅r rr u r h 解：dk qB dr dt c dt∴=⋅h t k qB r ch 两边对积分,即 =22()()n n A r c S k qB∴==h 4. 证明：面心立方晶格的倒格子为体心立方. 解：面心立方晶格的基矢为()()()a a a a j ,b ,c 222k i k i j =+=+=+r r r r r r r r r则面心立方原胞体积3V []4a abc ⋅⨯=r r r =a 2bc V π*⨯=r ru u r 面心立方倒格矢 ()()2384a i k i j a π=⋅+⨯+r r r r ()ai j k π-++r r r 2=()b a i j k π*=-+u u r r r r 2同理： ，()ac i j k π*=+-u u r r r r 2a b c***u u r u u r u u r 显然，，为体心立方原胞基矢，因此面心立方晶格倒格子为体心立方 5. 证明：根据倒格子的定义证明简单立方格子体积与其倒格子体积成反比解:设简单立方晶格常数为a ，则基矢为a ,b ,c ,V a ai a j ak ===r r r r r r 3体积=其倒格矢2312b 2a a i V a ππ⨯==u u r u u r u u r r ，3122b 2a a j V a ππ⨯==u u r u r u u r r ，1232b 2a a k V aππ⨯==u r u u ru u r r则倒格子体积()31232[]V b b b Vπ*=⋅⨯=u r u u r u r6. 是否存在与库伦力无关的晶型，为什么？ 答：不存在与库仑力无关的晶型，因为①共价结合中电子虽不能脱离电负性 的原子，但靠近的两个原子各给出一个电子，形成电子共有的形状，位于两原子之间通过库仑力把两个原子结合起来。

②离子晶体中正负离子的吸引力是库仑力③金属晶体中原子实与电子云之间的作用力为库仑力④分子结合中，电偶极矩把原本分离的原子结合起来，电偶极矩就是库仑力⑤氢键结合中，氢与电负性大的原子共价键结合，氢键与电负中心不重合，迫使它通过库仑力与电负性大的原子结合.7. 如果有一维单原子晶格的振动写成如下驻波形式.证明格波的色散关系与行波的相同解：一维单原子列的运动方程为：()()()()21122n n n n d X t m X t X t X t dtβ+-=+-⎡⎤⎣⎦ 将题设中驻波解带入得：[]2sin sin sin(1)sin sin(1)sin 2sin sin mA naq t A n aq t A n aq t A naq t ωωβωωω-=++-- []2sin sin(1)sin(1)2sin m naq n aq n aq naq ωβ∴-=++--(2sin cos 2sin )naq aq naq β=-()221cos aq m βω=-241sin ()2aq m β= 即驻波色散关系与行波一样8. 证明二维正方格子于第一布里渊区的角隅处的一个自由子的动能为该区侧面中心处动能的二倍。

再求对三维简单立方晶格,其相应的倍数是多少？（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为a ，倒格子晶格基矢22ˆˆ,A i B j a aππ== 第一布里渊区如图所示()2222ˆˆˆ,.,2B x y z i B K i j a a a K K K mπππε⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++h A 区边中点的波矢为K 角顶点的波矢为自由电子能量222222,222A x K m m a m a ππε⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h h A 点能量()222222222,222B x y K K m m a a m a πππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦h h h B 点能量所以/2B A εε=b)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为222ˆˆˆ,,,A i B j C k a a aπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第一布里渊区如图7—2所示．22;2A m a πε⎛⎫== ⎪⎝⎭h A 点能量()22222222223,222B x y z K K K m m a a a m a ππππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦h h h B 点能量 所以/3B A εε=9. 设10. 证明应用紧束缚方法于一维单原子链。

如果只计算近邻原子之间的相互作用。

其S 态能带为11. 论述霍尔系数测量原理以及在化合物研究中的应用。

将半导体放在x-y 平面里，加上z 方向的磁场，通以x 方向电流，导体内沿y 方向将产生电场，当电场达到稳定时，有yx z qE qv B =aπaπ-aπ-因电流密度为x x j pqv =p 为空穴密度,则1y x z E j B pq =，其中1k pq=,电子导电情况类似 在化合物半导体研究中，霍尔系数的测量可直接测得载流子密度而且从其符号可以判定是电子导电还是空穴导电。

12. 证明六角晶体的介电常数张量为123000000εεε⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭解：设介电常数为二阶张量αβε，D,E 分别为电位移矢量和电场强度，则D E ααβββε=∑， αββαεε=（）其中α，β表示沿x,y,z 轴的分量，z 轴与六角晶体六重轴平行，x 与另一基矢平行，设E 沿z 轴方向，则x y z D D D ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=xx xy xz yx yy yz zx zy zz εεεεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭z 0 0E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭x zx z D E ε=，y zy z D E ε=，z zz z D E ε=如晶体和电场同时绕z 轴转π，使x 轴转到-x 轴，y 轴转到-y 轴，则转后'x D x zx z D E ε=-=-'y D y zy z D E ε=-=-由于上述转动是六角晶体的一个对称操作'D D ∴=，即'',x x y y D D D D == 故zx zx εε-=，zy zy εε-=0zx ε=，0zy ε=同理取电场沿x 轴方向，并绕x 轴转π，可得xy xy εε-=，从而0xy ε=因二阶张量本身性质αββαεε=，故六角晶体的介电常数张量为123000000εεε⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭13. 设有一晶体，平衡时体积为V 0，原子之间相互作用为μ0.如果相距为r 的原子相互作用势能为证明体积弹性模量为14. 以格林艾森状态近似公式出发说明晶格膨胀产生的原理15. 画出一维紧束缚近似状态下 的E （k ）、V(k)、M*（k ）函数以及图形，并对电子在恒定场作用下的振荡运动加以说明设电场力F=-eE,则 ，可知电子在k 空间匀速运动，由于电子运动只能保持在一个能带中，用约化布里渊区表示，电子从布里渊区边界一边移出同时从另一边界移入，即电子在k 空间循环运动，现在电子随时间做振荡变化电子速度的振荡意味着电子在实空间的振荡。

16. 试以能带结构解释半导体、导体、绝缘体①导体中不仅有未被电子占据的空带和被电子占满的满带，还有部分被电子占据的导带。

②本征半导体虽只有满带和空带，但满带和空带之间的禁带很窄，热激发能很容易使电子进入空带，使原来的满带成为价带空带成为导带。

导电性来源：价带中的空穴和导带中的电子。

杂质半导体的禁带中存有杂质能级，也能提供电子或接受电子形成空穴参与导电。

③绝缘体只有满带和空带，禁带很宽，难以导电17. 以金属热电子发射现象出发说明热电偶测温原理如图，A 、为不同的金属，根据量子理论，热电子发射的发射电流为由于j 与温度有关，金属A 在M 和N 端发射电流不同，将在A 的两端产生电势差u1，同理B 的两端也将产生电势差u2。

虽然u1和u2两端的温度差一样但由于j 与Ef 有关，而A 、B 的Ef 不同因此u1不等于u2.这样便在A 、B 构成的回路中产生电流，此电流与M 、N 的温度有关。

测量回路中的电流便可得到M 和N 的温度关系，这就是热电偶测温原理。

18. 解释自由电子和近自由电子能态密度函数自由电子能态密度函数为g(w)=cE^1/2近自由电子只在布里渊区边界上产生了较大畸变。

远离布里渊区边界时，能态密度函数与自由电子接近，在能量接近边界Ea 处，随着E 的增加，等能面一个比一个更强烈的向外突出，使它们的体积越来越大的增长，相应的，能态密度在接近Ea 时，应比自由电子显著增大。

E 超过Ea 时，由于等能面开始残破，面积不断下降，到达Ec 时，等能面将缩成几个顶点角，故由Ea 到Ec,g(w)将不断降为0.19. 设二维晶格的两个基矢为，求其倒格矢。

20. 画出面心立方晶格的固体物理学原胞并画出其基矢。

21. 已知某晶体的体积弹性模量为K ，若要使相邻原子间距缩小0.5%，求施加力的大小。

22. 求出一维原子链的频率分布函数。

23. 热平衡下，频率为w 的温度为T 的平均声子数为。

并说明在高温极限该值为.24. 一维原子链原子间距为a ，总长度为Na ，用紧束缚近似求出原子S 态能级对应的能态函数，并求出其能态密度函数表达式。

＜解＞010101(1),()()2cos 2cos ika ikas s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-r0()()s ik R s E k E J J p e -⋅⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑rr (2) ,1121()2222sin sin L dk Na NN E dE J a ka J kaπππ=⨯⨯=⨯= (3), 000022()22222Fk F F F Nak Na N k dk k k aπρππ=⋅=⋅⋅=∴=⎰r00111()2cos,()2sin2F F s F NNE E k E J a E N E aJ J aaππππ==-⋅===⋅25. 设有一维晶体的电子能带可写成 2271()(cos cos 2)88E k ka ka ma =-+h ， 其中a 为晶格常数，m 是电子的质量。