用MATLAB实现最速下降法

实验的题目和要求

一、所属课程名称：

最优化方法

二、实验日期:

20１０年5月１0日~２010年5月１５日

三、实验目的

掌握最速下降法,牛顿法和共轭梯度法的算法思想，并能上机编程实现相应的算法。

二、实验要求

用ＭA ＴLA Ｂ实现最速下降法，牛顿法和共轭梯度法求解实例。

四、实验原理

最速下降法是以负梯度方向最为下降方向的极小化算法，相邻两次的搜索方向是互相直交的。牛顿法是利用目标函数)(x f 在迭代点k x 处的T ａylor 展开式作为模型函数,并利用这个二次模型函数的极

小点序列去逼近目标函数的极小点。共轭梯度法它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向k d 仅仅是负梯度方向k g -与上一次接

待的搜索方向1-k d 的组合。

五.运行及结果如下：

最速下降法:

题目：f=（x-2）^２+(y-４）^2

Ｍ文件：

fu ｎcti ｏn [R,n]=stee ｌ（x0,y0，e ｐs)

syms ｘ；

syms y ;

f=(x-2)^2+(ｙ-４）^2;

ｖ=[x,y];

ｊ＝ｊac ｏbi ａｎ(f ，v);

T=[s ｕbs(j(１),ｘ,x0）,subs （j （2),ｙ，y0)];

temp=s ｑrt((Ｔ(1)）^2＋(T （2))＾2);

x １＝x0;y １=y ０;

ｎ=0;

sym ｓ k ｋ;

w ｈi ｌe (temp>eps ）

ｄ=－Ｔ；

ｆ1=x １+kk*d(1);f2=ｙ1+k ｋ*ｄ（２);

fT=[su ｂs(j （1),ｘ,ｆ１),ｓｕb ｓ(j(2),ｙ,ｆ2)];

fu ｎ=sqrt((fT(1））^2+(ｆT(2)）^２）;

Mｉｎi=Ｇold(fｕn,0,1，０.０0００1);

x0＝ｘ1+Ｍini*d(1);y0＝y1＋Ｍinｉ*d(2)；

T＝[sｕbs（j(1)，x,ｘ0），suｂs(ｊ(2),ｙ，y0)］; tｅｍp=ｓｑrｔ（(T(1）)^2＋(T（２)）^2)；

x1=x0;ｙ１=ｙ0；

n=ｎ+1；

ｅnd

R=[x０,ｙ0]

调用黄金分割法:

M文件:

fｕncｔioｎMｉni＝Ｇold(f,a０,b0,eｐs)

syms x;format ｌoｎg;

ｓyms kｋ;

u=a0+0.382*(b0－a0）；

v=ａ0+０.618*（ｂ0-ａ０）;

k=０；

a=ａ0;b=b0；

array(k+1,１)=a;ａｒｒay（k＋１,2）＝b;

ｗhile((ｂ-ａ)/(b0-a0)＞＝epｓ)

Fu＝ｓubｓ(f,kk，u）;

Fv=suｂｓ(f,kk，ｖ);

iｆ(Fｕ<=Fｖ)

b＝ｖ;

v=u;

u＝a＋０.３８2*（b-a);

ｋ=ｋ＋1;

elsｅif(Fu＞Fｖ)

a＝u;

u=v;

v=a＋0.6１８*(b-a)；

k=ｋ+1;

enｄ

arrａy（k+１，1)=a;arrａy(k+１,２）=b;

end

Minｉ＝（ａ+b)/2;

输入:

[R，ｎ］=steｅl(０,１,0.0001）

R＝ 1.99９99４1３66７6４2 ３.９９9９９1２050１463 R = 1.9９9994１36676４2 3．9９９９９１20５0146３

n＝ 1

牛顿法：

题目：f＝（x-２)＾2+(y－4)^2

M文件：

syms ｘ１x2;

f=(x1-2)^2+(x２-4)^２；

v=[x１,x２]；

df＝jacobian(ｆ,v);

ｄf=dｆ．';

G=jacobian（df，v);

ｅpｓｏｎ＝１ｅ-12;x0=［0，０]＇；g1=subs(df,{x１,x２},{x0(1,1）,x0(2，１）});G1=su ｂs(Ｇ，｛ｘ1,ｘ２｝，{x０(1,１)，x0(2，1)｝)；ｋ=０;mul_ｃoｕnt=0;sｕｍ_ｃount=0; mｕl_cｏunt=mｕl_cｏuｎｔ+1２；ｓuｍ_ｃount=ｓum_ｃouｎt+６;

ｗｈｉlｅ(nｏｒｍ(g１）>ｅpｓｏn)

p=-G1\g1;

x0=ｘ0＋p;

g1=subs(df,{x1，x2},{x0(1,1),x0(2,1)｝）;

G1=ｓｕｂｓ（G,{x1,ｘ２},{x0(1,1）,x0(2,1)}）;

k=k＋1;

mｕl＿coｕｎt＝muｌ_coｕnt+16;sｕm_coｕnt=sum_counｔ+11;

end；

ｋ

ｘ0

mｕl_ｃount

sum＿coｕnt

结果：：k= 1

x０=

２

4

ｍul_cｏunt = 28

ｓum_count = １7

共轭梯度法：

题目:f=(x－2)＾2+(y-４）^2

M文件:

ｆｕnｃtionｆ=conjugate_ｇrａd_2d（x0，t)

ｘ＝x0;

ｓymｓｘi yi a

ｆ=(xｉ-２)^2+(yi-4)^2;

ｆx=ｄiff（f,xi)；

fｙ=diff(ｆ,ｙi）;

fx=subs(fx,{ｘi,yi｝，x０)；

fy＝sｕbs（ｆy,{xi,ｙi｝,ｘ0）；

fi=［fｘ,ｆy］;

coｕnt=0；

whilｅ dｏｕble(ｓｑｒt(fｘ^2＋fｙ^2）)>t

ｓ=－fｉ；