用割补法求几何体的体积
例谈割补法求空间几何体的体积
例谈"割补法"求空间几何体的体积作者：蓝诚来源：《读写算》2012年第21期【摘要】高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂。
如果能利用"割"与"补"的方法来解决，就可以把一些不易直接计算的几何体"分割"成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，化繁为简，使思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
本文就通过具体的实例来谈谈如何利用"割补法"解决此类难题。
【关键词】分割法等体积变换底面法补形法高中教材所学到的几何体，大多都是比较特殊的几何体，比如棱柱、棱锥等体积的求法，主要利用公式法或等体积换底面积法，就可以直接解决，但是在我们在平常做练习或高考当中，又经常遇到一些难于直接计算的或是直接求，但过程非常复杂的几何体。
如果能利用"割补法"来解决，把一些不易直接计算的几何体分解成几个几何体或是补形变成我们熟悉的几何体，化难为易，使复杂多变的问题变得思路清晰简单，这样就可以达到事半功倍的效果。
下面就谈谈"割补法"解决难题具体做法。
一、分割法：就是将一个难于直接计算的几何体分割成几个易于计算的几何体，分别求出它们的体积，再将加，便得所求几何体的体积。
例1 如图，在三棱锥A-BCD中，若相对棱AB⊥CD，且AB=4，CD=3，EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线，且EF=6，求该三棱锥A-BCD的体积.分析：本题所给的条件，如果直接从正面利用公式直接去求是没有办法的，但是从EF是这两条异面直线AB、CD的公垂线出发，易知AB⊥EF，AB⊥CD，EF∩CD=F，所以知道AB⊥面ECD，这样我们就以⊿DCE为底面，高分别是AE、BE的两个小的三棱锥A-DCE和三棱锥B-DCE来计算就行，于是得下面的解答。
求体积几种求法和割补法
B1
D
A
B
V V C提1 示：利用 D1C1BD =
BC1D1D
求解。
KEY： 3 a 3
C 注意：等体积法求点面距离。
例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，
（1）BC1与侧面 ABB1A1所成的角为__4__5_o _____；
（2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
S
A F
B
E C
提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长6 为 ，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得 SC 平面ABE。利用：
VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。
解 ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA 是三棱锥 P－CED 的高，PA＝2. ∵ABCD 是正方形，E 是 AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形． AB＝1，故 CE＝ED＝ 22， S△CED＝12CE·ED＝12·22·22＝14. 故 VC－PED＝VP－CED＝13·S△CED·PA＝13·14·2＝16.
N
∴ V几何体=V三棱柱+V四棱锥
F
D
M
A
B
C
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取 点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，
求：此多面体的体积.
A1 B1
A B
解二：用分割法
D1
V V 4V C1
正四面 正 体 方体 三棱
D C
a3 416a3
“割补法”求解不规则几何体体积
“割补法”求解不规则几何体体积 我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半． 于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体 例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3． 于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=． 解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。
割补法求体积的灵活运用
割补法求体积的灵活运用
作者：梁爽
来源：《成才之路》 2013年第13期
体积在立体几何教学中占有一定的地位。
对于不规则的几何体，我们如何去求呢？其实，不规则的几何体，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后再用熟悉的方法去解决。
割补思想，是高中数学立体几何中重要的解题思想方法。
通过割补，可以将一些复杂的问题简单化。
解题时，要让学生注重一题多解，注重方法的灵活运用。
解法二：如图3，过点E、F 分别作垂直于平面ABCD的平面，交线PQ、MN 都垂直AB。
∵DC=3EF=3/2，∴PM=
割成柱体或者锥体，锥体转换底面积法求体积。
补成柱体，利用柱体和锥体体积之间的关系求解。
割补法，在求几何体的体积的题型中非常常见。
一般来说，“割”是把柱体割成锥体，“补”是把锥体补成柱体。
比如多面体可以割成柱
体和锥体，锥体可以补成柱体。
三棱锥和平行六面体，则可以用转换底面积法求体积。
解题时，要让学生注意已知条件的灵活运用。
这样，可以培养学生空间想象能力，提高学生综合素质。
（辽宁省大连市普兰店市第三十八中学）。
几何体体积求法[课资类别]
![几何体体积求法[课资类别]](https://img.taocdn.com/s3/m/a291a1d1852458fb770b56e1.png)
3. AB2 PA2 PB2,即 : PAPB,
同 理PAPC, 故PA面PBC.
A
选平面PBC 为底面,则 三棱锥的高为PA .
C D
B
又 PD PB2 BD 2 3 1 2 ,
V
1 3
SP
BC
PD
1 3
1 BC 2
PD PA
2. 3
课堂内容
4
解法三：
（割体法）取AB、AC 的中点M、N，
法三.由已知条件可知，EF∥平面ABCD，
E
则F到平面ABCD的距离为2，
将几何体变形如图，使得EG=AB，
三棱锥F-BCG的体积为：
D
1 1 32 3 3
A
32
22
1
原几何体的体积为：
3
23
3
15
2
22
F
G
C B
课堂内容
13
解：
法三：如下图所示，连接BE、CE
则四棱锥E-ABCD的体积VE-ABCD= 1 3×3×3×2=6， 3
课堂内容
16
课堂内容
2
例1 在三棱锥P ABC中, PA 1, AB AC 2, PAB
PAC BAC 60,求此三棱锥的体积.
解法一： 直接法 作直线
P
PO平面ABC于点O连接AO.
易知AO是PA的射影，且 AO是∠BAC的平分线。
由三余弦定理
A
C
O
cosPAO cosBAOcosPAO
即cos60 cosPAOcos30
E
VB APD VC APD
11aha
A
C
32
D B
课堂内容
求解空间几何体体积问题的两种途径
空间几何体的体积问题侧重于考查棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式的应用，这类问题对同学们的空间想象和逻辑推理能力有较高的要求.有些空间几何体体积问题较为复杂，很多同学不知如何求解.本文介绍两种求解此类问题的途径.一、割补图形有些几何体为不规则图形，或无法直接求得几何体的底面和高，此时直接运用棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式，很难求得几何体的体积，需将几何体进行适当的分割、填补，将其构造成规则的棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球，以便利用棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式求解.1.分割图形有些图形是由多个棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球等拼接而成的，无法直接求得几何体的底面和高，此时可采用割补法，将几何图形分割为几个简单空间几何体，如棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球，然后根据棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式分别求出分割后几何体的体积，最后把所得的结果相加，即可得到不规则几何体的体积.例1.如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=3,PA，BC的公垂线ED=2,求三棱锥P-ABC体积.图1图2解：如图2，连接PD、AD，∵PA⊥BC，ED⊥BC，ED⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，∴V P-ABC=V B-PAD+V C-PAD=13∙S△PAD∙()CD+BD=13×æèöø12×3×2×3=1，∴三棱锥P-ABC体积为1.我们无法直接运用公式求出三棱锥P-ABC的体积，于是采用割补法，通过添加辅助线，将三棱锥P-ABC分割为两个直三棱锥B-APD和C-APD,再根据直三棱锥的体积公式进行求解即可.例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为棱AA1和CC1的中点，求几何体A1-EBFD1的体积.解：连接A1F、A1B、EF、ED1、BF,由图3可知几何体A1-EBFD1被分割为三棱锥B-A1EF和三棱锥D1-A1EF两部分，图3∵△BEF≌△D1EF,∴V A1-EBFD1=V A1-BEF+V A1-D1EF=2V A1-D1EF=2V F-A1ED1=2×13×CD×S△A1ED1=16，∴几何体A1-EBFD1的体积为16.几何体A1-EBFD1为不规则几何体，需运用割补法，把该几何体分割为三棱锥B-A1EF和三棱锥D1-A1EF，然后根据锥体的体积公式求出两个三棱锥的体积，最后将所得结果相加，即可求得几何体的体积.2.填补图形有些几何体是从一个大的规则几何体中挖去一考点透视36图4图5解：如图5所示，延长ON与平面ABCD交于点P，∴VO-MNB=V O-MBP-V N-MBP，∵点N是边长CC1的中点，∴VO-MBP=2V N-MBP，∴V O-MNB=V N-MBP，由题意可得MB=5,CP=2,BP=10,72，图6图7图8是BC的中点，=90°，PM=1,CN=12BCPCMN是正方形，平面ABC，=V A-PCM=V A-MNC=V M-ACN=13×12AC∙CN sin120°∙MN考点透视考点透视图9由题意可得，。
立体几何体积的求解方法
立体几何体积的求解方法重要知识立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。
而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。
求椎体体积通常有四种方法：（1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。
（2）等体积法：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。
（3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。
典型例题方法一：直接法例1、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．例2、如图已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．方法二：等体积法例3、如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB 为正三角形．若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．例4、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．求三棱锥P﹣ACE的体积．方法三：割补法例5：如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，求几何体EFGH ABCD -的体积。
例6：四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52，求四面体ABC S -的体积。
C C例7、如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．若E 为PA 的中点，求三棱锥P ﹣BCE 的体积．例8：如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.求三棱锥A-PCD 的体积。
定积分割补法求体积
定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。
首先，我们需要理解旋转体的形成。
考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。
当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。
旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。
现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。
定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。
具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。
在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。
计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。
将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。
最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。
割补法求多面体体积
D A
问：四面体ABCD中，三组对棱分别 D 相等，且分别为BD=AC=2 5, AD=BC = 13 ,AB=CD=5,求三棱锥B-ADC的体积。
A
C1 B1
C B
B C
例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离 h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。
解：将该四棱柱补上一个三棱柱 VACDN和四棱锥VA-BCNB1 得多面体VABCD-MNB1的体积 刚好为正方体体积一半 又VA-CDN=1/3*S△NCD=1/12a3 VA-BCNB1=1/3*a*S△NCBB1 =1/4a3 故 VA- MB1ND =1/2a3-1/4a3-1/12a3 =1/6a3
E
F
H
D
C
A
G
B
例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离 h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。
E
F
G
D
C
A
B
问：EF作如图水平移动时，此多面体的体积如何变化？
（三）小结 1、有关的计算公式无法直接运用 2、条件中的已知元素彼此离散 通
则平行六面体ABB1A1-CDD1C1的 体积为aS
所以三棱柱VABC-A1B1C1=
1 aS
2
例1．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积 为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。
A B
A1 B1
C C1
解： 连CA1,CB1,
则VC-A1B1C1=
1 3
VABC-A1B1C1,
D1
a 故
体积割补法
1 体积割补法
把一个不规则的几何体通过割或补的办法，转化为一个或几个规则几何体的体积运算是常见的体积求解手段．
例1 将3个边长为12cm 的正方形沿邻边中点剪开分成两部分，将这6
个部分接在一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为 .
（2005,上海交大自招）
解 如图2所示，所得的多面体相当于将三条侧棱两两垂直的正三棱锥V ABC -截去三个
角123V ADI V BEF V CGH ---、、，这三个小三棱锥都与棱锥V ABC -相似，相似比为13
，
又18.VA VB VC === 所以多面体体积3
33111813864.63V cm ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
【评注】 本题通过把不规则几何体补成正三棱锥来解决的，如果像图3所示那样补成正方体，解法更为简单快捷，所得多面体体积正好是边长为12cm 的正方体体积的一半．
1
图 A
C
2图K
H
A
1
A 1
C 3
图。
非常好的课件利用割补法解立体几何中的问题
在△AC1B2中，有余弦定理得：
B2
cos AC1B2
AC12 C1B22 AB22 2 • AC1 • C1B2
48 65
0
∴ AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角.
其值为：arccos
48 65
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，
求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.
2. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A C
A1 C1
A2 C2
B
如图,补一个相同的直三棱柱,
连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
S 底面积： ADN
1 2
•a
•
a 2
a2 4
高：为点 M 到平面 ADN的距离 h=a
∴VA－DMN
1 3
•
a2 4
•
a
1 12
a3
V 2V ∴ 四棱锥=
A－ DMN=
1 6
a
3
4、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10， BC=AD=12，
求：四面体 ABCD 的体积.
A
D E
B
复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积
01
时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对
几何体的观察角度，以得到最佳求积法.
在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙
02
地解决很多问题.
求体积几种求法及割补法讲解
得三棱锥体积。
（KEY： ）3
注意：分割法求体积。
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。
求：此几何体的体积？
分析：
如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN.
用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱
由PB=PD=AB=AD=2知，△ABD≌△PBD,因为∠BAD=60°，
所以
BO=1,又
PO2+AO2=PA2，即
PO⊥PAOC,故AO 3,AC 2 3，
PA 6,
由(1)知BOS⊥A平PC 面 12APPOCA，C因此3，
1
11
1
VP
BCE
2 VB
APC
BO 23
S
APC
. 2
如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩ BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥,点 M 是棱 BC 的中点,DM=3.
(1)求证:平面 ABC⊥平面 MDO; (2)求三棱锥 M—ABD 的体积.
【解析】(1)∵∠BAD=60°,菱形的边长为 6, ∴OM=OD=3, ∵DM=3,∴∠DOM=90°,OD⊥OM. 又∵折叠前四边形 ABCD 是菱形,∴OD⊥AC. ∵OM∩AC=O,∴OD⊥平面 ABC.
∵OD⊂平面 MDO,∴平面 ABC⊥平面 MDO.
45o
arctan 15 5
A1 D
C1 B1
A1
C1
B1
N
M
A
C
B
A
C
B
注： （1）中利用面面垂直的性质找线面成角。 （2）中射影面积公式的应用：S△AB1M•cosα=S△ABC.
割补转化法求几何体的体积
割补转化法求几何体的体积一. “割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口,从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段。
通过对该方法的学习与探讨,使我们能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。
方法5：如图，选取BC 的中点D, 连结AD 、PD ，则BC ⊥AD 且BC ⊥PD ∴BC ⊥平面APD ∴V P －ABC ＝V B －APD ＋V C －APD ＝13BC ·S ⊿APD 例2.如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD 的点A 作载面AB 1C 1D 1而截得的，且BB 1=DD 1.已知截面AB 1C 1D 1与 底面ABCD 成30°的二面角，AB=1， 则这个多面体的体积为（ ） A ．26 B ．36C ．96D ．66例3．2003年全国卷（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π （C ）π33（D ）π6分析：本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立 方体.如图,将正四面体ABCD 补成立方体,则正四面体、立方体 的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为2,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=23,得π3＝球S .选(A).C BACDD 1DA BB 1CC 1例4、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧 棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2V B 、3VC 、4V D 、5V 例5.棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）A.87 B. 1211 C. 4847 D. 5655 例6、如图9-8-7，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，高为3，底面边长为2，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，求四棱锥A －A 1B 1ED 的体积．解：连A 1E ，则S ==∆∆∆ADE DE A E B A S S ,211141S △ABC ， 故ADE A DE A A E B A A DE A A ED B A A V V V V V -----==+=111111133＝3·31·41·43·22·3＝433． 例7．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD ，V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C例8．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。
几何体体积的 求法
1 S A1 EB a 3
点评
转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的
方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个 理论依据，相应的方法叫等积法． 四、还原图形法 此类题主要是没有直接给出几何体，而是给出了几 何体的三视图，求体积时一般需要根据三视图还原 成直观图，再进行解答．
课堂小结
【例2】已知：长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，AB=4 ，BC=2， BB1 =3，求三棱锥 B1 AD 1C 的体积
解法分析：
VB1 AD1C VABCD A1B1C1D1 VA AD B VB AD B V 1 1 1 1 1 C1 AD1 B1 VD AD1 B1
E F A C E F A C
∴V几何体=
1 V 2 三棱柱
D B
D B
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。 求：此几何体的体积？ 分析： 如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN.
E
用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱 和一个四棱锥.
一、引言
二、用割补法解决立体几何中的几类问题
1、用割补法求体积 2、用补形法求二面角
3、用补形法求异面直线所成角
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC， 且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5. 求：此几何体的体积？
分析：
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。
C
A' B'
C'
M
C
PA BC ED 例3：已知三棱锥P—ABC中， , BC
割补法在立体几何中的应用
《割补法在立体几何中的应用》学案操冬生1.观看投影：正方体的分割2.问题一：○1求棱长为2的正四面体的体积。
分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为1，则：V 正四面体＝V 正方体－4V 三棱锥＝1－31121314=⨯⨯⨯。
C C 1D 1○2求棱长为2的正四面体的外接球表面积。
○3求棱长为2的正四面体的内切球半径。
○4 求棱长为2的正四面体的内部任一点到各个面的距离之和○5.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？问题二：四面体S--ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为2 5， 13，5 ○1.求该四面体的体积。
○2.求该四面体的外接球表面积。
○3.求该四面体的内切球半径。
○4.在长方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？○5.拓展：有两个有相同内切球的多面体，其表面积之比为m:n ，它们的体积比为_____________ 问题3：○1.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为S ，AA 1到此侧面的距离是a ，求此三棱柱的体积？○2.已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。
求此三棱锥的体积。
B SAC问题4： 在高考中的应用1.（2008海南理科12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）A. 22B. 32C. 4D. 522、（2008海南理科18）如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。
关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。
特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。
那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。
空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。
本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。
由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。
针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。
② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。
一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高， 由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得 三棱锥ABC P -的体积。
【思路二】（利用直截面） 作图，证明同方法一，不求PH 的长度， 图（1） 易证BC PD ⊥,BC AD ⊥∴面PAD 是直截面 ∴BC S V PAD ABC P ⋅=∆-31故只要求出BC 和直截面PAD 的面积即可。
初看上去这道题目没什么特别，过程和思路非常清晰，但是却有很多同学在抱怨此题的难度太大？原来是PH 大小太难求了，这两种解题方法，都不可回避地需要求解PAD ∆的面积，而偏偏PAD ∆不是一个规则的三角形，PAD ∆的三边分别是3,11,4，面积求解非常麻烦。
学生的一般求法就是用余弦定理求出PAD ∠的余弦，再求正弦，然后利用PA 求得PH ，这个过程是相当复杂的，需要十分扎实的数学基础和解三角形的基本功。
难道它就没有更好的解法了吗？既然题干给出的条件是如此地强，边长和角度都十分理想，那么一般来说求解过程不会十分烦琐，我们可以这样考虑：延长PC PB ,，使2==CF BE ,这样4===PF PE PA ，又由题设ο60=∠=∠=∠BPC APC APB ，则PEF PAF PAE ∆∆∆,,都是正三角形，因此4===EF AF AE ，所以三棱锥AEF P -是正四面体。
那么就有了【思路三】 如图（2） 延长PC PB ,至F E ,，使4==PF PE ， 则三棱锥AEF P -是正三棱锥， 易证BC 是边EF 上的中位线 ∴ 21:=EF BC ∴ 41:=∆∆PEF PBC S S 又 ∵ 三棱锥PBC A -与三棱锥PEF A -∴41:=--PEF A PBC A V V ∵ABC P PBC A V V --= ∴PEF A ABC P V V --=41F又 ∵ 2316=-PEF A V 图（2） ∴23441==--PEF A ABCP V V 几乎所有的学生听完我的解法以后都有一种如释重负的感觉，原先对题目的厌恶情绪一扫而光，“原来还有这样的玄机在里面”几乎是他们每个人的感叹。
原先十分纷繁芜杂的计算题，经过巧妙的添加辅助线，补形成一个正四面体，一下子得到了相当大的简化，几乎可以说是天壤之别。
仔细地分析一下，为什么学生没有一个能想到用“增补”的方法来解决这几道立几题呢？恐怕这是和学生长期做题养成的习惯有关，缺乏对空间几何体的想象能力，特别是难以联想到我们熟悉的几何体。
目前的大多数立体几何题都有定势的解法，只要按部就班地去作图，总能够找到“理论上”可行的方法，于是很多学生在考虑问题的时候就跳不出已有的定势思维的窠臼，在原始的图上建立思考体系，尽管很多时候能够顺利解决问题，但是在遇到类似本文提到的题目的时候，缺乏随机应变的灵活性.能够想到增补法，就必须拥有扎实地立体几何基础，包括三棱锥的相关定义和正三棱锥的具体性质，以及棱锥体积公式和等高棱锥的体积关系和平行线分线段成比例定理和线段长度比例与三角形面积关系等等很多知识点。
可以这样说，能够想到用增补法解题的学生，肯定是具备相当空间想象能力的。
按照上面的思路，大部分的学生对于锥体，特别是正四面体有了新的认识，更重要的在解出本题的同时，学生的空间想象能力有了很大的提高。
很多同学通过此题的解法，能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件、性质的几何图形，思路一下子拓展了。
二、用割补法求柱体（柱体的一部分）体积例题二：如图（3），已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ， 求几何体EFGH ABCD -的体积。
图（3）分析：学生普遍感到此题难以找到突破口，平面EFGH 是倾斜的，即使过点作C底面的平行平面，把几何体分割成上下两部分，下面是长方体，体积易求，而上面还是不规则的几何体，体积仍然很难求得。
当时我就提示学生，既然分割成两部分这条路不行，还有其他的路吗？马上有同学提出补形。
我趁这时机说道，“很好。
现在请同学们把题目再读一遍。
”接着马上有同学脱口而出：“补成长方体。
”但是问题马上又出现了，可以补成无数个长方体。
我又补充到：“补形而成的长方体与所求几何体应当具有怎样的关系最佳？”于是，简洁的解法就出现了：首先通过梯形BFHD ACGE ,的中位线重合，我们可以求得9=DH , 分别延长DH CG BF AE ,,,到','','D C B A ,使得17''''====DD CC BB AA , 则我们可得8',5',9',12'====HD GC FB EA故长方体''''D C B A ABCD -的体积是几何体EFGH ABCD -的二倍。
故10217432121''''=⋅⋅⋅==--D C B A ABCD EFGH ABCD V V 波里亚说得好：“教师在课堂上讲什么当然重要。
然学生想什么更是千百倍的重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅应起一个助产婆的作用。
”教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接的反映。
思维是认知的核心成分，思维的发展水平决定着整个知识系统的结构和功能。
针对这种现象，我又设计了如下的题目让学生自己领悟割补法在求体积问题中的重要性。
三、割补法求体积有效地联系起了锥体和柱体例题三：如图（4），四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。
BCBFDFC图（4） 图（5）思路：如上图（5），把四面体ABC S -补形成一个长方体FSGC ADBE -， 三度分别是4,3,2则 8432213144324=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-=---FSC A FSGC ADBE ABC S V V V 例题四：如图（6），已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为a ，F E ,分别是棱'AA 和'CC 的中点，求四棱锥''EBFD A -的体积。
分析：本题要想直接求出四棱锥的高还是比较困难的。
但是四棱锥的底面是菱形，所以连结对角线把四棱锥分割成体积相等的两个三棱锥。
故只要求出其中一个三棱锥的体积即可。
由图（7）可知，图（6） 图（7）3'''''12122131''31a a a a D A S V V BE A BE A D BED A =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅==∆--FC3''''612a V V BED A EBFD A ==--此题与前几个例题都是用割补法，但不同的是这题是把已知的几何体分割成两个我们比较熟悉的几何体，“切生为熟” ，即培养学生从较复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中基本图形与基本元素之间的相互关系的能力；前三个例子都是补形成一个熟悉的几何体，而且这些几何体的体积都是容易求得的。
这样原几何体的体积就容易求得了。
上述几个例题都以观察、分析、认识图形性质的能力和画图能力为基础的，使学生能够不断地从日常学习生活中获得并掌握各种空间知觉和空间表象，同时也在不断地积累着各种表示空关系的词语，这一切使得他们的空间要领不断的完善和丰富起来。
使学生对于一些空间不规则的几何体的认识也达到了一个新的程度。
四、空间想象能力培养的途径由上可知，数学中的空间想象能力的培养有以下的途径：一、要有丰富的空间形式的知识，即对几何中直线、平面、空间的基本几何图形的形状、性质、关系非常熟悉，并能正确使用语言和式子加以表达.二、从不同角度、位置来观察同一几何图形，积累空间感的表象，对图形进行变式处理（即对图形割补），并注意与推理运算相结合.这样就可逐步形成对空间形式的观察、分析、抽象的能力，从而具有一定的数学空间想象能力。
【参考文献】● 傅荣强主编 ≤多面体和旋转体≥ 龙门书局出版 2001年2月 ● 冯 寅 ≤解决体积问题的三种策略≥ 数理化学习高中版 2004年第5期 ● 张亚东 ≤几何体的体积≥ 中学数学教学参考 2001年第6期此文获2004年嘉兴市三等奖。