2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用(学生版)
2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第四章 第4讲 定积分及其应用举例
2．定积分在几何中的应用：被积函数为 y＝f(x)，由曲线 y＝ f(x)与直线 x＝a，x＝b(a<b)和 y＝0 所围成的曲边梯形的面积为 S. (1)当 f(x)>0 时，S＝ f (x)dx.
a b
(2)当 f(x)<0 时，S＝－ f (x)dx.
b
(3)当 x∈[a，c]时， f(x)>0；当 x∈[c，b]时，f(x)<0， 则 S＝ f (x)dx－ f (x)dx.
y＝kx， 则由 2 y＝x －4x， x＝0， 得 y＝0 x＝k＋4， 或 y＝kk＋4.
(1)当 k＋4>0，即 k>－4 时， 面积 S＝ ＝
k 4 0
( kx－x2＋4x)dx
1 2 1 3 2k＋4 kx － x ＋2x 0 3 2
1
a
5．汽车以v＝3t＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 6.5 至第2 s间的1 s内经过的路程是______ m.
考点1 定积分的计算
例 1：①(2011 年福建) A．1
1
(e x ＋2x)dx 等于( C ) 0
1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析： (e x +2x)dx=(ex+x2)
0
π·32 9 9－x2dx＝ 4 ＝4π，选 C.
③
2
1
5 2 |1－x|dx＝____.
2 1 2
解析： |1－x|dx＝ ( 1－x)dx＋ ( x－1)dx
1 1 1
1 21 ＝x －2x －1＋ 3 5 ＝2－0＋2－1＝2.
1 2 2 x －x1 2
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编29：二项式定理一、选择题 1．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））若()()()()()()923112012311132222xx a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【 解析】令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-.令3x =,则01110a a a ++⋅⋅⋅+=,所以1110(5)5a a a +⋅⋅⋅+=-=--=,选C ．2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））51()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 （ ）A ．-20B ．—10C ．10D ．20【答案】C【解析】令1x =,可得各项系数和为5(1)(21)12a a +-=+=,所以1a =.所以555111()(21)()(21)()(12)ax x x x x x x x x+-=+-=-+-,5(12)x -的展开式的通项公式为155(2)(2)k k k k k k T C x x C +=-=-,当1k =时,125(2)10T C x x =-=-;所以展开式的常数项为1(10)10x x-⨯-=,选 C ．3 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）若2013(2)x -220130122013a a x a x a x =++++ ,则02420121352013a a a a a a a a ++++=++++（ ）A ．201320133131+-B ．201320133131+--C ．201220123131+-D ．201220123131+--【答案】B 【解析】令1=x 得01234520131a a a a a a a +++++++= ①,令1-=x 得201301234520133a a a a a a a -+-+-+-= ②,由①②联立,可得2012420a a a a ++++ 2013312+=,++31a a 52013a a ++ 2013132-=,从而02420121352013a a a a a a a a ++++++++ 20132013312132+=-201320133131+=--. 4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若4(1,)a a b +=+为有理数,则a+b=（ ）A ．36B ．46C ．34D ．44【答案】D二项式的展开式为11223344441118928C C C ++++=+++=+,所以28,16a b ==,281644a b +=+=,选 D ．5 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）二项式8(2x-的展开式中常数项是 （ ）A ．28B ．-7C ．7D ．-28【答案】C展开式的通项公式为488831881()(()(1)22k k k k k k k k x T C C x ---+==-,由4803k -=得6k =,所以常数项为6866781()(1)72T C -=-=,选C ．6 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）51()(2)x a x x+-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 （ ）A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】 .A ．7 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）设0(cos sin )a x x dx π=⎰-,则二项式26()a x x+展开式中的3x 项的系数为 （ ）A ．-20B ．20C ．-160D ．160【答案】C 因为00(cos sin )(sin cos )2a x x dx x x ππ=⎰-=+=-,所以二项式为26262()()a x x x x+=-,所以展开式的通项公式为261231662()()(2)kk k k k k k T C x C x x--+=-=-,由1233k -=得3k =,所以333346(2)160T C x x =-=-,所以3x 项的系数为160-.选C ．8 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））设a=π0⎰sin x d x ,则二项式6⎛⎝的展开式的常数项是（ ）A ．160B ．-160C ．240D ．-240【答案】B【解析】由2)cos (sin 00=-=⎰ππx xdx ,所以2=a ,所以二项式为6)12(xx -,展开式的通项为22666661)1(2)1()2(k k kk k k k k k xxC xx C T ----+-=-=k k k k x C ---=366)1(2,所以当3=k ,为常数,此时160)1(23336-=-C ,选B ．9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ,则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为 （ ）A ．15B ．15-C ．30D ．30-【答案】A 因为函数()|2||4|f x x x =++-的最小值为4(2)6--=,即6n =.展开式的通项公式为6621661()(1)k k k k k k k T C x C x x--+=-=-,由622k -=,得2k =,所以222236(1)15T C x x =-=,即2x 项的系数为15,选A ．10．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为（ ）A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-【答案】A11．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）(82展开式中不含．．4x项的系数的和为（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】C12．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）设22(13)40a x dx =-+⎰,则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是（ ）A ．160-B ．160C ．161D ．161-【答案】C13．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10,则实数a 等于 （ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2【答案】D14．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）若2012(3)nnn x a a x a x a x -=++++ ,其二项式系数的和为16,则012n a a a a ++++=（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B15．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）若()()()()()()923112012311132222x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+⋅⋅⋅+-,则1211a a a ++⋅⋅⋅+的值为 （ ）A ．0B ．5-C ．5D ．255【答案】C【解析】令3x =,则有012110a a a a +++⋅⋅⋅+=,令2x =,则290(21)(23)5a =+-=-,所以121105a a a a ++⋅⋅⋅+=-=,选C ．二、填空题16．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3=______________.【答案】8017．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若261()xax -的二项展开式中3x 项的系数为52,则实数a =_______.【答案】-218．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）若31()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512,则该展开式中3x 的系数为______.【答案】84;19．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013滨州市一模)设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】-160词 【解析】,3,2)1(,)12()1(,2|)cos (sin 36616600=∴-=-=-∴=-==--+⎰r x C T x x x x a x dx x a r r r r r ππ所以常数项为-160.20．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）8(2x -的展开式中,常数项为___________. 【答案】7展开式的通项公式为488831881()((1)()22k k k k k k kk x T C C x ---+==-,由4803k -=,解得6k =,所以常数项为226781(1)()72T C =-=.21．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若(x 2-nx)1的展开式中含x 的项为第6项,设(1-3x)n=a o +a 1x+a 2x 2++a n x n,则a l +a 2++a n 的值为_____________ 【答案】255展开式(x 2-n x )1的通项公式为22311()()(1)k n k k kk n k k n n T C x C x x--+=-=-,因为含x 的项为第6项,所以5,231k n k =-=,解得8n =,令1x =,得88018(13)2a a a +++=-= ,又01a =,所以81821255a a ++=-= .22．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）二项式)10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是____________. 【答案】523．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）在62(x )x-的二项展开式中,常数项等于_______. 【答案】 【答案】160- 展开式的通项公式为6621662()(2)k k k k k kk T C x C x x--+=-=-,由620k -=,得3k =,所以3346(2)160T C =-=-,即常数项为160-.24．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）设dx x )12(20-⎰,则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为__________.___【答案】2425．（2011年高考（山东理））若62(x x -展开式的常数项为60,则常数a 的值为_________.【答案】解析:6(x 的展开式616(k k k k T C x -+=636(kk C x -=,令630,2,k k -==226(1560,4C a a ===,答案应填:4.26．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）25(ax的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为 【答案】10【解析】因为展开式中各项系数的和为243,所以当1x =时,5(1)243a +=,解得2a =,展开式的通项公式为5102552155(2)2k kkk k kk T C x C x ---+==,由51002k -=,解得4k =,所以常数项为455210T C =⨯=.27．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项等于______(用数字作答). 【答案】1215展开式的通项公式为666316621(3)()3kk k k k kk T C x C x x---+==,由630k -=得2k =,所以常数项为423631215T C ==.28．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）设6sin (a xdx,π=⎰则二项式的展开式中的常数项等于________.【答案】160-00sin =cos 2a xdx x ππ=-=⎰,所以二项式的展开式为663166(((1)2k k kk k k k k T C C x ---+==-⋅⋅,由30k -=时,3k =,所以常数项为33346(1)2160T C =-⋅=-.29．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是_________.【答案】180。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编29：算法初步(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编29：算法初步（教师版）填空题错误！未指定书签。
．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）已知某算法的流程图如下图所示,则输出的结果是______________.【答案】5错误！未指定书签。
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）右图是一个算法流程图,则输出的S 的值是____.【答案】58; 错误！未指定书签。
．（2010年高考（江苏））右图是一个算法的流程图,则输出S 的值是_____________【答案】63 错误！未指定书签。
．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）阅读右侧程序框图,输出的结果i 的值为_______.（第3题图）【答案】7错误！未指定书签。
．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）右图是一个算法流程图,则输出的S 的值是______.【答案】2400错误！未指定书签。
．（2011年高考（江苏卷））根据如图所示的伪代码,当输入b a ,分别为2,3时,最后输出的m 的值是________【答案】【命题立意】本题主要考查算法的基本概念,选择结构对应分段函数. 3．【解析】本小题算法的功能是输入两个数,输出其中较大的一个.错误！未指定书签。
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）根据如图所示的伪代码,最后输出的S 的值为____.（第3题）,Pr int Read a bIf a b Then m a Else m bEnd If m>←←(第4题)【答案】145错误！未指定书签。
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）根据右图所示的流程图,输出的结果T 为_____.【答案】712错误！未指定书签。
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）右图是一个算法流程图,其输出的n 的值是_____.（第6题）。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2..12定积分
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理<一）定积分的计算<利用定义）1、相关链接<1）由定积分定义求定积分的步骤为①分割；②近似代替；③求和；④取极限。
<2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即②定义中区间的分法和的取法都是任意的。
③在定积分的定义中，限定下限小于上限，即a<b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：=，=0。
ifQuvZeOR72、例题解读〖例1〗用定积分的定义计算定积分的值。
分析：n等分区间[a,b]近似代替求和取极限解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x0<x1<x2<…<xi+1<xi<…<xn=b,取ξi=,显然，作和式ifQuvZeOR7于是，即〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积解读：<1）分割用分点将区间[1，2]等分成个小区间，如图所示，每个区间的长度为Δx=,过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作<2）近似代替取各小区间的左端点记为，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积代替第i个小曲边梯形的面积，可近似地表示为ifQuvZeOR7<3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即ifQuvZeOR7…………………………①<4）取极限当分点数目越多，即Δx越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD的面积S，当，即Δx0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。
ifQuvZeOR7<二）定积分的计算<利用微积分基本定理）1、相关链接<1）求函数f(x>在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x>的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x>进行变形。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：2.13定积分与微积分基本定理Word版含答案
积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112B.14C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C. 答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限．(3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e xd x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋\a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d xmax ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B.答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5. 答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．411 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16.答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.答案：1.2。
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山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编30：定积分 一、选择题 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）若,则的大小关系为B．C．D． 【答案】B ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若实数则函数的图象的一条对称轴方程为B．C．D． 【答案】B ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知,若,则=（ ） A．1B．-2C．-2或4D．4 【答案】D ．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）若,,则的大小关系为 . . . . 【答案】B ．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）曲线与围成的封闭区域的面积是1B．C．D． 【答案】C ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为（ ） A．B．C．D． 【答案】D． ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为B．C．D．【答案】D二、填空题 ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）若在R上可导,,则____________. 【答案】-18 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）=_________________. ( ) 【答案】 ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）_________.【答案】7 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题） ____________. 【答案】 ．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设(其中e为自然对数的底数),则的值为_________. 【答案】 ．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）设 ,若,则_______. 【答案】1因为,=,所以,. ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）__________. 【答案】1 ．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）若函数f(a)=(2+sin x)dx,则f等于_________ 【答案】(+1 ．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）若,则的值是___★___. 【答案】2 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）由曲线y和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________; 【答案】1/3 ．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）曲线所围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）由直线所围成的封闭图形的面积为__________. 【答案】 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线与直线围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数与的图像所围成的阴影部分的面积为,则__________. 【答案】3 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）由曲线、直线以及所围成的图形面积是________. 【答案】。
【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《定积分与微积分基本定理》1Word版含解析
定积分与微积分基本定理(时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．∫π20(x －sin x)d x 等于( )A .π24－1B .π28－1 C .π28 D .π28＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－aaf(x)d x ＝2⎠⎛0a f （x ）d xC ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛ab f(x)d x>0D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛ab f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x<1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f(x)d x ＝( )A .83B ．2C .43D .134．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .12 C ．1 D ．2能力提升5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .7127．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J8．若y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．09．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝⎛⎭⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝________．10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________．11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．12．(13分)计算下列定积分：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ；(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛01()e x －e －x 2d x.难点突破13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．课时作业(十六)【基础热身】1．B [解析] ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1.2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得．3．C [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x 3 ⎪⎪⎪ )10＋x⎪⎪⎪ )21＝43. 4．B [解析] 如图，所围图形面积A ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x ＝2⎝⎛⎭⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝⎛⎭⎫12－14－0＝12.【能力提升】5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：S ＝⎪⎪⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝ )⎪⎪⎪ )sin x⎪⎪⎪ )π3－π3⎪⎪⎪ )＝⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝3， 故选D .6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k ＝100，则W ＝⎠⎛0.06100x d x ＝50x2⎪⎪⎪ )0.060＝0.18(J )．8．B [解析] y ＝⎠⎛0x(sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠⎛0xsin t d t ＋12⎠⎛0x sin 2t d t ＝(－cos t)⎪⎪⎪ )x 0＋12⎝⎛⎭⎫－12cos 2t⎪⎪⎪ )x0 ＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛01⎝⎛⎭⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝8π⎠⎛011－x 2d x ＋2⎠⎛013x 2d x ＝8π×π4＋2×x 3⎪⎪⎪ )10＝4. 10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ， x ≤0得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋a 3， x ≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3＝1，∴a ＝1. 11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y ＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝23(x＋1)3⎪⎪⎪ )1－1＝163.12．解：(1)⎠⎛3π1－cos 2x d x ＝⎠⎛3π2sin 2x d x ＝2⎠⎛3π⎪⎪⎪ )sin x⎪⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π3πsin x d x＝－2cos x ⎪⎪⎪ )π0＋2cos x ⎪⎪⎪ )2ππ－2cos x⎪⎪⎪ )3π2π＝22＋22＋22＝6 2.(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ＝⎠⎛011x ＋1－1x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)⎪⎪⎪ )10＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －2⎠⎛121d x ＋⎠⎛121xd x ＝12x 2 ⎪⎪⎪ )21－2x ⎪⎪⎪ )21＋ln x⎪⎪⎪ )21＝⎝⎛⎭⎫2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－12. (4)⎠⎛01(e x－e －x)d x ＝⎠⎛01(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x)⎪⎪⎪ )10＝e ＋1e －2. 【难点突破】13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2－1)， 设切点Q 的坐标为(x ，x 2)，由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x 2a －x＝2x ，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)S ＝⎠⎛a －1a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠⎛aa ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.12定积分
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理 （一）定积分的计算（利用定义） 1、相关（1）由定积分定义求定积分的步骤为 ①分割； ②近似代替； ③求和； ④取极限。
（2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰②定义中区间的分法和i ξ的取法都是任意的。
③在定积分的定义中，()baf x dx ⎰限定下限小于上限，即a<b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：()baf x dx ⎰=()a bf x dx -⎰，()aaf x dx ⎰=0。
2、例题解析〖例1〗用定积分的定义计算定积分21badx x ⎰的值。
分析：n 等分区间[a,b]→近似代替→求和→取极限解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x 0<x 1<x 2<…<x i+1<x i <…<x n =b,取ξi=1(0,1,2,,1)i i x x i n +=-,显然1[,]i i i x x ξ+∈，作和式111001111111()(),n n n i i i i i i ii S x x x x x x a b --+==++=-=-=-∑∑于是11lim n n S a b →∞=-，即2111b a x a b=-⎰〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x 3围成的图形的面积 解析：（1）分割用分点12(1),,n n n n n n n+++-将区间[1，2]等分成个n 小区间，如图所示1121(1)[1,],[,],,[,],,[,2]n n n n i n i n n n n n n n n ++++-++-，每个区间的长度为 Δx=11n i n i n n n ++--=,过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作12,,,.n s s s ∆∆∆（2）近似代替取各小区间的左端点记为i ξ，用以点i ξ的纵坐标3i ξ为一边，以小区间长1x n∆=为其邻边的小矩形面积代替第i 个小曲边梯形的面积，可近似地表示为3311(1,2,,).i i n i S x i n n n ξ+-⎛⎫∆≈∆== ⎪⎝⎭（3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即311111()n n ni i i i i n i S S x n nξ===+-=∆≈∆=∑∑∑…………………………① （4）取极限当分点数目越多，即Δx 越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD 的面积S ，当n →∞，即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积。
高三数学(理)人教版一轮训练：第二篇第12节定积分的概念及简单应用
第12节定积分的概念及简单应用【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·广东深圳一模)定积分x2dx等于( B )(A)0 (B) (C)1 (D)2解析:定积分x2dx=x3︱= (1+1)=,故选B.2.(2017·广州天河区三模)设f(x)=则f(x)dx的值为( A )(A) + (B) +3(C) + (D) +3解析:根据定积分性质可得f(x)dx=()dx+(x2-1)dx,根据定积分的几何意义,()dx是以原点为圆心,以1为半径圆面积的一半,()dx=,(x2-1)dx=(x3-x)︱=,所以f(x)dx=+,故选A.3.下列4个不等式:(1)dx<dx;(2)sin xdx<cos xdx;(3)e-x dx<dx;(4)sin xdx<xdx.能够成立的个数是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:(1)由于x∈(0,1),所以0<<,所以dx<dx;(2)因为x∈[0,],所以0<sin x<cos x,所以sin xdx<cos xdx;(3)因为0<e-x<,所以e-x dx<dx;(4)令f(x)=x-sin x,x∈[0,2],则f′(x)=1-cos x≥0,所以sinxdx<xdx.综上可得,正确的命题有4个.故选D.4.用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是( D )(A)f(x)dx(B)(C)f(x)dx+f(x)dx(D)f(x)dx-f(x)dx解析:由定积分的几何意义知,区域内的曲线与x轴的面积代数和,即f(x)dx-f(x)dx,故选D.5.(2017·山西临汾二模)一物体A以速度v(t)=t2-t+6沿直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是( C )(A)26.5 (B)53 (C)31.5 (D)63解析:由题意可得,在t=1和t=4这段时间内物体A运动的路程是S=(t2-t+6)dt=(t3-t2+6t)︱=(-8+24)-( -+6)=31.5,故选C.6.(2017·江西湛江二模)曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( B )(A)2-ln 2 (B)2ln 2-(C)2+ln 2 (D)2ln 2+解析:如图,求阴影部分面积,联立方程组解得x=2,y=1,则曲线y=与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=(-x+1)dx=(2ln x-x2+x)︱=(2ln 2-2+2)-(0-+1)=2ln 2-,故选B.7.(2017·安徽三模)(sin x-acos x)dx=-,则实数a等于( B )(A)1 (B) (C)-1 (D)-解析:(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)︱=--a+1,所以--a+1=-,所以a=,故选B.8.(2017·长春二模)( +x)dx= .解析:( +x)dx=(ln x+x2)︱=ln e+e2-(ln 1+)=e2+.答案: e2+9.(2017·广东番禺区一模)定积分(+x)dx的值为.解析:根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的,所以dx=,又xdx=︱=,所以(+x)dx=dx+xdx=+.答案: +能力提升(时间:15分钟)10.(2017·山东潍坊一模)已知函数f(x)=f′(1)x2+x+1,则f(x)dx 等于( B )(A)- (B) (C) (D)-解析:因为f′(x)=2f′(1)x+1,所以f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1,所以f(x)=-x2+x+1,所以f(x)dx=(-x3+x2+x)︱=,故选B.11.(2017·广西南宁二模)定义min{a,b}=设f(x)=min{x2, },则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( C )(A) (B) (C) +ln 2 (D) +ln 2解析:由=x2,得x=1,又当x<0时, <x2,所以,根据新定义有f(x)=min{x2, }=图象如图,所以,由函数f(x)的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分,其面积S=x2dx+dx=x3︱+ln x︱=+ln 2,故选C.12.(2017·山东德州一模)若不等式|x-2|+|x-3|<3的解集是{x|a<x<b},则(-1)dx等于( C )(A) (B) (C) (D)3解析:|x-2|+|x-3|表示数轴上的x对应点到2,3对应点的距离之和, 而1和4对应点到2,3对应点的距离之和正好等于3,故|x-2|+|x-3|<3的解集是{x|1<x<4},所以a=1,b=4,则(-1)dx=(-1)dx=(-x)︱=(-4)- (-1)=, 故选C.13.在平面直角坐标系内,直线l:2x+y-2=0,将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周,所得几何体的体积为.解析:法一由题意可知,V=π(-1)2dy,所以V=π(y3-y2+y)︱=.法二由题意可知绕y轴旋转,形成的是以1为半径,2为高的圆锥, 则V=·π×12×2=.答案:π14.(2017·山东潍坊三模)如图,已知函数y=2kx(k>0)与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为,则实数k的值为.解析:直线方程与抛物线方程联立解得x=0,x=2k,得到积分区间为[0,2k],由题意得(2kx-x2)dx=(kx2-x3)︱=4k3-k3=, 即k3=8,解得k=2.答案:2。
高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案(带答案)
高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案（带答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课件www.5y 学案16 定积分及其简单的应用导学目标：1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′＝f的F，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．自主梳理．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f连续且恒有f≥0，那么函数f在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质ʃbakfdx＝__________________；ʃba[f1±f2]dx＝_____________________________________；ʃbafdx＝_______________________________________.3．微积分基本定理一般地，如果f是区间[a，b]上的连续函数，并且F′＝f，那么ʃbafdx＝F－F，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F－F记成__________________，即ʃbafdx＝F|ba＝F－F．4．定积分在几何中的应用当x∈[a，b]且f>0时，由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f围成的曲边梯形的面积S＝__________________.当x∈[a，b]且f<0时，由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f围成的曲边梯形的面积S＝__________________.当x∈[a，b]且f>g>0时，由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f，y＝g围成的平面图形的面积S＝______________________.若f是偶函数，则ʃa－afdx＝2ʃa0fdx；若f 是奇函数，则ʃa－afdx＝0.5．定积分在物理中的应用匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v[v≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．变力做功公式一物体在变力F的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b，则力F所做的功w＝__________________________.自我检测．计算定积分ʃ503xdx的值为A.752B．75c.252D．252．定积分ʃ10[1－x－12－x]dx 等于A.π－24B.π2－1c.π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是A．23B．2－3c.323D.3534．ʃ421xdx等于A．－2ln2B．2ln2c．－ln2D．ln25．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.探究点一求定积分的值例1 计算下列定积分：；；ʃπ0dx；ʃ20|x2－1|dx.变式迁移1 计算下列定积分：ʃ2π0|sinx|dx；ʃπ0sin2xdx.探究点二求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y＝12x2和y＝3－2所围成的平面图形的面积S.变式迁移2 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．探究点三定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．变式迁移3 A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中c点，这一段速度为1.2tm/s，到c点时速度达24m/s，从c点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为m/s，在B点恰好停车，试求：A、c间的距离；B、D间的距离；电车从A站到B站所需的时间．函数思想的应用例在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．【答题模板】解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y ＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t•t2－ʃt0x2dx＝23t3.[2分]S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝ʃ1tx2dx－t2＝23t3－t2＋13.[4分]所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13．[6分] 令S′＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.[8分]t＝0时，S＝13；t＝12时，S＝14；t＝1时，S＝23.[10分]所以当t＝12时，S最小，且最小值为14.[12分]【突破思维障碍】本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．．定积分ʃbafdx的几何意义就是表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ204－x2dx＝π，ʃ2－24－x2dx＝2π.2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′＝f的F；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．一、选择题．下列值等于1的积分是A．ʃ10xdxB．ʃ10dxc．ʃ1012dxD．ʃ101dx2．设函数f＝x2＋1，0≤x≤1，3－x，1<x≤2，则ʃ20fdx等于A.13B.176c．6D．173．已知f为偶函数且ʃ60fdx＝8，则ʃ6－6fdx 等于A．0B．4c．8D．164．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为A．ʃπ20dxB．2ʃπ40dxc．ʃπ20dxD．2ʃπ40dx5．函数f＝ʃx0tdt在[－1,5]上A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值－323c．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值题号2345答案二、填空题6．若1N的力使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力做的功为__________j.7．ʃ10dx＝2，则k＝________.8．若f在R上可导，f＝x2＋2f′x＋3，则ʃ30fdx ＝________.三、解答题9．计算以下定积分：ʃ212x2－1xdx；ʃ32x＋1x2dx；ʃπ30dx；ʃ21|3－2x|dx.0．设y＝f是二次函数，方程f＝0有两个相等的实根，且f′＝2x－2.求y＝f的表达式；求y＝f的图象与两坐标轴所围成图形的面积．1．求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．答案自主梳理．x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f 面积2．kʃbafdx ʃbaf1dx±ʃbaf2dxʃcafdx＋ʃbcfdx3.微积分基本定理F|ba4.ʃbafdx－ʃbafdxʃba[f－g]dx5.s＝ʃbavdt ʃbaFdx自我检测．A 2.A 3.c 4.D5．±3解析由y＝x2＋k2，y＝2kx.得2＝0，即x＝k，所以直线与曲线相切，如图所示，当k>0时，S＝ʃk0dx＝ʃk02dx＝133|k0＝0－133＝k33，由题意知k33＝9，∴k＝3.由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.课堂活动区例1 解题导引与绝对值有关的函数均可化为分段函数．①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．f是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则ʃa－afdx＝2ʃa0fdx.解ʃe1x＋1x＋1x2dx＝ʃe1xdx＋ʃe11xdx＋ʃe11x2dx＝12x2|e1＋lnx|e1－1x|e1＝12＋－1e－11＝12e2－1e＋32.ʃπ20dx＝ʃπ20sinxdx－2ʃπ20cosxdx＝|π20－2sinx|π20＝－cosπ2－－2sinπ2－sin0＝－1.ʃπ0dx＝2ʃπ0sinxdx－3ʃπ0exdx＋ʃπ02dx＝2|π0－3ex|π0＋2x|π0＝2[－]－3＋2＝7－3eπ＋2π.∵0≤x≤2，于是|x2－1|＝x2－1，1<x≤2，1－x2，0≤x≤1，∴ʃ20|x2－1|dx＝ʃ10dx＋ʃ21dx＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.变式迁移1 解∵′＝sinx，∴ʃ2π0|sinx|dx＝ʃπ0|sinx|dx＋ʃ2ππ|sinx|dx＝ʃπ0sinxdx－ʃ2ππsinxdx＝－cosx|π0＋cosx|2ππ＝－＋＝4.ʃπ0sin2xdx＝ʃπ012－12cos2xdx＝ʃπ012dx－12ʃπ0cos2xdx＝12x|π0－1212sin2x|π0＝π2－0－1212sin2π－12sin0＝π2.例2 解题导引求曲线围成的面积的一般步骤为：作出曲线的图象，确定所要求的面积；联立方程解出交点坐标；用定积分表示所求的面积；求出定积分的值．解作出函数y＝12x2和y＝3－2的图象，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．解方程组y＝12x2，y＝3－x－12，得x＝－23，y＝29或x＝2，y＝2.所以两曲线交点为A－23，29，B．所以S＝ʃ2－23[3－2]dx－ʃ2－2312x2dx＝ʃ2－23dx－ʃ2－2312x2dx＝－13x3＋x2＋2x2－23－16x32－23＝－83＋4＋4－881＋49－43－16×8＋827＝42027.变式迁移2 解如图，设f＝x＋3，g＝x2－2x＋3，两函数图象的交点为A，B，由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3.得x＝0，y＝3或x＝3，y＝6.∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积S＝ʃ30[f－g]dx＝ʃ30[－dx]＝ʃ30dx＝－13x3＋32x2|30＝92.故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 解题导引用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s 求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解方法一由速度—时间曲线易知．v＝3t，t∈[0，10，30，t∈[10，40，－1.5t＋90，t∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s＝ʃ1003tdt＋ʃ401030dt＋ʃ6040dt ＝32t2|100＋30t|4010＋－34t2＋90t|6040＝1350．答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.方法二由定积分的物理意义知，汽车1min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，∴s＝12×30＝12××30＝1350．答此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.变式迁移3 解设v＝1.2t，令v＝24，∴t＝20.∴A、c间距离|Ac|＝ʃXX.2tdt＝|200＝0.6×202＝240．由D到B时段的速度公式为v＝m/s，可知|BD|＝|Ac|＝240．∵|Ac|＝|BD|＝240，∴|cD|＝7200－240×2＝6720．∴c、D段用时672024＝280．又A、c段与B、D段用时均为20s，∴共用时280＋20＋20＝320．课后练习区．D 2.B 3.D 4.D 5.B6．0.36解析设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F＝kx，则1＝k×0.02，∴k＝50，∴F＝50x，伸长12cm时克服弹力做的功w＝ʃ0.12050xdx＝502x2|0.120＝502×0.122＝0.36．7．1解析∵ʃ10dx＝2k＋1xk＋1＋x10＝2k＋1＋1＝2，∴k＝1.8．－18解析∵f′＝2x＋2f′，∴f′＝4＋2f′，即f′＝－4，∴f＝x2－8x＋3，∴ʃ30fdx＝13×33－4×32＋3×3＝－18.9．解函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，所以ʃ212x2－1xdx＝23x3－lnx21＝163－ln2－23＝143－…ʃ32x＋1x2dx＝ʃ32x＋1x＋2dx＝12x2＋lnx＋2x32＝92＋ln3＋6－＝ln32＋92.…………………………………………………………………………………函数y＝sinx－sin2x的一个原函数为y＝－cosx＋12cos2x，所以ʃπ30dx＝－cosx＋12cos2xπ30＝－12－14－－1＋12＝－14.……………………………………………………………＝|321＋|232＝12.…………………………………………………………0．解设f＝ax2＋bx＋c，则f′＝2ax＋b.又f′＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f＝x2－2x＋c.………………………………………………又方程f＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f＝x2－2x＋………依题意，所求面积S＝ʃ10dx＝13x3－x2＋x|10＝13.……………………………………………………………………1．解画出直线x＝－ln2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由y＝e－1，y＝ex－1，解得B．由x＝－ln2，y＝ex－1，解得A－ln2，－12.…………………………………………………此时，c，D．所以S＝S曲边梯形BcDo＋S曲边三角形oAD＝ʃ1－ln2dx－ʃ10dx0－ln2ex－1dx………………………………………＝x|1－ln2－|10＋||0－ln2|………………………………………………＝－＋|e0－|＝－＋ln2－12＝eln2＋12.……………………………………………………………………………课件www.5y。
高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用(教师版)
2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分嘚计算及其应用一、选择题1 ．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷)求由曲线y x =-,直线2y x =-+及y 轴所围成嘚图形嘚面积错误嘚为 （） A ．4(2)x x dx -+⎰B ．4xdx ⎰C ．222(2)y y dy ---⎰D ．022(4)y dy --⎰【答案】C ．2 ．(江西重点高中协作体第二次联考理科)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=)2(,0)23(,4)3(,1)(2x x x x x f ,则dx x x f ])([21+⎰-嘚值为（） A ．3332++πB ．2353++πC ．2333++πD ．3352++π【答案】C ．3 ．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(理科))如图,已知幂函数y x α=嘚图像过点(2,4)P ,则图中阴影部分嘚面积等于2POxy （） A ．163 B ．83C ．43D ．23【答案】C ．4 ．(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =嘚图象如图所示,则它与x 轴所围图形嘚面积为（）A．2π5B ．43C．32D．π2【答案】解析:根据图像可得: 2()1y f x x==-+,再由定积分嘚几何意义,可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x--=-+=-+=⎰.5 ．(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1嘚正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分嘚概率为（）A．14B．15C．16D．17【答案】【答案】C【解析】31221211()()1326S x x dx x x S=-=-==⎰正阴影,故16P=,答案C6 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）函数嘚图象与x轴所围成嘚封闭图形嘚面积为（）A．B．1 C．2 D．【答案】A【解析】根据积分嘚应用可求面积为22110()(1)cosS f x dx x dx xdxππ--==++⎰⎰⎰1-yxO第3题图112021113()sin 1222x x xπ-=++=+=,选（） A ．7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若120()d 0x mx x +=⎰,则实数m 嘚值为（） A ．13-B ．23- C ．1- D ．2-【答案】B ．8 ．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线2(22)yx x ≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示嘚旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体嘚一个面恰好与旋转体嘚开口面平齐，则此正方体嘚体积是 （ ）A ．1B ．8C ．82D ．162【答案】B9 ．(陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题)如图,设D 是图中边长为4嘚正方形区域,E 是D 内函数y=x 2图象下方嘚点构成嘚区域.向D 中随机投一点,则该点落入E 中嘚概率为（） A ．51 B ．41 C ．31 D ．21 【答案】C ．10．(东北四校2012届高三第一次高考模拟考试数学(理)试题)若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰,则a 嘚值是 （） A ．2 B ．3 C ．4D ．6【答案】（） A ．11．(2013湖北高考数学(理))一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 嘚单位:s ,v 嘚单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶嘚距离(单位;m )是 （）A ．125ln5+B ．11825ln3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+ 【答案】 C 解:令 ()257301v t t t=-+=+,则4t =.汽车刹车嘚距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰,故选 C ． 12．（2013北京高考数学（理））直线l 过抛物线C: x 2=4y 嘚焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成嘚图形嘚面积等于 （） A ．43B ．2C ．83D ．1623【答案】Cl 嘚方程是1y =,所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值:2222008424()4123x x S dx =-=-=⎰. 二、填空题13．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）1e d x x =⎰___________.【答案】e 1-14．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）由曲线x y =,直线2-=x y 及y 轴所围成嘚图形嘚面积为______________.【答案】16 3【解析】由==2y xy x⎧⎪⎨-⎪⎩,解得4=2xy=⎧⎨⎩,即(4,2)B,所以所求面积为342422116[(2)](2)323x x dx x x x--=-+=⎰15．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））计算e11(2)dx xx+=⎰____________.【答案】e216．(2013湖南高考数学(理))若29,Tx dx T=⎰则常数的值为_________.【答案】 3 解: 3933332=⇒===⎰TTxdxxTT17．(2012年高考(江西理))计算定积分121(sin)x x dx-+=⎰___________.【答案】23【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分嘚应用.31211111112(sin)cos|cos1cos1333333xx x dx x--⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.18．(福建省龙岩市高中毕业班数学3月质量检查(理科))设函数2()(0)f x ax c a=+≠,若1()()f x dx f x=⎰, 其中001x<<,则x=________.【答案】π19．(2012年高考(山东理))设0a>.若曲线y x=与直线,0x a y==所围成封闭图形嘚面积为2a,则a=______.【答案】【解析】由已知得22323032|32aaxxS aa====⎰,所以3221=a,所以94=a. 20．(湖北黄冈中学高三五月模拟)函数1)(23++-=xxxxf在点)2,1(处嘚切线与函数2)(xxg=围成嘚图形嘚面积等于_________.【答案】4321．(2012年石景山区高三数学一模理科)如图,圆222:O x yπ+=内嘚正弦曲线siny x=与x轴围成嘚区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内嘚概率是_________.【答案】34π22．(2012年高考(上海文))已知函数)(xfy=嘚图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(21,1),C(1,0).函数)10()(≤≤=xxxfy嘚图像与x轴围成嘚图形嘚面积为_______ .【答案】[解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,22,2)(2121xxxxxf,所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,22,2)(212212xxxxxxxfy,易知,y=xf(x)嘚分段解析式中嘚两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP嘚面积S=412121=⨯. 23．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）图中阴影部分嘚面积等于．【答案】1xyABC11图1(O)NxyO DM1P图2解：根据积分应用可知所求面积为1231031x dx x ==⎰。
(整理)高考数学第一轮复习 定积分.
第4讲 定积分的概念与微积分基本定理【2014年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程． 【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．设阴影部分面积为S .①S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ②S ＝－⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ③S ＝⎠⎜⎜⎛ac f (x )d x －⎠⎜⎜⎛cb f (x )d x ；④S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x －⎠⎜⎜⎛ab g (x )d x ＝ ⎠⎜⎜⎛ab[f (x )－g (x )]d x .(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即 s ＝⎠⎜⎜⎛ab v(t)d t .三条性质(1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 双基自测2．(2011·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D.3 解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π30＝ 3.答案 D双基自测1．(2011·福建)⎠⎜⎜⎛01(e x＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1解析 ⎠⎜⎜⎛01(e x＋2x )d x ＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)10＝(e ＋1)－1＝e. 答案 C3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 ( )．A.112B.14C.13D.712 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112. 答案 A4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．A.1πB.2πC.π4D.3π考向一 定积分的计算【例1】 计算下列积分解析 阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π. 概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A.答案 A 5．(人教A 版教材习题改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．解析 s ＝⎠⎜⎜⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫32t 2＋2t 21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．答案 6.5 m当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．(5)由y ＝x cos x －5sin x 为奇函数⎠⎜⎜⎛－11(x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ ⎪⎪⎪⎠⎛1－12d x ＝2x 1－1＝4. (1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则 ＝0.考向二 利用定积分求面积【例2】 求下图中阴影部分的面积．[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．解 解方程组⎩⎨⎧y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝8y ＝4S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2＝2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3280＋2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3220－6＝18.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136.考向三 定积分的应用【例3】 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置； (2)在t ＝4 s 内运动的路程．[审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数． 解 (1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m)，即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为 S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10＋|⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31|＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 43＝43＋43＋43＝4 (m)， 即质点在4s 内运动的路程为4 m.由s ＝v 0t ＋12at 2通过求导可推出v ＝v 0＋at ，反之根据积分的几何意义，由v ＝v (t )(v (t )≥0)可求出t ∈[a ，b ]时间段内所经过的路程．【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )．A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解析 可观察出曲线v 甲，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积大于曲线v 乙，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积，故选A. 答案 A难点突破8——积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．一、积分的几何意义【示例】►已知r>0，则－r r2－x2d x＝________.⎠⎛r二、积分与概率【示例】►(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M 取自阴影部分的概率为__________．。
2014届高考数学湘教版(理)一轮复习第三篇第4讲《定积分与微积分基本定理》
第4讲 定积分与微积分基本定理A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)1．(2013·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )． A ．0B ．4C ．8D ．16解析 因为f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16. 答案 D2．(2013·垫江模拟)已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛2－1f (x )d x 等于( )． A ．3B ．4C.72D.92解析 f (x )＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴⎠⎛2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 答案 C3．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )．A.13B.43 C ．2D.83解析 由导函数f ′(x )的图象可知函数f (x )为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，由f (0)＝0，得c ＝0.f ′(x )＝2ax ＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有⎩⎨⎧ 2a ×(－1)＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝⎠⎛0－2(－x 2－2x )d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 20－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43. 答案 B 4．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，即a ＝2.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t ＝________. 解析 ⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )⎪⎪⎪t0＝t 2－t ＝6，解得t ＝3(t ＝－2舍去)． 答案 36．(2012·山东)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 S ＝⎠⎛0a x d x ＝⎪⎪⎪23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.答案 49三、解答题(共25分)7．(12分)已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x 的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx ⎪⎪⎪10＝12a ＋b .∴12a ＋b ＝5.①又⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2⎪⎪⎪10＝13a ＋12b . ∴13a ＋12b ＝176.②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， ∴⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21＝4＋3ln 2.8．(13分)如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值． 解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16.又抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为 x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.16B.13C.56D.23解析 在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x 2＋2x ＝x ，解得两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，封闭图形的面积为S ＝ ⎠⎛0－1[x －(x 2＋2x )]d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫－13x 3－12x 20－1＝－13－12＝16. 答案 A2．(2013·郑州质检)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )．A.12B.16C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4]若⎠⎛k 3f (x )d x ＝403(k <2)．则k ＝________.解析 ⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝403，所以得到k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1. 答案 0或－14．设f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1且⎠⎛12f (－x )d x ＝m ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析 因为f (x )＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.所以⎠⎛12f (－x )d x＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪13x 3－⎭⎪⎫12x 221＝56＝m 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫mx ＋1612展开式中各项的系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋1612＝1. 答案 1三、解答题(共25分)5．(12分)已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx ＝－2， (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0， 得⎩⎨⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎨⎧c ＝2－a ，b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )d x ＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]．∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．(13分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积， 即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)． 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23. 所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。
2014届高三模拟数学(理工类)试题卷(含答案)
2014届高三模拟数学（理工类）试题卷本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题5分，共50分．第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数ii+12等于（ ） A. i +-1 B. i +1 C. i --1 D.i -12.已知集合},9{},0103{22x y x N x x x M -==<--=且N M ,都是全集R 的子集，则如图所示韦恩图中阴影不封所表示的集合为（ ）A. }53{≤<x xB. }53{>-<x x x 或C. }23{-≤≤-x xD.}53{≤≤-x x3.已知幂函数)(x f y =的图像过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,21，则)4(f 的值为（） A. 41 B. 2 C. 4 D. 1614.已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于（）A. 31-B. 322±C. 322 D. 31 5.已知y x ,为正实数，则（）A. y x y x 2lg 2lg )22lg(+=+B. y x y x 2lg 2lg 2lg ∙=+C. y x xy 2lg 2lg 2lg +=D. y x y x 2lg 2lg 2lg +=+6.已知1,6,()2,a b a a b ==-=则向量a 与向量b的夹角是（） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π7.函数错误！未找到引用源。
的部分图象如图示，则将错误！未找到引用源。
2014届高三数学试题(理科)
2014届高三数学试题(理科）出卷人： 班别： 姓名： 学号： 分数： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x =≤，则MN =（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3]2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A. 363(2)π+ B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ． 2B ．2-C ．3-D ．3ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ． 3B ．53 C ．5 D ．737．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （ ）A ．2B ．6C ．2 或6D ．278．函数,),(D x x f y ∈=若存在常数C ，对任意的,1D x ∈存在唯一的D x ∈2使得,)()(21C x f x f =则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知],2,1[,)(3∈=x x x f 则函数3)(x x f =在[1,2]上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．22二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62()x x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =． 若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b a cc b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = . 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域． 17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)4-4定积分与微积分基本定理
课时作业(二十)一、选择题1．(2011年新课标)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得A (4,2)．则S ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x答案：C2．(2012年福建莆田高三质检)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e2D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B3．(2012年山西大同市高三学情调研)由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( )A ．2 3B ．9－2 3 C.353D.323答案：D4．设集合P ＝{x |⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：依题意得⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝(t 3－5t 2＋6t )⎪⎪⎪x0＝x 3－5x 2＋6x ＝0，由此解得x ＝0或x ＝2或x ＝3.又x >0，因此集合P ＝{2,3}，集合P 的非空子集的个数是22－1＝3，选B.答案：B5．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：A6．(2012年东北三校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x <0，2cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．4D.12答案：C 二、填空题7．(2012年河南郑州高三模拟)曲线y ＝cos x (0≤x ≤3π2)与坐标轴所围成的图形面积是________．答案：38．(2012年吉林实验中学高三模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |1＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：339．(2012年山东临沂一模)函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积等于______．解析：函数的导数为f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，所以f ′(1)＝3－2＋1＝2，即切线方程为y －2＝2(x －1)，整理得y ＝2x .由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得交点坐标为(0,0)，(2,2)，所以切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝(x 2－13x 3)|20＝4－83＝43.答案：43三、解答题10．求下列定积分： (1)⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)d x ； (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x .解：(1)⎠⎛0a(3x 2－x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－12x 2＋x ⎪⎪⎪a＝a 3－12a 2＋a .(2)∵(ln x )′＝1x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2x ′＝e 2x ，∴⎠⎛12(e 2x ＋1x )d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121x d x ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln2－ln1 ＝12e 4－12e 2＋ln2.11．已知 f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2.(1)求 f (x )的解析式；(2)求 f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0， 得⎩⎨⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎨⎧c ＝2－a b ＝0. ∴ f (x )＝ax 2＋(2－a )． 又⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，∴c ＝－4.从而 f (x )＝6x 2－4. (2)∵ f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时， f (x )min ＝－4；当x ＝±1时， f (x )max ＝2.12．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪ 10＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13t 3－2t 2＋3t |31＋(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪43＝43＋43＋43＝4(m)即质点在4 s 内运动的路程为4 m. [热点预测]13．(1)(2012年河北正定中学高三第2次月考)如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A.15 B.14 C.13D.12(2)(2012年北京石景山一模)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是________．解析：(1)S阴影＝2⎠⎛2x2dx＝2×13x3⎪⎪⎪2＝2×83＝163，P＝16316＝13.(2)阴影部分的面积为2⎠⎛πsin x d x＝2(－cos x)|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M内的概率是4π3.答案：(1)C(2)4π3。
《2014数学高考》2014_高三数学(人教A版)总复习同步练习3-4定积分与微积分基本定理(理)
3-4定积分与微积分基本定理(理)【基础巩固强化】1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于()A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4 B.12 C.π2－1 D.2π[答案] D [解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sin x －cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4C ．2D ．－2[答案] D[解析](sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cosπ2)－(sin0－cos0)＝2， (2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b2x 2－abx －x 33)|b a＝16(b －a )3， ∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1. 【能力拓展提升】11.(2012·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|3＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q－1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t 1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a 0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1. 【试题集萃】1．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析]f (x )d x＝sin 5x d x＋1d x ，由于函数y＝sin 5x 是奇函数，所以sin 5x d x ＝0，而1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|1＝a 3＋c ，故a3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，2014年高考数学一轮复习2014年高考数学一轮复习∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x )r＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
浙江省2014届理科数学复习试题选编29：平面解析几何(学生版)
浙江省2014届理科数学复习试题选编29：平面解析几何一、选择题1 ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）任意的实数k,直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是 （ ）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心2 ．（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤,集合{}222(,)B x y x y r =+≤,若B A ⊂,则实数r 可以取的一个值是（ ）A 1BC ．2D ．12+3 ．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）已知函数 ()x f y=是定义在R 上的增函数,函数()1-=x f y 的图象关于点(1, 0)对称. 若对任意的R y x ∈,,不等式()()0821622<-++-y y f x x f 恒成立,则当x >3时,22y x +的取值范围是（ ）A ．(3, 7)B ．(9, 25)C ．(13, 49)D ．(9, 49)4 ．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）关于y x ,的方程04222=++++k y kx y x 在平面直角坐标系中的图形是圆,当这个圆取最大面积时,圆心的坐标为（ ）A ．)2,0(-B ．)0,2(-C ．)2,2(-D ．)2,2(-5 ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）直线03:=-y x l 截圆4)2(:22=+-y x C 所得弦长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．326 ．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是（ ）A ．403k ≤≤B ．<0k 或4>3k C ．3443k ≤≤D ．0k ≤或4>3k7 ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知直线1sin cos :=+θθy x l ,且l OP ⊥于P ,O 为坐标原点,则点P 的轨迹方程为 （ ）A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x8 ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知圆M :()()22234x y -+-=,过x轴上的点(),0P a 存在圆M 的割线PBA ,使得PA AB =,则点P 的横坐标a 的取值范围是 （ ）A ．[-B ．[-C ．[22-+D [22-+9 ．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足12MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A ．0x =B ．0x +=C 0y -=D 0y +=10．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）设点(1,1)A -,(0,1)B ,若直线1ax by +=与线段AB (包括端点)有公共点,则22b a +的最小值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．111．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知两条直线1l :a y =和2l :1218+=a y (其中0>a ),1l 与函数|log |4x y =的图象从左至右相交于点A,B,2l 与函数|log |4x y =的图象从左至右相交于点C, D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为m ,n .当a 变化时,mn的最小值为 （ ）A ．112B ．102C ．16D ．4二、填空题12．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）函数y =ax 2-2x 图象上有且仅有两个点到直线y =x 的距离等于2,则a 的取值范围是__________.13．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）已知两条直线1212:2,:4,3,x l y l y y l l ===设函数与分别交于点A,B,函数127,x y l l =与分别交于点C,D,则直线AB 与直线CD 的交点坐标是_______.14．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）若圆22:220C x mx y -+-+=与x 轴有公共点,则m 的取值范围是______.15．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为A ,动点C B ,分别在1l 和2l 上,且23=BC ,则过C B A ,,三点的动圆．．扫过的区域的面积为_______.16．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）过点01(,)A 和4(,)B m ,并且与x轴相切的圆有且只有一个,则m =___________.17．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若点P 在直线1:30l x my ++=上,过点P 的直线2l 与圆22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ,且||PM 的最小值为4,则m =_________18．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）设圆22:(3)(5)5C x y -+-=,过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点,与y 轴交于点P ,若A 恰好为线段BP 的中点,则直线l 的方程为____.19．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）过点()2,1M 的直线l 将圆22(2)9x y -+=分成两段弧,其中的劣弧最短时,l 的方程为________;20．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知22sin cos 20,sin cos 20(,,,a a b b a b R q q q q q +-=+-= 且a b¹),直线l过点A(a,a 2),B(b,b 2),则直线l 被圆(22cos )(sin )4x y q q -+-=所截得的弦长为____.21．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是_________.22．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）在△ABC 中,B (10,0),直线BC 与圆Γ:x 2+(y-5)2=25相切,切点为线段BC 的中点.若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心,则点A 的坐标为________.23．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）过点A(33，)作直线与圆422=+y x 交与B 、C 两点,B 在线段AC 上,且B 是AC 的中点,则直线AB 的方程为__________________. 24．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知圆的方程为08622=--+y x y x,设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦 分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为_______.25．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）平面直角坐标系中,过原点斜率为k 的直线与曲线=y e 1-x 交于不同的A ,B 两点.分别过点A ,B 作y 轴的平行线,与曲线x y ln =交于点C ,D ,则直线CD 的斜率为_____26．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）直角坐标平面上,已知点A(0,2),B(0,1),D(t,0)(t>0),点M 是线段AD 上的动点,如果||2||BM AM ≤恒成立,则正实数t 的最小值是__________.27．（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若22212a b c +=.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为________. 28．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程:区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M(点A 对应实数0,点B 对应实数1),如图①;将线段AB 围成一个圆,使两端点A.B 恰好重合,如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y 轴上,点A 的坐标为(0,1),在图形变化过程中,图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧ADM 的长度,如图③,图③中直线AM 与x 轴交于点N(,0n ),则m 的象就是n ,记作().f m n =给出下列命题:①1()14f =; ②1()02f =; ③()f x 是奇函数; ④()f x 在定义域上单调递增,则所有真命题的序号是______________.(填出所有真命题的序号)DD浙江省2014届理科数学复习试题选编29：平面解析几何参考答案一、选择题 1. C2. A 解:22111(,)()()222A x y x y r ⎧⎫=-+-≤+⎨⎬⎩⎭、{}222(,)B x y x y r =+≤ 不难分析,A 、B 分别表示两个圆,要满足B A ⊂,即两圆内切或内含.故圆心距12122O O r r =≤-,即: 2211222210101210r r r r r r r r r r r ≤-⇔-⋅+≥⎛⎫⇔-≥⇔-≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⇔--≥⇔≥显然,2r ≥>,故只有(A)项满足. 3. C4. A5. D6. A7. A【解析】设),(00y x P ,l OP ⊥ 于P ,1sin cos 1||222020=+=+=∴θθy x OP ,即12020=+y x ,选A 8. C.解:极端原理,或利用圆幂定理和切长定理设222,2(2)52422AB d d a a ==-+≤⨯⇒-≤≤+则9. D 10. C 11. A 二、填空题 12. a >89或a =0或a <-89提示 (1)当a =0时,函数y =-2x 图象上有且仅有两个点到x 轴的距离等于1,满足条件;(2)当a >0时,如图,函数y =ax 2-2x 与y =x-2相切时求出a =89,注意到当a >89时,随着a 增大,最小值a1－也增大,且a 1－<0,所以要两个点到y =x 轴的距离等于2,只需a >89.(3)当a <0时,如图,函数y =ax 2-2x 与y =x+2相切时求出a =-89,注意到当a <-89时,随着a 减小,最小值a 1－也减小,且a1－>0,所以要两个点到y =x轴的距离等于2,只需a <-89.13. (0,0)14.答案:m ≥解析:圆C 的标准方程为222()(2x m y m m -+-=+-,依题15. 18π 解析:分别以l 1、l 2为x 轴、y 轴建立直角坐标系,设线段BC 中点为E,则过A 、B 、C 三点的圆即为以E 为圆心、322为半径的圆,∵ B 、C 分别在l 1和l 2上运动,∴ 圆心E 在以A 为圆心、AE=322为半径的圆上运动,所以,过A 、B 、C 三点的动圆所形成的面积为以A 为圆心、32为半径的圆的面积为18π. 16. 0或1 17. 1±18. 210x y --=或2110x y +-= 19. ;032=+-y x 20. 32 21. (0,1)(1,4)⋃ 22. (0,15) 或 (-8,-1) 23. 0323=+-y x 或3=x提示 当k 不存在时,3=x ;当k 存在时,设斜率为k,如图,由题意得AB=3CM,所以:222219363431936312kk k k k k ++-⋅=++-－－得k=33,所以直线方程为0323=+-y x . 24. 62025. 1;设A ,B 横坐标分别为1x ,2x .则111-=x e kx ,122-=x e kx ,得11ln 1kx x =-,即k x x ln 1ln 11--=,同理k x x ln 1ln 22--=.直线CD 的斜率为1)ln 1()ln 1(ln ln 21212121=------=--x x k x k x x x x x .26.327.:由题意:设弦长为圆心到直线的距离d ===28. ②④。
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实用文档2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用一、选择题1 ．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷)求由曲线y =,直线2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误的为 （ ）A．4(2x dx -+⎰B．⎰C ．222(2)y y dy ---⎰D ．022(4)y dy --⎰2 ．(江西重点高中协作体第二次联考理科)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=)2(,0)23(,4)3(,1)(2x x x x x f ,则dxx x f ])([21+⎰-的值为（ ）A ．3332++πB ．2353++πC ．2333++πD ．3352++π3 ．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(理科))如图,已知幂函数y x α=的图像过点(2,4)P ,则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．234 ．(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为实用文档（ ）A ．2π5B ．43C ．32D ．π25 ．(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）函数 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．B ．1C ．2D ．7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若120()d 0x mx x +=⎰,则实数m 的值为 （ ）A ．13-B ．23-C ．1-D ．2-8 ．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线2(22)y x x ≤≤绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入1-yxO第3题11实用文档一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 （ ） A ．1B ．8C ．82D ．1629 ．(陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题)如图,设D 是图中边长为4的正方形区域,E是D 内函数y=x 2图象下方的点构成的区域.向D 中随机投一点,则该点落入E 中的概率为（ ）A ．51B ．41 C ．31D ．21 10．(东北四校2012届高三第一次高考模拟考试数学(理)试题)若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰,则a的值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．611．(2013湖北高考数学(理))一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是 （ ）A ．125ln5+B ．11825ln3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+12．（2013北京高考数学（理））直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）实用文档A ．43B ．2C ．83D．3二、填空题13．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）1e d x x =⎰___________.14．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)直线2-=x y 及y 轴所围成的图形的面积为______________.15．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））计算e 11(2)d x x x+=⎰____________.16．(2013湖南高考数学(理))若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________.17．(2012年高考(江西理))计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.18．(福建省龙岩市高中毕业班数学3月质量检查(理科))设函数2()(0)f x ax c a =+≠,若100()()f x dx f x =⎰, 其中001x <<,则0x =________.19．(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a =______.20．(湖北黄冈中学高三五月模拟)函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于_________.21．(2012年石景山区高三数学一模理科)如图,圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分),随机往圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率是_________.实用文档22．(2012年高考(上海文))已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .23．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）图中阴影部分的面积等于 ．24．(惠州市2012届高三一模考试数学(理科)试题解析版)由曲线2y x =,3y x =围成的封闭图形面积为___________.25．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）10(1)x dx +⎰= .实用文档北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用参考答案一、选择题 1. C 2. C 3. C4. 解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰. 5. 【答案】C【解析】312201211)()13260S x dx x x S ==-==⎰正阴影,故16P =,答案C 6. A 【解析】根据积分的应用可求面积为2211()(1)cos S f x dx x dx xdxππ--==++⎰⎰⎰2021113()sin 1222x x xπ-=++=+=,选A.7. B 8. B 9. C 10. A11. C 解:令 ()257301v t t t =-+=+,则4t =.汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰,故选C.实用文档12. C l 的方程是1y =,所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值:2222008424()4123x x S dx =-=-=⎰. 二、填空题 13. e 1-14.163【解析】由==2y xy x ⎧⎪⎨-⎪⎩,解得4=2x y =⎧⎨⎩,即(4,2)B ,所以所求面积为34242002116[(2)](2)323x x dx x x x --=-+=⎰15.e216. 3 解:393330302=⇒===⎰T T x dx x TT17.23【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 31211111112(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 18. π19. 【解析】由已知得223023032|32a a x x S aa====⎰,所以3221=a ,所以94=a .实用文档20.43 21.34π22. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f ,所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y , 易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.23. 【答案】1解：根据积分应用可知所求面积为1231031x dx x==⎰。
24. 【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为11233400111()()3412x x dx x x -=-=⎰.25.32图图。