函数对称点判断
函数关于某点对称的问题
函数关于某点对称的问题函数关于某点对称的问题是数学中的一个重要概念。
在平面上，两点关于某点对称指的是，以这个点为对称中心，将一个点关于这个点对称后，会得到另一个点。
在函数中，如果一个函数的图像关于某点对称，意味着将函数图像以这个点为对称中心进行对称操作后，会得到与原函数图像完全一致的图像。
这是一种特殊的对称性，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
首先，我们来考虑一些基本的函数关于原点（0,0）的对称性。
对于奇函数来说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则函数关于原点对称。
奇函数一般表现为关于原点对称的图像，比如函数y=x，y=|x|等。
对于偶函数来说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则函数关于原点对称。
偶函数一般表现为关于y轴对称的图像，比如函数y=x²，y=|x|等。
其次，我们来考虑一些函数关于其他点对称的情况。
假设我们有一个函数f(x)，图像关于点（a,b）对称，即对于任意x，有f(x)=2b-f(x-a)。
其中，a表示点的横坐标偏移量，b表示点的纵坐标偏移量。
这种情况下，我们可以通过将函数图像以点（a,b）为对称中心进行对称操作，从而得到与原函数图像完全一致的图像。
这种对称性在函数的图像研究中非常有用，可以帮助我们更好地理解函数的行为。
函数关于某点对称的性质可以帮助我们进行函数图像的描绘和分析。
首先，我们可以利用对称性来确定函数的图像在某一区间的性质。
比如，在一个函数关于原点对称的情况下，如果我们知道函数在区间[0,+∞)上是递增的，那么根据对称性，我们可以得出函数在区间(-∞,0]上也是递增的。
这样，我们就可以通过研究函数在非负半轴上的变化情况，来推断整个函数图像的性质。
其次，函数关于某点对称的性质也可以帮助我们求解函数方程和函数不等式。
比如，如果一个函数满足f(x)=f(2a-x)，即关于点(a,f(a))对称，那么我们可以通过这个对称性来简化函数方程的求解。
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
高三函数对称性知识点总结
高三函数对称性知识点总结在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的对称性是函数图像在坐标轴上的对称特性，它是一种具有很高抽象性的数学思维，对于理解和解决数学问题具有重要意义。
在高三数学学习中，函数的对称性是一个非常重要的知识点，也是数学建模和解题中常用的技巧之一。
下面将对高三函数对称性的知识点进行总结。
一、函数的对称性1. 关于x轴的对称性当函数图像与x轴对称时，称函数具有关于x轴的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(x, -y)也在函数图像上。
2. 关于y轴的对称性当函数图像与y轴对称时，称函数具有关于y轴的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, y)也在函数图像上。
3. 关于原点的对称性当函数图像与原点对称时，称函数具有关于原点的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, -y)也在函数图像上。
4. 奇函数如果函数f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，且通过原点。
5. 偶函数如果函数f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称，且通过y 轴。
6. 周期函数如果函数f(x + T) = f(x)，其中T为正实数，那么称函数f(x)为周期函数。
周期函数的图像在一个周期内具有对称性。
二、对称性在数学建模中的应用1. 对称性可以简化问题在数学建模中，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量和分析难度。
通过对称性的特点，我们可以找到函数图像上的对称点，从而减少求解方程的步骤。
2. 对称性可以加快求解过程利用函数的对称性，在求解函数的零点、极值点和拐点时，可以通过对称点的关系，快速地确定函数的特征点，从而加快求解过程。
3. 对称性可以提高模型的精度在数学建模中，对称性可以帮助我们合理地选择函数模型，提高模型的精度和可靠性。
三、对称性在解题中的应用举例1. 求函数图像与坐标轴的交点在函数图像与坐标轴相交的点的求解中，利用函数的对称性可以帮助我们简化求解过程。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
函数对称的知识点总结
函数对称的知识点总结函数对称是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和分析等各个领域都有着重要的应用。
函数对称可以由函数的图像、函数表达式和函数的性质来描述。
在本文中，我们将探讨函数对称的各种类型和性质，并且将介绍函数对称在各种数学问题中的应用。
一、基本概念1.1 函数的对称性在数学中，函数的对称性是指函数图像相对于某个直线或者点的对称性质。
常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。
1.2 函数的图像和对称性根据函数的图像可以很直观地判断函数的对称性。
例如，当函数的图像关于y轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=f(-x)；当函数的图像关于x轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=-f(-x)；当函数的图像关于原点对称时，函数的表达式一般可以表示为f(-x)=-f(x)。
1.3 函数的性质和对称性函数的对称性也可以由函数的性质来判断。
例如，奇函数具有关于原点对称的性质，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有关于y轴对称的性质，即f(-x)=f(x)。
二、函数的对称类型2.1 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
奇函数的图像关于原点对称。
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数、和函数等。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
常见的偶函数包括幂函数、指数函数、对数函数等。
2.3 周期函数周期函数是指函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
周期函数的图像在某个区间上有重复的规律。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数等。
2.4 对称关于y轴的函数函数关于y轴对称的性质是指f(x)=f(-x)。
常见的对称关于y轴的函数包括二次函数、幂函数、指数函数等。
2.5 对称关于x轴的函数函数关于x轴对称的性质是指f(x)=-f(-x)。
常见的对称关于x轴的函数包括一次函数、双曲函数、指数函数等。
函数的奇偶性与对称性的判断
函数的奇偶性与对称性的判断函数的奇偶性与对称性是数学中重要的概念，能够帮助我们分析函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨如何判断一个函数的奇偶性以及利用对称性来简化计算和分析。
一、奇偶性的定义与判断函数的奇偶性是指函数在坐标系中关于原点是否对称。
具体而言，如果函数f(-x) = -f(x)对于定义域中的所有x成立，则函数f(x)为奇函数；如果函数f(-x) = f(x)对于定义域中的所有x成立，则函数f(x)为偶函数。
对于一个已知的函数，我们可以通过以下步骤来判断其奇偶性：1. 将函数中的x替换为-x，得到f(-x)；2. 将函数f(x)与f(-x)进行比较；- 如果f(x) = f(-x)，则函数为偶函数；- 如果f(x) = -f(-x)，则函数为奇函数；- 如果以上两种情况均不成立，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
举例来说，考虑函数f(x) = x^3，我们可以逐步验证其奇偶性：1. 计算f(-x) = (-x)^3 = -x^3；2. 比较f(x) = x^3 与 f(-x) = -x^3；- 显然，f(x) ≠ f(-x)，因此函数f(x)不是偶函数；- 而f(x) = -f(-x)，因此函数f(x)是奇函数。
二、对称性的应用与分析函数的对称性是指函数图像在坐标系中是否存在某种对称形态。
根据函数的奇偶性，我们可以利用对称性来简化函数的计算和分析。
1. 奇函数的对称性奇函数的对称性是指其图像关于原点对称。
利用奇函数的对称性，我们可以简化函数的计算，例如：- 奇函数在原点处必然经过，即f(0) = 0；- 若知道函数在某一点(x, y)处的取值，则可知道函数在对称点(-x, -y)也取相同的值。
2. 偶函数的对称性偶函数的对称性是指其图像关于y轴对称。
利用偶函数的对称性，我们可以简化函数的计算，例如：- 偶函数在y轴上处处对称，即f(x) = f(-x)；- 若知道函数在某一点(x, y)处的取值，则可知道函数在对称点(-x, y)也取相同的值。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
函数对称性
故点M1（2a－x0，2b－y0）也在 图像上；而点M与点M1关于点P(a ,b)对称。
在掌握了（*）式以后，也基本解决了函数 在平面内关于任一点对称的问题。
（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝f(x)。
（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝－f(x)。
解：设点 是函数 图象上的任一点。
若 ，则点M关于函数 的图象上；
若 ，则点 关于直线 的对称点为 ，这点也在 的图象上；
若 ，可类似说明。
所以 与 的图象关于直线 对称。
例4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
函数关于点(a,b)对称的结论
高中数学，奇函数、偶函数只是点对称和线对称的特殊情形，是最基础且必须掌握的；但是考试试题中，经常遇到的是关于任意点对称或任意直线对称，甚至双对称的情况也比比皆是，这就需要我们更深入的学习，有备无患！下面我们就来一一推导一般情形下的点对称、线对称和双对称公式。
一、函数关于某点对称（单对称）牢记：f(x)关于点（a，b）对称,则有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x)（特别的，奇函数关于原点（0,0）对称）证明：∵f(x)上关于点（a，b）对称设P(x0,y0)为函数f(x)上任意一点，即y0 = f(x0)关于点（a，b）对称的点为Q（x,y）则有x0+x=2a,y0+y=2b亦即x0=2a-x,y0=2b-y∴有2b-y=f(2a-x),∴f(x)关于点（a，b）对称的表达式是y=f(x)=2b-f（2a-x），也可表示为f(a+x)=2b-f(a-x)。
例1、已知函数y=f(x)的定义域是，函数g(x)=f(x+5)+f(1-x)，若g(x)=0方程有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为_________.解：∵g(x)=f(x+5)+f(1-x)，令t=2+x，∴g(t)=f(3+t)+f(3-t)=0∴f(3+t)=-f(3-t)关于点(3,0)对称，又方程g(x)=0有且仅有7个不同的实数解，∴方程有一个根为3，其余六个根关于(3,0)对称。
∴这个实数解之和为3+3×6=21二、函数关于某一条直线对称（单对称）牢记：f(x)关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x),或者f(x)=f(2a-x).（特别的，偶函数关于x=0对称）证明：因为f(x)关于直线x=a对称,设(m,n)为f(x)上任一点,即n=f(m)则(m,n)关于x=a的对称点(2a-m,n)也在y=f(x)上,即n=f(2a-m)∴ f(m)=f(2a-m)∴f(x)=f(2a-x).三、双对称情形3.1、牢记：函数f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称，那么f(x)是周期函数，周期是4|a-b|证明：∵f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称∴f(x)+f(2a-x)=2m①, f(2b-x)=f(x)②,用2b-x代替x，代入①得f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2m，再代入②得f(x)=2m-f(2a-2b+x)，用2（a-b）+x代替x，得f[2(a-b)+x)]=2m- f[4(a-b)+x)]，代入f(x)=2m-f(2a-2b+x)得f(x)=f[4(a-b)+x)]∴f(x)是周期函数，周期是4|a-b|例4、已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1-x)=-f(1+x)，若x∈[0,1]时，f(x)=(x-1)，则f(2018)=（）解：方法一、由题意，f(x)是定义域为R的偶函数∴f(1-x)=-f(1+x)=f(x-1)，令t=x-1，则x=t+1代入得则f(t)=-f(t+2)∴f(t+2)=-f(t+4)∴f(t)=f(t+4)，即T=4，∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.方法二、利用点线双对称结论∵f(1-x)=-f(1+x)∴函数关于（1,0）对称又f(x)是定义域为R的偶函数f(x)是周期函数，且周期为T=4∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.。
函数点对称线对称及周期总结
函数点对称线对称及周期总结
称。
函数对称性和周期性是高中数学中的重要内容。
首先，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定
义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数
y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
其次，对于函数y=f(x)，如果满足以下条件，就说这个函
数具有对称性：偶函数关于y轴对称，偶函数有关系式f(-
x)=f(x)；奇函数关于原点对称，奇函数有关系式f(x)+f(-x)=0.
这些关系式还可以进行拓展，例如函数y=f(x)关于x=a对称的
条件为f(a+x)=f(a-x)，可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)的
形式。
同样地，函数y=f(x)关于点(a,b)对称的条件为f(a+x)+f(a-x)=2b，也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b的形式。
最后，需要注意的是，函数自身不可能关于y=b对称，因为这样就不符合函数的定义了。
函数的图象五种点的对称点的规律
五种点的对称点的规律确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本上题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单赁直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。
一、点关于x 轴的对称点如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ’，则|PA|=|P ’A|，∴P ’（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ’的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数二、点关于y 轴的对称点如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ’，则|PB|=|P ’B|，∴P ’（-a ，b ） 规律：点P 关于y 轴的对称点P ’的坐标是P 的横坐标互为相反数，纵坐标不变。
三、点关于原点的对称点如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ’，则|OP|=|OP ’|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ’B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ’BO=Rt ∠，∠POA=∠P ’OB ，故△POA ≌△P ’OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ’（-a ，-b ）规律：点P 关于原点的对称点P ’的坐标是P 的横、纵坐标相反数。
图2b ），b ）x四、点关于一、三象限角平分线的对称点如图4，l为一、三象限的角平分线，P（a，b）关于l的对称点为P’，则|PC|=|P’C|，易证Rt△PCO≌Rt△P’OC∴OP=OP’，∠COP=∠COP’作PA⊥x轴于A，作P’⊥y轴于B，易证∵l平分一、三角限∴∠COA=∠COB，所以∠POA=∠P’OBRt△POA≌Rt△P’OB，所以|PA|=|P’B|，|OA|=|OB|∴P’（b，a）规律：点P关于一、三象限的角平分线的对称点P’的坐标是P的纵、横坐标。
五、点关于二、四象限角平分线的对称点如图5，l是二、四象限的角平分线，P（a，Rt△PCO≌Rt△P’CO∴|OP|=|OP’|，∠POC=∠P’OC作PA⊥x轴于A，作P’B⊥y轴于B 又∵l为二、四象限的角平分线∴∠AOC=∠BOC∴∠POA=∠P’OB又∵|OP|=|P’O|∴Rt△PAO≌Rt△P’BO∴|OA|=|OB|，|PA|=|P’B|∴P’（-b，-a）规律：点P关于二、四象限的角平分线的对称点P’的坐标是的纵、横坐标的相反数。
函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。
对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。
本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者)证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。
（充分性）设点是图像上任一点，则，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有f(x) f( x) 0，由命题1可得函数图像关于源点对称。
推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。
（证明略）推论3：函数的图像关于点。
证明：∵，，∴由命题1有函数的图像关于点对称。
例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为零 D.可正可负分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。
在区间上单调递增，在区间上也单调递增。
我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：∵且在区间上单调递增，∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A例2如果函数满足，求该函数的对称中心。
（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。
（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）例3定义在上的函数满足，则解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是.例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，则的值为（）。
函数对称知识点高中总结
函数对称知识点高中总结一、函数对称的定义1. 函数对称轴函数对称轴是指当函数关于某个直线对称时，这条直线就是函数的对称轴。
对称轴可以是x轴、y轴，也可以是直线y=x或y=-x等。
2. 函数对称关系当函数关于某个直线对称时，函数图象在这条直线上的对应点互相关于对称轴对称。
具体地说，设函数为y=f(x)，对称轴为直线x=a，若对于任意点(x,y)，都有a-x对称点也在函数图象上，即有f(a-x)=f(x)。
3. 偶函数若函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即对于任意x，有f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数。
偶函数的图象关于y轴对称。
4. 奇函数若函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称。
二、函数对称的性质1. 对称关系的性质（1）关于y轴对称的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数；（2）关于原点对称的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数。
2. 函数对称轴的性质（1）当函数对称于y轴时，其对称轴为y轴，表现为f(x)=f(-x)；（2）当函数对称于x轴时，其对称轴为x轴，表现为f(x)=-f(-x)；（3）当函数对称于直线y=x时，其对称轴为y=x，表现为f(y)=f(x)；（4）当函数对称于直线y=-x时，其对称轴为y=-x，表现为f(-y)=f(-x)。
3. 对称函数的图象（1）偶函数的图象关于y轴对称；（2）奇函数的图象关于原点对称。
三、函数对称的分类1. 偶函数与奇函数（1）偶函数：满足f(x)=f(-x)的函数称为偶函数。
例如，y=x^2、y=cosx等都是偶函数。
（2）奇函数：满足f(x)=-f(-x)的函数称为奇函数。
例如，y=x^3、y=sinx等都是奇函数。
2. 关于坐标轴的对称函数（1）关于y轴对称：函数图象关于y轴对称，即f(x)=f(-x)的函数。
函数关于点对称的公式
函数关于点对称的公式
对称函数有公式的：f（x）等于f（a加负x）它是关于x等于2分之a对称的，只要你看到一个等式中有个x和负X，它就是对称函数，对称轴即x等于括号里的相加除以2，例：f（1加x）等于f（3减x）,则对称轴为x等于2分之（1加x加3减x）等于2。
若非题目中告诉某函数f（x）关于对称x等于5，则可写成f（x）等于f （10减x）或f（5加x）等于f（5减x）。
该函数是关于x等于减1对称，它涉及到一个具体函数，你可以先看一下f（x）等于loga（x绝对值）这个函数是个偶函数，f（x）等于f（负x）。
关于y轴对称，对称轴为x等于o，f（x）等于loqa （x绝对值）加1l即为把函数f（x）等于loga（x绝对值）向左平移1个单位，则对称轴也相对平移1个单位，得出关于x等于减1对称，写成抽象凶数为f（X）等于f（减2减x）或f（x减2）等于f （减x）,只要你愿意可以写出无数种的，根据题目需要来。
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函数对称点判断
函数对称点判断是一种常见的数学问题，它在许多学科领域中都有着广泛的应用。
本文将从对称点的概念入手，介绍如何利用函数来判断对称点。
同时，我们也将探讨一些实际应用中常见的对称点问题。
一、对称点概念
对称点是指在平面直角坐标系中，一点关于某个对称中心的对称点。
其中，对称中心可以是坐标轴、直线或点。
对称点在不同学科领域中有着不同的名称和概念，比如在物理学中，对称点也被称为“平衡点”，在化学中，对称点则是指“中心对称原子”。
在函数中，对称点的判断通常涉及到对函数的奇偶性进行分析。
具体来说，如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数
f(x)为偶函数。
此时，函数图像关于y轴对称。
如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
此时，函数图像关于原点对称。
基于函数的奇偶性，我们可以判断函数的对称点。
对于偶函数，其对称点为y轴，即(0,0)。
对于奇函数，其对称点为原点，即(0,0)。
三、实际应用
函数对称点判断在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们将介绍几
个常见的应用案例。
1. 物理学中的平衡点
物理学中的平衡点指的是一个物体在某个力的作用下，保持静止的位置。
对于一个物体在平衡点处，其所受的合力为零。
因此，平衡点在物理学中也被称为“力的平衡点”。
在物理学中，对称点的概念被广泛应用于平衡点的判断。
比如，一个物体在直线运动中，如果其速度-时间图像关于时间轴对称，则其平衡点为速度为零的点。
2. 化学中的对称性
在化学中，对称性是很重要的概念。
化学分子的对称性可以影响其性质和反应。
通过对分子的对称性进行分析，可以预测分子的一些性质和反应。
在化学中，对称点的概念通常被用来描述分子的对称性。
比如，分子的中心对称原子就是分子的对称点之一。
通过对分子的对称点进行分析，可以确定分子的对称群，并进一步预测分子的一些性质和反应。
3. 信号处理中的滤波器设计
滤波器是信号处理中的重要工具，它可以对信号进行滤波和去噪。
在滤波器设计中，对称点的概念被广泛应用。
比如，在FIR滤波器设计中，可以利用函数的对称性来减少滤波器的系数数量。
如果滤波器的传递函数是偶函数，则可以利用对称性将一半的系数省略掉。
类似地，如果滤波器的传递函数是奇函数，则可以利用对称性将一半的系数取相反数。
四、总结
函数对称点判断是一种常见的数学问题，它在许多学科领域中都有着广泛的应用。
本文从对称点的概念入手，介绍了如何利用函数来判断对称点。
同时，我们也探讨了一些实际应用中常见的对称点问题。
通过本文的介绍，相信读者对函数对称点判断有了更深入的理解。