双曲线高考标准化讲义(解析版)
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
2021版新高考数学一轮复习讲义：第八章第六讲 双曲线 (含解析)
第六讲双曲线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__顶点坐标：A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__ 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)重要结论双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b ．(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a(通径)．过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b 2a ；与两支相交所得弦长的最小值为2a ．(4)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |．(5)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a 2． 双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线B ．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线C ．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2D ．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)题组二 走进教材2．(必修2P 61T1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A )A ． 5B ．5C ． 2D ．2[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5．3．(必修2P 61A 组T3)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.题组三 考题再现4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x[解析] 由题意e ＝ca＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1[解析] 椭圆x 212＋y 23＝1的一焦点为(3,0)，∴双曲线C 中有c ＝3，且焦点在x 轴上， 又b a ＝52，且c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝4，b 2＝5，∴C的方程为x 24－y 25＝1，故选B ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 双曲线的定义及其应用——自主练透例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( B )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)(2020·河南洛阳统考)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为__9__．[解析](1)如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点， ∴|MF 2|＝2．∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图形可知，当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9．名师点拨 ☞(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．〔变式训练1〕(1)在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足条件sin B －sin C ＝12sin A 时，则点A 的轨迹方程为 x 24－y 212＝1(x >2) ．(2)(2019·西安模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( B )A ．52 B ．102C ．152D ． 5[解析] (1)设A 的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12 |BC |2R .又∵|BC |＝8，∴|AC |－|AB |＝4，因此A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a ＝4,2c ＝8，即a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝12.所以所求A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x >2)．(2)因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，即e ＝c a ＝102.故选B ．考点二 双曲线的标准方程——师生共研例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． [解析] (1)设所求双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 将(2,2)的坐标代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12． ∴所求双曲线方程为y 23－x 212＝1．(2)设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；。
高中数学第2章2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．3.1 双曲线的标准方程[对应学生用书P25]在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26]用待定系数法求双曲线方程[例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点，求双曲线的标准方程． [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(－3)2b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b2＝1，(2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1532b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2，得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. [一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.曲线方程的讨论[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4. 因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要 4．若方程x 22－m＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)双曲线的定义及其标准方程的应用[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF－PF ′)－FN ＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r|＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，∴1MF u u u u r ⊥2MF u u u u r.∴|1MF u u u u r |2＋|2MF u u u u r |2＝40.∴(|1MF u u u u r |－|2MF u u u u r |)2＝|1MF u u u u r |2－2|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＋|2MF u u u u r |2＝40－2×2＝36.∴||1MF u u u u r |－|2MF u u u u r||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝| (414)2－ (94)2| ＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5， 由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33. 8. 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解： 以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
高中数学第二章2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．2.2 双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？[新知初探]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例] 22虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． [注意] 求性质时一定要注意焦点的位置． 1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：选C 双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y 216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例] (1)(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1(2)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22. 故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)得b 2＝－2(舍去)； 当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入点(2，－2)得a 2＝2. 所以所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1. [答案] (1)B (2)y 22－x 24＝1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率[典例] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a2a 2－y 2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.[答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[活学活用]1．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO ＝AF ，F (c,0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca >2.答案：(2，＋∞)2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×(4a )×(2c )×cos 30°，整理得(e －3)2＝0，所以e ＝ 3.答案： 3层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32， 则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23， 从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
第6节 第1课时 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。
浙江2020版高考数学第九章平面解析几何9.6双曲线讲义(含解析)
§9.6双曲线1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质概念方法微思考1.平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线. 2.方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0，0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响.∵e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二 教材改编2.[P61T1]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5B.5C. 2D.2答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3.[P61A 组T3]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 4.[P62A 组T6]经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3) D.(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.6.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7.(2018·浙江省镇海中学模拟)双曲线C ：y 2－x 24＝1的渐近线方程为__________，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为________________. 答案 y ＝±x 2 x 212－y 23＝1解析 双曲线y 2－x 24＝1的渐近线方程为y ＝±12x ；与y 2－x 24＝1具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y 2－x 24＝m (m ≠0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m ＝12－424＝－3，即该双曲线的方程为y 2－x 24＝－3，即x 212－y 23＝1.题型一 双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3. 2.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.跟踪训练1 (2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC 的顶点为A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 由条件可得，圆与x 轴的切点为T (3，0)，由相切的性质得|CA |－|CB |＝|TA |－|TB |＝8－2＝6<|AB |＝10，因此点C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， ∵2a ＝6，2c ＝10，∴a ＝3，b ＝4，故顶点C 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x >3).(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0，12)；③经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7).解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0，12)，∴M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法 1.定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： (1)c 2＝a 2＋b 2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . 2.待定系数法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程. (2)常见设法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)；④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)；⑤与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2).跟踪训练2 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________. 答案x 216－y 29＝1 解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ， 则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三 双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±3x B.y ＝±33x C.y ＝±2x D.y ＝±22x 答案 A解析 如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0).由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称， 则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt△AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ， 所以b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .命题点2 求离心率的值(或范围)例4 (1)(2018·丽水、衢州、湖州质检)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足∠PF 2F 1＝π2，连接PF 1交y 轴于点Q ，若|QF 2|＝2c ，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2 D.1＋ 3答案 C解析 设O 为坐标原点，由题意可得，PF 2⊥x 轴，OQ ∥PF 2，所以Q 为PF 1的中点，易知F 2(c ，0)，因为|QF 2|＝2c ，所以|OQ |＝c ，又|OQ |＝12|PF 2|，所以|PF 2|＝2|OQ |＝2c ，所以|PF 1|＝22c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即22c －2c ＝2a ，所以e ＝c a＝12－1＝2＋1.故选C.(2)(2018·浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，A 为虚轴的一个端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →＝tBF →(t ∈R )，则该双曲线的离心率为( )A.2B. 5C.1＋32D.1＋52答案 D解析 由题图知F (－c ，0)，A (0，－b )，渐近线方程为y ＝±b ax .由已知得A ，B ，F 三点共线，且AF ⊥OB .所以点F 到渐近线OB 的距离为d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，|AF |＝c 2＋b 2，又由△BOF ∽△OAF ，得|FO |2＝|FB |·|FA |.即c 2＝b c 2＋b 2，即c 4＝b 2(c 2＋b 2)，则c 4＝(c 2－a 2)(2c 2－a 2)，整理得c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝3－52舍去.所以该双曲线的离心率e ＝3＋52＝6＋254＝5＋12，故选D. 思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0).2.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3 (1)已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫102，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，102 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 答案 C解析 由|F 1F 2|＝2|OP |，可得|OP |＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2， 整理得(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2.又|PF 1|≥3|PF 2|，即2a ＋|PF 2|≥3|PF 2|，可得|PF 2|≤a ，所以|PF 2|＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a . 由e ＝c a，且e >1，可得1<e ≤102.故选C. (2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B.4C.233D. 3答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ， 因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ， 因为B 为双曲线左支上一点， 所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ， 由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°， 得c 2＝7a 2，则e 2＝7， 又e >1，所以e ＝7.故选A.离心率问题离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ， 则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32， 故选A.例2 (2018·浙江省绿色评价联盟高考适应性考试)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的内切圆半径为a2，则该双曲线的离心率为( ) A.6－1B.3＋12C.6＋12D.6＋1答案 C解析 由对称性不妨设点P 在第一象限，如图，由题意设△PF 1F 2的内切圆切三边于G ，D ，E 三点，则|PG |＝|PE |，|GF 1|＝|DF 1|，|EF 2|＝|DF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|GF 1|－|EF 2|＝|DF 1|－|DF 2|＝2a ，设D (x 0，0)，则x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，即x 0＝a ，所以切点D 为双曲线的右顶点，∴|PF 1|＝|GP |＋|GF 1|＝a 2＋|DF 1|＝a2＋c ＋a＝3a 2＋c ，|PF 2|＝|PE |＋|EF 2|＝a 2＋|DF 2|＝a 2＋c －a ＝c －a2，在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 22＝(2c )2，整理得4c 2－4ac －5a 2＝0，则4e 2－4e －5＝0，解得离心率e ＝6＋12(舍负)，故选C.1.(2018·浙江)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)答案 B解析 ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 故选B.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax . 又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.4.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A.4B.3C.2D.1 答案 D解析 连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 5.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1――→的值为( )A.3B.2C.－3D.－2 答案 B解析 由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1――→＝|F 2P →|·|F 2F 1――→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.故选B.6.已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A.4＋ 2 B.4(1＋2) C.2(2＋6) D.6＋3 2答案 B解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B解析 由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2) D.(2，＋∞)答案 A解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.9.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为____________. 答案x 24－y 28＝1 y ＝±2x 解析 由2a ＝4，c a＝3，得a ＝2，c ＝23，b ＝22， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，渐近线方程为y ＝±2x .10.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________. 答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|. 由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形. ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22， ∴1F AB S＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4. 11.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.答案 (0，2)解析 对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，求双曲线C 的离心率. 解 设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ， ∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得 |PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos∠F 1FP ， 即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负).13.(2018·湖州模拟)已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，∠AF 1B ＝90°，△AF 1B 的内切圆的圆心的纵坐标为72a ，则双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.5D.52答案 A解析 设内切圆的圆心M (x ，y )，圆M 分别切AF 1，BF 1，AB 于S ，T ，Q ，如图，连接MS ，MT ，MF 1，MQ ，则|F 1T |＝|F 1S |，故四边形SF 1TM 是正方形，边长为圆M 的半径.由|AS |＝|AQ |，|BT |＝|BQ |， 得|AF 1|－|AQ |＝|SF 1|＝|TF 1|＝|BF 1|－|BQ |，又|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|， ∴Q 与F 2重合，∴|SF 1|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a ，即(x －c )2＋y 2＝4a 2，① |MF 1|＝22a ，(x ＋c )2＋y 2＝8a 2，②联立①②解得x ＝a 2c ，y 2＝4a 2－b 4c 2，又y ＝72a ，故7a 24＝4a 2－b 4c 2，得e ＝c a＝2. 14.如图，已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线与圆x 2＋y2＝1相切于点T ，与双曲线的左、右两支分别交于A ，B ，若|F 2B |＝|AB |，求b 的值.解 方法一 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义， 得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos∠F 2F 1A ＝b c，sin∠F 2F 1A ＝1c，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ＋2×b c ，2×1c ，将点A 的坐标代入双曲线得(－c 2＋2b )2c 2－4c 2b 2＝1，化简得b 6－4b 5＋5b 4－4b 3－4＝0，得(b 2－2b －2)(b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2)＝0，而b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2＝b 2(b －1)2＋b 2＋1＋(b －1)2>0，故b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3. 方法二 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接AF 2，则|AF 2|＝2＋|AF 1|＝4.连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ， 所以cos∠F 2F 1A ＝b c. 在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 2F 1A ＝|F 1F 2|2＋|AF 1|2－|AF 2|22|F 1F 2|·|AF 1|＝c 2－32c ，所以c 2－3＝2b ，又在双曲线中，c 2＝1＋b 2， 所以b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3.15.(2018·浙江省联盟学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且交双曲线的右支于A ，B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1∶r 2＝3∶1，则直线l 的斜率为( ) A.±1B.±2C.±3D.±2 答案 C解析 方法一 当A 在第一象限时，如图1，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ， 则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |， 又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ， ∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ， ∴|F 2P |＝c －a ， ∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点， 连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2. 连接O 1F 2，O 2F 2，又O 1F 2平分∠F 1F 2A ，O 2F 2平分∠F 1F 2B ， ∴∠O 1F 2O 2＝90°，∴Rt△O 1F 2P ∽Rt△F 2O 2P ∽Rt△O 1O 2F 2，∴|O 1F 2|2＝|O 1P |·|O 1O 2|，|O 2F 2|2＝|O 2P |·|O 1O 2|， ∴|O 1F 2|2|O 2F 2|2＝|O 1P ||O 2P |＝r 1r 2＝3， 则tan∠O 2O 1F 2＝|O 2F 2||O 1F 2|＝33，∴∠O 2O 1F 2＝30°，则∠O 1F 2P ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°， ∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3. 综上，直线l 的斜率为± 3.方法二 当A 在第一象限时，如图2，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ，则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |，又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ，∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ，∴|F 2P |＝c －a ，∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点，连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2.设⊙O 2切BF 2于点H ，连接O 1N ，O 2H ，则在直角梯形O 2HNO 1中，|O 2H |＝r 2，|O 1N |＝r 1＝3r 2，|O 1O 2|＝r 1＋r 2＝4r 2，作O 2T ⊥O 1N 于点T ，则|O 1T |＝r 1－r 2＝2r 2，故在Rt△O 1O 2T 中，∠O 2O 1T ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°，∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3.综上，直线l 的斜率为± 3.16.(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (在第一象限)在双曲线的右支上，直线PF 2的倾斜角为120°，△PF 1F 2的面积S ＝32(a 2＋b 2)，求双曲线C 的离心率. 解 方法一 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以|PF 2|＝|y 0|sin60°＝c . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2|·|F 1F 2|cos∠PF 2F 1＝c 2＋(2c )2－2×c ×2c ×cos60°＝3c 2，所以|PF 1|＝3c .由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ＝(3－1)c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝23－1＝3＋1.方法二 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以x 0＝c －|y 0|tan60°＝c 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c . 由点P 在双曲线上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1， 整理得c 4－8c 2a 2＋4a 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e >1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.。
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解44 双曲线(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。
2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程讲义含解析湘教版选修2_1
2．2.1 双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义的点的轨迹叫|)2F 1F |小于(的定值0的绝对值为大于距离之差的2F ，1F 平面上到两个定点焦距．叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的2F ，1F 定点作双曲线．这两个2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x2m －y2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x22－y26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上．[自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y2a2－x2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x216－y2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y216－x2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9，∴所求双曲线的标准方程为y216－x29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x29－y23＝1.设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2，又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52，∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x29－y216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝6， ①|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100. ②由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36.所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36.∴|PF 1||PF 2|＝32.在直角三角形PF 1F 2中，|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎪⎫－3415，165，⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－165，⎝⎛⎭⎪⎫－3415，－165.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－15b2＝1，a2＋b2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.所以双曲线方程为y24－x25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|15－＋＋－15－＋－|＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y24－x25＝1.法三：由题意设双曲线方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)．∴所求双曲线的方程为y24－x25＝1.1．若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)． 答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x216－y29＝1(x ≤－4) B.x29－y216＝1(x ≤－3)C.x216－y29＝1(x ≥4) D.x29－y216＝1(x ≥3)解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x29－y216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1.答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________．解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x21k －y28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k，∴k ＝－1.答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x225－y224＝1 或y225－x224＝1.(2)因为椭圆x225＋y29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－ －＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9，故所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.一、选择题1．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8.答案：C2．已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C.3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x2＋y2＝54＋14＝62.答案：A4．已知双曲线C ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y2m －x29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16. 答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________． 解析：法一：利用双曲线定义．2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝1214＋1－ 14＋1＝552－52＝25，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x25－y24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x2a2－y29－a2＝1，则有254a2－19－a2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0.∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)．∴双曲线方程为x25－y24＝1.答案：x25－y24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题9．若方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解：∵方程x25－m ＋y2m2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1.∴m ＞5.即m 的取值范围是(5，＋∞)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝2 3.又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2 2|MF2|·|F1F2|＝3＋5－32×23×25＝－215<0.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．。
高考数学第11讲双曲线定义及其性质解析版(可复印)
B. 9
C. 5
D. 3
【答案】B
根据双曲线方程可知， ������ = 3 ，根据双曲线性质可知， ||������������2| − |������������1|| = 2������ ， |������������1| = 3 ，所以 |������������2| = 9 。 故本题正确答案为 B。
−
������2 ������2
=
1
的焦距为 10
，点
������(2,1)
在
������
的渐近线上，则
������
的
方程为（ ）。
A. ������2 − ������2 = 1
20 5
B. ������2 − ������2 = 1
5 20
C. ������2 − ������2 = 1
80 20
的渐近线方程为
（ ）。
A. ������ = ± 1 ������
4
B. ������ = ± 1 ������
3
C. ������ = ± 1 ������
2
D. ������ = ±������ 【答案】C
因为 ������ = ������ = √5 ，所以 4������2 = 5������2 。又由 ������2 = ������2 + ������2 求得 4������2 = ������2 ，所以 ������ =
������
2
因为 |������������| = |������������| ，
且点 ������ 位于渐近线方程 ������ = ± √2 ������ 上，
2
过点 ������ 作 ������������ ⊥ ������������ ，则 ������������ = 1 ������������ = √6 ，
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线讲义理含解析
第6讲 双曲线对应学生用书P149 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，P 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b .(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±233x D ．y ＝±32x答案 A解析 双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)两焦点之间的距离为4，∴2c ＝4，解得c ＝2；∴c 2＝a 2＋1＝4，∴a ＝3； ∴双曲线的渐近线方程是y ＝±13x ，即y ＝±33x .故选A. (2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.答案 17解析 由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.(3)经过点A (5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案x 216－y 216＝1 解析 设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x 216－y 216＝1.(4)(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.答案 4解析 由已知，b 2＝4，e ＝c a ＝52，即c 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，又因为a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＋4a 2＝54，a 2＝16，a ＝4.题型 一 双曲线的定义及应用1．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|PA |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12 答案 B解析 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|PA |＝4＋|PB |＋|PA |≥4＋|AB |＝4＋－2＋－2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．∴|PF |＋|PA |的最小值为9.故选B.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34. 条件探究 举例说明2中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积．解 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.(1)应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．(2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立与|PF 1|·|PF 2|间的联系．1．F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29－y 27＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|＝8，则△PF 1F 2的周长为( )A ．15B ．16C ．17D ．18 答案 D解析 由已知得a ＝3，b ＝7，c ＝a 2＋b 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝8.由双曲线的定义可知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|＝8，所以|PF 2|＝2.所以△PF 1F 2的周长是|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝18.2．方程 x ＋2＋y 2－x －2＋y 2＝12的化简结果为( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝1(x >0) D.x 264－y 236＝1(x >0) 答案 C解析 由已知得点P (x ，y )到点F 1(－10,0)和点F 2(10，0)的距离之差为12，显然12<|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是以F 1(－10,0)，F 2(10,0)为焦点，实轴长为12的双曲线的右支，已知方程是点P 的轨迹方程，由a ＝6，c ＝10得b ＝c 2－a 2＝8，所以点P 的轨迹方程可化为x 236－y 264＝1(x >0)．题型 二 双曲线的标准方程及应用1．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2)B.x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 答案 A解析 设动圆的半径为r ，由题意可得MC 1＝r ＋2，MC 2＝r －2，所以MC 1－MC 2＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故其标准方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．2．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.求双曲线标准方程的两种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 注意：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)求解．1．设F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过Q (5，3)点，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 22－y 22＝1C.x 23－y 29＝1D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，F 1，F 2，P (0,2b )构成正三角形，∴2b ＝3c ，即有3c 2＝4b 2＝3(a 2＋b 2)，∴b 2＝3a 2；双曲线x 2a 2－y 2b2＝1过点Q (5，3)，∴5a 2－33a2＝1，解得a 2＝4，∴b 2＝12， ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.2．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案x 24－y 2＝1解析 因为此双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，即x 2±y ＝0，所以可设此双曲线方程为x24－y 2＝λ(λ≠0)．又因为此双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，λ＝1，所以此双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 题型 三 双曲线的几何性质角度1 与双曲线有关的范围问题1．(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33.故选A.角度2 与双曲线渐近线有关的问题2．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析 因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝－33x ，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3，所以N (3，－3)，所以|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－322＝3.角度3 与双曲线离心率有关的问题3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 答案 B解析 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <b ax ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞，选B.1．与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m 2＋n －y23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案 A解析 由题意可知，c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距， ∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1，∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0， ∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.2．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4答案 B解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b .因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以22a ＝1，所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.3．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， ∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－6a 22b ·2c＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C.题型 四 直线与双曲线的综合问题已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 解 (1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k 2，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又因为－2<k <2，且k ≠±1， 所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤2．一个易错点联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论． 3．一组常用结论过双曲线x 2m －y 24＝1的右焦点F 作x 轴的垂线与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为8，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x 答案 C解析 由右焦点F (c,0)，∴c 2m －y 24＝1，∴y ＝±4m，∴|AB |＝8m，∵△AOB 的面积为8，∴12×8m ×m ＋4＝8，解得m ＝43， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±223x ，即y ＝±3x . 高频考点 双曲线的离心率、渐近线问题考点分析 高考题对双曲线的考查，通常以选择或填空题的形式出现，考查内容以离心率、渐近线问题为主．[典例1] (2019·安徽皖江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4，3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A.52B.52C.72D.72答案 C解析 由双曲线的对称性可知P 3(－4,3)，P 4(4,3)在双曲线上，且P 1(4,2)一定不在双曲线上，∴P 2(2,0)也在双曲线上，∴a ＝2，b ＝3，c ＝7，∴e ＝72. [典例2] 如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)两渐近线的夹角是60°，则该双曲线的离心率是________．答案233或2 解析 易知双曲线的渐近线的斜率是±b a .又两渐近线的夹角为60°，则b a ＝tan30°或b a＝tan60°，即e 2－1＝13或e 2－1＝3，又e >1，所以e ＝233或e ＝2，故该双曲线的离心率为233或2.[典例3] (2018·华南师大附中二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2关于直线y ＝bax 的对称点为M ，若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 设点F 2关于直线y ＝b ax 的对称点是M 在双曲线的左支上，MF 2交渐近线于点N ，则|MN |＝|NF 2|＝|bc |b 2＋a2＝b ，|ON |＝|OF 2|2－|NF 2|2＝c 2－b 2＝a ，又因为O 是F 1F 2的中点，N 是MF 2的中点，所以|MF 1|＝2a ，又由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝2a ，所以2b －2a ＝2a⇒b a＝2，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程讲义(含解析)湘教版选修2_1
[读教材·填要点]1．双曲线的定义平面上到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于|F 1F 2|？若定值等于|F 1F 2|或等于0或大于|F 1F 2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于|F 1F 2|，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． (3)如果定义中定值改为大于|F 1F 2|，此时动点轨迹不存在．2．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．3．若方程x 2m －y 2n ＝1表示双曲线，m ，n 应满足什么条件？提示：若方程x 2m －y 2n＝1表示双曲线，则m ·n >0.在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答] 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件： (1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离． 同时具备这两个条件才是双曲线．1．已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．解：因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上． [自主解答] (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6， ∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1. ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.(2)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，∵双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程y 2a 2－x 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 解：(1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[自主解答] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．若本例中的|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2改为PF ―→1·PF ―→2＝0，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF ―→1·PF ―→2＝0，则PF 1⊥PF 2， ∴△PF 1F 2为直角三角形． ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2， 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.3．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 的坐标．解：由双曲线的方程知：a ＝3，b ＝4，c ＝5，不妨设点P 在第一象限，坐标为(x ，y )，F 1为左焦点，那么：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝6， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100. ②由①得：(|PF 1|－|PF 2|)2＝36.所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36. ∴|PF 1||PF 2|＝32. 在直角三角形PF 1F 2中， |PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·y ＝32，所以y ＝165，代入双曲线的方程得：x ＝3415，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，165，再根据双曲线的对称性得点P 的坐标还可以是⎝⎛⎭⎪⎫－3415，165，⎝ ⎛⎭⎪⎫3415，－165，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3415，－165.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解] 法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，由题意可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二：将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)， 又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝ |15－2＋＋2－15－2＋－32|＝4，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线方程为y 24－x 25＝1.法三：由题意设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27＜λ＜36)， 将A (±15，4)代入得1527－λ＋1636－λ＝1.解得λ＝32或λ＝0(舍去)． ∴所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．答案：B2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.()3，0解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12.∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 答案：C3．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3)C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：由题意，得c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， ∴P 点的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x ≥3)．答案：D4．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )>0，即－1<k <1. 答案：(－1,1)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________． 解析：由8kx 2－ky 2＝8，得x 21k －y 28k＝1.又∵焦点在y 轴上，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1k.∵c ＝3，由c 2＝a 2＋b 2得9＝－8k －1k，∴k ＝－1.答案：－16．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解：(1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24. 由于焦点所在的坐标轴不确定， 故所求双曲线的标准方程是x 225－y 224＝1 或y 225－x 224＝1.(2)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－ －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02＝8， 即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9， 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.一、选择题 1．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16， ∴c ＝4,2c ＝8. 答案：C2．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C. 3D ．2解析：因为动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2为定值，又2<22，所以P 点的轨迹为双曲线的一支．因为2a ＝2，所以a ＝1.又因为c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝1.所以P 点轨迹为x 2－y 2＝1的一支．当y ＝12时，x 2＝1＋y 2＝54，则P 点到原点的距离为|PO |＝x 2＋y 2＝54＋14＝62. 答案：A4．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 1的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48.答案：C 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)和F 2(3,0)，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1在双曲线右支上，则该双曲线的方程是______________．解析：法一：利用双曲线定义． 2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝ 1214＋1－ 14＋1 ＝552－52＝25， ∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝4. 故所求方程为x 25－y 24＝1.法二：待定系数法．设双曲线方程为x 2a 2－y 29－a 2＝1，则有254a 2－19－a 2＝1，∴4a 4－65a 2＋225＝0. ∴a 2＝5或a 2＝454>9(舍去)．∴双曲线方程为x 25－y 24＝1.答案：x 25－y 24＝17．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：48．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设右焦点为F 1，依题意，|PF |＝|PF 1|＋4，∴|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋4＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4＝5＋4＝9.答案：9三、解答题 9．若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围． 解：∵方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞5，m ＞3或m ＜－1. ∴m ＞5. 即m 的取值范围是(5，＋∞)． 10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆的方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝ 5.故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2. 故双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 3.又|MF1|＋|MF2|＝63，解得|MF1|＝43，|MF2|＝2 3. 又|F1F2|＝2c＝25，因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2 2|MF2|·|F1F2|＝32＋52－322×23×25＝－215<0.所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．。
(浙江专用)高考数学第八章平面解析几何第七节双曲线教案(含解析)
第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫 做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．会集P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，此中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1) 当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2) 当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3) 当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质x 2y 2y 2x 2标准方程a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 图形范围x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点极点极点坐标：1(－a,0)，2(a, 0)极点坐标：AAA 1(0，－a )，A 2(0，a )ba渐近线y ＝±a xy ＝±b x性质c离心率e ＝a ，e ∈(1 ，＋∞)a ，b ，cc 2＝a 2＋b 2的关系线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA |＝2a ；1 21 2实虚轴线段1 2叫做双曲线的虚轴，它的长 |1 2|＝2BBBBba 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]x 2 y 21．双曲线3－2＝1的焦距为________．x 2 y 22分析：由双曲线3－2＝1，易知c ＝3＋2＝5，所以c ＝5，x 2 y 25.所以双曲线－ ＝1的焦距为232答案：25x 2y 22．(教材习题改编)以椭圆＋＝1的焦点为极点，极点为焦点的双曲线方程为43________．22分析：设要求的双曲线方程为x 2－y2＝1( ＞0，＞0)，a b abx 2 y 2由椭圆4＋3＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，极点为(±2,0)．所以双曲线的极点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，2y2 所以双曲线标准方程为x －＝1.32y2 答案：x －3＝1x 2 y 253．(2018·北京高考)若双曲线a 2－4＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.c a 2＋b 2 a 2＋452分析：由e ＝＝a 2，得2＝，∴a ＝16.aa4∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视 点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|2a ＜|F 1F 2|这一条件．若，则轨迹不存在．2a ＝| F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求不过a ＞0，b ＞0，易误以为与椭圆标准方程中a ，b 的要求同样．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.b4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点地址关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±a ，a当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±b .[小题纠偏]x 2y 21．设P 是双曲线16－20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9， 则|PF 2|等于________．分析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________． 分析：由于双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，22不如可设该双曲线的方程为2x －y ＝λ.所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2，2y 2即其标准方程为x －2＝1.22y答案：x －＝12考点一双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆 x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为()A.x 2－ y 2＝1B.y 2－x 2＝133x 2 y 2y 2 x 2C.9－16＝1D. 16－9＝1分析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在 y 2 y 轴上，设其方程为2－ax222 ①又知渐近线方程为a3，②2＝1(a＞0，b＞0)，且a＋b＝4，3x±y＝0，∴＝b b2 2 y22由①②得a＝3，b＝1，∴双曲线方程为3－x＝1.x2 y22．(2018·海口二模)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )A.x2－y2＝1 B. x2－y2＝1 1 9 322y2 x2 y2C．x－3＝1 D.2－3＝13 2b分析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，∴a＝tan60°x2 y2 23 2 ＝3，即b＝3a，∵双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)过点( 2，3)，∴a2－b2＝1，即a23 2 2 2 y2－3a2＝1，解得a ＝1，∴b ＝3，故双曲线C的标准方程是x－3＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0) ，且离心率等于3，2 则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．分析：由于＝3，所以c 3＝2，所以 2 ＝x2－c e ＝＝，解得a b5.所以双曲线的标准方程为a 2 42 5y＝1，其渐近线方程为y＝±x.5 2答案：x2－y2＝1 y＝±5x4 5 2y2 24．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线4－x＝1 有同样渐近线的双曲线的标准方程是________________．y2 2 x2 y2分析：设所求双曲线的标准方程为4－x ＝－λ(λ＞0) ，即λ－4λ＝1，则有4λ＋λx2y2＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为5－20＝1.x2y2答案：5－20＝1[牢记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，依据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2y2a2－b2＝1有同样渐近线时，可设所求双曲线方程为x2y2 a2－b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点地址确立c的值．考点二双曲线的定义要点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线2y2x－24＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若| PF1| 4＝3|PF2|，则△F1PF2的面积为( )A．48B．24C．12D．6分析：选B由双曲线的定义可得1|PF1|－|PF2|＝3|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，1所以S△PF1F2＝2|PF1|·|PF2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数一定小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转变应用．[即时应用]1 2 2 2 1 21．已知F，F为双曲线C：x －y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF|＝2| PF|，则cos∠F1PF2＝( )1 3A. B.4 53 4C.4D.5分析：选C 双曲线方程可化为x2 y2－＝1，2 2∴a＝b＝2，∴c＝2.|PF |－|PF |＝22，由12得|PF |＝42，|PF |＝22，由余弦定理得cos ∠FPF ＝|PF |＝2|PF |121212|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|232|PF |·|PF＝.|4122．(2018·余姚期初)已知△ABC 的极点A ，B 分别为双曲线x 2 y 216－9＝1的左、右焦点，|sin A －sin B | 的值为____________． 极点C 在双曲线上，则 sin CBCACAB|sin A －sinB |分析：由正弦定理知，sin A ＝sin B ＝sin C ，由双曲线的定义可知，sin C＝||BC |－|AC || 84|| ＝10＝5.AB4 答案：5考点三 双曲线的几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热门． 常有的命题角度有：(1) 求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程； (3) 求双曲线方程．[题点全练] 角度一：求双曲线的离心率(或范围)x 2 y 21．(2016·山东高考 )已知双曲线E ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个极点在 E上，， 的中点为 E 的两个焦点，且 2||＝3| |，则 E 的离心率是________．ABCDABBC2b 2分析：如图，由题意知 |AB |＝a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，2b 2 2， ∴2×＝3×2，即2＝3ac bac∴2(c 2－a 2 )＝3ac ，两边同除以 a 2并整理得 2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程x 222．(2018·乐清调研)以椭圆4＋y＝1 的焦点为极点，长轴极点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．x 2 y 2分析：由题意可知所求双曲线方程可设为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，3故所求渐近线方程为 y ＝±3x .3答案：y ＝±3x角度三：求双曲线方程223．过双曲线： x2－ y2＝1( ＞0，＞0)的右极点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相C a b ab交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为 4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为()x 2 y 2x 2 y 2A.－＝1B.－＝141279x 2 y 2x 2 y 2C.8－8＝1D.12－4＝1b分析：选A 由题意知右极点为 (a,0)，不如设此中一条渐近线方程为y ＝a x ，所以可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为 (0)，由已知可得c ＝4，且| |＝4，即(c －)2＋ b 2＝16，所以有( c － )2Fc,AFaa＋ b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的2x 2y 2方程为4－12＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率 (或范围)．依照题设条件，将问题转变成关于， c 的等式(或不a等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依照题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进 而得出双曲线的渐近线方程．(3) 求双曲线的方程．依照题设条件，求出a ，b 的值或依照双曲线的定义，求双曲线的 方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及[演练冲关]a ，b ，c 之间的关系求解．x 2y 21．(2018·萧山六校联考 )已知 l 为双曲线C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l2 2 2 2 2 2与圆F ：(x －c ) ＋y ＝a (此中c ＝a＋b )订交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为()A ．2B. 525 6C.3D.2分析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，x 2 y 22 2 2∵l 为双曲线C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )＋y ＝a (其中c 2 ＝a 2＋b 2)订交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .|bc ＋0| bc2|AB |22又(c,0)到l的距离d ＝b 2＋a 2＝c ＝b ，∴b ＋2 ＝a ，将| AB |＝ 2a 代入上式，22222c6得a ＝2b .又c ＝a ＋b ，∴e ＝a ＝2.2．(2018·台州调研)设双曲线x 2 22－y 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则ab双曲线的渐近线方程为 ________．分析：由于2b ＝2，所以b ＝1，由于 2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝ c 2－b 2＝ 2，b 2所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a x ＝±2 x .2 答案：y ＝±2xx 2 y 23．(2018·杭州二中适应)双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点 O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．3c 2分析：由题可得，要使三角形 OPF 2为正三角形，则 P 21c ，2c 在双曲线上，所以4a 2－3c 2222c422 24b 2＝1，结合 b ＝c－a 及e ＝a ，化简得 e －8e ＋4＝0，解得e ＝4＋2 3或e ＝4－2 3.由于＞1，所以 e 2＝4＋2 3，所以 e ＝ 4＋23＝ 3＋1.e答案： 3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 2＋y 2＝1，它的焦点F 到渐近线8－m4－m的距离的取值范围是 ________．x 2y 2分析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |x 2y 2x 2 y 222＝b .而双曲线＋＝1，即－ ＝1的焦点在b ＋a8－m 4－m8－mm －48－＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．x 轴上，则m －4＞0，答案：(0,2)考点四直线与双曲线的地址关系要点保分型考点——师生共研[典例引领]x 2 y 2设A ，B 分别为双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右极点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线 y ＝ 3 －2 与双曲线的右支交于，两点，且在双曲线的右支上存在点 ，3xMND使―→＋―→ ＝ ―→，求 t 的值及点 D 的坐标．OM ON tOD解：(1)由题意知a ＝2 3，b∵一条渐近线为y ＝a x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，|bc | 得b 2＋a 2＝3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，x 2y 2∴双曲线的方程为12－3＝1.(2) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.3x 2 y 2将直线方程y ＝3x －2代入双曲线方程 12－3＝1得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋ 2＝ 3 x 1＋ 2)－4＝12.3 ( y xx 0 ＝ 4 3y 0 3 ， 03，x ＝4∴2 2解得y 0＝3.x 0y 0－＝1.12 3∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的地址关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的地址关系的判断与应用和直线与椭圆的地址关系的判断 方法近似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数能否为0的判断．(2) 技巧：关于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在座标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点． (1) 求双曲线C 的方程；(2) 设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝ 0(n ∈R)三均分，务实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，49λ＋25μ＝1，依题意有λ＋μ＝1， λ＝－1， 解得μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1. (2) 将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1，得 x 2＋4 ＋(22－1)＝0，①mxm222＝(4m )－4(2m －1)＝8m ＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则 x 1＋ 2＝－4，12＝22－1，xmxx mx 1＋x 2所以x 0＝＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，2所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1，m故＝－1，即m ＝－2.6＋2m将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7， 所以||＝1＋12|x 1－2|＝62.MNx故直线 l 截圆 E 所得弦长为 1 | |＝22.3 MN 又(6,0)到直线l 的距离 ＝22， Ed所以圆E 的半径 R ＝22＋2 2＝ 10，所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.所以m＝－2，n＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快x2 21．(2018·浙江高考)双曲线3－y＝1 的焦点坐标是( ) A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0) ，(2,0)C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2)x2 2分析：选B∵双曲线方程为3－y ＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝a2＋b2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0) ，(2,0) ．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线x2 y2 x2 y2 ：2－2＝1(＞0，＞0)的离心率与椭圆25＋C m n m n 16＝1 的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( ) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0分析：选A 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝b2 3 1－2＝，∴双a 5曲线的离心率为n2 5 n4，∴双曲线的渐近线方程为n 41＋2＝，∴＝y＝±x＝±x，即4x±3y m 3 m3 m 3＝0. 应选A.x2 y23．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦1 2 1 2 1 1 1点分别是F，F，正三角形AFF的一边AF 与双曲线左支交于点B，且AF＝4BF，则双曲线C的离心率为( )3 3＋1A. 2＋1B. 213 13＋1C. 3＋1D. 3分析：选D 不如设点A在x轴的上方，由题意得，F1(－c,0) ，A(0，3c)，设B(x，3 311 c cy)，∵AF＝4BF，∴(－c，－3c)＝4(－c－x，－y)，∴x＝－4，y＝4，代入双曲线9c 2 3c 21616 a4213＋1 .＝1，∴9e －28e ＋16＝0，∴e ＝3222x 2y 24．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线9－16＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.分析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.由于|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π，211 所以S △F 1PF 2＝2|PF 1|·|PF 2|＝32×2＝16.π答案：2165. 以下列图，已知双曲线以长方形ABCD 的极点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两极点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．x 2y 2分析：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，4＝a 2＋b 2，2∴49解得a ＝1，2a 2－b 2＝1，b ＝3，x 2 y 2∴双曲线的标准方程为－3＝1.2y 2答案：x －3＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k ＜9”是“方程x 2 ＋ y2 ＝1表示双曲线”的( )25－k k － 9A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件x 2y 2分析：选A ∵方程25－k ＋k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)＜0，∴k ＜9 或k＞25，∴“k ＜9”是“方程x 2＋ y 225－k＝1表示双曲线”的充分不用要条件，应选A.k －92y 22．(2018·杭州调研)过双曲线x －3＝1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝()A. 4 3 B ．2 3 3 C ．6D ．432y 2分析：选D 由题意知，双曲线x －3＝1的渐近线方程为 y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为 (2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.x 2 y 23．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点， 过F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点2πB ，若|AF|＝2a ，∠FAF ＝3，则1112S △AFF12S △ABF 2 ＝()A ．1B. 1 2C. 1D. 233分析：选B以下列图，由双曲线定义可知|AF |－|AF |＝2a .21由于|AF |＝2a ，所以|AF |＝4a ，122π又∠FAF ＝3，1 21 211 21 2132所以S △AFF ＝2|AF |·|AF |·sin ∠FAF ＝2×2a ×4a ×2＝2 3a .由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.π 由于∠BAF 2＝3 ，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，3232 2所以S △ABF 2＝ 4|AF 2|＝ 4 ×(4a )＝43a ，1 22 3a 2 1.故S △AFF ＝＝△24 3a 22S ABF224．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ： x 2 － y2＝a b1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点 F 2的直线与双曲线 C 的右 支交于P ，Q 两点，且|PF |＝2|F Q|，P Q ⊥F Q ，则双曲线 C 的离心率221是( )A.2B. 3 10D.17C.32分析：选D设|F Q|＝m ，则|F Q|＝2a ＋m ，|FP |＝2m ，|FP |＝2a ＋2m .由于P Q ⊥F Q ，2121122 2 228所以(2a ＋m )＋(3m )＝(2a ＋ 2m )，解得6m ＝4am ，解得m ＝3a ，所以|F 1Q|＝3a .所以在△F 1F 2Q2a 2 8a 2 2222c217 17中，|F 1F 2|＝2c ，所以3 ＋ 3＝(2c ) ，解得17a ＝9c ，所以e ＝a 2＝9，即e ＝3.x 2 y 25．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直π π 线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈12，6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1] 分析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r ，|MF ′|＝r ，则|NF |12＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关222②，于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 1＋r 2＝4c由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴1r 1r 2＝2·1c 2·sin2β，∴b 2＝c 2·sin222221ππ13 21 2β＝c －a ，∴e ＝1－sin2β，又∵β∈12，6 ，∴sin2β∈2，2，∴e ＝1－sin2β ∈[2，(3＋ 2，又∵e ＞1，∴e ∈[ 2，3＋1]，应选D.1)]6．已知双曲线的一个焦点 F (0， 5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．y 2x 2分析：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，c ＝5，a 2＋b 2＝5，a 2＝4，由题意得 a?a ＝2b2b ＝2b ＝1，2y 所以双曲线的标准方程为－x ＝1.c 5所以a ＝2，离心率e ＝a ＝2.y 225 答案：4－x ＝127．若点P 是以 (－3,0)，(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一AB个交点，则||＋||＝________.PAPB分析：不如设点 P 在双曲线的右支上，则 |PA |＞|PB |.由于点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知， |PA |－|PB |＝2 5， ①又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得 2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：213：x228．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线2－y2＝1(＞0， ＞0)的右焦点为，过点FC a b a bF 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C的离心率＝________.e分析：法一：由 2＝知，|MF |＝1.由渐近线的对称性知∠＝∠，即为∠2|FN |NOM 的角均分线，则|OM ||MF | 1π ，∠NOF ＝∠MOF ＝πcos ∠NOM ＝||＝ ||＝2，所以∠NOM ＝36.由于ON FNbbπ 3cb 223 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±a x ，所以a ＝tan6＝3，所以e ＝a ＝1＋a＝3.法二：以下列图，双曲线C 的一条渐近线的方程为 bx ＋ay ＝0，右焦bc点为F (c,0)，所以|FM |＝a 2＋b 2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又由于2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin1 π ππ b 3∠FNP ＝2，所以∠FNP ＝ 6 ，故在△OMN 中，∠MON ＝ 3 ，所以∠FON ＝ 6 ，所以a ＝3，所以双曲线 C 的离心率 ＝ b 2 231＋2＝.e a 323答案：39．已知双曲线的中心在原点，焦点F ，F 在座标轴上，离心率为 2，且过点(4，－ 10)，12点M (3，m )在双曲线上．(1) 求双曲线的方程；―→(2)求证：MF 1·MF 2＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.―→(2) 证明：设MF 1＝(－23－3，－m )， ―→ 3－3，－m )． MF 2＝(2―→ ―→＋23)×(3－2 22∴MF 1·MF 2＝(3 3)＋m ＝－3＋m ，∵M 点在双曲线上，22∴9－m ＝6，即m －3＝0，―→―→∴MF 1·MF 2＝0.(3) ∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43. 由(2)知m ＝±3.1∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝2×43×3＝6.x 2y 210．已知双曲线：2－ 2＝1( ＞0，＞0)的离心率为 3，点(3，0)是双曲线的一个C a b ab极点．(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点A ，B ， 求|AB |.2 2解：(1)∵双曲线： x2－ y2＝1( ＞0， ＞0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一C a ba bc3，6，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1. 个极点，∴a＝解得c ＝3，＝b36a ＝ 3，x 2 y 22，(2)双曲线3－6＝ 1的右焦点为F (3,0)3∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝3(x －3)．x 2y 23－6＝1，联立得5x 2＋6x －27＝0.3y ＝3x －，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，627则x 1＋x 2＝－ 5，x 1x 2＝－ 5.所以|AB |＝16 227 16 31＋3×－－4× －5＝5 .5三登台阶，自主选做志在冲刺名校：x 221．(2018·暨阳联考)已知双曲线2－y 2＝1( a ＞0， ＞0)的左焦点为，过点 F 作双C ab bF曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足 ―→―→ ―→FPFP ＝3FH ，则双曲线的离心率为()A. 3B ．23C. 13D.132b|bc | ―→―→分析：选C不如取渐近线方程为 y ＝－a x ，则|FH |＝a 2＋b2＝b .由于FP ＝3FH ，所b以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .由于cos ∠PFF 2＝c ，|FF 2|＝2c .所 以由余弦定理得： (3b2c 2 ＋9 2 b＝3.若取 a ＝2，则＝3，－2)＝4－2×2×3×，化简得2abc b cbabc13c ＝13.所以离心率为e ＝a ＝2.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为23. (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直均分线 l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．x 2 y 2解：(1)设双曲线C 的方程为a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1，x 22∴双曲线C 的方程为3－y ＝1.2x 22(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入－y ＝1，得(1－3k )x －62kx －9＝0.1－3k2≠0，＝－k2＞0，由题意知62k解得3A B＜0，＜k＜1. x＋x＝1－3k2 3AB－9xx＝1－3k2＞0，∴k的取值范围为3. 3，1 62k(3)由(2)得：x A＋x B＝1－3k2，∴y A＋y B＝(kx A＋2)＋(kx B＋2)2 2＝k(x A＋x B)＋22＝1－3k2.∴AB的中点P的坐标为32k22. 2，1－3k 1－3k设直线l 0的方程为：y＝－1＋，kxm4 2将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝1－3k2.3 2∵3＜k＜1，∴－2＜1－3k＜0.∴m＜－22.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。
高考数学复习考点题型归类解析42双曲线(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题42双曲线一、关键能力1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．2．建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．二、教学建议教学中要让学生类比椭圆学习的过程，进而再了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。
三、自主梳理1．双曲线的定义平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性范围x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a3．等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，离心率e 渐近线方程为y ＝±x ． 四、高频考点+重点题型 考点一.双曲线的定义及其应用题组一（定义法求轨迹方程）1.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 答案：x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析：如图10.3-1所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2外切于点A 和点B ．图10.3-1根据两圆外切的充要条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|,所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.根据双曲线的定义知．动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),且a＝1,c＝3,则b2＝8,设点M的坐标为(x,y),则其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C 的轨迹方程是()A.x24－y221＝1(x＞2)B.y24－x221＝1(y＞2)C.x221－y24＝1D.y24－x22＝1解析：选A如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x24－y221＝1(x＞2)．题组二（焦点三角形之定义使用）1.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|＝2|PF2|,则cos∠F1PF2＝________.答案：34解析：由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22,又|PF 1|＝2|PF 2|,∴|PF 1|＝42,|PF 2|＝22,则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.2.过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若PQ ＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________． 答案 12解析：由题意，得PF 2－PF 1＝2，QF 2－QF 1＝2.∵PF 1＋QF 1＝PQ ＝4，∴PF 2＋QF 2－4＝4，∴PF 2＋QF 2＝8. ∴△PF 2Q 的周长是PF 2＋QF 2＋PQ ＝8＋4＝12.3.已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.题组三（线段的转移）1.已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．解析：因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|P A|＝2a＋|PH|＋|P A|≥2a＋|AH|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.2.（2020·河南省孟州市第一中学模拟）已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是________．【答案】8【解析】设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.3．设双曲线C：x28−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（）A．8√2B．8C．4√2D．4【解答】A解：如图，由双曲线方程可得a=2√2．由双曲线的定义可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4√2，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4√2，∴|F2M|＝|F1M|+4√2，|F1N|＝|F2N|+4√2，∵点F2在线段MN的中垂线上，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8√2，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8√2．考点二.双曲线的标准方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2.与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( ) A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1C.x 23－y 23＝1D ．x 2－y 22＝1 解析：选B法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 答案：y 225－x 275＝1解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.4．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 答案 A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.考点三、焦点三角形1．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为．答案：92解：|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，可得三角形ABF2为直角三角形，∠BAF2＝90°，设|AF1|＝m，|BF1|＝n，可得m+n＝4，3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，则△BF1F2的面积为S△ABF2−S△AF1F2=12×3×4−12×1×3=92．故答案为：92．2．已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解答】解：∵P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵M是线段PF1的中点，∴|MF1|=|PM|=12|PF1|，∵O是线段F1F2的中点，∴|MO|=12|PF2|，∴12|PF1|−12|PF2|=a⇒|MF1|−|OM|=a⇒|OM|=|MF1|−a，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是相内切．故选：B．3．从双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |﹣|MT |等于（ ）A ．c ﹣aB ．b ﹣aC ．a ﹣bD ．c ﹣b【解答】解：如图所示，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′． ∵点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM |=12|PF ′|=12（|PF |﹣2a ）=12|PF |﹣a ＝|MF |﹣a ，∴|OM |﹣|MT |＝|MF |﹣|MT |﹣a ＝|FT |﹣a ，连接OT ，因为PT 是圆的切线， 则OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ， ∴|FT |=√丨OF 丨2−丨OT 丨2=b ． ∴|OM |﹣|MT |＝b ﹣a ． 故选：B ．考点三.双曲线的离线率题组一（离心率的值）1.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B. 5 C.53D.54 [答案] A(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca ＝5.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________． 【答案】2【解析】如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线， 即BF 2//OA ，BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ， 则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1， 又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝π， 得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°， 又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3， 所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋（ba ）2＝1＋（3）2＝23.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.题组二（离心率的范围）1.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2) [答案] (1)B[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.2.已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，则其离心率的取值范围是( ) A.()1，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 C.()5，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞答案 C解析 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，得1a 2－4b 2＝1，即b 2a 2＝b 2＋4， 所以e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝b 2＋5>5，所以e > 5.考点四 双曲线的渐近线1.（2020·新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D 、E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D 、E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩故(,)D a b 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩故(,)E a b -∴||2ED b = ∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c=≥==当且仅当a b==∴C的焦距的最小值为8。
高考数学专题14双曲线(基础篇 )解析版 Word版含解析
《2016艺体生文化课-百日突围系列》双曲线的定义与标准方程【背一背基础知识】1．双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．双曲线的定义用符号语言表示：()1212202MF MF a a F F -=<<． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -．(2) 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程：()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -．其中,,a b c 几何意义：a 表示实轴长的一半，b 表示虚轴长的一半，c 表示焦距长的一半．并且有222c a b =+．(3)当a b =时，双曲线称为等轴双曲线，其方程为222x y a -=或222y x a -=．【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）高考中对于双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的定义、标准方程、焦点坐标、离心率以及渐近线方程等基础知识；（2）求双曲线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定双曲线的焦点在x 轴还是y 轴上．“定式”就是根据“形”设出双曲线的具体形式，若焦点在x 轴上，则设方程为()222210,0x y a b a b -=>>；若焦点在y 轴上，则设方程为()222210,0y x a b a b-=>>；若焦点位置不确定，可设方程为()2210Ax By AB +=<．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数,a b 或,A B ． 2．典型例题例1．设双曲线C 的两个焦点为()，)，一个顶点是()1,0，则C 的方程为 ． 【答案】221x y -=【解析】由题意知：c =1a =，所以2221b c a =-=，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C 的方程为221x y -=．例2．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．【分析】利用已知条件结合双曲线的定义与勾股定理求解．【方法总结】双曲线定义的应用：(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线；(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化． 【练一练趁热打铁】1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝ ( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对 【答案】B【解析】由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17．2．已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =【考点定位】双曲线的焦点.【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222c b a =+．3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ）A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48【答案】C ．双曲线的几何性质【背一背基础知识】双曲线的简单几何性质以()222210,0x y a b a b-=>>为例．(1)范围：,x a y R ≥∈；(2)对称性：对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为()0,0O ； (3)顶点：()()()()1212,0,,0,0,,0,,A a A a B b B b ---实轴长图1122A A a=，虚轴长122B B b=；(4)离心率cea=，1e>．e越小，双曲线越扁；e越大，双曲线越开阔．(5) 双曲线的渐近线方程：by xa=±．总结可得如下表格：【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有公共渐近线的双曲线的方程可设为()22220x y a b λλ-=≠； （2）等轴双曲线的离心率e =y x =±．2．典型例题例1．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A. 【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.例2．双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D ．【答案】C例3若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A 、3 B 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=． 故选D. 【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线22221x y a b-=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(2)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4) 22221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a =可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 【方法总结】求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a ，c 的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．另外，需注意双曲线的离心率e 大于1，防止产生增解．【练一练趁热打铁】1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 【答案】D【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.2．若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A ．实半轴长相等 B ．虚半轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 【答案】D【解析】05k <<，则50k ->，160k ->，双曲线221165x y k-=-的实半轴长为4，，焦距为=4，双曲线221165x y k -=-=D ．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x【答案】C ．4．过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 【答案】A【解析】因为12222=-b y a x C ：的渐近线为by x a =±，所以(,)A a b 或(,).A a b -因此OA=c=4,从而三角形OAC 为正三角形，即tan 60,2,ba b a ===双曲线C 的方程为112422=-y x ．（一） 选择题（12*5=60分）1．双曲线2221x y -=的离心率为 （ ） ABCD【答案】B ．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：2222222222131,,1,,3,11222x y c a b c a b e e a -=∴===+=∴==∴=B ． 2．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．y =D ．y x =±【答案】B3．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D ．4【答案】A ． 【解析】2222,b AB c b ac a==∴=，又222222,,10,b c a c a ac e e e =--=∴--=∴=． 4．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点在直线20x y a --=上，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．13y x =±D ．3y x =± 【答案】A【解析】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为()20c c >，则c =线方程20x y a --=中，令0y =，解得2x a =，即直线20x y a --=与x 轴交于点()2,0a ，则有2a c =，b ∴===，故双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为by xa=±，即y x=±，即y=．5．若双曲线22:1916x yE-=的左、右焦点分别为12,F F，点P在双曲线E上，且13PF=，则2PF等于（）A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．6．过双曲线2213yx-=的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝( )【答案】D【解析】由题意，a＝1，b＝c＝2，渐近线方程为y将x＝2代入渐近线方程，得y1，2＝±故|AB|＝ D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB的端点坐标，即可求得|AB|的值.属于中档题.7．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )（A （B ） （C （D【答案】C8．设1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足120MAN ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）(A) 3 (B) (C) 73(D)【答案】A【解析】如下图所示，9．设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A) 12±(B) 2± (C) 1± (D) 【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c A a b a c A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=∙A A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-ab a b ac a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到a 与b 的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.10．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.11．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B ．【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题． 12．双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在右支上，且PF 1与圆x 2＋y2＝a 2相切，切点为PF 1的中点，F 2到一条渐近线的距离为3，则的面积为（ ）A 、9B 、3CD 、1 【答案】A ．【解析】由题意知1221290,3,tan2F PF b F PF b S θθ∆=∠=︒==．故选A ．（二） 填空题（4*5=20分）13．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x 【解析】因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率211=k ，所以2C 的一条渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设2C 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，所以2==b a ，所以2C 的方程为14422=-y x . 【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝b a ＝c 2－a2a＝c 2a2－1＝e 2－1. 14.过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .【答案】2【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率. 本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.15．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+，∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵(A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为13x +=-，即3x =-代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-舍)，所以P 点的纵坐标为∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=116622⨯⨯⨯⨯【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.16．设双曲线C 经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．【答案】112322=-y x ；x y 2±=。
9.4双曲线讲义(含解析)
9.6双曲线讲义1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．|MF 1|－|MF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0. 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a题型一 双曲线的定义及标准方程例1 （2016年天津高考文）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x（C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x 【答案】A（1）(2015·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.答案 D（2）2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析 (2)双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a ＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上， 所以－2c ＋10＝0.所以c ＝5. 由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝20.故双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案 A题型二 双曲线的几何性质例2 (1)（2016年全国II 高考理）圆已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E 的离心率为（ ） （A（B ）（C （D ）2【答案】A(2)（2016年山东高考文）已知双曲线E ：–=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______． 【答案】(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB→＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 (1)C (2)C解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)如图，∵FB →＝2F A →， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba ＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2.题型三 直线与双曲线的位置关系例3 (2015·江苏，理12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y12,F F 2222:1x y E a b-=M E 1MF x211sin 3MF F ∠=3222x a22y b 2＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.答案 22思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．(2015·重庆，9)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 则kA 2C ＝b 2ac ＋a，kA 1B ＝b 2aa －c ，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1， 即b 2a c ＋a ·b 2a a －c ＝－1， ∴b 4a 2c 2－a 2＝1， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±ba ＝±1.答案 C。
【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第53讲 双曲线(解析版)
2b＝12，e＝c＝5，所以 a4
b
6 / 13
＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为 x2 － y2 ＝1 或 y2 － x2 ＝1.
64 36
64 36
(2)因为双曲线经过点 M(0,12)，所以 M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a＝12.又 2c＝26，
所以 c＝13，所以 b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为 y2 － x2 ＝1. 144 25
a 2、与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为ax22－by22＝t(t≠0)． 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. 4、若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
四、自主热身、归纳总结
2 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 对称性 顶点
性 渐近线
质
离心率 a，b，c 的关系 实虚轴
x≥a 或 x≤－a，y∈R
y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0) y＝±bx
9m－28n＝1， (3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)，所以
72m－49n＝1，
m＝－ 1 ， 75
解得 n＝－ 1 . 25
所以双曲线的标准方
程为 y2 － x2 ＝1. 25 75
线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若△F1AB 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2＝____． (2)已知点 P 为双曲线x2 －y2＝1 右支上一点，点 F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF1F2 的内
第28讲 双曲线(解析)-2023年高考一轮复习精讲精练必备
第28讲双曲线学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.双曲线的定义一般地，如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且2a ＜|F 1F 2|，则平面上满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F 1，F 2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F 1F 2|称为双曲线的焦距.其数学表达式：集合M ＝{P |||PF 1|－|PF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)若a <c ，则点P 的轨迹为双曲线；(2)若a ＝c ，则点P 的轨迹为两条射线；(3)若a >c ，则点P 的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长度|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2二、考点和典型例题1、双曲线的定义和标准方程【典例1-1】已知双曲线的两个焦点分别为()10,5F -，()20,5F ，双曲线上一点P 与1F ，2F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221916y x -=D ．221169y x -=【答案】C 【详解】由题意，5,263c a a ==⇒=，则4b ==，结合条件可知，双曲线的标准方程为221916y x -=.故选：C.【典例1-2】在平面直角坐标系中，已知ABC 的顶点()30A -,，()3,0B ，其内切圆圆心在直线2x =上，则顶点C 的轨迹方程为（）A ．()221245x y x -=>B ．()221395x y x -=>C ．()2210295x y x +=<<D ．()2210394x y x +=<<【答案】A 【详解】解：如图设ABC 与圆的切点分别为D 、E 、F ，则有||||5AD AE ==，||||1BF BE ==，||||CD CF =，所以||||514CA CB -=-=．根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即3c =、2a =，又222c a b =+，所以25b =，所以方程为()221245x y x -=>．故选：A ．【典例1-3】已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A 【详解】由221412x y -=，得224,12a b ==，则222,3,4a b c a b ===+，所以左焦点为(4,0)F -，右焦点(4,0)F '，则由双曲线的定义得24PF PF a '-==，因为点(1,4)A 在双曲线的两支之间，所以22345PA PF AF ''+≥=+=，所以9PF PA +≥，当且仅当,,A P F '三点共线时取等号，所以||||PF PA +的最小值为9，故选：A【典例1-4】已知1F ，2F 分别为双曲线222x y -=的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，且22128PF F F =，则1PF =（）A ．62B ．22C ．224+D ．222+【答案】A 【详解】在双曲线222x y -=中，2a =2b =，2c =,∵221288432PF F F ==⨯=，∴22PF =又122PF PF a -==12PF PF ==故选:A【典例1-5】已知1F ，2F 分别是双曲线2213yx -=的左右焦点，点P 在该双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A ．4B ．4或6C ．3D ．3或7【答案】D 【详解】由双曲线定义知：12||||||22PF PF a -==，而15PF =，又1c a -=且3c a +=，∴2PF =3或7，故选：D.2、双曲线的性质【典例2-1】已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的）ABC ．D ．2【答案】D 【详解】解：双曲线的渐近线为by x a =±，令1x =-，可得b y a= ，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOB A S AB x =⋅= AB ∴=，即2ba =b a=所以2c e a ==；故选：D【典例2-2】椭圆1C ：22143x y +=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率之积为1，则双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为（）A ．π6，π6-B ．π3，π3-C ．π6，5π6D ．π3，2π3【答案】D 【详解】因为椭圆1C ：22143x y +=与双曲线2C ：22221x y a b-=的离心率之积为1，所以有22132b a b a⋅=⇒=⇒，因此双曲线2C 的两条渐近线方程为：by x y a=±⇒=，所以双曲线2C 的两条渐近线的倾斜角分别为π3，2π3，故选：D【典例2-3】若双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线与直线:3220l x y +-=相互垂直，则双曲线C 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（）A ．B ．6C ．D ．8【答案】C 【详解】双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为20x ay-=，由两直线垂直得，23203a a ⨯-=⇒=，22213c a b ∴=+=，所以双曲线的焦点坐标为)()12,F F ==，虚轴一个顶点坐标为()0,2B ，121211222F BF S F F OB ∴=⨯⨯=⨯=V 故选：C【典例2-4】已知点()F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若△OMF （点O 为坐标原点）的面积为8，则C 的实轴长为（）A ．8B ．C ．6D ．【答案】A【详解】由题意可得2232a b +=．取渐近线b y x a =，易知点()F 到直线by x a=的距离为b ，则OM a =，所以182OMF S ab ==△，联立得4a b ==．所以C 的实轴长为8．故选：A【典例2-5】已知点P 是双曲线2214y x -=上的动点，过原点O 的直线l 与双曲线分别相交于M 、N 两点，则PM PN +uuur uuu r的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【详解】解：根据双曲线的对称性可知O 为MN 的中点，所以2PM PN PO += ，又P 在2214y x -=上，所以1PO ≥uuu r ，当且仅当P 在双曲线的顶点时取等号，所以22PM PN PO +=≥uuur uuu r uuu r．故选：C3、双曲线的综合应用【典例3-1】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为3米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC D ．【答案】A 【详解】以1AA 的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则1OA OA ==，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则a =，可设1C m ⎫⎪⎪⎝⎭，()1,240243B m m ⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭，又由1B ，1C在双曲线上，所以222222148(24)148m bm b ⎧⎪⎪⎝⎭-=⎪⎪⎨⎪⎪-⎝⎭⎪-=⎪⎩，解得8m =，12b =，即b a =2=.故选：A.【典例3-2】双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点2F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为22221x y a b-=，12,F F 分别为其左、右焦点，若从右焦点2F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（2F ，A ，B 在同一直线上），满足3,4AB AD ABC π∠⊥=，则该双曲线的离心率的平方为（）A 21B 23C ．52+D ．52-【答案】D 【详解】易知1F A D 、、共线，1F B C 、、共线，如图，设12AF m AF n ==，，则2m n a -=.因为34AB AD ABC π∠⊥=，，所以14ABF π∠=，则AB m =，则2212BF AB AF m n BF m =-=-=，，又因为114AF BF AB a +-=，所以22m a =，则()22n a =,在12AF F △中，222(2)m n c +=，即(2220824a c -=，所以222522c e a==-故选：D【典例3-3】求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x 轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；(2)焦点在y 轴上，渐近线方程为3y x =，焦距长为210．【答案】(1)2214x y -=(2)2219y x -=【解析】(1)由题意有242a a b =⎧⎨=⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩，则双曲线的标准方程为：2214x y -=．(2)由题意有2223a b c c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，则双曲线的标准方程为：2219y x -=．【典例3-4】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>20y ±=，且过点(．(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线l 交双曲线于,A B 两点，求弦长AB ．【答案】(1)22143x y -=；(2)24AB =.【解析】(1)由双曲线方程知：渐近线斜率b k a =±20y ±=，b a ∴=双曲线过点(，22831a b ∴-=；由222831b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴双曲线C 的方程为：22143x y -=；(2)由（1）得：双曲线的焦点坐标为()；若直线AB过双曲线的左焦点()，则:AB y x =由22143y x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：2400x ++=；设()11,A x y ，()22,B x y，则121240x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩24AB ∴===；由双曲线对称性可知：当AB 过双曲线右焦点时，24AB =；综上所述：24AB =.【典例3-5】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>4.(1)求,a b 的值及双曲线C 的渐近线方程；(2)直线2y kx =-与双曲线C 相交于互异两点，求k 的取值范围.【答案】(1)1a =，2b =，双曲线C 的渐近线方程为0x y -=和0x y +=；(2)(2)(2,2)(2,--⋃-⋃.【解析】(1)因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>所以有=5⇒2=52⇒2+2=52⇒2=42，而该双曲线的虚轴的长为4，所以242b b =⇒=，所以1a =，因此双曲线C 的浙近线方程为：=±⇒−=0或0x y +=；(2)由（1）可知：1a =，2b =，所以该双曲线的标准方程为：2214y x -=，与直线2y kx =-联立得：22221(4)48042y x k x kx y kx ⎧-=⎪⇒-+-=⎨⎪=-⎩，因为直线2y kx =-与双曲线C 相交于互异两点，所以有：()()2222408Δ164480k k k k ⎧-≠⎪⇒<⎨=--⋅->⎪⎩且24k ≠，所以k的取值范围为：(2)(2,2)(2,--⋃-⋃.。
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双曲线标准化讲义1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)___的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点___，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距___.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线___；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线___；(3)当a＞c时，集合P是__空集___.2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a考点一：定义与基本量1.已知两点1(5,0)F-，2(5,0)F，则与它们的距离差的绝对值等于6的动点的轨迹方程_________.解：设动点(,)M x y满足126MF MF-=6=移项后两边平方并整理得：59x -=两边再平方并整理得：22169144x y -=两边同时/144得：至221916x y -=2.已知动园M 与圆221;(3)9C x y +÷=外切且与圆222,(3)1C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是_________.解： 设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆1C 外切且与圆2C 内切，所以123,1MC r MC r =+=-，两式相减得124MC MC -=又因为点12(3,0),(3,0)C C -，并且1264C C =>，所以点M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线的右支，且有2,3a c ==..所以25b =，所以所求的机迹方程为221(2)45x y x -=…3.已知双曲线方程为28832x y -=，则（ ）.A.实轴长为，虚轴长为2B.实轴长为4C.实轴长为2，虚轴长为D.实轴长为4，虚轴长为解：双曲线方程28832x y -=化为标准方程为221324x y -=，可得2a b ==，所以双曲线的实轴长为 4.4.双曲线221916x y -=-的焦点坐标为（ ）.A.(3,0)±B.(5,0)±C.(0,5)±D.(0,解：双曲线221916x y -=-即为221169y x -=，焦点在y 轴上，且4,35a b c ===,，可得焦点为(0,5)±所以C 选项是正确的.5．(2019·福州质检)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( D )A ．5B ．3C ．7D ．3或7[解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 2|＝7或3.6.(2019·哈尔滨质检)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( B )A ．48B ．24C ．12D ．6[解析] 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.7.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为__9___.[解析]设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图像，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 8.方程22121x y k k +=--的图象是双曲线，则k 取值范围是（ ）.A.1k <B.2k >C.1k <或2k >D.12k << 解： 由题意可得：方程22121x y k k +=--的图象是双曲线，所以(2)(1)0k k --<，解得：1k <或2k >，故选C.9.如果方程221||12x y m m -=--表示双曲线，那么实数m 的取值范围是（ ）. A.2m > B.1m <或2m >C.12m -<<D.11m -<<或2m >解：由双曲线的标准方程可知m 符合||1020m m ->⎧⎨->⎩或||1020m m -<⎧⎨-<⎩，解得2m >或11m -<<。
故本题正确答案为D 。
10.已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是（ ）.A.4B.1 4C.14- D.-4解：因为曲线为双曲线，由方程知实轴长为1×2=2，虚轴长为4=，所以14 m=-.故本题正确答案为C。
考点二：渐近线11.双曲线2231x y-=的渐近线方程是（）.A.3y x=± B.13 y x =±C.y=D.y=解：双曲线2231x y-=即为221 13xy-=，由双曲线22221(,0)x ya ba b-=>的渐近线方程为：by xa=±可得所求双曲线的渐近线方程为y=.所以C选项是正确的.12.(2019·河北邢台模底)双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为(A)A．x±2y＝0B．y±2x＝0C．x±4y＝0D．y±4x＝0[解析]依题意，题中的双曲线即y214－x2＝1，因此其渐近线方程是y214－x2＝0，即x±2y＝0，选A．13.已知双曲线2221(0)yx bb-=>的一条渐近线的方程为2y x=，则b=_________.解：由双曲线方程可知渐近线方程为y bx=±，所以 2.b=14.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离________.解：∵双曲线的实轴与虚轴相等∴a b=设双曲线22221x ya a-=一个焦点为，渐近线为y x==.a=所以双曲线方程为22122x y -=,，即222x y -=故答案为222x y -=15.与双曲线2217916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,A -的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）.A .8B .4C .2D .1 解：与双曲线2217916x y -=有共同的渐近线，∴设双曲线方程为22916x y λ-=，将点(3,-代入双曲线方程，解得22141494x y λ=⇒-=从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，一条渐近线方程为43y x =，2=，所以C 选项是正确的.16.若经过的双曲线的渐近线方程为y =，则双曲线标准方程为__________. 解：设双曲线方程：223(0)4x y λλ-=≠，∵双曲线经过点， ∴316394λ=⨯-=， ∴所求方程221129x y -=故答案为：221129x y -=17.若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（ ）.A.1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭D.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭解：将直线方程代入到曲线方程中可得()2214100k x kx ---=，因为直线与曲线在右半平面有两个不同的交点，所以有 ()22164010k k ∆=+->，1212221040,011kx x x x k k⋅=>+=>--，解不等式组得1k <<-。
故本题正确答案为A 。
18.(2018·课标Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x [解析]∵e ＝3，∴ba＝e 2－1＝3－1＝2，∴双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ＝±2x .故选A ．考点三：离心率19．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( D )A ．2B ．62C ．52D ．1[解析] 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D ．20.，焦距为6，则双曲线离心率是（ ）.C.32D.236∴3b c = ∴2224a c b =-= ∴2a = ∴32c e a ==∴双曲线离心率是32，所以C 选项是正确的. 21.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，那么这个双曲线的离心率e 等于（ ）.A.2B.3C.53D.43解：由题设条件知：2222b a c ⨯=+，∴2b a c =+，∴222()4a c c a +=+，整理，得223520c a ac --=， ∴23250e e --=.解得53e =或1e =-（舍）. 所以C 选项是正确的. 22.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()4,2-，则它的离心率为（ ）.解：据双曲线特性可知：渐近线的斜率为2142b k a -=-==-，那么12b a =，那么c e a ===.故本题正确答案为D 。
23.已知双曲线的22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）.C.2D.2解：本题考查双曲线的简单几何性质的应用.根据题意，由于双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两渐近线的夹角为60°，则可知ba或b a =，那么可知双曲线的离心率为2e =，故选C. 24.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F .若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）.A.4+B.11解：12MF F ∆是正三角形，且边1MF 的中点在双曲线上，设边1MF 的中点为P ，则有1290F PF∠=︒，从而2PF=，1PF c=.根据双曲线的定义可知2121)a PF PF c=-=，可得1cea==.25.设12,F F分别是双曲线22221x ya b-=的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使1290F AF∠=︒，且123AF AF=，则双曲线离心率为（）.解：设12,F F分别是双曲线22221x ya b-==1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使1290F AF∠=︒，且123AF AF=，设21,3,(0)AF t AF t t==>双曲线中1222a AF AF t=-=，2c=，∴离心率e=所以B选项是正确的.26.双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别是12,F F，过1F作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）.解：在直角12MF F∆中，12121290,30,2F F M MF F F F c∠=︒∠=︒=，于是12cos30cMF=︒=，2tan302MFc=︒12,MF MF=，代入122MF MF a-=，得2a=，故eca==.27．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率(B)A ．32B ．2C ．52D ．3[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)．由△PF 1F 2为正三角形，得2c ＝c 2＋4b 2.∴3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)．∴c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2.28．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是__2___. [解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b2＝34c 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝c a ＝2. 29.(2019·西安模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( B )A ．52 B ．102C ．152D ．5[解析] (1)因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，即e ＝c a ＝102.故选B ．30.(2019·湖南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A ．73B ．54C ．43D ．53[解析] (1)由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53，选D ．31.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是__2___. [解析]由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．32.(2019·广东江门模拟)F 1，F 2是双曲线C 的焦点，过点F 1且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于点A ，B ，且△F 2AB 为正三角形，则双曲线的离心率e ＝( B )A ．2B ．3C ．2D ．5[解析]由△ABF 2是正三角形，则在Rt △AF 1F 2中，有∠AF 2F 1＝30°，∴|AF 1|＝12|AF 2|.又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝2a . 又|F 1F 2|＝2c ，在Rt △AF 1F 2中， |AF 1|2＋|F 1F 2|2＝|AF 2|2， 得到4a 2＋4c 2＝16a 2， ∴c 2a 2＝3，∴e ＝ca＝ 3.故选B ． 33.(2019·福建六校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为__43___.[解析]由于双曲线和圆都关于x 轴对称，又△APQ 的一个内角为60°，所以△APQ 为正三角形，则∠PFx ＝60°，所以x P ＝c ＋(a ＋c )cos60°＝3c ＋a 2，y P ＝(a ＋c )sin60°＝3(c ＋a )2，即P (3c ＋a 2，3(c ＋a )2)，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，整理得3e 2－3e ＝4，解得e ＝43，故答案为43. 考点四：方程34.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． [解析] (1)设所求双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 将(2,2)代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12. ∴所求双曲线方程为y 23－x 212＝1.(2)设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ<0时，双曲线标准方程为y 2－λ－x 2－4λ＝1，∴c ＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1.(mn >0)∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解之得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.(4)依题意，e ＝2⇒a ＝b .设方程为x 2m －y 2m ＝1，则16m －10m ＝1，解得m ＝6.∴x 26－y 26＝1. [答案] (1)y 23－x 212＝1 (2)x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1 (3)y 225－x 275＝1 (4)x 26－y 26＝135.(2019·山东青岛二模)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( A )A ．x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 [解析]根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y 25＝1.36.(2019·四川绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( B )A ．x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1[解析] (1)由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的方程为x 216－y 29＝1.37．(2019·天津模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( A )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1[解析] 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.考点四：焦点三角形问题38.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为12(F F ，点P 是此双曲线上的一点，且12120,||||4PF PF PF PF ⋅=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r，该双曲线的标准方程是（ ）.A.22143x y -=B.22134x y -= C.22152x y -=D.22125x y -=解：设双曲线的方程为：22221x y a b-=，利用双曲线的定义结合题意可求得2b 与2a ，从而可得答案.解答：设双曲线的方程为：22221x y a b-=，∵两焦点12(F F ，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r， ∴12PF PF ⊥u u u r u u u u r ，∴12F PF ∆为直角三角形，∠P 为直角；∴2222121228PF PF F F +===；∠又点P 是此双曲线上的一点， ∴122PF PF a =-， ∴222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由12||4PF PF ⋅=u u u r u u u u r得124PF PF ⋅=，∴2221284PF PF a +-=，∠由①②得：25a =，又227c ==，∴2222b c a =-=.∴双曲线的方程为：22152x y -=故选C.39.设1F 、2F 为双曲线221169x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ∠=︒，求12F PF ∆的面积.解：∵1F 、2F 是双曲线221169x y -=的两个焦点，P 是此双曲线上的点，1290F PF ∠=︒，不妨设12PF PF >，. ∴1212810PF PF F F -=⎧⎨=⎩∴2212122212122642cos60100PF PF PF PF PF PF PF PF ⎧+-⋅=⎪⎨+-⨯⨯⨯︒=⎪⎩整理，得1236PF PF ⋅=，∴12F PF ∆的面积121sin 602S PF PF =⨯⨯⨯=︒故答案为：40.设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12,F F 是该双曲线的两个焦点，若12:3:2PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）.A.B.12C.D.24解：由12:3:2PF PF =与双曲线定义1282PF PF a -==得126,4PF PF ==4，而122F F c ==，又因为2231212F F PF PF =+，所以12PF PF ⊥，于是12146122PF F S ∆=⨯⨯= .故选B.41.已知双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，在左支上过1F 的弦AB 的长为5，若28a =，那么2ABF ∆的周长上（ ）.A.16B.18C.21D.26解：由双曲线的定义21212,2AF AF a BF BF a -=-=，∴22||4AF BF AB a +-=，∴2ABF ∆的周长为42||26a AB +=.42.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）.A.43B.53C.94D.3解：因为P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，所以12||2PF PF a -=.又1236PF PF +=，所以()()2222121294PF PF PF PF b a ---=-，所以222494PF b a =⋅.又因为1294PF PF ab ⋅=，所以22994ab b a =-，即29940b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13b a =-（含去）或43b a =. 所以222222224251139c a b b e a a a +⎛⎫⎛⎫===+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以53e =，故选B.考点五：离心率范围43(2019·广桂林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( C )A ．(1，52] B ．(1，72] C ．[52，＋∞) D ．[72，＋∞) [解析] 由条件得|OP |2＝2ab .又∵P 为双曲线上一点，∴|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a . 又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52. ∴双曲线的离心率的取值范围是[52，＋∞)． 设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .44.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）.A.(]1,2B.()1,2C.[2,)+∞D.(2,)+∞45.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________.解：∵斜率为2的直线与双曲线E 的右支有两个交点，∴2b a<.又222,2b c a =-<.整理，得,cc e a∴=<1e >，∴双曲线E的离心率的取值范围是.46.已知斜率为2的直线l 经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的取值范围是（ ）.A.(1,2)B.C.D.)+∞解：依题意，斜率为2的直线过双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于2，即2b a >，因此该双曲线的离心率ce a==故答案为：D47.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则双曲线的离心率的取值范围为_________.解：由正弦定理得121221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠.∴2121,PF aPF e PF PF c=∴=. 又由双曲线的定义得122PF PF a -=. ∴222(1)2,1ae PF a PF e -==-. ∵2PF c a >-，即221,2101ae e e e >-∴--<-.∵0,11e e >∴<<+48.P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( B )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)[解析] (1)如图，由题意可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，∴|PF 2|＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2a >2c ，a <c∴1<e <3.当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3.综合e ∈(1,3]．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( C )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[解析] (1)因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2，所以e ＝ca ＝1＋(ba )2>1＋4＝ 5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．故选C ．。