数值分析实验报告

z=1./(1+25*xp.^2);
plot(xp,z,'r')
得到Figure，图像如下所示：
比较后发现，使用切比雪夫零点做拉格朗日插值不会发生龙格现象。
实验四：对于给定函数 在区间 上取 ，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第2章计算实习题2的结果比较。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，实现3次曲线拟合的程序代码如下：
functionPn=Legendre(n,x)
symsx;
ifn==0
Pn=1;
elseifn==1
Pn=x;
elsePn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n);
end
x=[-1:0.1:1];
A=sym2poly(Pn);
end
end
x=[-1:0.01:1];
A=sym2poly(Pn);
yn=polyval(A,x);
plot (x,yn);
holdon
end
end
在command Windows中输入命令：Chebyshev（10），得出的结果为：
Chebyshev(10)
ans =
512*x^10 - 1280*x^8 + 1120*x^6 - 400*x^4 + 50*x^2 - 1
y2=polyval(p2,x);
plot(x,y,'g-',x,y1,'r-',x,y2,'b-')
holdon
p3=polyfit(x,y,2)%观察图形与抛物线接近，故采用2次曲线拟合
y3=polyval(p3,x);
plot(x,y3,'c-')
得到Figure，图像如下：
实验六：使用快速傅里叶变换确定函数f(x)=x^2*cosx在[-π,π]上的16次三角插值多项式。
并得到Figure，图像如下：
第2章计算实习题2的结果如下：
牛顿插值多项式：
三次样条多项式：
比较下来可知：三次样条的拟合效果最好，其次是牛顿插值多项式，最次是3次曲线拟合。
实验五：由实验给出数据表
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.5
0.8
1.0
y
1.0
0.41
0.50
0.61
0.91
2.02
2.46
试求3次、4次多项式的曲线拟合,再根据数据曲线形状,求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线以及相应的三种拟合曲线。
bn =
[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
f =
(5*cos(3*x))/8 - (20*cos(2*x))/9 - (68*cos(4*x))/225 + (13*cos(5*x))/72 - (148*cos(6*x))/1225 + (25*cos(7*x))/288 - (260*cos(8*x))/3969 + (41*cos(9*x))/800 - (404*cos(10*x))/9801 + (61*cos(11*x))/1800 - (580*cos(12*x))/20449 + (85*cos(13*x))/3528 - (788*cos(14*x))/38025 + (113*cos(15*x))/6272 - (1028*cos(16*x))/65025 + cos(x)*(pi^2/3 + 1/2) - 2
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现3次曲线拟合的程序代码如下：
%三角插值多项式程序
function [an,bn,f]=fseries(fx,x,n,a,b)
if nargin==3
a=-pi;
b=pi;
end
l=(b-a)/2;
if a+b
fx=subs(fx,x,x+l+a);
end
if a+b
f=subs(f,x,x-l-a);
end
在command Windows中输入如下命令：
>> syms x;
fx=x^2*cos(x)
[an,bn,f]=fseries(fx,x,16,-pi,pi)
得到结果如下：
an =
[ -4, pi^2/3 + 1/2, -20/9, 5/8, -68/225, 13/72, -148/1225, 25/288, -260/3969, 41/800, -404/9801, 61/1800, -580/20449, 85/3528, -788/38025, 113/6272, -1028/65025]
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
实验一：编写程序实现[-1,1]上n阶切比雪夫多项式，并作画（n=0,1，…，10在一个figure中）。要求：输入Chebyshev(-1,1,n)，输出如anxn+an-1xn-1+…多项式。
【结论】（结果）
利用切比雪夫多项式零点进行高次多项式插值可避免龙格现象，可保证整个区间上收敛。函数给定的一组可能不精确表示函数的数据时，我们通常考虑用最小二乘的曲线拟合。数据若是呈周期性，则考虑用三角插值，用快速傅里叶进行计算。
【小结】
通过此次实验，我对切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换有了更进一步的了解。切比雪夫和勒让德多项式都十分重要，尤其是切比雪夫多项式有重要应用，应该引起高度重视。
并得到Figure，图像如下：
实验二：编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式，并作画（n=0,1，…，10在一个figure中）。要求：输入Legendre(-1,1,n)，输出如anxn+an-1xn-1+…多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现勒让德多项式的程序代码如下：
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现切比雪夫多项式的程序代码如下：
functionPn=Chebyshev(n,x)
symsx;
ifn==0
Pn=1;
elseifn==1
Pn=x;
elsePn=expand(2*x*Chebyshev(n-1)-Chebyshev(n-2));
处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换求解不同的问题。
end
an=int(fx,x,-l,l)/l;
bn=[];
f=an/2;
for ii=1:n
ann=int(fx*cos(ii*pi*x/l),x,-l,l)/l;
bnn=int(fx*sin(ii*pi*x/l),x,-l,l)/l;
an=[an,ann];
bn=[bn,bnn];
f=f+ann*cos(ii*pi*x/l)+bnn*sin(ii*pi*x/l);
实验报告
实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换
实 验 室数学实验室
所属课程名称数值逼近
实验类型算法设计
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
实验概述：
【实验目的及要求】
本次实验的目的是熟练《数值分析》第三章“函数逼近与快速傅里叶变换”的相关内容，掌握切比雪夫多项式、勒让德多项式、n次曲线拟合以及快速傅里叶变换。
本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码以及画图，并在MATLAB软件中去实现。
并得到Figure，图像如下：
实验三：利用切比雪夫零点做拉格朗日插值，并与以前拉格朗日插值结果比较。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下：
function[C,D]=lagr1(X(n,n);
D(:,1)=Y';
forj=2:n
fork=j:n
D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));
end
end
C=D(n,n);
fork=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)));
m=length(C);
C(m)= C(m)+D(k,k);
end
在command Windows中输入如下命令：
指导教师评语及成绩：
成绩：指导教师签名：
批阅日期：
clear,clf,hold on;
k=0:10;
X=cos(((21-2*k)*pi)./22); %这是切比雪夫的零点
Y=1./(1+25*X.^2);
[C,D]=lagr1(X,Y);
x=-1:0.01:1;
y=polyval(C,x);
plot(x,y,X,Y,'.');
grid on;
xp=-1:0.01:1;
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现3次曲线拟合的程序代码如下：
x=[0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1];