随遇平衡状态
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By
l
可能失稳
By Dy h l cos( )
分析受力
FN如何求?
3 EI 3 EI FN 3 Dx 3 l sin( ) sin h h
变形能V 如何计算? 应变能等于外力功.
1 3 EI 2 Vε FN Dx 3 l sin( ) sin 2 2h
1) 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类 稳定问题的特征，确定临界荷载的方法——静 力法。
2-1) 分支点稳定静力法
2-1-1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平 衡）建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
2h 3 h FP h l cos( ) 3 EI 如果 = 0： FP 3 l cos h
P
sin( )
令：
FP h sin F ( ) cos( ) 1 sin( ) 3 EIl
3
3 EI sin FP 3 l cos( ) 1 sin( ) h
To 41
为求极值 令：
得： sin( ) sin
1 3
F ( ) 0
因此 cos( ) (1 sin )1 2
FPcr 3 EI sin 3 l cos( ) 1 sin( ) h
2-2-3) 能量法分析步骤
(1)设定一种满足位移约束条件的可能失 稳变形状态（也称失稳构(位)形）；
(2)计算体系的应变能Vε、外力势能VP， 从而获得总势能V= Vε+ VP； (3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析 的特征方程； (4)由特征方程解得临界荷载。
2-2-4) 能量法举例 例1. 求图示有初偏离角 体系的的临界荷 载 0 lBxh / cos l sin Bx l sin( )
代回式（1）或（2） 的失稳形态为
2-1-3）材料力学中不同支承中心受压杆的 FPcr为
2 EI 2 l
2 EI
4l 2
4 2 EI l2
FPcr
2 EI
l2
求 解 的 例 子
2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方 法
FP FPcr
如何转换成弹 根据形常数 性支承中心受 x 0压柱？0,1=？ FP k1 y k y 3 EI
V 3 EI 2 3 l sin( ) sin cos( ) h FP l sin( ) 0
2 则：V 33EI l sin( ) sin sin EI 1 F 3 l cos( )
x
设：
x y a 1 cos 2l
a x y sin 2l 2l
a x y 2 cos 4l 2l
2
满足 位移 约束 条件
E I
l
y
变形能V
1 EI a 2 V EI y dx 3 0 2 64l
l 4 2
外力势能VP
外力势能VP 根据定义可得 体系的总势能V=V +VP
VP FP By FP h l cos( )
3 EI 2 V 3 l sin( ) sin 2h FP h l cos( )
由体系的总势能的驻值条件得：
例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临 界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。
设体系发生如下的变形
取B’C’为隔离体，由MB’=0, 得
或
FP y2 - y1 + k1 y1l = 0 k1l - FP y1 + FP y2 = 0
(1)
再由整体平衡MA=0, 得
因为y1、y2不能全部为零，因此
2k1l - FP y1 + k2 ly2 = 0
稳定方程 = 0 2k l F k l
1 P 2
(2)
(3)
k1 l FP
FP
将k1 、k2 代入（3）式，展开后得
F 5klFP + 3 kl = 0
2 P 2
由上式可求得：
FP1 0.697kl FP2 4.303kl 因此 FPcr 0.697kl
2
解方程可得 通解
FR y A cos nx B sin nx (l x ) 特 解 FP 利用边界条件： x 0, y 0 y 0 ; x l , y 0 FR FR 可得 0 A 试总结中心压杆 l 0 nB FP FP FR 稳定分析的要点 1 FR l cos nl B sin nl Acos nl n sinnl 0 0 F F
例如图示刚架，当 荷载达到临界值时， 受微小干扰将失稳
又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题
刚性小球平衡状态
稳定平衡状态
不稳定平衡状态
随遇平衡状态
结构平衡状态的分类
根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢 复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类： • 稳定的平衡状态——外界干扰消除后结构能 完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定 的。 • 不稳定平衡状态——外界干扰消除后结构不 能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定 的。 • 经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位 置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。
k1 y x l 边界条件是什 l 么？
EI，l
FPcr
如何转换成弹 性支承中心受 压柱？ k1=？ 边界条件是什 么？
EI，l
FPcr
EA=∞
如何转换成 弹性支承中 心受压柱？ k=？ 边界条件是 什么？
EI，l
EI，l
FPcr EI，l
如何转换成弹性 支承中心受压柱？ k1=？ k2=？ 边界条件是什么？
2-1-2）例一 试用静力法分析图示结构，求临界 荷载。
B h sin
由 MA 0 得
6 EI FP ah sin
6 EI FP h sin 稳定方程 0 a 6EI FPcr ah
小位移 B h 由 M A 0 得
6 EI FP h 稳定方程0 a FPcr 6EI ah
线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去 高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时 的实验结果有较大偏差。
非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响， 其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复 杂。
2.简单结构稳定分析
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正 比，叠加原理适用。 在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时 叠加原理不再适用。
1 a 2 VP FP FP y dx FP 20 16l
l 2 2
体系的总势能V=V +VP
4 2
EI a a V FP 3 64l 16l
2 2
由体系的总势能的驻值条件得：
V EI 32l 3 FP 8l a
非零解
小
结
按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。 非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使 AB杆继续偏转（角增大），必须施加更大的 荷载（ FP 增加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。
To 38
小
结
不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大 时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是 不利的。 非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一 结果与实际吻合。
F 在线性理论（ 微小）前提下， P是单调增加 的，不存在极值点。
非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确 定。
例2. 求图示一端固定一端 自由简支梁的临界荷载。
2 3 EI 3 l 1 sin 3 h 3 2
2 3
设：
FPcr h 3 EIl
3
2 FPcr h 1 sin3 3 EIl 3
3 2
1
跳 转
h l h 当按线性理论计算时， 是微量， cos
4 2
a 0
因为a
0 则：
FPcr
EI 2 4l
2
返
回
以图示柱为例，取隔离体 列弯矩方程得
M FP y FR ( l x ) M EIy
FP 记 n EI
2
EIy FP y FR (l x )
FR 则 y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n y (l x ) EI 2 2 FR 或 y n y n (l x ) FP
稳定问题分类：
完善体 系从稳定 根据受力状态 到不稳定， 其受力、 变形状态 1. 完善体系： 将变化， 也即随荷 载变大有 分叉点， 称分支点 稳定。
理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形
分 支 点 失 稳
失稳前后平衡状态的变形性质发生变化
FP
2. 非完善体系
非完善体系，一般受力、 变形性质不发生改变。但 (a) 随着荷载增大存在一极值 荷载（此后变形增大荷载 反而减少），这类稳定现 象称极值点稳定。
P P
tan nl nl
nl 4.493
FPcr
2
稳定方程
返 回
EI n EI 20.19 2 l
3.基本假设与基本概念
3-1) 材料力学内容回顾 弹性分析法（容许应力法）
max
u
k
对塑性材料 制成的结构 不经济
max —— 结构内实际最大应力 —— 材料容许应力 k —— u —— 极限应力 b（脆性） s（塑性）
稳定和极限分析
§7-1 两类稳定问题的基本 概念 §7-2 简单结构稳定分析 §7-3 基本假设与基本概念 §7-4 极限平衡法 比例加载时的若干定理 §7-5 结论与讨论
1. 两类稳定问题的基本概念
薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产 生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设 计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还 要进行稳定验算。 结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课 程只讨论静力稳定问题。
结构
受压杆 有初曲率 或受偏心 荷载，为 压弯联合 受力状态
极值点失稳
失稳前后变形性质没有变化
突 跳 失 稳
cr
FPcr
由 受 压 变 成 受 拉， 系 统 产 生 翻 转
cr
FPcr
突 跳 失 稳
突跳失稳的力-位移关系示意图
稳定问题的分析方法
在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和 基于大变形的非线性理论：
EI，l
可见简单结构中受压杆 件的稳定分析，主要是要 将杆件简化为相应的弹性 支撑的单杆问题。 实际工程结构的稳定性 分析复杂得多，一般进行 计算机分析。
2-2) 分支点稳定能量法
2-2-1) 刚性小 球的稳 定能量 准则
能量取 极小值
稳定平衡状态
能量取 驻值
能量取 极大值 不稳定平衡状态
随遇平衡状态
2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则
首先引入两个定义。 定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外 荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。 定义：应变能Vε加外力（外荷载）势能VP为体 系的总势能，记作V。 与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支 点失稳问题中，临界状态的能量特征为： 体系总势能V 取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法—— 能量法。
0 l Bx Bx l ( ) Dx l By 0
3 EI FP l ( ) FN h 0 FN 3 l h 3 EI FP 2 h 线性理论计算 结果比非线性 理论计算结果 大，因而是偏 于危险的。
l
可能失稳
By Dy h l cos( )
分析受力
FN如何求?
3 EI 3 EI FN 3 Dx 3 l sin( ) sin h h
变形能V 如何计算? 应变能等于外力功.
1 3 EI 2 Vε FN Dx 3 l sin( ) sin 2 2h
1) 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类 稳定问题的特征，确定临界荷载的方法——静 力法。
2-1) 分支点稳定静力法
2-1-1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平 衡）建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。
2h 3 h FP h l cos( ) 3 EI 如果 = 0： FP 3 l cos h
P
sin( )
令：
FP h sin F ( ) cos( ) 1 sin( ) 3 EIl
3
3 EI sin FP 3 l cos( ) 1 sin( ) h
To 41
为求极值 令：
得： sin( ) sin
1 3
F ( ) 0
因此 cos( ) (1 sin )1 2
FPcr 3 EI sin 3 l cos( ) 1 sin( ) h
2-2-3) 能量法分析步骤
(1)设定一种满足位移约束条件的可能失 稳变形状态（也称失稳构(位)形）；
(2)计算体系的应变能Vε、外力势能VP， 从而获得总势能V= Vε+ VP； (3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析 的特征方程； (4)由特征方程解得临界荷载。
2-2-4) 能量法举例 例1. 求图示有初偏离角 体系的的临界荷 载 0 lBxh / cos l sin Bx l sin( )
代回式（1）或（2） 的失稳形态为
2-1-3）材料力学中不同支承中心受压杆的 FPcr为
2 EI 2 l
2 EI
4l 2
4 2 EI l2
FPcr
2 EI
l2
求 解 的 例 子
2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方 法
FP FPcr
如何转换成弹 根据形常数 性支承中心受 x 0压柱？0,1=？ FP k1 y k y 3 EI
V 3 EI 2 3 l sin( ) sin cos( ) h FP l sin( ) 0
2 则：V 33EI l sin( ) sin sin EI 1 F 3 l cos( )
x
设：
x y a 1 cos 2l
a x y sin 2l 2l
a x y 2 cos 4l 2l
2
满足 位移 约束 条件
E I
l
y
变形能V
1 EI a 2 V EI y dx 3 0 2 64l
l 4 2
外力势能VP
外力势能VP 根据定义可得 体系的总势能V=V +VP
VP FP By FP h l cos( )
3 EI 2 V 3 l sin( ) sin 2h FP h l cos( )
由体系的总势能的驻值条件得：
例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临 界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。
设体系发生如下的变形
取B’C’为隔离体，由MB’=0, 得
或
FP y2 - y1 + k1 y1l = 0 k1l - FP y1 + FP y2 = 0
(1)
再由整体平衡MA=0, 得
因为y1、y2不能全部为零，因此
2k1l - FP y1 + k2 ly2 = 0
稳定方程 = 0 2k l F k l
1 P 2
(2)
(3)
k1 l FP
FP
将k1 、k2 代入（3）式，展开后得
F 5klFP + 3 kl = 0
2 P 2
由上式可求得：
FP1 0.697kl FP2 4.303kl 因此 FPcr 0.697kl
2
解方程可得 通解
FR y A cos nx B sin nx (l x ) 特 解 FP 利用边界条件： x 0, y 0 y 0 ; x l , y 0 FR FR 可得 0 A 试总结中心压杆 l 0 nB FP FP FR 稳定分析的要点 1 FR l cos nl B sin nl Acos nl n sinnl 0 0 F F
例如图示刚架，当 荷载达到临界值时， 受微小干扰将失稳
又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题
刚性小球平衡状态
稳定平衡状态
不稳定平衡状态
随遇平衡状态
结构平衡状态的分类
根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢 复初始平衡状态，可对平衡状态作如下分类： • 稳定的平衡状态——外界干扰消除后结构能 完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定 的。 • 不稳定平衡状态——外界干扰消除后结构不 能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定 的。 • 经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位 置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。
k1 y x l 边界条件是什 l 么？
EI，l
FPcr
如何转换成弹 性支承中心受 压柱？ k1=？ 边界条件是什 么？
EI，l
FPcr
EA=∞
如何转换成 弹性支承中 心受压柱？ k=？ 边界条件是 什么？
EI，l
EI，l
FPcr EI，l
如何转换成弹性 支承中心受压柱？ k1=？ k2=？ 边界条件是什么？
2-1-2）例一 试用静力法分析图示结构，求临界 荷载。
B h sin
由 MA 0 得
6 EI FP ah sin
6 EI FP h sin 稳定方程 0 a 6EI FPcr ah
小位移 B h 由 M A 0 得
6 EI FP h 稳定方程0 a FPcr 6EI ah
线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去 高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时 的实验结果有较大偏差。
非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响， 其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复 杂。
2.简单结构稳定分析
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正 比，叠加原理适用。 在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时 叠加原理不再适用。
1 a 2 VP FP FP y dx FP 20 16l
l 2 2
体系的总势能V=V +VP
4 2
EI a a V FP 3 64l 16l
2 2
由体系的总势能的驻值条件得：
V EI 32l 3 FP 8l a
非零解
小
结
按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。 非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使 AB杆继续偏转（角增大），必须施加更大的 荷载（ FP 增加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。
To 38
小
结
不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大 时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是 不利的。 非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一 结果与实际吻合。
F 在线性理论（ 微小）前提下， P是单调增加 的，不存在极值点。
非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确 定。
例2. 求图示一端固定一端 自由简支梁的临界荷载。
2 3 EI 3 l 1 sin 3 h 3 2
2 3
设：
FPcr h 3 EIl
3
2 FPcr h 1 sin3 3 EIl 3
3 2
1
跳 转
h l h 当按线性理论计算时， 是微量， cos
4 2
a 0
因为a
0 则：
FPcr
EI 2 4l
2
返
回
以图示柱为例，取隔离体 列弯矩方程得
M FP y FR ( l x ) M EIy
FP 记 n EI
2
EIy FP y FR (l x )
FR 则 y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n y (l x ) EI 2 2 FR 或 y n y n (l x ) FP
稳定问题分类：
完善体 系从稳定 根据受力状态 到不稳定， 其受力、 变形状态 1. 完善体系： 将变化， 也即随荷 载变大有 分叉点， 称分支点 稳定。
理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形
分 支 点 失 稳
失稳前后平衡状态的变形性质发生变化
FP
2. 非完善体系
非完善体系，一般受力、 变形性质不发生改变。但 (a) 随着荷载增大存在一极值 荷载（此后变形增大荷载 反而减少），这类稳定现 象称极值点稳定。
P P
tan nl nl
nl 4.493
FPcr
2
稳定方程
返 回
EI n EI 20.19 2 l
3.基本假设与基本概念
3-1) 材料力学内容回顾 弹性分析法（容许应力法）
max
u
k
对塑性材料 制成的结构 不经济
max —— 结构内实际最大应力 —— 材料容许应力 k —— u —— 极限应力 b（脆性） s（塑性）
稳定和极限分析
§7-1 两类稳定问题的基本 概念 §7-2 简单结构稳定分析 §7-3 基本假设与基本概念 §7-4 极限平衡法 比例加载时的若干定理 §7-5 结论与讨论
1. 两类稳定问题的基本概念
薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产 生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设 计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还 要进行稳定验算。 结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课 程只讨论静力稳定问题。
结构
受压杆 有初曲率 或受偏心 荷载，为 压弯联合 受力状态
极值点失稳
失稳前后变形性质没有变化
突 跳 失 稳
cr
FPcr
由 受 压 变 成 受 拉， 系 统 产 生 翻 转
cr
FPcr
突 跳 失 稳
突跳失稳的力-位移关系示意图
稳定问题的分析方法
在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和 基于大变形的非线性理论：
EI，l
可见简单结构中受压杆 件的稳定分析，主要是要 将杆件简化为相应的弹性 支撑的单杆问题。 实际工程结构的稳定性 分析复杂得多，一般进行 计算机分析。
2-2) 分支点稳定能量法
2-2-1) 刚性小 球的稳 定能量 准则
能量取 极小值
稳定平衡状态
能量取 驻值
能量取 极大值 不稳定平衡状态
随遇平衡状态
2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则
首先引入两个定义。 定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外 荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。 定义：应变能Vε加外力（外荷载）势能VP为体 系的总势能，记作V。 与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支 点失稳问题中，临界状态的能量特征为： 体系总势能V 取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法—— 能量法。
0 l Bx Bx l ( ) Dx l By 0
3 EI FP l ( ) FN h 0 FN 3 l h 3 EI FP 2 h 线性理论计算 结果比非线性 理论计算结果 大，因而是偏 于危险的。