2016考研数学(二)真题

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2016年考研数学(二)真题及答案解析完整版

2
故渐近线为 y x . 2
（10）极限
lim
n
1 n2
sin
1 n
2 sin
2 n
nsin
n n
.
【答案】 sin1 cos1
【解析】由 I
lim
n
n i 1
i sin
i n
1 n2
lim n i sin i 1 n n i1 n n
1
x sin xdx
0
x cos x |10
（A） AT 与 BT 相似. （B） A1 与 B1 相似.
（C） A AT 与 B BT 相似.
（D） A A1 与 B B1 相似.
【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项.由 A 与 B 相似可知，存在可逆矩阵 P, 使得 P1AP B ，则 (1) (P1AP)T BT PT AT (PT )1 BT AT ~ BT , 故（A ）不选； (2) (P1AP)1 B1 P1A1P B1 A1 ~ B1，故（B）不选； (3)P1( A A1)P P1AP P1A1P B B1 A A1 ~ B B1, 故（D ）不选；此外，在（ C ）中，对于 P1( A AT )P P1AP P1AT P ，若 P1AP=B ，则
PT AT (PT )1 BT ，而 P1AT P 未必等于 BT ，故（C）符合题意.综上可知，（C）为正确选
项.
（8）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32) 2x1x2 2x2x3 2x1x3 的正负惯性指数分别
为1, 2 ，则( )
（A） a 1. （B） a 2. （C） 2 a 1. （D） a 1 或 a 2.

2016年考研数学二真题及解析

2016 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题及解答
本文档仅供学习交流之用. 试题来源于网络, 解答由孟庆鑫提供, 个人观点仅供参考.
一、选择题：1 ∼ 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1.
设
a1
=
x
(
√ cos x
x < 1, 则 f (x) 的一个原函数是 x ⩾ 1,
(D) a3, a2, a1. [D]
(x − 1)2, x < 1, (A) F (x) = x(lnx − 1), x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(C) F (x) = x(lnx + 1) + 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2, (B) F (x) = x(lnx + 1) − 1, (x − 1)2, (D) F (x) = x(lnx − 1) + 1,
[B]
y
(A) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
(B) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 3 个拐点.
(C) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 1 个拐点.
(D) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
[A]
数学（二）试题及解答 · 第 1 页（共 6 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
(A) f1(x) ⩽ f2(x) ⩽ g(x). (C) f1(x) ⩽ g(x) ⩽ f2(x).

2016年考研数学二真题及答案解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。

2016考研数学二真题答案

2016全国研究生入学考试考研数学二解析本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()(1231,1,1a x a a ===，当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）()A 123,,a a a ()B 231,,a a a ()C 213,,a a a ()D 321,,a a a【答案】：B【解析】2121~x a -，562~a x ，x a 31~3，则321,,a a a 从低阶到高阶排列应为132,,a a a 。

（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()f x 的一个原函数是（）()()()21,1()ln 1,1x x A F x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x B F x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩()()()21,1()ln 11,1x x C F x x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x D F x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩【答案】：()D【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数()F x 在1x =连续，而()A 、()B 、()C 中的函数在1x =处均不连续，故选()D 。

（3）反常积分()1211x e dx x -∞⎰与()12012x e dx x+∞⎰的敛散性为（） ()A ()1收敛，()2收敛 ()B ()1收敛，()2发散 ()C ()1发散，()2收敛 ()D ()1发散，()2发散【答案】B【解析】1101102=-=∞-∞-⎰xx e dx e x ，故()1收敛。

∞+∞+-=⎰11021x xe dx e x，由于1lim x x e +→=+∞，故()2发散（4）设函数()y f x =在()-+∞∞，内连续，其导数的图像，如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点【答案】：（B ）【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.（5）设函数()i y f x =()1,2i =具有二阶连续导数，且()0i f x ''<()1,2i =，若两条曲线()i y f x =()1,2i =在点()00,x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线()1y f x =的曲率大于曲线()2y f x =的曲率，则在点0x 的某个邻域内，有（）()()()()12A f x f x g x ≤≤ ()()()()21B f x f x g x ≤≤ ()()()()12C f x g x f x ≤≤ ()()()()21D f x g x f x ≤≤【答案】A【解析】：由于()0i f x "<可知，)(1x f 与)(2x f 均为凸函数，可知)(1x f y =，)(2x f y =的图像均在其切线下方，故)()(),(21x g x f x f ≤，由曲率公式232222232111))((1)(,))((1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=x f x f k x f x f k ，由21k k >可知，1020()()f x f x ""<，则)()(21x f x f <.（6）已知函数(),xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''+0x y f f = （C ） ''x y f f f -= （D ） ''x y f f f += 【答案】：（D ）【解析】()()''''22,,x x x xy x y e e e f f f f f x y x y x y =-=+=---. （7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）()A T A 与T B 相似 ()B 1A -与1B -相似()C T A A +与T B B +相似 ()D 1A A -+与1B B -+相似【答案】：()C【解析】：因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使得1,P AP B -=两端取转置与逆可得：()1TTTT P A PB -=,111P A P B ---=,()111P A A P B B ---+=+,可知()A 、()B 、()D 均正确，故选择()C 。

2016年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

（12）已知函数 f (x) 在 (, ) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f (n) (0) 0
____________.
2
由考研云助手整理( 专注免费考研资料微信公众号提供更多资讯)
（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间
【详解】u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x, y) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点 ( x0 ,
y0 ) ，也就是
u x
u y
0
，在这个点处
A
2u x 2
,C
2u y 2
,B
2u xy
2u yx
，由条
件，显然 AC B2 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最小值
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x t 2 7,
4．曲线
y
t
2
4t
1
上对应于 t 1的点处的曲率半径是（
）
（Ａ） 10 （Ｂ） 10
50
100
(Ｃ）10 10 （Ｄ） 5 10
【详解】曲线在点 ( x, f ( x)) 处的曲率公式 K
y" ，曲率半径 R 1 ．
(1 y'2 )3
K
2
本题中 dx 2t, dy 2t 4 ，所以 dy 2t 4 1 2 ， d 2 y t 2 1 ，
的变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _______ .

2016年考研数学真题及答案

绝密★启用前2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）一.选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设11)a x =，2a =，31a =.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a . （C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a .（2）已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩（3）反常积分121xe dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散. （C ）①收敛，②收敛.（D ）①收敛，②发散.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，求导函数的图形如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点. （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点. （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（5）设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有（A ）12()()()f x f x g x ≤≤ （B ）21()()()f x f x g x ≤≤ （C ）12()()()f x g x f x ≤≤ （D ）21()()()f x g x f x ≤≤（6）已知函数(,)x e f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''0x y f f += （C ）''x y f f f -= （D ）''x y f f f +=（7）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）T A 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似（8）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分别为1,2，则（A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<<（D ）1a =与2a =-二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

2016考研数学二真题及答案

2016考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=．本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ．应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22x x ξlim（）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时．由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂yux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dc d c ba b a0000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c db a a dc d c ba b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ． 11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为．【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021231010==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是．【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ，即32313133+-=+x x y y ．令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=；当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ；当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D DD Ddr r r d dxd y x dxdyy x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ，[]b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=，利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数．又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21，得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,．曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1）求方程组0=AX 的一个基础解系；（2）求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ，即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ．分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(ΛM M MΛΛ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~A ； 1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(ΛM M M ΛΛ所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,；。

2016年考研数学(一、二、三)真题与答案解析

2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（）（A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则321lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=【答案】（D ）（2）设211()23x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）3,2,1a b c =-==-（B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。

故选A 。

（3）若级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的（）（A ）收敛点，收敛点（B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点【答案】（A ）【解析】因为级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤，进而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。

2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析

精心整理2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（）（D ）发散点，发散点【答案】（A ）【解析】因为级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤，进而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。

（4）下列级数发散的是（）（A ）18nn n∞=∑（B）11)n n ∞=+（C ）2(1)1ln n n n ∞=-+∑（D ）!n n ∞∑ 312)n n=⇒∑(1)ln n n ∞-+∑（B ）,a α∉Ω∈Ω （C ）,a α∈Ω∉Ω （D ）,a α∈Ω∈Ω 【答案】（D ）【解析】Ax b =有无穷多解⇔()()3,0r A r A A =<⇒=，即(2)(1)0a a --=，从而12a a ==或当1a =时，2211111111121010114100032A ααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ 从而232=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解当2a =时，2211111111122011114400032A ααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭从而232=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解（B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥【答案】（C ）【解析】排除法。

考研数二历年真题(2016-2002)

2016年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）316．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．7．行列式dc d c ba b a0000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰∞-=++12521dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是．三、解答题 15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1）求方程组0=AX 的一个基础解系；（2）求满足E AB =的所有矩阵．23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2x x dx e+∞⎰2、函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-126、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =11、设函数()f x 连续，20()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 13、若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

2016年数学真题(数二).pdf

所以应选（C）.
（8）设二次型fx1,x2,x3ax12x22x322x1x22x2x32x1x3的正负惯性指数分别
为 1,2，则
（A）a1（B）a2（C）2a1（D）a1与a2
【解析】C
a
1
1
1aBiblioteka 1二次型矩阵A =
1
1
a
(B)函数f(x)有 2 个极值点，曲线yf(x)有 3 个拐点
(C)函数f(x)有 3 个极值点，曲线yf(x)有 1 个拐点
(D)函数f(x)有 3 个极值点，曲线yf(x)有 2 个拐点
【解析】B
考研帮 2016 真题解析
导函数图形如图，可能为极值的点为 a,b,c,d
1
当xa时，f'(x)0
a 为极大值点a为极大值点
当xa时，f'(x)0
2
当xb时，f'(x)0
a 不是极大值点
当xb时，f'(x)0
3
当xc时，f'(x)0
c 为极小值点
当xc时，f'(x)0
4
当xd和xd时，f'(x)0故xd不是极值点
有 2 个极值点
排除 C，D.
又当xb时，f(x)当bxe时，f(x)
当bxe时，f(x)当exd时，f(x)
(x)f
(x)
1
0
0
1
0
2
0
又yf1(x)与yf2(x)在(x0
,y0)处的曲率关系为k1k2
因为k1
|f
(x) |
,k2
|f(x) |
1
0
2
0
[1f12
3
12
3

2016年数学二考研真题(完整版)

x
x3 arctan 1 x 2 的斜渐近线方程为 2 1 x

2
x2 y arctan 1 x 2 lim3 2 b lim y x lim x arctan 1 x x x 1 x 2 x lim arctan 1 x 2 2 x 1 x 2
【答案】（D）【解析】由原函数必连续，故 A，C 排除。又 x 1 时， xln x 1 1' ln x ，故选Ｄ
1 1 1 1 x e dx , e ② x2 0 x 2 x dx 的敛散性为 0
（3）反常积分①
（A）①收敛②收敛（C）①收敛②收敛【答案】（B）
）
2 2 x 1 , x 1 x 1 , x 1 A F x B F x x ln x 1 , x 1 x ln x 1 1, x 1 2 2 x 1 , x 1 x 1 , x 1 C F x D F x x ln x 1 1, x 1 x ln x 1 1, x 1
（B）①收敛②发散（D）①发散②发散
第 1 页共 12 页
【解析】
1
1 0 x 2 e x dx e x | 0 1 1
0 1
1
1
收敛

0
1 x e dx e x | 0 1 e 2 x

发散
（4）设函数 f ( x) 在 , 内连续，其导函数的图形如图所示，则

a2 x ln 1 3 x ~ x 6

考研数学二真题2016年.doc

考研数学二真题2016年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 4.00）A.a1，a2，a3B.a2，a3，a1C.a2，a1，a3D.a3，a2，a12.已知函数f(x)的一个原函数是______A．B．C．D． 4.00）A.B.C.D.3. 4.00）A.①收敛，②收敛B.①收敛，②发散C.①发散，②收敛D.①发散，②发散4.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则______4.00）A.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点5.设函数f i (x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且f" i (x 0 )＜0(i=1，2)，若两条曲线y=f i (x)(i=1，2)在点(x 0，y 0 )处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f 1 (x)的曲率大于曲线y=f 2 (x)的曲率，则在x 0的某个邻域内有______（分数：4.00）A.f1(x)≤f2(x)≤g(x)B.f2(x)≤f1(x)≤g(x)C.f1(x)≤g(x)≤f2(x)D.f2(x)≤g(x)≤f1(x)6. 4.00）A.f"x-f"y=0B.f"x+f"y=0C.f"x-f"y=fD.f"x+f"y=f7.设A，M是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是______∙ A.A T与B T相似∙ B.A-1与B-1相似∙ C.A+A T与B+B T相似∙ D.A+A-1与B+B-1相似（分数：4.00）A.B.C.D.8. 4.00）A.a＞1B.a＜-2C.-2＜a＜1D.a=1或a=-2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 4.00）10.极限 4.00）11.以y=x 2 -e x和y=x 2为特解的一阶非齐次线性微分方程为 1．（分数：4.00）12.已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续， 4.00）13.已知动点P在曲线y=x 3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标时间的变化率为常数v 0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是 1．（分数：4.00）14.设矩阵 4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限10.00）__________________________________________________________________________________________16.设函数10.00）__________________________________________________________________________________________ 17.已知函数z=z(x，y)由方程(x 2 +y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x，y)的极值．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________18.设D是由直线y=1，y=x，y=-x围成的有界区域，计算二重积分10.00）__________________________________________________________________________________________19.已知y 1 (x)=e x，y 2 (x)=u(x)e x是二阶微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y"+2y=0的两个解．若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)并写出微分方程的通解．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________20.设D是由曲线11.00）__________________________________________________________________________________________已知函数f(x)11.00）(1).求f(x) 5.50）__________________________________________________________________________________________(2).证明f(x) 5.50）__________________________________________________________________________________________11.00）(1).求a的值；（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________ (2).求方程组A T Ax=A Tβ的通解．（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________11.00）(1).求A 99；（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________ (2).设3阶矩阵B=(α1，α2，α3 )满足B 2 =BA．记B 100 =(β1，β2，β3 )，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________。

2016年考研数学二试题及答案解析

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解 1】如果对曲线在区间[a, b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然 g( x) f (0)(1 x) f (1)x 就是联接 (0, f (0)),(1, f (1)) 两点的直线方程．故当 f ( x) 0 时，曲线是凹的，也就是 f ( x) g( x) ，应该选（D）【详解 2】如果对曲线在区间[a, b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F ( x) f ( x) g( x) f ( x) f (0)(1 x) f (1)x ，则 F (0) F (1) 0 ，且 F"( x) f "( x) ，故当 f ( x) 0 时，曲线是凹的，从而 F ( x) F (0) F (1) 0 ，即 F ( x) f ( x) g( x) 0 ，也就是
0cd 0
cd cd
c 0d c0d
c00d
应该选（B）．
8．设1 , 2 ,3 是三维向量，则对任意的常数 k, l ，向量1 k3 ， 2 l3 线性无关是向量1 , 2 ,3
线性无关的（A）必要而非充分条件（C）充分必要条件
小值点必定都在区域 D 的边界上．所以应该选（A）．
0a b 0
a00b
7．行列式
等于
0cd 0
c00d
（A） (ad bc)2
（B） (ad bc)2 （C） a 2d 2 b2c 2 （D） a 2d 2 b2c 2
【详解】
0a b 0
a0b a0b
a 0 0 b a 0 d 0 b 0 c 0 ad a b bc a b (ad bc)2

2016年考研数学二真题及答案解析

（17）（本题满分 10 分）已知函数 z z x, y 由方程 x2 y2 z ln z 2 x y 1 0 确定，求
z z x, y 的极值。
（18）（本题满分 11 分） 3
设 D 是由直线 y 1, y x, y x 围成的有界区域，计算二重积分
D
x2 xy y2 x2 y2
dxdy
（19）（本题满分 10 分）
已知 y1 (x)= ex , y2 (x )= u (x )ex 是二阶微分方程 (2x- 1) y ''- (2x + 1) y '+ 2y = 0 的两个解，若
（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标对时间的
变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _________ .
a 1 1 1 1 0
（14）设矩阵 1 a 1 与 0 1 1 等价，则 a _________ .
（11）以 y x2 ex 和 y x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 _________ .
（12）已知函数 f (x) 在 (,) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f n (0) 0 2
_________ .
按照从低阶到高阶的排序是（）
A a1, a2, a3
B a2, a3, a1
C a2, a1, a3
D a3, a2, a1
（2）已知函数
f
x

2
x 1, x
ln x, x 1

2016年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解【圣才出品】

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F
(
x)
(x x(ln
1)2 , x 1)
1,
x 1 x 1
为 f（x）的一个原函数。
3．反常积分①
0
1 x2
1
e x dx
，②
+ 0
1 x2
1
e x dx 的敛散性为（
）。
A．①收敛，②收敛
B．①收敛，②发散
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2016 年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．设
a1 x(cos x 1)
a2 x ln(1 3 x )
5 / 26
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内 F（x）≤0，也即 f1（x）≤f2（x）。同理设 G（x）＝fi（x）－g（x）（i＝1，2），可得在 x0 的某个邻域内 G（x）≤0，也即
fi（x）≤g（x）。综上，在 x0 的某个邻域内，f1（x）≤f2（x）≤g（x）。
6．已知函数 f（x，y）＝ex/（x－y），则（）。 A．fx′－fy′＝0 B．fx′＋fy′＝0 C．fx′－fy′＝f D．fx′＋fy′＝f 【答案】D 【考点】偏导数的计算
【解析】因为所以，
5
a2 x ln(1 3 x ) ~ x 6
1 / 26
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a3
3
x
1
1
(1

2016考研数学二试题及答案详解

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． (1) 设 a1 x (cos x 1), a2 照从低阶到高阶的排序是 (A) a1 , a2 , a3 【答案】(B)
所以由定积分定义得，原极限

1
0
x sin xdx ( x cos x sin x) 0 sin1 cos1 .
1
(11) 以 y x 2 e x 和 y x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ___________ . 【答案】 y y 2 x x 2 【解析】设一阶非齐次线性微分方程为 y p ( x ) y q( x) .根据线性微分方程齐次与非齐次解之间的关系知 x 2 ( x 2 e x ) e x 为 y p ( x ) y 0 的解 . 所以 p( x) 1 . 又因为 y x 2 为
0
x
f n 0 ?___________ .
5 n 2 2 【解析】当 x 0 时， f (0) 1 ；
【答案】
f ( x) ( x 1)2 2 f (t )dt 两边同时对 x 求导，得 f ( x) 2( x 1) 2 f ( x ) ， f (0) 4 ；
1 1 0 1 1 1 x x 【解析】① e dx = e d = e x x 2 x 0
0
( lim e lim e ) 1 ，收敛.
x 0 1 x 1 x 0 x 0 1
1 x