2017年第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析

BB第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析（提高班）1.已知数列{}n a 满足()31221211,,2,,kk k nn n a e a e eaa an n Z k R -++-++===≥∈∈，求20171i i a =∏解：对12211kk k n n n ea a a -++-=两边同时取对数得()()()()111112l n l n 2l n 1l n 21l n 21l n n n n n n n k k a a k a a k a k a +----++=+⇒+=++-+ 设()()111ln 222n n n n n b a b k b kb n +-=+⇒=+-≥()()11222n n n n b b k b b n +-⇒-=-≥又211121ln 1ln 2,1ln 2n n n n b a e b a a e-=+=+==+=⇒=记()20172017201820191121is ii i S ae e -===-⇒==∑∏2.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF =， 证明：AE AF BE CF EDF BAC +=+⇔∠=∠证明：如图，取,AB AC 的中点,M N ， 延长DM 至点P ，使得MP MA = 联结,,EP MN DN一方面，若AE AF BE CF EM FN +=+⇒= 则由,PME MAN DNF MP MA DN ∠=∠=∠== 所以：PME DNF ∆∆≌所以：,PE DF DE NDF MPE PDE ==∠=∠=∠ 所以：EDF MND BAC ∠=∠=∠又因为：若EDF BAC MDE NDF ∠=∠⇒∠=∠ 由正弦定理得sin sin sin sin EM DE DF FNMDE DME DNF NDF===∠∠∠∠所以：EM FN AE AF BE CF =⇒+=+3.记Q 为1,2,,100的若干个排列组成的集合，且满足对于任意的1,100,,a b a b ≤≤≠至多存在一个Q σ∈使得在σ中a 的下一个数恰为b ；求集合Q 的元素个数的最大值解:首先,假设||101Q ≥。

若在某个排列中,x y 连续出现，则称(),x y 为一个“片段”。

由于每个排列恰有99个片段,于是，集合Q 中共有9910199999⨯=个片段；而不同的片段只有100999900⨯=个，,由抽屉原理，知存在一个片段在集合Q 中出现至少两次，矛盾， 从而, ||100Q ≤其次，令(1,100,2,99,,50,51)(099),i i i i i i i i σ=++++⋯++≤≤其中，所有元素均按模100处理，{|099}i Q i σ=≤≤；则对于()()00199,1x x x σσ≤≤+-不重复地取遍模100的除0外的完全剩余系， 故对a b ≠，可唯一找到199k ≤≤，使得()()()001mod100k k b a σσ+-≡- 然后，可找到唯一适当的i ，使得()i k a σ=，从而，此集合Q 满足要求。

综上,，Q 的最大值为1004.已知3(),n n Z n +≥∈个两两互素的正整数12,,,n a a a 满足：可以适当添加+“”或“-”使它们的代数和为0；问：是否存在一组正整数12,,,n b b b ⋯ (允许相同)，使得对任意正整数1122,,,,n n k b ka b ka b ka +++两两互素.解：（1）当4n >时（i ）若12,,,n b b b ⋯中有两个偶数，则当k 为偶数时，1122,,,n n b ka b ka b ka +++中有两项同为偶数，不互素（ii ）若12,,,n b b b ⋯中至多有一个偶数，则其中至少有三个奇数，设123,,b b b 为奇数，考虑123,,a a a ，由题设其中至少有两个奇数，不妨设12,a a 为奇数，则当k 为奇数时，1122,b ka b ka ++同为偶数，不互素. 综上，4n ≥不存在（2）当3n =时，由题设，不妨设123a a a +=，注意到()12,1a a =由裴蜀定理，知存在整数,x y 使得121a x a y +=， 不妨设0x y >>，令12312,,b y b x b b b =-==+，则()()1221233221211211a b a b a b a b a b b a b b -=⇒-=+-+=-()()31131211121a b a b a a b a b b -=+-+=-所以：()()()()1222113111331,1a b a k a b a k a b a k a b a k +-+=+-+=- 故112233,,b ka b ka b a k +++两两互素。

所以，3n =时，这样的整数存在。

5.已知正六边形ABCDEF 边长为a ，两个动点,M N 分别在边,BC DE 上运动，且满足60MAN ∠=， 证明：AM AN BM DN ⋅-⋅恒为定值.证明：如图，延长DC ，分别与,AB AM 的延长线交于点,P Q ，联结,AC AE 由正六边形的性质易知：60CAE MAN ∠==∠,90,,CAQ EAN ACQ AEN AC AE CP a ⇒∠=∠∠=∠====CAQ EAN ∴∆∆≌，,DN a EN a CQ PQ AM AN BM DN AM AQ BM PQ =-=-=⋅-⋅=⋅-⋅记：CAQ θ∠=，在ACM ∆中，由正弦定理得sin sin 30sin 302sin 30sin 30CM AM AM CM θ==⇒==+++所以：()()sin 30sin 302sin 30BM a CM a θθθ+=-==++在ACQ ∆中，注意到tan AQ CQ PQ a CQ θ====-=则()()()223cos 2sin 30cos a AM AQ BM PQ θθθθ-⋅-⋅=+⋅而()()2223cos 3cos 3sin cos θθθθθθ-=-+-⋅()()2cos cos 4cos sin 30θθθθθ==⋅+所以22AM AN BM DN AM AQ BM PQ a ⋅-⋅=⋅-⋅=（定值），有6.定义()r S n 为n 在()1r r >进制下的数码和，例如()3381102=， ()33811024S =+++=；证明： （1）对于任意2r >，存在素数p ，使得对任意正整数n ，有()()mod r S n n p ≡ （2）对于任意1r >及素数p ，存在无穷多个正整数n 满足()()mod r S m n p ≡证明:（1）由2r >，知11r ->，从而，1r -有素国子，取1r -任一素因子p ，于是，()1mod r p ≡ 任取11()s s n a a a -=，在模p 意义下有()11111()s sk s s r k k r k k n a a a r a a S n --====≡=∑∑，即()()mod r S n n p ≡；（2）设p 的r 进制表示为11()k k r p a a a -=，令()()1110p kir k k i n prS n p a a a --==⇒=+++∑，所以()||p n p S n 且所以：存在无穷多个正整数n 满足()()mod r S n n p ≡ 7.给定正整数()1n n >，n 个实数12,,,n x x x 满足[]12,,,0,n x x x n ∈，且()()()1212n n x xx n x n xn x =---；试确定12n y x x x =+++的最大值.解:最大值为2n n -令(1,2,,)kk x y k n n ==⋯，于是[]()110,1,1n nk k k k k y y y ==∈=-∏∏ 若存在0k y =，则11nkk yn =≤-∏若对任意的1k n ≤≤，有01k k y y >⇒<令()1,2,,1k k k y z k n y ==⋯-于是，1kk k z y z =+，且11n k k z ==∏ 不妨设12n z z z ≤<⋯≤，则121z z ≤；所以：1212113121221111nnnk k k k k k kk z z z z z z y n z z z z z z ===++==+≤-+++++∑∑∑从而211nnkk k k y xn y n n ====≤-∑∑又当12,,,n x x x 中恰有1n -个n ，1个为0时2y n n =-8.草原上生活着编号为1,2,,7的7只羊和编号为1,2,,2017的2017匹狼。

在该草原上有如下奇怪的规则:(1)定义()P n 为小于n 的素数个数，仅当()()mod7P i j ≡时，编号为i 的狼可以吃掉编号为j 羊（也可以不吃）(2)若编号为i 的狼吃了编号为j 的羊，则它会立刻变成编号为j 的羊 (3)每匹狼在确保不会被吃的前提下都非常想体验作为一只羊的生活。

假设每匹狼都很聪明，求最后草原上会剩下多少匹狼？解：首先，考虑有1只羊和n 匹狼且所有狼均可以吃这只羊的情形： 当1n =时，这匹狼当然会把羊吃掉，不用担心自己变成羊后会被吃；当2n =时，这两匹狼均不敢吃羊，否则，会在变成羊之后被另外一匹狼吃掉；当3n =时，这三匹狼均想吃这只羊，因为即使自己变成羊，由2n =情形时的推论，另外两匹狼不敢吃自己；设当2n k =时，所有的狼均不敢吃羊，21n k =+时，所有的狼均想吃羊当22n k =+时，若某匹狼吃了羊，由21n k =+的推论，它会立刻被某匹狼吃掉，故22n k =+时所有的狼均不敢吃羊；当23n k =+时，若某匹狼吃了羊，由23n k =+的推论,，其它的狼均不敢吃自己，故23n k =+时所有的狼均想吃羊；由数学归纳法，知n 为奇数时，所有的狼均想吃羊，n 为妈数时,所有的狼均不敢吃羊；（1） 其次，记集合{}()(){}1,2,,2017,|mod7k S A n S P n k =⋯=∈≡，其中，1,2,,7,k =⋯⋯并约定以||A 表示集合A 的元素个数。

由前面的论述，只需考虑||k A 的奇偶性即可。

设不超过2017的所有素数为12,,,2017m p p p =，则满足()(),,P n k k m n S =∈的n 为11,2,,k k k p p p +++共1k k p p +-个当1k >时，||k A 为偶数； 当1k =时，1||A 为奇数；所以：1||A 为奇数，()||2k A k ≥为偶数； 由结论（1），知最后草原上会剩余2016匹狼.。