2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019年数学竞赛试题及答案

The 11th manian Master of Mathematics Competition
Day 1 — Solutions
Problem 1. Amy and Bob play the game. At the beginning, Amy writes down a positive integer on the board. Then the players take moves in turn, Bob moves ﬁrst. On any move of his, Bob replaces the number n on the blackboard with a number of the form n − a2 , where a is a positive integer. On any move of hers, Amy replaces the number n on the blackboard with a number of the form nk , where k is a positive integer. Bob wins if the number on the board becomes zero. Can Amy prevent Bob’s win? Russia, Maxim Didin Solution. The answer is in the negative. For a positive integer n, we deﬁne its square-free part S (n) to be the smallest positive integer a such that n/a is a square of an integer. In other words, S (n) is the product of all primes having odd exponents in the prime expansion of n. We also agree that S (0) = 0. Now we show that (i) on any move of hers, Amy does not increase the square-free part of the positive integer on the board; and (ii) on any move of his, Bob always can replace a positive integer n with a non-negative integer k with S (k ) < S (n). Thus, if the game starts by a positive integer N , Bob can win in at most S (N ) moves. Part (i) is trivial, as the deﬁnition of the square-part yields S (nk ) = S (n) whenever k is odd, and S (nk ) = 1 ≤ S (n) whenever k is even, for any positive integer n. Part (ii) is also easy: if, before Bob’s move, the board contains a number n = S (n) · b2 , then Bob may replace it with n = n − b2 = (S (n) − 1)b2 , whence S (n ) ≤ S (n) − 1. Remarks. (1) To make the argument more transparent, Bob may restrict himself to subtract only those numbers which are divisible by the maximal square dividing the current number. This restriction having been put, one may replace any number n appearing on the board by S (n), omitting the square factors. After this change, Amy’s moves do not increase the number, while Bob’s moves decrease it. Thus, Bob wins. (2) In fact, Bob may win even in at most 4 moves of his. For that purpose, use Lagrange’s four squares theorem in order to expand S (n) as the sum of at most four squares of positive integers: 2 2 2 2 S (n) = a2 1 + · · · + as . Then, on every move of his, Bob can replace the number (a1 + · · · + ak )b 2 2 on the board by (a2 1 + · · · + ak−1 )b . The only chance for Amy to interrupt this process is to replace a current number by its even power; but in this case Bob wins immediately. On the other hand, four is indeed the minimum number of moves in which Bob can guarantee himself to win. To show that, let Amy choose the number 7, and take just the ﬁrst power on each of her subsequent moves.

2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(214)

——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（214）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1.已知点A(3,1),，且的四个顶点均在函数的图像上，则的面积为。
2.设集合，若集合A中所有四元子集的四个元素之积组成的集合为，则集合A中的元素和为。
7.在四面体ABCD中，，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的体积为。
8.设为定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，均有，则实数的取值范围是。
二、解ห้องสมุดไป่ตู้题
9.已知函数，设为正实数，且。证明：
10.设抛物线的焦点为F，过F且垂直于轴的直线与抛物线E交于S、T两点，以为圆心的圆过点S、T，且。
二、设为正整数，为素数。求所有满足的三元数组（）
三、将编号为1，2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球。设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率。
四、已知正实数满足有一组不全为0的实数解且。证明：
（1）求抛物线的方程。
（2）设M上的点，过点M且垂直于FM的直线与抛物线E交于A、B两点，证明：。
11.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足。设，求
加试
一、如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线与圆交于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使得，证明：QP平分.
3.在中，，点D在边AB上，BD=1，AC=，DA=DC，则
4.椭圆上任意两点P、Q，O为坐标原点，若，则面积的最小值为。
5.现安排七名同学去参加五个运动项目，要求甲、乙两名同学不能参加同一个项目，每个项目均有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同方案数为。

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于。

个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

2019年夏季数学大联盟4-5年级个人赛(Iindividual Part2)真题与解析【决赛】

Individual Questions – Part 2 of 2Each question is worth 10 points. Calculators are PROHIBITED.#2-1. (Time Limit: 7 minutes) Different letters in the word “MathLeague” represent different digits.What is the greatest possible value of the sum of the value of all 10 letters?题目翻译: MathLeague这个单词中的每一个不同的字母对应一个不同的数字(0...9这十个数字中的一个数字)，请问这十个字母所对应的数字的和的最大值是多少?Solution:Since the letters “a” and “e” appear twice, let one of them have a value of 9 and the other onea value of 8. Each of the six other letters appears only once, so their values should be 7, 6, 5,4, 3, and 2. Assigning these values to the letters, the greatest possible sum is (18 + 16 + 7 + 6 +5 + 4 + 3 + 2) =61.#2-2. (Time Limit: 7 minutes) The number N = 2666666 . . . 666666 consists of a “2” followed by 2019 “6”s. What is the remainder when N is divided by 11?题目翻译: N = 266666…666666666，数字2后面有2019个6，N除以11的余数是多少？Solution 1:66 is a multiple of 11, so is any even number of 6 in a row. Let N1 = N–66…66 (2018 “6”s) =2600…00 (2018 “0”s). The remainder when N is divided by 11 is equal to the remainderwhen N1 is divided by 11.Let N2 = N1 – 2200...00 (2018 “0”s) = 400…00 (2018 “0”s). The remainder when N1 isdivided by 11 is equal to the remainder when N2 is divided by 11.Let N3 = N2 – 4 * 99…99 (2018 “9”s) = 4. Since 99…99 (2018 “9”s) is a multiple of 11, theremainder when N2 is divided by 11 is equal to the remainder when N3 is divided by 11. So the answer is4.Solution 2:There are 2020 digits in N. As we divide, we see that the quotient is 242424. . ., with the partial remainders after each step of the division alternating between 4 and 2. Since there are 2019 6s, the last remainder will be a4.#2-3. (Time Limit: 7 minutes) If 2 watermelons can be exchanged for 7 apples and 3 apples can be exchanged for 4 bananas, for how many bananas can 12 watermelons be exchanged?题目翻译: 如果2个西瓜可以换7个苹果，3个苹果可以换4个香蕉，那么12个西瓜可以换多少个香蕉？Solution:If 2 watermelons can be exchanged for 7 apples, 12 watermelons can be exchanged for 42 apples. Similarly, if 3 apples can be exchanged for 4 bananas, then 42 apples can be exchanged for56bananas.#2-4. (Time Limit: 7 minutes) Six years ago, Steve was six times as old as Rui. Six years from now, Steve will be 10 years older than Rui. How old is Rui?题目翻译: 6年前，Steve的年纪是Rui的年纪的6倍。

2019年高中数学竞赛试题及答案及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？（3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间；（2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ；（2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程；（2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-．（1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由；（2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-；（3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分）解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ，解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ，故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分）解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分（2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分）解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分（2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分（3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分）解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分又11()(1f x x x ===3分显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分（3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019-2020英国数学奥林匹克第一轮比赛时间：2019年11月29日1.证明：存在至少3个小于200的素数p ，满足p+2,p+6,p+8,p+12均为素数.同样的,证明有且仅有一个素数q,满足q+2,q+6,q+8,q+12,q+14均为素数.2.整数数列a 1,a 2,a 3,……满足递推关系:2214410n n n n a a a a +-+-=对任意正整数n 成立.求a 1的所有可能的值.3.两个圆S 1,S 2切于点P.一条不经过点P 的公切线分别与S 1,S 2交于点A,B.过P 且在△APB 外的直线CD 与S 1,S 2分别交于点C,D.证明AC ⊥BD.4.共2019只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆.当企鹅到达时,每只企鹅都得到了一张门票,上面写有1-2019的数字,升序排列,并被告知他们要排队就餐.第一只企鹅站在队伍的最前面.接下来,持有n 号门票的企鹅,需要找到满足m ＜n 且m 整除n 的最大整数m,然后钻到第持有m 号门票的企鹅后面.随后下一只企鹅加入队伍,直到2019只企鹅都排好队.(1)持2号门票的企鹅前面有多少只企鹅?(2)与持33号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅?5.有6个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈.开始时,有一个小孩有n 个糖果,其他人没有糖果.如果有一个小孩有4个以上的糖果,那么他可以进行如下操作:吃掉一个糖果,同时给他相邻的和对面的一个人各一个糖果.如果经过某些步骤之后,每个小孩的糖果数量相同,就称这是一次”完美安排”.求可以实现”完美安排”的所有n 的值.6.若定义域和值域均为整数的二元函数f(m,n)满足,对任意整数对(m,n),都有：2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1,就称它是一个“好函数”.求所有的“好函数”.第二轮比赛时间：2020年1月30日1.数列a1,a2,a3,…（a1>2）满足()112n nna aa+-=对所有正整数n成立.那么,a1为何值时,数列中所有项均为奇数?2.平面上的点集S中有四个点,其中任意三个点均不共线,且其中任意三个点所组成的三角形的外接圆半径相等.请描述所有这样的点集.3.一个2019×2019的正方形网格由20192个单元格构成.每个单元格都被染成了黑色或者白色.对某种染色方法,若其中任意k2个单元格构成的正方形子网格(1≤k≤2019)中,黑色格子和白色格子的个数相差均不超过1,就称这个染色方法是”均衡”的.那么,一共有多少种”均衡”的染色方法? (若两个染色方法中有至少一个单元格颜色不同,就称这两个染色方法是不同的)4.非零实数列b1,b2,b3,…满足2121nnnbbb++-=对所有正整数n成立.若b1=1,b2=k,1<k<2,证明存在由k决定的常数B,使得-B≤b n≤B对所有n成立.并证明,对某个1<k<2,存在n使得b n>2020.。

2019 IMO Day 1

第60届国际数学数学奥林匹克第一天
翻译Photaesthesia
July16th,2019
Bath,UK
第1题.设整数集为Z.求所有函数f:Z→Z使得对任意整数a,b都有
f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).
第2题.在三角形ABC中,点A1在边BC上,点B1在边AC上.点P和点Q分别在线段AA1和BB1上,满足P Q与AB平行.设P1是直线P B1上一点,满足B1在线段P P1上(不含端点),且∠P P1C=∠BAC.类似定义点Q1在直线QA1上一点,满足A1在线段QQ1上(不含端点),且∠CQ1Q=∠CBA.证明:P,Q,P1,Q1四点共圆.
第3题.一个有2019名用户的社交网络,这些用户中有某些人是好友关系,这里的好友关系是相互的.下述事件在他们之中反复发生,且一段时间内只发生一次:
•有三个用户A,B,C满足A是B与C的共同好友且B,C间没有好友关系,在事件发生时,B,C 成为好友且A与B,C均解除好友关系.其它的好友关系均保持不变.
开始时,有1010个用户每人有1009个好友,另外的1009个用户每人有1010个好友.证明:存在一个事件序列使得其发生之后每个用户至多有一个好友.
1。

2019-数学大烧脑：第二届IMO试题-精选word文档 (1页)

2019-数学大烧脑：第二届IMO试题-精选word文档本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==数学大烧脑：第二届IMO试题国际奥林匹克数学竞赛(International Mathematics Olympiad，简称IMO)有"数学世界杯"之称，创办于1959年，每年举办一次，由参赛国轮流主办。

目的是为了发现并鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。

今天，数学网小编就给大家分享了第二届IMO试题，考验大家的智商时刻到了，一起来试试吧。

1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。

2. 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2 < 2x+93. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份(n为奇数)，令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tana=4nh/(an2-a)。

4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5. 正方体ABCDA'B'C'D'(上底面ABCD，下底面A'B'C'D')。

X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。

a.求XY中点的轨迹;b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。

6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。

令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。

(a)求证：V1不等于V2;(b)求V1/V2的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。

令AB=a,CD=c，梯形的高为h。

2019年第60届国际数学奥林匹克竞赛IMO试题选解

选讲2019年第60届国际数学奥林匹克竞赛IMO试题题1：设整数集为Z，求所有函数Z：使得对于任意整数bf→Za，都有()()()().f+a+f=b2baf2f解：对于任意整数ba，都有()()()().f+a+ ①f=2bb2aff也有().()()()bf+f=+ ②a2a2bff分别在①、②令a=，得()；()()()f=+2f0 ③bbff()；()()()+2f=2 ④fbfbf所以由③、④有()()().f=+ ⑤fb2f2b设()t0是常数，=tf，由⑤知()().f-b= ⑥2t2bf所以()()()()()()，t=++f-22 ⑦f2=+2fafabbbaff在⑦中令a==xb，结合⑥得()()()()，t()=f-f=42 ⑧2-xxtfffx在⑧中，()i若()()t==0是常数，f，ftx则代入⑧中计算得=t，所以().0=f ⑨x()ii若()，tf≠x令()t=2，y-fx则().=f+yy2t所以().= ⑩f+x2tx经检验⑨、⑩知，函数().0Z x x f ∈=，与函数().2是常数，，，C Z C x C x x f ∈+=使得对于任意整数b a ，都有()()()().22b a f f b f a f +=+解题反思：(1)本题解题上应用了代换法、赋值法，整体思想.数学思想上应用了推理逻辑.(2)本题可以推广，设整数集为Z ，求所有函数Z Z f →：使得对于任意整数）m b a ，，都有()()()().b a f f b mf ma f +=+参考答案：解题思路与原题类似，答案是：函数().0Z x x f ∈=，与函数().是常数，，，C Z C x C mx x f ∈+=(3) 若改变指数可以得到另一个函数方程题：设整数集为Z ，求所有函数Z Z f →：使得对于任意整数b a ，都有()()()().2)(2b a f f b f a f +=+参考答案：函数().0Z x x f ∈=，与().1Z x x f ∈-=，(4) 教学建议：通过本题研究，教师在抽象函数问题求解时要特别强调数学思想教学研究。

数学奥林匹克高中训练题(19)及答案

数学奥林匹克高中训练题(19)第一试、选择题(本题满分 36分，每小题6分) 1.(训练题 24)对于每一对实数x,y ,函数f 满足方程f (x • y)「f (x)「f (y) -T xy ，且fl 仁•那么，f(n) =n(n =1)的整数n 的个数共有(B)个. (B)1 (C)2 (D) (A)0 2 .(训练题24)有六个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的排法种数为 (A)72 (B)96 (C) 48 (D) 3 .(训练题24)在一次体育比赛中，红白两队各有 5名队员参加，比赛记分办法是：几名就为本队得几分，且每个队员的得分均不同，得分少的队获胜，则可能获胜的分数是 3 (A).以上都不对队员在比赛中获第(C).27 (A)29 (B)28 4.(训练题24)现有下面四个命题： ① 底面是正多边形，其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥. ② 底面是正三角形，相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ③ 有两个面互相平行，其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台. ④ 有两个面互相平行，其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱. 其中，正确的命题的个数是 (A) 3 (B) (D). 2 (C) (C) (D) (D) 13 5.(训练题24)设f : N > N , 且对所有正整数有 f(n 1) f(n), f( f( rj) 3n .f (1997)的值为(C). (A)1997 (B)1268 (C)3804 (D)5991-训练题24唱爲:;胯豐的解(x, y)共有(B)组. (A)4 二、填空题 (B)2 (C)1 (D) (本题满分 54分，每小题9分) 1.(训练题 24)数列｛a n ｝的前 14 项是 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33,34, 35, 38，….按此规律，则2.(训练题24)函数f (x)二(長- ~^)( J x T + r 1——)丄的值域是v xJ x —1 x(0,1)3.(训练题24)方程x^1 x ； /I 2 x.二 1 远的解是—2 ■ 36 714.（训练题24）若方程x2（^2i）x 3m -i =0（m R）有一实根、一虚根，则此虚根是2i—25 .（训练题24）平面上有四点A, B, C, D,其中代B为定点，且AB = J3,C, D为动点，且AD DC =|BCT ，记S咎BD=T为也BCD的面积.贝U S2+T2的取值范围是2、「3 -3 2 2 7S2T2：4 811 1 16.（训练题24）使不等式——- - a-1995—对一切自然数n都成立的最小自然数n+1 n+2 2n+1 3a 是1997 ______ .第二试2 2一、（训练题24）（本题满分25分）已知F1, F2是椭圆笃=1（a b 0）的左、右焦点，c为半焦距，a b弦AB过焦点F2•求■ F1AB的面积的最大值.n、（训练题24）（本题满分25分）若X j・0,二人=1, x, x-i, n，求证:三、（训练题24）（本题满分35分）已知ABC是等腰三角形，AB=AC,CD是腰AB上的高线，CD1的中点为M,AE _ BM于E, AF _CE于F •求证：AF _丄AB .3四、（训练题24）（本题满分35分）46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二的选手59人，做对第一、三的选手29人，做对第一、四的选手15人，全做对的3人•存在这样的选手，他做对了前三题，但没有做对第四题•求证：存在一个国家，这个国家派的选手中至少有4个人，他们只做对了第一题.。

2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(221)

——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（221）
______年______月______日
____________________部门
第一试
一、填空题
1.在中，，，则的最大值为
2.设，则。
3.将排成一列，使得每一个数严格大于排在其前面的所有数，或严格小于排在其前面的所有数，记不同的排列个数为。则。
二、解答题
9.设数列、满足，，证明：对任意的，均有
10.一种排卡游戏规则如下：将写有1，2，…，9的九张卡片随机地排成一行，若第一张卡片（左起）上的标数为，则将前张卡片逆序排过称为一次操作，无法操作时（即第一张卡片上的标数为“1”）游戏停止。若一个排列无法操作，且恰由唯一的另一个排列经过一次操作得到，则此排列称为“二次终止排列”。在所有可能的排列中，求二次终止排列出现的概率。
二、（1）求所有映射，满足
（2）求所有映射，满足
三、证明：给定任意正整数，均有无穷多个素数，对于每个，均存在正整数，使得
四、有三种型号的零件，取个零件围成一个圆依次为abab…abc，现进行如下操作：在保证任意相邻零件型号不同的情况下，每次改变一个零件的型号，问：是否能经过有限次操作，使得最后零件顺序为abab…abc？
11.取定椭圆长轴上的一点K（K不为中心），过K作椭圆的两条弦AC、BD。延长四边形ABCD的对边AB、DC交于点M，延长AD、BC交于点N。当弦AC、BD任意变动时（保持交于点K），证明：
（1）点M、N在同一条定直线上；
（2）的垂心为定点。
加试
一、如图1，圆交于E、F两点，过点F的直线AD、BC与圆分别交于点A、B，与圆分别交于点D、C，且AD=BC,,联结BD，过点C作AB的平行线CG，与BD交于点G，证明：EG//AD.

【独家带详解答案】IGCSE2019年数学真题卷1(060612)_20200830123606

Candidates answer on the Question Paper. Additional Materials: Electronic calculator
0606/12 May/June 2019
2 hours
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Write your centre number, candidate number and name on all the work you hand in. Write in dark blue or black pen. You may use an HB pencil for any diagrams or graphs. Do not use staples, paper clips, glue or correction fluid. DO NOT WRITE IN ANY BARCODES.
At the end of the examination, fasten all your work securely together. The number of marks is given in brackets [ ] at the end of each question or part question. The total number of marks for this paper is 80.
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ADDITIONAL MATHEMATICS Paper 1

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题高中数学奥林匹克竞赛试题一、选择题（共20小题，每小题2分，共40分。

从每题四个选项中选择一个正确答案，将其标号填入题前括号内）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + bx + c, f(1) = 5, f(2) = 15，则b + c的值是：A. 4B. 6C. 8D. 122. 设等差数列{an}的公差为d，已知a₁ + a₃ + a₅ = 9d，a₂ + a₄ + a₆= 15d，则a₇的值为：A. 8dB. 9dC. 10dD. 11d3. 若复数z = a + bi满足|z - 1| = |z + 1|，则a的值为：A. -1B. 0C. 1D. 24. 若直线y = kx + m与椭圆(x + 2)²/9 + y²/16 = 1相交于点P，请问此时P点的横坐标x的取值范围是：A. [0, -4/3]B. [0, -2]C. (-∞, -2]D. (-∞, 0]5. 已知正整数a、b满足a + b = 10，ab = 15，则a/b的值是：A. 1/2B. 2/3C. 3/2D. 3/5二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）6. 若正整数x满足5x ≡ 15 (mod 17)，则x的最小正整数解为_______。

7. 在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + c经过点(1, 2)，且该直线与x轴交于点(3, 0)，则k的值为_______。

8. 设二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交于A、B两点，若A、B两点间的距离为10，且判别式Δ = b² - 4ac > 0，则a/b的值为_______。

9. 设U为自然数集合，函数f: U → U满足f(f(f(x)))) = 1 + x，则f(2019)的值为_______。

10. 若平面上直线y = kx + 1与曲线y = x² + 2x相切于点P，请问k的取值范围是_______。

2019高中数学联赛(A卷)

2019年高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.已知正实数a 满足()89,aa a a = 则()log 3a a 的值为 .2.若实数集{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 .3.平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2,a e ⋅=且25a a te ≤+对任意实数t 成立，则a 的取值范围是 .4.设,A B 为椭圆Γ的长轴顶点，,E F 为Γ的两个焦点，4,2AB AF P ==为Γ上一点，满足2,PE PF ⋅= 则PEF △的面积为 .5.在1,2,3,,10… 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10----…中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 .6.对任意闭区间,I 用I M 表示函数sin y x =在,I 上的最大值.若正数a 满足[][]0,,2,a a a M M = 则a 的值为 .7.如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则EKKF的值为 . 8.将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）。

则产生的不同的8位数的个数为 .二．解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.在ABC △中，,,.BC a CA b AB c ===若b 是a 与c 的等比数列，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值.10.在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线24y x Γ=：恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点.F 求圆Ω的半径.11.称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若1=1,z 且对任意正整数,n 均有2211420.n n n n z z z z ++++=求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数，均有12.m z z z C +++≥加试一．（本题满分40分）如图，在锐角ABC △中，M 是BC 边的中点.点P 在ABC △内，使得AP 平分BAC ∠.直线MP 与ABP △，ACP △的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,.D E 证明：若,DE MP = 则2.BC BP =二.（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199.a a a =≤≤≤= 记()()22212201913243520172019.f a a a a a a a a a a a =+++-++++求f 的最小值0.f 并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数.三. （本题满分50分）设m 为整数， 2.m ≥整数数列12,,a a …满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21.n n n a a ma ++=- 证明：若存在整数(),2r s r s >≥使得1,r s a a a == 则.r s m -≥四. （本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.。

2019年高中数学竞赛试题及答案及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？（3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间；（2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ；（2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程；（2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-．（1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由；（2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-；（3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分）解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ，解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ，故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分）解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分（2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分）解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分（2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分（3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分）解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分又11()(1f x x x ===3分显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分（3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

2019英国数学奥林匹克竞赛题-初中-第一轮

British Mathematical OlympiadRound1Friday30November2018Instructions1.Time allowed:312hours.2.Full written solutions–not just answers–are required,with complete proofs ofany assertions you may make.Marks awarded will depend on the clarity of your mathematical presentation.Work in rough first,and then write up your best attempt.Do not hand in rough work.3.One complete solution will gain more credit than several unfinished attempts.It ismore important to complete a small number of questions than to try all the problems.4.Each question carries10marks.However,earlier questions tend to be easier.Ingeneral you are advised to concentrate on these problems first.5.The use of rulers,set squares and compasses is allowed,but calculators and protractorsare forbidden.6.Start each question on a fresh sheet of paper.Write on one side of the paper only.Oneach sheet of working write the number of the question in the top left hand corner and your name,initials and school in the top right hand corner.plete the cover sheet provided and attach it to the front of your script,followed byyour solutions in question number order.8.Staple all the pages neatly together in the top left hand corner.9.To accommodate candidates sitting in other time zones,please do not discuss the paperon the internet until8am GMT on Saturday1December when the solutions video will be released at https://10.Do not turn over until told to do so.Enquiries about the British Mathematical Olympiad should be sent to:UK Mathematics Trust,School of Mathematics,University of Leeds,Leeds LS29JT01133432339enquiry@ British Mathematical Olympiad Round1Friday30November2018 1.A list of five two-digit positive integers is written in increasing order on a blackboard. Each of the five integers is a multiple of3,and each digit0,1,2,3,4,5,6,7,8,9appears exactly once on the blackboard.In how many ways can this be done?Note that a two-digit number cannot begin with the digit0.2.For each positive integer n≥3,we define an n-ring to be a circular arrangement of n(not necessarily different)positive integers such that the product of every three neighbouring integers is n.Determine the number of integers n in the range3≤n≤2018for which it is possible to form an n-ring.3.Ares multiplies two integers which differ by9.Grace multiplies two integers which differ by6.They obtain the same product T.Determine all possible values of T.4.LetΓbe a semicircle with diameter AB.The point C lies on the diameter AB and points E and D lie on the arc BA,with E between B and D.Let the tangents toΓat D and E meet at F.Suppose that∠ACD=∠ECB.Prove that∠EFD=∠ACD+∠ECB.5.Two solid cylinders are mathematically similar.The sum of their heights is1.The sum of their surface areas is8π.The sum of their volumes is2π.Find all possibilities for the dimensions of each cylinder.6.Ada the ant starts at a point O on a plane.At the start of each minute she chooses North,South,East or West,and marches1metre in that direction.At the end of2018 minutes she finds herself back at O.Let n be the number of possible journeys which she could have made.What is the highest power of10which divides n?©UK Mathematics Trust 。

2019年国际数学卓越奥林匹克

2019年国际数学卓越奥林匹克 1.设非直角△ABC 的外接圆为θ.过A 作圆θ的切线交直线BC 于点D,BC 的中点为 M,直线AM 与圆θ不同于A 的交点为N 。

取一点K 。

使得四边形ADMK 为平行四边形。

求证kA=KN.2.考虑有2019个点的图G.定义对顶点v 的“反转”操作如下：对于其它的任意一个顶点u 。

若u 与v 之间有边,则将其边删掉。

若u 与v 之间没有边，就在这两点间连一条边。

我们想通过若干次"反转”操作(先许多次“反转”相同的顶点),使得图中的边数最小。

求M 的最小值，使得对任意的2019个点的图G 。

我们可以通过若干次“反转”之后，使得图G 的边数不大于M 。

3. 求所以函数,:R R f →使得对任意实数x,y.有()()()()()()y f x f y x f f y x f y x +•+=++。

4. 若正整数集的某个二元子集有且仅有一个素数和一个合数，则称这个二元子集是“可爱子集”。

试求所有整数系多项式()x f ，使得对所有“可爱子集”的集合｛p,q ｝,集合()(){}p q f q p f ++,也是“可爱子集”。

5. 找出所有正整数对（s,t ）,满足对任意两个不同的正整数a,b.都存在正整数n,使得1+++n n t s b a b a .6. 在非直角△ABC 中.内心为I 。

,其外接圆为ω。

∠ABC 的内、外角平分线分别交直线BC 于点D 、E 。

M 在直线AC 上。

满足MC=MB.过B 作圆ω的切线交MD 于S 。

△ADE 的外接圆交△BIC 的外接圆于点P 、Q.设AS 与圆ω另一个交点为K ，求证：K 在PQ 上。

2019年第60届国际数学奥林匹克竞赛IMO试题选解

选讲2019年第60届国际数学奥林匹克竞赛IMO试题题1：设整数集为Z，求所有函数Z：使得对于任意整数bf→Za，都有()()()().f+a+f=b2baf2f解：对于任意整数ba，都有()()()().f+a+ ①f=2bb2aff也有().()()()bf+f=+ ②a2a2bff分别在①、②令a=，得()；()()()f=+2f0 ③bbff()；()()()+2f=2 ④fbfbf所以由③、④有()()().f=+ ⑤fb2f2b设()t0是常数，=tf，由⑤知()().f-b= ⑥2t2bf所以()()()()()()，t=++f-22 ⑦f2=+2fafabbbaff在⑦中令a==xb，结合⑥得()()()()，t()=f-f=42 ⑧2-xxtfffx在⑧中，()i若()()t==0是常数，f，ftx则代入⑧中计算得=t，所以().0=f ⑨x()ii若()，tf≠x令()t=2，y-fx则().=f+yy2t所以().= ⑩f+x2tx经检验⑨、⑩知，函数().0Z x x f ∈=，与函数().2是常数，，，C Z C x C x x f ∈+=使得对于任意整数b a ，都有()()()().22b a f f b f a f +=+解题反思：(1)本题解题上应用了代换法、赋值法，整体思想.数学思想上应用了推理逻辑.(2)本题可以推广，设整数集为Z ，求所有函数Z Z f →：使得对于任意整数）m b a ，，都有()()()().b a f f b mf ma f +=+参考答案：解题思路与原题类似，答案是：函数().0Z x x f ∈=，与函数().是常数，，，C Z C x C mx x f ∈+=(3) 若改变指数可以得到另一个函数方程题：设整数集为Z ，求所有函数Z Z f →：使得对于任意整数b a ，都有()()()().2)(2b a f f b f a f +=+参考答案：函数().0Z x x f ∈=，与().1Z x x f ∈-=，(4) 教学建议：通过本题研究，教师在抽象函数问题求解时要特别强调数学思想教学研究。

2019年欧洲女子数学奥林匹克第一天

Problem 2. Let n be a positive integer. Dominoes are placed on a 2n × 2n board in such a way that every cell of the board is adjacent to exactly one cell covered by a domino. For each n, determine the largest number of dominoes that can be placed in this way. (A domino is a tile of size 2 × 1 or 1 × 2. Dominoes are placed on the board in such a way that each domino covers exactly two cells of the board, and dominoes do not overlap. Two cells are said to be adjacent if they are diﬀerent and share a common side.) Problem 3. Let ABC be a triangle such that ∠CAB > ∠ABC , and let I be its incentre. Let D be the point on segment BC such that ∠CAD = ∠ABC . Let ω be the circle tangent to AC at A and passing through I . Let X be the second point of intersection of ω and the circumcircle of ABC . Prove that the angle bisectors of ∠DAB and ∠CXB intersect at a point on line BC .

英国奥数题

英国奥数题引言英国奥数题，即英国的数学奥林匹克竞赛题目，是一系列用于选拔英国国内优秀数学人才的数学题目。

这些题目通常非常有挑战性，涉及各个数学领域，并要求解题者具备创造性思维和深入理解数学的能力。

本文将介绍英国奥数题的背景、特点以及解题思路，帮助读者更好地了解和应对这些题目。

背景英国奥数题起源于20世纪60年代，当时英国数学学会为了选拔出优秀的数学人才，开始组织全国性的数学奥林匹克竞赛。

这些竞赛的题目不仅考察了学生对基础数学知识的掌握，还要求他们能够运用所学知识解决复杂的问题，培养学生的数学思维能力和创造性思维能力。

特点英国奥数题的特点可以总结为以下几点：高度挑战性英国奥数题通常非常有挑战性，题目涉及的数学知识点较为复杂，解题过程需要一定的深入思考和创造性的思维。

这些题目往往不是简单的计算题，而是需要学生通过分析、推理和证明来解决问题。

多样性英国奥数题涵盖了各个数学领域，包括代数、几何、组合数学等。

题目的形式也多种多样，有选择题、填空题、证明题等，使得解题者需要具备广泛的数学知识和技巧。

提倡思维过程解答英国奥数题并不仅仅是得出最终答案，更重要的是解题过程中的思考和推理。

奥数题鼓励解题者通过逻辑推理和创造性的思维来解决问题，要求解题者清晰地表达自己的思路和解题方法。

解题思路解答英国奥数题的关键在于培养良好的数学思维和解题技巧。

以下是一些常用的解题思路和技巧：分析问题在解答英国奥数题时，首先要对问题进行全面的分析。

理解问题的背景和要求，明确问题的关键点和难点，有助于找到解题的思路和方法。

抽象建模将具体的问题转化为抽象的数学模型是解答英国奥数题的重要步骤。

通过抽象建模，可以清晰地表达问题的数学本质，从而更容易找到解题的方法。

利用已知条件英国奥数题通常会给出一些已知条件，解题者需要充分利用这些已知条件来推导出更多的信息，进一步解决问题。

这需要解题者对已知条件进行分析和运用数学知识进行推理。

创造性思维解答英国奥数题需要具备创造性思维能力。