2018年第20届中国香港数学奥林匹克竞赛(含解析)PDF
香港数学竞赛试题及答案
香港数学竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π cmB. 15π cmC. 20π cmD. 25π cm3. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个表达式等于0？A. 2 - 2B. 3 + 3C. 4 × 0D. 5 ÷ 55. 如果一个数的平方是16，那么这个数是？A. 2B. 4C. ±4D. ±8二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
7. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。
9. 如果一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
10. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
三、解答题（每题5分，共30分）11. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
12. 解方程：2x + 5 = 17。
13. 一个长方形的长是20厘米，宽是10厘米，求它的面积。
14. 一个数列的前三项是1, 1, 2，如果每一项都是前两项的和，求第10项。
四、应用题（每题10分，共40分）15. 一个工厂每天生产200个零件，如果每个零件的利润是5元，那么工厂一个月（30天）的利润是多少？16. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生是男生，班级中女生有多少人？17. 一个圆的直径是14厘米，求它的面积。
18. 一个三角形的底是10厘米，高是6厘米，求它的面积。
答案一、选择题1. C2. C3. A4. A5. C二、填空题6. 87. ±58. 5, -59. 410. 16三、解答题11. 证明：设直角三角形的直角边为a和b，斜边为c。
香港数学奥林匹克竞赛试题两套(初中)——双语
Hong Kong Mathematics OlympiadHeat Event (Individual)Unless otherwise stated, all answers should be expressed in numerals in their simplest forms. 除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。
1. 袋中有数字卡9张，其数字分别为1至9。
若随机一次抽出3张，求被抽出的卡的数字全是奇数的概率。
（答案以分数表达，并化至最简。
）There are 9 cards, numbered from 1 to 9, in a bag. If 3 cards are drawn together at random, find the probability that all are odd. (Express your answer in the simplest fraction.)2. 已知 3a =150b ，且 a 和 b 都是正整数。
求 b 的最小值。
Given 3a = 150b , and a , b are positive integers, find the least value of b .3. 已知415cos b a +=︒， 且 a 、b 是自然数。
若 y b a =+，求y 的值。
Suppose 415cos b a +=︒, and a , b are natural numbers. If y b a =+, find the value of y .4. 把数字2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，求这些四位数的和。
Each of the digits 2, 3, 4, 5 can be used once and once only in writing a four-digit number. Find the sum of all such numbers.5. 在ABC ∆，BC DE //，DC FE //，2=AF ，3=FD 和 X DB =。
2018亚洲国际数学奥林匹克公开赛(AIMOOpen)晋级赛
參賽確認： 准考證將於比賽前一星期寄出，並有手機短信確認。如有查詢，請電郵至 info@。
比賽獎項： 獎項
香港賽區冠軍 金獎 銀獎 銅獎
計算方法 每個年級的第一名 約佔該年級參賽人數之 8% 約佔該年級參賽人數之 16% 約佔該年級參賽人數之 24%
將獲頒發 獎盃 及 獎狀
獎狀 獎狀 獎狀
成績公布： 比賽成績將於 2018 年 5 月 22 日由比賽網頁 公布。 獎項發布： 所有獎項一律通知參賽者所屬學校代為領取。
2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽香港參賽者的重要日期及注意事項
比賽階段 晉級賽
總決賽
比賽日期 2018 年 5 月 6 日
地址：香港九辦龍公彌時敦間道：香5星4港5期號數一安學至利奧日大林廈上匹午克4 樓十協時會電三H話o十n：g分K2至7o8n下7g午0M8一a5t9h時em電及at郵ica下：l O午inlfy二om@時phia至kdm六Aos.時csco三cia十比tio分賽n,（網H公站KM眾：O假htt期p:/除/w外ww）/
2018 年 8 月 4 日 泰國商會大學 (UTCC)
截止報名日期 2018 年 4 月 23 日
2018 年 6 月
准考證寄出 2018 年 4 月
2018 年 7 月
成績公布日期
2018 年 5 月 22 日
（頒獎典禮） 2018 年 8 月 6 日 大使市中天酒店
（網上公布） 2018 年 8 月 15 日
如非特殊情況並事先取得本會許可，參賽者不能提早交卷或離場。
全卷共 25 道填充題，分為三部分，總分 120 分，包括： 甲部： 3 分題（10 題，共 30 分） 乙部： 5 分題（10 題，共 50 分） 丙部： 8 分題（ 5 題，共 40 分） 每道題只需填寫答案，不需填寫步驟。
历届数学奥林匹克参赛名单
1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。
由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。
1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。
我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。
我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。
2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。
入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。
香港数学竞赛试题精选
数学竞赛试题精选一1、如下图，圆周上有7个数字，按顺时针方向依次可以组成7个整数部分是一位数的小数，如：1.234123 ，2.341231……再在这些小数数字上加两个循环点组成循环节，那么这些循环小数中最大的一个数是（）。
2、参加小学生运动会团体操表演的同学，排与了一个正方形队列，如果要使正方形队列减少一行和一列，则要减少31人，那么参加运动会团体操表演的同学有（）人。
3、120名学生投票选举学生会主席，现有甲、乙、丙三名候选人，其中得票最多的当选学生会主席。
每名学生只能选他们当中的一人，不能弃权。
在计算前102票时，甲得了45票，乙得了35票，若甲要保证当选，至少还需要（）张选甲的选票。
4、一种玩具，有两个按钮（一个红色，一个黄色）和100个能站能坐的小木偶，按一次红色按钮就会有一个站着的木偶坐下，按一次黄色按钮就会使站着的小木偶增加1倍。
现在共有3个小木偶站着，要使站着的小木偶变成91个，至少需要按（）次按钮。
5、甲乙两人一起喝完一罐咖啡需要10天，甲独喝则12天喝完。
甲乙两人一起喝1包茶叶12天喝完，乙单独喝则需20天喝完。
假设甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶。
两人一起喝完一罐咖啡和一包茶叶需要（）天。
6、二月份的某一天是星期日，这一天恰好有三批学生去探望王老师，这三批学生的人数都不相等，且没有单独一人去探望老师的。
这三批学生人数的积恰好是这一天的日期。
那么二月一日是星期（）。
7、某商店以每3盒16元的价格购进一批录音带，又从另一处以每4盒21元的价格购进是前一批数量2倍的录音带。
如果全部售出，可得投资额20%的利润。
则购回的全部录音带每3盒的售价是（）元。
8、学校统计9名参加数学竞赛同学的平均分,如果计算前五名的平均分,则比前四名的平均分下降1分,如果计算后五名的平均分,则比后四名的平均分上升2分。
前四名的平均分比后四名的平均分多（）分。
9、用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种彩笔，在一张方格纸上自左上到右下的斜行里按顺序地填色（如下图），第2004行的自左向右的第2005格填的是（）色。
2018亚洲国际数学奥林匹克公开赛小一及小二决
比賽地點： 因應實際參賽人數，比賽地點或會多於一個，地點將以准考證為準。
比賽費用： 是次比賽將會按每位參賽者收取港幣 400 元正作為行政費用 正接受「綜援計劃」的家庭可獲減免 200 元正（須遞交有關證明文件之影印本＊）
比賽報名 及 截止日期： 填寫後頁報名表，並連同比賽費用循以下任何一種途徑遞交： 郵遞報名： 於 2018 年 4 月 23 日（星期一）或以前 將報名表連同劃線支票** 郵寄（日期以郵戳為準）至郵政信箱編號 10952 郵政總局。 信封請註明「AIMO 決賽報名」。 親臨報名： 於 2018 年 4 月 23 日（星期一）或以前 將報名表連同劃線支票**／現金 遞交 至 香港九龍彌敦道 545 號安利大廈 4 樓全層 香港數學奧林匹克協會。 ※ 若資料不齊者，本會有權取消學生的參賽資格。 ** 支票抬頭為「HKMO」，現金只適用於親身遞交。（切勿郵寄現金，如有寄失恕不負責）
參賽確認： 准考證將於比賽前一星期寄出，並有手機短信確認。如有查詢，請電郵至 info@。
比賽獎項：
獎項 冠軍 金獎 銀獎 銅獎
計算方法 每個年級的第一名 約佔該年級參賽人數之 8% 約佔該年級參賽人數之 16% 約佔該年級參賽人數之 24%
將獲頒發 獎盃 及 獎狀 獎狀 及 獎牌 獎狀 及 獎牌 獎狀 及 獎牌
2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽小一及小二決賽 比賽詳情
主辦機構：
亞洲國際數學奧林匹克聯合會、香港數學奧林匹克協會
比賽對象：
小學一年級 或 小學二年級 之學生
比賽日期 及 時間： 2018 年 5 月 6 日（星期日）
年級
小一級
時間
09:45– 11:00
香港少年数学竞赛试题及答案
香港少年数学竞赛试题及答案试题一：计算题题目：计算下列表达式的值：\[ 3x^2 - 5x + 2 \]其中 \( x = -1 \)。
答案：将 \( x = -1 \) 代入表达式中，得到：\[ 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \]试题二：几何题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是直角边的长度。
代入题目中的数据，得到：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]所以斜边的长度是 5 厘米。
试题三：应用题题目：一家商店在促销期间，如果顾客购买超过 100 元的商品，可以享受 10% 的折扣。
小明购买了 150 元的商品，他应该支付多少元？答案：首先计算折扣金额，即 150 元的 10%：\[ 150 \times 10\% = 150 \times 0.1 = 15 \]然后从原价中减去折扣金额，得到小明需要支付的金额：\[ 150 - 15 = 135 \]所以小明应该支付 135 元。
试题四：逻辑推理题题目：在一个班级中，有 20 名学生。
如果至少有 3 名学生在同一天过生日，那么班级中至少有多少名学生的生日在同一个月份？答案：假设每个月至少有 2 名学生过生日，那么一年 12 个月就有至少 24 名学生过生日。
但班级中只有 20 名学生，所以至少有 4 名学生的生日在同一个月份，以满足至少有 3 名学生在同一天过生日的条件。
试题五：数列题题目：数列 \( a_n \) 定义为 \( a_1 = 1 \)，且对于 \( n \geq 2 \)，有 \( a_n = a_{n-1} + n \)。
第二十届(2003～2004)香港中学数学竞赛决赛试题及参考解答
第二十届(2003～2004)香港中学数学竞赛决赛试题及参考解答本文将介绍第二十届香港中学数学竞赛的决赛试题及参考解答。
本次竞赛分为初中组和高中组。
一、初中组试题1. 题目描述：一个航班从香港飞往纽约。
假定地球是一个半径为$6400$ 公里的球体，则在经过 $80$ 度西经时飞机的速度是多少，如果地球不是一个完整的球体，假象为一个半径为 $6400$ 公里的球体加上一个 $100$ 米高的山丘，则在上述情况下，航班的飞行距离应增加多少？2. 参考解答：(1) 在经过 $80$ 度西经时，飞机由东向西飞行，这意味着速度方向与地球表面切平面的切线相切，而切线垂直于该点的经线，因此速度方向与该经线成瞬时夹角 $90 - 80 = 10$ 度。
根据余弦定理，$$V^2 = 2gR(1 − \cos{\alpha})$$其中 $V$ 表示速度，$g$ 表示重力加速度，$R$ 表示地球半径，$\alpha$ 表示速度方向与垂直于该点的经线的夹角，代入数据得到$$V = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6400 \times (1 -\cos{10})} \approx 2434.8km/h$$(2) 假定山丘高度为 $h$，则增加的飞行距离为两个相似三角形边长之比的平方再乘以圆周长：$$\frac{R + h}{R} = \frac{6400000 + 100}{6400000} \approx 1.000015625$$因此，增加的飞行距离为$$\frac{100}{6400000} \times 2\pi R \times (1 +1.000015625)^2 \approx 820.7m$$二、高中组试题1. 题目描述：证明：对于任何实数 $a$ 和 $b$，有$\sqrt{a^2 + b^2 + 1} - a - b \leq \sqrt{2}$。
2. 参考解答：将两边同时平方，得到等价不等式$$(a+b)^2 \leq 1 + 2a^2 + 2b^2 + 2a\sqrt{a^2+b^2+1} +2b\sqrt{a^2+b^2+1} + 2ab$$移项并缩放$$2\sqrt{a^2+b^2+1} \geq 2a + 2b + (a+b)^2 - 1 - 2a^2 - 2b^2 - 2ab$$只需证明右侧大于等于零，即$$(a+b)^2 - 2a^2 - 2b^2 - 2ab + 1 \geq 0$$这等价于$$(a-b)^2 + (a+1)^2 + (b+1)^2 \geq 0$$显然成立，证毕。
2019年中国香港数学奥林匹克竞赛试卷(含答案)
2019年中国香港数学奥林匹克竞赛试卷
1、两个数列定义如下：
a1=1，a2=10，a n+1=2a n+3a n-1，n=2，3，4，…
b1=1，b2=8，b n+1=3b n+4b n-1，n＝2，3，4，…
请证明：除1之外，两个数列没有相同的数字。
2、集合S＝1，2，…，100。
对于正整数n，将S划分为非空且互不相交的集合S1，S2，…，S n，此时S＝。
设a i表示S i的元素的平均值。
求
的最小值。
3、等腰ABC中，AB＝AC，ABC内心为I，内切圆Γ与AB和AC分别切于点F和E，设Ω为AFE的外接圆，Γ与Ω的两条外公切线交于点P。
若其中一条外公切线与AC平行，求证：∠PBI＝90
4、某国有n3个城市，对任意两个城市A和B，要么存在一条从A 往B的单向道路，要么存在一条从B往A的单向道路，但不会两条道路都存在。
假设从任意一个城市都可以经过若干条道路到达任意另一个城市，设d(A,B)表示从A到达B最少要经过的道路个数，考虑所有满足条件的设置道路的方法，求的最小值。
参考答案。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
港澳台学生联招试卷：数学：数列练习汇总(含答案)
an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) ... (a 2 a1 ) a1 2n 1 2n 2 ... 2 1 2n 1( n N * ).
4.
已知二次函数 y f ( x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ( x ) 6 x 2 ，数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，点
－ －
4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n－2n, n=1,2,3, …, (Ⅱ)将 an=4n－2n 代入①得 Sn= = 2 ×(2n+1－1)(2n－1) 3
3
4 1 2 1 ×(4n－2n)－ ×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) 3 3 3 3
北京博飞华侨港澳台学校
2n1 n 1
lg(1 a1) 2n 1 lg 3 lg 32
解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点 ( n, S n )( n N ) 均在函数 y f ( x ) 的图像上，所以 S n ＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ （ 3 n 1) 2(n 1) ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （ n N ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知 bn
2. 已知数列 an 满足 a1 1, a2 3, an 2 3an 1 2an ( n N * ). （I）证明：数列 an 1 an 是等比数列； （I）证明： an 2 3an 1 2an , （II）求数列 an 的通项公式；
2018中国香港代表队选拔考试
28中等数学2018中国香港代表队选拔考试中图分类号:〇424.79 文献标识码:A 文章编号：1005 - 6416(2020)09 - 0028 - 04第一次1. 设a G R+.若函数/(%)=」^7 +」"7(3 <%<5)x- Y x- Z x-〇的最大值在A；= 4处取得，求a的值.2.已知圆内有底角为的一个内接等腰三角形.任意在圆上取两个点并联结，此弦与等腰三角形相交的概率为$.求x的最大值与最小值之和.3.记U」表示不超过实数％的最大整数.求方程l_r r」+b」+…+L而」=2019的整数解.4. 在锐角中，=45%G、0分别为的重心、外心.若OC= 1，OG//fiC，求5C的长.5.是否能在空间中存在24个点和2 019 个面满足：(1 )24个点中无三点共线；(2) 每个面均至少穿过所选取的三个点；(3)每三个点均在所选的一个平面上？6•已知 a、6、c>0•若57a+886 +125c彡1148，T(\) = 3-4^2,T{j2-l)= l>T(^2+\) = 5-4^2 .故r的取值范围是[3-4在，1).11.(1)易知％=8，且\为整数_用归纳法证明：1 +a…a…+2 =a$+1.当71= 1时，1 +a,a3=l +1 x8=9=〇2，结论成立.假设当 n时，1 +a4a4+2 =a$+1.贝lj当n = A:+ 1时，1+ a“la“3=l + a4 + l(3a“2- aA + l)=1 + 3ai+1a A+2 - ak+x= 3ai+1a A+2 ~〇-k ak+2= a k + 2(3a k + l ~a k) = a l+2,于是，n= A:+ 1时，结论也成立•由归纳原理，知1 +a…a…+2 =a〖+1成立.故1 + W+2为完全平方数•(2)由（1)，知L n+2则a k2 020于是，a2021a2022a2021a2022k=2C L^24由 a n+2 =3a…+i，知a n+2 = -a…(mod 3) ,a2=0(mod 3).故3 I〇2〇22.又 a, =l，a2 =3，a…+2 =3a…+1 -a….记为\除以8的余数，则6…前六项为 1、3、0、5、7、0.由数学归纳法，易知\为周期数列.则 8 丨a2〇22'故a2021a242022为整数.(商彦英提供)2020年第9期29求 a3+63+c3+5a2 +562 +5c2的最小值.第二次为^.而此情况发生只可能是所取的两个点 同时在三角形两个顶点之间的弧上.1.对于素数列丨U多1)，若存在整数满足 p…+2 =p…+1 +/>… +1求数列 Ip…!•2•设素数p>10•证明：存在6z+，使得 m.+ n <p，pl (5m x7" - 1).3. 已知两个半径不等的圆厂t、r2交于点 冬5，且厂,为较小的圆.点C、Z)分别在圆/\、厂2上，且4为cz>的中点.延长c s，与圆r2交于点h延长Z?s，与圆厂,交于点的中垂线与的中垂线交于点P.证明：(l)Z E P F=2Z CAE；(l)AP1 =CA2 +PE2.4. 坐标平面上有l〇〇个点.记/V为满足 以下条件的三点组M，C)的个数:顶点选自这100个点的纵坐标相同，f i、C的横坐标相同.求/V的最大值.参考答案第一次1.由题意，对于3 <% <5,有x- I >0,a;-2>0,^-6<0.显然，ax- I x-6^3去分母、化简、整理得似3- (12a+6)%2+ (44a+30)尤- (48a+2i)O (x-4) (ax2 - (8a+6)^; + (12a+6))<〇• ①因为％=4是最大值，所以，式①不等号左边第二个因式也有根％=4.解得a=-|•代入式①检验得(尤一4)2(-|x+ 12 卜0，设所取点在底角所对弧上的概率为4、在两底角之间弧上的概率为.4.^^1 x\21180 -2x\211^2(l8〇)=> x2 - 120x + 3 024 = 0=> (*-84)(a：-36) = 0=> 84+36 =120.3.显然，;^2 018.不妨将原方程左边最后四项移至方程右边.假设a;=a(6!) + 6(5!) + c(4!) +rf(3!) + e(2!)+/(l!), ①其中，(1、6、(；、(/、6、/6乙+，且〇[彡6,6彡5, c^4,d^3,e^2,将式①代入原方程得1 237a + 2066 + 41c+ 10^ + 3e+/=2 019.由 2066 +41c + 10d +3e +/^206x5+41x4 + 10x3+3x2+l=1 030 + 164 +30 +6 + 1=1 231788 彡1 237a矣2 019=> a = 1206b + 41c+ 10c/+3e+/= 782.类似解得纟= 3，c= 4，<i= e=/=0.故 x=l(6!) +3(5!) + 4(4!)=l176.检验知117611761176.1!.+.2!.+.3!.117611761176.4! j+.5!.+.6!.满足3 <5，x=4是最大值.2.由题意，知弦与三角形不相交的概率=1 176 +588 + 196 +49 +9 + 1 =2019.30中等数学4•设//为A45C的垂心，、洲1为 A45C的高，52为iSC的中点.如图1.A 6.466.注意到，a+5a2 -51a+99 = (a +11) (o -3)2 ^0, 63+562-886+208 = (6 + 13)(6-4)2彡0, c3 +5c2 -125c+375 = (c+15)(c-5)2^0.二式相加得a3 +63 +c3 +5a2+5b2 +5c2彡57a +88心 + 125c - (99 +208 +375)图l由欧拉定理得OH=30G=3 ,H0//BC.由 Z4C5=45。
香港数学奥林匹克竞赛试题两套2(初中)——双语
Hong Kong Mathematics OlympiadHeat Event (Individual)Unless otherwise stated, all answers should be expressed in numerals in their simplest form.除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。
1.设...7100.0710.071.0+++=∙∙∙∙∙∙x ，求x 的值。
Let ...7100.0710.071.0+++=∙∙∙∙∙∙x , find the value of x . 2.解下列方程：()()()()()()()()()()。
411211111101431321211121=+++++++++++++++++x x x x x x x x x x xSolve the following equation:()()()()()()()()()()411211111101431321211121=+++++++++++++++++x x x x x x x x x x x .3. 用数字0、 1、 2、 5 可以组成多少个能被5整除的三位数？ (若数字不可以重复使用。
)Using digits 0, 1, 2, and 5, how many 3-digit numbers can be formed, which are divisible by 5? (If no digit may be repeated.)4. 在图一，有一个34⨯的矩形蜘蛛网。
若有一只蜘蛛沿着网丝爬行。
而其爬行方向只可向东或向北。
该蜘蛛由A 点到C 点共有多少种可能路径？Figure 1 represents a 34⨯ rectangular spiderweb. If a spider walks along the web from A to C and it always walks either due East or due North. Find the total number of possible paths.North北 ↑Figure 1 图一5. 在图二，设︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠x G F E D C B A ，求x 的值。
香港奥数比赛真题答案解析
香港奥数比赛真题答案解析近年来，奥数比赛在香港地区越来越受学生和家长的关注。
作为一项挑战性的数学竞赛，奥数比赛要求参赛者具备扎实的数学理论基础和解题能力。
在这篇文章中，我们将对最近举办的香港奥数比赛的真题进行解析，以帮助读者更好地理解题目和解题思路。
首先，我们先来看一道有关数列的题目。
题目如下：已知数列{an}满足an = n^4 - 5n^2 + 4，求数列的第100项。
解题思路：观察数列的通项公式可以发现，每一项都是n的多项式。
我们可以通过代入n的值来计算出每一项的具体值，并找出规律。
首先计算前几项的值：a1=1^4 - 5*1^2 + 4 = 0，a2=2^4 - 5*2^2 +4 = 2，a3=3^4 - 5*3^2 + 4 = 16，a4=4^4 - 5*4^2 + 4 = 52。
通过计算可以看出，数列的第n项可以表示为：an = n^4 - 5n^2 + 4。
接下来，我们计算数列的第100项。
将n替换为100，得到a100=100^4 - 5*100^2 + 4 = 990004。
因此，数列的第100项为990004。
接着，我们来解析一道有关几何图形的题目。
题目如下：在平面直角坐标系内，点A的坐标为(5, 3)，点B的坐标为(1, 7)，点C的坐标为(9, 9)。
求以ABC三点为顶点的三角形的周长。
解题思路：我们可以利用两点之间的距离公式来计算AB、AC和BC的长度，然后将它们相加得到三角形的周长。
首先计算AB的长度，根据两点之间的距离公式，得到AB = √[(5-1)^2 + (3-7)^2] = √32。
接着计算AC的长度，得到AC = √[(5-9)^2 + (3-9)^2] = √40。
最后计算BC的长度，得到BC = √[(1-9)^2 + (7-9)^2] = √32。
将AB、AC和BC的长度相加，得到三角形的周长：√32 + √40+ √32 ≈ 19.95。
因此，以ABC三点为顶点的三角形的周长约为19.95。
香港数学竞赛试题及答案初中
香港数学竞赛试题及答案初中一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在2. 下列哪个不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333...D. -23. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数列的前四项为1, 1, 2, 3，第五项是：A. 4B. 5C. 6D. 75. 一个圆的半径为5，它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 如果一个正方体的体积为27，那么它的边长是：A. 3B. 6C. 9D. 127. 一个数的立方根等于它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 所有选项8. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 零C. 负数D. 所有选项9. 下列哪个表达式等于0？A. 5 - 5B. 3 + 2C. 4 × 0D. 2^310. 一个分数的倒数是：A. 它的分子B. 它的分母C. 它的分子除以分母D. 它的分母除以分子二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是16，那么这个数是_________。
12. 一个数的平方根是4，那么这个数是_________。
13. 一个数的立方是64，那么这个数是_________。
14. 如果一个正数的倒数是1/3，那么这个数是_________。
15. 一个圆的直径是10，它的半径是_________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 一个长方形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求长和宽。
17. 一个数的立方根和平方根的和是6，求这个数。
18. 一个等差数列的前三项分别是2, 5, 8，求这个数列的第10项。
19. 一个圆与一个正方形内切，圆的半径是4厘米，求正方形的面积。
20. 一个三角形的三个内角的度数之比是2:3:5，求这个三角形的三个内角。
2018年奥林匹克数学竞赛第20讲平行四边形
奥林匹克数学竞赛第20讲平行四边形考点•方法•破译⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形.经典•考题•赏析【例1】（莆田）已知:如图在□ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA 的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【解】⑴①△DOE≌△BOF证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠MBO＝∠NDO,∠BMO＝∠DNO，又∵BO＝DO∴△BOM≌△DON（AAS）③△ABD≌△CDB证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝CB，AB＝CD，又∵BD＝DB∴△ABD≌△CDB（SSS）⑵绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．【变式题组】01．（吉林省长春）如图，在□ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE 和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H 在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．02．（沈阳）如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H 分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．02．（长春）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC上，以CD、CE为邻边作□CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；⑵求证：△BCG≌△DCE．【例2】如图，□ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则□ABCD的面积为．【解法指导】在三角形或平行四边形中，若题目中有高，常利用面积等式建立方程，从而求解．【解】∵□ABCD的周长为20，∴AD＋DC＝10，设AD＝x, 则DC＝10－xS□ABCD＝AD•BE＝DC•BF∴2x＝3（10－x）∴x＝6S□ABCD＝AD•BE＝6×2＝12【变式题组】01．如图，□ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC、EF的长．02．（上海竞赛）在□ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN ＝60°求BC的长．03．（北京初二年级竞赛试题）平行四边形ABCD中,AD＝a,CD＝b,过点B分别作AD边上的高H a和CD边上的高H b,已知H a≥a, H b≥b,对角线AC＝20厘米,求平行四边形ABCD的面积.【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A （0,1）,B （－1,0）,C （1,0）三点.⑴若点D 与A 、B 、C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；⑵选择⑴中符合条件的一点D ，求直线BD 的解析式． 【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D 点坐标应有三种可能性．【解】 ⑴D 1（2，1） D 2（－2，1） D 3（0，－1）⑵若选择D 3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x －1 【变式题组】 已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D 点坐标应有三种可能性．【解】⑴D 1（2，1） D 2（－2，1） D 3（0，－1） ⑵若选择D 3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x －1 【变式题组】 01．如图，直线l 1:y ＝－x 23＋3与y 轴交于点A ，与直线l 2交于x 轴上同一点B ，直线l 2交y 轴于点C ，且点C 与点A 关于x 轴对称．⑴求直线l 2的解析式 ； ⑵设D （0，－1），平行于y 轴的直线x ＝t 分别交直线l 1和l 2于点E 、F ．是否存在t 的值，使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．02．如图，在直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），P 是y 轴上一动点，在直线y ＝21x 上是否存在点Q ，使A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．03．（四川资阳）若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝xk2的图象都经过点（1，1）． ⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．RP DCBAEF【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD 中,AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ,则∠BME ＝∠CNE （不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD ,取BD 的中点H ,连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理，证明HE ＝HF ，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME ＝∠CNE ．)问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ,AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ,分别交DC 、AB 于M 、N ，判断∆OMN 的形状，请直接写出结论． 问题二:如图3，在∆ABC 中，AC >AB ,D 点在AC 上，AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ,若∠EFC ＝60°,连接GD ,判断∆AGD 的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．【解】⑴△OMN 为等腰三角形．⑵△AGD 为含有30°的直角三角形．证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接FM 、EM ． ∵AF ＝FD ，BM ＝MD ∴MF //21AB 同理ME //21CD ．∵AB ＝CD ∴MF ＝ME ，又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF 为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°∴△AGF 为等边三角形 ∴FG ＝FD ∴∠ADG ＝30°∴△AGD 为含有30°的直角三角形． 【变式题组】 01．（扬州）如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是 （ )A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关 02．如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD 于D ,AB ＝12,AC ＝22,则MD 的长为（ ）. A .3 B .4 C .5 D .6 【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点M 在BC 上，且BM ＝AC ,点N 在AC 上，且AN ＝MC ,AM 与BN 相交于点P ,求证：∠BPM ＝45°.【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．【解】方法一、如图2，过M作ME AN,连接BE,EN,则得AMEN, ∴ME⊥BC,AM＝EN在△AMC和△BEM中，AC＝BN,∠BNE＝∠C＝90°, ME＝MC∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4 ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°, ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如图3，过B作BF AN,连接AF,FM也可证得．【变式题组】01．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD ＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．演练巩固反馈提高01．（东营）如图，□ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm02．(桂林）如图，□ABCD中，AC,BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A.3B.6 C .12 D.2403．(威海）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,AB＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（）A．AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE04．(日照）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等06．（陕西）如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC; ②BE＝CF③S△ADE ＝S△DCF④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（）A.4个B .3个C.2个D .1个07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.11.求证:△ABC≌△EAD12.若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.⑴求证：△ADE≌△DFC⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．培优升级奥赛检测01．(铁岭)△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B,C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB,AC于点F,G ,连接BE.⑴如图1所示，当点D在线段BC上时，①求证：△AEB≌△ADC;②探究四边形BCGE是怎样特殊四边形？并说明理由．⑵如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接．．写出(1)中的两个结论是否成立？02．(山东省初中数学竞赛试题)如图，△ABC中，AB＝3,AC＝4,BC＝5,△ABD ,△ACE△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．03．(武汉) 如图，□ABCD中，BC＝2AB,CE⊥AB,E为垂足，F为AD的中点，若∠AEF＝54°,求∠B的度数．04．(南昌市)八年级竞赛试题四边形ABCD的对角线AC,BD交于P,过点P作直线EF,交AD于E ,交BC于F,若PE＝PF,且AP＋AE＝CP＋CF,求证：四边形ABCD为平行四边形．05．(荆州市八年级数学联赛试题)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD;连接AC,过点A作AE⊥AC且使AE＝AC;连接BE,过点A作AH⊥CD,垂足为H,且交BE于点F,求证：BF＝EF.06．在课外小组活动时，小慧拿来一道题和小东，小明交流．题目：如图1，已知△ABC,∠ACB＝90°,∠ABC＝45°,分别以AB,BC为边向外作△ABD 与△BCE,且DA＝DB,EB＝EC,∠ADB＝∠BEC＝90°,连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G,构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：(1)写出题目中DF与EF的数量关系；(2)如图2，若∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°,题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；(3)如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．。
第二十届（2003-2004）香港中学数学竞赛决赛试题及参考解答
第二十届（2003-2004）香港中学数学竞赛决赛试题及参考
解答
雨之
【期刊名称】《时代数学学习：九年级》
【年(卷),期】2005(000)012
【摘要】香港中学数学竞赛决赛共有8个项目，个人及团体各占4个．每个项目
都含4条试题，限5分钟完成．个人项目的4条题日是有关联的，必须顺序解答，因为解答后一道题必须利用前一道题的答案．每队可选4人参加个人项目，每人
回答1条题目，但不可与队友讨论；每队可选4人参加团体项目，队友可以互相
讨论并分工解答．
【总页数】7页(P44-48,F0003,F0004)
【作者】雨之
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
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