高中数学奥林匹克竞赛
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k ＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km ＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a?4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402?422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a 都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2?m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4224，4234，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a 为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c?9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a22b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab2ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137273．故对一切n?2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，1043M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n?5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i2n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m2n！＋k（m∈N，2?k ?n）由于n！＝1222…2n是k的倍数，所以m2n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n?2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m?p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n?n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m?p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n?n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m?m，p?2m＋1由得4m2＋4m＋1?m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n?0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab?0（否则ab?－1，a2＋b2＝k（ab＋1）?0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a?b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方． 18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2?k?n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2?k?n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂． 19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n －2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d?n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和?15005，所以A?15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402 ………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1?i?20，1?j?10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k ＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由。
高中数学奥林匹克竞赛知识
高中数学奥林匹克竞赛知识
高中数学奥林匹克竞赛是一场让众多数学爱好者“角逐”的挑战，它可以极大
地开阔学生对数学世界的认知，对提升高中生的数学功底和分析能力具有重要意义。
它也可以丰富学生学习经验，激发他们的兴趣，有助于探索学生潜能，培养学
生学习数学的兴趣和热情，更深刻地理解难题和解决难题，锻炼自己的判断和推理能力，从而让学生在日后的学习中有更多的可塑性和突破性。
参加高中数学奥林匹克竞赛，首先要有足够的数学基础和计算能力，才可以快
速高效地解决难题。
其次，要有及时的复习，和熟练的运用数学理论解决题目，且要有较好的应变能力，把曾经学过的但不熟练的理论、公式灵活地运用在题目解答中，以及熟悉奥数考试中所代表的不同试题类型。
优秀的竞赛题目也可以帮助学生更好地发展自己，特别是那些“略高难度”的
项目，它们可以让学生尝试用更新的技术和思路完成要求，而这种探究和发现的过程本身就是一次综合型教育，学生可以通过实践的方式理解数学的关系和特性，从而完善自身的学习。
总之，参加高中数学奥林匹克竞赛可以锻炼学生的数学思维，提高数学技能，
增强数学能力，激发学生学习数学的兴趣，同时起到引领学生走向科技创新、有利于学习数学的辅助作用，其中的趣味和挑战性可能会令对数学的无聊和厌烦一扫而空。
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
2024年全国高中数学联赛
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一．(本题满分40分)给定正整数r,求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列a nn≥1,满足a n≥C对所有正整数n成立.(x 表示实数x到与它最近整数的距离.)二．(本题满分40分)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上，满足EF||BD,分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆ω1及过点A,D,Q的圆w2均与直线AC相切.证明：B,P,Q,D四点共圆.(答题时储将图画在答卷纸上)三．(本题满分50分)给定正整数n.在一个3×n的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”,如果对S 中任意两个不同的小方格A,B,存在整数l≥2及S中l个方格A=C1,C2,…,C l=B,满足C i与C i+1有公共边(i=1, 2,⋯,l-1).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.四.(本题满分50分)设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1)对任意非负整数k,有A K∈S;(2)若正整数n∈S,则n的每个正约数均属于S;(3)若m,n∈S,且m,n互素，则mn∈S;(4)若n∈S,则An+B∈S.证明：与B互素的所有正整数均属于S.。
高中生数学奥赛报名通知
高中生数学奥赛报名通知尊敬的高中生：欢迎你参加今年的高中生数学奥林匹克竞赛！为了让你更好地参与比赛，我们向你发送本次报名通知。
请仔细阅读以下内容，并按照要求完成报名流程。
一、比赛介绍高中生数学奥林匹克竞赛是一项旨在培养和选拔具有数学天赋的高中生的竞赛活动。
该竞赛旨在激发学生对数学的兴趣和热爱，培养解决问题的能力和创造性思维，提高数学水平。
这也是一个展示自己才华的舞台，通过竞争让学生们相互学习、切磋和成长。
二、报名时间及方式报名时间：本次竞赛的报名时间为2021年5月1日至5月15日。
报名方式：请扫描附件中二维码或打开我校官网（不包含链接）进入报名系统，按照页面提示填写个人信息，并上传一寸近期免冠照片。
三、报名资格1. 参赛学生必须为我校在册的高中在校学生；2. 学生需要对数学有浓厚的兴趣，并具备一定的数学基础；3. 推荐报名年级为高一至高三学生。
四、竞赛流程1. 初赛阶段：初赛采取网上在线考试的形式，考试时间为2021年6月5日。
参赛学生凭报名时所填写的个人信息登录系统进行考试。
初赛试题将覆盖高中数学的基础知识和一定的拓展内容，考察学生的逻辑推理和解题能力。
2. 决赛阶段：根据初赛成绩，选拔优秀的学生进入决赛。
决赛将在2021年6月20日举行，具体地点和时间将在初赛后通知。
五、奖项设置1. 冠军奖：将评选出一等奖，奖金2000元和荣誉证书；2. 亚军奖：将评选出二等奖，奖金1000元和荣誉证书；3. 季军奖：将评选出三等奖，奖金500元和荣誉证书；4. 其他优秀选手将获得优秀奖和荣誉证书。
六、参赛注意事项1. 准备：请带上有效的学生证和身份证明参加初赛和决赛；2. 注意事项：请遵守考场规则，不得携带任何与考试相关的资料和通讯工具；3. 考试要求：请提前熟悉网上考试界面的操作，确保顺利进行；4. 行为规范：请参赛学生保持良好的竞赛风貌和行为规范。
七、结束语高中生数学奥林匹克竞赛是一个培养高中生数学兴趣和能力的重要平台。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
高中数学奥林匹克竞赛流程
高中数学奥林匹克竞赛流程
小伙伴们！想参加高中数学奥林匹克竞赛吗？那我今天就来给你们讲讲大概的流程哦。
在准备过程中，做练习题是很重要的一环。
你要大量地做那些竞赛题，不过可别盲目地做哦。
我觉得可以先从简单的开始，慢慢提高难度。
遇到不会的题怎么办呢？自己先思考思考，实在想不出来就看看答案或者问问老师。
这时候老师可就是你的大救星啦！
接下来呢，就是报名参赛啦。
学校一般会组织统一报名的，这个时候你可别犯迷糊，把自己的信息填错了哦！小提示：别忘了检查几遍自己的报名信息呀！
等到比赛那天，可别紧张。
一紧张可能就发挥失常了呢。
进入考场后，就按照自己平时练习的节奏来答题就好啦。
不过要注意时间分配哦，有的题可能会特别难，你要是在一道题上卡太久，后面的题可能就没时间做了。
这一步要特别注意！
竞赛结束后呢，就是等待成绩啦。
这个过程可能会有点煎熬，但是没办法呀。
如果成绩好的话，那可就太厉害啦！要是成绩不太理想，也别灰心，毕竟参加这个竞赛也是一次很好的学习和锻炼的机会呢，对吧？。
全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖
全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖首先，我要衷心感谢组织者给予我这次参加全国高中数学奥林匹克竞赛的机会。
在经过一番激烈的角逐后，我很荣幸地获得了这次比赛的一等奖。
在这篇文章中，我将分享我参加数学奥赛的经历和一些备考技巧。
在备赛阶段，我认真学习了高中数学的基础知识，并尽可能多地做了一些经典的数学题目。
复习过程中，我发现通过广泛阅读数学问题的解析可以增加对题型的理解和解决问题的思路。
在解题过程中，我也善于利用不同的方法和角度去思考，这样有助于培养灵活的思维和解决问题的能力。
参加高中数学奥赛是一项具有挑战性的任务，所以我在备赛期间也加入了一些数学竞赛的训练班。
在训练班上，我有机会与其他优秀的参赛者切磋琢磨，通过交流和讨论，我不仅得到了对策并提高了解题能力，还收获了友谊和团队合作的意识。
在比赛中，我遇到了很多出色的对手。
他们的思维敏捷、严谨的逻辑和扎实的数学基础给了我很大的压力，但也激发了我更深入钻研数学的动力。
在比赛过程中，我冷静分析题目，全神贯注，将解题思路清晰地表达出来。
在应对较难的题目时，我善于转变思维方式，采用一些特殊的技巧和方法，这让我有了更多的突破口。
最后，我想分享一些备考数学奥赛的经验和建议。
首先，坚持每天刷题训练，不断提高解题能力和速度。
其次，培养良好的数学思维习惯，善于分析问题和寻找解题思路。
另外，加入数学竞赛交流群体，与其他优秀的同学互相学习和切磋。
最重要的是，保持对数学的热爱和求知欲望，不断探索和发现数学中的美妙之处。
通过参加全国高中数学奥林匹克竞赛，我收获了很多。
这次比赛不仅考验了我的数学水平，更培养了我的思维能力和解决问题的能力。
我将继续努力学习数学，追求更高的成就，并将这次一等奖作为一个新的起点，继续探索数学的无限魅力。
在这篇文章中，我尽量简明扼要地阐述了我参加全国高中数学奥赛的经历和一些备考技巧。
我相信这些经验和技巧对于准备参加类似竞赛的同学们会有所帮助。
希望大家都能够充分发挥自己的潜力，在竞赛中取得优异的成绩！。
学奥数你不可不知的七大杯赛
学奥数你不可不知的七大杯赛学奥数已经成为了很多家庭的共识。
随着奥数的普及，各种奥数竞赛也层出不穷。
而世界上有一些备受瞩目的奥数竞赛，值得我们了解和参与。
本文将介绍学奥数中七大知名杯赛，包括国际奥林匹克数学竞赛（IMO）、亚洲太平洋数学奥林匹克（APMO）、国际萨莫格罗夫奥数竞赛（SAMO）、国际欧几里德奥数竞赛（EGMO）、俄罗斯奥数竞赛（RMO）、美国决定性研究数学竞赛（USAMO）以及中国数学奥林匹克竞赛（CIMC）。
一、国际奥林匹克数学竞赛（IMO）国际奥林匹克数学竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是世界范围内最有声望的数学竞赛之一，被誉为“数学界的奥林匹克游戏”。
IMO成立于1959年，每年有来自全球各国的代表队参赛。
竞赛的题目涵盖了代数、几何、数论和组合数学等多个领域，对参赛选手的综合数学能力有较高的要求，其题目常常具有较高的难度。
二、亚洲太平洋数学奥林匹克（APMO）亚洲太平洋数学奥林匹克（Asia-Pacific Mathematical Olympiad，简称APMO）是亚洲地区的顶级奥数竞赛之一，自1989年开始举办。
参赛队伍由来自亚洲和太平洋地区的国家和地区组成。
APMO的试题与IMO类似，但难度相对较小，更加注重数学思维的灵活运用。
三、国际萨莫格罗夫奥数竞赛（SAMO）国际萨莫格罗夫奥数竞赛（South African Mathematics Olympiad，简称SAMO）是非洲地区最具影响力的奥数竞赛之一，于1977年首次举办。
SAMO的内容包括初中奥数和高中奥数两个阶段，试题涵盖了代数、几何、数论和组合数学等各个数学分科，对参赛选手的数学素养有较高的要求。
四、国际欧几里德奥数竞赛（EGMO）国际欧几里德奥数竞赛（European Girls' Mathematical Olympiad，简称EGMO）是专门为女生设计的奥数竞赛，由欧洲各国女性代表队参赛。
学奥数你不可不知的十大杯赛
学奥数你不可不知的十大杯赛奥数，即奥林匹克数学，是指以培养学生分析问题、解决问题和创新思维等能力为主要目标的一种数学教育形式。
为了提高学生的数学能力，促进数学教育的发展，世界各地纷纷举办了多种奥数比赛，其中一些备受青少年学子和数学爱好者的关注。
本文将介绍学奥数不可不知的十大杯赛，以期启发读者对奥数竞赛的兴趣和参与。
1. 国际数学奥林匹克竞赛（IMO）作为世界范围内最高水平的奥林匹克数学竞赛，IMO自1959年首次举办以来，已成为青少年数学学术交流的重要平台。
每年，来自不同国家和地区的高中生参与IMO，比拼数学才华。
通过解决六道复杂的数学问题，考察学生的数学思维能力和创新性。
IMO不仅是一场竞赛，更是国际数学界的盛会。
2. 中国数学奥林匹克竞赛（China IMO）作为国内最具影响力的奥林匹克数学竞赛，中国 IMO 不仅挖掘和培养了无数优秀的青少年数学人才，也成为了中国奥数文化的重要组成部分。
中国 IMO 分为初赛、复赛和决赛三个阶段，考验学生的数学理论与实践能力。
参与其中，学生不仅能够接触到数学上的精彩问题，还能与其他奥数爱好者进行交流。
3. 亚洲太平洋地区数学奥林匹克竞赛（APMO）亚太地区数学奥赛是面向亚洲和太平洋地区学生举办的知名数学竞赛。
这个竞赛中的数学问题往往需要更深入的思考和创新。
APMO的参与者通过解决五道数学难题，展示自己运用数学知识解决实际问题的能力，并与来自其他亚太国家和地区的学生切磋学术。
4. 中国高中生数学竞赛（CGMO）中国高中生数学竞赛是一项为中学生提供锻炼和交流机会的数学比赛。
这个赛事旨在挖掘数学优秀学生，并促进中学数学的普及和发展。
CGMO考察学生的数学知识广度和深度，通过解决实际问题展示学生的创新思维和应用能力。
5. 北京航空航天大学“华罗庚杯”数学竞赛（Hua LuoGeng Cup）全国范围内的高中生都可以参与的华罗庚杯数学竞赛是中国六大赛事之一。
以“自由创新、数学探索”为宗旨，华罗庚杯鼓励学生使用多种解题方法和思路，开拓数学思维的边界。
全国高中数学联赛(数学奥赛)简介
全国高中数学联赛(数学奥赛)简介大家好，我是高中数学老师王老师。
最近有读者朋友私信王老师，询问关于高中奥赛的问题。
今天，我就和朋友们聊聊这个。
你为什么想参加比赛？近年来，五大学科(数学、物理、化学、生物、信息)的高中竞赛越来越受到关注。
我觉得主要是自主招生带动的。
以前学生参加比赛的主要好处就是步行去名牌大学，但是步行名额有限，门槛太高。
所以对比赛的关注仅限于极少数尖子生。
这几年很多高校都注重竞赛成绩，不仅是上品，也有略低的。
为什么是数学竞赛？中国数学奥林匹克，又称全国高中数学联赛，是经教育部批准，由中国科协主管，中国数学学会主办的传统竞赛活动。
五大学科竞赛中，数学是最难的，也是高校中最受认可的。
建议能力强的同学以数学为主攻方向。
数学竞赛每年举办一次，不限年级。
理论上高中三年可以参加三次，但一般来说高三最容易出成绩，基础好的同学可以参加高二甚至高一。
高中数学联赛分为，预赛，联赛，决赛（因为决赛一般在每年11月份举办，所以俗称数学冬令营）下面详细介绍各个比赛流程：预赛时间一般在4-5月份，每个省份的时间不一样，学生自愿参加，先在学校选拔，然后地级市参赛，选拔参加全国数学联赛的学生。
联赛（复赛）每年9月中旬的第一个周日举行，联赛分为选拔赛和试训赛。
其中，自愿参加复试，但有意在赛区争夺一等奖并参加全国中学生数学冬令营(即数学竞赛决赛)的学生，必须参加初试和复试，两次考试的总成绩将作为确定赛区一等奖和冬令营营员的标准。
一试所涉及的知识范围不超出高中教学大纲大要求，只是题目比较灵活，对解题方法要求较高。
二试与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加了一些教学大纲之外的内容。
联赛的试题分为AB两套试卷，多数省份使用A卷;极少数偏远地区则使用B卷。
目前试卷的结构及题型、分值搭配等是：一试考试时间为 8：00—9：20，共80分钟，包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分、20分、20分），满分120分。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分 设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
高中数学学习需要参加哪些竞赛？
高中数学学习需要参加哪些竞赛？高中数学学习要参加哪些竞赛？高中数学学习是一个体系性工程，除了课堂学习，参加数学竞赛是提升学生数学能力的有效途径，并为未来发展奠定基础。
但并非所有竞赛都适合所有学生，选择合适的竞赛类型才是明智之举。
本文将从教育专家的角度，探讨高中生能参加哪些数学竞赛更富价值。
一、基础性工作竞赛：夯实基础，提升思维1. 全国高中数学联赛（联赛）：这是国内最具权威的数学竞赛之一，主要考察高中数学课程内容，侧重于对数学概念、公式、定理的深度理解和灵活运用，培养学生逻辑推理、分析问题、解决问题的能力。
对于期望提升数学基础、锻炼解题技巧的学生来说，联赛是一个不错的选择。
2. 全国中学生数学奥林匹克竞赛（冬令营）：联赛优胜者方可参加冬令营，难度和深度远超联赛，侧重于考察学生对数学本质的理解和创新能力。
通过冬令营的训练，学生能够深入理解数学思想，提高对数学的兴趣和热情，为更高层次的学习打下基础。
二、拓展性竞赛：激发兴趣，重视培养特长1. 美国数学竞赛（AMC）：AMC系列竞赛以其严谨的题目设计和丰富的考察内容著称，涵盖代数、立体几何、数论、组合等多个领域，能够帮助学生拓宽数学视野，提升解题技巧。
2. 英国数学奥林匹克竞赛(BMO)：BMO偏重于考察学生的逻辑思维能力和创造性，题目通常具备较强的开放性和挑战性，帮助学生培养独立思考和解决问题的能力。
3. 国际数学奥林匹克竞赛(IMO)：IMO是全球最高级别的中学生数学竞赛，难度极高，全面考察学生对数学的理解和运用能力。
对于极具数学天赋的学生来说，IMO是一个展现才华、挑战自我、提升能力的平台。
三、选择建议：结合自身情况，制定计划1. 基础扎实，潜力巨大：建议尝试参加冬令营，高强度的训练提升数学能力，为更高级别的竞赛打下基础。
2. 兴趣浓厚，思维开阔：建议参加AMC、BMO等国际性竞赛，进一步拓宽数学视野，增加应试技巧，为未来学习和发展打下基础。
3. 目标明确，志存高远：建议参加IMO等高水平竞赛，挑战自我，展现才华，为未来学术研究或数学领域发展奠定基础。
高中数学奥林匹克竞赛试题
高中数学奥林匹克竞赛试题高中数学奥林匹克竞赛试题一、选择题（共20小题，每小题2分，共40分。
从每题四个选项中选择一个正确答案，将其标号填入题前括号内）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + bx + c, f(1) = 5, f(2) = 15，则b + c的值是：A. 4B. 6C. 8D. 122. 设等差数列{an}的公差为d，已知a₁ + a₃ + a₅ = 9d，a₂ + a₄ + a₆= 15d，则a₇的值为：A. 8dB. 9dC. 10dD. 11d3. 若复数z = a + bi满足|z - 1| = |z + 1|，则a的值为：A. -1B. 0C. 1D. 24. 若直线y = kx + m与椭圆(x + 2)²/9 + y²/16 = 1相交于点P，请问此时P点的横坐标x的取值范围是：A. [0, -4/3]B. [0, -2]C. (-∞, -2]D. (-∞, 0]5. 已知正整数a、b满足a + b = 10，ab = 15，则a/b的值是：A. 1/2B. 2/3C. 3/2D. 3/5二、填空题（共10小题，每小题4分，共40分）6. 若正整数x满足5x ≡ 15 (mod 17)，则x的最小正整数解为_______。
7. 在平面直角坐标系中，一次函数y = kx + c经过点(1, 2)，且该直线与x轴交于点(3, 0)，则k的值为_______。
8. 设二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交于A、B两点，若A、B两点间的距离为10，且判别式Δ = b² - 4ac > 0，则a/b的值为_______。
9. 设U为自然数集合，函数f: U → U满足f(f(f(x)))) = 1 + x，则f(2019)的值为_______。
10. 若平面上直线y = kx + 1与曲线y = x² + 2x相切于点P，请问k的取值范围是_______。
高中数学奥林匹克竞赛
高中数学奥林匹克竞赛数学奥林匹克竞赛，是一项为了挑战高中学生数学综合能力和创造性思维而设立的竞赛活动。
参加这一竞赛的学生，需要具备扎实的数学基础知识，同时要具备较强的逻辑推理和问题解决能力。
数学奥赛的题目涉及各个知识领域，包括代数、几何、概率论等，要求参赛选手在有限的时间内准确答题，并且要能够独立思考、灵活运用知识。
在数学奥林匹克竞赛中，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的解决问题的能力，提高他们的数学思维水平。
\textbf{竞赛形式}高中数学奥林匹克竞赛通常分为初赛和决赛两个阶段。
初赛的题目较为基础，主要考察学生对各个数学知识点的掌握情况；决赛的题目则更具有挑战性，要求学生在压力下迅速思考，灵活运用所学知识解决难题。
竞赛涉及的题型包括选择题、填空题、解答题等，不同题型考察的内容各不相同，要求参赛选手全面发挥自己的优势。
在竞赛中，时间管理和策略是非常重要的，选手需要在有限的时间内尽快解题，并且要注意答题的准确性和逻辑性。
\textbf{备战策略}为了取得好成绩，参加高中数学奥林匹克竞赛的学生需要进行充分的备战。
首先，要全面复习数学知识，包括代数、几何、概率论等各个领域的内容。
其次，要多做题，提高解题速度和准确性，锻炼逻辑推理和问题解决能力。
同时，要注意分析竞赛考点和题型，制定合理的答题策略，提高应对不同类型题目的能力。
此外，参加模拟考试也是非常重要的，通过模拟考试可以检验自己的水平，找出不足之处，及时纠正。
在备战过程中，要保持耐心和恒心，不断提高自己的水平，争取在竞赛中取得好成绩。
\textbf{竞赛收获}参加高中数学奥林匹克竞赛，不仅可以锻炼学生的数学思维和解决问题的能力，还可以培养他们的团队合作精神和竞争意识。
通过竞赛，学生可以结识志同道合的朋友，互相学习、交流经验，一起进步。
而取得好成绩的学生还有机会获得奖品和奖学金，增加个人荣誉感和成就感。
此外，参加竞赛还可以拓展学生的视野，激发他们对数学学科的兴趣，培养他们对知识的渴望和探求精神。
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（Chinese Mathematics Olympiad），一般也简称为CMO,是一项由全体中国高中生及各类少年
儿童课余活动组织和指导，由教育部、科学技术部以及新闻出版总署
联合设置的数学竞赛。
赛事将分省级赛、全国总决赛和全球总决赛三
个阶段进行，旨在鼓励中国学生发掘其科学家和数学家的潜能，提升
全民数学素养。
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛的报名工作已经开始，具体
报名方式将取决于各省市的竞赛组织者，一般而言，学校根据预赛成
绩邀请考生参加省级赛，而省级赛成绩优秀者可获得全国总决赛资格。
参加全国总决赛的考生将根据成绩排名最终确定晋级人员，成绩名次
突出者将会被教育部、科学技术部及新闻出版总署给予特别奖励及其
他方面支持。
自1989年由全国学科竞赛管理委员会组织实施以来，全国中学生
数学奥林匹克竞赛已成功举办25届。
中国在此项竞赛中的多年取得的
成绩相当出色，1997年获得金牌，2000年获得银牌，2001、2002、2010、2012（以及2014至今）均获得铜牌，使中国数学奥林匹克竞赛
在全世界范围内产生了越来越大的影响。
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛让我们拭目以待，希望有更
多的学生参与，并取得一流成绩，为中国乃至全球数学界增添光彩。
中学生数学奥林匹克竞赛大纲
中学生数学奥林匹克竞赛大纲数学奥林匹克竞赛一直以来都是中学生们展示数学才华的重要平台，它不仅能够培养学生的数学素养和解题能力，还可以激发他们对数学的兴趣。
为了确保竞赛的公正与规范，中学生数学奥林匹克竞赛大纲应运而生。
本文将对中学生数学奥林匹克竞赛大纲进行详细介绍。
一、竞赛目标及意义中学生数学奥林匹克竞赛的目标主要有以下几点：1. 培养学生的独立思考和解决问题的能力。
数学奥林匹克竞赛注重培养学生的创新能力，通过解决复杂而又非常具有挑战性的数学问题，让学生在思考中成长，提高解题能力。
2. 激发学生对数学的兴趣。
竞赛题目涵盖了数学的各个领域，不仅要求学生具备扎实的数学基础知识，还要求他们具备探索和发现数学问题的热情，进一步加深对数学的理解和热爱。
3. 培养学生团队合作精神。
数学奥林匹克竞赛既有单人赛，也有团队赛，通过合作解决问题可以锻炼学生的团队协作能力，培养他们的领导能力和合作意识。
二、竞赛内容及难度分布中学生数学奥林匹克竞赛大纲内容主要覆盖高中数学的各个领域，例如代数、几何、数论等。
在竞赛中，题目难度逐级递增，分为初级、中级和高级难度。
1. 初级难度题目要求学生基本掌握高中数学基础知识，能够理解并解决一些常见问题。
2. 中级难度题目考察学生的思维能力和解题技巧，要求学生能够独立思考和运用所学知识解决复杂问题。
3. 高级难度题目则是对学生数学水平的更高要求，需要学生具备较为深入的数学理论知识和解题技巧，能够独立分析和解决复杂的数学问题。
三、竞赛评价方式中学生数学奥林匹克竞赛的评价方式主要分为常规赛和决赛。
1. 常规赛是竞赛的初步选拔环节，考核学生的数学知识水平和解题能力，通过选择题、填空题和简答题等形式来评价学生的综合素质。
2. 决赛是常规赛选拔出的优秀选手进行的高水平竞赛，题目更具挑战性，注重学生的创新思维和解决问题的能力。
决赛的评价主要以解题过程、解题思路和答案的准确性为依据。
四、竞赛流程与安排中学生数学奥林匹克竞赛的流程和安排需要具体参考各地教育部门的规定和组织机构的要求，一般包括以下环节：1. 报名与选拔。
高中数学奥林匹克竞赛
奥林匹克数学竞赛，简称奥数。
1934年和1935年，苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题。
我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的CMO（冬令营）；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。
“全国高中数学联赛”（创办于1981年），承办方式与初中联赛相同，每年10月举行，分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年元月）。
全国数学联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”)。
各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。
一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试平面几何基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和周长方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
2023年 高中数学奥林匹克竞赛 获奖名单
2023年高中数学奥林匹克竞赛获奖名单一、引言在当今社会，数学已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
高中数学奥林匹克竞赛作为选拔和培养数学人才的重要评台，一直备受关注。
2023年的高中数学奥林匹克竞赛获奖名单将为大家带来哪些惊喜呢？接下来我们将从不同角度，探讨这一激动人心的话题。
二、历年回顾让我们回顾历年的高中数学奥林匹克竞赛获奖名单。
从过去的成绩来看，我国在数学领域一直有着辉煌的成就。
各个省市的优秀学子，凭借着扎实的数学功底和出色的解题能力，屡次在国际、国内的数学竞赛中斩获佳绩。
他们的优异表现不仅展现了个人的风采，也为我国数学事业的发展贡献了力量。
三、获奖名单接下来，让我们来看看2023年高中数学奥林匹克竞赛的获奖名单。
在这次比赛中，经过层层选拔，最终脱颖而出的优秀选手将一展所长，在数学的殿堂中留下自己的足迹。
他们的名字将被载入史册，成为激励后人的楷模和榜样。
在这份获奖名单中，我们看到了来自各个地区的杰出学子，他们或许来自大城市的名校，或许来自乡村的普通中学，但他们的共同点是对数学的热爱和对知识的渴求。
他们的出色表现将为我们带来无限的惊喜和感动。
四、个人观点对于这次数学奥林匹克竞赛的获奖名单，我个人认为，这些优秀学子的成绩不仅仅是对自己学习的肯定，更是对我国数学教育的肯定。
他们的成功是勤奋和智慧的结晶，也是学校、家庭和社会培养的结果。
我为他们的成绩感到骄傲，也由衷地祝贺他们。
五、总结2023年高中数学奥林匹克竞赛的获奖名单将为我们带来一场精彩的盛宴。
他们的优异表现将为我国培养更多的数学人才奠定坚实的基础，也将为数学竞赛的未来注入新的活力和动力。
让我们共同为这些优秀学子送上最真挚的祝福，愿他们在今后的学习和生活中，继续书写新的辉煌篇章！2023年高中数学奥林匹克竞赛的获奖名单即将公布，大家都迫不及待想要知道这一届优秀学子的名字。
经过激烈的角逐，这些学生终于脱颖而出，他们的成绩定将给全国人民带来惊喜和感动。
2023年全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖
2023年全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖2023年全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖2023年全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖是每个高中生都梦寐以求的荣誉。
在这个竞赛中，学生们展示了他们在数学领域的才华和能力，同时也体验了数学带来的乐趣和魅力。
为了获得这个一等奖，学生们需要具备扎实的数学基础和广阔的数学知识。
他们需要熟练掌握高中数学的各个知识点，包括代数、几何、概率与统计等。
只有在掌握了这些基础知识的基础上，才能在竞赛中应对各种难题。
数学奥林匹克竞赛强调的是学生的数学思维能力和解决问题的能力。
竞赛中的题目往往不是简单的计算，而是需要学生进行推理和思考。
学生们需要善于分析问题，运用数学方法解决问题。
在竞赛中，他们需要展示出灵活的思维和创新的解题思路。
数学奥林匹克竞赛的题目往往具有一定的难度和复杂性。
学生们需要具备良好的逻辑思维能力和分析能力，才能快速找到解题的方法和思路。
他们需要在有限的时间内完成多道题目，这对他们的应试能力和应变能力提出了很大的挑战。
在竞赛中，学生们还需要具备良好的团队合作能力。
数学奥林匹克竞赛不仅仅是个人能力的展示，也是团队协作的体现。
学生们需要和队友紧密合作，共同解决问题。
通过团队合作，他们可以相互补充和借鉴，提高解题的效率和准确性。
获得2023年全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖对于学生们来说，不仅仅是一份荣誉，更是对他们努力和付出的认可。
这个奖项将激励他们在数学领域继续追求卓越，不断提升自己的数学能力。
同时，这个奖项也将为他们的学术发展和未来的职业规划带来更多的机会和选择。
2023年全国高中数学奥林匹克竞赛一等奖是学生们奋斗的目标和梦想。
通过这个竞赛，学生们不仅可以展现自己的数学才华，还可以锻炼自己的数学思维能力和解决问题的能力。
获得这个奖项将为他们的学术发展和未来的职业规划打下坚实的基础。
希望未来的高中生们能够为了这个梦想而努力学习，实现自己的数学理想。
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高中数学奥林匹克竞赛
奥数学林匹克竞竞～竞称奥数。
年和年～竞竞竞始在列格勒宁和莫斯科竞竞中竞竞～学数学19341935
并冠以数学奥林匹克的名～称年在布加勒斯特竞竞第一届国数学奥竞竞竞竞林匹克。
竞竞竞竞国数学奥1959
林匹克作竞一竞竞性竞事～由竞国国数学教育竞家命竞。
我的高中竞竞分三竞,每年国数学月中旬的全竞竞～次年一月的国;冬令竞,～次年三10CMO月竞始的家国集竞竞的竞竞竞拔。
与
“全高中竞竞国数学”;竞竞于年,～承竞方式初中竞竞相同～每年与月竞行～分竞一竞和198110二竞～在竞竞竞竞中取得竞成竞的全竞异国名生有竞格加由中主竞的“学参国数学会中林国数学奥90
匹克;,竞全中生冬令竞”;每年元月,。
国学数学CMO
全竞竞分竞一竞、加竞国数学(即称俗的“二竞”)。
各省自己竞竞的“初竞”、个份“初竞”、“竞竞”等等～都不是正式的全竞竞名及程序。
国称一竞
全高中竞竞的一竞竞竞大竞～完全按照全日制中《大竞》中所竞定的要求国数学学数学教学教学
和容～高考所竞定的知竞范竞和方法～在方法的要求上略有提高～其中率和内即概微竞分初步
不考。
二竞
平面何几
基本要求,掌握初中竞竞大竞所定的所有容。
确内
竞充要求,面竞和周竞方法。
几个重要定理,梅涅竞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极竞,到三角形三竞点距之和最小的点离——竞竞点。
到三角形三竞点距的离平方
和最小的点重心。
三角形到三竞距之竞最大的点重心。
——内离——
几何不等式。
竞竞的等周竞竞。
了解下述定理,
在周竞一定的竞形的集合中～正竞形的面竞最大。
n n
在周竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的面竞最大。
在面竞一定的竞形的集合中～正竞形的周竞最小。
nn
在面竞一定的竞竞竞曲竞的集合中～竞的周竞最小。
几运何中的竞,反射、平移、旋竞。
竞数方法、向量方法。
*
平面凸集、凸包及竞用。
代数
在一竞大竞的基竞上外要求的容,另内
周期函数与周期～竞竞竞竞的函的竞像。
数三倍角公式～三角形的一些竞竞的恒等式～三角不
等式。
第二竞竞法。
竞竞～一竞、二竞竞竞～数学特征方程法。
函迭代～求数次迭代～竞竞的函方程数。
n**
个竞元的平均不等式～柯西不等式～排序不等式及竞用。
n
竞的指形式～数数欧拉公式～美弗定理棣～竞位根～竞位根的竞用。
竞排列～有重竞的排列竞合。
竞竞的与竞合恒等式。
一元次方程;多竞式,根的～根系的竞系～竞系方程根成竞定理。
个数与数数虚n
竞竞的初等竞数竞竞～除初中大竞中斯包括的容外～竞竞包括内无竞竞降法～同余～里得欧几除
法～非竞最小完全剩余竞～高斯函数～竞竞小定理～拉函欧数～竞子定理～格点及其性竞。
[x]**立何体几
多面角～多面角的性竞。
三面角、直三面角的基本性竞。
正多面体～拉定理欧。
体会竞竞法。
截面～作截面、表面展竞竞。
平面解析何几
直竞的法竞式～直竞的坐竞极方程～直竞束及其竞用。
二元一次不等式表示的域。
区三角形的面竞公式。
竞竞曲竞的切竞和法竞。
的竞和园根竞。
其他
抽竞原理。
容斥原理。
端原理极。
集合的分。
覆盖。
划。