《离散数学》集合的基本概念和运算
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学中的集合与运算
离散数学中的集合与运算离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的结构和不连续的对象。
集合与运算是离散数学中的基本概念和操作，它们在离散数学中具有重要的地位和应用。
本文将介绍离散数学中的集合与运算的概念与性质，并举例说明其在现实生活中的应用。
一、集合的定义和表示方法在离散数学中，集合是由一些确定的、互异的对象所构成的整体。
这些对象称为集合的元素，可以是任何事物，如数字、字母、人、物体等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。
集合中的元素是无序的，没有重复的。
集合可以通过三种方式来表示：1. 列举法：直接列举出集合中的元素，用大括号{}括起来，元素之间用逗号隔开。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}。
2. 描述法：给出一个判断条件，符合条件的元素组成集合。
例如，集合B={x | x是正整数，且x<5}，表示所有小于5的正整数构成的集合。
3. 元素特征法：根据元素的特征来表示集合。
例如，集合C={奇数}，表示所有奇数构成的集合。
二、集合的运算离散数学中，集合有四种基本运算：并集、交集、差集和补集，下面将对每种运算进行介绍。
1. 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，是包含所有属于集合A或集合B的元素的集合。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，是包含所有属于集合A且属于集合B的元素的集合。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
3. 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，是包含所有属于集合A但不属于集合B的元素的集合。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A-B={1}。
4. 补集：对于给定集合U，集合A在U中的补集，表示为A'，是指所有属于U但不属于A的元素构成的集合。
例如，在全集U={1, 2, 3, 4}中，集合A={2, 3}，则A'={1, 4}。
三、集合与运算的应用举例集合与运算在离散数学中的应用非常广泛，下面将举几个例子来说明。
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
2013-7-10 离散数学
20
Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
2013-7-10 离散数学 6
三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
2013-7-10 离散数学 3
§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
2013-7-10 离散数学 4
2013-7-10
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学 - 第三章：集合的基本概念和运算
2015/11/17
电子工程学院，念——特殊集合
定义3.4 空集 不含任何元素的集合，称为空集 (empty set) ，记作。 空集的符号化形式为： ={x| x x } 如：A = {x | x R x2+1=0} = 定理3.1 空集是一切集合的子集。 推论 空集是唯一的。 例：确定下列命题是否为真
a i
2015/11/17
u
E
电子工程学院，离散数学
10
3.1 集合的基本概念
集合中元素的表示
元素a属于集合A，记作a A。 元素a不属于集合A ，记作a A
2015/11/17
电子工程学院，离散数学
11
3.1 集合的基本概念
集合的特征 确定性：任何一个对象，或者是这个集合的元素， 或者不是，二者必居其一。 例如：A={x| x N x<100}
基数势序数证明了有理数集合的可数性和实数集的不可数性建立了实数连续性公理被称为cantor公理1874年证明了一条线段上的点能够和正方形上的点建立一一对应从而证明了直线上平面上三维空间乃至高维空间的所有点的集合都有相同的势1877年患了精神分裂症1884年最后死于精神病院20151117电子工程学院离散数学第三章集合的基本概念和运算31集合的基本概念集合元素集合的表示法子集包含集合相等真子集空集幂集全集32集合的基本运算并集交集补集对称差文氏图运算33集合中元素的计数基数有无穷集包含排斥原理20151117电子工程学院离散数学集合的基本概念把具有共同性质的一些东西汇集成一个整体就形成一个集合set确定的可分辨的事物构成的整体
2015/11/17 电子工程学院，离散数学 4
3.1 集合的基本概念
离散数学 第1章 集合的基本概念和运算
B A ( x) ( x B x A)
例：设A={1,2,3,4,5,6,}, B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5} 定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B， 则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为
x 则 x A B或x A C ， A且x B或x A且x C ，即 x A且x B C, 于是x A ( B C ) 所以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 因此 ( A B) ( A C ) A ( B C )
离散数学
第一章 集合的基本集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.1 集合的基本概念
集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是 由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定 的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。 如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来表示。 集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是 将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们 用花括号括起来。例如 A {a, b, c} ， {1, 2, 3, ...}， {春， 秋， }，都是合法的表示。 C 夏， 冬 B 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如 2 } F D {x | x是学生 ， {x | x是整数 ， {x | x R x 1 0} } E 一般的 A={x︱R(x)} R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序 对集合没有影响。
离散数学集合与关系
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
离散数学集合论基础知识
离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。
在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。
一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。
我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。
（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。
例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。
（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。
例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。
（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。
例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。
例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。
三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。
离散数学 集合的基本概念和运算
（1）A={a|a∈P且a<20}
（2）B={a||a|<4且a为奇数}
{2,3,5,7,11,13,17,19} {-3,-1,1,3}
2. 用描述法表示下列集合 (1) A={0,2,4,…,200} (2) B={2,4,8,…,1024}
{2x|x∈Z且x≤100} {2n|n∈N且n≤10}
0 1 2 n n | P( A) | Cn Cn Cn Cn 1 Cn 2n 2
A
3.1 集 合 的 基 本 概 念
练习1 设A={a,b,{c},{a},{a,b}}，试指出下 列论断是否正确？ (1)aA ( ) (8){b}A ( ) (2){a}A ( ) (9){a,b}A ( ) (3){a}A ( ) (10){a,b}A ( ) (4)A ( ) (11)cA ( ) (5)A ( ) (12){c}A ( ) (6)bA ( ) (13){c}A ( ) (7){b}A ( ) (14){a,b,c}A ( )
A
B
A B
B A
A B关于ຫໍສະໝຸດ 算的说明运算顺序： 和幂集优先，其他由括号确定
并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn} A1A2…An= {x | xA1xA2…xAn}
某些重要结果
ABA
AB AB=（后面证明） AB= AB=A
典 型 习 题
列出集合A={1,{2}}的全部子集。 解 因为是任何集合的子集，所以 是A的子集。由A中任意一个元素所组成的 集合是A的子集，所以{1}和{{2}}是A的子 集。由A中任意两个元素所组成的集合是A 的子集，所以{1,{2}}是A的子集。因为A中 只有两个元素，故A再没有其他的子集。 由上可知，A有四个子集：，{1}， {{2}}，{1,{2}}。
离散数学第三章-集合的基本概念和运算
29
例5、证明： A B A 证明：对任意 x ，
xAB
B (第14条)
xAxB
xAxB
xA B 故 AB A B
30
例6、证明 A (B A) A B 。 证明： A (B A) A (B A)
(A B) (A A) (A B) E A B
31
例7、化简 (A B C) (A B)
A B A AB
此式给出了A是B的子集的3种等价定义。不仅提供 了证明子集的新方法，也可以用于集合公式的化简。28
除基本运算外，还有以下一些常用性质 (证明略)
16、 A B B A
“ ”的交换律
17、(A B) C A (B C) “ ”的结合律
18、 A A
19、 A A
20、 A B AC B C
A {a1, a2, an} 表示集合 A 含有元素 a1, a2, an
5
注意： (1) a A或 a A
(2) 集合中的元素均不相同
{a,b,c},{a,b,b,c},{c, a,b}
表示同一个集合。 (3) 集合的元素可以是任何类型的事物，
一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如：A a,{b,c},b,{b}
1元子集：{a},{b},{c} (共C31 3个)， 2元子集：{a,b},{a, c},{b, c}(共 C32 3个)， 3元子集：{a,b, c} (共 C33 1个)。 一般，n 元集共有子集 Cn0 Cn1 Cnn （11）n 2n 个。
21
定义2 ：集合 A 的幂集，记 ( A) ,是 A的全体子集的集合 例5、 A {a,b,c} ，求 (A) 。 解：(A) {,{a},{b},{c},{a,b},
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结集合论部分第三章、集合的基本概念和运算3.1 集合的基本概念集合的定义与表⽰集合与元素集合没有精确的数学定义理解：⼀些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表⽰列元素法A={ a, b, c, d }谓词表⽰法B={ x | P(x) }B 由使得P(x) 为真的x构成常⽤数集N, Z, Q, R, C 分别表⽰⾃然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0 是⾃然数.元素与集合的关系：⾪属关系属于∈，不属于?实例A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1}1∈A, 2?A注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)，x∈A和x?A 两者成⽴其⼀，且仅成⽴其⼀.集合之间的关系包含（⼦集）A?B??x (x∈A→x∈B)不包含A?B??x (x∈A∧x?B)相等A = B?A?B∧B?A不相等A≠B真包含A?B?A?B∧A≠B不真包含A?B思考：≠和?的定义注意∈和?是不同层次的问题空集?不含任何元素的集合实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集定理空集是任何集合的⼦集Ax (x∈?→x∈A) ?T推论空集是惟⼀的.证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E )幂集定义P(A) = { x | x?A }实例P(?) = {?}，P({?}) = {?,{?}}P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数如果|A| = n，则|P(A)| = 2n3.2 集合的基本运算集合基本运算的定义??-~⊕并A?B = { x | x∈A∨x∈B }交A?B = { x | x∈A∧x∈B }相对补A-B = { x | x∈A∧x?B }对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)= (A?B)-(A?B)绝对补~A = E-A⽂⽒图（John Venn）关于运算的说明运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推⼴到有穷个集合上，即A1?A2?…A n= {x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈A n}A1?A2?…A n= {x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈A n}某些重要结果A-B?AA?B ?A-B=?（后⾯证明）A?B=??A-B=A命题演算法证X?Y：任取x ，x∈X?… ?x∈Y 例3 证明A?B?P(A)?P(B)任取xx∈P(A) ?x?A?x?B ? x∈P(B)任取xx∈A ? {x}?A ? {x}∈P(A) ? {x}∈P(B){x}B x∈B包含传递法证X?Y：找到集合T 满⾜X?T 且T?Y，从⽽有X?Y例4 A-B ? A?B证A-B ? AA ? A?B所以A-B ? A?B利⽤包含的等价条件证X?Y：例5 A?C∧B?C ?A?B?C证A?C?A?C=CB?C?B?C=C(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C(A?B)?C=C ?A?B?C命题得证反证法证X?Y：欲证X?Y, 假设命题不成⽴，必存在x 使得x∈X 且x?Y. 然后推出⽭盾.例6 证明A?C ∧ B?C ? A?B?C证假设A?B ? C 不成⽴，则?x (x∈A?B∧x?C)因此x∈A 或x∈B，且x?C若x∈A, 则与A?C ⽭盾；若x∈B, 则与B?C ⽭盾.利⽤已知包含式并交运算：由已知包含式通过运算产⽣新的包含式X?Y ?X?Z?Y?Z, X?Z?Y?Z 例7 证明A?C?B?C ∧ A-C?B-C ? A?B证A?C?B?C，A-C ? B-C上式两边求并，得(A?C)?(A-C) ? (B?C)?(B-C)(AC)(A~C) (BC)(B~C)A(C~C) B(C~C)AE BEA B命题演算法证明X=Y：任取x ，x∈X ?… ?x∈Yx∈Y ?… ?x∈X或者x∈X ?… ? x∈Y例8 证明A?(A?B)=A （吸收律）证任取x,x∈A?(A?B) ? x∈A∨ x∈A?Bx∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ? x∈A等式替换证明X=Y：不断进⾏代⼊化简，最终得到两边相等例9 证明A?(A?B)=A （吸收律）证(假设交换律、分配律、同⼀律、零律成⽴)A?(A?B)=(A?E)?(A?B) 同⼀律=A?(E?B) 分配律=A?(B?E) 交换律=A?E 零律=A 同⼀律反证法证明X=Y：假设X=Y 不成⽴，则存在x 使得x∈X且x?Y，或者存在x 使得x∈Y且x?X，然后推出⽭盾.例10 证明以下等价条件A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A-B=?(1) (2) (3) (4)证明顺序：(1) ?(2), (2) ?(3), (3) ?(4), (4) ?(1)(1) ?(2)显然B?A?B，下⾯证明A?B?B.任取x，x∈A?B ? x∈A∨x∈B ? x∈B∨x∈B ? x∈B因此有A?B?B. 综合上述（2）得证.(2) ?(3)A=A?(A?B) ? A=A?B（将A?B⽤B代⼊)(3) ?(4)假设A-B≠?, 即?x∈A-B，那么x∈A且x?B. ⽽x?B ? x?A?B.从⽽与A?B=A⽭盾.(4) ?(1)假设A?B不成⽴，那么x (x∈A ∧ x?B) ? x∈A-B ? A-B≠?与条件（4）⽭盾.集合运算法证明X=Y：由已知等式通过运算产⽣新的等式X=Y ? X?Z=Y?Z, X?Z=Y?Z，X-Z=Y-Z 例11 证明A?C=B?C ∧ A?C=B?C ? A=B证由A?C=B?C 和A?C=B?C 得到(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)从⽽有A⊕C=B⊕C因此A⊕C=B⊕C ? (A⊕C)⊕C =(B⊕C)⊕CA⊕(C⊕C) =B⊕(C⊕C) ?A⊕?=B⊕?? A=B3.3 集合中元素的计数集合的基数与有穷集合集合A 的基数：集合A中的元素数，记作card A有穷集A：card A=|A|=n，n为⾃然数.有穷集的实例：A={ a,b,c}, card A=|A|=3；B={ x | x2+1=0, x∈R}, card B=|B|=0⽆穷集的实例：N, Z, Q, R, C 等包含排斥原理：定理设S 为有穷集，P1, P2, …, P m是m 种性质，A i 是S中具有性质P i的元素构成的⼦集，i=1, 2,…, m.则S中不具有性质P1, P2, …, P m 的元素数为证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０证设x不具有性质P1, P2, … , P m ,x?A i, i= 1, 2, … , mx?A i?A j, 1≤i < j ≤m…x?A1?A2?…?A m,x 对右边计数贡献为1 - 0 + 0 -0 + … + (-1)m· 0 = 1例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5 和6 整除，也不能被8 整除的数有多少个？解：S ={ x | x∈Z, 1≤x ≤1000 },如下定义S的3 个⼦集A, B, C：A={ x | x∈S, 5 | x }，B={ x | x∈S, 6 | x }，C={ x | x∈S, 8 | x }对上述⼦集计数：|S|=1000,|A|= ?1000/5? =200, |B|=?1000/6?=133，|C|= ?1000/8? =125,|A?B|= ?1000/30? =33, |B?C| = ?1000/40? =25,|B?C|= ?1000/24? =41,|A?B?C| = ?1000/120? =8,代⼊公式N = 1000-(200+133+125)+(33+25+41)-8=600例224名科技⼈员，每⼈⾄少会1门外语.英语：13；⽇语：5；德语：10；法语：9英⽇：2; 英德：4；英法：4；法德：4 会⽇语的不会法语、德语求：只会1 种语⾔⼈数，会3 种语⾔⼈数x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1, y1=4, y2=3, y3=2。
离散数学第三章集合的基本概念和运算
| Ai I A j I Ak | +... + ( −1) m | A1 I A2 I ...I Am | ∑
推论： 推论：在S中至少具有一条性质的元素数是
| A1 U A 2 U ... U A m |= +
1≤ i < j < k ≤ m
∑|A
i =1
m
i
|−
1≤ i < j ≤ m
∑|AI
i
证明: ～B=E-B⊆E-A=～A 或∀x∈～B⇒x∈E-B⇒ x∈E∧x ⇒ x∈E-A⇒ x∈～A 所以, ～B⊆～A
∉ B⇒x∈E∧x ∉ A
例3.8 已知A⊕B=A⊕C 证明:B=C 证明:B=B⊕φ=B⊕(A⊕A)=(B⊕A)⊕A=(A⊕B)⊕A =(A⊕C)⊕A=(C⊕A)⊕A=C⊕(A⊕A)=C⊕φ=C
| AI B |=| S | −(| A | + | B |) + | AI B | = 100 − ( 47 + 35) + 23 = 41
所以，两种语言都不熟悉的有41人。
例3.10求在1和1000之间不能被5或6,也不能被8整除的数的个数。 解：设A，B，C分别表示其中可被5，6或8整除的数的集合，则
Aj |
∑
| A i I A j I A k | − ... + ( − 1) m + 1 | A1 I A 2 I ... I A m |
例3.9有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟 悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言，问有多少人对这两 种语言都不熟悉？ 解：设A，B分别表示熟悉FORTRAN和PASCAL语言的程序员 的集合，则有 |S|=100，|A|=47，|B|=35，|A∩B|=23， 根据包含排斥原理，得
离散数学教程集合的基本概念
离散数学教程集合的基本概念标题：离散数学教程——集合的基本概念离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学中离散对象的性质和结构。
在这些离散对象中，集合是最基本的概念之一。
集合是由一些互不相同的、可以区分的对象组成的整体，这些对象可以是数字、字母、图形等。
在离散数学中，集合的概念被广泛地应用于各种不同的领域，包括计算机科学、信息论、统计学等。
一、集合的基本定义1、集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象可以是任何类型，如数字、字母、图形等。
2、集合中的对象必须是互不相同的，即集合中的每个对象都是独一无二的，不能有两个或更多的对象重复。
3、集合的元素具有可区分性，即可以根据一定的规则或性质将集合中的对象区分开来。
二、集合的表示在数学中，通常用大写字母来表示集合，如A、B、C等。
如果集合中有多个元素，则可以用列举法或描述法来表示集合。
1、列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，用大括号括起来。
例如，A={1, 2, 3}表示集合A包含1、2和3这三个元素。
2、描述法：用特定的符号或语言来描述集合的性质或特征。
例如，B={x|x是正方形}表示集合B包含所有的正方形。
三、集合的运算在离散数学中，集合的运算是最基本的概念之一。
常见的集合运算包括交集、并集、补集等。
1、交集：如果集合A和B的元素都有共同的属性或特征，则称A和B有交集。
记作A∩B或A.B，表示A和B的交集。
2、并集：如果集合A和B的所有元素都属于另一个集合C，则称A 和B的并集为C。
记作A∪B或A.B，表示A和B的并集。
3、补集：如果集合A中存在一些不属于B的元素，则称B为A的补集。
记作∁AB，表示A的补集。
四、集合的性质1、空集：没有任何元素的集合称为空集。
记作∅。
空集是所有集合的子集。
2、全集：包含所有可能元素的集合称为全集。
记作U。
全集是所有集合的超集。
3、幂集：给定一个集合A，A的幂集是指包含A的所有子集的集合。
记作P(A)。
4、子集：如果一个集合B的所有元素都属于另一个集合A，则称B为A的子集。
离散数学中的集合与运算
离散数学中的集合与运算在离散数学中，集合与运算是一个重要的概念和工具。
集合是由一些确定的、独立的对象组成的。
这些对象可以是数字、字母、符号、元素等。
在离散数学中，我们可以通过运算来处理集合，并进行各种操作和推理。
一、集合的定义与表示集合是指具有某种特定性质的所有对象的总体。
它可以用花括号{}括起来，其中的元素之间使用逗号隔开。
例如，集合A可以表示为A={a, b, c}，表示A中包含了元素a、b和c。
二、集合的关系1. 包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，我们可以说B包含A，记作A⊆B。
例如，若A={1, 2}，B={1, 2, 3}，则A⊆B。
2. 相等关系：若两个集合A和B的元素完全相同，我们可以说这两个集合相等，记作A=B。
例如，若A={1, 2}，B={2, 1}，则A=B。
3. 真包含关系：若集合A包含于集合B，且A不等于B，我们可以说B真包含A，记作A⊂B。
例如，若A={1, 2}，B={1, 2, 3}，则A⊂B。
三、集合的运算1. 交集：两个集合A和B的交集是指同时属于A和B的所有元素所构成的集合，记作A∩B。
例如，若A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
2. 并集：两个集合A和B的并集是指包含了A和B的所有元素所构成的集合，记作A∪B。
例如，若A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
3. 差集：集合A相对于集合B的差集是指属于A且不属于B的元素所构成的集合，记作A-B。
例如，若A={1, 2}，B={2, 3}，则A-B={1}。
4. 补集：相对于某个全集U，集合A的补集是指属于U但不属于A 的元素所构成的集合，记作A'或者A^c。
例如，若U={1, 2, 3}，A={2}，则A'={1, 3}。
四、集合的运算规律集合运算满足一些基本规律，包括交换律、结合律、分配律等。
1. 交换律：对于任意两个集合A和B，有A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
离散数学的基本概念和运算
离散数学的基本概念和运算离散数学是数学的一个重要分支，它研究离散结构和离散对象之间的关系。
与连续数学不同，离散数学关注的是离散的、离散的事物，如整数、图形、逻辑、集合等。
在计算机科学、信息技术以及其他许多领域中，离散数学都担当着重要的角色。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和运算，以帮助读者更好地理解和应用离散数学。
一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合以及集合之间的关系和运算。
集合是指一组元素的事物的整体，元素可以是任何事物，比如数字、字母、人或其他对象。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。
并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个或多个集合的元素的集合，差集表示从一个集合中减去另一个集合的元素的集合，补集表示在给定参考集合中不属于某个特定集合的元素的集合。
二、逻辑逻辑是离散数学的另一个重要内容，它研究命题、逻辑运算和推理。
在离散数学中，命题是指能够判断真假的陈述句。
逻辑运算包括与、或、非、异或等。
与运算表示两个命题同时为真时结果为真，或运算表示两个命题中至少有一个为真时结果为真，非运算表示对命题的否定，异或运算表示两个命题中仅有一个为真时结果为真。
推理是利用逻辑规则从已知命题中得出新的结论的过程，常见的推理方法有直接证明、反证法和归纳法。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究由节点和边组成的图形结构。
图形是由节点（或顶点）和边组成的抽象化模型，节点表示某个对象，边表示节点之间的关系。
图论研究图形的性质、特征和算法。
常见的图形类型有无向图和有向图，无向图的边没有方向，有向图的边有方向。
图形的表示方法有邻接矩阵和邻接表等。
在计算机科学中，图论广泛应用于网络、路径规划、数据结构等领域。
四、代数系统代数系统是离散数学中的另一个重要概念，它研究运算规则和运算对象之间的关系。
代数系统包括集合、运算和运算规则。
常见的代数系统有代数结构、半群、群、环、域等。
代数结构是指由一组元素和一组运算构成的系统，运算可以是加法、乘法或其他操作。
离散数学---集合的基本运算
从而， A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
利用谓词公式证明求证：A(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明：(A-B)∩(A-C)＝{x|x(A-B)∩(A-C)} ={x|x(A-B)∧ x(A-C)} ={x|xA∧(xB)∧(xA)∧(xC)}
={x|(xA)∧(xB)∧(xC)}
集合运算性质（运算律）
1、 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
2、 结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C） （A∩B）∩C=A∩（B∩ C）
3、 分配律
A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C)
4、幂等律 A∪A=A，A∩A=A
5、同一律 A∪=A,A∩E=A 6、零一律 A∩=，A∪E=E 9、 德摩根律（A∪B）=A∩B （A∩B）=A∪B
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明： x(A-B)∩(A-C)， 则x(A-B)∧ x(A-C)
（xA)∧(xB)∧(xA)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC)
（xA)∧(xB)∧(xC)
（xA)∧ (xB∨xC) (xA)∧(xB∪C ) x A-(B∪C)
集合的交并例题3
设A1={1，{2，3}}，A2={2，{1，3}}，
A3={3，{1，2}}，
求A1∩A2，A1∩A3，A2 ∩ A3。
解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是
数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没
有相同元素，∴A1∩A2=A2∩A3=A3∩A1=
不相交
如A∩B=称A，B不相交。
集合的差
设A，B是两集合，属于A而不属于B的元 素全体称为A与B的差集，记作A-B， 即A-B={xxA∧xB}。
离散数学集合及运算
离散数学集合及运算离散数学是计算机科学的基本学科之一，也是计算机学习和研究的重要基础。
集合和运算是离散数学中最基本的概念之一，也是计算机学习过程中最基础的概念之一。
本文主要介绍集合及运算的相关概念。
一、集合的定义在数学中，集合是一组确定的对象的集合。
它们可以是数、字母、变量、符号、函数或其他数学实体。
集合是以大写字母表示的，属于这个集合的元素以小写字母表示。
例如，集合A可以包括元素a、b和c，表示为A={a，b，c}。
集合中没有重复的元素，但元素的顺序是不重要的。
例如，集合{a，b，c}和{c，a，b}是相等的，因为它们包含相同的元素。
二、集合的运算1. 并集对于两个集合A和B，它们的并集就是包含A和B的所有元素的集合。
简单而言，对于集合A和B，A ∪ B就是由A和B中的元素组成的集合。
例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A ∪ B={a，b，c，d，e}。
并集也可以扩展到多组集合的情况。
例如，如果有三个集合A、B和C，它们的并集可以表示为A∪B∪C。
2. 交集对于两个集合A和B，它们的交集是指它们共有的元素所组成的集合。
简单来说，如果一个元素同时属于集合A和集合B，那么这个元素就属于A和B的交集。
例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A ∩ B={c}。
同样地，交集也可以扩展到多组集合的情况。
例如，如果有三个集合A、B和C，它们的交集可以表示为A∩B∩C。
3. 补集对于一个集合A和它包含的全集U，它的补集是指所有不属于集合A的元素构成的集合。
简单来说，补集就是相对于全集的补集。
例如，如果集合A={a，b，c}，全集U={a，b，c，d，e}，那么A的补集就是U-A={d，e}。
4. 差集对于两个集合A和B，它们的差集是指所有属于集合A但不属于集合B的元素所构成的集合。
简单来说，差集就是集合A中除了集合B以外的所有元素构成的集合。
例如，如果A={a，b，c}，B={c，d，e}，那么A-B={a，b}。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学课本定义和定理
第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，则重要例题P11 例第2章二元关系2.1 关系定义（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。
定义（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。