巧数三角形的个数

化静为动巧妙统计三角形的个数

汪金明

一、题目

如图（图Ⅰ），数出下面图形中三角形的个数。

A

F G

B C

H K

M

D E

图Ⅰ

这是2013-2014学年度初中一年级下学期数学教材上的一道题目，教学参考书上有答案——也仅仅有个答案而已。答案是：35个。

A

F G

B C

H K

M

D E

图Ⅱ

二、困惑

就是这么一道简单的题目，可是要真正数出三角形的个数并非易事，学生或老师数的时候很容易漏掉，如果不给学生的答案，学生很难数出图中有35个三角形；如果告诉学生图中有35个三角形的话，学生常常会重复数而凑成35个。况且，一个一个地数，繁琐、无聊、耗时、费脑力，这会使学生对学数学产生畏难厌烦情绪的，影响学生学习数学的兴趣。

我曾查找过一些资料，也上网搜索过这道题数三角形个数的方法，主要是分类来数，分类数的方法很有条理，跟盲目地数比不容易遗漏，但缺点是分类本身有一定的难度，分类和数的时候有点纷乱，常常让人眼花缭乱，仍然容易出错。

总的来说，真正地静态地数我都很不满意。于是，我化静为动，探究动态数的方法。

三、探究

（一）把图Ⅰ简化成图Ⅱ，先数图Ⅱ里的三角形个数。图Ⅱ中

三角形只有两类，很容易数出三角形的个数——10个。

（二）把图Ⅱ中点D、E连起来变成图Ⅲ，则图Ⅲ比图Ⅱ的三角

A

F G

B C

H K

M

D E

图Ⅲ

形的个数增加了4个，分别为△DEA，△DEH，△DEK，△DEM，图Ⅲ共有14个三角形。

（三）按顺时针方向连接图Ⅲ中的BD，得到图Ⅳ。显然，图Ⅳ比图Ⅲ增加了5个三角形。图Ⅳ共有19个三角形。

A

F G

B C

H K

M

D E

图Ⅳ

（四）以此类推，再依次连接AB、AC、CE，那么图Ⅳ就变回图Ⅰ。这时，我们很容易看出：变回成图Ⅰ后，图Ⅰ中的三角形个数比图Ⅳ分别增加5个、5个、6个，共增加16个。变回的图Ⅰ中，共有三角形35个。

其实，很容易发现规律，对图Ⅱ来说，最外面的五个点，每

相邻的两点连接起来——从总体来看，则每连一条线段就平均增加5个三角形。所以，三角形总数为：10+5×5=35.

四、感悟

（一）一个个数或分类数方法简单，数学价值低，显得有点笨，繁琐易错，没能显示出题目本身的数学价值和教学价值，不利于学生学习兴趣培养。

（二）动态统计，把问题分成两大步来解答，第一步数里面的，第二步数外面连线增加的，过程简明扼要。

（三）数外面连线增加的三角形数，依次而行，举一反三，学生学起来轻松易懂，生动活泼有趣。这充分展示出这道题目的数学教学价值，给学生深刻的启示。

（四）动态统计，思维活泼丰富，富有智趣，能培养学生爱动脑，启发学生勤动脑，从而更好地培养提高学生的思维能力。

（五）化静为动的思维方法值得学习和欣赏。

2019年1月22日星期二