最新换元法及其应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
一元一次方程换元法
一元一次方程换元法一、引言一元一次方程是初中数学中最基础的内容之一，也是代数学的基础。
方程的解可以帮助我们解决实际生活中的问题，而换元法是解决一元一次方程的一种常用方法。
本文将介绍一元一次方程的换元法及其应用。
二、什么是一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
三、什么是换元法换元法是解决一元一次方程的一种常用方法。
它通过引入一个新的变量来替代原来的未知数，从而将原方程转化为一个更简单的方程，进而求得方程的解。
四、换元法的步骤1. 选定合适的新变量。
根据原方程的特点，选取一个新的变量来替代原来的未知数。
2. 用新变量表示原方程。
将原方程中的未知数用新变量表示出来。
3. 得到新方程。
将原方程中的未知数用新变量表示后，得到一个新的方程。
4. 解新方程。
解新方程得到新变量的值。
5. 求原方程的解。
将新变量的值代入原来的未知数，求得原方程的解。
五、换元法的应用实例例：小明去超市买了一些水果，苹果的价格是3元/个，橙子的价格是2元/个，小明一共花了12元，请问他买了几个苹果和几个橙子？解：设小明买了x个苹果，y个橙子。
根据题意，我们可以列出一个方程：3x + 2y = 12为了使用换元法，我们可以设一个新变量z表示橙子的个数，于是橙子的价格可以表示为2z。
方程可以转化为：3x + 2z = 12解这个新方程，我们可以得到x和z的值。
假设x=2，z=3，则小明买了2个苹果和3个橙子。
将x和z的值代入原方程，可以得到y的值：3*2 + 2y = 126 + 2y = 122y = 6y = 3所以小明买了2个苹果和3个橙子。
六、换元法的优点和注意事项换元法的优点是可以将原方程转化为一个更简单的方程，从而更容易求得解。
但是在使用换元法时需要注意以下几点：1. 选取合适的新变量，使得转化后的方程更简单。
2. 在解新方程时，要注意变量的范围和限制条件，避免出现无解或多解的情况。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常用的一种解题方法，它是基于函数代换的思想，可以将复杂的函数表达式转化成较简单的形式，从而简化计算过程和提高求解效率。
在这篇文章中，我们将介绍换元法在高中数学解题中的应用，涉及等式变形、积分计算、初等函数的求导等多个领域。
一、等式变形在高中数学中，有时需要通过等式变形来求解方程或证明某个恒等式。
在这个过程中，用到的代换过程就是一种换元法。
下面是一个简单的例子：解方程：3x + 1 = 2x + 5解法：将3x + 1中的x替换成y，则原方程变为3y + 1 = 2y + 5，移项化简可得y = 4，代回原方程求得x = 3。
在这个例子中，我们通过用y替换x的方式将原方程化简，从而达到了解方程的目的。
这种换元法可以通用于各种类型的方程解法中。
二、积分计算在高中数学中，积分是一个比较重要的概念。
有时我们需要通过代换的方式将积分式子变得容易计算。
下面是一个例子：求$\int x\sqrt{1-x^2}dx$解法：令$u=1-x^2$，则$du=-2xdx$，原式变为$\int -\frac{1}{2}\sqrt{u}du$，解得$\int x\sqrt{1-x^2}dx=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C$。
在这个例子中，我们将积分的被积函数用代换的方式转化成了常见的积分形式，进而利用求导的性质直接求解积分。
三、复合函数的求导在高中数学中，我们经常需要求解一些复合函数的导数，例如$f(x)=\sin(2x^2+3x+1)$。
这个问题可以通过换元法来简化计算过程，下面是具体的解法：设$u=2x^2+3x+1$，则$f(x)=\sin u$，利用复合函数求导法则可得：$f'(x)=\cos u\cdot (2x^2+3x+1)'=\cos u\cdot (4x+3)$最终的导数可以表示成$x$和$u$的函数形式，这样就简化了计算过程，提高了求解效率。
换元求解的技巧
换元求解的技巧换元求解是一种常用于解决复杂微积分问题的技巧。
它通过引入新的自变量来简化原始方程，并将其转化为更易求解的形式。
在本文中，我将介绍一些常见的换元求解技巧及其应用。
一、代数换元法1. 简单代数换元法简单代数换元法是将问题中的某个自变量用一个新的变量表示，从而简化方程的形式。
例1：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(a + b)。
解：令u = a + b，那么a + b = u，代入方程中得f(u) = 2u + 3。
2. 三角代数换元法三角代数换元法是将三角函数中的角度用一个新的角度表示，从而简化方程的形式。
例2：已知函数 f(x) = sin(2x) + cos(2x)，求 f(π/6)。
解：令u = 2x，那么2x = u，代入函数中得f(u) = sin(u) + cos(u)。
由于要求 f(π/6)，所以把 u = 2x = π/3 代入函数中得到 f(π/6) = sin(π/3) + cos(π/3)。
二、三角换元法三角换元法是将一个复杂的三角函数用一个较简单的三角函数表示，从而简化方程的形式。
例3：求解积分∫(x^2)/(1+x^4) dx。
解：引入换元变量 u = x^2，那么 du = 2x dx，从而可将原式转化为∫(1/2)/(1+u^2) du。
然后我们再用一个三角换元法 u = tanθ，那么 du = sec^2θ dθ，从而原式变为∫(1/2) sec^2θ dθ。
三、指数换元法指数换元法是将一个复杂的指数函数用一个较简单的指数函数表示，从而简化方程的形式。
例4：求解积分∫x^2 e^x dx。
解：首先，我们可以使用分部积分法将上述积分转化为∫x d(x^2 e^x)。
然后，我们引入一个指数换元法u = x^2 e^x，得到 du = (2x + x^2) e^x dx。
通过代入变量，我们可以将原始积分简化为∫1/2 du。
四、分子分母同时换元法当需要对一个复杂的有理函数进行积分或求导时，分子分母同时换元法是非常有用的一种技巧。
定积分的二种换元法及其应用
定积分的二种换元法及其应用
一、换元法：
1、等价换元法：即将原有的积分值与另一种积分值进行相互转换，使得两者
之间的价值相同。
例如：将100点A积分换成50点B积分，即100A=50B。
2、定量换元法：即在固定的量上进行转换，使得不同的积分之间能够保持一
定的价值关系。
例如：将1A=2B, 则100A=200B。
二、应用：
1、企业顾客奖励方面应用广泛。
企业通常会采用不同形式的奖励来酬谢忠诚
的顾客。
通过采用不同形式的奖励来衡量顾客对企业所作出的贡献大小是很有必要的。
而通过采用换元法可以使得不同形式的奖励能够保持一定的价值关系；
2、在旅行回馈方面也有应用。
旅行回馈是旅行者在出差或旅行中所获得回馈
物品或服务所对应的数字化标准化代币体系。
通过采用不同形式的回馈来衡量旅行者对旅行所作出贡状大小也是很有必要性的。
考虑到不同形式回馈之间存在差异性；此时可以选择采用换元法来使得不吓当前式回馈能够保护一定价值关系。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
换元法用法
换元法用法篇一：标题:换元法用法(创建与标题相符的正文并拓展)正文:换元法是一种数学方法,用于解决某些微积分问题。
它的核心思想是将原问题中的未知数替换成另一个未知数,从而得到一个新的问题。
在数学中,换元法通常用于求解微积分中的最值问题、极值问题和微分方程组等问题。
具体来说,换元法的步骤如下:1. 选择一个合适的未知数,并将其表示为一个新的变量。
2. 将原问题的表达式分解成关于该未知数的表达式。
3. 将原问题中的未知数用新变量表示,并代入新的表达式中。
4. 解出未知数的值,并得到原问题的解。
在实际应用中,换元法可以用于求解许多问题,例如求解函数的极值、求导、求解方程等等。
它的优点是简单易懂,能够快速地找到问题的关键部分,从而快速地得到答案。
除了数学应用外,换元法还可以在其他领域中得到应用,例如物理学、工程学、经济学等等。
在这些方法中,通常会将原问题中的变量抽象成符号或方程,从而得到一个新的问题,这种方法被称为符号计算或代数计算。
拓展:换元法不仅可以用于求解微积分问题,还可以用于其他领域的问题。
例如,在物理学中,换元法可以用于求解加速度和速度的关系,以及求解机械振动的周期等问题。
在工程学中,换元法可以用于求解电路中的电流和电压的关系,以及求解电磁波的传播速度等问题。
在经济学中,换元法可以用于求解市场供需关系的变化,以及求解最优价格和最优策略等问题。
换元法是一种简单而又有效的数学方法,它在各个领域中都有广泛的应用。
通过使用换元法,我们可以快速找到问题的关键部分,从而快速地得到答案。
篇二：标题:换元法用法(创建与标题相符的正文并拓展)正文:换元法是数学中的一个基本方法,用于解决一些线性方程组和不等式问题。
换元法的基本思想是将原方程组或不等式中的某些变量或式子进行更换,从而得到一个新的方程组或不等式,进而求解或验证原问题的解决方案。
以下是换元法的一些常见应用:1. 解线性方程组:将未知系数中的一个变量或式子进行更换,可以得到一个新的线性方程组,进而求解未知数。
换元法用法
换元法用法换元法是微积分中的一种重要的求积方法，常用于解决一些特定形式的积分问题。
它通过引入新的自变量替代原积分中的自变量，从而将原本复杂的积分式转化为更简单的形式，进而求解。
换元法的基本思想是，通过选择合适的新的自变量替代原来的自变量，使得积分式的形式更加简单。
一般来说，换元法适用于具有以下特点的积分：1. 积分式中的被积函数可以通过某种函数关系表示，例如三角函数、指数函数等；2. 积分式中的自变量与被积函数之间具有某种关系，例如自变量的导数与被积函数成比例等。
具体来说，换元法的步骤如下：1. 选择合适的新自变量。
根据被积函数的特点，选择合适的新的自变量进行替换。
一般来说，选择新自变量可以使得被积函数在新自变量下的形式更加简单，例如通过三角函数的关系进行替换。
2. 计算新自变量对应的微分。
根据新自变量和原自变量之间的关系，计算新自变量对应的微分，即求出原自变量与新自变量的关系式，并对该关系式求导。
3. 将原积分式转化为新的积分式。
根据新自变量的定义和微分的计算结果，将原积分式中的自变量和微分进行替换，得到新的积分式。
4. 求解新的积分式。
根据新的积分式的形式，进行求解。
由于经过换元法的替换，新的积分式往往更加简单，可以采用更直接的方法进行求解，例如常用的积分公式、部分分式分解等。
需要注意的是，换元法不是解决所有积分问题的通用方法，只适用于具有特定形式的积分。
在使用换元法时，需要根据被积函数的特点和积分式的形式，选择合适的新自变量进行替换，才能得到有效的结果。
同时，对于一些复杂的积分问题，可能需要多次换元才能得到最终的结果。
换元法在函数问题中的“妙用”
ʏ孙明花解数学问题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法叫换元法㊂换元法可以化高次为低次㊁化分式为整式㊁化无理式为有理式㊁化超越式为代数式㊁化隐含为显性关系等,在研究方程㊁不等式㊁函数㊁向量㊁三角函数等问题中都有广泛的应用㊂一㊁利用换元法,求外层函数的解析式例1 函数f (x )满足f (x 2-3)=l g x2x 2-6,求f (x )并研究其奇偶性㊂解:设u =x 2-3㊂由题设知x 2-6>0,则u =x 2-3=(x 2-6)+3>3,所以x 2=u +3㊂所以f (u )=l gu +3u -3,其定义域为(3,+ɕ),即f (x )=l gx +3x -3(x >3)㊂因为f (x )=l gx +3x -3(x >3)的定义域关于原点不对称,所以f (x )为非奇非偶函数㊂升华:换元法求解外层函数的表达式,注意原变量的值域应为外层函数的定义域㊂二㊁局部换元法,借力二次函数求最值例2 函数f (x )=s i n 2x +3c o s x -34x ɪ0,π2的最大值是㊂解:(1)由题意得f (x )=1-c o s 2x +3c o s x -34㊂令c o s x =t 且t ɪ[0,1],则原函数等价于函数y =-t 2+3t +14=-t -322+1㊂故当t =32时,y 取最大值1,即所求函数的最大值为1㊂升华:复合型的二次函数最值,可借助换元法化归为二次函数在区间上的值域,切记换元后新变量的取值范围㊂三㊁整体换元法,借力二次函数求最值例3 函数f (x )=s i n x +c o s x +2s i n x c o s x x ɪ-π4,π4的最小值是㊂解:设s i n x +c o s x =t ,则2s i n x c o s x =t 2-1,t =2s i n x +π4㊂因为x ɪ-π4,π4,所以x +π4ɪ0,π2,所以0ɤt ɤ1,则原函数等价于g (t )=t 2+t -1,0ɤt ɤ1㊂因为函数g (t )=t 2+t -1的图像的开口向上,且对称轴为t =-12,所以在区间[0,1]上单调递增㊂故当t =0时,g (t )取得最小值为-1,即所求函数的最小值为-1㊂升华:解答本题的关键是换元法的灵活运用,即令t =s i n x +c o s x ,把原函数化归为二次函数在区间上的值域问题求解㊂四㊁局部换元法,借力二次函数求解不等式恒成立问题例4 对所有的实数x ,不等式x 2l o g 24(a +1)a +2x l o g 22a a +1+l o g 2(a +1)24a 2>0恒成立,求a 的取值范围㊂解:设l o g 22a a +1=t ɪR ,则l o g 24(a +1)a=l o g 28(a +1)2a =3+l o g 2a +12a=3-l o g 22a a +1=3-t ㊂同理可得l o g 2(a +1)24a2=2l o g 2(a +1)2a=-2t ㊂所以原不等式等价于(3-t )x 2+2t x -2t >0对一切实数x 恒成立,所以3-t >0,Δ=4t 2+8t (3-t )<0,解得t <3,t <0或t >6,所以t <0,所以l o g 22aa +1<0,所以0<2aa +1<1,解得0<a <1㊂故所求a 5知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的取值范围为(0,1)㊂升华:本题是利用局部换元法,通过化归为二次不等式在R 上恒成立问题求解的㊂五㊁二元变量的最值双换元,看穿本质借力不等式求解例5 设实数a ,b >0,a +b =5,则a +1+b +3的最大值为㊂解:利用换元,使得题目更清晰,再利用不等式求最值㊂设a +1=x ,b +3=y ,则原问题等价于实数x ,y >1,x 2+y 2=9,求x +y 的最大值㊂利用不等式x +y22ɤx 2+y 22,可得x +y ɤ32,当且仅当x =y =322时取等号㊂故a +1+b +3的最大值为32㊂或者,利用柯西不等式直接求解㊂由题意得(a +1+b +3)2ɤ(1+1)2(a +1+b +3)2=18,所以a +1+b +3ɤ32,即a +1+b +3的最大值为32㊂升华:本题是求二元变量的最值,解题的关键是利用双换元求解的㊂六㊁三角换元或均值换元,借力有界性或方程有实数解,构建不等式求最值例6 实数x ,y 满足4x 2-5x y +4y 2=5,设S =x 2+y 2,求1S m a x +1S m i n的值㊂解法1:由S =x 2+y 2,联想到c o s 2α+s i n 2α=1,于是进行三角换元切入求解㊂设x =S c o s α,y =S si n α,代入原式化简得4S -5S ㊃s i n αc o s α=5,所以S =108-5s i n 2α㊂因为-1ɤs i n 2αɤ1,所以3ɤ8-5s i n 2αɤ13,所以1013ɤ108-5s i n αɤ103,所以1S m a x+1S m i n =310+1310=1610=85㊂解法2:由S =x 2+y 2,可考虑均值换元求解㊂设x 2=S 2+t ,y 2=S 2-t ,t ɪ-S 2,S 2,则x y =ʃS 24-t 2,代入原式化简得4S ʃ5S 24-t 2=5,移项平方整理得39S 2-160S +100=-100t 2,所以39S 2-160S +100ɤ0,解得1013ɤS ɤ103,所以1S m a x +1S m i n =310+1310=1610=85㊂升华:解法1,利用已知条件S =x 2+y 2,联想到三角公式c o s 2α+s i n 2α=1,借力三角换元,从而得到S =108-5s i n 2α求解的㊂也可由s i n 2α=8S -10S 的有界性求解,即解不等式8S -10Sɤ1,这种方法是求函数值域时经常用到的 有界性法 ㊂解法2,利用已知条件S =x 2+y 2,考虑到均值换元x 2=S 2+t ,y 2=S2-t ,构建含t 的方程有实数根的条件,从而解出S 的取值范围㊂已知函数f (x )=x 2-(a +4)x +a 2+a +10(a >0),且f (a 2+3)=f (3a -2),则f (n )+6a n +1(n ɪN *)的最小值为㊂提示:二次函数f (x )=x 2-(a +4)x +a 2+a +10的对称轴为x =a +42㊂因为f (a 2+3)=f (3a -2),所以a 2+3=3a -2或a 2+32+3a -22=a +42㊂因为a >0,所以a =1,所以函数f (x )=x 2-5x +12㊂所以n 2-5n +12+6n +1=(n +1)2-7(n +1)+24n +1=(n +1)+24n +1-7㊂函数g (x )=x +24x -7在(0,26)上单调递减,在(26,+ɕ)上单调递增㊂因为4<26<5,又g (4)=4+244-7=3,g (5)=5+245-7=145<3,所以f (n )+6n +1(n ɪN *)的最小值为145㊂作者单位:山东省胶州市第三中学(责任编辑 郭正华)6知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学数列学习中换元法的运用
高中数学数列学习中换元法的运用数列是高中数学中的一个重要内容，其中换元法是解决数列问题的一个有效策略。
换元法是指通过将数列中的自变量进行替换，从而使原本复杂的数列形式简化为易于求解的形式。
本文将详细介绍高中数学数列学习中换元法的运用，以及换元法在数列问题中的具体应用。
一、换元法的基本概念1. 换元法的定义换元法是数学分析中的一种基本方法，通常用于将复杂的函数或数列化简为简单形式。
其基本原理是通过引入新的自变量，将原始函数或数列转化为新的函数或数列，从而简化问题的求解过程。
2. 换元法的基本步骤换元法通常包括以下基本步骤：(1) 确定需要进行换元的函数或数列；(2) 引入新的自变量，将原函数或数列表示为新的形式；(3) 利用新的形式进行求解或证明。
二、换元法在数列学习中的应用1. 换元法在等差数列中的应用等差数列是高中数学中最基础的数列类型之一，其通项公式为：a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。
在等差数列的求和问题中，常常需要利用换元法进行化简。
举例：求等差数列1, 4, 7, 10, \cdots的前n项和。
解：设该等差数列的前n项和为S_n，则有：S_n = 1+4+7+\cdots+ (3n-2)为了利用换元法进行化简，我们引入新的自变量k=3n-2，则有n=\frac{k+2}{3}。
将n用k表示后，原来的前n项和可以表示为前k个数的和：S_n = 1+4+7+\cdots+k根据等差数列的求和公式，可知S_n = \frac{(1+k)k}{2}将k用n表示后，得到原等差数列的前n项和为：S_n = \frac{(3n-1)(3n-2)}{2}通过换元法，我们成功地将原来的复杂等差数列求和问题简化为易于求解的形式。
三、总结与展望换元法也为学生打开了数学问题解决的新思路，培养了学生的抽象思维能力和数学建模能力。
在今后的数学学习中，学生可以进一步扩展换元法的应用领域，将其运用到更加复杂的数学问题中，为解决实际问题提供新的思路和方法。
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是解决函数积分问题的一种常用方法，它通过对被积函数中的自变量进行代换，使得原来复杂的积分问题简化为一个更容易求解的形式。
在高中数学中，换元法主要应用
在以下几个方面：
1. 解决含有平方根的积分问题：
在高中数学中，我们经常遇到含有平方根的函数积分问题，如∫√(x^2 + 1)dx。
由
于被积函数中含有平方根，直接对其进行积分是比较困难的。
此时，可以通过对被积函数
中的自变量进行代换来简化问题。
假设令x = tanθ，则dx = sec^2θdθ，被积函数可以转化为∫secθsecθdθ = ∫sec^2θdθ。
这是一个比较容易求解的积分问题。
将θ代
回x，即可得到最终结果。
4. 解决指数函数的积分问题：
指数函数是高中数学中另一个常见的函数类型，如∫e^xsinx dx。
对于这类问题，可以通过换元法将其转化为利用分部积分法求解的形式。
假设令u = e^x，即可将被积函数中的e^x和sinx转化为u和u的导数的形式，从而简化问题的求解。
对新的积分式进行求解，并将u代回x，即可得到最终结果。
换元法在高中数学解题中的应用不仅限于上述几个方面，还可以应用于其他类型的函
数积分问题。
通过合理选择适当的代换，可以大大简化问题的求解过程，提高解题的效率。
在高中数学学习中，掌握换元法的理论和应用方法，对于解决复杂的函数积分问题具有重
要的意义。
函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用.doc
函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用一、换元法在问题解决中，引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”，使关于新元的问题能够解决；解决以后再将结果反演回去，得出旧元问题的结果，这种方法叫做换元法，也叫代换法。
“元”可以是任何意义下的基本元素，如未知数、变量、常量、几何元素等，也可以是一个整体，如代数式、图形等。
本节来介绍下在解题过程中常用到的三种换元法。
第一换元法（旧式换为新元）模式：f [ ψ(x) ] = f ( u ) ，其代换为ψ(x) = u .例题1、已知例题1图（1）解：将已知等式改写为例题1图（2）注：解题的关键是能把t + 1/t 凑成t - 1/t 的表达式，所以这是凑法换元。
例题2、求函数例题2图（1）解：例题2图（2）注：由函数y = f ( x ）换元为y = ψ（u），不但转换解析式也要注意转换定义域。
第二换元法（旧元换为新式）模式：f（x）= f [ ψ（u）] ，其代换为x = ψ(u) .在方程的观点上，第二换元法是把方程y = f ( x ) 化为参数方程：x = ψ(u) ，u = f（u）, （u为参数）。
例题3、解不等式例题3图（1）解：例题3图（2）注：这是正切代换，遇见√（1+t ），可作代换t = tanθ , θ∈（-π/2 ，π/2），其中θ 的范围必须设出，保证代换是等价的。
例题4、求函数例题4图（1）解：函数的定义域是[-1/2 ，0 ）∪（0 ，1/2 ] ，例题4图（2）注：这是正弦代换，遇见√（1-x ），可作代换x = sinθ , 或x = cosθ，要根据x 的范围确定θ 的范围。
第三换元法（旧式换为新式，及广义换元）例题5、求函数例题5图（1）解：例题5图（2）例题6、已知复数z 满足∣2z + i∣= 2 , 求∣3z - 4i ∣的取值范围。
解：（轨迹代换法）设W = 3z - 4i （W 是所求轨迹的动点），则z =1/3（W + 4i）（z 是已知轨迹的动点）代入已知轨迹方程∣2z + i∣= 2 ，即∣2/3（W + 4i）+ i∣= 2 , 即∣W +11/2i∣= 3 .∴点W 的轨迹是圆：圆心为C （0，-11/2），半径为r = 3 ，如下图所示例题6图∴∣OA∣≤ ∣W∣≤ ∣OB∣其中∣OA∣= 11/2 - 3 = 5/2 ，∣OB∣= 11/2 + 3 = 17/2 .∴5/2 ≤ ∣3z - 4i∣≤ 17/2 .。
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
换元法及其在高中数学解题中的应用
Ｊ ｌ Ａ
＝
４ ｔ ＋ ８ ｔ （ ３ 一 ｔ ） ＜ ０
， 解 得 』 ｆ ＜
１ ｔ ＜０ 或ｔ ＞６
所 以 ｔ ＜ ０ 即 口≥０ ｂ２ ０
解： 假设 ａ ＝ ４ ４ 一 ， ｂ ＝ √ ｘ，那么 ａ 十 ｂ ＝ ４同时满 足
在平面直角坐标系 ｘ ｏ ｙ中， Ｍ（ ａ ， ｂ ） 是圆弧 ｘ ＋Ｙ ＝４
将这个结果代入原式中，经过化 简之后我们能够发现恒等 根 据 二 次 函数 性质 得 到 Ｍ ｉ ｎ ＝ ｌ ／ ８ ， Ｍ ＝ １ ． 式变成 了 （ ３ －ｔ ）ｘ ＋２ ｔ ） 【 一２ ｔ ＞ ０ ，我们 只需要证 明这个恒等式 例３ ：求 函数 Ｐ＝ √ ４ 一 ＋ √ ３ ｘ的值域。 对 一 切 实 数 Ｘ始 终 成 立 ，因 此 ：
ａ ａ＋ ｌ
８— ５ Ｓ ｉ ｎ
３
ｌ ｏ ｇ ２ ± ２＞ ０ 这个不等式组始终成立，求 ａ 的取值范围。
４ 口
所以 ＋ ： 三＋ 里： ： 墨
１ ０ １ ０ １ ０ ５
分析：在不等式 中 ｌ ｏ ｇ ２
ａ
、１ ｏ ｇ ２
４ ‘ ２ 口
ａ＋ ｌ
２ ３ 、均 值 换 元 在遇到 ｘ ＋ ｙ ＝ ２ Ｓ 形式 的数 学例题 中，就可 以进 行假设为 ｘ ＝ Ｓ ＋ ｔ ，ｖ ＝Ｓ － ｔ 之类 的形势 ，这就是均值 换元方法 。例如 ａ ，ｂ 为非负实数 ，同时满足 了 ａ ＋ ｂ ＝ １ ，Ｍ＝ ａ ４ ＋ ｂ ，求 Ｍ 的最值 。可 以让 ａ ＝ ｌ ／ ２ ． ｔ ， ｂ ＝ １ ／ ２ ＋ ｔ （ Ｏ ＜ ｔ ＜ １ ／ ２ ） ， 化 简得 到 了 ：Ｍ＝ ２ ￣ （ ｔ ￣ ＋ ３ ／ ４ ） ２ － １ ，
换元法在解方程中的应用
换元法在解方程中的应用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。
一、单个换元：主要是根据方程的特点进行换元，换元后一般只留下单个未知数。
例1. 解方程12121524222x x x x x x -+-+=-+。
分析：方程的分母都含有x x 22-故可设y x x =-22， 然后整理可得34402y y --=，解得y y y x x 1222322=-==-，，代入中， 求出方程的解，并检验。
例2. 解方程x x x x x x x 222211221196++++++++=。
分析：方程变形为 x x x x x x x x 2222211111196++++++++++=()()， 即x x x x x x 22221111136+++++++=， 方程可通过互为倒数关系换元：设y x x x =+++2211，然后整理得613602y y -+=， 可解得y y 122332==，， 代入y x x x =+++2211，求方程的解，并检验。
二、部分换元：部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数例3. 解方程2211022x x x x x --+-+=分析：方程变形： 31210222x x x x x x -+--+-=()，方程可进行部分换元：设y x x =+-21，方程整理可得32022x xy y --=，可解得y x y x =-=3，， 再代入y x x =+-21，求出方程的解并检验。
例4. 解方程111812811380222x x x x x x +-++-+--=。
分析：设y x x =+-228 方程整理可得y xy x 224450--=，解得y x y x =-=59，再代入y x x =+-228中，求出方程的解并检验。
三、系数对称方程换元例5. 解方程：6538560432x x x x +-++=分析：方程665543x x x 和，和的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元：变形：653856022x x x x +-++=， 61515002()()x x x x+++-=， 设x xy +=1， 得655002y y +-=，可解出方程。
专题12 换元法及其应用(选讲)
专题12 换元法及其应用（选讲）换元法就是在一个比较复杂的式子中，根据式子的特征，把式中的某一部分看为一个整体，并用新的字母代替，从而达到将复杂的式子简单化的目的．一、用换元法因式分解应用换元法分解因式，不但能将问题化繁为简，而且能拓展思路，提高解题能力．它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化．常见的换元有整体换元和均值换元等．例1 分解因式：222()8()12x x x x +-++．分析：本题可直接应用十字相乘法分解因式，但由于式子长，因而书写麻烦，若将多项式2x x +看做辅助元，则可简化解题过程．解：设2x x t +=，则原式2812t t =-+(2)(6)t t =--22(2)(6)x x x x =+-+-(2)(1)(2)(3)x x x x =--++．说明：运用换元法进行因式分解，不仅能简化式子结构，还能简化解题思路，将陌生的问题转化为熟悉的问题进行处理．例2 分解因式：22(87)(815)15a a a a +++++． 分析：可采取均值换元，令2221[(87)(815)]8112m a a a a a a =+++++=++． 解：设2221[(87)(815)]8112m a a a a a a =+++++=++，则 原式(4)(4)15m m =-++21615m =-+21m =-(1)(1)m m =+-22(812)(810)a a a a =++++2(2)(6)(810)a a a a =++++．说明：此题还可以设28a a m +=，或287a a m ++=，或2815a a m ++=．二、用换元法解方程例3 解方程2223()4011x x x x --=--． 分析：注意到方程的特点，只要把21x x -设为y ，即得到一个关于y 的一元二次方程． 解：设21x y x =-，则原方程变形为2340y y --=． 解这个方程，得14y =，21y =-．当1y =-时，211x x =--． 去分母，得21x x =-+，即210x x +-=．此方程的解为12x -±=． 当4y =时，241x x =-． 去分母，得244x x =-，即2440x x -+=．解得2x =．检验，把2x =，x =分别代入原方程的分母，各分母都不等于零．所以2x =，x =都是原方程的解．所以原方程的解是12x =，2x =，3x =． 说明：（1）本题若去分母，则得到一个四次方程，解方程会很困难，但是注意观察方程的特点，令21x y x =-，即把原方程变形为关于y 的一元二次方程，能容易求出y 的值．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程21x y x =-． （2）用换元法解分式方程常见的错误是有些学生在求出新元y 的值后，以为已经到达胜利的彼岸．殊不知求y 的值，只是万里长征走完了关键的一步，还要乘胜追击，直到求出原方程的解．例4 解方程23152x x ++=．分析：我们注意到223153(5)x x x x +=+中，25x x +1．因此，可把原方程变形为23(51)50x x +++=，y =，那么2251x x y ++=，原方程就可转化为关于y 的一元二次方程．y =，那么2251x x y ++=，因此223153(1)x x y +=-． 于是原方程转化为23(1)22y y -+=，即23250y y +-=． 解此方程，得11y =，或253y =-．当53y =-53=-，故此方程无解．当1y =1=．两边平方，得2511x x ++=，即250x x +=．解此方程，得15x =-，20x =．检验，把0x =，5x =-分别代入原方程都适合，因此它们都是原方程的根． 所以原方程的解是15x =-，20x =．说明：本题若采用平方法化无理方程为有理方程，则得到一个一元四次方程，解方程有难度．但你只要认真观察方程中含有未知数的二次根式与其余的有理式的数量关系，就不难发现用换元法可实现化无理方程为有理方程的转变，找到解题的突破口．三、用换元法求函数表达式例5 已知()f x x x 2+2=+4+5，求()f x 的表达式．分析：令2t x =+，则2x t =-，代入()f x x x 2+2=+4+5中，化简可得关于t 的函数表达式()f t ，最后将t 换成x ，就求出了()f x 的函数表达式．解：令2t x =+，则2x t =-，代入()f x x x 2+2=+4+5中，()()()f t t t 2=-2+4-2+5t t t 2=-4+4+4-8+5t 2=+1，将t 换成x ，得2()1f x x =+．所以2()1f x x =+．说明：已知))((x g f 的表达式，要求出)(x f 的表达式时，可令)(x g t =，然后用t 表示x ，再代入))((x g f 中，化简可得关于t 的函数表达式()f t ，最后将t 换成x ，就能求出()f x 的函数表达式．例6 已知x x x x x f 11)1(22++=+，求()f x 的表达式． 分析：令1x u x +=，则11x u =-，代入x x x x x f 11)1(22++=+中，化简可得关于u 的函数表达式()f u ，最后将u 换成x ，就求出了()f x 的函数表达式． 解：设u x x =+1，则11-=u x ．则221()111()11()11u f u u u +-=+-- 2(1)11u u =-++-22111u u u =-+++-21u u =-+．将u 换成x ，得2()1f x x x =-+．所以2()1f x x x =-+．说明：本题也可以先将x x x x x f 11)1(22++=+变形为2111(1)1f x x x+=++，再令11u x =+，可得11u x=-，所以22()1(1)(1)1f u u u u u =+-+-=-+，所以2()1f x x x =-+．练习题1．用换元法分解下列因式：（1）27()5()2a b a b +-+-；（2）26(2)11(2)3p q q p ---+；（3）2()11()28a b a b -+-+；（4）222(1)2(1)15x x +-+-．2．用换元法解下列方程：（11x =；（2x =-；（37x =；（42x =．3．用换元法分解下列因式：（1）222(3)2(3)8x x x x +-+-；（2）22(67)25x x --；（3）22(32)(34)16a a a a +-++-；（4）43223532x x x x +-++．4．用换元法解下列方程：（1）120x -=；（2）236x x +=．5．（1）已知()f x x -1=2+1，求()f x 的表达式．（2）已知()f x x 22-1=4，求()f x 的表达式．6．用换元法解方程：2244x x +=．7．已知4)f x =+()f x 的表达式．8．用换元法解方程：22228(2)3(1)1112x x x x x x+-+=-+． 9．已知xx x f -=1)1(，求函数)(x f 的表达式． 10．分解下列因式：（1）3234x x -+；（2）42242(1)(1)2x x x x +-++--．练习题参考答案1．（1）(772)(1)a b a b +++-；（2）(631)(423)p q p q ++++；（3）(4)(7)a b a b -+-+；（4）2(2)(2)(4)x x x -++．2．（1）2x =；。
换元法在中学数学解题中的应用及推广
换元法在中学数学解题中的应用及推广(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录1. 引言错误!未指定书签。
一、换元法研究的背景................................ 错误!未指定书签。
二、换元法研究的意义................................ 错误!未指定书签。
三、换元法研究的方法................................ 错误!未指定书签。
2. 换元法的发展脉络错误!未指定书签。
3. 换元法的概念错误!未指定书签。
4. 换元法在中学解题中的应用错误!未指定书签。
一、换元法在方程中的应用............................ 错误!未指定书签。
二、换元法在方程组中的应用.......................... 错误!未指定书签。
三、换元法在不等式中的应用.......................... 错误!未指定书签。
四、换元法在数列中的应用............................ 错误!未指定书签。
五、换元法在复数中的应用............................ 错误!未指定书签。
六、换元法在函数和三角函数中的应用.................. 错误!未指定书签。
5. 换元法在中学解题中的常见错误错误!未指定书签。
一、“元”与“新元”选择不合理；.................... 错误!未指定书签。
二、将复合函数与原函数混淆；........................ 错误!未指定书签。
三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；错误!未指定书签。
6. 结论错误!未指定书签。
参考文献 (17)致谢 (18)换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院数学系；福建福州 350108）1. 引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展. 本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生活中的推广.一、换元法研究的背景数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有需要的.中学中常用的数学解决问题的方法有很多，例如:待定系数法，数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，换元法等，每一种方法都是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、换元法研究的意义学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下突破过于强调分数，应试教育的围墙学习数学，做到学懂会用、学以致用，更重要的是将数学课堂学习到的数学方法迁移到其他学科，社会生活和解决实际问题当中去.换元法是培养学生能力的需求.换元法不仅是一种方法更渗透的是一种数学思想.在心理学知识的理论内，思想活动是存在于元认知领域.它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用.让人们能够意识到在学习活动中我们缺乏什么然后就去提高什么，对学生能力的培养起着指导引领的作用. 三、换元法研究的方法文献研究法：查找国内外有文献，通过对不同专家学者文献的分析比较不同国家、不同领域对换元法的不同观点，作为本文的理论基础.2. 换元法的发展脉络1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治·波利亚《怎样解题》.被翻译成16中文字，销售量爆表.着名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他曾经在瑞士的苏黎世大学主办的会议中说到：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于广大的中学生都是非常有实用价值的.1969年，日本着名数学家米山国藏的《数学的精神、思想与方法》.以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元”的数学思考.1975年，希拉里·普特南(H.Hilary Putnam，1926~)，美国逻辑学家、科学哲学家发表的《数学、物质与方法》美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛，把中学生的数学竞赛命名为"数学奥林匹克"的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启示.1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教学与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖”，从事教育科学研究，出版了《中学数学的基本思想和方法》等四部专着，发表了30余篇论文.被评为福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校.联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.汪祖亨在1996年编写的《数学常用解题方法与技巧》不仅总结出一系列的换元方法，并探讨了结合中学数学教学如何进行应用.解恩泽、徐本顺主编的《数学思想方法》，欧阳维诚、肖果能及张矗合写的《初等数学思想方法选讲》中，则对换元法这一思想方法进行了较为系统的归纳阐述，为中学数学教学校本教研提供了很好的课例研究.李明振在2000年发表的《数学方法与解题研究》，也是把换元法与数学教育紧密结合在一起的论着.有关换元法解题的专题文章(如用换元法证明不等式，求函数的值域，因式分解等等)也相继发表在“中学生数学”、“数学通报”、“高中数学教与学”等各种数学杂志、报纸、期刊上.随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越多，一些竞赛试题也被纳入了中学生课外辅导的材料.3. 换元法的概念表示未知数、变数的字母统称为“元”.广义地说，表示研究对象(如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等)的文字符号都可以称为“元”.解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来的“元”，使得以“新元”为基础的问题的求解比原来的问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元”，便可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换元的实质就是转化与化归.在中学数学教学活动过程中，教师要有意识的培养学生解决问题的时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的“元”，然后适当的选择最有效的“新元”，两者之间建立联系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题的相关知识上）.4. 换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：（1）；（2）；（3）；解：（1）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：，又∵，，解得这个不等式的解为：故，当时，方程成立（2）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：，得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.（3）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：当时，新元方程可以化为，即；当时，新元方程可以化为，即；当时，新元方程化为，明显无解综上所述，转换后的新元方程的解为或.又∵，，即原方程的解为：这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转化为代数形式的方程.例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程：分析：这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.解：将看成“元”，用“新元”y代替，则则有：====故，原有的方程转化为：，即∴，，所以，将新元方程得到的结果带回原方程；（1），，即有；（2），，即有；（3），，即有；综上所述，以上三种数都是原方程的解.二、换元法在解方程组当中的应用换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的.因为有些方程组如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组，也是能够把高次的方程组化成为低次的.例题3.解方程组：解：设则原来方程组可以转化为：即有，代回求解x和y的值，即有：解得，即为原方程的解.三、换元法在解不等式中的用法例题5. （第二届国际数学竞赛第2题）存在哪些值使得下面的不等式成立？解：将看做“元”，用“新元”y替换，则；既有；故，原不等式可以转化为：易得；既；故；解得：故，；即原不等式解得：例题6.如果，且满足，请证明：.分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于，即符合了三角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.证明：令，其中有则有：故，原命题得证.四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列由循环公式构成，其中求的通项公式是什么？解：将看成“元”，用为“新元”替换，既有；则有由此可得：既有：根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列为：接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.例题8.已知在数列中，，求数列的通项公式.解：将看成“元”，用“新元”替换，设；则有的前n项和为：由故，既有，，且；所以；故，当，五、换元法在复数中的应用复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数的最小取值为多少？解：可以设∴又；根据性质∴+；所以，当同向时，即有，；例题10.设复数满足，其中A是不等于零的复数，请证明：（1）（2）分析：如果这一题按照常规方法设：转化为实数上的问题，那么会因为出现的字母太多运算复杂书写不变等种种原因最终放弃.但是如果学生很好的掌握了换元的方法，用整体代换的方法，设则：已知条件便转化为：要证明的结论也相应的转化为：（1），那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略）；六、换元法在三角函数和函数中的应用利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.例题11.已知函数，求的值.解：方法一：将“元”x用“新元”替换，则有：；我们不难发现，即使是换元之后，如果不对函数进行处理，那么效果也是不好的.方法二：设，则有，再设；（那么现在经过两次换元，我们只要去构造函数，将式子中的看成一个整体进行构造零因子.）例题12.已知，求的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将看成一个整体，用一个“新元”替代.解：设；则有，且；故，函数的解析式为总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是含有t的式子.第二，漏了自变量的变化范围，变换后自变量的取值范围变成例题13.（2009年全国高考文科卷）已知是三角形的三个内角A、B、C，且满足条件：，求分析：隐含条件“三角形的内角和为”，且条件给的答案“”，故可以利用进行换元.解：设故，解得：.例题14.设的值的最大与最小分别是多少？解：设∴（1）当时，有此时（2）当有此时（3）当时，综上所述（再描述回答一遍即可，这里省略）分析：本例题将三角函数求值域问题.运用换元的方法转化为二次函数在闭区间上求值域，这一题不仅要顾及到换元后的取值变化的问题.还结合了之前学习的二次函数的性质，运用分类的讨论方法能够进一步处理问题.换元的方法有多种多样但不是独立的，它们之间互相联系，在解题过程中学生应该有选择性使用.遇到问题比较复杂的，这时要求学生要认真的分析，能够根据特点进行合理的变换和换元，使原有的复杂、困难的问题化为容易解决的问题.学生要知道换元法是一种解决问题策略，需要在充分观察题设与结论的联系后才可以有目的的选用，明确选择哪一类换元不是随意的.因此，在运用换元策略去解题时千万不能生搬硬套.要在仔细观察、具体分析之后寻找突破口,灵活合理地选择换元“元”与“新元”.5. 换元法在中学解题中的常见错误虽然换元法能够简化计算，化高次方程为低次方程，但是如果早使用的时候如注意等价转化与换元，那么就容易出现一些不容易发觉的错误，常常表现在如下方面.一、“元”与“新元”选择不合理；例题1 设，求错解：等式两边同时平方可得：错误分析：换元之后定义域范围扩大，混淆两个变换式子的自变量，错误的增加关系条件.正解：二、将复合函数与原函数混淆；例题2 知，求的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将看成一个整体，用一个“新元”替代.解：设；则有，且；故，函数的解析式为总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是含有t的式子.第二，漏了自变量的取值范围，变换后自变量的范围变成还有就是已知复合函数的定义域求原函数的定义域或者是已知原函数的定义域求复合函数的定义域等类型的题目都是很容易出错的.三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；例题3 已知：错解：当将分析：本例题换“新元”时错误的确定了“新元”t的取值范围.正解：故解得：解得：因此，在使用换元法这种数学思想思考解决问题的时候不是生搬硬套，要注意概念的理解，细节的处理，从本质上把握换元法的每个步骤.做到灵活快捷的选用最优的换元对象和新元，最大程度上简化计算量，化繁为简，体现数学思维的高度.换元法的富有创造性的运用不仅实用而且更直观.换元不仅仅存在数学学科知识间的运用，也贯穿在数学与其他学科的知识、数学与生活之间.下面简要阐述数学在其他学科还有生活中的推广.6. 结论数学方法是数学思想的外在表现，数学思想是数学方法的本质内容.本文通过对换元法在中学数学中的应用与相关推广的研究.我认识到：数学思维的形成与发展是一个复杂、漫长的的思维认知及内化的过程.在形成过程中，参与的思维的成分并不是只有换元思想一种而应该是多样的.也可以认为：数学思维的形成实质上是综合素质在培养与运用的过程中螺旋上升的过程.往往解决问题钥匙是来自各方面思维经验的正向迁移.通过对换元法的阶段研究.针对换元的多变技巧和多样的方法进行梳理、对比、归纳以及分类.抓住换元法的基本解题类型与容易产生错误的知识点、面.从而帮助学生养成良好的数学思维以及意识，有效的掌握使用换元法解决问题的知识与技能，培养学生良好的分析与应变解题能力.同时，在收集资料的过程中我发现：目前教师都比较重视讲授表面层次上的换元技巧，注意是强调技巧，而不重视甚至忽略了渗透数学思想才是素质教育的根本.这种本末倒置的传统教学还没有完全转换.只停留在技巧方面的教学不利于学生从本质上把握换元法，会导致知识的建构体系不完善，很难作为知识的“生长点”.当然，也不能够单纯的强调数学思维，否则容易忽略表层的内容，从而导致换元法的解题过程流于形式，不能够很好的服务于生活.因此在未来的教学中应该在教授知识技能的同时要善于引导学生主动思考、学会思考，将数学学科学习的思想方法应用在其他学科与生活中去，体现数学是门基础的、是服务人类学习与人类生活密切相关的科学.限于我还是一名大学本科学生，对课题的理论知识构建相对薄弱，缺乏实际丰富的教学引导经验.导致对本次研究内容较为片.还有有许多的问题需要继续深入的研究与探讨.总的来说，从本次课题研究可以知道，换元法应用涉及的知识与技能、思想与活动经验的面很广，相对的处理技巧也是多样的，我明白进一步去研究换元法的任务是很有难度的.我对本次课题的部分研究还只是提出了一些常见的解题技巧与思考，缺少对解题理论的深入探索、发现与探讨.故在今后的学习教学中，会更加注重要在换元的思想理论的层面上，力求找到一、二个突破口，使这得本次研究显得更加全面.目前，本人对换元法的应用理论研究还处于尝试发现的阶段，真心期待未来会有更多的数学教育教学的工作者可以一起深入研究与实践.灵活、有效地选用换元法创造性的解决实际问题，为全面提高数学课程的教育教学质量提供一份力量.确保学生们能够在数学思维的熏陶、陶冶中学习数学知识与技能、研究数学的思想、体验数学活动、收获数学经验.不断引导学生，提高学生对数学思维的认知，能够自主自觉的进行调节与监控.如此一来，数学的教育教学就有希望从理论的层面上让每个学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.参考文献[1]卢春松. 浅析换元法在初中数学解题中的应用[J]. 数理化学习(初版),2014,10:72+74.[2]陈正学. 换元法在初中数学解题中的运用[J]. 雅安教育学院学报,2001,02:92-93.[3]马文杰. 高一函数教学中学生数学解题错误的实证研究[D].华东师范大学,2014.[4]孙静. 新课标下初高中数学教学的衔接研究[D].山东师范大学,2011.[5]刘道明. 换元法在初中数学解题中的探究[J]. 数理化解题研究(初中版),2013,12:17.[6]陶能文. 初中方程教学研究[D].东北师范大学,2010.[7]王成营. 数学符号意义及其获得能力培养的研究[D].华中师范大学,2012.[8]郝娟. 新课程背景下初高中数学教学衔接问题的研究与实践[D].陕西师范大学,2010.[9]于萍. 新课标下初高中数学衔接问题研究[D].曲阜师范大学,2013.[10]赖宁. 关于《数学课程标准》中一元二次方程的内容研究[D].西南大学,2008.[11]孙巍. 在数学教学中渗透数学思想方法的探索与实践[D].上海师范大学,2007.[12]丁承伦,孙玉兰. 换元法在解方程中的应用[J]. 林区教学,2005,02:56-57.[13]刘玲. 初、高中数学教学衔接探索[D].南京师范大学,2014.[14]刘华. 高中生三角函数学习的主要困难及原因分析[D].苏州大学,2009.[15]吴海鹰. 初中数学思想方法教学研究[D].内蒙古师范大学,2011.[16]臧丽娜. 新课改中数学思想方法在课标及教材中的体现[D].华东师范大学,2010.[17]吴艳丽. 初中数学化归思想方法的教学策略研究[D].天津师范大学,2009.[18]郑洁. 初中数学教学大纲的比较与访谈研究[D].天津师范大学,2008.[19]黄一品. 例谈初中数学解题中的换元法[J]. 数理化解题研究(初中版),2014,07:9-10.[20]陈仁标. 例谈换元法在解题中的应用与技巧[J]. 数理化解题研究(初中版),2014,08:28-29.致谢感谢闽江学院这四年来对我的培养，感谢我的每个任课老师.特别要感谢我的论文指导老师对本论文从选题、构思、资料收集到定稿每个环节给予的耐心的指引与帮助.对此，我发自内心的由衷的感谢.我的指导老师敏锐的学术思维，广博的专业知识，严谨的指导方式，精益求精的细节指导以及无比耐心的人格魅力将永远激励着我.这些影响不仅直接影响着我关于对论文的把握，而且会在未来的教学工作中留下深刻的印象.在此，向帮助我的老师致以崇高的敬意！感谢父母二十多年的辛勤培育，让我快乐的接受学习，并让我获取了一定的知识与做人的道理，让我有勇气走向社会，有一定的能力服务社会，贡献自己！感谢四年来的同班同学在学习、生活、工作以及情感上的陪伴.因为有你们的存在让我的大学生活变得多姿多彩！最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师再次表示由衷的感谢！19。
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换元法及其应用
高一（2）班（C3）张宇绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。
（一）选题引入
【例一】
其中(>1),则的值域是_______。
【分析】
一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。
【解】
求的值域，首先要求出的表达式。
函数一般我们习惯还是用来表示，所以要把换成。
【例二】
解不等式：。
【分析】
这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。
【解】
原不等式可以化为：
即，以2为底的对数函数是增函数。
，以2为底的指数函数是增函数。
变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。
换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。
（二） 选题概述
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
（三） 选题分类
1、局部换元
又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
2、三角换元
应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y ＝√1-X^2值域时，若x ∈[-1,1]，设x ＝sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rco sθ、y ＝rsinθ化为三角问题。
3、均值换元
如遇到x ＋y ＝2S 形式时，设x ＝ S ＋t ，y ＝ S －t 等等。
（四） 换元法典型题归纳
1、整体换元
求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.
解：设••t x x •y x x t .2
1cos sin ),22(cos sin 2-=•≤≤-+=则 •t t t y .1)1(2
12122-+=+-=故 当.221,2max +==••y •t 时 2、三角换元 求函数25x x y -+=的值域.
解：令••••x ],2
,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4
sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5πθθθθθ+=+=+•=y 则
因为22πθπ≤≤-
， 所以.4
344ππθπ
≤+≤- 所以1)4sin(22≤+≤-πθ，得10)4
sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5•
-]. 3、比值换元
已知x ，y ，z 满足x -1=
3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？
解：由比例可以设t z y x =-=+=-3
22111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当14
5-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,14
13z y ••x z ++=时达到最小值. ○
4、不等量换元 求证：4
7)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形
)1111(21)1)(1(11
1122+--•=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…n ，n +1，则47)2111211(211)
1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n （五） 分析结论
换元法贯穿于数学学习的始终，用这种方法可以让解题更具条理性；对于学生来
说，可以使思路更清晰，提高正确率；还有对于一些难题来说，换元法不失为一种捷径。
（六） 研究体会
数学虽为一门理科，但解题中的反复、归纳、积累是不可或缺的，生活中不经意的好习惯也许会成为你将来成功的筹码与阶梯。
云计算与云服务——试题及答案题库
一、判断题
1.各国政府都非常重视云计算产业发展，但并未在政府内部广泛推行云计算应用。
标准答案：错
2. ChristopherStrachey 发表虚拟化论文，虚拟化是今天云计算基础架构的基石。
标准答案：对
3.中国政府对云计算的定位是一种新“技术”。
标准答案：错
4. 云计算提供了服务水平协议（SLA ）以保证可用性，而网格计算并未提供。
标准答案：
对
5. 自主计算：具有自我管理功能的计算机系统。
标准答案：对
6. 云计算是从网格计算演化而来的，能够随需应变地提供资源。
标准答案：对
7. 云计算的消费者需要管理或控制云计算的基础设施，例如网络，操作系统、存储等。
标准答案：错
8. 云计算是可伸缩的，网格计算不是可伸缩的。
标准答案：错
9.半虚拟化技术是指虚拟机模拟了完整的底层硬件，包括处理器、物理内存、时钟、外设等。
错！
10. SaaS的消费者需要管理或控制云计算的基础设施，例如网络，操作系统、存储等。
标准答案：错
11. PaaS实质是将互联网的资源服务化为可编程接口。
对。
12. 采用空气冷却的数据中心通常建在较高的维度上。
对。
13. 全虚拟化同时能够支持多个不同的操作系统。
对。
14. 操作系统虚拟化位于操作系统的底部。
错。
15.异步消息通信机制，可以使得云计算每个层次中的内部组件之间及各个层次之间解耦合。
对。
16.分布式文件系统基本上都有冗余备份机制和容错机制来保证数据读写的正确性。
对。
17.云计算海量数据的处理对芯片只关心计算性能。
错。
18. 云计算的硬件主要部署于数据中心。
对。
19. 低功耗芯片是将来云计算芯片的主流，将是云计算芯片的主流发展方向。
对。
20.阿里巴巴云OS是国内第二家以云计算技术为核心的，同时支持数据中心和手机终端的互联网平台。
错。
二、单选题：
21.说法正确的是B。
A.网格计算提供通用的计算平台和存储空间，提供各种软件服务。
错。
B。
网格计算的目标是共享高性能计算能力和数据资源，实现资源共享和协同工作。
对。
C云计算的资源来自不同机构。
错。
D.网格计算的资源类型是异构资源。
错
22.说法错误的是
A云计算平台可以灵活的提供各种功能。
对。
B云计算平台需要管理人员手动扩展。
错
C云计算平台能够根据需求快速调整资源。
对
D用户可以在任何时间获取任意数量的功能。
对。