复旦大学2016～2017学年《高等数学C上》第一学期期末考试试卷及答案
2017高数C(上)A卷
1 x n t f t dt, x 0 F x x 0 在 0, 上连续又单调增加 n 0 。 0, x 0
2.设 f x 在 0,1 上二阶可导，且 f x 1 。已知 f x 在 0,1 内取到最大值
f 0 f 1 1 。
4.设函数 yx 由方程 y 1 xe y 确定，求 dy x0 。
5.
x ln 2 xdx
6.
1 2 1 2
1 x
dx
2 3
3
1 2 7. 设 AX b 为非其次线性方程组， r A54 3 ， ， ， 为方程解 , 3 ， 4 3 5 ，求方程组通解。 6 9
x 0
。
ln f x 2 1 ，则 f 0 x sin x
。
三、计算题 8 8 1. lim
x0
x2 1 1 x2
2. lim
x 0
1 2x 1sin
0 2 x
x2
ln 3 1 t dt
2
x
2
3. 设 f x e x cos x ，求 f n x 。
2 0
ln sin xdx =
。
1
2.
1
1 1 1 1 ln x x2 x
dx =
。
10 5 1 3. 设 A 8 4 1 ，则 A 1 = 7 4 1
4. 已知 f x 在 x 0 连续， lim
B x 0 是 g x 的第二类间断点 D g x 在 x 0 的连续
2017高等数学上试题及解答
法线斜率k法
=
1 2
,
法线方程为y 1 x 1 2, x 2y 3 0.
2
3. 函数f
x
x
2
cos
x在
0,
2
上的最小值m=
2
先求内部驻点 y 1 2sin x,令y 0,sin x 1 , x ,
26
f
6
6
3,
f
0
2,
f
2
2
,
ymin
f
2
.
2
4.
广义积分 1
解 令x 3sect,则dx 3sect tan tdt
x
x2 9
t
原式
3 tan 3sec
t t
3sec
t
tan
tdt
3
tan2 tdt 3
3
sec2 t 1 dt 3tan t t C
x2 9 3arccos 3 C. 或令 x2 9 t,即x t2 9,则dx t dt
sin x
4.设F
x
x
0
x
t
f
t
dt , 则F
x
A
A.
x
0
f
t
dt
B.
x
0
f
t dt
C. 0
D. f x
F
x
xx 0
tf
t
dt
=
x
0
xf
t tf
t dt
x
0
x
f
t dt
x
0 tf
t dt
x
x0
f
t
dt
x
复旦大学2014～2015学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案
上，曲线上凸；在区间
e
3 2
,
上，曲线下凸。拐点为
e
3 2
,
3 2
e
3
；
（
装 订
（5） cos x
1 cos3
xC
；（6） ln 2 2
π
；（7）
X
5 8
1 1
；
线
3
2
6 1
内
不
（8）一定有解。
要
2．（本题满分 8 分） a 1 ， b 1。
答
2
题
3．（本题满分 8 分）（1） 4 ；（2）是极小值点。
x1 x2 a1,
（8）已知
a1
a2
a3
0
，问线性方程组
x2
x3
a2 ,
是否一定有解？请说明理由。
x3 x1 a3
3
2．（本题满分
8
分）
设函数
f
(x)
asixnxb,
cos x
x
1,
x 0, x 0 在 x 0 点可导，求常数
a 、 b 的值。
3．（本题满分
8
分）设函数
f
在 x 0 点附近有定义，且满足
6
复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 A》（I）A 卷试题答案
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） t ；（2）0； 2
（3）在 (, 1]上单调减少，在[1, ) 上单调增加。 f (1) 17 为极小值； 12
（4）在在区间
0,
e
3 2
x
(t
1)(t
2)
高数期末考试题及答案复旦
停车场停车券活动方案一. 活动目标本次停车场停车券活动的目标是吸引更多的用户使用停车场服务，增加停车场的收入。
通过发行停车券，提供优惠价位的停车服务，提高用户的体验及满意度，同时提升停车场的知名度和竞争力。
二. 活动时间活动时间为2022年1月1日至2022年3月31日，共计三个月。
三. 活动内容1. 停车券发行在活动期间，停车场将发行特定面额的停车券，用户可以在购买时获得相应的折扣或免费停车时间。
停车券的发行方式包括：•定期会员赠送：停车场会定期向会员赠送停车券，以奖励他们的忠诚度和支持。
•社交媒体活动：通过停车场的社交媒体平台，开展相关活动，让用户有机会赢得免费停车券。
•合作伙伴赞助：与合作伙伴合作，通过赞助方式提供免费或折扣停车券，吸引更多用户关注和使用停车场服务。
2. 会员特权为增加用户粘性和提高会员参与度，停车场将为定期会员提供特殊服务和特权，例如：•优先停车位：为会员提供专门的VIP停车区域或优先选择的停车位，方便会员快速进出停车场。
•免费车辆清洗：定期会员在停车期间，停车场将提供免费的车辆清洗服务，提升会员的停车体验。
3. 推荐奖励通过推荐活动，停车场将为用户提供额外的停车券作为奖励。
当用户成功推荐朋友或家人使用停车场服务时，推荐者将获得相应面额的停车券作为奖励。
4. 良性竞争在活动期间，停车场将与周边的其他停车场进行良性竞争。
通过提供更好的服务和更有竞争力的价格，吸引更多用户选择停车场停车券，并增加停车场的使用率。
四. 活动宣传为确保活动的成功，停车场将进行全方位的宣传推广。
宣传渠道和方式包括但不限于：•广告投放：通过户外广告牌、公交车身广告等方式进行线下宣传；•线上宣传：通过停车场官方网站、社交媒体平台、电子邮件等进行线上宣传；•合作推广：与相关合作伙伴进行合作推广，如APP推广、OTA平台推广等。
五. 活动效果评估活动结束后，停车场将根据以下指标对活动的效果进行评估：•停车场的总收入增长情况；•会员数量的增加情况；•用户对停车场服务的评价及满意度提升情况。
复旦大学2011 ～2012学年《高等数学C上》第一学期期末考试试真题及答案
3. 设 y f x由方程 xy2 sin x3 y 3x 确定，求 dy 。
4． y arctan 3ex ，求 dy 。 d sin x 1, x 0
5. 设 f x x 1,0 x 1 ，求 f xdx 。
2x, x 1
1 1 2x
6. 2
dx
0 1 2x
xf
x
0
，则
lim
x 0
6
f x2
x
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
3．
A
0
0
2
1
0
，则
A
1
=
0 0 3 2 0
0
0
0
0
3
。 。 。
4． lim n 2n 3n
。
n
5．
x cos x
2
2
1
sin
2
x
dx
。
二、单选题（ 3 5 ）
1． lim xx0
f x 是
f x 在 x0 的某空心邻域内无界的（
1 x ln
x
dx
5． x ，有 f x f x，且 f x0 k 0 ，则 f x0 （ ）。
A．
1 k
B.
1 k
C. k
D. k
三、计算题( 68 )
x 1 t 2 1 t 2 dt
1． lim 0 x0
x2 sin x
2．
cos2 x sin x dx
cos x 1 cos xesin x
A．
1 k
B.
1 k
答案：C
C. k
D. k
三、计算题( 68 )
复旦数学专业真题试卷
复旦数学专业真题试卷由于我无法提供真实的复旦数学专业真题试卷，我可以为你模拟一份数学专业的试卷，以供学习和练习之用。
请注意，这份试卷是虚构的，仅用于示例。
复旦大学数学专业模拟试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 泰勒公式B. 拉格朗日中值定理C. 费马引理D. 牛顿-莱布尼茨公式2. 线性代数中，下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯矩阵D. 任意矩阵3. 集合{1, 2, 3}的子集个数是多少？A. 3B. 4C. 7D. 84. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在点x=-1处的导数是：A. -2B. -1C. 0D. 15. 欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ中，e的值是多少？A. 1B. 2.71828C. πD. √2...二、填空题（每题2分，共10分）1. 根据泰勒公式，函数f(x) = sinx在x=0处的泰勒展开式为：______。
2. 矩阵A = [a_{ij}]_{n×n}的行列式记作|A|，若|A| = 0，则称矩阵A为______。
3. 已知函数f(x) = ln(x)，求其在x=1处的导数f'(x)，结果为______。
4. 给定一个实数序列{a_n}，如果对于任意的ε > 0，存在正整数N，使得当n > N时，|a_{n+1} - a_n| < ε，则称序列{a_n}是______。
5. 根据傅里叶级数，周期函数f(x)可以表示为______。
...三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述拉格朗日插值法的基本原理，并给出一个具体的例子。
2. 解释什么是特征值和特征向量，并说明它们在矩阵理论中的重要性。
3. 描述什么是连续性、可导性、可积性，并给出它们之间的关系。
...四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算下列不定积分：∫(3x^2 - 2x + 1) dx2. 求解下列线性方程组：\[\begin{bmatrix}2 & -1 &3 \\-1 & 4 & -2 \\3 & -2 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y \\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\6\end{bmatrix}\]3. 证明：对于任意的实数x，不等式e^x ≥ x + 1成立。
复旦大学16年高数C(上)(A)期末考试试题
复旦大学数学科学学院
2016～2017学年第一学期期末考试试卷
A卷
1.(本题满分42分, 每小题6分) 计算下列各题:
(1)设函数由参数方程, 给出, 求
和.
(2) 请确定常数, 使得在点可
导.
（
装
订
线
内
不
要
答
题
）
(3) 计算积分
(4) 计算由() 绕轴一周所得的旋转体的体积.
(5) 设过原点的直线同曲线相切, 求此直线的斜率。
(6) 设, 求.
(7) 设, 问在什么范围内时积分收敛.
2. (本题满分10分) 证明当时.
3.(本题满分12分) (1) 求函数的极值点(需指
出是极大值点还是极小值点); (2) 求曲线的渐近线.
4. (本题满分12分) 设.
(1) 证明存在使得; (2) 计算
5.(本题满分12分) (1) 计算;
(2) 计算.
6.(本题满分12分) (1) 设是正整数, 计算;
(2) 证明对任何正实数, 函数极限存在.。
高等数学微积分上C答案
任课教师：张艳芳任课教师：张艳芳 第 1 页 共 4 页 教研室主任：教研室主任：C一、 填空题（10分/2分） 1、a=12、2e3、(sin 22cos 2)x x x +4、01=+-y x 或11(0)y x -=-5、0二、 选择题（20分/2分）.1、A2、D3、B4、C5、A6、C7、B8、A9、D1010、、C三、 计算题（每小题7分，共35分）.1.1. 223lim()21x x x x +®¥++； 解: 223lim()21x x x x +®¥++2212lim()21x x x x +®¥++=+ 22lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim+¥®）---3分13221lim(1)12x x x ++®¥=++————————————————————————————————————————————55分132211lim(1)lim(1)1122x x x x x +®¥®¥=+×+++13221211lim (1)[lim(1)]1122x x x x x +®¥+®¥=++++32e 1=×e =．——————————————————————．——————————————————————77分 2.2. 202lim(sin )xxx t dtt t t dt®+òò任课教师：张艳芳任课教师：张艳芳 第 2 页 共 4 页 教研室主任：教研室主任：202002lim (sin )2lim (sin )2lim sin11xx x x x t dtt t t dtx x x x x x®®®+=+=+=òò————————————55分 ——————————————————————77分3.3. 设242arcsin x xx y -+=，求y ¢.解：22242)4(22112arcsin x x x x x x y -¢-+¢÷øöçèæ×÷øöçèæ-×+=¢ ---3分 2242)2(212112arcsin x x x x x --+÷øöçèæ×÷øöçèæ-×+= ---5分 22442arcsin x xx xx---+=2arcsin x =.——————————————————————77分 4. 4.ò-12x x dx =211sec sec tan sec tan 1arccos dxxx x tt tdt t t dt t C Cx-=××==+=+òòò令---5分——————————————————————77分5.5. 1x e dx ò令t x =,则2,2x t dx tdt ==，当0x =时，0t =；当1x =时，1t =。
2016-2017第一学期考题答案(1)
2016-2017高数试题答案一、1. 设11ln(1)10()0x x x f x ex -+-<≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，求()f x 的间断点，并指出间断点的类型。
解 0lim ()lim ln(1)0x x f x x --→→=+= 1110lim ()lim x x x f x e e ++--→→==所以0x =为跳跃间断点； ……………………..3分 1111lim ()lim 0x x x f x e ---→→==1111lim ()lim x x x f x e++-→→==∞所以1x =为第二类间断点。
………………………….6分 2.求,a b 的值，使点（1,3）为曲线32y ax bx =+的拐点解 232,62y a x b x y a x b '''=+=+， ………………………………..3分 则 6203a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得 39,22a b =-=。
…………………….6分 3.已知两曲线()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在点(0, 0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞解 2(a r c t a n)21,(0)11x y e y x-''=⋅=+ 切线方程为 y x =， …………………………………3分2()(0)2lim ()lim 2(0)21n n f f n nf f nn→∞→∞-'=== …………………..6分 4.求定积分1解 换元tan x t =23322144sec cos tan sec sin tdt tdt t t tππππ==⋅⎰⎰ ………………………3分341sin tππ=-=…………………………………6分 或 换元1x u=11==………………….3分=…………………………..6分5. 求不定积分2x xe dx -⎰解2221122xx x xe dx e x e dx ---=-+⎰⎰ ………………..3分 221124x x e x e C --=--+。
高等数学期末考试试题及答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
高等数学上复旦大学出版习题1答案.pdf
x1
=
sin
x2
,即 A 中不同的元素
x1,
x2
有相同的
像,∴f 不是单射.
综上所述, f 为满射,但不是单射.
(3)∵∀x1, x2 ∈ A , 且 x1 ≠ x2 ,有 ex1 ≠ ex2 ,即 A 中不同的元素有不同的像,∴f 是单射.
又∵ 0 ∈ B,∀x ∈ A, ex ≠ 0 ,即 B 中的元素 0 没有原像,∴f 不是满射.
2. 设 X = {1, 2,3, 4,5, 6}, A = {1, 2,3}, B = {2, 4, 6},C = {1,3,5} ,求 A∪ B ∪ C, A ∩ B ∩C , CXA，CXA∪CXB,
CXA∩CXB.
解: A∪ B ∪ C = {1, 2,3}∪{2, 4, 6}∪{1,3,5} = X
⎨ ⎩
x
≠
0
所以函数的定义域是 (−∞, 0) ∪ (0, 4].
(2)要使函数有意义,必须
所以函数的定义域是[-3,0) ∪(0,1) . (3)要使函数有意义,必须
⎧ x+3≥0
⎧x ≥ −3
⎪⎨lg(1− x) ≠ 0
即
⎪ ⎨
x
≠
0
⎪⎩ 1− x > 0
⎪⎩ x < 1
x2 −1≠ 0 即 x ≠ ±1
(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有 A∩B=A∩C={1},但 B≠C.
4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?
(1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞), f : x ∈ A |→ y = x3 ∈ B ;
(2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1], f : x ∈ A |→ y = sin x ∈ B ;
数学分析复旦大学第四版大一期末考试
数学分析复旦大学第四版大一期末考试一、填空题（每空1分，共9分）1.函数()f x =的定义域为________________2.已知函数sin ,1()0,1x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(1)____,()____4f f π== 3.函数()sin cos f x x x =+的周期是_____4.当0x →时，函数tan sin x x -对于x 的阶数为______5.已知函数()f x 在0x x =处可导，则00011()()23lim ____h f x h f x h h→+--= 6.曲线y =在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________ 7.函数2()f x x =在区间[0,3]上的平均值为________二、判断题（每小题1.5分，共9分）1.函数()f x x =与()g x =是同一个函数。
（ ） 2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（ ）3.极限0lim x x x→不存在。
（ ） 4.函数1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩是初等函数，而1,0()0,01,0x g x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩不是初等函数。
（ ） 5.函数()sin f x x x =在区间[0,]π上满足罗尔中值定理。
（ ）6.函数()f x 在区间[,]a b 上可导，则一定连续；反之不成立。
（ ）三、计算题（64分）1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）（1）111lim(...)1223(1)n n n →∞+++⨯⨯⨯+ （2）...n →∞++ （3）4x → （4）210lim (cos )x x x →+ （5）211lim 1x t x e dt x →-⎰ 2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）（1）2()xt x f x e dt --=⎰ （2）cos ()(sin )x f x x = (3) sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩（4）由方程arctan y x=所确定的函数()y f x =。
复旦大学2012 ～2013学年《高等数学A上》第一学期期末考试试真题及答案
三、设 f tan x 1 cos2 x sec2 x ，且 f 1 4 ，求 f x 。（ 6 ）
答案： f (x) arctan(x 1) x 1 (x 1)3 3 。 3
四、设
y
sin
x 0
x
2
，
y
a0
a
1与
x
0
所围面积为
A1
，
y
sin
x 0
1
答案： 0 1时发散； 1 时收敛。
八、证明：假设 f x 在 a, b 上有连续的二阶导数，又 f a f b， f a 0, f b 0 ，那么在 a,b 内，至少有一点 ，使得 f 0 。（10 ）
证：因为 f a f b，由 Rolle 定理知，在 a,b内至少有一点1 ，使得 f 1 0 。对 f x 分别
十、设 a
1 2 ， b 1
1 1
，
c
2 0
0 0 8
，
A
abT
，
B
bT a
，求解方程 2B2 A2 X
A4 X
B4 X
c。
（10 ）
复旦大学数学科学学院 2012～2013 学年第一学期期末考试试卷
□A 卷答案
MATH120005.04
一、求下列极限：（ 6 3 ）
1． lim 1
在 a,1 和 1,b上应用 Lagrange 中值定理，有
f (2 )
f
(1 ) 1
f a
(a)
f (a) 1 a
0
，2
(a,1) ，
f (3 )
f (b) f (1) b 1
f (b) b 1
(完整版),期末高等数学(上)试题及答案,推荐文档
1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
第 7 页，共 7 页
9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )
高等数学(上)期末考试试题及答案
高等数学（上）期末考试试题一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、.______)31(lim 20=+→x x x 。
2、当k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e )(2x k x x x f x 在0=x 处连续． 3、设x x y ln +=,则______=dydx 4、曲线x e y x-=在点（0，1）处的切线方程是 5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、若函数x xx f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ） A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(cosx →x D. )2(422→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．A ．极大值点B ．极小值点C ．驻点D ．间断点4、下列无穷积分收敛的是（ ）A 、⎰+∞0sin xdx B 、dx e x ⎰+∞-02 C 、dx x ⎰+∞01 D 、dx x⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。
则AMB ∠=A 、3πB 、4πC 、2π D 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 xx x 2sin 24lim 0-+→ 。
2、求极限 )111(lim 0--→x x e x 3、求极限 2cos 102lim x dte x t x ⎰-→4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '5、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2，求22dx y d 6、求不定积分dx x x ⎰+)32sin(12 7、求不定积分 x x e x d cos ⎰8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011011)(x xx e x f x， 求 ⎰-20d )1(x x f四、 应用题（本题7分） 求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
上海市复旦大学附中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)
word格式-可编辑-感谢下载支持2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．集合{1，2，3，…，2015，2016}的子集个数为．2．已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，则∁U（A∪B）=．3．已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．4．己知集合U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，c，d}，A∩B={b}，∁U（A∪B）={f}，则集合B=．5．已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是．6．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．7．我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是．8．已知A={x|＞x}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A∩B=．9．对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且x∉Y}，②X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X），已知A={y|y=x2，x∈R}，B={y|﹣2≤y≤2}，则A△B=．10．已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B中所有元素之和为．11．非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）12．集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是．二.选择题13．已知集合A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}，则A∩B中的最大元素是（）A．2014 B．2015C．2016 D．以上答案都不对14．已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n15．命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0且y≠0B．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0或y≠0C．已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0word格式-可编辑-感谢下载支持D．已知x，y∈R，如果x≠0且y≠0，那么x2+y2≠016．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三.解答题17．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a．18．已知a，b，c∈R+，求证：2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．19．设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于．20．已知对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立或不等式mx＞0成立，求实数m的取值范围．21．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2016秋•杨浦区校级期中）集合{1，2，3，…，2015，2016}的子集个数为22016．【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；集合．【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：∵集合{1，2，3，…，2015，2016}中有2016个元素，∴集合M{1，2，3，…，2015，2016}的子集的个数为22016；故答案为：22016．【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．2．（2016秋•杨浦区校级期中）已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，则∁U（A∪B）= {x|1＜x＜2} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，所以A∪B={x|x≤1或x≥2}，所以∁U（A∪B）={x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题，是基础题目．3．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】题中条件：“A∩B≠∅，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，因为A∩B≠∅，所以a≥1故答案为：[1，+∞）【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法，考查运算能力，是基础题．4．（2016秋•杨浦区校级期中）己知集合U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，c，d}，A∩B={b}，∁U（A∪B）={f}，求集合B．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据全集U，以及A与B并集的补集确定出A与B的并集，再根据A与B的交集及A，确定出B即可．【解答】解：∵U={a，b，c，d，e，f}，∁U（A∪B）={f}，∴A∪B={a，b，c，d，e}，∵A∩B={b}；A={a，b，c，d}，∴b∈B，e∈B，b∉B，c∉B，d∉B，∴B={b，e}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．（2016秋•杨浦区校级期中）已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是B＜C＜A．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式．【分析】不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，分别求出A，B，比较即可【解答】解：∵a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，A=a1b1+a2b2=+=，B=a1b2+a2b1=+=，∵C==∴B＜C＜A故答案为：B＜C＜A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．6．（2016秋•杨浦区校级期中）已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】设直角边长为a，b，则斜边长为，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+=2，∴2≥2+，∴≤=2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S=ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键，属于中档题．7．（2016秋•杨浦区校级期中）我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；新定义；转化思想；转化法；集合．【分析】当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，由此能求出M∩N 的长度的最小值．【解答】解：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是=．故答案为：．【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．8．（2016秋•杨浦区校级期中）已知A={x|＞x}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A∩B={x|﹣3＜x＜0} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．【分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B，由此利用交集的性质能求出A∩B．【解答】解：∵A={x|＞x}={x|﹣2≤x≤1，或x＜0}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}={x|﹣3＜x＜0或x＞3}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜0}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0}．【点评】本题考查交集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用．9．（2016秋•杨浦区校级期中）对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且x∉Y}，②X△Y=（X ﹣Y）∪（Y﹣X），已知A={y|y=x2，x∈R}，B={y|﹣2≤y≤2}，则A△B=[﹣3，0）∪（3，+∞）．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】综合题；方程思想；演绎法；集合．【分析】由A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，B={y|﹣2≤y≤2}，先求出A﹣B={y|y＞2}，B﹣A={y|﹣2≤y＜0}，再求A△B的值．【解答】解：∵A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，B={y|﹣2≤y≤2}，∴A﹣B={y|y＞2}，B﹣A={y|﹣2≤y＜0}，∴A△B={y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0}，故答案为：[﹣3，0）∪（3，+∞）．【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X﹣Y={x|x ∈X且x∉Y}、X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X）．10．（2016秋•杨浦区校级期中）已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B中所有元素之和为2a．【考点】并集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】分别求出集合A、B中的元素，从而求出A、B的并集，求和即可．【解答】解：A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}={0，a，2a}，B={x||x|＜2a，x∈Z}={﹣a，0，a}，则集合A∪B={﹣a，0，a，2a}，故集合A∪B中所有元素之和是2a，故答案为：2a．【点评】本题考查了集合的运算，考查解绝对值不等式问题，是一道基础题．11．（2016秋•杨浦区校级期中）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是①④（请填写编号）【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义；集合思想；集合．【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件，若两个条件都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”．【解答】解：①对于任意非负整数a，b知道：a+b仍为非负整数，所以a⊕b∈G；取e=0，及任意非负整数a，则a+0=0+a=a，因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a，b知道：a+b仍为偶数，故有a+b∈G；但是不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e ⊕a=a，故②的G不是“融洽集”．③对于G={二次三项式}，若a、b∈G时，a，b的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G不是和谐集，故③不正确；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，设x1=a+b，x2=c+d，则设x1+x2=（a+c）+（b+d），属于集合G，取e=1，a×1=1×a=a，因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G是“融洽集”．故答案为①④．【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力，及对有关知识的掌握情况．关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件．12．（2016秋•杨浦区校级期中）集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；转化法；集合．【分析】由已知得a|x|=x+a有1个解，由此能求出常数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，集合A∩B中有且仅有一个元素，∴a|x|=x+a有1个解，若x≥0，ax=x+a，x=，若x＜0，﹣ax=x+a，x=﹣，由已知得或或或，解得﹣1≤a≤1．∴常数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查常数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．二.选择题13．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}，则A∩B中的最大元素是（）A．2014 B．2015C．2016 D．以上答案都不对【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由题意求出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}∴则A∩B中的最大元素是2014．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14．（2009•江西）已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合．【分析】要求A∩B的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析（如解法一），也可以利用德摩根定理解决（如解法二）．【解答】解法一：∵（C U A）∪（C U B）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）有n个元素，又∵全集U=A∪B中有m个元素，由card（A）+card（C U A）=card（U）得，card（A∩B）+card（C U（A∩B））=card（U）得，card（A∩B）=m﹣n，故选D．【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质及运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：①（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）②（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）③card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）等．15．（2016秋•杨浦区校级期中）命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0且y≠0B．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0或y≠0C．已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0D．已知x，y∈R，如果x≠0且y≠0，那么x2+y2≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】定义法；简易逻辑．【分析】根据已知中原命题，写出逆否命题，可得答案．【解答】解：命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是“已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0”故选：C【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．16．（2016秋•杨浦区校级期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合法；简易逻辑．【分析】逐项判断即可．①由ac=bc不能推出a=b；②由5是有理数易判断；③根据不等式的性质可得；④根据充分必要条件的定义易得．【解答】解：①由“a=b“可得ac=bc，但当ac=bc时，不能得到a=b，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当a+5是无理数时，a必为无理数，反之也成立，故②正确；③取a=1，b=﹣2，此时a2＜b2，故③错误；④当a＜4时，不能推出a＜3；当a＜3时，有a＜4成立，故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件，故④正确．综上可得正确的命题有2个．故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是关键．属于基础题．三.解答题word格式-可编辑-感谢下载支持17．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】根据A∪B=A，得到B⊆A，然后分B为空集和不是空集讨论，A为空集时，只要二次方程的判别式小于0即可，不是空集时，分别把1和2代入二次方程求解a的范围，注意求出a后需要验证．【解答】解：由A∪B=A，得B⊆A．①若B=∅，则△=（a+1）2﹣4a＜0，解得：a∈∅；②若1∈B，△=（a+1）2﹣4a=0，此时a=1，满足12﹣a﹣1+a=0，此时B={1}，符合题意；③若2∈B，则22﹣2a﹣2+a=0，解得：a=2，此时A={2，1}，满足题意．④若3∈B，则32﹣3a﹣3+a=0，解得：a=3，此时A={3，1}，满足题意．综上所述，实数a的值为：1，2，3．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了分类讨论的数学思想，求出a值后的验证是解答此题的关键，是基础题．18．（2016秋•杨浦区校级期中）已知a，b，c∈R+，求证：2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】作差，因式分解，即可得到结论．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴（a3+b3）﹣（a2b+ab2）≥0∴a3+b3≥a2b+ab2．同理b3+c3≥bc2+b2c，a3+c3≥ac2+a2c，三式相加，可得2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（2016秋•杨浦区校级期中）设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式．【分析】（1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论；（2）利用作差法，判断|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0，即可得到结论【解答】证明：（1）a2﹣=1+﹣=，∵若a1＞，∴a1﹣＞0，而1﹣＜0，∴a2＜∵若a1＜，∴a1﹣＜0，而1﹣＜0，∴a2＞，故介于a1与a2之间；word格式-可编辑-感谢下载支持（2）|a2﹣|﹣|a1﹣|=﹣|a1﹣|=|a1﹣|×，∵a1＞0，﹣2＜0，|a1﹣|＞0，∴|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0∴|a2﹣|＜|a1﹣|∴a2比a1更接近于．【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，确定差的符号是关键．20．（2016秋•杨浦区校级期中）已知对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立或不等式mx＞0成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】①对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立，对m分类讨论，m=0时，易判断出．m ≠0时，，解出即可得出．②对任意实数x，不等式mx＞0成立，m∈∅．【解答】解：①对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立，m=0时化为：﹣3x+1＞0，不成立，舍去．m≠0时，，解得．②对任意实数x，不等式mx＞0成立，m∈∅．综上可得：．∴实数m的取值范围是．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（2016秋•杨浦区校级期中）已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用；不等式．【分析】（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．（2）根据B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．【解答】解：（1）①当k＜0，A={x|}；②当k=0，A={x|x}；③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x，或x＞}；④当1≤k≤9，A={x|x＜，或x＞}；（2）B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，word格式-可编辑-感谢下载支持只有k＜0，B={2，3，4，5}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A卷
（装订线内不要答题）
1. (本题满分 42 分, 每小题 6 分) 计算下列各题:
(1) 设函数
由参数方程
,
和.
给出, 求
(2) 请确定常数 , 使得 导.
在
点可
1
(3) 计算积分
(4) 计算由
(
) 绕 轴一周所得的旋转体的体积.
kπ
1
π
0
π2(2k + 1)
= (kπ + x)(1 + cos(2x)) dx =
,
20
4
nπ
x sin2
x dx
=
n−1
π2(2k
+
1)
=
π2n2 .
0
4
4
k=0
π
π
(2) S0 = | sin t|p dt, S1 = t| sin t|p dt,
k,
0
0
(k+1)π
π
x| sin x|p dx = (kπ + x)| sin x|p dx = kπS0 + S1,
f x1
.
√ 3− 5 x1 = ln 2 ,
, x2
(2) lim (f (x) − x) = −1, lim (f (x) − x) = 0
x→−∞
x→+∞
y = x − 1, y = x.
x = 0.
f (x)
4. (1)
Rolle , f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 0
n2π2
n2π2
x
lim 0 t| sin t| dt = S0
x→+∞
x2
2π
.
3
ξ1 ∈ (1, 2), ξ2 ∈ (2, 3), ξ3 ∈ (3, 4),
f (ξi) = 0 (i = 1, 2, 3);
η1 ∈ (ξ1, ξ2), η2 ∈ (ξ2, ξ3),
f (ηi) = 0 (i = 1, 2);
ζ ∈ (η1, η2)
f (ζ) = 0.
(2)
j
(x − j) (j = 1, 2, 3, 4),
x arctan x
1√+ sin2√t dt =
√ 1 − x2
+
1 2 − cos2 t d(cos t)
x arctan x 1
2 + 1 − x2
=√
+ √ ln √ √
+ C.
1 − x2 2 2 2 − 1 − x2
6. (1)
k,
(k+1)π
π
x sin2 x dx = (kπ + x) sin2 x dx
5. (1)
dx (1 − x2)3/2
x==sin t
1
x
cos2 t
dt
=
tan t
+
C
=
√ 1 − x2
+
C
(2)
arctan x
x
1
x
dx = arctan x √
−
√
dx
(1 − x2)3/2
1 − x2
1 + x2 1 − x2
x==sin t x√arctan x − 1 − x2
sin t
(5) 设过原点的直线同曲线
相切, 求此直线的斜率。
2
(6) 设
,求 .
(7) 设
, 问 在什么范围内时积分
收
敛.
3
2. (本题满分 10 分) 证明当
时
.
3. (本题满分 12 分) (1) 求函数 出是极大值点还是极小值点); (2) 求曲线
的极值点(需指 的渐近线.
4
4. (本题满分 12 分) 设
C.
C
x2 + 4x + 42
C A
x3 + 4x2 + 42x + 43
(−x)
,
(−x)
,
1
(−x)
,
11 1 1
f (x)
=
(x
−
1)(x − 2)(x
−
3)(x
−
4)
1
2
3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 22 33 42 .
1 23 33 43
= 12(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
kπ
0
2
x = (n + α)π (0 ≤ α < 1),
1
n(n 2
−
1)πS0
+
nS1
=
nπ
t| sin t|p dt
0
≤
x
t| sin t|p dt
0
(n + 1)2π2
(n + 1)2π2
x2
≤
(n+1)π
t| sin t|p dt
0
=
1 2 n(n + 1)πS0 + (n + 1)S1 ,
dx et + 1 dx2 (et + 1)3
42
π2 (4)
(5)
3
√ 32
(6)
1 0
−1 0
4 1 (7) p < 4
2
2
−1 2 −7
2. f (x) = x arctan x − ln(1 + x2),
2x2
f (x) =
.
(1 + x2)2
f (0) = 0 x > 0
x f (x) = arctan x − 1 + x2 ,
f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)·
0
1
1
B
x+1
B
B @
x2 + x + 1
x3 + x2 + x + 1
x+2 x2 + 2x + 22 x3 + 2x2 + 22x + 23
1 x+3 x2 + 3x + 32 x3 + 3x2 + 32x + 33
1
1
x+4
.
(1) 证明存在 使得
; (2) 计算
5. (本题满分 12 分) (1) 计算
;
(2) 计算
.
5
6. (本题满分 12 分) (1) 设 是正整数, 计算
;
(2) 证明对任何正实数 , 函数极限
存
在.
6
C
(2016-2017
A)
dy
et d2y
1
π1
1. (1) =
,=
(2) a = 1, b = −1 (3) + ln 2
f (x) > 0
x>0
f (x) > 0,
f (0) = 0
x > 0 f (x) > 0.
e2x − 3ex + 1
ex(ex + 1)
3. (1) f (x) = √
(ex − 1)2 , f (x) = (ex − 1)3 .
3+ 5 x2 = ln 2 .
f (x1) < 0, f (x2) > 0