共顶点的等腰三角形与旋转 公开课课件
中考专题复习--等腰三角形中的旋转(课件)-2023-2024学年北师大版数学九年级下册+
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
J
谢谢！
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，“求真” 小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
等腰三角形中的旋转
旋转
旧知回顾：
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动 一个角度，这样的图形运动称为旋转。定点称为旋转中心。
2.旋转角：转动的角度为旋转角。一般用对应边的夹角来表示。
3.旋转不改变图形的形状和大小，属于全等变换。
如图，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°， PA=3，PC=4，求PB的长.
数.
C
P
A
B
已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC。
2.如图，点D是BC上的一点（不与B、C重合），连接AD，过点D做 BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE，若∠BAD=α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）。
共顶点的等腰直角三角形
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
2
证明方法： 延长OM 至点K，使得OM KM，连结BK
OA OB AOD KBO OD BK AOD OBK (SAS)
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
AOC BOD(SAS)
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论二（线的角度）： AC BD, AC BD(8字形)
证明方法：AOC BOD AC BDA 在APQ与BPO中 PAQ PBO, APQ BPO AQP BOP 90 即AC BD
或同理证明DQC DOC 90也可
OD BI OC
OI AD
1 2 90
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论三： 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线)
2
BMI CMO IBM OCM BI OC IBM OCM（AAS）
OM IM 1 OI 1 AD 22
结论三：过点O作ON AD与点N，延长NO交BC于点M，
则M 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线) 2
过点B作BI // OC，交OM的延长线于点I
BI // OC IBO COB 180 AOD COB 180 IBO AOD AOB 90 3 2 90 ON AD
1 3 OA OB AOD IBO AOD OBI（ASA）
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论三（角的角度）： QO平分BQC，即BQO CQO 45
证明方法：
过点O作OM BD于点M 过点O作ON AC于点N AOC BOD SAOC SBOD，AC BD OM ON 点O在BQC的角平分线上 即QO是BQC的角平分线
等腰三角形复习公开课课件
2023
PART 02
等腰三角形周长与面积计 算
REPORTING
周长计算公式
等腰三角形周长的计算公式为：周长 = 2 × 腰长 + 底边长。
若仅知道等腰三角形的一条腰长和底 边长，以及一个角度（如顶角或底 角），则需要通过三角函数计算出另 一条腰长，再套用周长公式。
在已知等腰三角形两条腰长和底边长 的情况下，可以直接套用此公式计算 周长。
工程测量应用
角度测量
等腰三角形可用于工程测量中的角度测量，通过观测和计算等腰三角形的顶角 和底角，可以推算出其他相关角度。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况下，可以利用等腰三角形的性质，通过测量 其他相关距离间接求得目标距离。
其他领域应用
航海与航空
在航海和航空领域，等腰三角形可用于定位和导航，如通过观测两个已知位置的夹 角来确定自身位置。
解析
设腰长为x，底边长为y，根据题意列 方程组求解，注意分两种情况讨论。
填空题选讲
题目一
等腰三角形的一个外角等于100°， 则它的顶角等于____。
解析
外角与相邻内角互补，故内角为 80°，若80°为顶角则不合题意， 故80°为底角，顶角为180°2×80°=20°。
题目二
已知等腰三角形的周长为21cm， 若有一边长为9cm，则其他两边 长为____。
2023
PART 03
等腰三角形在生活中的应 用
REPORTING
建筑领域应用
建筑设计
等腰三角形在建筑设计中经常出现，如尖顶建筑、拱门等，其 对称性和稳定性为建筑物增添了美感和结构强度。
结构工程
在桥梁、塔楼等建筑结构中，等腰三角形可用于构建稳定的支 撑结构，如斜拉桥的主塔和拉索构成的等腰三角形。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》课件(共28张PPT)
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
的高互相重合，简称“三线合一”
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的周长或知道一角求其它两角或证线段、 角相等。
当堂检测
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°,
则∠B =
；
（2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =3 ∠B,
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
等腰三角形的性质
性质 1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成等边对等角）
性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成三线合一）
几何语言：
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
如何证明两个三角形全等?
作BC边上的高AD 作BC边上的中线AD 作顶角的平分线 AD
归纳总结
A等腰三角形常见辅助线A NhomakorabeaA
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC 的中线AD
等腰三角形解题方法ppt课件
＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠DEA＋∠AEF ＝180°×12＝90°，∴DE⊥EF，∵EF∥BC，∴ DE⊥BC
五、构造30°的直角三角形 3．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°， 求证：AB＝2BC.
解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，又∵BD＝AD，∴∠BAD＝ x°，∴∠ADC＝x°＋x°＝2x°，∵AC＝DC，∴∠DAC＝2x°，在△ADC中，2x ＋2x＋x＝180，x＝36，∴∠BAC＝36°×3＝108°
二、分类讨论在等腰三角形中的应用
5．已知等腰△ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求△ABC的三个内角
证明：(1)∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝ ∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF (2)由(1)得△BAE≌△CAF，∴∠AFC＝∠AEB，∵∠AFM＋∠MFE＋∠AEF＝90°， ∴∠MEA＋∠AEF＋∠EFM＝90°，∴∠EMF＝90°，即BE⊥CF
度数．
①当△ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ABD ＋ ∠A ＝ 90 ° ， 又 ∵∠ABD ＝ 50 ° ， ∴ ∠ A ＝ 90 ° － 50°＝40°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－40°)＝70°， 即这个三角形的三个内角分别为40°，70°，70°； ②当△ABC为钝角三角形时，如图所示：∵BD⊥AC， ∠ DBA ＝ 50 ° ， ∴ ∠ BAC ＝ 90 ° ＋ 50 ° ＝ 140 ° ， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－140°)＝20°.即这个三角形 的三个内角分别为140°，20°，20°.综上所述，这个 三角形的三个内角分别为40°，70°，70°或140°， 20°，20°
最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT
系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2： 证明：作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
等腰三角形及其性质课件
20
等腰三角形两底角平分线相等定理证明
• 在三角形$ABD$和三角形$ACE$中，由于$\angle ABD = \angle ACE$且$\angle A = \angle A$，根据三角形的全等判 定——角角边（AAS）全等定理，得到$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
2024/1/26
等腰三角形在建筑结构中的应用
许多古代建筑和现代建筑都采用了等腰三角形的结构形式，如埃及金字塔、古希 腊神庙等。这种结构形式能够提供很好的稳定性和承重能力。
稳定性原理
等腰三角形的两条等边和对应的两个等角使得其具有很好的平衡性和稳定性。在 建筑结构中，利用等腰三角形的这一特性，可以有效地分散荷载并减小结构的变 形。
利用对称轴求未知元素
在等腰三角形中，对称轴是底边的垂直平分线。因此，可以 通过对称轴来求出未知的顶点或边长。
28
构造辅助线解决问题
2024/1/26
作底边的垂线
通过等腰三角形的顶点作底边的 垂线，可以将等腰三角形划分为 两个直角三角形，从而利用直角 三角形的性质来解决问题。
作底边的中线
通过等腰三角形的顶点作底边的 中线，可以得到一个与底边平行 且等于底边一半的线段，从而简 化问题。
非等腰三角形的性质
05
不具有等腰三角形三线合一的性质。
03
三个内角之和等于180°。
2024/1/26
06
非等腰三角形的判定：一个三角形若不满足等腰三角形的 判定条件，即为非等腰三角形。
36
THANKS
3 等腰三角形(三) 课件 公开课一等奖课件
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证形，使AB 与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或 作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的 三角形．
等腰三角形的判定定理：
几何的三种语言
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
A
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且
a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于
或等于1/5.
用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数
的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的
和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
等腰三角形性质公开课课件
等腰三角形性质公开课课件一、等腰三角形的定义•等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
•等腰三角形的两个底角（底边的两个对角）也是相等的。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2.等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线。
3.等腰三角形的高也是底边的中线。
4.等腰三角形的对角也是顶角的平分线。
三、等腰三角形的性质证明1. 等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，底边中点为 M，顶点到底边的垂直平分线为 BM。
因为 AM = CM（等腰三角形的性质），且 BM 也是 AM 的垂直平分线，所以BM = AM = CM。
又因为 BM 的定义是顶点到底边的垂直平分线，所以 BM 也是 AC 的垂直平分线。
所以，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2. 等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，中点为 M，角平分线为BK。
由于等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合（性质1），所以BH 是 AC 的垂直平分线。
又因为 BM 是 AC 的中线（三角形中线的性质），所以 BH 也是 BM 的垂直平分线。
又因为 BK 是角 B 的平分线，所以 BH 也是 BK 的垂直平分线。
综上所述，等腰三角形的高 BH 同时是 AC 的中线、角平分线和垂直平分线。
3. 等腰三角形的高也是底边的中线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，底边的中点为 M。
由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
所以，BH 是 AC 的垂直平分线，而 M 是 AC 的中点，所以 BH 也是 AM 的垂直平分线。
所以，BH 也是所有从顶点到底边的线段的垂直平分线。
又因为 BH 与 AC 重合（等腰三角形的性质），所以 BH 也是 AC 的中线。
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第18讲 等腰三角形课件
2021/12/9
第十九页，共二十三页。
变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答(jiědá)以上的变式题; (2)解答(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如 果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的
2021/12/9
第十八页，共二十三页。
(2018·绍兴(shào xīnɡ))数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
2021/12/9
第二十二页，共二十三页。
内容 总结 (nèiróng)
第18讲 等腰三角形。以学生熟悉的一副三角板为背景结合中点和垂线求线段的长度,看似简单实 则不易(bù yì),是考查能力的一道好题.。①当点C在线段OB上时,如图1,。②当点C在线段OB的延长线上时,如图2,。错误鉴定
或5
25
2
或
试真题·练易
命题(mìng tí)点 等腰三角形的性质
1.(2016·山西,15,3分)如图,已知点C为线段(xiànduàn)AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连 接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD 于点H,则HG的长为3- .5
A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
2021/12/9
第十一页，共二十三页。
共顶点的等腰三角形问题课件
边长性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的边长关系，即两腰相等，底 边与其中一腰不等。
详细描述
由于是等腰三角形，两腰的长度必然相等。而共顶点的两个 等腰三角形共享一个顶点，因此它们的边长关系也是固定的 。具体来说，两腰相等，而底边与其中一腰的长度不等。
面积性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的面积关系，即两个等腰三角形的面积之和等于以底边为基的三角形的 面积。
02
等腰三角形两腰之间的角称为顶 角，底边与两腰之间的角称为底 角。
共顶点的等腰三角形的特性
共顶点的等腰三角形是指两个或多个 等腰三角形共用一个顶点，且各等腰 三角形的腰和底边分别相等。
共顶点的等腰三角形具有轴对称性， 即沿对称轴对折后，两侧图形能够完 全重合。
共顶点的等腰三角形的分类
根据共顶点的等腰三角形的数量，可分为双共顶点的等腰三角形和多共顶点的等 腰三角形。
共顶点的等腰三角形 问题课件
目录
• 共顶点的等腰三角形的基本概念 • 共顶点的等腰三角形的性质 • 共顶点的等腰三角形的构造方法 • 共顶点的等腰三角形的应用 • 共顶点的等腰三角形的习题与解析
01
共顶点的等腰三角形的基本概念
等腰三角形的定义
01
等腰三角形是两边长度相等的三 角形，其中两个等长的边称为腰 ，另一边称为底边。
高难度习题
题目5
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F为AD上两点，且∠BEC=160°，∠BDC=5°。求 ∠EDF的度数。
题目6
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F、G为AD上三点，且∠BEC=170°，∠BDC=10° 。求∠DEFG的度数。
《等腰三角形(2)》精品课件1 公开课课件
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
复习：
等腰三角形的性质：
1、等腰三角形的两个底角相等.
A
简称：等边对等角 12
2、等腰三角形顶角的平分线,底边上的
中线底边上的高互相重合. 简称： 三线合一
B DC
3、有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称：等角对等边
探一探
在等腰三角形中作出一些线段（如角平 分线、中线、高等）.你能发现其中的一些 相等的线段吗?你能证明你的结论吗?
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
《等腰三角形的性质》优秀课件pptx
定义及特点定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
特点等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平分线；两腰相等，两底角相等。
与等边三角形关系区别等边三角形的三边都相等，三个角都是60度；而等腰三角形只有两边相等，两底角相等，顶角可以是任意角度（小于180度）。
联系等边三角形可以看作是特殊的等腰三角形，即当等腰三角形的顶角为60度时，它就变成了等边三角形。
03在建筑设计中，等腰三角形常被用于构建具有对称美的结构，如尖顶房屋、桥梁的支撑结构等。
建筑学在机械设计和制造中，等腰三角形的稳定性被广泛应用，如三脚架、起重机的支撑结构等。
工程学在解决一些实际问题时，等腰三角形可以作为数学模型，帮助我们理解和解决问题，如测量高度、计算角度等。
数学建模实际应用举例01等腰三角形定义有两边相等的三角形称为等腰三角形。
02两边相等定理内容等腰三角形的两个底角相等。
03定理证明方法通过构造中线或高，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
两角相等定理内容定理证明方法推论通过构造角平分线或中线，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
在等腰三角形中，若有一个角是60°，则这个三角形是等边三角形。
030201等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
对称性在等腰三角形中，若两条边相等，则对应的两个角也相等。
对称性推论1在等腰三角形中，若一个角是另一个角的两倍，则这个三角形是直角三角形，且直角在顶角处。
对称性推论2在等腰三角形中，若底边两端点到对称轴的距离相等，则这两个点是底边的两个三等分点。
对称性推论3对称性及其推论两条边相等根据等腰三角形的定义，若一个三角形有两条边长度相等，则该三角形为等腰三角形。
两个角相等等腰三角形的两个底角相等，因此若一个三角形有两个角相等，则可根据此性质判定该三角形为等腰三角形。
共顶点的等腰直角三角形
共顶点的等腰直角三角形哎，今天咱们聊聊一个有趣的话题，等腰直角三角形。
这听起来有点数学味道，不过别担心，我会让它变得轻松有趣，保证你听了之后也想说，“这玩意儿还真挺有意思！”想象一下，一块蛋糕被切成两半，结果发现这两半又完全相同，就像等腰直角三角形的两个直角边一样，都是一模一样的！是不是觉得挺可爱的？嘿，数学里的那些点、线、面，看似冰冷的符号，其实背后藏着不少温暖的故事呢。
说到等腰直角三角形，首先得提它那两个相等的边。
哦，想象一下，你和你的好朋友，身高一样，穿着同样的衣服，走到街上，回头率简直爆表。
可不是因为你们长得特别好看，而是那种一模一样的感觉，真让人忍不住想多看几眼。
再说，直角三角形嘛，那个90度的角就像是我们生活中的“转折点”，每次遇到问题，往往就能从这个“角度”找到新的解决办法。
嘿，谁说生活一定要直线前进？偶尔拐个弯，也许会发现更美的风景。
等腰直角三角形还有个特性，最短的边和最长的边之间的关系就像朋友之间的默契。
就拿咱们的好朋友小明和小红来说吧。
小明总是喜欢说，“小红，你这儿有点儿不对劲。
”小红呢，总是可以一眼看出小明心里的小九九。
这个直角三角形里的斜边就像是小明的那些心思，虽说藏得深，但总能被小红一眼看穿。
哈哈，数学真的是生活的缩影，处处都能找到共鸣。
再说说它的面积吧。
记得小时候，我总是和同学们一起比赛，谁能算出这个三角形的面积。
公式就是底乘高除以二，听上去简单，但做起来可得小心翼翼。
这就像我们的生活，有时候简单的道理却难以实践。
就像把生活中的小烦恼变成一大堆的困扰，搞得自己晕头转向。
没事儿，学会把问题化繁为简，运用好这等腰直角三角形的思想，就能轻松应对。
在学校里，老师总是喜欢用等腰直角三角形教我们那些抽象的知识。
嘿，那时候总觉得它是数学课上的“明星”，大家都想在课堂上表现得特别棒。
想想那种感觉，心里乐滋滋的。
可是到了现实生活中，有时我发现，等腰直角三角形的“明星”光环就没那么耀眼了。
《等腰三角形》PPT优秀教学课件4
C
B
猜想
①∠C=∠B ③CD=BD
②∠ADC=∠ADB ④∠CAD=∠BAD
⑤ AD平分∠CAB ，AD是BC边的中线， AD⊥BC （三线合一：顶角平分线，底边上的中线，底边上 的高重合）
猜想与验证
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
已知：△ABC 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F. 中，AB=AC,
作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.
∠ A ∠C， ∠B与 如图，等腰△ABC中，AB＝AC。
∴∠B=∠C（等边对等角）
C的边相交得到顶点 ．
在△ABC中， AB=AC时，
方法2：作BC边上的中垂线，与∠C 过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°， A
则∠1=__3_6_°_，∠2=__7_2_°_，图中的等腰三角形有
_△__A_B__C__△__D__B_A___△__B_C__D______. D
12
B
C
3.如图，等腰△ABC中，AB＝AC。D是AC上异于
(在 (3)△∵AABDC是中) 角，A平A、B分=A线CC时，，的任意一点，过D作DE⊥BC于E，交BA的延
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
长线于F。求证：AF＝AD。 ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
在△ABC中， AB=AC时， 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
等腰三角形的性质课件
等腰三角形的性质课件一、等腰三角形的定义等腰三角形，又称两边相等的三角形，是指一个三角形中有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，这两条相等的边被称为腰，而第三条边被称为底边。
等腰三角形具有许多独特的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
二、等腰三角形的性质1.两底角相等在等腰三角形中，两腰所对的角相等，即底角相等。
这一性质可以通过三角形的内角和定理来证明。
设等腰三角形的底角为α，顶角为β，则有：α+α+β=180°化简得：2α+β=180°由于等腰三角形的两腰相等，所以两底角也相等，即：α=α2.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为高线合一。
这一性质可以通过三角形的对称性来证明。
设等腰三角形的顶角为A，底边为BC，底边上的中点为D，则有：AD=BD=DC由于AD垂直于BC，所以AD也是BC的高线。
同时，AD平分顶角A，所以AD也是顶角的平分线。
因此，在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3.对称性等腰三角形具有轴对称性，其对称轴为底边上的中线。
将等腰三角形沿着底边上的中线折叠，两腰和两底角完全重合。
这一性质使得等腰三角形在几何作图中具有很好的应用。
4.面积公式等腰三角形的面积可以通过底边和高的长度来计算。
设等腰三角形的底边为a，高为h，则面积为：面积=1/2ah当已知等腰三角形的底边和顶角时，可以通过三角函数求出高，从而计算面积。
5.角平分线性质在等腰三角形中，角的平分线将对边按照两腰的比例分成两部分。
这一性质可以通过相似三角形的性质来证明。
设等腰三角形的顶角为A，底边为BC，角A的平分线为AD，则有：BD/DC=AB/AC由于AB=AC，所以BD=DC。
因此，在等腰三角形中，角的平分线将对边按照两腰的比例分成两部分。
三、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在几何学中有着广泛的应用，如解三角形、几何作图、计算面积等。
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【解题过程】 解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，∠DAF ＝360°－∠DAE－∠EAF＝135°， ∴ △ DAF≌△DAE ， ∴ DF ＝ DE.∵∠FCD ＝ 90° ， ∴ CD2 ＋CF2＝DF2，∴CD2＋BE2＝DE2，故以BE，CD，DE为边 的三角形是直角三角形．
第24章 圆
微专题7 共顶点的等腰三角形与旋转
1．如图，△ABC中，分别以AB，AC为 直 角 边 向 外 作 等 腰 直 角 三 角 形 ， △ ABD 和 △ACE.求证：(导学号：49854069)
(1)CD＝EB；
【解题过程】 证明：(1)∵等腰直角△ABD和△ACE，∴AD＝AB，AC ＝ AE ， ∠ ADB ＝ ∠ ABD ＝ 45°.∵∠DAB ＝ ∠ EAC ＝ 90° ， ∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴CD＝EB；
(2)CD⊥EB. 【解题过程】 证 明 ： (2) 由 △ DAC≌△BAE 得 ， ∠ ADC ＝ ∠ ABE.∵∠ADB ＝ ∠ ABD ＝ 45° ， ∴ ∠ CDB ＋ ∠ DBA ＋ ∠ABE＝90°，∴CD⊥EB.
2．如图，在四边形ABCD中，AD＝4， CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°， 求BD的长．(导学号：49854070)
∴∠BFM＝∠BAC＝∠MGC，∴∠BFM＋90°＝∠MGC ＋90°，即∠DFM＝∠MGE.∵∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠CAE＋∠AEG＝90°，∴∠BAD＝∠AEG，∴tan∠BAD ＝tan∠AEG，∴DAFF＝AGGE，即MDFG＝FGME .又∵∠DFM＝∠MGE， ∴△DFM∽△MGE游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
【解题过程】 解：将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ACE，连接 DE，易证等腰直角△ADE，∴DE＝ 2AD＝4 2，∴∠CDE＝ 90°，∴BD＝CE＝ CD2＋DE2＝ 41.
3．(2017·哈尔滨模拟)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，点D，E在直线BC上，若∠DAE＝135°，请探究：以 线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？ 并说明理由．(导学号：49854071)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
①试判断△DFM和△MGE是否满足(1)中的关系？若满 足，请说明理由；若不满足，请写出△DFM和△MGE之间 存在的一种关系，并加以说明；
②若AD＝5，AB＝6，△DFM的面积为32，求△MGE 的面积．(导学号：49854072)
【解题过程】 解：(2)① 否，△DFM 和△MGE 相似； 理由：∵△ADB 和△ACE 都是等腰三角形，且 F，G 为 AB，AC 的中点，∴∠DFB＝∠EGC＝90°. ∵点 F，M，G 分别为 AB，BC，AC 边的中点， ∴FM∥AC，MG∥AB，FM＝12AC＝AG，MG＝12AB＝AF，
②∵AD＝5，AB＝6，∴AF＝3，MG＝AF＝3， ∴在 Rt△ADF 中，DF＝ AD2－AF2＝ 52－32＝4. ∵由①知△DFM∽△MGE，且△DFM 的面积为 32， ∴SS△ △MDFGME＝MDFG2＝342＝196， ∴S△MGE＝32×196＝18.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
4．(1)如图1 ，在△ABC中，分别 以AB，AC为斜边，向△ABC外作等腰 直角三角形，直角的顶点分别为D，E， 点F，M，G分别为AB，BC，AC边的 中点．
问：△DFM和△MGE________全 等(选填“是”或“否”，不用说理)；
【解题过程】 解：(1)是；
(2) 如 图 2 ， 在 △ ABC 中 ， 分 别 以 AB，AC为底边，向△ABC外作等腰三 角形，顶角的顶点分别为D，E，且 ∠BAD＋∠CAE＝90°.点F，M，G分 别为AB，BC，AC边的中点．