lg常见数值
学案3：4.2.3 对数函数的性质与图像(一)
4.2.3对数函数的性质与图像(一)【课标要求】课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点.教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质.教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.【知识导学】知识点一对数函数的概念一般地，函数y＝log a x称为，其中是常数，>0且≠1.知识点二对数函数的图像与性质【新知拓展】1．对对数函数定义的理解同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝log a x(a>0且a≠1)才是．(1)观察图像，注意变化规律①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图像向右越靠近x轴．②左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．(2)对于对数函数图像性质的助记口诀对数增减有思路，函数图像看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降．无论函数增和减，图像都过(1,0)点．2．函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．()(2)对数函数的图像一定在y轴右侧．()(3)当0<a<1时，若x>1，则y＝log a x的函数值都大于零．()2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝(a2－4a＋4)log a x是对数函数，则a＝________.(2)对数函数f(x)＝log a x的图像过点(2,1)，则f(8)＝________.(3)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．【题型探究】题型一对数函数的概念例1已知下列函数：【规律方法】判断函数是对数函数的条件判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.【跟踪训练1】若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定题型二与对数函数有关的函数定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y＝1log2(x－1)；(2)y＝lg (x－3)；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．【规律方法】求函数的定义域应考虑的几种情况求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①1f(x)中f(x)≠0；②2nf(x)(n∈N*)中f(x)≥0；③log a f(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④log f(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．【跟踪训练2】求下列函数的定义域：(1)y＝lg x＋lg (5－3x)；(2)y＝1log0.5(4x－3).题型三对数函数的图像与性质例3(1)如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图像，则a，b，c，d,1,0的大小关系为()A．a>b>1>d>c>0B．b>a>1>c>d>0C．a>b>1>c>d>0D．b>a>1>d>c>0(2)函数y＝log a|x|＋1(0<a<1)的图像大致为()【规律方法】根据对数函数的图像判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图像相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．(1)已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图像可能是( )(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图像恒过点________．题型四 对数值的大小比较例4 比较下列各组中两个值的大小：(1)3log 45,2log 23；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log 0.20.1,0.20.1.【规律方法】比较对数值大小的常用方法(1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．(2)比较不同底数的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图像的位置关系比较大小．(3)比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量(如1,0，－1等)．(4)比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小即可．(5)比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件．例如：比较log a (b 2－b ＋1)与log a 12的大小时，要注意隐含条件：b 2－b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b －122＋34≥34>12.比较下列各组对数值的大小：题型五 解简单的对数不等式例5 解不等式：(1)log 2(2x ＋3)≥log 2(5x －6)；(2)log a (x －4)－log a (2x －1)>0(a >0且a ≠1)．【规律方法】求解简单对数不等式的一般方法解对数不等式时应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件．常见对数不等式的类型如下：log a f (x )>log a g (x )a >1,)⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0，f (x )>g (x ).log a f (x )<log a g (x )0<a <1,)⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0，f (x )>g (x ).已知f(x)＝lg (x＋1)，若0<f(1－2x)－f(x)<1，求x的取值范围．题型六与对数函数有关的单调性问题例6求函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间，并说明在每一个区间上的单调性．【规律方法】有关对数函数单调性问题的求解思路(1)特别注意要在u(x)>0所确定的定义域上来讨论复合函数f(x)＝log a u(x)的单调性．(2)对于形如f(x)＝log a u(x)(a>0且a≠1)的一类复合函数的单调性，有a>1时与函数u(x)的单调性相同，0<a<1时与函数u(x)的单调性相反．(3)求复合函数f(x)＝log a g(x)的单调区间的步骤：①求f(x)的定义域；②将函数f(x)＝log a g(x)分解成u＝g(x)，f(u)＝log a u两个函数；③在f(x)的定义域上求u的单调区间并判断f(x)的单调性；④利用同一区间上“同增(减)则f(x)增，异增减则f(x)减”得出结论．【跟踪训练6】函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是________．题型七有关对数函数的值域与最值问题例7求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；【规律方法】有关对数函数的值域的求法(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．【跟踪训练7】(1)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 (2)求函数y ＝log 2(2－x )＋log 2(x ＋2)的值域．【随堂达标】1．函数f (x )＝11－x＋lg (1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2．函数y ＝log a (x －2)＋5(a >0且a ≠1)的图像过定点( )A ．(1,0)B ．(3,1)C ．(3,5)D ．(1,5)3．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 3<x 1B ．x 1<x 3<x 2C ．x 1<x 2<x 3D ．x 3<x 2<x 15．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．【参考答案】【知识导学】知识点一 对数函数的概念对数 a a a【评价自测】1．答案 (1)√ (2)√ (3)×2．答案 (1)3 (2)3 (3)(－∞，0)【题型探究】题型一 对数函数的概念例1[解析] 对于①，真数是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且真数是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，真数是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．[答案] ③【跟踪训练1】答案 A解析 设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2.∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x .题型二 与对数函数有关的函数定义域问题例2[解] (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1且x ≠2. ∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1且x ≠2}． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4. ∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}．(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3且x ≠2}．【跟踪训练2】解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，x >0，5－3x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，∴1≤x <53.∴原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫1，53. (2)由题意得log 0.5(4x －3)>0，可得0<4x －3<1，即3<4x <4，解得34<x <1. 所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫34，1.题型三 对数函数的图像与性质例3[解析] (1)由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ，显然b >a >1>d >c >0.故选D.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A.[答案] (1)D (2)A【跟踪训练3】答案 (1)B (2)(0，－2)解析 (1)解法一：若0<a <1，则函数y ＝a x 的图像下降且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x )的图像上升且过点(－1，0)，以上图像均不符合．若a >1，则函数y ＝a x 的图像上升且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x )的图像下降且过点(－1,0)，只有B 中图像符合．解法二：首先指数函数y ＝a x 的图像只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图像只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图像符合．解法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图像关于y 轴的对称图像为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图像关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.(2)因为函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像恒过点(1,0)，则令x ＋1＝1，得x ＝0，此时y ＝log a (x ＋1)－2＝－2，所以函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图像恒过点(0，－2)． 题型四 对数值的大小比较例4[解] (1)∵3log 45＝log 4125,2log 23＝log 29＝log 481，且函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3log 45>2log 23.(2)∵0>log 0.23>log 0.24，∴1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2. (3)∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log 3π>log 33＝1. 同理，1＝log ππ>log π3，所以log 3π>log π3.(4)∵函数y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，∴log 0.20.1>log 0.20.2＝1. ∵函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，且0<0.1，∴0.20.1<0.20＝1，∴log 0.20.1>0.20.1.【跟踪训练4】解题型五 解简单的对数不等式例5[解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3≥5x －6，解得65<x ≤3.(2)原不等式化为log a (x －4)>log a (2x －1)．当a >1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －4>0，2x －1>0，x －4>2x －1，解得x ∈∅. 当0<a <1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －4>0，2x －1>0，x －4<2x －1，解得x >4.综上可知，当a >1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为{x |x >4}．【跟踪训练5】解 因为f (x )＝lg (x ＋1)，所以f (1－2x )－f (x )＝lg (2－2x )－lg (x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg (2－2x )－lg (x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10(x ＋1)，所以－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13. 所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－23，13. 题型六 与对数函数有关的单调性问题例6[解] 由8－2x －x 2>0得函数f (x )的定义域是(－4,2)，令u ＝8－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋9，可知当x ∈(－4，－1]时，u 为增函数，x ∈[－1,2)时，u 为减函数， ∵f (u )＝log 0.4u 在u >0上是减函数，∴函数f (x )＝log 0.4(8－2x －x 2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)， 且在(－4，－1]上是减函数，在[－1,2)上是增函数．【跟踪训练6】答案 [1,3)解析 函数的定义域为(－1,3)，原函数可看作由y ＝log 2t ，t ＝－x 2＋2x ＋3复合而成，其中函数y ＝log 2t 是增函数，t ＝－x 2＋2x ＋3在区间[1,3)上是减函数，所以原函数的单调递减区间为[1,3).题型七 有关对数函数的值域与最值问题例7[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R .因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u >0，所以0<u ≤4.【跟踪训练7】答案 (1)B (2)见解析解析 (1)当0<a <1时，因为y ＝a x 在[0,1]上为减函数，y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上也是减函数，所以f (x )在[0,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (1)＝a ＋log a 2，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12；同理，当a >1时，f (x )在[0,1]上为增函数，所以f (x )max ＝f (1)＝a ＋log a 2，f (x )min ＝f (0)＝1，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12，与a >1矛盾．综上，a ＝12. (2)要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋2>0，所以－2<x <2， 又y ＝log 2(2－x )＋log 2(x ＋2)＝log 2[(2－x )(x ＋2)]＝log 2(4－x 2)，x ∈(－2,2)， 令u ＝4－x 2(－2<x <2)，则当x ＝0时，u max ＝4，得u ∈(0,4]，又因为y ＝log 2u 是增函数，所以y max ＝2，即函数的值域为(－∞，2]．【随堂达标】1．答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x ≠0，解得x >－1，且x ≠1. 2．答案 C解析 ∵log a 1＝0，∴当x ＝3时，y ＝log a 1＋5＝5，即函数图像过定点(3,5)．3．答案 A解析 分别作出三个函数的大致图像和直线y ＝a ，如图所示． 由图可知，x 2<x 3<x 1.4.答案 {x |－1<x <1}解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，3－x >0，x ＋1<3－x ，解得－1<x <1. 5．解 (1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)．当a <0时，显然不可能；当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a >0时，u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)，则Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1.(2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.。
对数函数
对数与对数运算一、对数的定义一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
特别提醒：1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。
例如：10log 5简记作lg 5 ; 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。
如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
二、对数运算性质：如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：log ()log log a a a MN M N =+log log log aa a MM N N=- log log () n a a M n M n R =∈ 特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。
如[]2log (3)(5)--是存在的，但[]222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。
2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==；三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m NN a a m m N a=≠≠>>> 两个常用的推论:（1）1log log =⋅a b b a （2）1log log log =⋅⋅a c b c b a四、两个常用的恒等式：N a N a =log ， log log m n a a nb b m=()0,1,0,0a a b N ≠>>>类型一 指数式与对数式的相互转化例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x ＝127； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝64；(3)5－12 ＝15； (4)log 24＝4；(5)lg0.001＝－3;(6)log2－1(2＋1)＝－1.解析：(1)log 3127＝x .(2) log 14 64＝x .(3)log 515＝－12.(4)(2)4＝4.(5)10－3＝0.001.(6)(2－1)－1＝2＋1.练习1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)e 0＝1；(2)(2＋3)－1＝2－3；(3)log 327＝3；(4)log 0.10.001＝3. 答案：(1)ln1＝0.(2)log (2＋3)(2－3)＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.练习2：将下列对数式与指数式进行互化．(1)2－4＝116；(2)53＝125；(3)lg a ＝2；(4)log 232＝5.答案：(1)log 2116＝－4. (2)log 5125＝3. (3)102＝a . (4)25＝32. 类型二 对数基本性质的应用 例2：求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1；解析：(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝1，∴x ＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.练习1：已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值．80 练习2：已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝__10____. 类型三 对数的运算法则例3：计算(1)log a 2＋log a 12(a >0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25；解析：(1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0.(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2.(3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2. 练习1：计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值．4练习2：计算：2log 510＋log 50.25的值为____2____． 类型四 带有附加条件的对数式的运算例4：lg2＝a ，lg3＝b ，试用a 、b 表示lg108，lg1825. 解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a ＋3b .lg 1825＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg 10222＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a ＋2b －2.练习1：已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lg 45.0.8266 练习2：若lg x －lg y ＝a ，则lg(x 2)3－lg(y2)3等于( D )A ．a 2B ．aC ．3a2 D ．3a 类型五 应用换底公式求值例5: 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278.解析：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg9lg8·lg8lg27＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－2lg33lg3＝1－23＝13.练习1: 计算(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．13 练习2: log 89·log 32的值为( A )A ．23B ．1C ．32 D ．2 类型六 应用换底公式化简例6: 已知log 89＝a ，log 25＝b ，用a 、b 表示lg3.解析：∵log 89＝lg9lg8＝2lg33lg2＝a ，①又∵log 25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝b ，②由①②消去lg2可得：lg3＝3a2 1＋b.练习1:已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 1456＝( A )A ．ab ＋3ab ＋1 B ．a b ＋3 ab ＋1 C ．b ＋3ab ＋1 D ．ab －3ab ＋1练习2: 已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg5用p 、q 表示为( B )A ．pqB ．q p ＋qC ．1＋pq p ＋q D ．pq1＋pq1、使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( B )A ．0＜a ＜12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜122、已知x 、y 为正实数，则下列各式正确的是( A )A ．2lg x ＋lg y 2＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2(lg x ·lg y )＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y3、若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( A )A ．2a ＋b 1－a ＋bB ．2a ＋b1＋a ＋bC ．a ＋2b 1－a ＋bD ．a ＋2b1＋a ＋b4、．log 52·log 425等于( C )A ．－1B ．12 C ．1D ．2 5、化简log 1a b －log a 1b 的值为( A )A ．0B ．1C ．2log a bD ．－2log a b1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( C )A ．13B ．123 C ．122D ．1332．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为( B )A ．log 310B ．lg3C ．103D ．310 3．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( C )A ．x ＝a ＋3b －cB ．x ＝3ab5cC ．x ＝ab 3c 5D ．x ＝a ＋b 3－c 34．方程2log 3x ＝14的解是( C )A ．33 B ．3 C ．19D ．95．e ln3－e －ln2等于( C )A ．1B ．2C ．52D ．36．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝_____-3___. 7．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝___2－3_____. 8．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝____2＋a ____. 9. (1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n 的值；12. (2)设x ＝log 23，求22x ＋2－2x ＋22x＋2－x 的值．103. 10. 已知log a x ＋3log x a －log x y ＝3(a ＞1)．(1)若设x ＝a t ，试用a 、t 表示y ；y ＝at 2－3t ＋3(t ≠0)．(2)若当0＜t ≤2时，y 有最小值8，求a 和x 的值．a ＝16，x ＝64.对数函数一、对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。
耳机灵敏度两种标示单位的转换－－比较哪种耳机好推的方法
⽿机灵敏度两种标⽰单位的转换－－⽐较哪种⽿机好推的⽅法第⼀篇见解：给MP3配⽿机，⼤家会⾸先问⼀声，这种⽿机⽤这个MP3播放器能不能推得动？能不能推得好？回答这个问题，我们需要知道⽿机的灵敏度指标。
它决定了这款⽿机能不能配合某⼀播放器使⽤并达到⾜够好的效果。
⼚家对⽿机的灵敏度指标有两种标⽰⽅法：1. db/mW，即它消耗1mW的功率播放出来的声⾳能达到的声压级。
2. db/Vrms@1kHz，即在频率为1kHz、电压值为1V的正弦电压作⽤下能播出的声压级。
现在的⾳乐播放器的输出都可以看成是恒压源输出，即⾳量调节参数确定的是输出电压⼤⼩，输出内阻约等于0。
输出功率等于 V*V/R 。
式中V为输出信号电压，R为⽿机阻抗。
因此，后⼀种标⽰数值 db/Vrms@1kHz 的⼤⼩直接表明了某⼀特定播放器将⾳量调到同⼀数值时，接不同⽿机时的声⾳⼤⼩。
前⼀种标⽰法则不能从单⼀的灵敏度指标看出能放出的声⾳⼤⼩，还与⽿机阻抗有关。
要⽐较⽿机好不好推，我们只要直接⽐较以 db/Vrms@1kHz 为单位标⽰的灵敏度即可。
不再需要考虑⽿机的阻抗是多⼤。
对以第⼀种⽅式db/mW标⽰的灵敏度，只要我们知道了它的阻抗值，可换算成以db/Vrms@1kHz ⽅式标⽰的灵敏度。
换算⽅法如下：对于阻抗值在1~1000欧姆范围内的⽿机，db/Vrms@1kHz 灵敏度的数值⾼于db/mW 灵敏度。
它们的差值为：10×（3－lg R) 。
式中，R为⽿机阻抗, 单位是欧姆。
lg表⽰求以10为底的常⽤对数。
对于常见的⽿机：若阻抗值是16欧，则两种标⽰灵敏度的差值为 18 db。
若阻抗值是32欧，差值为15db 。
对于其它阻抗值的⽿机，⼤家可以⽤上⾯的公式⾃⾏推算。
举例⼀：森海塞尔CX300与漫步者H260，H230哪⼀个最好推？CX300阻抗16欧，灵敏度112 db/Vrms@1kHzH260阻抗17欧，灵敏度是96db/mWH230阻抗32欧，灵敏度是98db/mW将它们都折算成 db/Vrms@1kHz的灵敏度值，H260是114 , H230是113 。
第二节 对数与对数函数(知识梳理)
第二节对数与对数函数复习目标学法指导1.对数与对数运算(1)对数的概念.(2)常用对数与自然对数.(3)对数的运算性质.(4)对数的换底公式.2.对数函数及其性质(1)对数函数的概念.(2)对数函数的图象.(3)对数函数的性质.(4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数.2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序.3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想.4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则.一、对数如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数底数的限制a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:a x=N⇔log a N=x负数和零没有对数1的对数是零,log a1=0底数的对数是1,log a a=1对数恒等式:log a Na=Nlog a(M·N)=log a M+log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0log a MN=log a M-log a Nlog a M n=nlog a M(n∈R)公式:log a b=loglogccba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)推广:logam b n=n m log a b(a>0且a≠1,b>0);log a b=1logba(a>0且a≠1;b>0且b≠1)1.法则理解应用法则log a M+log a N=log a(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解.2.与换底公式有关的结论log a b·log b c·log c d=log a d.二、对数函数1.对数函数的概念、图象与性质概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数底数a>1 0<a<1图象定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即x=1时,y=0性质在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数2.指数函数与对数函数的关系指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.概念理解(1)对数函数的定义是形式定义,其解析式的特征为①系数为1;②次数为1;③底数a>0且a≠1;④真数只能是自变量x.(2)对数函数解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标,即可确定一个对数函数.2.与对数函数图象相关的知识点(1)如图是对数函数①y=log a x;②y=log b x;③y=log c x;④y=log d x的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是0<a<b<1<c<d.(2)对数函数图象之间的位置关系:在第一象限,图象从左到右,底数由小到大;(3)对数函数图象以y轴为渐近线,进行图象变换时,渐近线也应随之变换;(4)底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称;(5)画对数函数图象应抓住三个关键点:(1a,-1),(1,0),(a,1).3.与对数函数性质的应用相关联的知识(1)对数类函数的问题求解时要树立定义域优先的意识;(2)比较幂、对数大小的常用方法①单调性法:构造函数,利用其单调性;②中间量法:通过与特殊值比较大小判定结论,常见的有a0=1,log a1=0,log a a=1;③数形结合法.1.函数12log x( D )(A){x|x>0} (B){x|x≥1}(C){x|x≤1} (D){x|0<x≤1}解析:要使得函数12log x12log0,0,xx≥⎧⎪⎨⎪>⎩所以0<x≤1,因此可知函数的定义域为{x|0<x≤1}.选D.2.(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( A )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)b<c<a (D)c<a<b解析:因为y=log5x是增函数,所以a=log52<log因为y=log0.5x是减函数,所以b=log0.50.2>log0.50.5=1.因为y=0.5x是减函数,所以0.5=0.51<c=0.50.2<0.50=1,即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.3.函数y=log a(3x-2)(a>0,且a≠1)的图象经过定点A,则A点坐标是( C )(A)(0,23) (B)(23,0)(C)(1,0) (D)(0,1)解析:当3x-2=1,即x=1时,y=log a1=0,故定点A为(1,0).4.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知2a=3,3b=4,则ab= .解析:因为2a =3,3b =4, 所以a=log 23,b=log 34,所以ab=log 23·log 34=ln3ln 2×ln 4ln3=ln 4ln 2=2. 答案:25.已知定义域为R 的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,若f(1)<f(lg x),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为f(x)是偶函数,并且在区间[0,+∞)上是增函数, 所以f(x)在区间(-∞,0]上是减函数, 所以由f(1)<f(lg x)得|lg x|>1, 所以lg x>1或lg x<-1,所以x>10或0<x<110.所以实数x 的取值范围为{x|x>10或0<x<110}. 答案:{x|x>10或0<x<110}考点一 对数的基本运算[例1] (1)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n ; (2)计算26666(1log3)log 2log 18log 4-+⋅;(3)计算(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解:(1)法一 因为log a 2=m,log a 3=n, 所以a m =2,a n =3,所以a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12. 法二 因为log a 2=m,log a 3=n,所以a 2m+n =(a m )2·a n =(log 2a a)2·log 3a a=22×3=12.(2)原式=266666612log 3log 3log log (63)3log 4-++⋅⨯（）=26666612log3log 3(1log 3)(1log 3)log 4-++-+（）=22666612log 3log 31(log 3)log 4-++-（）=6621log 32log 2-（） =666log 6log 3log 2- =66log 2log 2=1. (3)原式=(lg 2lg3+lg 2lg9)·(lg3lg 4+lg3lg8) =(lg 2lg3+lg 22lg 3)·(lg 32lg 2+lg 33lg 2) =3lg 22lg 3·5lg 36lg 2=54. 在对数运算中, 要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.1.(1)计算log 22的值是 ;(2)计算lg 4+lg 50-lg 2的值是 . 解析:(1)log 2=log 2=log 2 122-=-12. (2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4×50÷2)=lg 100=2. 答案:(1)-12(2)2 2.(2019·杭州市期末检测)设a=log 23,b=log 38,则2a = ;ab= .解析:由a=log 23得2a =3,ab=log 23×log 38=ln3ln 2×ln8ln 3=3ln 2ln 2=3ln 2ln 2=3. 答案:3 3考点二 对数函数的图象及应用[例2] (1)已知函数y=log a (x+b)(a,b 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )(A)a>1,b>1 (B)a>1,0<b<1 (C)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1(2)设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( ) (A)x 1x 2<0 (B)x 1x 2=0 (C)x 1x 2>1 (D)0<x 1x 2<1解析:(1)函数y=log a (x+b)递减,所以0<a<1.同时log (1)0,log 0aa b b +<⎧⎨>⎩⇒11,01,b b +>⎧⎨<<⎩⇒0<b<1,故选D. (2)作出y=10x ,与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x 1<0,x 2<0.不妨设x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以110x=lg(-x1),210x=-lg(-x2),此时110x<210x,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2018·绍兴市柯桥区二模)若log a2<log b2<0,则( B )(A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1(C)a>b>1 (D)b>a>1解析:log a2<log b2<0,所以a,b都小于1,log a2<log b2⇒lg2lg a <lg2lg b⇒lga>lg b⇒a>b,综上0<b<a<1.故选B.2.(2019·温州适应性测试)已知实数a>0,b>0,a≠1,且满足lna 则下列判断正确的是( C )(A)a>b (B)a<b(C)log a b>1 (D)log a b<1解析:由ln b=a =a-a得ln b-a+a=0,设f(x)=ln x-x+x(x>0),则f′(x)=1x -2x-2x x=2(1)2xx x--,则函数f(x)=ln x-x+x在(0,+∞)上单调递减, 且f(1)=0,所以当0<x<1时,ln x-x+x >0,即ln x>x-x;当x>1时,ln x-x+x <0,即ln x<x-x,在平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=x-x的图象如图所示,由图易得若ln b=a =a-a,则0<b<a<1或1<a<b,A,B错误;当a>1时,1<a<b,函数y=log a x为增函数,则log a b>log a a=1,当0<a<1时,0<b<a<1,函数y=log a x为减函数,则log a b>log a a=1,C正确,D错误,故选C.考点三对数函数的性质及应用[例3] 已知函数f(x)=12log(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.解:(1)由f(-1)=-3,得12log(4+2a)=-3.所以4+2a=8,所以a=2.这时f(x)= 12log (x 2-4x+3),由x 2-4x+3>0, 得x>3或x<1,故函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令g(x)=x 2-4x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增.又y=12log x 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1), 单调递减区间是(3,+∞).(2)不存在满足题意的实数a,理由:令h(x)=x 2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上为增函数,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0.因此2,(2)0,a h ≥⎧⎨>⎩即2,740,a a ≥⎧⎨->⎩a 无解.所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上为增函数.(1)利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的. (2)利用对数性质比较大小的解题策略①能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断.②既不同底数,又不同真数的对数值,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较.③底数不同,真数相同的对数值,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.1.(2018·江苏卷)函数2log 1x -的定义域为 .解析:由20,log 10x x >⎧⎨-≥⎩解得x ≥2,所以函数2log 1x -{x|x≥2}. 答案:{x|x ≥2} 2.函数f(x)=log x log 2(4x)的最小值为 ,此时x 的值是 . 解析:f(x)=log x log 2(4x)=12log 2x ·(2+log 2x),可令log 2x=t,t ∈R,则y=12t ·(2+t)=12t 2+t, 当t=-1时,函数取到最小值为-12, 此时x=12. 答案:-1212考点四 易错辨析[例4] (2018·天津卷)已知a=log 2e,b=ln 2,c=121log 3,则a,b,c 的大小关系为( )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b 解析:c=121log 3=log 23>log 2e=a>1,即c>a.又b=ln 2=21log e<1<log 2e=a,即a>b. 所以c>a>b.故选D.(1)由于a 与c 既不同“底”又不同“真”,所以无法直接比较大小,造成思维受阻;(2)在利用对数函数的单调性比较大小时因函数的单调性判断错误而致误.1.已知a=2log 3.45,b=4log 3.65,c=3log 0.315（）,则( C )(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b解析:c=3log 0.315（）=3log 0.35 =310log 35.法一 在同一坐标系中分别作出函数y=log 2x,y=log 3x,y=log 4x 的大致图象,如图所示.由图象知,log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x 为增函数. 所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.法二 因为103<3.4, 所以log 3103<log 33.4<log 23.4. 因为log 43.6<log 44=1,log 3103>log 33=1,所以log 43.6<log 3103.所以log 23.4>log 3103>log 43.6. 由于y=5x为增函数.所以2log 3.45>310log 35>4log 3.65.即2log 3.45>3log 0.315（）>4log 3.65,故a>c>b.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( B ) (A)a+b<ab<0 (B)ab<a+b<0 (C)a+b<0<ab (D)ab<0<a+b 解析:因为a=log 0.20.3>log 0.21=0, b=log 20.3<log 21=0,所以ab<0.因为a b ab +=1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,所以0<a b ab +<1,所以ab<a+b<0.故选B.类型一 对数的基本运算 1.已知x,y 为正实数,则( D ) (A)2lg x+lg y =2lg x +2lg y (B)2lg(x+y)=2lg x ·2lg y (C)2lg x ·lg y =2lg x +2lg y (D)2lg(xy)=2lg x ·2lg y 解析:2lg x+lg y =2lg x ·2lg y ,选项A 错; 2lg x ·2lg y =2lg x+lg y =2lg(xy),选项B 错; 令x=10,y=10,则2lg x ·lg y =2, 2lg x +2lg y =4,选项C 错.故选D.2.已知函数f(x)=123e 1,2,1log ,2,3x x x x -⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩则f(x)的零点为( A )(A)1,2 (B)1,-2 (C)2,-2 (D)1,2,-2解析:当x<2时,令f(x)=e x-1-1=0, 即e x-1=1,解得x=1满足x<2; 当x ≥2时,令f(x)=log 3213x -=0, 则213x -=1,即x 2=4,得x=-2(舍)或x=2.因此,函数y=f(x)的零点为1,2,故选A.3.已知函数f(x)= 311log (3),2,3,2,x x x x -+-<⎧⎪⎨≥⎪⎩则f(-6)+f(log 312)= ,满足f(x)>3的x 的取值范围是 . 解析:f(-6)=1+log 39=3, 因为log 312>log 39=2, 所以f(log 312)=4; 则f(-6)+f(log 312)=7;当x<2时,1+log 3(3-x)>3,解得x<-6, 当x ≥2时,3x-1>3,解得x>2,所以f(x)>3的x 的取值范围为(-∞,-6)∪(2,+∞). 答案:7 (-∞,-6)∪(2,+∞) 类型二 对数函数的图象及应用4.函数y=2log 4(1-x)的图象大致是( C )解析:函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B; 函数y=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.故选C.5.(2019·嘉兴市、丽水市、衢州市高三模拟测试)函数y=ln(x+21x+)·cos 2x的图象可能是( D)解析:设f(x)=y=ln(x+21x+)·cos 2x,则易得函数的定义域为R,且f(-x)=ln[-x+2()1x-+]·cos 2(-x)=ln[2()1x x+-+]·cos2x=-ln(x+21x+)·cos 2x=-f(x),所以函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x为奇函数,则函数图象关于原点中心对称,排除A,B;f′(x)=22111xx x++++·cos 2x-2ln(x+21x+)·sin 2x=21x+·cos2x-2ln(x+21x+)·sin 2x,f′(0)=1,即函数f(x)=ln(x+21x+)·cos 2x在原点处的切线的斜率为1,不为0,排除C,故选D.6.若不等式(x-1)2<log a x在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围是.解析:设f 1(x)=(x-1)2,f 2(x)=log a x,要使当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2<log a x 恒成立,只需f 1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方. 当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图所示,要使x ∈(1,2)时,f 1(x)=(x-1)2的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2-1)2≤log a 2,即log a 2≥1.所以1<a ≤2,即实数a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]7.已知x 1,x 2,x 3分别为方程2x =12log x, 1()2x=log 2x, 1()2x=12log x 的根,则x 1,x 2,x 3的大小关系是 (从小到大排列).解析:作出y=2x ,y=12log x,y=1()2x,y=log 2x 的大致图象,由图象知x 1<x 3<x 2.答案:x 1<x 3<x 2类型三 对数函数的性质及应用 8.(2019·浙江省教育绿色评估联盟)已知a=121()3 ,b=32,c=121log 3,则( C )(A)a>b>c (B)c>a>b(C)a>c>b (D)c>b>a 解析:因为a=121()3-,b=32,c=121log 3=log 23,则a>b,又322<3,则log2322=32<log 23,即b<c;构造函数f(x)=log 2则f ′(x)=1ln 2x 因此函数f(x)在区间(0,4(e2log )2)上单调递增,在区间 (4(e 2log )2,+∞)上单调递减,由f(4)=0,知f(3)<0,即 a>c,故选C.9.函数f(x)=12log (x 2-4x)的单调递减区间是 ;单调递增区间是 .解析:由x 2-4x>0,解得x>4或x<0,即函数定义域为(-∞,0)∪(4,+∞),根据复合函数的单调性知f(x)= 12log (x 2-4x)的单调递减区间是(4,+∞),单调递增区间是(-∞,0). 答案:(4,+∞) (-∞,0) 10.关于函数f(x)=lg 21xx+ (x ≠0),有下列结论: ①其图象关于y 轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:因为函数f(-x)=lg 2()1x x -+-=lg 21x x+=f(x),所以函数为偶函数,即图象关于y 轴对称,故①正确.因函数y=x+1x 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=|x|+1x在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1)和(0,1)上是减函数,故②错,④正确.因为21x x +=|x|+1x≥=2,所以f(x)≥lg 2,即最小值为lg 2,故③正确. 答案:①③④11.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f(13)=0,则不等式f(18log x)>0的解集为 . 解析:因为函数f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(|x|),所以f 18log x)>0⇔f(|18log x|)>f(13). 因为f(x)在[0,+∞)上为增函数, 所以|18log x|>13, 即18log x<-13或18log x>13. 因为18log x=-log 8x=-13log 2x, 所以不等式可转化为log 2x>1或log 2x<-1, 所以x>2或0<x<12. 答案:(0,12)∪(2,+∞) 类型四 易错易误辨析12.若log a 43<2,则a 的取值范围是( D ))(C)(0,1)∪) (D)(0,1)∪,+∞)解析:log a 43<2等价于log a 43<log a a 2,201,43a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩或21,4,3a a >⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得0<a<1或故选D.13.已知函数f(x)=|ln(x-1)|,满足f(a)>f(4-a),则实数a 的取值范围是( A ) (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(1,3) (D)(2,4)解析:函数f(x)=|ln(x-1)|的定义域为(1,+∞),由f(a)>f(4-a)可得|ln(a-1)|>|ln(4-a-1)|=|ln(3-a)|,两边平方得 [ln(a-1)]2>[ln(3-a)]2⇔[ln(a-1)-ln(3-a)][ln(a-1)+ln(3-a)]>0,则ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩① 或ln(1)ln(3)0,ln(1)ln(3)0,10,30,a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩② 解①得a 无解,解②得1<a<2, 所以实数a 的取值范围是(1,2), 故选A.。
高中数学第四章4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册
4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算． 教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③l g 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．题型二 对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3，即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 答案：D 二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式， 得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4 三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.证明：设2x ＝3y ＝6z＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y.。
1～10lg常用对数表
1～10lg常用对数表以下是1～10的常用对数表：
1的常用对数是0。
2的常用对数是0.301。
3的常用对数是0.477。
4的常用对数是0.602。
5的常用对数是0.699。
6的常用对数是0.778。
7的常用对数是0.845。
8的常用对数是0.903。
9的常用对数是0.954。
10的常用对数是1。
常用对数是以10为底的对数，它在数学和科学中经常使用。
常
用对数的定义是，对于正实数x，它的常用对数是以10为底的对数，即log10(x)。
常用对数表可以帮助我们快速计算一个数的对数值，
从而简化复杂的计算过程。
需要注意的是，对于负数或零，常用对数是没有定义的。
常用
对数表中只包含了1～10之间的数的对数值。
如果你需要计算其他
数的对数，可以使用对数运算法则来进行计算。
希望这个常用对数表对你有所帮助！如果你有其他问题，请随
时提问。
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件 理
D．①②④
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第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2， 即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
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第十四页，共四十五页。
2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
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2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
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「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
23
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对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典 例 导 引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
对数函数知识点
对数函数一、课程标准1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。
2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。
3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。
二、基础知识回顾1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质2、反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32 B . ⎝⎛⎦⎤－∞，32C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞13、函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞4、（2019秋•菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________．6、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．四、例题选讲考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b（3）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)变式1、(1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为 ；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 13x ，x >0，则不等式f (x )>1的解集为 ；(3)若函数f (x )＝2(3)log a -(ax ＋4)在[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ． 变式2、已知是偶函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二 对数函数的图像及其应用例2（1） [2019·潍坊一模]若函数f(x)＝a x －a －x (a>0且a≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图像可以是(D )A B C D（2）已知f(x)＝|lg x|，若1c >a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 ． 变式1、(1)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)变式2、关于函数()||2||f x ln x =-下列描述正确的有( ) A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点方法总结： (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考点三 对数函数的综合及应用 例3、已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．变式1、 在函数f(x)＝12log (x 2－2ax ＋3)中．(1)若其在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (2)若其在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．变式2、已知f(x)＝lg 1－mxx －1是奇函数． (1)求m 的值及函数f(x)的定义域；(2)根据(1)的结果判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．五、优化提升与真题演练1、已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C．偶函数，且在(0,10)是减函数D．奇函数，且在(0,10)是减函数2、已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是( )A．B．C．D．3、【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1og a（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．4、(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则()A．f(x)在(2，6)上单调递增B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2C．f(x)在(2，6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称5、(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝log b x的图象如图，则下列关系不正确的是()A ．k ＜0，0＜b ＜1B ．k ＞0，b ＞1C ．f ⎝⎛⎭⎫1x g (1)＞0(x ＞0)D ．x ＞1时，f (x )－g (x )＞06、(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )7、【2018年江苏05】函数f （x ）的定义域为 ．8、函数()211log 1axf x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________． 9、已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 参考答案1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32 B . ⎝⎛⎦⎤－∞，32C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞【答案】B【解析】 由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]，得所求函数值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B .2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1C . a ＞b ＞1D . b ＞a ＞1 【答案】B【解析】(方法1)由log a 2＜log b 2＜0，得 0＜a 、b ＜1，且1log 2a <1log 2b ，即log 2b －log 2a log 2a·log 2b <0. 又log 2a ＜0，log 2b ＜0，得log 2a·log 2b ＞0， 从而log 2b －log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a. 又函数y ＝log 2x 是增函数，从而b ＜a.故选B .(方法2)在同一直角坐标系xOy 中作出满足条件的函数 y ＝log a x 与y ＝log b x 的图像，如图所示．B 正确，故选B .3、函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
最经典总结-对数与对数函数
(3)底数不同，真数相同的对数值，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行．
解简单的对数不等式
先利用对数的运算性质化为同底的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解
求解对数型函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质
[答案]C
考向三 简单的对数不等式的解法
3．若f(x)＝lgx，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)＞g(1)时，x的取值范围是______．
[解析]当g(lgx)＞g(1)时，f(|lgx|)＞f(1)，由f(x)为增函数得|lgx|＞1，从而lgx＞1或lgx＜－1，解得0＜x＜ 或x＞10.
[答案]D
8．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()
A．[1,2)B．[1,2]
C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)
[解析]令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有 即 解得1≤a＜2，即a∈[1,2)．
[解析]∵2a＝5b＝m＞0，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝ .
[答案]
题型二 对数函数的图象及应用(重点保分题，共同探讨)
(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()
第5讲 对数与对数函数
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常见题型
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
4.3.1 对数的概念
∴4x＝4，x＝16.
(2)求下列各式中x的值：
①log27x＝－23；
解 ∵log27x＝－23，
∴
x
2
27 3
(33
)
2 3
＝3－2＝19.
②logx16＝－4.
解 ∵logx16＝－4， ∴x－4＝16，即 x4＝116＝124， ∴x＝12.
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； 解 ∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5.
反思
感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指
数幂的运算性质求解.
跟踪训练2 (1)计算log927；log4 3 81 的值；
解 设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，
∴2x＝3，x＝32.
x
x
设 x log 4 3 81，则 4 3 ＝81, 34 ＝34，
3 随堂演练
PART THREE
1.将13－2＝9 写成对数式，正确的是
A.log913＝－2
C. log1 (2)＝9
3
√B. log1 9 ＝－2
3
D.log9(－2)＝13
解析 根据对数的定义，得 log1 9 ＝－2，故选B.
3
12345
2.若logax＝1，则
A.x＝1
B.a＝1
√C.x＝a
PART TWO
一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14； 解 log214＝－2. (2)102＝100；
解 log10100＝2，即lg 100＝2.
VFP常用函数说明
VFP常用函数说明1、数学函数ABS(<数值表达式>）绝对值，|x|CEILING（<数值表达式>） >=自变量的最小整数FLOOR（<数值表达式>） <=自变量的最大整数INT（<数值表达式>）取整（舍尾）自变量EXP（<数值表达式>）对基E的幂，e=2.71828LOG（<数值表达式>）自变量的自然对数，ln xLOG10（<数值表达式>）自变量的普通对数，lg xMAX（<表达式1>，<表达式2>）两个值的最大值MIN（<表达式1>，<表达式2>）两个值的最小值MOD（<数值表达式1>，<数值表达式2>）求余数RAND（[<数值表达式1>]）返回伪随机数ROUND（<数值表达式1>，<数值表达式2>）四舍五入第一个自变量SIGN（<数值表达式>）自变量的符号 1,0,-1SQRT（<数值表达式>）平方根（正根）PI() 圆周率2、字符串操作函数&<内存变量> 用于代替内存变量内容LEN（<字符串表达式>）返回字符串表达式的字符个数SPACE（<数值表达式>）生成空格LOWER（<字符串表达式>）将字符串字母转换成小写字母UPPER（<字符串表达式>）将字符串字母转换成大写字母LEFT（<字符串表达式>，<数值表达式n>）取字符串左边部分字符，n为返回的字符个数SUBSTR（<字符串表达式>，<数值表达式n>[，<数值表达式L>]）求子字符串，从指定的字符串表达式第n个开始，总长为L的字符串RIGHT（<字符串表达式>，<数值表达式n>）取字符串右边部分字符，n从右边截取字符个数TRIM（<字符串表达式>）删除字符串尾空格LTRIM（<字符串表达式>）删除字符串左部空格RTRIM（<字符串表达式>）删除字符串右部空格ASC（<字符串表达式>）返回字符串表达式最左边的第一个字符的ASCII码AT（<字符串表达式1>，<字符串表达式2>[，<数值表达式n>]）确定字符串表达式1在字符串表达式2中的位置，n为字符串表达式第几次出现ATC（<字符串表达式1>，<字符串表达式2>[，<数值表达式n>]）同AT，但区别大小写OCCURE（<字符串表达式>，<字符串表达式>）字串出现次数STUFF（<字符串表达式1>，<起始位置>，<长度>，<字符串表达式2> 替换部分字符串LIKE（<字符串表达式1>，<字符串表达式2> 字符串比较，可含通配符?，*CHRTRAN（<字符串表达式1>，<字符串表达式2>，<字符串表达式3>）3、日期、时间函数DATE（）查系统当前日期函数TIME（[<数值表达式>]）查系统当前时间函数DATETIME（）YEAR（<日期型表达式>|<日期时间型表达式>）由日期查年函数MONTH（<日期型表达式>|<日期时间型表达式>）从日期查月份函数DAY（<日期型表达式>|<日期时间型表达式>）从日期查当月的日函数CMONTH（<日期型表达式>|<日期时间型表达式>）由日期查月份名函数DOW（<日期型表达式>|<日期时间型表达式>[，<数值表达式>]）由日期查星期函数CDOW（<日期型表达式>|<日期时间型表达式>）从日期查星期名函数HOUR（<日期时间型表达式>）查小时MINUTE（<日期时间型表达式>）查分钟SEC（<日期时间型表达式>）查秒4、类型转换函数CHR（<数值表达式>）将数值表达式转换成字符VAL（<字符串表达式>）将数字字符串转换为数字STR（<数值表达式>[，<数值表达式L>][，<数值表达式n>）将数值转换为字符串，L为数值表达式总长，n为小数位数DTOC（<日期型表达式>|<日期时间型表达式>）日期转换为字符函数CTOD（<字符串表达式>）字符串转换为日期函数CTOT（<字符串表达式>）返回日期时间值函数TTOC（<日期时间型表达式>）返回字符值5、测试函数EMPTY(exp) 是否空值FILE（<"字符串">）测试文件是否存在DBF（[<工作区号或别名>]）检测表的文件名ISNULL（表达式）是否为NULLVARTYPE|TYPE（<表达式>）检测表达式值的数据类型，C—字符；N—数值；L—逻辑；D—日期；T—时间；G—通用；O—对象；Y—货币；X—NULL；U—未定义BOF（[<工作区号或别名>]）查表文件开始函数EOF（[<工作区号或别名>]）表文件结尾测试函数RECNO（[<工作区号或别名>]）测试当前或指定工作区表的当前记录号DELETED（[<工作区号或别名>]）记录删除测试RECCOUNT( ) 记录个数FOUND( )查找结果SELECT( ) 工作区DISKSPACE（）返回默认磁盘驱动器中可用字节数OS（）检测操作系统名称VERSION（）返回VFP版本号DBC( ) 数据库名LOCK( )加锁6、其它函数ROW（）判断光标行位置函数COL（）判断光标列位置函数INKEY（[<数值表达式>]）检测用户所击键对应的ASCII码函数，数值表达式以秒为单位等待击键的时间IIF(,,)SEEK( )TAG（）INLIST(,,)BETWEEN(,,)FSIZE( )TABLEREVERT( ) TABLEUPDATE( )。
资料分析------名词解释汇总
资料分析名词解释汇总。
◆百分数完成数占总量的百分之几=完成数÷总量×100%比去年增长百分之几=增长量÷去年量×100%◆百分点和百分数基本类似，但百分点不带百分号!◆成数相当于十分之几◆倍数例：某地最低生活保障为300元，人均收入为最低生活保障的4.6倍。
则人均收入为3 00×4.6 =1380元。
◆翻番翻一番为2倍;翻两番为4倍;依此类推，翻n番为2n倍。
1980年国民生产总值为2500亿元，到2010年要达到国民生产总值翻三番的目标，即2 500×2×3=15000亿元。
◆增长率增长率=增长量÷基期量×100%某校去年招生人数2000人，今年招生人数为2400人，则增长率为400÷2000×100%=25%◆年平均增长率(复合增长率)期望值=基期值×(1+增长率)n，其中n为相差年数某公司1999年固定资产总值4亿元，固定资产年平均增长率为20%，则其2002年固定资产总值为4×(1+20%)×3=6.912亿元。
◆增速增长速度=增长量÷基期量◆增幅增长了百分之几=增长量÷基期量增长了几个百分点=增速-基期增速增幅和增速的关系，容易混淆，意义一样表达的含义不同，增速表达速度，增幅表达大和小增长了百分之几，相对;增长了几个百分点，绝对。
◆同比：与历史同期相比较去年三月完成产值2万元，今年三月完成2.2万元，同比增长(2.2-2)÷2×100%=10%◆环比：现在统计周期和上一个统计周期相比较，包括日环比、月环比、年环比。
今年三月完成产值2万元，四月完成2.2万元，环比增长(2.2-2)÷2×100%=10%◆指数：用于衡量某种要素变化的，指标的相对量，一般假定基期为100，其他量和基期相比得出的数值。
课件2：4.2.2 对数运算法则
题型三 用已知对数表示其他对数 例 3 已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645. 【解】 方法一 因为 log189＝a，所以 9＝18a. 又 5＝18b，所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 又因为 log2×1818＝log18118×2＝1＋l1og182 ＝1＋lo1g18198＝1＋1－1log189＝2－1 a，所以原式＝a2＋ －ba.
方法归纳 (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般 来讲，对数的底越小越便于化简，如 an 为底的换为 a 为底． (2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝mn logab.
跟踪训练 2 (1)式子 log916·log881 的值为( )
方法归纳 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练 3 (1)已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________； (用 p，q 表示) (2)①已知 log147＝a,14b＝5，用 a，b 表示 log3528. ②设 3x＝4y＝36，求2x＋1y的值． 解析：(1)lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q.
1
8
3
A.18 B.18 C.3
D.8
(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于( )
5 A.6
25
9
B.12 C.4
D．以上都不对
fortran中的lg函数
Fortran中的lg函数详解本文将详细解释Fortran编程语言中的lg函数，包括函数的定义、用途和工作方式。
1. 函数定义在Fortran中，lg函数用于计算一个数的以10为底的对数。
其语法如下：result= lg(x)其中，x为要计算对数的数值，result为计算得到的结果。
2. 函数用途lg函数用于计算数的对数值，对数是数学中的一个重要概念，常用于各种科学和工程计算中。
在计算机编程中，对数函数可以用于解决各种数值计算问题，包括数值分析、优化算法、概率统计等等。
3. 函数工作方式在Fortran中，lg函数使用的是以10为底的对数计算方法。
下面将详细说明其工作方式： 1. 首先，lg函数接收一个数值x作为输入。
2. 然后，lg函数将对数的计算任务交给Fortran的数学库。
Fortran的数学库实现了对数函数的高性能计算方法，可以在多个平台上进行优化。
3. Fortran的数学库根据对数函数的定义，使用迭代或其他数值计算方法来计算x的对数值。
4. 最后，lg函数将计算得到的对数值作为结果返回给调用者。
需要注意的是，由于计算机对浮点数运算有一定的精度限制，所以对于非常小的数值或非常大的数值，lg函数的计算结果可能会不够精确。
4. 示例使用下面通过示例代码演示如何在Fortran中使用lg函数：program lg_exampleimplicit nonereal :: xreal :: resultprint*, "请输入一个正数："read*, xresult= lg(x)print*, "数", x, "的以10为底的对数为：", resultend program lg_example在上面的示例代码中，我们首先通过read*语句从用户输入中获取一个正数x，然后调用lg函数计算x的对数值，并将结果存储在result变量中。
lg25计算修约规则
lg25计算修约规则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：LG25计算修约规则是指计算机科学领域中常见的一种修约规则，用于对计算结果进行修约，以保证结果的准确性和可靠性。
修约是指对计算结果中的数字进行舍入、截断等操作，使其符合一定的标准或精度要求。
在计算机编程中，修约规则是十分重要的，可以避免由于计算精度不足而引起的误差，同时还可以提高计算的效率和准确性。
LG25计算修约规则是一种常见的计算修约规则，其具体规则如下：1. 四舍五入：当小数部分等于5时，向最近的偶数靠拢。
对于0.5，修约为0；对于1.5，修约为2；对于2.5，修约为2。
2. 向零取整：将小数部分全部舍去，只保留整数部分。
对于1.9，修约为1；对于-1.9，修约为-1。
LG25计算修约规则在实际应用中具有广泛的适用性，特别适用于金融、工程等领域的计算中。
在金融领域，计算结果的精度要求非常高，使用LG25计算修约规则可以保证计算结果的准确性；在工程领域，计算结果通常需要较高的运算效率，修约规则可以提高计算的速度和效率。
除了LG25计算修约规则，还有其他一些常见的修约规则，例如LG10和LG15修约规则。
不同的修约规则适用于不同的计算场景，选择合适的修约规则可以提高计算结果的准确性和稳定性。
LG25计算修约规则是一种常见且实用的计算修约规则，可以帮助我们在计算过程中保证结果的准确性和可靠性。
在实际应用中，我们需要根据具体的计算需求选择合适的修约规则，以确保计算结果符合预期并满足精度要求。
【以上为初始内容，后续内容待补充】第二篇示例：LG25计算修约规则指的是在计算过程中对结果进行规范化处理的方法。
这种方法主要用于减少计算误差，提高计算精度，确保计算结果的准确性。
在日常生活和科学研究中，我们经常会遇到各种需要进行精确计算的情况，而LG25计算修约规则就可以帮助我们更准确地处理这些计算问题。
LG25计算修约规则包括四个主要步骤：舍入、截断、舍入位决定和进位。
ecxel计算公式lg
ecxel计算公式lg
lg就是以10为底的对数，在excel中可以在单元格中输入“＝log( )”表示。
使用方法：
1、首先在打开的excel表格中输入一组数据，需要计算该组数据的对数数值。
2、在B1单元格中输入计算公式：=LOG(A1)。
3、点击回车即可将对应A1单元格数据的对数数值计算并显示出来。
4、如果需要批量计算数据，可以双击B1单元格右下角的绿色圆点，表格即可自动向下复制公式计算数据。
在Excel可能表示为Log(number,base)。
其中number是要取其对数的正实值；base是计算对数时所使用的底数，如果省略则以10为底。
例如，要求lg2，则在单元格中输入“＝log(2)”即可。
对数值取的log2 graphpad
对数值取的log2 graphpad
在对数是求指数的运算，比如对数值取的log2 graphpad。
对数函数的单调性由底数a与1的大小关系分为两类：
a>1，递增，a<1，递减，
log2x＜1=log2 2(2为底数，2的对数)，
所以x<2，又真数x>0，
所以0＜x＜2，
那我来说一下关于lg的计算吧。
lg表示以10为底的对数。
例如lgx=y，相当于10的y次方=x。
下面列一些关于lg的计算公式：
lgA+lgB=lg(A*B)，
lgA-lgB=lg(A/B)，
另外还有ln，表示自然对数，他以e为底。
Log2是多少？
原理：lg2=lg10^x的迭代式，x就是lg2的值。
lg是log以10为底的对数。
要明白lg的含义，首先得明白什么叫对数。
举个例子：2的3次方等于8。
反过来，求2的几次方等于8，像这样的计算就叫对数运算。
显然，刚才问题的答案为3。
所以，我们把3叫做以2为底，8的对数。
记做：log2(写在右下）8（写在右上）。
注意：负数和零无对数。
为了表示方便，把以10为底的对数记做lgx(x>0)，把以无理数e为底的对数记做lnx(x>0)。
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lg常见数值
LG常见数值
LG是一家韩国电子公司，其产品涵盖了电视、手机、家电等多个领域。
在这些产品中，有一些常见的数值，下面我们来了解一下。
1. LG电视的分辨率
LG电视的分辨率是指屏幕上像素的数量，通常用横向像素数和纵向像素数来表示。
LG电视的分辨率有720p、1080p、4K、8K等多种，其中720p是指屏幕上有1280个像素横向排列，720个像素纵向排列，总共有921600个像素。
1080p是指屏幕上有1920个像素横向排列，1080个像素纵向排列，总共有2073600个像素。
4K是指屏幕上有3840个像素横向排列，2160个像素纵向排列，总共有8294400个像素。
8K是指屏幕上有7680个像素横向排列，4320个像素纵向排列，总共有33177600个像素。
分辨率越高，屏幕显示的图像越清晰。
2. LG手机的电池容量
LG手机的电池容量是指手机电池的存储电量，通常用毫安时（mAh）来表示。
LG手机的电池容量有2000mAh、3000mAh、4000mAh等多种，容量越大，手机使用时间越长。
但是，电池容量并不是唯一影响手机使用时间的因素，还受到手机的功耗、屏幕
亮度等因素的影响。
3. LG冰箱的容积
LG冰箱的容积是指冰箱内部的可用空间，通常用升（L）来表示。
LG冰箱的容积有100L、200L、300L、400L等多种，容积越大，冰箱可以存储的食物和饮料就越多。
但是，冰箱的容积也会影响到冰箱的体积和功耗，需要根据实际需求选择合适的容积。
4. LG空调的制冷量
LG空调的制冷量是指空调的制冷能力，通常用千瓦（kW）来表示。
LG空调的制冷量有1.5kW、2.5kW、3.5kW、5kW等多种，制冷量越大，空调可以制冷的面积就越大。
但是，制冷量也会影响到空调的功耗和噪音，需要根据实际需求选择合适的制冷量。
5. LG洗衣机的转速
LG洗衣机的转速是指洗衣机甩干时的转速，通常用转/分钟（rpm）来表示。
LG洗衣机的转速有800rpm、1000rpm、1200rpm、1400rpm等多种，转速越高，洗衣机甩干的效果就越好。
但是，高速甩干也会增加洗衣机的噪音和磨损，需要根据实际需求选择合适的转速。
以上就是LG常见数值的介绍，这些数值都是影响产品性能和使用
效果的重要因素，需要根据实际需求选择合适的数值。