自动控制原理第二章

at
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：

0

2
t

● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
的代数方程； （2）动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 目的：如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，既可以得到系统的输出量表 达式，并由此对系统的性能进行分析。 建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。 分析法： 依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法 。 辨识法：给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近 系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识。 在控制系统中，数学模型有多种形式，时域中常用的有：微分方程（连续系统）、差分方 程（离散系统）及状态方程等，复数域中常用的方法有传递函数、结果图，频域中方法有频率 特性曲线等等。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图等数学模型的建立和应用，其数 学基础为拉普拉斯变换。
§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换
2.1.1 傅立叶级数 一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数f(t) 可以展开成傅立叶级数的形式：
1 f (t ) a0 (an cos nt bn sin nt ) 2 n 1
1 T a 0 2T f (t )dt T 2 2 T an 2T f (t ) cos ntdt T 2 2 T bn 2T f (t )sin ntdt T 2
t
在实际工程中，这个假设是可以做到的，因为我们可以将外作用加到系 统的开始瞬间选为t=0，而t<0的行为，即外作用施加到系统之前的行为， 可以在初始条件内考虑。
例2 3：求正弦函数 f(t) sint的拉氏变换。
解： 1 j t jt 欧拉公式： sin t (e e ) 2j F ( s) L(sin t ) sin te dt
积分 | f (t ) | dt存在
T 2 T 2
2.1.2 傅立叶变换
对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级数 的形式，引入傅立叶变换：
1 逆变换（时间函数）：（ f t）= 2
正变换(频谱函数)：（ F ）=
－
f (t )e jt dt


－
F ( )e jt d
重要概念
• • • • • 反馈概念 开环控制、闭环控制、前向通道、反馈通道 自控系统的三个基本要求 4种典型的输入信号 自控系统的分类
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 傅里叶变换与拉普拉斯变换 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型
§2.4
§2.5
控制系统的结构图与信号流图
1. 阶跃信号（Step Function）
R r (t ) R (t ) 0
r（t） R 1
t0 t0
单位阶跃 信号
时间



阶跃信号含宽频带谐波分量，产生容易。 实际中，电源的突然接通、负载的突变等均可近似看作 阶跃信号。 在时域分析中， 阶跃信号用得最为广泛。
2. 斜坡信号（Ramp Function）
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 运行结果为 : y =3e-2xsin（5x）
本章小结
1.4 自动控制系统的基本要求

基本要求的提法
典型外作用
1.4.2 典型外作用
在工程实践中，自动控制系统承受的外作用形式多种多样， 既有确定性外作用，又有随机外作用，对不同形式的外作用， 系统被控量都变化情况（即响应）各不相同，为了便于统一都 方法研究和比较控制系统的性能，通常选用几种确定性函数作 为典型外作用。 选取原则: （1）在现场及实验中容易产生 （2）系统在工程中经常遇到，并且是最不利的外作用。 （3）数学表达式简单，便于理论分析。 目前，在控制工程设计中，常用都典型外作用函数有阶跃 函数、斜坡函数、冲击函数以及正弦函数等确定性函数，此外 还有伪随机函数。
1 f (t ) t
象函数 F ( s )


s
F ( s)ds
e at f (t )
t 0
t
F ( s a)
lim sF ( s )
s
lim f (t )
lim f (t )
10 终值
11 卷积
t
lim sF ( s )
ε
R
r（t）

t
当R=1，ε→0时称为单位脉冲δ(t)
δ（t）
(t ) 0

t 0 t0
(t )
d (t ) dt
t

(t )dt 1
4. 正弦信号（Sine Function）
f (t ) K sin(t )
振幅：K
f (t )
2
但增加衰减因子后，满足 e 则： F ( ) e 1(t)e dt e
t



1(t)dt
1(t)dt

t
j t

( j )t

0
dt
1 j
令：s=σ＋jω 则得到拉普拉斯变换。
1.拉普拉斯变换
正变换：F （s）=
s n F ( s) s nr 1 f ( r ) (0)
1 [ F ( s) f ( 1) (0)] s d F ( s) ds
r 0 n 1



f (t )dt
tf (t )
3. 拉普拉斯变换基本性质（续）
基本运算 7 对s积分
8 s域平移 9 初值
原函数 f (t )
方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种不同频率的谐波可以 合成方波。
f(t) A
基波分量
一次谐波
0
t
0
t
各种不同频率的 谐波可以合成方波。 所含谐波越多，越 接近方波。低次谐 波影响顶部，高次 谐波影响跳变沿。
合成波形
三次谐波
0
t
五次谐波
0
t
狄里赫莱（Dirichlet）条件
• 周期函数能展成傅立叶级数必须满足Dirichlet 条件： （1）在一个周期内只有有限个不连续点； （2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值 （3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积， 即：
2aA |F(ω )|
dt Ae
a
a
jt
dt
2A

sin a
-a 0
a
t

3 a

2 a


a
0

a
2 a
3 a
ω
方波的频谱图
2.1.2 拉普拉斯变换
• 对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件， 但引入一衰减因子e t 后，可以满足绝对收敛的条 件。 例如：阶跃函数1(t)不满足
＋
F （s）=
－ ＋
f (t )e st dt
(双边)
0
f (t )e st dt
(单边)
1 逆变换：f (t )= 2j

j
－j
F ( s)e st ds
f (t )——原函数； F (s) ——象函数
引入 e 的目的是加快收敛速度，但是当t—-∞的时候，所起到的是反作 用，为此需假设t<0时，f(t)=0。
n=0 —— 直流分量 n=1 ——基波谐波 n=2 ——二次谐波 ：
(n 1, 2,3
)
例1： 求周期方波的傅立叶级数展开式。
0 f (t ) A 0 , , , T T t 2 4 T T t 4 4 T T t 4 2
f(t) A
st 0 0

1 1 1 ( ) 2 2 j s j s j s 2