高等数学 第九章 二重积分
大一高等数学第九章第二节二重积分的计算法.
第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(1)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系(right angle 计算二重积分)(2x y ϕ=abD)(1x y ϕ=Dba)(2x y ϕ=)(1x y ϕ=y yy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕy )(1x ϕ=)(2x y ϕ= d d ),(d )( )()(21∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ba x x ba x y y x f x x S V ϕϕyy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕx ϕ=)(1y ϕDcdcd(2x ϕ=)(1y ϕ=DX 型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D 2D 1D 在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321∫∫∫∫∫∫∫∫++=D D D D则必须分割.,X=YY=2X=1YX 2112dxdyy dy2x2xy=y=−y e2−dyey 2∵2d y=2x y =xy =xy −=1例6 改变积分 ∫d x10的次序.原式∫∫−=y dxy x f dy 101),(.解积分区域如图例xy −=222x x y −=例7 改变积分∫∫∫∫−−+xxx dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2的次序.原式∫∫−−−=12112),(yy d xy x f d y .解积分区域如图例x+ =−d x y y )二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbax x dy y x f dx d y x f ϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcy y dx y x f dy d y x f ϕϕσ［Y －型］［X －型］谢谢大家！。
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(2)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（2）
一、利用极坐标系计算二重积分
二、广义二重积分
一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates)
D α
D
o
D
α
β
f
1=+y x 1
22=+y x θ
c o n 1
+
x
1
D 2
D S S
2
D R
R
2
y
d x
+ x2+
y
D D ，
D
1
(2x 2
y≥4
D
D
1
)
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
在一元函数中有无穷限广义积分(积分区间为无穷区间)，如果二重积分的积分区域为无穷区域时该如何积分呢？
∞
),(y
1 a 2
z
z
三、小结
1.二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）
2.广义二重积分基本解法：
先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.
谢谢大家！。
高等数学-第九章 二重积分部分
b
dx
2(x) f(x,y)dy
a
1(x)
若D为Y –型区域
则 D f (x, y)dxdy
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y y2(x) D
oay1(x)b x
y x2(y) d
x1(y) c
o
x
例. 计算
sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0,
Dx
x所围成的闭区域.
1x2dx
x
dy00
1
1
yx
o D2 D1
1x
1 yx
2 3
例. 计算 I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
y4x2, y3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
高等数学-第九章 二重积分 部分
第九章 重积分 知识总结
一. 二重积分的计算 二. 三重积分的计算 三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
y
解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 :
yx
D x
D = { ( x ,y ) |0 x ,0 y x }o x
高等数学 第九章 第1节 二重积分的概念与性质(中央财经大学)
第一节 二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质),(y x f z =D求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示.刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.小平顶柱体近似代替.),(>=y x f z2、非均匀分布时平面薄板质量问题非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量, 其分 .),(y x µµ=布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D i 每小块的面积记为.i σ∆∈∀),(i i ηξ,D i 则每小块上的质量可近似地表示为≈∆i m .),(i i i σηξµ∆令,}{max 1i ni σλ∆=≤≤求和并取极限便得薄板D 的质量为ini i i σηξµλ∆=∑=→1),(lim m以上讨论的问题的共同点：定义 设,(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，，，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点， 作乘积 ， ， 并作和 ,二、二重积分的概念(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当,(yx f 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．如何划分？如何划分？D性质１∫∫±Dd y x g y x f σβα)],(),([.),(),(∫∫∫∫±=DD d y x g d y x f σβσα（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质设 、 为常数，则βα该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形设函数在闭区域 上连续,为 的面积，则在D 上至少存在一点使得性质6（二重积分中值定理）σηξσ⋅=∫∫),(),(f d y x f D啊！a谢谢大家！。
《高等数学》第九章复习要点
第九章 重积分 复习要点§1 二重积分一、二重积分的概念及性质1. 了解二重积分的定义01(,)lim (,)n i ii i D f x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰2. 知道二重积分的几何意义当(,)0f x y ≥时, (,)D f x y d σ⎰⎰表示：以区域D 为底,以曲面),(y x f 为顶的曲顶柱体的体积3. 二重积分的主要性质(1) 线性性 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([(2)可加性 若21D D D +=，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ(3) σσ=⎰⎰Dd (σ为区域D 的面积.)二、掌握二重积分的计算基本思想：化为两次单积分来计算1. 二重积分在直角坐标系下的计算在直角坐标系下 dxdy y x f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=),(),(σ(1) 当积分区域D 为x 型区域，即D 为：b x a ≤≤，)()(21x y y x y ≤≤时，二重积分可化为先y 后x 的两次积分积分 21()()(,)(,)b y x a y x D f x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(2) 当积分区域D 为y 型区域，即D 为：d y c ≤≤，)()(21y x x y x ≤≤时，二重积分可化为先x 后y 的两次积分积分21()()(,)(,)d x y c x y D f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰ 2. 二重积分在极坐标系下的计算在极坐标系下 θρρθρθρσd d f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰=)sin ,cos (),(其中θρcos =x ，θρsin =y几种常见的类型为：（1）若积分区域D 为圆域：222a y x ≤+时⎰⎰⎰⎰=aD d f d d y x f 0 2 0 )sin ,cos ( ),(ρρθρθρθσπ （2）若积分区域D 为圆域：ay y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰=θρπρρθρθρθσsin 0 0 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D（3）若积分区域D 为圆域：ax y x ≤+22)0(>a 时⎰⎰⎰⎰-=θρππρρθρθρθσcos 0 2 2 )sin ,cos ( ),(d f d d y x f D要求：会利用直角坐标或极坐标计算二重积分,会改变二重积分的积分次序，会利用二重积分求立体的体积。
高等数学 课件 PPT 第九章 重积分
若函数ρ(x,y)=常数，则薄片的质量可用公式 质量=面密度×面积 来计算.现在面密度ρ(x,y)是变化的，故不能用上述公式来求. 这时仍可采用处理曲顶柱体体积的方法来求薄片的质量.分为下列 几个步骤：
一、二重积分的概念
(1)分割将D分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小区域 的面积也用这些符号表示），第i个小块的质量记为 ΔMi(i=1,2,…,n)，则平面薄片的质量
于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-11
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例3】
计算
，D是由抛物线y2=2x与直线y=x－4所
围成的区域．
解 画出积分区域D的草图如图9-12所示．若先对x积分，
则有
一、在直角坐标系下计算二重积分
图 9-12
一、在直角坐标系下计算二重积分
若先对y积分，则需将D分为两个区域D1和D2， 于是
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例1】
试将
化为两种不同次序的累次积分，其中
D是由y=x,y=2－x和x轴所围成的区域．
解 积分区域D如图9-9所示．首先说明如何用“穿线法”
确定累次积分的上、下限．如果先积x后积y，即选择Y型积
分区域，将区域D投影到y轴，得区间［0,1］，0与1就是对y
积分的下限与上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一点y，
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质.假设 下面所出现的积分是存在的.
二、二重积分的性质
性质1
设c1,c2为常数,则
性质2
若闭区域D分为两个闭区域D1与D2，则
二、二重积分的性质
性质3
(σ为D的面积）.
性质4
第九章 重积分(二重和三重)高数课件
其中Ω 其中Ω 所围立体. 所围立体
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤ θ ≤ 2π
∴
r=R
∫∫∫Ω
3. 三重积分的计算
(1) 投影法 (“先单后重”) 先单后重” 先单后重
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
关键：正确的判断上、下曲面 关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域. 找对投影区域
2011-2012学年高等数学第二学期期 中考试说明
• 题型： 题型： 个小题）； 个小题）； 一、填空题（5个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、 填空题（ 个小题）；二 选择题（ 个小题）；三 计算题（ 个小题）；四 计算题（ 个小题）；五 个小题）； 个小题）； 计算题（ 5个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计 算与解答题（ 个小题）；六 证明题（ 个小题 个小题）； 个小题）。 算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（ 1个小题）。 • 考试时间： 考试时间： 2012年5月4日（第10周周五）下午 ：00－6：00 年 月 日 周周五） 周周五 下午4： － ： • 考试地点： 考试地点： 化学工程与工艺6班 制药工程 化学工程与工艺 班、制药工程1—2班： 24-303 班 生物工程1—2班：24-305 班 生物工程
2π
2 h
h
x
o
y
例. 计算三重积分
其中Ω 其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体. 成半圆柱体
高等数学下册复习第九章(二重积分)
1 x2 0 0
典型例题
13 把下列积分化为极坐标形式 并计算积分值 （2） dx x y dy (4) dy (x y )dx 14 利用极坐标计算下列各题
a x 2 2 0 0
a
a2 y2
2
2
0
0
(2) ln(1 x y )d ， 其中 D 是由圆周 x2y2 1 及坐标轴
(x2
y 2 )]d
y 轴上半平面部分
定理3
设 f x, y 在有界闭区域 D 上连续，若 D
关于原点对称，则
D
0 f x，y d 2 f x，y d D3
f x，-y ＝ f x，y ， x，y D f x，-y f x，y ， x，y D
第九章 二重积分
内容要点 一、二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义： 和式的极限
n
f ( i ,i ) i D f ( x , y )d lim 0
i 1
2.曲顶柱体的体积: V f ( x, y )d
D
平面薄片的密度: M ( x, y )d
将D分割, 如图. 则 2 2 xyf ( x y )d 0, D2 xd 0. D
D xd D1 xd
2
0 x3 xdx x 3 dy 1
0 4 dx x 1
2 , 5 2 . 5
所以, D x[1 yf
x 2 ( y )
D
c
c
x 2 ( y )
f ( x, y )d f ( x, y )dxdy
高等数学二重积分概念.ppt
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
O
二重积分不存在 .
D 1x
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
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二重积分存在定理: (证明略)
定理1 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在 D : 0 x 1
4 证明: 解 利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为
y 1
D
O 1x
1 2
D (sin
x2
cos
y2 ) d
D (sin
y2
cos
x2)d
1 2
D (sin
x2
cos
x2)d
D (sin
y2
cos
y2)d
D (sin x2 cos x2 )d
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
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补充题
1. 估计 I
D
d
x2
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
高等数学9-1
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D
D1
- 11 -
D2
第一节
二重积分的概念与性质
的面积， 性质４ 性质４ 若 σ 为 D 的面积，
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ .
D D
V = lim∑ f (ξk , ηk )σk
λ→0
k=1
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量
M = lim∑(ξk , ηk )σk
λ→0
k=1
-7-
n
第一节
二重积分的概念与性质
2 二重积分的定义及可积性 定义: 定义 设 f ( x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 , 上的有界函数
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
用
二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时， 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值． 负值． - 10 -
第一节
二重积分的概念与性质
二 二重积分的性质
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
（二重积分与定积分有类似的性质） 二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 性质１ 当k为常数时， 为常数时，
1≤k≤n
(ξk ,ηk ) σk
x
M = lim∑(ξk , ηk )σk
λ→0
k=1
-6-
n
第一节
二重积分的概念与性质
两个问题的共性： 两个问题的共性： 共性
第 九 章 重 积 分 及 其 应 用
高数讲义-第九章二重积分
f ( cos, sin )d d
d
2( ) f ( cos , sin )d ．
1( )
D
【典型例题】
【例 9-1】计算 xyd ，其中 D 是由直线 y 1、 x 2 及 y x 所围成的闭区域． D
解法 1：积分区域 D 可看作 X 型区域，1 x 2 ，1 y x ，故
xyd
D
2
dy
1
y2
xydx
y2
2
1
x2 2
y2
y
y2
dy
1 2
2 1
y(
y
2)2
y5
dy
1 2
y4 4
4 3
y3
2y2
y6 6
2
1
45 8
．
说明：此题若把积分区域 D 看作 X 型区域，则要用经过交点 (1, 1) 且平行于 y 轴的直线
x 1把区域 D 分成 D1 和 D2 两部分，其中
f (i ,i ) i ．
D
i1
其中 f (x, y) 叫做被积函数， f (x, y)d 叫做被积表达式， d 叫做面积元素， x 与 y 叫
n
做积分变量， D 叫做积分区域， f (i ,i ) i 叫做积分和． i1
说 明 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 有 时 也 把 面 积 元 素 d 记 作 dxdy ， 而 把 二 重 积 分 记 作
的闭区域，其中函数1( y) 、2 ( y) 在区间[c, d ]上连续．此时二重积分可化为如下二次积分
的形式： D
f (x, y)d
d c
2 ( y) 1( y)
f
(x, y)dxdy ，这个先对 x 、后对 y 的二次积分也
高等数学第九章习题课二重积分的计算
习题课二重积分的计算一、主要内容二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：①作出积分区域的草图②选择适当的坐标系③选定积分次序，定出积分限1。
关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑看图定限 —穿越法定限 和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。
先 y 后 x ，过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线穿过D 的内部从D 的下边界曲线)(1x y ϕ=穿入—内层积分的下限从上边界曲线)(2x y ϕ=穿出—内层积分的上限ⅱ。
先 x 后 yy 过任一 yy ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线定限左边界)(1y x ψ=——内层积分的下限右边界)(2y x ψ=——内层积分的上限则将D 分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分次序一般是θ后先r 过极点O 作任一极角 为 θ]),[(βαθ∈的射线从D 的边界曲线 )(1θr 穿入从 )(2θr 穿出ⅲ。
如D 须分片)(1θr ——内下限)(2θr —内上限具体可分为三种情况)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤⑵极点在D 的边界上)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤是边界在极点处的切线的极角βα,)(1θr 绝大多数情况下为0⑶极点在D 的内部)(0,20θπθr r ≤≤≤≤化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r⑴极点在D 的外部∫∫∫∫=D Ddxdy x y f dxdy y x f ),(),(——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是④若 DD 关于直线 y = x 对称。
高等数学二重积分总结
第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。
熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。
从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。
有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。
特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。
(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。
高等数学9-2'利用极坐标系计算二重积分
二重积分的性质
总结词
二重积分具有可加性、可交换性、可分解性和可积性等性质。
详细描述
二重积分具有可加性，即如果两个平面区域的边界曲线可以相加或相减，那么它们的二重积分也可以相加或相减。 二重积分还具有可交换性，即积分区域和被积函数的顺序可以交换，不影响二重积分的值。此外，二重积分还具 有可分解性和可积性等重要性质，这些性质在计算二重积分时非常有用。
ERA
二重积分的定义与几何意义
总结词
二重积分是定积分的一种扩展，用于计算二维曲面的面积。
详细描述
二重积分是高等数学中的重要概念，它表示一个函数在平面区域上的累积效果。通过二 重积分，我们可以计算平面曲线的长度、平面图形的面积以及立体的体积等。二重积分
的几何意义是二维曲面的面积，即由函数z=f(x,y)所确定的曲面的面积。
05
总结与思考
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
本章内容的总结
极坐标系的基本概念 极坐标系是二维平面上的一个坐标系，其中每个点由一个距离和一个角度确定。
极坐标系中的基本元素包括极点、极轴、极径和极角。
本章内容的总结
二重积分的极坐标形式
二重积分在极பைடு நூலகம்标系中的表示形式与直角坐标系 有所不同。
极坐标系中的二重积分可以表示为对面积的积分， 其中面积由极径和角度确定。
本章内容的总结
极坐标系中的面积元素
1
2
在极坐标系中，面积元素是极径和角度的函数。
3
掌握面积元素的计算对于理解和计算二重积分至 关重要。
本章内容的总结
二重积分的计算方法
利用极坐标系计算二重积分的基本步骤包括：选择合适的积分次序、将直角坐标 转换为极坐标、选择适当的面积元素进行积分。
高等数学-第九章 二重积分部分
一. 二重积分的计算 二. 三重积分的计算 三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
D f (x, y)d
Dr2()
Df(cos,sin) d d
r1()
o
注：若积分区域为圆域、扇形域、环形域、或由 极坐标曲线围成的区域，可考虑选择极坐标;
若 被 积 函 数 为 f( x 2 y 2 ) 或 f(y ) 型 可 考 虑 选 择 极 坐 标 x
例. 计算二重积分
R2x2y2d,
0
2 0
h 1 2
d
h
2 4
d
z
202 h12(h42)d
[1 (4h)ln 1(4h)4h]
4
o x
y
4、球坐标代换
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令OM r,
ZOM , 则(r,,) 就称为点M 的球坐标.
xrsinco s yrsin sin
zrco s
0 r
z { ( x ,y ,z ) |a z b ,( x ,y ) D z }b
f(x,y,z)dv
b
z a
adzD Zf(x,y,z)dxdy
x
Dz
y
适用范围：
积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;
在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求
高等数学第9章知识点
z
Fx
k
D
x(x, y)
(x2
y2
a2
3
)2
d,
Fy
k
D
(x2
y(x, y)
y2 a2
)
3 2
d
,
M0(0,0,a)
O
y
x
(x, y,0)
D
Fz
k
D
a(
(x2 y2
x,
y) a2
)
3 2
d
,
k为引力常数
第九章 重积分习题课—天津大学 数学学院
22
二、三重积分的主要内容
1、三重积分的定义
b) 若f (x, y, z)关于x是偶函数，即 f (x, y, z) f (x, y, z),
则 f (x, y, z)dV 2 f (x, y, z)dV.
1
第九章 重积分习题课—天津大学 数学学院
32
a) 若f (x, y, z)关于y是奇函数，即 f (x, y, z) f (x, y, z),
z
(１) 直角坐标系下
先投影，再穿区域
a) 投影法（“先一后二”、“穿针法”）
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
上下型: : z1(x, y) z z2(x, y);
O a
穿入曲面 a x b,
穿出曲面 b
y1 ( x) y y2 ( x).
x
（投影区域）
1
r1 ( , )
第九章 重积分习题课—天津大学 数学学院
30
4、三重积分的对称性
z
a) 若f (x, y, z)关于z是奇函数， 即 f (x, y,z) f (x, y, z),
高等数学(本科)第九章课后习题解答
习题9.11.二元函数()y x f ,在有界闭区域D 可积的充分与必要条件是什么？它的几何意义和物理意义是什么？【答】几何意义表曲顶柱体的体积的代数和；物理意义表平面薄片的质量. 2.设()(){}11|,22≤+-=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=Ddxdy π.【解】根据二重积分的性质，⎰⎰Ddxdy 等于积分区域D 的面积.而此处积分区域D 是半径为1的圆域，因此其面积为π. 3.求⎰⎰Ddxdy 4，其中(){}1|,≤+=y x y x D .【解】⎰⎰Ddxdy 4()()824442=⨯===⎰⎰D S dxdy D.4.如果闭区域D 被分成区域1D 、2D 且()5,1⎰⎰=D dxdy y x f ，()1,2⎰⎰=D dxdy y x f ，求()⎰⎰Ddxdy y x f ,.【解】根据二重积分的性质()⎰⎰Ddxdy y x f ,()⎰⎰+=1,D dxdy y x f ()615,2=+=⎰⎰D dxdy y x f .5.设()⎰⎰+=13221D d y x I σ， (){}22,11|,1≤≤-≤≤-=y x y x D ；()⎰⎰+=23222D d y x I σ，其中(){}20,10|,2≤≤≤≤=y x y x D .试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之 间的关系.【解】因为积分区域2D 关于x 轴及y 轴均对称，且被积函数()()322,y x y x f +=为偶函数，故根据二重积分的对称性知214I I =. 6.估计下列积分的值. （1）⎰⎰+=Dy xd e I σ22，其中(){}41|,22≤+≤=y x y x D ；【解】积分区域D 的面积πσ3=.显然被积函数()32,y x e y x f +=在积分区域D 内有最小值e e m ==1及最大值4e M =，因此由估值定理知 433e I e ππ≤≤.（2）⎰⎰=Dyd x I σ22sin sin ，其中(){}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0|,.【解】积分区域D 的面积2πσ=.显然被积函数()x x y x f 22sin sin ,=在积分区域D 内有最小值()00,0==f m 及最大值12,2=⎪⎭⎫⎝⎛=ππf M ，因此由估值定理知20π≤≤I .7.设函数()y x f ,在点()b a ,的某个邻域内连续，D 表示以点()b a ,为圆心且完全含在上述邻域内的圆域（半径为R ）.求极限 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20.【解】积分区域D 的面积2R πσ=.由积分中值定理知 ()⎰⎰Dd y x f σ,()()ηξπσηξ,.,2f R f ==.显然当0→R 时，()()b a ,,→ηξ，所以 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20()()b a f f R ,,lim 0==→ηξ.8.设区域(){}1|,22≤+=y x y x D ，()y x f ,为区域D 上的连续函数，且 ()()dxdy y x f y x y x f D⎰⎰---=,11,22π. ① 求()y x f ,.【解】记 ()dxdy y x f a D⎰⎰=,. ②则①成为()πay x y x f ---=221,. ③由③得()⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=DDDdxdy adxdy y x dxdy y x f π221,. ④其中，根据几何意义及性质可知32134211322ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--⎰⎰dxdy y x D.π=⎰⎰Ddxdy .所以由④式得到 3.32ππππ=⇒-=a a a . 将3π=a 代入③即得到()311,22---=y x y x f .习题9.21.在化二重积分时，选择坐标系的原则是什么？【解】选择坐标系的原则主要是根据积分区域的形状，具体地讲，积分区域的边界曲线是用直角坐标方程表示方便还是用极坐标方程表示简洁.当然，被积函数的特征也要考虑，如形如()22y xf+的积分就首选极坐标系来计算.2.先画出积分区域，再计算二重积分.（1）()⎰⎰+Dd y x σ22，其中D 是矩形区域：1,1≤≤y x ；【解】记(){}10,10|,1≤≤≤≤=y x y x D .由对称性知()⎰⎰+Dd y xσ22()⎰⎰+=1224D d y x σ()dy y x dx ⎰⎰+=101224⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101032|314dx y y x 3831314314101032|=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x x dx x .（2）()⎰⎰++Dd y y x x σ3233，其中D 是矩形区域：10,10≤≤≤≤y x ；【解】()⎰⎰+Dd y xσ22()dy y y x x dx ⎰⎰++=10103233⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10104223|4123dx y y x y x1412141412310103423|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰x x x dx x x .（3）()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；【解】()⎰⎰+Dd y x σ23()dy y x dx x⎰⎰-+=202023()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-20202|3dx y xy x()()[]()3204324222232020232022|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x x .（4）()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π，()ππ,的三角形区域；【解】()⎰⎰+Dd y x x σcos ()dy y x x dx x ⎰⎰+=π00cos ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π00|sin dx y x x x()⎰⎰⎰-=-=πππ0sin 2sin sin 2sin xdx x xdx x dx x x x()()⎰⎰+-=ππ00cos 2cos 21x xd x xd 【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ππππ0000cos cos 22cos 212cos 21||xdx x x x xd x xπππππππ2321sin 2sin 2121||00-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x x .（5）⎰⎰Dxy dxdy ye ，其中D 是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域； 【解】⎰⎰Dxydxdy ye dy ye dx x xy⎰⎰=22121()x d e yd x x xy ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211x d dy e ye x x xy x xy ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212121|1x d e x x e e x x xy x⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221212|1121 x d e x e x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22122212x d e x x⎰=221212x d e xx ⎰-221221其中=⎰x d e x x 221221⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰x d e x 12212【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰2212221211|x x e d x e x ++-=e e 2214x d e xx ⎰221212.所以⎰⎰Dxydxdy ye -=⎰x d e x x 221212e e dx e x e e x22112221422214-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎰. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x sin ，其中D 是矩形区域：ππ20,0≤≤≤≤y x .【解】以直线π=+y x 及π2=+y x 将区域D 分成三个子区域：321D D D D ⋃⋃=.其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,0,0:1ππx x y D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0,2:2πππx x y x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤-,0,22:3πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=ππ0sin ()dy y x dx x x ⎰⎰--+-+πππ02sin ()dy y x dx x⎰⎰-++πππ022sin其中()dy y x dx x⎰⎰-+ππ0sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-ππ00|cos ()()πππ=+=+=⎰|0sin cos 1x x dx x ；()dy y x dx xx⎰⎰--+-πππ02sin ()dx y x xx ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--πππ02|cosππ220==⎰dx ；()dy y x dx x ⎰⎰-+πππ022sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-πππ022|cos ()()πππ=-=-=⎰|0sin cos 1x x dx x .所以 .42ππππ=++=I3.化二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,为二次积分，且二次积分的两个变量的积分次序不同，其中积分区域D 为：（1）由直线x y =及抛物线x y 42=所围成的区域；【解】联立⎩⎨⎧==,4,2x y x y 解得⎩⎨⎧==,0,0y x 或⎩⎨⎧==.4,4y x 所以直线x y =及抛物线x y 42=的交点为()0,0及()4,4.（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤.40,2:x x y x D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=402,xxdy y x f dx .（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.40,41:2y y x y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=40412,y y dx y x f dy .（2）半圆形区域222r y x ≤+，0≥y .（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤.,0:22r x r x r y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰--=rrx r dy y x f dx 320,.（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--.0,:3222r y y r x y r D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰---=ry r y r dx y x f dy 03222,.4．交换下列积分次序 （1）()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ；【解】D 是由圆周曲线()1122=+-y x ，2=+y x 【两曲线交于点()1,1】所围成的区域.故()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ().,11122⎰⎰-+-=y ydy y x f dy（2）()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,；【解】积分区域D 由曲线x y ln =，及x 轴和直线e x =所围成. 若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤,10:1y ex e D y ，所以()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,().,10⎰⎰=eey dx y x f dy（3）()⎰⎰102,x xdy y x f dx ；【解】积分区域D 由抛物线x y 42=及两直线x y =和直线1=x 所围成.若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则需要将D 分块： 21D D D ⋃=.其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,1041:21y yx y D ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21141:22y x y D .所以 ()⎰⎰102,xxdy y x f dx()⎰⎰=10412,y y dx y x f dy ()⎰⎰+211412,y dx y x f dy .（4）()⎰⎰--0121,ydx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy .【解】积分区域21D D D ⋃=.其中⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0121:1y x y D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤+,1021:2y x y D 因此积分区域D 是由三直线1,1=-=+y x y x 及2=x 所围成的三角形区域.若改变积分次序，即将区域D 视为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤-≤≤-21,11:x x y x D所以 ()⎰⎰--0121,y dx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy ()⎰⎰--=2111,x x dy y x f dx .5.计算⎰⎰-10122xy dy e dx x .【解】积分区域D 是由直线x y =、1=y 及y 轴所围成的三角形区域. 改变积分次序得⎰⎰-10122x y dy e dx x ⎰⎰-=10022y y dx x dy e ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1003|312dy x e y y⎰-=103231dy e y y ()⎰--=102261y ed y 【分部】 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--|101261y e e 6131+-=e .6.求由平面0,0==y x 及1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622截得的立体的体积.【解】根据二重积分的几何意义知()⎰⎰--=Ddxdy y x V 226.其中积分区域D 是xoy 面内由直线1=+y x 及x 轴、y 轴所围成的平面区域.V ()dy y x dx x⎰⎰---=1010226⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-101032|316dx y y x y x()()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=101023323175234131116dx x x x dx x x x x .617317253231|10234=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x x x x . 7.利用极坐标计算下列各题. （1）⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是圆形区域：422≤+y x ； 【解】⎰⎰+Dy xd e σ22⎰⎰+=1224D y xd e σ【极坐标】()121244202020|22-=⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰e e rdr e d r r ππθπ.（2）()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，其中D 是圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限内所围成的区域；【解】()⎰⎰++Dd y x σ221ln 【极坐标】()=+=⎰⎰rdr r d 20121ln πθ【令t r =2】()dt t ⎰+=11ln 4π【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰dt t t t t 101011ln 4|π()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎰dt t t 101112ln 4π []()12ln 241ln 42ln 4|10-=+--=πππt t .（3）σd x yD⎰⎰arctan ，其中D 是由圆周122=+y x ，422=+y x 及直线xy y ==,0在第一象限内所围成的区域；【解】rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 4021⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .421πθθ .64321.21.22124024021||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d（4）⎰⎰Dxdxdy ，(){}x y x y x D 22|,22≤+≤=；【解】⎰⎰Dxdxdy ⎰⎰=12D xdxdy 【极坐标】⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰24cos 204020.cos .cos 2ππθπθθθθrdr r d rdr r d⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰24cos 20340202|31cos .cos 2ππθπθθθθd r dr r d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰24420340cos 3831sin 2||πππθθθd r θθππd ⎰+=244cos 3163424132331634ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=.【其中θθππd ⎰244cos θθππd 22422cos 1⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()θθθππd ⎰++=2422cos 2cos 2141⎰=2441ππθd ()⎰+2422cos 41ππθθd ＋⎰+2424cos 141ππθθd 413234sin 3214812sin 41441||2424-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⨯=πθπθπππππ】. 【注意：此题书中答案有误】.（5）⎰⎰-Ddxdy y x ，(){}0,0,1|,22≥≥≤+=y x y x y x D ；【解】以直线x y =将积分区域D 分块：21D D D ⋃=其中1D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及x 轴和直线x y =所围成； 其中2D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及y 轴和直线x y =所围成.⎰⎰-Ddxdy y x ()+-=⎰⎰1D dxdy y x ()⎰⎰-2D dxdy x y 【极坐标】()rdr r r d ⎰⎰-=14sin cos θθθπ()rdr r r d ⎰⎰-+124cos sin θθθππ()dr r d ⎰⎰-=1240sin cos πθθθ()dr r d ⎰⎰-+1224cos sin ππθθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=||1034031.cos sin r πθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+||1032431.sin cos r ππθθ ()()12311231-+-=()1232-=. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x y 23，(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D .【解】()⎰⎰+Ddxdy y x y 23⎰⎰=Dydxdy ⎰⎰+Ddxdy y x 230+=⎰⎰Dydxdy【极坐标】rdr r d ⎰⎰=20.sin θθπdr r d ⎰⎰=220sin πθθ31631cos ||2030=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r πθ. 8.把()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22化为单重积分，其中(){}1|,22≤+=y x y x D .【解】()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22【极坐标】()⎰⎰=1204rdr r f d πθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰1020.4rdr r f d πθ()⎰=102rdr r f π.9.把下列积分化为极坐标形式，并计算其积分值. （1）()⎰⎰-+ay a dx y xdy 002222；【解】()⎰⎰-+ay a dx y xdy 02222【极坐标】404228412|a r rdr r d aaππθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰. （2）()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222；【解】()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 20cos 202πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛20cos 204|41πθθd r a . 44244432.!!4!!34cos 4a a d a ππθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰.（3）⎰⎰+axdy y x dx 022；【解】⎰⎰+axdy y x dx 022【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec 0.πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40sec 03|31πθθd r a ⎰=4033sec 31πθθd a []|403tan sec ln tan .sec 61πθθθθ++=a()[]21ln 2613++=a【其中，()⎰⎰==θθθθtan sec sec 3d d I 【分部】()⎰-=θθθθsec tan tan .sec d⎰-=θθθθθd 2tan sec tan .sec ()⎰--=θθθθθd 1sec sec tan .sec 2 I d d -++=+-=⎰⎰θθθθθθθθθθtan sec ln tan .sec sec sec tan .sec 3所以，[]C I +++=θθθθtan sec ln tan .sec 21.】 （4）⎰⎰+1222xxdx y x dx .【解】⎰⎰+10222xxdx y x dx 【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec tan 0.πθθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40tan sec 03|31πθθθd r a ⎰=40333tan sec 31πθθθd a ()()⎰-=40223sec 1sec sec 31πθθθd a()12452sec 31sec 5131|40353+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθa .10.设()x f 为连续函数，且()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22，其中(){}222|,t y x y x D ≤+=，求极限()tt F t '→0lim.【解】()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22【极坐标】()rdr r f d t⎰⎰=πθ202()r dr r f t⎰=022π.故 ()()22t tf t F π='. ① 所以()t t F t '→0lim【代入 ①】()()022lim 0f t t tf t ππ==→. 【注意：怀疑此题本身有问题，故对题目本身作了合理修正】11*.设()x f 在[]1,0上连续，并设()A dx x f =⎰10，求()()⎰⎰101xdy y f x f dx .【解】 记⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,1:1x y x D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,0:2x x y D ，21D D D ⋃=.则 ()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==1111. ①()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==2102. ②又交换积分次序后()()==⎰⎰111x dy y f x f dx I ()()⎰⎰10y dx y f x f dy ()()⎰⎰=10xdy y f x f dx ，即21I I =.所以有 ()()()dxdy y f x f I I I D⎰⎰=+=2121211 ()()210102121A dy y f dx x f ==⎰⎰. 12*.设()x ϕ为[]1,0上的正值连续函数，证明：()()()()()b a dxdy x y x b y a D+=++⎰⎰21ϕϕϕϕ，其中b a ,为常数，(){}10,10|,≤≤≤≤=y x y x D . 【证明】因为积分区域D 关于直线x y =对称，则 ()()()=+=⎰⎰Ddxdy y x x I ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x y ϕϕϕ. ① 故有()()()()212121==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y x y x I ϕϕϕϕ. ② 所以有()()()()=++⎰⎰D dxdy x y x b y a ϕϕϕϕ()()()b dxdy y x y a D++⎰⎰ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x x ϕϕϕ ).(21b a bI aI +=+= 13*.设闭区间[]b a ,上()x f 连续且恒大于零，试利用二重积分证明不等式()()()21a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 【证法一】考虑到定积分与变量的记号无关.故有： ()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx. ① 以及()().dy y f dx x f baba⎰⎰= ②所以有()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ③其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同时()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ④ ③+④，得()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Ddxdy b a ==-⎰⎰即： ()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【证法二】：因为()0≥x f ，所以有20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即 ()()()220.bbaadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰① ①式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰. ② 故由②得到()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰14*.设()x f 在闭区间[]b a ,上连续.试利用二重积分证明不等式()()()dx x fa b dx x f ba ba ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡22.【证明】由于()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx x f b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dx x f dx x f b a b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dy y f dx x f ba b a . ① 令 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 则 由①得到()()()dxdy y f x f dx x f Dba ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2. ②又 ()()()()222y fx fy f x f +≤.③故()()()dxdy y fx f dx x f Db a ][21222+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰b a b a b a b a dy y f dx dx x f dy 2221 ()()dx x f a b b a ⎰-=221()()dy y f a b b a ⎰-+221【定积分与变量记号无关()()dx x fa b ba⎰-=2.15*.设区域(){}0,1|,22≥≤+=x y x y x D ，求二重积分⎰⎰+++Ddxdy y x xy2211.【解】⎰⎰+++Ddxdy y x xy 2211⎰⎰++=D dxdy y x 2211⎰⎰+++D dxdy yx xy221 0112122+++=⎰⎰D dxdy y x 【极坐标】rdr r d ⎰⎰+=2102112πθ ()().2ln 21ln 21112|1022102πππ=+=++=⎰rr d r习题9.３1.利用定积分、二重积分和三重积分计算空间立体体积时，被积函数和积分区域各有什么不同？ 【解】略.2.将三重积分()dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=,,化为三次积分，其中空间区域分别为：（1）由曲面22y x z +=，0=x ，0=y ，1=z 所围成且在第一卦限内的区域；【解】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+Ω.10,10,1:222x x y z y x Ω向xoy 面上投影区域为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:2x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I y x x ⎰⎰⎰+-=1101222,,.（2）由双曲抛物面xy z =及平面01=-+y x ，1=z 所围成的区域；【解】⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤Ω.10,10,0:x x y xy z Ω向xoy 面上投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I xyx⎰⎰⎰-=01010,,.（3）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的区域. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,2222x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 1:22≤+y x D xy . 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤---≤≤+Ω.11,11,22:22222x x y x x z y x所以()dz z y x f dy dx I x y x x x ⎰⎰⎰-+----=22222221111,,.3.利用直角坐标系计算下列三重积分.（1）dV z xy ⎰⎰⎰Ω32，其中Ω是由平面x y =，1=x ，0=z 及曲面xy z =所围区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故dz z dy y xdx dV z xy xyx⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω03021032⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxy dy z y xdx 004210|41⎰⎰=x dy y dx x 0610541⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10075|7141dx y x x 3641131281281|10131012=⨯==⎰x dx x . （2）()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dV，其中Ω是由平面0=x ，0=y ，0=z 及1=++z y x 所围成的四面体；【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故()dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx x y x ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---1111010103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121xdy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （3）()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos ，其中Ω是由抛物柱面x y =以及平面0=y ，0=z ，2π=+z x 所围成区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.20,0:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤πx x y D 故()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos =()dz z x ydy dx xx⎰⎰⎰-+2020cos ππ()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-200|2sin ππxxdy z x y dx ()⎰⎰-=200sin 1πx ydy x dx ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2002|21sin 1πdx y x x ()⎰-=20sin 121πdx x x⎰=2021πxdx 21161sin 21220-=-⎰ππxdx x .【其中2202201614121|πππ==⎰x xdx ；()⎰⎰=-2020cos 21sin 21ππx xd xdx x 【分部】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2020cos cos 21|ππxdx x x 21sin 21|20-=-=πx .】4.利用柱面坐标计算三重积分.（1）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的区域；【解】本题宜采用“切片法”计算()()dxdy y x dz dz dxdy y xzD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||20320202422020πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （2）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的区域；【解】（柱面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.4:22≤+y x D()V d y x⎰⎰⎰Ω+22dr z r dz r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==20205253525220|.2πθπ dr r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰255223πππ82452|2054=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r .（3）dV xyz ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由球面1222=++z y x 及三个坐标面所围且在第一卦限内的区域.【解】（球面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为V xyzd ⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=2015320cos sin cos sin ππρρϕϕϕθθθd d d48161.sin 41.sin 21|||106204202=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ρϕθππ.5.利用球面坐标计算三重积分.（1）()d V z y x ⎰⎰⎰Ω++222，其中()(){}222223,|,,y x z z z y x z y x +≥≤++=Ω；【解】（球面坐标法）()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222⎰⎰⎰=60cos 02220.sin πϕπρρρϕϕθd d dϕρϕππϕd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6cos 05|51sin 2ϕϕϕππd ⎰=605sin cos 52()ϕϕππcos cos 52605d ⎰-=πϕππ96037cos 6152|606=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.（2）dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由抛物面22y x z +=之上，球面2222=++z y x 之内的部分围成；【解】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧+==++22222,2y x z z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上投影区域.1:22≤+y x D 所以dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2⎰⎰⎰-=1222022r rdz z rdr d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-123|22312r r z r π()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10632232dr r r r π()⎰-=1032232dr r r π()πππππ121228151121232107--=-=-⎰dr r ()1323260-=π.【其中()⎰-1032232dr r r π【令t r sin 2=】⎰=404cos .sin 328ππtdt t ()()πππππ228151cos 51328cos cos 328|405404-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰t t td ； .121813232|108107πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰r dr r 】（3）dxdydz x ⎰⎰⎰Ω，其中()(){}0,0,0|,,2222≥≥>≤++=Ωy x a a z y x z y x .【解】（球面坐标法）⎰⎰⎰Ωxdxdydz ⎰⎰⎰=ππρρθϕρϕϕθ00220.cos sin sin ad d d ⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθθ0222.sin cos ad d d404020841.2sin 4121.sin |||a a πρϕϕθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=.6.采用三种坐标计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中()2222|,,{R z y x z y x ≤++=Ω()}2,0222Rz z y x R ≤++>.【解法一】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .43:222R y x D ≤+dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2 dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------232303220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr rR R r R r 23032232232π（令t R r sin =）()[]⎰--=30333cos .cos cos sin 32ππtdt R t R R t R t R[]⎰-+-=30235cos sin cos 3cos 31cos 232ππtdt t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+3025sin cos 2ππtdt t R⎰-3035sin cos 2ππtdt t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+161525R π .480595R π=【解法二】（球面坐标法）球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω 其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,cos 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2030222.cos sinρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+81.25615645R π5607R π=5160R π+.480595R π= 【解法三】（直角坐标系之“切片法”）将Ω分块为21Ω⋃Ω=Ω.其中()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω11,,20z D y x R z ：，()22212:z Rz y x D z -≤+； ()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω22,,2z D y x R z R：，()22222:z R y x D z -≤+. ()()()()[]dz z Rz z dz D S z dxdy dz z dz dxdy zR z D R R z220212022022211-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ5205440151412|R z z R Rππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=；()()()()[]dz z R z dz D S z dxdy dz z dz dxdy z RR z D RR R R z222222222222-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ 52532480475131|R z z R R R ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 所以dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+225554805948047401R R R πππ=+=. 7.若柱面122=+y x 与平面0=z ，1=z 所围成的柱体内任一点()z y x ,,处的密度22y x z --=μ，试计算该柱体的质量.【解】()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈-+Ω∈--=--=.,,,,,22212222y x z y x y x y x z y x z μ 其中()⎩⎨⎧∈≤≤+ΩD y x z y x ,,1221：；()⎩⎨⎧∈+≤≤ΩD y x y x z ,,0222：；1:22≤+y x D . 所以 =M ()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122()πππ316161222=+=-++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x .【其中()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122【柱面坐标】()dr z r z r dz r z rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=10101221220|222.2πθπ()πππ6161222|10642153=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=⎰r r r dr r r r ；()dz dxdy z y x⎰⎰⎰Ω-+222【柱面坐标】()dr z z r r dz z r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=110022220|2221.2πθππππ6161|10615=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰r dr r .】8.分别用定积分、二重积分和三重积分求由22y x z +=和22y x z +=所围成的立体Ω的体积.【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,2222y x z y x z 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .1:22≤+y x D（一）定积分过z 轴上任意一点z 作Ω的截面，则该截面的面积为 ()()()[]1,0,222∈-=-=z z z z z z A πππ所以Ω的体积为()()πππ613121|103210210=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰z z dz z z dz z A V .（二）二重积分 ()[]d xdy y x y xV D⎰⎰+-+=2222【极坐标】()ππθπ61432|10432012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰r r rdr r r d . （三）三重积分⎰⎰⎰Ω=dV V 【球面坐标】ρρϕϕθπϕϕππd d d ⎰⎰⎰=20sin cos 02242sin()ϕϕπϕϕϕπϕρϕπππππππϕϕcot cot 32sin cos 3231sin 2243245324sin cos 03|2d d d ⎰⎰⎰-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πϕπππ61cot 4132|244=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 9.设()x f 在0=x 处可导，且()00=f ，求极限()d xdydz z y x f t t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim，其中(){}2222|,,t z y x z y x ≤++=Ω.【解】()d xdydz z y x f tt ⎰⎰⎰Ω→++222401lim ()⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθ00220.sin ad f d d()ρρρϕππd f a 200.cos 2|⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=()ρρρπd f a 20.4⎰=. ①所以()d xdydz z y x ft t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim【由①】()4204lim t f tt ⎰→=ρρπ【洛必达法则】()32044lim t t t f t π→=()t t f t 0lim →=π()()00lim 0--=→t f t f t π()0f '=π. 习题9.４1.求由曲线()xy y x C =+222:所围平面图形D 的面积.【解】化曲线C 为极坐标表示：θθsin cos 2=r ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πππθ23,2,0.由对称性知()⎰⎰=12D d D S σ【极坐标】θθπθθπθθd r dr r d ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==20cos sin 0220cos sin 0|2122()21sin 21sin sin cos sin |2022020====⎰⎰πππθθθθθθθd d d .2.求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体Ω的体积. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,26,22222y x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 2:22≤+y x D xy .所以Ω的体积为 ()()[]d xdy y x y xV xyD ⎰⎰+---=2222226()d xdy y xxyD ⎰⎰--=22336()ππθπ6433236|2422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r rrdr r d . 3.求由曲面()xyz a z y x S 332223:=++所围立体的体积.【解】做球坐标变换：⎪⎩⎪⎨⎧===,cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρz y x 则S 在球坐标下的方程为θθϕϕρsin cos cos sin 3233a =ρρϕϕθθθϕϕππd d d dV V a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==3231cos sin cos sin 3022020sin 44⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2020cos sin cos sin 303|32331sin 4ππθθϕϕϕρϕθd d a ⎰⎰=22033cos sin cos sin 4ππϕϕϕθθθd d a.21sin 41sin 21432042023||a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππϕθ4.证明：曲面2214:y x z S ++= ① 任一点处的切平面与曲面22:2y x z S +=所围立体图形Ω的体积为定值.【证明】任取曲面1S 上一点()0000,,z y x M .令 ()z y x z y x F -++=224,,.则1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面的法向量为 ()()(){}{}1,2,2,,00000-='''=y x M F M F M F z y x .1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面π的法平面为()()()02200000=---+-z z y y y x x x .即 ()0222:02020000=-+---+z y x z z y y x x π. ②又由于()10000,,S z y x M ∈，故402020-=-+z y x . ③ 将③式代入②式得0822:000=+--+z z y y x x π. ④ 联立⎩⎨⎧+==+--+,,082222000y x z z z y y x x 消去z ，得 ()()8020202020+-+=-+-z y x y y x x 【由③】4=，故Ω向xoy 面上的投影区域为()()4:2020≤-+-y y x x D xy . ⑤所以，Ω的体积为 ()()[]d xdy y x z y yx x V xyD ⎰⎰+-+-+=2200822()()()[]d xdy y y x x z y xxyD ⎰⎰----+-+=202002028【由③】()()[]d xdy y y x x xyD ⎰⎰----=2024令⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00θθr y y r x x 则()()r r r y r y xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,所以()dr d r r V r D θθ⎰⎰-=24()ππθπ841224|20422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r r rdr r d .从而:2S 与π所围立体图形Ω的体积为定值π8.5.形状如22y x z +=，100≤≤z （单位：米）的“碗”，计划在其上刻上刻度使其成为一个容器.求对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是多少？ 【解】设对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是h （米）. 由题意知()()σπd y xh h D⎰⎰+-⨯=222.1. ①其中222:h y x D ≤+.()⎰⎰⎰⎰=+πθσ200222.h Drdr r d d y x20421412|h r h ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=. ②将②式代入①式得2221.1h h ππ-=，即 2211h π=，解之得π2=h （米）.6.求均匀密度的半椭圆平面薄片()01:2222≥≤+y by a x D 的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得⎰⎰⎰⎰=DDxd d x σσ1； ①⎰⎰⎰⎰=DDyd d y σσ1②【其中令⎩⎨⎧==,sin ,cos θθbr y ar x 则()()abrbr b ar a y ry xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,由对称性知0=⎰⎰σd x D；()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==πθθθθσθ0102.sin sin rdr r d ab drd J br d y r D D⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πθθ01032|31sin d r ab2020232cos 31sin 31|ab ab d ab =-==⎰ππθθθ；又 ()ab D S d Dπσ2121==⎰⎰. 故⎰⎰⎰⎰==DDxd d x 01σσ；ππσσ34213212bab ab yd d y DD===⎰⎰⎰⎰. 所以，平面薄片()01:2222≥≤+y b y a x D 的质心为⎪⎭⎫⎝⎛π34,0b .7.社平面薄片所占的区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=ρ，求此薄片的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x x d y x x σρσρ,,1σσ⎰⎰⎰⎰=DDyd x yd x 321； ① ()()⎰⎰⎰⎰=D D d y x y d y x y σρσρ,,1⎰⎰⎰⎰=DDd y x yd xσσ2221②ydy x dx yd x xx D⎰⎰⎰⎰=10222σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022|221dx y x x x ()⎰-=106421dx x x 351715121|1075=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ③ydy x dx yd x x x D⎰⎰⎰⎰=10332σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1023|221dx y x x x ()⎰-=107521dx x x 481816121|1086=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ④ dy y x dx d y x xx D2102222⎰⎰⎰⎰=σ⎰⎪⎭⎫⎝⎛=1032|231dx y x x x ()⎰-=108531dx x x 541916131|1096=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . ⑤故 4835351481==x ；5435351541==y .所以此薄片的质心为⎪⎭⎫⎝⎛5435,4835.8.平面薄片D 由ax y x ≥+22，222a y x ≤+确定，其上任一点处的面密度与离原点的距离成正比，求此薄片的质心.【解】由题意知，面密度()22,y x k y x +=ρ)0(>k .。
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第九章二重积分
教学要求
1、理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
2、掌握二重积分（直角坐标情形、极坐标情形）的计算方法。
3、会用二积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等）。
教学重点
二重积分概念与性质，二重积分计算方法，二重积分在几何方面的应用。
教学难点
二重积分的几何意义，二重积分在极坐标下的计算，二重积分的思想如何应用于实际问题
教学内容
第一节二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积；
2.平面薄皮的质量
二、二重积分的性质
第二节二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算
二、二重积分在极坐标下的计算
1.极点O在积分区域D外；
2. 极点O在积分区域D的边界曲线上；
3. 极点O在区域D的内部
第三节二重积分的应用
一、几何应用
1.求立体的体积和平面图形的面积；
2.求曲面的面积
二、物理应用
1.平面薄皮的质量；
2.平面薄皮的质心。