线性代数重要知识点讲解
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
线性代数的重点知识点总结
线性代数的重点知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性变换的性质。
在数学、物理、计算机科学等领域中，线性代数都有着广泛的应用。
本文将总结线性代数的一些重点知识点，帮助读者更好地理解和应用线性代数。
1. 向量和矩阵向量是线性代数中的基本概念，它表示空间中的一点或者一个方向。
向量可以表示为一个有序的数列，也可以表示为一个列矩阵。
矩阵是由多个向量按照一定规则排列而成的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
矩阵的转置、逆矩阵和行列式等概念也是线性代数中的重要内容。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要问题，它可以表示为多个线性方程的组合。
线性方程组的求解可以通过消元法、矩阵的逆等方法进行。
当线性方程组有唯一解时，称为可逆方程组；当线性方程组无解或者有无穷多解时，称为不可逆方程组。
3. 向量空间和子空间向量空间是线性代数中的一个核心概念，它包含了所有满足线性组合和封闭性的向量的集合。
子空间是向量空间中的一个子集，它也满足线性组合和封闭性的性质。
子空间可以通过一组线性无关的向量来生成，这组向量称为子空间的基。
子空间的维度等于基向量的个数。
4. 线性变换线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，并且保持向量空间的线性性质。
线性变换可以用矩阵表示，矩阵的每一列表示线性变换后的基向量。
线性变换有很多重要的性质，比如保持向量的线性组合、保持向量的线性无关性等。
5. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念，它们描述了线性变换对向量的影响。
特征向量是指在线性变换下保持方向不变或者仅仅改变长度的向量，特征值是特征向量对应的标量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来得到。
6. 内积和正交性内积是线性代数中的一个重要概念，它表示两个向量之间的夹角和长度的关系。
内积可以用来判断向量是否相互垂直或者平行，还可以用来计算向量的长度和夹角。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。
它是高等数学的基础课程之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
下面将全面总结线性代数的知识点。
1.向量向量是线性代数的基本概念之一，它表示有方向和大小的物理量。
向量可以表示为一个有序的元素集合，也可以表示为一个列向量或行向量。
向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。
2.向量空间向量空间是一组向量的集合，其中的向量满足一定的性质。
向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。
向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数，也称为向量空间的基的个数。
3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干个数排成的矩形阵列。
矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质，矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。
4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。
线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式，其中未知数对应为向量。
线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。
5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。
行列式的值可以通过一系列的数学运算求得，它可以表示方阵的一些性质，例如可逆性、行列式的大小等。
6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
特征值表示线性变换后的方向，特征向量表示与特征值对应的方向。
通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，例如对角化、矩阵的相似等。
7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。
线性变换可以通过矩阵的乘法表示，矩阵中的元素代表了向量的变换规则。
8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。
最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题，它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。
9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。
正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。
10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
线性代数总结知识点
线性代数总结知识点线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也称为线性空间）、线性变换以及线性方程组的理论。
它是现代数学的基础工具之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学和社会科学等领域。
以下是线性代数的一些核心知识点总结：1. 向量与向量运算- 向量的定义：向量可以是有序的数字列表，用于表示空间中的点或方向。
- 向量加法：两个向量对应分量相加得到新的向量。
- 标量乘法：一个向量与一个标量相乘，每个分量都乘以该标量。
- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量乘积之和，用于计算向量的长度或投影。
- 向量的向量积（叉积）：仅适用于三维空间，结果是一个向量，表示两个向量平面的法向。
2. 矩阵- 矩阵的定义：一个由数字排列成的矩形阵列。
- 矩阵加法和减法：对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素是两个矩阵对应行列的乘积之和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行变成列，列变成行。
- 单位矩阵：对角线上全是1，其余位置全是0的方阵。
- 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
3. 线性相关与线性无关- 线性相关：如果一组向量中的任何一个可以通过其他向量的线性组合来表示，则这组向量是线性相关的。
- 线性无关：如果只有所有向量的零组合才能表示为零向量，则这组向量是线性无关的。
4. 向量空间（线性空间）- 定义：一组向量，它们在向量加法和标量乘法下是封闭的。
- 子空间：向量空间的子集，它自身也是一个向量空间。
- 维数：向量空间的基（一组线性无关向量）的大小。
- 基和坐标：向量空间的一组基可以用来表示空间中任何向量的坐标。
5. 线性变换- 定义：保持向量加法和标量乘法的函数。
- 线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法对应线性变换的复合。
6. 特征值和特征向量- 特征值：对应于线性变换的标量，使得变换后的向量与原向量成比例。
- 特征向量：与特征值对应的非零向量，变换后的向量与原向量方向相同。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
线代知识点总结全部
线代知识点总结全部一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的几何体，通常用箭头表示。
在数学中，向量通常用有序数对或有序数组表示。
例如，在二维空间中，一个向量可以表示为(a, b)，表示向量在x轴上的分量为a，在y轴上的分量为b。
2. 向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法和数量乘法。
向量的加法就是将两个向量相加，得到一个新的向量。
数量乘法是将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。
3. 矩阵的定义矩阵是一个由数排成的矩形阵列，它是线性代数中的一个重要概念。
矩阵中的数称为元素，矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。
例如，一个m×n的矩阵有m行n列。
4. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括矩阵的加法、数量乘法和矩阵的乘法。
矩阵的加法是将两个相同阶数的矩阵相加得到一个新的矩阵，矩阵的数量乘法是将一个实数与一个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法是将一个m*n的矩阵与一个n*p的矩阵相乘得到一个m*p的矩阵。
5. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行向量转换为列向量，列向量转换为行向量。
矩阵的转置操作可以用来表示矩阵的对称性和几何意义，也有利于简化矩阵的计算。
二、向量空间和子空间1. 向量空间的定义向量空间是指具有加法和数量乘法两种运算的集合，并且满足一定的性质。
向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
例如，n维实数向量空间可以表示为R^n，它包含所有n维的实数向量。
2. 子空间的定义子空间是指在一个向量空间V中的一个非空集合W，并且满足在W中任意两个向量的线性组合仍然在W中。
子空间的一个重要性质是它也是一个向量空间，可以继承向量空间的性质。
3. 线性相关和线性无关一组向量中的向量如果存在线性组合能够得到零向量，则称这组向量线性相关；如果不存在这样的线性组合，则称这组向量线性无关。
4. 基和维数在一个向量空间中，如果存在一组线性无关的向量可以组成整个空间中的任意向量，则称这组向量是一组基。
线性代数高频考点总结及解析
线性代数高频考点总结及解析线性代数是一门应用广泛的数学学科，掌握线性代数的基本概念和方法对于数理科学、工程技术以及计算机领域都具有重要意义。
本文将就线性代数的高频考点进行总结和解析，帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
一、向量与矩阵1. 向量的定义与性质向量是线性代数中最基本的概念之一，它由具有相同属性的数据集合组成。
向量可以表示点、向量、函数等，具有加法、数乘等运算规则。
向量的模、方向、正交性等性质也是高频考点。
2. 矩阵的定义与运算矩阵是由一组数按照矩阵的排列方式排列成的集合，可以表示线性变换、方程组、图像等。
矩阵的加法、数乘、乘法等运算规则是考点之一。
此外，矩阵的转置、共轭、逆等性质也需要掌握。
3. 向量空间与矩阵空间向量空间是由一组向量组成的集合，具有加法、数乘等运算规则，并满足一定的性质。
矩阵空间是由一组矩阵组成的集合，同样具有加法、数乘等运算规则。
了解向量空间和矩阵空间的定义和性质对于理解线性代数的本质十分重要。
二、线性变换与矩阵的应用1. 线性变换的定义和性质线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射，它可以用矩阵表示。
线性变换的基本性质包括保持零向量不变、保持向量加法和数乘运算等，这些性质是考点之一。
2. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念。
特征值是一个标量，特征向量是对应于特征值的非零向量。
理解特征值与特征向量的意义，以及它们的计算方法和性质对于矩阵的运算和应用至关重要。
3. 行列式的定义与计算行列式是一个标量，它是矩阵的一个重要的特征。
行列式的计算方法包括按行展开、按列展开等。
行列式用于判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆、求解线性方程组等问题。
三、线性方程组的求解及应用1. 线性方程组的解的存在唯一性理解线性方程组解的存在唯一性是解决线性方程组问题的基础之一。
矩阵的秩、行列式、特解与齐次解等概念与线性方程组解的存在唯一性密切相关。
2. 线性方程组的求解方法线性方程组的求解方法包括高斯消元法、克拉默法则、矩阵的逆等。
《线性代数》知识点_归纳整理
《线性代数》知识点_归纳整理线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射、线性方程组和矩阵等基本概念和性质。
它在数学、物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
下面将对线性代数的一些重要知识点进行归纳整理。
1.向量空间：向量空间是线性代数的核心概念，它是一组向量的集合，满足加法和数乘运算的封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
向量空间的例子包括实数空间R^n、矩阵空间M(m,n)等。
2.线性映射：线性映射是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足保持加法和数乘运算的性质。
线性映射可以表示为矩阵乘法的形式，其中矩阵的每一列对应于一个基向量在映射后的值。
3.线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程都是关于未知数的线性表达式。
解线性方程组的方法包括高斯消元法、矩阵求逆法和克拉默法则等。
4.矩阵：矩阵是由数按矩形排列成的数组，是线性代数的重要工具。
矩阵可以表示线性映射、线性方程组和向量空间的基等。
矩阵的运算包括加法、数乘、矩阵乘法和转置等。
5.行列式：行列式是一个标量，它由矩阵的元素按一定规则计算得到。
行列式可以用于判断方阵的可逆性、计算线性映射的缩放因子和求解线性方程组等。
6.特征值和特征向量：特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*v=lambda*v的关系式，其中A是矩阵，v是特征向量，lambda是特征值。
特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化和矩阵的谱分解等。
7.正交性：正交性是指向量之间的垂直关系。
在内积空间中，如果两个向量的内积为零，则它们是正交的。
正交向量组和正交矩阵是线性代数中常见的概念，它们在解线性方程组和进行特征值分解等方面具有重要作用。
8.线性相关性和线性无关性：线性相关性和线性无关性是向量组的重要性质。
如果一个向量可以由其他向量线性表示，则称这个向量与其他向量线性相关；如果一个向量不能由其他向量线性表示，则称这个向量与其他向量线性无关。
线性代数知识点
线性代数知识点线性代数是数学中的一个重要分支，研究的内容涉及到向量、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值、特征向量等等。
线性代数的应用十分广泛，包括机器学习、计算机图形学、物理学、化学等等领域。
下面将介绍一些线性代数中的重要知识点。
1. 向量向量是线性代数中的基本概念，表示空间中的一个有向线段。
一个向量可以用它的起点与终点表示，也可以用它在坐标系中的坐标表示。
向量可以加减，可以乘以标量。
2. 矩阵矩阵是由数个数排成的矩形阵列，是线性代数中的另一个基本概念。
矩阵可以用行列式来表示，也可以用矩阵的元素表示。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一种重要的问题，它的形式是由一些个数与未知数之间的线性关系构成的方程组。
线性方程组可以用矩阵与向量的乘法来表示。
4. 行列式行列式是一个数学概念，用来表示矩阵的某些性质。
行列式的值可以用展开式来计算，也可以用矩阵的特征值来计算。
5. 矩阵的逆矩阵的逆是一个与之相乘得到单位矩阵的矩阵，只有方阵才可以求逆。
矩阵的逆可以用伴随矩阵来计算。
6. 特征值与特征向量矩阵的特征值是一个与矩阵本身相关的值，特征向量是与这个值相关的向量。
特征值和特征向量常用于计算矩阵的相似性、对称性等性质。
7. 奇异值分解奇异值分解是矩阵分解的一种方法，它可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
8. 向量空间向量空间是一组向量的集合，满足线性组合的封闭性。
向量空间有许多性质和定理，可以用来研究向量的性质和关系。
9. 矩阵的秩矩阵的秩是一个重要的概念，它表示矩阵的行的最大线性无关组的个数，也等于矩阵的列的最大线性无关组的个数。
矩阵的秩可以用高斯消元法来计算。
10. 线性变换线性变换是一种特殊的函数，它满足一些特殊的性质，比如保持加法与标量乘法不变。
线性变换在许多领域中都有着广泛的应用。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是数学的一个分支，研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等问题。
它是数学的基础，也是应用数学、工程和计算机科学的基础之一、下面将对线性代数的一些重要概念和知识点进行归纳。
1.向量和向量空间：向量是线性代数的基本对象之一，可以表示为一列有序的数或者一个坐标点。
向量可以进行加法和数乘操作。
向量空间是由一组向量构成的集合，满足加法和数乘的封闭性、结合律、交换律、恒等元素等性质。
2.矩阵和矩阵运算：矩阵是由数构成的矩形数组，用于表示线性变换、线性方程组等。
矩阵的加法、数乘、乘法等运算可以定义。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
3.行列式：行列式是一个方阵所对应的一个标量值，可以用来判断方阵的可逆性。
行列式的值为0时，方阵不可逆；不为0时，可逆。
4.线性方程组：线性方程组由一组线性方程组成，每个线性方程中的未知数的次数都是1，并且每个未知数的最高项的次数为1、线性方程组的解可以通过高斯消元法等方法求解。
5.特征值和特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量在变换后与原向量方向相同或相反，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，相应的特征向量对应的标量值称为特征值。
特征值和特征向量可以用于解析几何、物理中的力、振动等问题。
6.线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足线性性质。
线性变换保持加法和数乘的运算。
7.正交性：在向量空间中，两个向量的内积为0时，称这两个向量正交。
正交的向量空间在许多应用中非常有用，例如正交矩阵在旋转变换中用到。
8.基和维度：向量空间中的一个线性无关的向量组称为基。
向量空间中最大线性无关向量组的向量个数称为维数，也就是向量空间的维度。
9.矩阵的转置、迹和逆：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
可逆矩阵的逆矩阵是指与原矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
10.最小二乘法：最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法，适用于实际应用中存在误差的情况。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数是现代数学的一个重要分支，是许多领域的基础和工具。
它主要研究线性方程组、向量空间、线性变换和矩阵等数学概念和方法。
在各个学科领域，包括物理学、计算机科学、经济学和工程学等，线性代数都有着广泛的应用。
本文将对线性代数的主要知识点进行总结。
1. 向量与向量空间向量是线性代数中的基本概念，它包含有大小和方向的信息。
向量可以是二维、三维甚至更高维度的。
向量的加法和数乘运算满足一定的性质，构成了向量空间。
向量空间是一组向量的集合，这些向量满足一定的运算规则。
2. 矩阵与线性变换矩阵是线性代数中的重要概念，它由数表组成，具有行和列的结构。
矩阵可以表示线性方程组，通过矩阵的运算，可以求解线性方程组的解。
线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它可以用矩阵表示。
矩阵乘法是线性代数中的一种重要运算，它将一个矩阵映射到另一个矩阵。
3. 行列式与特征值特征向量行列式是一个数值，它可以判断一个矩阵是否可逆。
当行列式不等于零时，矩阵可逆，否则不可逆。
特征值和特征向量是矩阵的另一个重要概念。
特征值是一个数，它表示线性变换沿着特定方向的伸缩因子。
特征向量是一个非零向量，它在线性变换下只发生伸缩而不改变方向。
4. 线性方程组线性方程组是线性代数中的核心概念之一，它描述了变量之间的线性关系。
线性方程组可以由矩阵表示，并通过矩阵的运算来求解。
高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过对方程组进行一系列的消元操作将其化为简化形式。
矩阵的秩表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的个数，可以用来判断线性方程组的解的情况。
5. 特殊矩阵与特殊向量在线性代数中，有一些特殊矩阵和特殊向量具有重要的性质和应用。
对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于它本身，它具有很多重要的性质和应用。
正交矩阵是指矩阵的转置矩阵等于它的逆矩阵，它在几何变换中起到了重要的作用。
零空间是线性变换的核的子空间，它包含了所有使线性变换为零的向量。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
本文将全面总结线性代数的知识点，帮助读者系统地了解和掌握该学科。
1. 线性代数的基本概念1.1 向量及其表示：向量是线性代数的基本概念，可以用有序数对、矩阵或列向量表示，具有方向和大小。
1.2 矩阵及其运算：矩阵是由数字排列成的矩形数组，可以进行加法、乘法、转置等运算。
1.3 线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，可以用矩阵和向量的表示形式来求解。
2. 向量空间2.1 向量空间的定义：向量空间是由一组满足一定条件的向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
2.2 子空间：子空间是向量空间的子集，也是向量空间，满足加法和数乘运算的封闭性。
2.3 线性无关与生成子空间：线性无关是指向量组中的向量之间不存在线性关系，生成子空间是指向量组中所有向量的线性组合的集合。
3. 线性映射3.1 线性映射的定义：线性映射是一个将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，保持加法和数乘运算的性质。
3.2 线性映射的矩阵表示：线性映射可以用矩阵表示，将一个向量空间的向量转化为另一个向量空间的向量。
3.3 核与像：核是线性映射中被映射为零向量的向量集合，像是线性映射中所有被映射到的向量组成的集合。
4. 矩阵的特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义：特征值是一个矩阵对应的线性变换中不改变方向的标量因子，特征向量是在特征值下发生伸缩的向量。
4.2 特征值与特征向量的计算：特征值与特征向量可以通过求解特征方程来计算。
4.3 对角化与相似矩阵：若一个矩阵相似于一个对角矩阵，则称其可对角化，对角矩阵是一个形式为对角线非零、其余元素均为零的矩阵。
5. 线性代数的应用5.1 物理学中的应用：线性代数在量子力学、力学等物理学领域有广泛应用，如描述粒子的状态和变换等。
5.2 计算机科学中的应用：线性代数在计算机图形学、机器学习等领域起到重要作用，如图像处理、数据分析等。
线性代数知识点总结归纳
线性代数知识点总结归纳线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性方程组等内容。
它在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面将对线性代数的常见知识点进行总结归纳。
1.向量和向量空间：-向量是由有序的数字组成的数组，可以用于表示空间中的点、力、速度等。
-向量的运算包括加法和数乘，其中加法满足结合律和交换律，数乘满足分配律。
-向量空间是由一组向量组成的集合，满足加法和数乘的封闭性、结合律、交换律等性质。
2.线性方程组：- 线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合，形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
-线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示，即Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
-解线性方程组的方法有高斯消元法、矩阵的逆、克拉默法则等。
3.矩阵和矩阵运算：-矩阵是由数构成的矩形阵列，可以用于表示线性变换、方程组等。
-矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。
矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。
-矩阵的转置、逆矩阵、伴随矩阵是常见的矩阵运算。
4.线性变换：-线性变换是指保持向量空间的加法和数乘运算的一种映射关系。
-线性变换可以用矩阵表示，通过矩阵与向量的乘法来实现。
-线性变换有许多重要的性质，如保持向量加法、数乘运算、保持原点不变等。
5.特征值和特征向量：-特征值是线性变换中的一个重要概念，表示线性变换沿一些方向拉伸或压缩的比例因子。
-特征向量是与特征值相关联的向量，在经过线性变换后，仅被拉伸或压缩，方向不变。
-特征值和特征向量可以通过求解线性方程组(A-λI)v=0来求得。
6.内积空间：-内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算，满足对称性、线性性、正定性等性质。
-内积可以用于定义向量的长度（模）和夹角，进而可以定义正交、正交补等概念。
- 常见的内积空间包括Euclid空间和多项式空间等。
7.正交和正交投影：-正交是指两个向量的内积为零，即它们垂直于彼此。
线性代数知识点全面总结
线性代数知识点全面总结线性代数是一门重要的数学学科，它研究的是向量空间、线性映射和线性方程组等基本概念及其相互关系。
线性代数在数学、物理、计算机科学、经济学等各个领域都有广泛的应用。
下面是线性代数的一些重要知识点的全面总结：1. 向量空间（Vector Space）向量空间由一组满足一些性质的向量组成。
向量空间的定义要求满足加法和数量乘法封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。
在向量空间中，还可以定义线性组合、线性相关性、线性无关性等概念。
2. 矩阵（Matrix）矩阵是由一组数按照一个确定的规律排列成的矩形阵列。
矩阵的加法、数量乘法等运算满足线性运算的性质。
矩阵可以表示线性方程组、线性映射等。
3. 线性映射（Linear Mapping）线性映射是指将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素，并保持向量空间的加法和数量乘法运算。
线性映射可以用矩阵表示，并且具有一些重要的性质，比如保持零向量、保持加法和数量乘法等。
4. 线性方程组（Linear System）线性方程组是一组线性方程的集合。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
线性方程组的求解可以使用消元法、矩阵求逆等方法。
5. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）特征值和特征向量是线性映射中的重要概念。
对于一个线性映射，如果存在一个非零向量x，使得线性映射作用于x的结果等于x乘以一个常数λ（即f(x)=λx），那么λ就是这个线性映射的特征值，x就是对应的特征向量。
6. 内积空间（Inner Product Space）内积空间是向量空间中引入内积运算的概念。
内积可以用来度量向量的夹角和长度，并且可以定义向量的正交性、正交投影等概念。
内积空间可以是实数域或复数域上的。
7. 正交性和正交基（Orthogonality and Orthogonal Basis）正交性是指向量之间的夹角为直角。
线性代数重要知识点总结
线性代数重要知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量、向量空间以及线性变换等概念。
在科学、工程、计算机科学等领域中都广泛应用线性代数的知识。
下面是线性代数的一些重要知识点的总结。
1.向量：向量是表示大小和方向的量，可以用有序数组表示。
向量的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
2.向量空间：向量空间是一组向量的集合，在其中向量可以进行加法和数乘运算。
向量空间必须满足闭合性、加法逆元、加法交换律、加法结合律、数乘结合律和数乘分配律等性质。
3.线性相关与线性无关：向量组中的向量可以是线性相关的，也可以是线性无关的。
线性相关表示一些向量可以由其他向量线性表示出来，而线性无关表示所有向量不能通过线性组合得到零向量。
4.矩阵：矩阵是二维数组，也可以看作是向量的扩展。
矩阵的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
5.矩阵乘法：矩阵乘法是矩阵之间的一种运算，前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
6.线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合。
可以使用矩阵的形式表示线性方程组，通过高斯消元法或矩阵求逆等方法求解线性方程组。
7.特征值与特征向量：在线性代数中，对于一个n维向量，如果它乘以一个n×n的矩阵后，仍然保持方向不变（可能会变长或变短），那么这个向量称为这个矩阵的特征向量，而乘以矩阵后的长度变化倍数称为特征值。
8.内积与外积：内积是向量之间的一种运算，满足交换律和分配律，内积为一个标量。
外积是向量之间的一种运算，满足反对称性和分配律，外积为一个向量。
9.正交与正交子空间：正交指的是两个向量的内积为零，正交子空间是由正交向量组成的向量空间。
10.线性变换：线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持向量空间的线性运算性质。
11.特征值分解：矩阵的特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
12.奇异值分解：矩阵的奇异值分解是将一个矩阵分解为奇异值和左右奇异向量的乘积的形式。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是现代数学中的一个重要分支，主要研究向量空间及其上的线性映射。
它在许多科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、经济学等。
本文将对线性代数中的一些重要知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
一、向量与矩阵1. 向量的定义与运算- 向量的表示：向量可以用有序数组表示，也可以用线段箭头表示。
- 向量的加法与减法：向量之间可以进行加法和减法运算，满足交换律和结合律。
- 向量的数乘：向量与实数之间可以进行数乘运算。
- 内积与外积：向量之间有内积和外积两种运算，分别表示向量的夹角和与之垂直的面积。
2. 矩阵的定义与运算- 矩阵的表示：矩阵可以用二维数组表示，其中每个元素称为矩阵的一个元。
- 矩阵的加法与减法：矩阵之间可以进行加法和减法运算，要求矩阵的维度相同。
- 矩阵的数乘：矩阵与实数之间可以进行数乘运算。
- 矩阵乘法：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
二、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组- 线性方程组的定义：线性方程组由一组线性方程组成，其中每个方程都是线性的。
- 解的存在性与唯一性：线性方程组的解可能没有，可能有唯一解，也可能有无穷多解。
- 线性方程组的求解方法：高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等。
2. 矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。
- 行列式：行列式是一个与矩阵相关的标量值，用于判断矩阵的可逆性和计算矩阵的特征值。
三、线性映射与特征值问题1. 线性映射- 线性映射的定义：线性映射是一个满足线性性质的函数，将一个向量空间映射到另一个向量空间。
- 线性映射的表示与运算：线性映射可以用矩阵表示，可以进行加法、减法和数乘。
- 线性映射的核与像：线性映射的核是所有映射到零向量的向量集合，像是所有映射到的向量集合。
2. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义：对于一个线性映射，若存在一个非零向量使得线性映射作用于该向量后相当于对该向量进行标量乘法，该向量称为特征向量，该标量称为特征值。
线性代数知识点汇总
线性代数知识点汇总线性代数是数学中的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它是现代数学中的一个重要基础学科，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
下面是线性代数的主要知识点的汇总。
1.向量空间：向量空间是线性代数的基本概念，它是一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的运算规则，如加法和数乘。
向量空间具有加法和数乘封闭性、结合律、分配律等性质。
2.线性变换：线性变换是向量空间之间的一种映射，它保持向量空间中的加法和数乘运算。
线性变换可以用矩阵表示，矩阵的乘法运算对应于线性变换的复合运算。
3.矩阵：矩阵是线性代数中的一种重要工具，它是一个由数构成的矩形阵列。
矩阵可以表示向量空间中的线性变换，也可以用于解线性方程组、计算行列式、求逆矩阵等。
4.行列式：行列式是一个标量值，它是一个方阵的特征量。
行列式的值可以用于判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆、求解线性方程组等。
5.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵，存在一个矩阵使得两者的乘积等于单位矩阵。
这个矩阵称为原矩阵的逆矩阵，它具有一些重要的性质，如对角矩阵的逆矩阵等。
6.线性方程组：线性方程组是线性代数中的一种基本问题，它由一组线性方程组成。
线性方程组的解可以通过矩阵的运算（如高斯消元法、矩阵的逆等）来求解。
7.特征值和特征向量：对于一个线性变换，存在一些特殊的向量，使得它们在变换后只改变了大小而没有改变方向。
这些向量称为特征向量，对应的大小称为特征值。
特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化、求解差分方程等。
8.内积空间：内积空间是一种向量空间，它定义了一种内积运算。
内积运算满足对称性、线性性、正定性等性质，它可以用于定义向量的长度、角度、正交性等。
9.正交性：在内积空间中，两个非零向量的内积为零时称为正交。
正交性是线性代数中的一个重要概念，它可以用于构造正交基、正交投影、最小二乘法等。
10.最小二乘法：最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，它通过最小化残差平方和来确定最优解。
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
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线性代数重要知识点讲解1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:①、ij A 和ij a 的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D :将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)21(1)n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D ,则(1)22(1)n n D D -=-;将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =;将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、◤和◢:副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -;⑤、拉普拉斯展开式:A O A C ABC B O B ==、(1)m n C A O AA B B O B C==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其k S 为k 阶主子式;7. 证明0A =的方法:①、A A =-; ②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵:⇔0A ≠(是非奇异矩阵); ⇔()r A n =(是满秩矩阵) ⇔A 的行(列)向量组线性无关; ⇔齐次方程组0Ax =有非零解; ⇔n b R ∀∈,Ax b =总有唯一解; ⇔A 与E 等价;⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;⇔A 的特征值全不为0; ⇔T A A 是正定矩阵;⇔A 的行(列)向量组是n R 的一组基;⇔A 是n R 某两组基的过渡矩阵;2. 对于n 阶矩阵A :**AA A A A E == 无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其均A 、B 可逆:若12s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,则: Ⅰ、12s A A A A = ; Ⅱ、11111s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭; ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(主对角分块) ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(副对角分块) ④、1 1111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) ⑤、11A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵 A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭; 等价类:所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵 A 、B ,若()()r A r B A B = ⇔ ; 2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rA E E X ,则A 可逆,且1X A -=;②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1A B -,即:1(,)(,)cA B E A B - ~ ;③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)rA b E x ,则 A 可逆,且1x A b -=; 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪⎪⎝⎭λλλ,左乘矩阵A ,i λ乘A 的各行元素;右乘,iλ乘A 的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)E i j ,且1(,)(,)E i j E i j -=,例如:1111111-⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭;④、倍乘某行或某列,符号(())E i k ,且11(())(())E i k E i k -=,例如:1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭; ⑤、倍加某行或某列,符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-,如:11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫⎪⎪=≠ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭;5. 矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤;②、()()T r A r A =;③、若A B ,则()()r A r B =;④、若P 、Q 可逆,则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;(※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+;(※) ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤;(※)⑧、如果 A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,且0AB =,则:(※) Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)⨯行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑ ;注:Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质:11112---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ; ③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵: ①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩; ②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =;③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述:①、()r A n =,A 有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;(两句话)②、()r A n <,A 有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 有n 阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax b =,其A 为m n ⨯矩阵,则:①、m 与方程的个数相同,即方程组Ax b =有m 个方程;②、n 与方程组得未知数个数相同,方程组Ax b =为n 元方程;10. 线性方程组Ax b =的求解:①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程:①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ; ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax ba a a xb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⇔= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(向量方程,A 为m n ⨯矩阵,m 个方程,n 个未知数)③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭(全部按列分块,其12n b b b β⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ ); ④、1122n n a x a x a x β+++= (线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)r A r A n β=≤(n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A :12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα; m 个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T T Tm βββ 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax =和0Bx =同解;(101P 例14)4. ()()T r A A r A =;(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义: ①、α线性相关⇔0α=;②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线(平行);③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若12,,,s ααα 线性相关,则121,,,,s s αααα+ 必线性相关;若12,,,s ααα 线性无关,则121,,,s ααα- 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r 维向量组 A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B :若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示,且A 线性无关,则r s ≤;向量组A 能由向量组B 线性表示,则()()r A r B ≤; 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解;()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ,使12l A P P P = ;①、矩阵行等价:~rA B PA B ⇔=(左乘,P 可逆)0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价:~c A B AQ B ⇔=(右乘,Q 可逆); ③、矩阵等价:~A B PAQ B ⇔=(P 、Q 可逆); 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯:①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等;②、若A 与B 行等价,则0Ax =与0Bx =同解,且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩; 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=,则:①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;②、C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解,考试可以直接作为定理使用,而无需证明; ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解;②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解;12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s sA a a a ⨯线性表示为:1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = (B AK =)其K 为s r ⨯,且A 线性无关,则B 组线性无关()r K r ⇔=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ;充分性:反证法)注:当r s =时,K 为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵m n A ⨯,存在n m Q ⨯,m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关;②、对矩阵m n A ⨯,存在n m P ⨯,n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关; 14. 12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得11220s s k k k ααα+++= 成立;(定义)⇔1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭有非零解,即0Ax =有非零解;⇔12(,,,)s r s ααα< ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为:()r S n r =-; 16. 若*η为Ax b =的一个解,12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系,则*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关;5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=(定义),性质:①、A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ; ②、若A 为正交矩阵,则1T A A -=也为正交阵,且1A =±;③、若 A 、B 正交阵,则AB 也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:12(,,,)r a a a 11b a =;1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- ; 3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A 与 B 等价⇔A 经过初等变换得到B ;⇔=PAQ B ,P 、Q 可逆; ()()⇔=r A r B ,A 、B 同型;②、A 与B 合同⇔=T C AC B ,其可逆;⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数;③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ;5. 相似一定合同、合同未必相似;若C 为正交矩阵,则T C AC B =⇒A B ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6. A 为对称阵,则A 为二次型矩阵; 7. n 元二次型T x Ax 为正定:A ⇔的正惯性指数为n ;A ⇔与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C AC E =; A ⇔的所有特征值均为正数; A ⇔的各阶顺序主子式均大于0; 0,0ii a A ⇒>>;(必要条件)。