材料力学辅导

一绪论（１）材料力学的对象：构件及其承载力（２）构件及其承载力：强度――构件抵抗破坏的能力；刚度――构件抵抗变形的能力；稳定性――构件保持原来平衡形态的能力。

（３）材料力学的任务：安全、经济（选择合适的材料、截面许可载荷）（４）变形固体及基本假设：均匀、连续、各向同行同性假设（小变形假设）（理力中一些假设不适用）小单元体性质⇔整体性质（５）弹性与塑性：去除外力，是否可以恢复（６）研究范围：弹性范围内的小变形（可按原始尺寸计算平衡问题）（７）基本方法：截面法（截、取、代、平）……内力（由外力引起。

构件内部各部分间相互作用的力）（８）应力：截面内某点的内力集度（σ、τ正交），不是平均应力应变：线应变、角应变（９）杆件（纵向》横向）的基本变形形式二 轴向拉伸与压缩（一）基本知识点轴向拉（压）的力学模型构件特征： 等截面直杆受力特征： 力作用线与轴线重合变形特征： 轴线方向伸缩（横向、纵向）1 轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力*内力 截面法轴力 轴力符号（拉为正） 轴力图2 轴向拉压杆横截面上的应力（距离杆端一定距离之外）：A F σN 均布、拉为正3轴向拉压杆的强度许用应力： []σA F σN ≤=max max拉压杆的强度计算4 轴向拉压杆斜截面上的应力*斜截面应力ασσα2cos = αστα2sin 21= （α从x 轴逆转至外法线为正）*轴向拉压杆内的最大、最小应力 ：)90(0︒= α45=α５轴向拉压杆的变形*轴向拉压杆的变形：纵向 l l l -=∆1EA l F l N =∆ 仍称为胡克定律（EA 拉压刚度）l ∆拉为正，压为负 ——弹性范围内小变形ε=σE——胡克定律 横向 b b b -=∆1 b b ∆=ε'(横向应变，负值)泊松比 εε'-=εε'=μ，Eσμ-=με-=ε'轴向拉压杆的变形能６材料在拉压时的机械性能*静拉伸试验（1）低碳钢试件的拉伸曲线分四个阶段：第 Ⅰ 阶段为弹性变形阶段。

第 Ⅱ 阶段称为屈服阶段或流动阶段。

第 Ⅲ 阶段称为强化阶段。

第 Ⅳ 阶段称为局部变形阶段。

三个重要现象：屈服（或流动）、颈缩、冷作硬化冷作硬化：弹性阶段以后，开始卸载，pσ提高，塑性降低四个特性点： 比例极限pσ （在a 点以下）应力与应变成正比。

o a 段，直线，εσE = 弹性极限e σ e σ是卸载后不产生塑性变形的最大应力， 屈服点s σ 下屈服点所对应的应力，应力达屈服点sσ时，材料将产生显著的塑性变形。

强度极限或抗拉强度b σ试件拉断前所能承受的最大横截面上的应力（断裂）。

两个塑性指标：伸长率δ%100001⨯-=l l l δ静载常温下大于5%的材料称为塑性材料，断面收缩率ψ%100010⨯-=A A A ψ（2）其它材料：塑性：无明显屈服阶段，0.2%名义屈服极限20.σ铸铁：拉伸强度极限很低*静压缩试验低碳钢：与拉伸相似，无抗压b σ铸铁： 抗压 》抗拉（破坏沿45度方向，剪切） 破坏应力：塑性s σ或20.σ，脆性bσ ７ 轴向拉压时的静不定问题*静不定问题：超静定次数——补充变形协调方程*静不定问题的解法8 应力集中（避免应力集中的措施）（二）解题方法及要点1 胡克定律的应用计算变形时，内力应以代数值代入求解结构上节点的位移，可先假设各杆可自由伸缩，再找其交点2静不定问题找静定基、列平衡方程列出变形协调条件补充物理方程联立求解三剪切、挤压及其实用计算剪切的力学模型剪切面及其内力剪切实用计算挤压及挤压力挤压实用计算四扭转（一）基本知识点１圆轴扭转时横截面上的内力分量扭转的力学模型功率、转速与外力偶矩的关系P —功率，千瓦（kW），n —转速，转/分（rpm）扭矩、扭矩图mT=“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。

(k.=nPm559２纯剪切的概念纯剪切：只有τ，没有σ剪（切）应力互等定理：d y 单元体相互垂直的两个平面上，应力必然成对出现。

且数值相等，者都垂直于两平面的交线，其方则共同指向或共同背离该交线。

'ττ=剪切胡克定律：≤τp，剪应力与剪应变成正比关系γτG=３ 圆轴扭转时横截面上的应力 横截面上剪（切）应力：ρτρPI T =，线性分布，垂直于半径P W T=m axτ 圆形截面324d I P π=４ 圆轴扭转强度计算[]στ≤=maxmax PW T实心圆截面，163d W Pπ=；对于空心圆截面，)(43116απ-=D W P 非圆截面杆不适用５ 圆轴扭转的变形 PGI Tl=φ（rad ） P GI Tl ==φϕ（rad/m ）6 圆轴扭转的刚度计算[]ϕφϕ≤==PGI Tl max7 扭转静不定问题 （二）解题方法及要点 1 圆杆扭转设计圆杆时，应同时考虑强度、刚度条件；变扭矩、变截面扭转圆杆应分段计算应力、应变；注意φ与ϕ的差别，刚度校核时用ϕ；空心圆截面惯性矩。

2 扭转静不定问题 补充相应变形协调条件五 平面图形的几何性质 （一）基本知识点 １ 静矩 形心平面图形的静矩和形心⎰=A y zdA S ⎰=A z ydA SAS y zC =，A S z y C =组合图形的静矩和形心：各简单图形静矩之和静矩的性质：针对某轴，可正可负可为０；对过图形形心轴的静矩为０（反之也成立）２ 惯性矩 惯性积 惯性半径惯性矩 ⎰=Az dAy I 2 ，⎰=A y dA z I 2， ⎰=AP dA I 2ρ均为正值（分清各量的不同，熟记常用截面之值）p z y I I I =+＝常量（ｙｚ轴正交）惯性积 ⎰=Azy zydA I 对某两轴，可正可负可为０；对过图形对称轴的惯性积为0惯性半径A I i Zz =（圆截面4di i y z ==）３ 平行移轴定理与转轴公式A b I I cy y 2+=A a I I c z z 2+=abA I I c z y yz c +=４ 转轴公式α逆转为正αα2sin 2cos 221yz zy zy y I I I I I I --++=α2cos 221zy zy z II I I I I +--+=α2cos 2sin 211yz zy z y I I I I +-=５ 主惯性轴：若0=yz I （有一轴为对称轴），则此一对轴称为主惯性轴。

主惯性矩：形对通过同一点各轴的惯性矩中的最大值和最小值。

形心主惯性轴：过形心的主惯性轴任何具有三条（或以上对称轴）的截面图形，过其形心的所有都是形心主惯性轴。

形心主惯性矩：（二）解题方法及要点１参考坐标轴（系）……计算简便（形心轴、边线）２微面积选取……根据不同图形和坐标轴计算静矩和惯性矩，一般选与该轴平行的轴３复杂图形的……分解成若干简单图形熟记常用简单图形的几何性质负面积法４型钢表……坐标轴对应，单位分清六弯曲内力（一）基本知识点1 平面弯曲――外力、轴线（杆发生弯曲变形后，仍在同一平面内）。

力学模型梁的分类2 内力分量——剪力与弯矩剪力、弯矩――计算方法（截面法、简便算法）正负规定剪力F S:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。

弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩剪力方程与弯矩方程不同截面内力一般是不同的，随截面位置的变化而变化剪力图与弯矩图注意：最大剪力与最大弯矩所在的位置、大小载荷集度、剪力和弯矩的微分关系 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷载集度的大小。

弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。

（二）解题方法及要点1.正确求支反力2.列内力方程（主要是弯矩方程）3.画内力图（方法不限）确定最大弯矩、最大剪力可利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图注意：集中力处内力图的特征集中力偶处内力图的特征()()x q xx F s =d d )(d )(d x Q xx M =)(d )(d 22x q x x M =七 弯曲应力 （一）基本知识点1 弯曲正应力2 纯弯曲与剪力弯曲3 中性层与中性轴4 平面弯曲杆横截面上的正应力zI My =σ线性分布其中y----所求点距中性轴距离，Iz---轴惯性矩，正应力的正负由y 决定。

截面上最大正应力：zI My max max=σ，令m axy I W zz =，则 zW M =maxσ梁的正应力强度条件： ][maxσσ≤=zmacx W M 5 弯曲剪应力矩形截面剪应力 b I S F Z Z s *=τ二次曲线分布 圆形截面的最大剪应力2max 34R F S πτ=剪应力强度条件： []ττ≤max6 提高梁弯曲强度的措施：合理的载荷分布、截面及应用等强度梁（二）解题方法及要点1正确画出剪力、弯矩图2 确定危险截面3 正确计算各几何量4 强度校核八 弯曲变形（一）基本知识点1 平面弯曲时的截面位移：挠度ω 、 转角θ,ωθ=2 挠曲线近似微分方程 )(''x M EI =ω积分法求梁的位移边界条件、连续性条件：3 叠加法求梁的位移4 梁的刚度条件5 弯曲的静不定问题（二）解题方法及要点1 积分法正确列出弯矩方程：反力、x的取向正确列出边界条件、连续性条件2叠加法熟记常用的几种变形形式的变形量九应力、应变分析（一）基本知识点1 应力状态点的应力状态一点应力状态的表示：全部应力情况（注意危险点）应力状态分类：主应力数值2 主平面、主应力：τ为零（总可切出具有三个主平面的单元体）。

3 平面应力状态下应力分析 解析法 注意各量的正负规定应力圆：圆心、半径、夹角 4 空间应力状态概念5 平面应力状态下的应变分析各向同性材料的应力应变关系（了解）2 2 2 x y y x min max τ σ σ τ τ + - ± = ⎩ ⎨ ⎧ ' ' ） （ ατασσσσσα2sin 2cos 22xy y x y x --++=ατασστα2cos 2sin 2xy y x +-=）222y x y x min m ax σσσσσσ+-±+=⎩⎨⎧（y x xy σστα--=22tg 0广义胡克定律体积应变6 弹性应变能（了解）压杆应变能弹性比能（应变能密度）7 强度理论概念：材料破坏的基本形式－脆断、塑性破坏常用四个强度理论：基本形式、适用条件莫尔强度理论（二）解题方法及要点1 平面应力状态下应力分析：.从受力构件（轴向拉伸、压缩、扭转、弯曲及组合变形）中正确取出单元体正确判断各量的正负熟记公式或各量的图解关系（合适的比例尺）2 强度理论：各应力均为主应力十组合变形（一）基本知识点1 概念2 斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。

在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。

中性轴过轴心只有当Iy = Iz时，中性轴与外力才垂直3拉压与弯曲：中性轴不一定过轴心偏心拉压截面核心4 扭转与弯曲：弯矩和扭矩图、与强度理论对应的校核公式（圆轴）（二）解题方法及要点基本方法－叠加法线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律小变形，保证内力、变形等与诸外载加载次序无关。