第一部分专题四 概率与统计-2021届高三数学二轮专题复习精品课件
2021版新高考数学二轮考前复习专题课件-2.4-统计与概率
x)2
(x3
x)2
（xn
x）2］
1 n
n i1
(x i
x)2，
标准差为σ=
1 n
n i1
(xi
x)2 .
(2)两组数据x1,x2,x3,…,xn与y1,y2,y3,…,yn,其中yi=axi+b,i=1,2,3,…,n,则
y =a x +b,它们的方差满足 s2y =a2 s2x ,标准差满足σy= a σx.
(1)计算方差漏乘 1 ;
n
(2)求回归直线方程系数 bˆ , aˆ 错误; (3)独立性检验中计算K2错误;
(4)频率分布直方图中把纵坐标当成频率.
2.概念理解不到位 (1)互斥事件与对立事件关系模糊; (2)对样本的数字特征认识不到位; (3)条件概率与二项分布问题理解有误. 3.求离散型随机变量的分布列时忽视所有事件的概率和为1.
其中
x
=
1 n
n i1
xi,y
1 n
n i1
yi.
3.随机变量的期望与方差
(1) E(a b) aE() b;
(2) D(a b) a2D().
4.二项分布X～B(n,p)的期望与方差 (1)E(x)=np; (2)D(x)=np (1 p).
【易错警示】防误区
1.公式模糊,计算出错
专题四 统计与概率
必备知识·整合回顾
【核心知识】建体系
【常用结论】精归 x+ aˆ 必过定点（x, y）,其中
x
1 n
n i1
xi,y
1 n
n i1
yi.
2.方差与标准差
(1)一组数据x1,x2,x3,…,xn,它们的方差为
2021届高考数学【新课改版】二轮专题四概率与统计 统计、统计案例ppt下载
(2)理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数字特征(如 平均数、标准差)，并作出合理的解释； (3)体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体 分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初 步体会样本频率分布和数字特征的随机性. 3.统计案例 (1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并 利用散点图直观认识变量间的相关关系．知道最小二乘法的思 想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程， 并能初步应用； (2)通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究，了解 独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.
频率 频率＝组距×组距
频率比 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，各小 长方形高的比也就是频率比
众数 最高小长方形底边中点的横坐标 平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与
中位数 横轴交点的横坐标 频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形
平均数 底边中点的横坐标之和
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[跟踪训练] (2020·安徽省部分重点学校联考)由于受到网络电商的冲击， 某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，造成了一定的经济 损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统 计如图所示．
Contents
1 考点1 用样本估计总体 2 考点2 统计案例 3 考点3 概率与统计的综合问题 4 专题检测 5 高考5个大题 解题研诀窍
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考点1 用样本估计总体
返回
[例1] (2020·全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工 出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加 工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收 取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原 料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲 分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂 家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
2021高考数学复习高考中的概率与统计问题课件理北师大版
经典微课堂 规范答题系列4 高考中的概率与统计问题
2
[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，在高考的解答题 中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点 又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计 成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计 图表的识别等知识为主的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题 为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的 能力．
15
故六月份这种冰激凌一天的需求量 X(单位：桶)的分布列为
X
200 400
600
P
1
2
2
5
5
5
16
(2)由题意得， 当 n≤200 时，EY＝2n≤400； 当 200<n≤400 时，EY＝15×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋45×n×2 ＝65n＋160∈(400,640]； 当 400<n≤600 时， EY＝15×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋25×[400×2＋(n－400)×(－2)] ＋25×n×2＝－52n＋800∈[560,640)；
不会证明：{pi＋1－pi}(i＝ 0,1,2，…，7)为等比数列.
采用累加递推法求解.
11
[通性通法] 随机变量分布列类问题的求解步骤： (1)定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值． (2)定性：明确每个随机变量取值所对应的事件． (3)定型：确定事件的概率模型和计算公式． (4)计算：计算随机变量取每一个值的概率． (5)列表：列出分布列． (6)求解：根据公式求期望．
桶，如果最高气温低于 20 ℃，需求量为 200 桶．为了确定六月份的
「精品」高考数学二轮复习概率2统计和概率课件理-精品资料
5．理解古典概型及其概率计算公式，了解随机数的意义，能运用模 拟方法估计概率。
二、高考真题再现
甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随
机取出一球放入乙罐，分别以 A1, A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙
高考数学第二轮专题复习 概率
【复习目标】
1． 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系 统抽样方法。
2．om 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标 准差；能 从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的 解释。
3． 会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量 间的相关关系。
课堂小结
1.我们学习的目标和主要内容 2.本节课优秀小组及个人 3.本节课后的建议
快乐多一点，合作多一点，自信多一点，我们就 进步大一点！
例 3、随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，
42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，
36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数 频率
[25，30]
罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出
所有正确结论的编号）。
① PB 2 ；
5
②
P
B
|
A1
5 11
高考二轮总复习课件(适用于新高考新教材)数学专题四概率与统计
)
答案 CD
解析 =
1
∑ xi,y
=1
=
1 n
∑
n i=1
数相差 c,故 B 错误;2 =
+ = +c,故 A 错误;两组样本数据的样本中位
1
∑ (xi-)2,2
=1
=
1
∑ [(xi+c)-(+c)]2=2 ,故
=1
x 极差=xmax-xmin,y 极差=(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,故 D 正确.
设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值
xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则称下表为离散型随机变量X的分布列.
X
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
名师点析
1.离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)pi≥0(i=1,2,…,n);
C 正确;
6.(2022·全国乙·文19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青
山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每
棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
10
10
10
=1
i=1
=1
并计算得 ∑ xi2 =0.038, ∑ 2 =1.615 8, ∑ xiyi=0.247 4.
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
)
答案 B
专题4理 概率与统计-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件
● D．85和85
●
【解析】 (1)对于选项A：2019年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，
● 差值为4 397－2 411＝1 986，接近2 000万件，
● 所以A是正确的；
● 对于选项B：2019年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%， 在3月最高，
专题4理 概率与统计-2021届高三高考数学二 轮复习 PPT全 文课件
专题4理 概率与统计-2021届高三高考数学二 轮复习 PPT全解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范
围．
(2)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n个个体，样
本就需要分成n个组，则分段间隔为
●
()
● A．15
B．16
C．17
D．18
C
专题4理 概率与统计-2021届高三高考数学二 轮复习 PPT全 文课件
●
【解析】 由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组，共分50组，
● 高二学生编号为496到985，在第17组到33组内，
● 第17组编号为16×30＋23＝503，为高二学生，
2.22＋26.22＋19.82)＝307.16，
故选D．
● 关于平均数、方差的计算
● 样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意区分方差与标准差， 不能混淆，标准差是方差的算术平方根．
●
3 ． ( 2 0 2 0 ·广 陵 区 校 级 模 拟 ) 某 地 区 连 续 5 天 的 最 低 气 温 ( 单 位 ： ℃ ) 依 次 为 8 ， － 4 ， － 1 , 0 , 2 ，
考点一 抽样方法
● 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同 特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总 体容量的比值．
2024届新教材高考数学二轮复习 概率 课件(69张)
A.15
B．13
C．25
D．23
【解析】 从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，
(5,6)，15 种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，
2.古典概型 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
多 维 题 组·明 技 法
角度1：随机事件的关系 1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中 任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D ) A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治 C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率 为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－ β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率 大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3 表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与 事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选 项A，C，D错误，选项B正确．故选B.
《高三数学概率》课件
古典概型和几何概型
深入了解古典概型和几何概型，掌握如何应用 它们来计算概率。
独立事件和加法原理
探索独立事件和加法原理，以及如何应用它们 解决实际问题。
第二部分：随机变量与概率分布
随机变量的概念与分类
理解随机变量的定义和分类，以及它们在概率分布 中的作用。
离散型随机变量及其概率分布
学习离散型随机变量的特征和常见的概率分布，如 二项分布和泊松分布。
《高三数学概率》PPT课 件
通过这个PPT课件，你将在《高三数学概率》领域掌握一系列基础概念、重 要原理和实际应用。准备好投入这个令人兴奋的数学领域吧！
第一部分：概率基础
什么是概率？
探索概率的定义，从数学和实际生活中的角度 来理解概率的概念。
条件概率和乘法原理
学习条件概率和乘法原理的基本概念和计算方 法。
第五部分：概率模型的应用
1
概率模型在生活中的应用
探索概率模型在风险评估、市场营销、
风险与收益的权衡
2
医学研究等实际应用中的重要性。
了解如何根据概率模型来评估风险和收
益，并做出明智的决策。
3
数据加密与社会安全
学习如何使用概率模型来加密数据，保
机器学习与人工智能的基础
4
护个人隐私和社会安全。
通过学习概率模型，了解机器学习和人 工智能的基本原理和应用。
第四部分：统计推断和假设检验
点估计和区间估计
学习如何使用统计推断进行点估计和区间估计，以 便从间的概念，以评估估计结果 的可靠性。
假设检验的概念和步骤
探索假设检验的基本概念和步骤，并学习如何做出 正确的推断。
类型I和类型II错误
了解类型I和类型II错误的定义和影响，以及如何最 小化它们的发生。
模块二讲重点 概率与统计(4)概率统计大题-2021届高考数学二轮复习课件(新高考版)
模 块 二 讲 重 点 第 1 0讲 概 率 与统 计（4） 概率统 计大题 -2021 届高考 数学二 轮复习 课件（ 新高考 版）
∴随机变量X的分布列为：
X0
1
2
3
P
1 30
3 10
1 2
1 6
∴E(X)＝0×310＋1×130＋2×12＋3×16＝95.
方法二：∵X服从超几何分布H(10，6，3)，∴E(X)＝
，D(X)＝
nM N
1－MN
N－n N－1
，
求其期望与方差．
模 块 二 讲 重 点 第 1 0讲 概 率 与统 计（4） 概率统 计大题 -2021 届高考 数学二 轮复习 课件（ 新高考 版）
模 块 二 讲 重 点 第 1 0讲 概 率 与统 计（4） 概率统 计大题 -2021 届高考 数学二 轮复习 课件（ 新高考 版）
(2)公式法解决超几何分布问题是指利用超几何分布的公 式，求离散型随机变量的分布列、期望与方差的方法，破解此 类题的关键点：
①判断．判断离散型随机变量X是否服从超几何分布H(N， M，n)．
模 块 二 讲 重 点 第 1 0讲 概 率 与统 计（4） 概率统 计大题 -2021 届高考 数学二 轮复习 课件（ 新高考 版）
模 块 二 讲 重 点 第 1 0讲 概 率 与统 计（4） 概率统 计大题 -2021 届高考 数学二 1 0讲 概 率 与统 计（4） 概率统 计大题 -2021 届高考 数学二 轮复习 课件（ 新高考 版）
(1)若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分 层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至 少有1件一等品的概率；
生k次的概率．
(2)关键字词：用频率估计概率，从某地的所有人员中，或
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题四 概率与统计 专题四 概率与统计
其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)共6
6
种,故所求概率为15
=
2
,故选
A.y=a+bx
B.y=a+bx2
)
C.y=a+bex
D.y=a+bln x
答案 D
解析 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模
型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x.
4.(2019·全国Ⅱ·文14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的
高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10
6.3+10.1
7.4+9.0
7.6+9.2
周的各周课外体育运动时长数据,∵ 2 >8, 2 >8, 2 >8,∴乙同学周
课外体育运动时长的样本平均数大于 8,故 B 正确;乙同学仅有 3 周的课外体育
运动时长小于 8,由频率估计概率,乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的
16-3
估计值为 16 >0.6,故
(
)
A.y=a+bx
B.y=p+qcx(q>0)
C.y=m+nx2(n>0)
D.y=c+d
(2)(2022·重庆三模)北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物
“雪容融”一亮相,好评不断.为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人
2023高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四微专题1概率与统计课件
专题四 概率与统计
类型一 统计 1．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知 识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座 后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问 卷答题的正确率如图，则( )
专题四 概率与统计
14 种，故所求概率为1241＝23.
故选 D.
答案：D
专题四 概率与统计
3．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛 结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p1，p2， p3，且 p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为 p，则( ) A．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大
5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共 15 种取法，其中抽到的 2 张卡片
上的数字之积是 4 的倍数有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，
6)，共 6 种情况，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率 P＝
165＝25；故选 C.
答案：C
专题四 概率与统计
2．(2022·新高考卷Ⅰ)从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2
个数互质的概率为( )
A.16
B.13
1
2
C.2
D.3
解析：从 2 至 8 的 7 个整数中任取两个数共有 C27＝21(种)方式，其中互质
的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共
2021-2022年高考数学二轮复习第一部分专题四概率与统计教学案文
2021年高考数学二轮复习第一部分专题四概率与统计教学案文2.古典概型与几何概型(3年6考)图、样本数字特征等)有机地交融在一起，有时仅考查利用统计知识(特别是线性回归方程)解决实际问题，题型主要有：1.概率与用样本估计总体交汇问题2.回归分析与统计的交汇问题偶考点变量间的相关关系、统计案例偶考点独立性检验与统计的交汇问题考点(一) 主要考查用统计图表估计总体以及利用样本的数字特征估计总体，且以统计图表的考查为主.用样本估计总体平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20[解析] (1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D 错误．(2)∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙．又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．(3)易知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.[答案] (1)D (2)B (3)D[方法技巧]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算． (2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大． 2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．[演练冲关]1．(xx·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了xx 年1月至xx 年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：选A 根据折线图可知，xx 年8月到9月、xx 年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确．2．(xx·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3,5B ．5,5C ．3,7D ．5,7解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以15×[56＋62＋65＋74＋(70＋x )]＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x ＝3.3．某电子商务公司对10 000名网络购物者xx 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a ＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a ＝3. (2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000考点(二)主要考查线性回归方程的求解及应[典例感悟][典例] (1)(xx·兰州诊断)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60(2)(xx·南昌模拟)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg [解析] (1)x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m5.∵当x －＝5时，y －＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m5＝50，解得m ＝60. (2)因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．[答案] (1)D (2)D[方法技巧]求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解b ^，a ^的计算公式和准确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．[演练冲关]1．(xx 届高三·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：由上表可得回归方程为y ＝10.2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( ) A ．101.2万元 B ．108.8万元 C ．111.2万元D ．118.2万元解析：选C 根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2.当x ＝10时，y ＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.2．(xx 届高三·湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．99.5%D ．95%解析：选D 由表中数据可得，当k >3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130(2)(xx·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12D.π4(3)(xx 届高三·湖北五市十校联考)在矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率为( )A.22B.32C.2－1D.3－1[解析] (1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S 黑＝12S 圆＝π2，故此点取自黑色部分的概率P ＝π24＝π8.(3)分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，交CD 于P 1，P 2，则当P 在线段P 1P 2间运动时，能使得△ABP 的最大边是AB ，在Rt △P 2BC中，BP 2＝2，BC ＝1，故CP 2＝3，DP 2＝2－3，同理CP 1＝2－3，所以P 1P 2＝2－(2－3)×2＝23－2，所以P 1P 2CD＝3－1，即△ABP 的最大边是AB的概率为3－1.[答案] (1)C (2)B (3)D[方法技巧]1．利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数． (2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．[演练冲关]1．(xx 届高三·湘中名校联考)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )A.29B.13C.49D.14解析：选A 从集合A ，B 中随机选取一个数后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9对，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a ≥0，b ≥0，共有2对满足，所以所求概率P ＝29，故选A.2．(xx·长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP ＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.3．(xx·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110 B.15 C.310 D.25解析：选D 记两次取得卡片上的数字依次为a ，b ，则一共有25个不同的数组(a ，b )，其中满足a ＞b 的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P ＝1025＝25.4．(xx·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.5．(xx·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率P ＝3－－25－－4＝59.答案：59[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．概率的计算公式 (1)古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；(2)互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(3)对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；(4)几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2．抽样方法(1)三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系适用范围 简单随 机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统 抽样个个体被抽到的机会(概率)相等将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取 在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成(2)分层抽样中公式的运用①抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量；②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量． 3．用样本数字特征估计总体 (1)众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据 体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一 中位数 将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个 平均数 样本数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小． ①方差：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]；②标准差：s ＝1n[x 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2] .(二) 二级结论要用好 1．频率分布直方图的3个结论 (1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.2．与平均数和方差有关的4个结论(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ； (2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x ′1＝x 1＋a ，x ′2＝x 2＋a ，…，x ′n ＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2；(4)s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2＝1n ∑i ＝1nx 2i －x －2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．求s 2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式． 3．线性回归方程线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．[针对练1] (xx 届高三·惠州调研)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：由最小二乘法求得回归方程y ＝0.67x ＋a ，则a 的值为________． 解析：因为x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，y －＝62＋68＋75＋81＋895＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，将其代入y ^＝0.67x ＋a ^，可得75＝0.67×30＋a ^，解得a ^＝54.9. 答案：54.9(三) 易错易混要明了1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等)．[针对练2] 一种小型电子游戏的主界面是半径为r 的圆，点击圆周上的点A 后，该点在圆周上随机转动，最后落在点B 处，当线段AB 的长不小于3r 时自动播放音乐，则一次转动能播放音乐的概率为________．解析：如图，当|AB |≥3r ，即点B 落在劣弧CC ′上时才能播放音乐．又劣弧CC ′所对应的圆心角为2π3，所以一次转动能播放音乐的概率为2π32π＝13. 答案：13[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(xx·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 根据分层抽样方法，得 1 2001 000＋1 200＋n×81＝30，解得n ＝1 040.2．(xx 届高三·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎪⎬⎪⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎪⎬⎪⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别为12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52，故选D.3．(xx·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )A ．5B ．7C ．10D ．50解析：选D 根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50，故选D.4．(xx·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nmC.4m nD.2m n解析：选C 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n，所以π＝4mn.5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解析：选D 因为所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.6．甲、乙两位歌手在“中国新歌声”选拔赛中，5次得分情况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则下列判断正确的是( )A.x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定B.x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定C.x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定D.x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定 解析：选B x 甲＝76＋77＋88＋90＋945＝85，x 乙＝75＋88＋86＋88＋935＝86，s 2甲＝15[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，s 2乙＝15[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，所以x 甲＜x 乙，s 2甲＞s 2乙，故乙比甲成绩稳定，故选B.7．(xx·洛阳统考)若θ∈[0，π]，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12成立的概率为( )A.13B.12C.23D ．1 解析：选B 依题意，当θ∈[0，π]时，θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3>12得π3≤θ＋π3<5π6，即0≤θ<π2.因此，所求的概率为π2π＝12. 8．将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m ，n ，m 为2或4时，m ＋n >5的概率为( )A.227 B.29 C.13 D.23解析：选D 依题意得，先后抛掷两次骰子所得的点数对(m ，n )为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，…，(6,5)，(6,6)，共有36组，其中当m ＝2或4时，相应的点数对(m ，n )共有12组．当m ＝2时，满足m ＋n >5，即n >3的点数对(m ，n )共有3组；当m ＝4时，满足m ＋n >5，即n >1的点数对(m ，n )共有5组，因此所求的概率为3＋512＝23.9．(xx·惠州调研)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，田忌马获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，所以田忌的马获胜的概率为13.10．(xx 届高三·西安八校联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A.34B.23C.12D.14解析：选D 依题意得，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD 的内部(含边界)，其面积为1×1＝1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，1≤y ≤2，y ≤2x表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)，其面积为12×12×1＝14，因此所求的概率为14.11．(xx 届高三·广东五校联考)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A.12B.13C.24D.23解析：选C 若直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|3k |1＋k2<1，解得－24<k <24，故在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为P ＝222＝24.12．已知样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )，若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝a x ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定解析：选A 由题意可得，x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，则z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m n ＋m ＝n n ＋m ·x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m n ＋m ·y 1＋y 2＋…＋y mm ＝n n ＋m·x ＋mn ＋m ·y ＝a x ＋(1－a )y ，所以nn ＋m＝a ，mn ＋m ＝1－a ，又0<a <12，所以0<n n ＋m <12<mn ＋m，故n <m .二、填空题13．(xx·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________．解析：设样本数据的平均数为x －，则y i ＝2x i －1的平均数为2x －－1，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为12 017[(2x 1－1－2x －＋1)2＋(2x 2－1－2x －＋1)2＋…＋(2x 2 017－1－2x －＋1)2]＝4×12 017[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 2 017－x －)2]＝4×4＝16.答案：1614．(xx 届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝log a x ＋log 1a 8(a >0，且a ≠1)，在集合14，13，12，3,4,5，6,7中任取一个数a ，则f (3a ＋1)>f (2a )>0的概率为________． 解析：∵3a ＋1>2a ，f (3a ＋1)>f (2a )，f (x )＝log a x －log a 8，∴a >1.又f (2a )>0，∴2a >8，即a >4，符合条件的a 的值为5,6,7，故所求概率为38.答案：3815．(xx·张掖模拟)在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为________．解析：由2≤2sin θ＋2cos θ≤2，得22≤sin θ＋π4≤1，结合θ∈[0，π]，得满足条件的θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴使2≤2sin θ＋2cos θ≤2成立的概率为π2π＝12.答案：1216．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲>x －乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m ，由15(84＋85＋87＋90＋m ＋99)＝15(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m ＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m 的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m ＝6,7,8,9时，x －甲>x －乙，故所求概率为410＝25.答案：25B 组——能力小题保分练1．(xx·成都模拟)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A.1136 B.14 C.12 D.34解析：选D 如图所示，以5：30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34.2．(xx·广州模拟)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.14B.716C.12D.916解析：选B 四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币抛出的硬币正面记为0，反面记为1，则总的基本事件为(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有16种情况．若四个人同时坐着，有1种情况；若三个人坐着，一个人站着，有4种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有2种情况．所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1＋4＋2＝7种，故所求概率为716.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，即(8－2d )(8＋4d )＝64，又d ≠0，所以d ＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为S 1010＝4＋22×510＝13，中位数为12＋142＝13.4．根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7y4.0a －5.4 －0.50.5b －0.6得到的回归方程为y ＝bx ＋a .若样本点的中心为(5,0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位解析：选B 依题意得，4.0＋a －5.4－0.5＋0.5＋b －0.65＝0.9，故a ＋b ＝6.5；①又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b ＋a ，②联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9， 所以当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位．5．正六边形ABCDEF 的边长为1，在正六边形内随机取点M ，则使△MAB 的面积大于34的概率为________．解析：如图所示，作出正六边形ABCDEF ，其中心为O ，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，则OG 的长为中心O 到AB 边的距离．易知∠AOB ＝360°6＝60°，且OA ＝OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝1，OG＝OA ·sin 60°＝1×32＝32，即对角线CF 上的点到AB 的距离都为32. 设△MAB 中AB 边上的高为h ，则由S △MAB ＝12×1×h >34，解得h >32.所以要使△MAB 的面积大于34，只需满足h >32，即需使M 位于CF 的上方．故由几何概型得，△MAB 的面积大于34的概率P ＝S 梯形CDEF S 正六边形ABCDEF ＝12. 答案：126．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n ＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n 36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n 36＝n6，篮球运动员人数为12×n 36＝n 3，足球运动员人数为18×n 36＝n2，可知n 应是6的倍数，36的约数，故n ＝6,12,18.当样本容量为n ＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n 为6.答案：6第二讲 大题考法——概率与统计题型(一)主要考查随机事件的概率、古典概型、频率分布直方图、茎叶图等的应用.概率与用样本估计总体的交汇问题[典例感悟][典例1] (xx·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？[解] (1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700，所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19，(x ∈N)．(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．[备课札记]。
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第一部分专题四 概率与统计-2021届高三数学二轮 专题复 习课件
专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
4．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经 统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率 为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正 点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为________．
真题研析 命题分析 知识方法
若在客场输一场，则概率为 2×0.6×0.6的概率 P＝2×0.6×0.5×0.5× (0.6＋0.4)×0.6＝0.18.
答案：0.18
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解析：甲队以 4∶1 获胜，甲队在第 5 场(主场)获胜， 前 4 场中有一场输．
若在主场输一场，则概率为 2×0.6×0.4×0.5×0.5× 0.6；
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专题四 概率与统计
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专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7× 0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8× 0.15＝6.00.
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)， 求 f(p)的最大值点 p0.
专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格 品，以(1)中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验 费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每 件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
甲、乙两球都不落入盒子的概率为1－12×1－13＝13，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 1－13＝23.
答案：16
2 3
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专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
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专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
类型二 古典概型、相互独立事件的概率与条件概率
1．(2020·全国卷Ⅰ)设 O 为正方形 ABCD 的中心，在
O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率
专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
2．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每 箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这 箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对 余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率 都为 p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
A．10 B．18
C．20
D．36
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真题研析 命题分析 知识方法
解析：由题意可得，直径落在区间[5.43，5.47)之间 的零件频率为：(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，则区间[5.43， 5.47)内零件的个数为：80×0.225＝18.
答案：B
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真题研析 命题分析 知识方法
(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．
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专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
解：(1)记事件 M：甲连胜四场，则 P(M)＝124＝116. (2)记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4× 124＝14， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 P＝1－P′＝34.
解析：甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16，
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真题研析 命题分析 知识方法
为( )
A.15
B.25
C.12
D.45
解析：如图，从 O，A，B，C，D5 个点
中任取 3 个有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，
A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，
D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}
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解析：因为 ξ＝0 对应事件为第一次拿红球或第一次 拿绿球，第二次拿红球，
所以 P(ξ＝0)＝14＋14×13＝13，随机变量 ξ＝0，1，2，
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真题研析 命题分析 知识方法
P(ξ＝1)＝24×13＋24×13×12＋14×23×12＝13，P(ξ＝2)＝1－13 －13＝13，
所以 E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1. 答案：13 1
3．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设， 农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图，则 下列结论中不正确的是( )
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专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
共 10 种不同取法，3 点共线只有{A，O，C}与{B，O，
D}共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3
点共线的概率为120＝15. 答案：A
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专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
2．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分 别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两 球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一 个落入盒子的概率为__________．
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真题研析 命题分析 知识方法
A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和 超过了经济收入的一半 解析：因为经济收入增加了一倍，0.37×2>0.6，所 以新农村建设后，种植收入增加，故选 A. 答案：A
3．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取 七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结 束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主 主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜 的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是________．
解析：平均正点率的估计值＝ 0.97×10＋0.984×0 20＋0.99×10＝0.98. 答案：0.98
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专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
5．(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体 内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A， B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出 残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到 如下直方图：
专题四 概率与统计
真题研析 命题分析 知识方法
(3)记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输， 记事件 M：甲赢，记事件 N：丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、 BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC， 所以，甲赢的概率为 P(M)＝124＋7×125＝392. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 P(N)＝1－2×392＝176.
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4．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球 比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签 决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮 空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘 汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一 人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙 首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.
答案：C
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2．(2020·天津卷)从一批零件中抽取 80 个，测量其直 径(单位：mm)，将所得数据分为 9 组：[5.31，5.33)，[5.33， 5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下 频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43，5.47)内的个数为( )