2020-2021北京市初二数学上期末试题(附答案)
2020-2021学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列计算正确的是()A. 2−1=−2B. a3⋅a3=2a3C. (−7)0=1D. (−c)4÷(−c)2=−c22.以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是()A. 节能B. 绿色环保C. 永洁环保D. 绿色食品3.计算结果不为a8的是()A. a10÷a2B. a2×a6C. (a4)2D. a4+a44.画∠AOB的角平分线的方法步骤是：①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；②分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．请你说明这样作角平分线的根据是()A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5.化简分式a2−abb2−a2的结果是()A. aa+b B. a+baC. a−a−bD. aa−b6.要使(−6x3)(x2+ax−3)的展开式中不含x4项，则a=()A. 1B. 0C. −1D. 167.已知P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，则m与n的大小关系是()A. m>nB. m<nC. m=nD. 无法确定8.下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁，其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，设完成此项工需x天，由题意得方程()A. x10+x6=1 B. x+310+x−36=1C. x10+x−36=1 D. x−310+x6=110.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点M从点B出发沿线段BC匀速运动至点C，过点M作MN⊥AB于N，则△BMN面积S与点M的运动时间t之间的函数图象大致是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共9小题，共24.0分）11.要使−3√3−a有意义，则a的取值范围是______ ．12.如图，已知正方形ABCD，定点A(1,3)，B(1,1)，C(3,1)，AC、BD交于M，M点坐标为(2,2)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2017此变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为______ ．13.计算：(3ab+2b)÷b=______．14.如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是90cm，AB=30cm，AC=20cm，那么EF的长等于______cm．15.小重和小庆相约从学校出发沿同一路线到“开心之洲”玩耍．小重出发1分钟后小庆才出发，小重出发6分钟后发现自己钱包没有带，于是立即掉头并将速度提高为原来的两倍跑步回学校，回学校取到钱包后保持跑步的速度立即赶往“开心之洲”，最终比小庆早1分钟到达．小重两次掉头的时间和取钱包的时间忽略不计，小庆全程保持匀速，小重、小庆相距的路程y(米)和小庆出发的时间t(分)之间的函数关系如图所示，则学校到“开心之洲”的路程为______米．16.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，所得边框等宽．将其裁成四个矩形(如图甲)，然后拼成一个大矩形(如图乙).那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式．17.如图.在Rt△ABC中，∠BAC=60°，以点A为圆心、任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧.两弧交于点P.作射线AP交BC于点E.若BE=1，则Rt△ABC的周长等于______ ．18.一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么k______0，b______0.19.1a+1−aa2−1=______．三、解答题（本大题共10小题，共66.0分）20.(1)因式分解：9a2(x−y)−b2(x−y) (2)解方程：(x+3)(x−5)−(x+1)(x−1)=221.化简或计算：(1)a2−aba2÷a2−b2ab；(2)a+1−a2a−1．22.如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．23. 解方程：2xx−2=1+12−x．24. 如右图，已知F是DE的中点，∠D=∠E，∠DFN=∠EFM.求证：DM=EN．25. 甲、乙两台机器共加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率．从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时．甲、乙两台机器各自加工的零件个数y(个)与加工时间x(时)之间的函数图象分别为折线OA−AB与折线OC−CD.如图所示．(1)甲机器改变工作效率前每小时加工零件______ 个．(2)求乙机器改变工作效率后y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．(3)求这批零件的总个数．(4)直接写出当甲、乙两台机器所加工零件数相差10个时，x的值为______ ．x+b+2t−5 26. 如图在平面直角坐标系中，已知直线y=tx+2t交x轴负半轴于点B；直线y=−tb 交x轴正半轴于点C，且这两条直线与y轴交于同一点A．(1)求BC的长．(2)作BC的垂直平分线交线段AC于点F，交x轴于E，连接BF交y轴于点K，若AK的长为d，求d与t的函数关系式．(3)在(2)的条件下，过点F作x轴的平行线FG，连接BG交CF于H，连接CG，若当∠BGC+∠BHC=180°时，BH=3CG，求点H的坐标．27. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(−4,0).点B的坐标(2,0)，点C的坐标为(0,4)，连接BC，AC，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，交OC于点E．(1)求证：△AOE≌△COB；(2)求线段AE的长：(3)若点D是AC的中点，点M是y轴负半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，设S=S△CDM−S△ADN，在点M的运动过程中，S的值是否发生改变？若改变，直接写出S的范围；若不改变，直接写出S的值．28. 将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=9，OC=15．(1)如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求直线EC的解析式；(2)如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥CO于点G点，交MF于T点．①求证：TG=AM；②设T(x,y)，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示(指出变量x的取值范围)；(3)在(2)的条件下，当x=6时，求出四边形MOFD′的面积．29. 在平面直角坐标系中，点A(−3,0)，B(0,4)．(1)直接写出直线AB的解析式；(2)如图1，过点B的直线y=kx+b交x轴于点C，若∠ABC=45°，求k的值；(3)如图2，点M从A出发以每秒1个单位的速度沿AB方向运动，同时点N从O出发以每秒0.6个单位的速度沿OA方向运动，运动时间为t秒(0<t<5)，过点N作ND//AB交y轴于点D，连接MD，是否存在满足条件的t，使四边形AMDN为菱形，判断并说明理由．参考答案及解析1.答案：C，故选项A不合题意；解析：解：2−1=12a3⋅a3=a6，故选项B不合题意；(−7)0=1，正确，故选项C符合题意；(−c)4÷(−c)2=c2，故选项D不合题意．故选：C．分别根据负整数指数幂的运算法则，同底数幂的乘法法则，任何非0数的0次幂等于1以及同底数幂的除法法则计算逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法以及负整数指数幂，非0数的0次幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2.答案：D解析：解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；D.是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．3.答案：D解析：解：A.a10÷a2=a10−2=a8，故本选项不合题意；B.a2×a6=a2+6=a8，故本选项不合题意；C.(a4)2=a4×2=a8，故本选项不合题意；D.a4+a4=2a4，故本选项符合题意；故选：D．分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．4.答案：A解析：先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．从画法①可知OA=OB，从画法②可知CM=CN，又OC=OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，∴∠MOC=∠NOC，即射线OC就是∠AOB的角平分线．故选A．5.答案：C解析：此题考查了约分，找出分子分母的公因式是解本题的关键．原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果．解：原式=−a(a−b)(a+b)(a−b)=−a a+b=a−a−b．故选C．6.答案：B解析：解：原式=−6x5−6ax4+18x3，由展开式不含x4项，得到a=0，故选：B．原式利用单项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x4项求出a的值即可．此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.答案：A解析：解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，∴y随着x的增大而减小．∵P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，−2<1，∴m>n．故选：A．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−2<1即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8.答案：C解析：本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，难度不大，属于基础题．要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，从而得出正确选项．解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有3条对称轴，故②正确；③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；综上有②、③两个说法正确．故选C．9.答案：C解析：解：设需x天完成，根据题意得：x10+x−36=1，故选C．设乙还需x天完成，根据甲单独完成一项工程需要10天，乙单独完成一项工程需要6天．这项工程，甲独做3天后乙再加入合做，可列方程求解．本题是个工程问题，根据工作量=工作时间×工作效率，且完成工作，工作量为1，可列方程．10.答案：A解析：试题分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义得出sinB与cosB的值，设点M的速度为a，则BM=at，再用at表示出MN及BN的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．∵Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∴sinB=ACAB =35，cosB=BCAB=45，设点M的速度为a，则BM=at，∵MN⊥AB，∴sinB=MNBM =MNat=35，cosB=BNBM=BNat=45，∴MN=3at5，BN=4at5，∴S△BMN=12BN⋅MN=12×4at5×3at5=6a2t225，∴△BMN面积S与点M的运动时间t之间的函数图象是二次函数在第一象限的一部分．故选A．11.答案：a<3解析：本题考查了二次根式的意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；分式有意义，分母不等于0．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，3−a>0，解得a<3．故答案为a<3．12.答案：(−2015,−2)解析：解：∵正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)．∴对角线交点M的坐标为(2,2)，根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2−1,−2)，即(1,−2)，第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2−2,2)，即(0,2)，第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2−3,−2)，即(−1,−2)，第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)，∴连续经过2017次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(−2015,−2)．故答案为：(−2015,−2)．由正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)，继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．此题考查了翻折变换(折叠问题)，点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)是解此题的关键．13.答案：3a+2解析：解：(3ab +2b)÷b =3a +2，故答案为3a +2．根据多项式除法的运算法则可计算求解．本题主要考查整式的除法，掌握整式除法的运算法则是解题的关键．14.答案：40解析：解：∵△ABC≌△DEF ，∴BC =EF ，∵△ABC 的周长是90cm ，AB =30cm ，AC =20cm ，∴EF =BC =90−30−20=40cm ．故答案为：40．根据全等三角形对应边相等可得BC =EF ，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 15.答案：2160解析：解：设小庆的速度为a 米/分，小重开始的速度为b 米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，∴{3a −4b =05a −6b =40，解得：{a =80b =60， 即小庆的速度为80米/分，小重开始的速度为60米/分，∴小重提速后的速度为60×2=120(米/分)，设小庆t 分钟到达．则小重用时(t +1−6−3−1)分钟，80t =120(t +1−6−3−1)，解得：t =27，∴学校到“开心之洲”的路程为80×27=2160(米)．故答案为：2160．设小庆的速度为a 米/分，小重开始的速度为b 米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，列方程组可得a ，b 的值，可得小重提速后的速度，设小庆t 分钟到达．则小重用时(t +1−6−3−1)分钟，根据路程相等列方程求出t ，小庆的速度×t 即可得学校到“开心之洲”的路程．本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数的性质和数形结合的思想解答．16.答案：解析：本题主要考查平方差公式根据题意可以得出左边图形的面积为：；右边图形的面积为：；所以17.答案：3√3+3解析：解：由作法得AE平分∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠BAE=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AB=√3BE=√3，在Rt△ABC中，AC=2AB=2√3，BC=√3AB=√3×√3=3，∴Rt△ABC的周长=√3+3+2√3=3√3+3．故答案为3√3+3．利用基本作图得到AE平分∠BAC，则∠BAE=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABE 中计算出AB=√3，在Rt△ABC中计算出AC=2√3，BC=3，然后可得到Rt△ABC的周长．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．18.答案：<>解析：解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k<0，b>0．故答案为：<；>．由一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系即可找出k，b的正负．本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．19.答案：11−a2解析：解：原式=a−1(a+1)(a−1)−a(a+1)(a−1)=a−1−a(a+1)(a−1)=11−a2，故答案为：11−a2原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．20.答案：解：(1)9a2(x−y)−b2(x−y)=(x−y)(9a2−b2)=(x−y)(3a+b)(3a−b)．(2)(x+3)(x−5)−(x+1)(x−1)=2x2−2x−15−x2+1=2−2x−14=2−2x=16x=−8．解析：(1)先变形，再提取公因式，最后根据平方差公式分解即可．(2)先转化为一元一次方程的形式，然后解方程．考查了多项式乘多项式，单项式乘单项式，以及因式分解，属于基础计算题．21.答案：解：(1)原式=a(a−b)a2⋅ab(a+b)(a−b)=ba+b；(2)原式=(a+1)(a−1)a−1−a2a−1=a2−1a−1−a2a−1=−1a−1．解析：(1)先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分即可得；(2)先通分，再根据法则计算可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．22.答案：解：(1)∵AB=AC∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=70°，∵MN垂直平分线AC∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=70°−40°=30°；(2)∵MN是AC的垂直平分线∴AD=DC，AC=2AE=10，∴AB=AC=10，∵△BCD的周长=BC+CD+BD=AB+BC=17，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=17+10=27．解析：(1)先根据等腰角形的性质求出∠B=∠ACB=180°−∠A2=70°，再由MN垂直平分线AC可知AD= CD，所以∠ACD=∠A，再根据∠BCD=∠ACB−∠ACD即可得出结论；(2)由MN是AC的垂直平分线可知，AD=DC，AC=2AE，所以AB=AC，再由△BCD的周长=BC+ CD+BD=AB+BC=17，可求出△ABC的周长．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．23.答案：解：去分母得：2x=x−2−1，解得：x=−3，经检验x=−3是分式方程的解．解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24.答案：证明：∵点F是DE的中点，∴DF=EF，∵∠DFN=∠EFM，∴180°−∠DFN=180°−∠EFM，∴∠DFM=∠EFN，在△DFM和△EFN中，{∠D=∠E DF=EF ∠DFM=∠EFN ，∴△DFM≌△EFN(ASA)∴DM=EN．解析：证出∠DFM=∠EFN，由ASA证明△DFM≌△EFN，即可得出结论DM=EN．本题考查了全等三角形的判定与性质、邻补角定义；证明三角形全等是解决问题的关键．25.答案：(1)20；(2)解：∵图象过C(2,80)，D(5,110)，∴设解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{2k +b =805k +b =110，解得：{k =10b =60，∴y 乙=10x +60(2≤x ≤6)；(3)解：∵AB 过(4,80)，(5,110)，∴设AB 的解析式为y 甲=mx +n(m ≠0)，∴{4m +n =805m +n =110，解得：{m =30n =−40，∴y 甲=30x −40(4≤x ≤6)，当x =6时，y 甲=30×6−40=140，y 乙=10×6+60=120，∴这批零件的总个数是140+120=260；(4)12,92,112解析：解：(1)80÷4=20(件)，故答案为：20；(2)∵图象过C(2,80)，D(5,110)，∴设解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{2k +b =805k +b =110，解得：{k =10b =60， ∴y 乙=10x +60(2≤x ≤6)；(3)∵AB 过(4,80)，(5,110)，∴设AB 的解析式为y 甲=mx +n(m ≠0)，∴{4m +n =805m +n =110，解得：{m =30n =−40， ∴y 甲=30x −40(4≤x ≤6)，当x =6时，y 甲=30×6−40=140，y 乙=10×6+60=120，∴这批零件的总个数是140+120=260；(4)40x −10=20x ，解得：x =12，10x +60−10=30x −40，解得：x =92，30x −40−10=10x +60，解得：x =112，当甲、乙两台机器所加工零件数相差10个时，x 的值为12,92,112，故答案为：12,92,112．(1)甲改变工作效率前的工作效率为改变前加工的总件数，除以加工的总时间即可；(2)利用待定系数法求一次函数解析式即可；(3)利用函数解析式求出甲、乙两机器6小时加工的总件数，求其和即可；(4)根据题意列方程即可得到结论．此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．26.答案：解：(1)由题意得：t>0，当x=0时，y=2t=b+2t−5．∴b=5．∴y=−t5x+2t．若y=tx+2t=0，则x=−2．∴B(−2,0)．若y=−t5x+2t=0，则x=10．∴C(10,5)．∴BC=10−(−2)=12．(2)∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE=12BC=12×12=6．又∵C(10,0)，B(−2,0)，∴OC=10，OB=2．∴OE=OC−EC=10−6=4．∴x F=4．∴y F=−t5x+2t=−45t+2t=65t．∴EF=65t．由题意得：y轴//EF．∴∠KOB=∠BEF，∠BKO=∠BFE．∴△BKO∽△BFE．∴OBBE =OKFE．∴26=OK65t．∴OK=25t．当x=0时，y A=tx+2t=t⋅0+2t=2t．∴OA=2t．∴AK=OA−OK=2t−25t=85t．∴d=85t(t>0)．(3)设点H的横坐标为m，∵点H在直线AC上，∴点H的坐标为(m,2t−mt5)；∵∠BGC+∠BHC=180°，且BH=3CG时，∴∠BGC=60°，∠BHC=120°，根据三角函数即AC的斜率为k=t5，∴t=2，∴直线AC的解析式为：y=−25+4，∴H(m,4−25m)∵BH=3CG，∴m=6，∴H(6,8 5 ).解析：(1)根据一次函数的解析式与x轴、y轴的交点坐标特征，令y=0，x=0，求出点B、C的坐标，即可求出BC的长度；(2)根据垂直平分线，求出点E的坐标；将点F代入AC的函数解析，求出点F的坐标；再利用相似，求出OK的长度，从而得出d与t的函数关系；(3)利用∠BGC+∠BHC=180°时，BH=3CG，求出t的值，即可求出点H的坐标．本题是一次函数的综合应用题，涉及知识点有：待定系数法，相似，垂直平分线等，体现了数学的转化思想，考查了学生的推理能力、计算能力、直观想象等．27.答案：(1)证明：由题意得，OA=4，OC=4，OB=2，∵∠COB=90°，∠AFB=90°，∴∠BAF=∠BCO，在△AOE和△COB中，{∠AOE=∠COB=90°OA=OC∠OAE=∠OCB，∴AOE≌△COB(ASA)；(2)∵AOE≌△COB，∴AE=BC=2√5，(3)S△CDM−S△ADN的值不发生改变，等于4．理由如下：如图：连接OD．∵∠AOC=90°，OA=OC，D为AB的中点，∴OD⊥AC，∠COD=∠AOD=45°，OD=DA=CD ∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，∴∠DAN=135°=∠MOD．∵MD⊥ND，即∠MDN=90°，∴∠MDO=∠NDA=90°−∠MDA，在△ODM与△ADN中，{∠MOD=∠NAD ∠ODM=∠ADN OD=ND，∴△ODM≌△ADN(AAS)∴S△ODM=S△ADN，∴S△CDM−S△ADN=S△CDO=12S△CAO=12×12×4×4=4．解析：(1)根据同角的余角相等得到∠BAF=∠BCO，利用ASA定理证明△AOE≌△COB；(2)根据全等三角形的性质求出AE；(3)连接OD.证明△ODM≌△ADN，得到S△ODM=S△ADN，结合图形得到S△CDM−S△ADN=S△CDO，根据三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28.答案：解：(1)如图1中，∵OA=9，OC=15，∵△DEC是由△OEC翻折得到，∴CD=OC=15，在Rt△DBC中，DB=√DC2−BC2=12，∴AD=3，设OE=ED=x，在Rt△ADE中，x2=(9−x)2+32，解得x=5，∴E(0,5)，，设直线EC的解析式为y=kx+5，把(15,0)代入得到k=−13x+5．∴直线EC的解析式为y=−13(2)①如图2中，∵MD′=MO，∠D′MF=∠OMF，∵OM//GD′，∴∠OMT=∠D′TM，∴∠D′MT=∠D′TM，∴D′M=D′T，∴OM=D′T，∵OA =D′G ，∴AM =TG ．②如图3中，连接OT ，由(2)可得OT =D′T ，由勾股定理可得x 2+y 2=(9−y)2，得y =−118x 2+92．结合(1)可得AD′=OG =3时，x 最小，从而x ≥3，当MN 恰好平分∠OAB 时，AD′最大即x 最大，此时G 点与N 点重合，四边形AOFD′为正方形，故x 最大为9.从而x ≤9，∴3≤x ≤9．(3)由(2)得，当x =6时，y =−118×62+92=52， ∴AD′=OG =x =6，∴AM =TG =y =52，OM =9−52=132， ∵OM//GD′，∴GF OF =TG OM ，即OF−6OF =52132， 解得：OF =394，∴四边形MOFD′的面积=S 梯形AOFD′−S △AMD′=12×(6+394)×9−12×52×6=5078． 答：四边形MOFD′的面积为5078．解析：(1)在Rt △DBC 中，根据DB =√DC 2−BC 2，设OE =DE =x ，在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出x 即可．(2)①只要证明OM =D′T ，DG =OA 即可．②如图3中，连接OT ，在Rt △OTG 中利用勾股定理即可解决问题．(3)．本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、面积的计算等知识，解题的关键是运用数形结合的思想方法，灵活应用这些知识解决问题，属于中考压轴题．29.答案：解：(1)设直线AB 解析式为：y =mx +n根据题意可得：{0=−3m +n n =4∴{m =43n =4∴直线AB 解析式为：y =43x +4(2)若点C 在直线AB 右侧，如图1，过点A 作AD ⊥AB ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵∠ABC =45°，AD ⊥AB∴∠ADB =∠ABC =45°∴AD =AB ，∵∠BAO +∠DAC =90°，且∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠DAC ，AB =AD ，∠AOB =∠AED =90∴△ABO≌△DAE(AAS)∴AO =DE =3，BO =AE =4，∴OE =1∴点D(1,−3)∵直线y=kx+b过点D(1,−3)，B(0,4)．∴{−3=k+b4=b∴k=−7若点C在点A右侧时，如图2同理可得k=17综上所述：k=−7或17(3)设直线DN的解析式为：y=43x+n，且过点N(−0.6t,0)∴0=−0.8t+n∴n=0.8t∴点D坐标(0,0.8t)，且过点N(−0.6t,0)∴OD=0.8t，ON=0.6t∴DN=√ON2+OD2=1∴DN=AM=1，且DN//AM∴四边形AMDN为平行四边形，当AN=AM时，四边形AMDN为菱形，∵AN=AM∴t=3−0.6t∴t=15 8∴当t=158时，四边形AMDN为菱形．解析：(1)利用待定系数法可求直线AB解析式；(2)分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求解；(3)先求点D坐标，由勾股定理可得DN=AM=t，可证四边形AMDN是平行四边形，即当AM=AN 时，四边形AMDN为菱形，列式可求t的值．本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年北京市海淀区育英中学八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若方程x2−x+a=0有两个正根，则a的取值范围是()A. a≤14B. a<14C. 0<a≤14D. 0<a<142.如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=AC=3，点E是三角形ABC内部一点，且满足BE2−CE2=3AE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为()A. √3B. √3π3C. 3√3D. 2√3π33.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a−b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”.对于“和美方程”，下列结论正确的是()A. 方程两根之和等于0B. 方程有一根等于0C. 方程有两个相等的实数根D. 方程两根之积等于04.关于四边形，下列说法正确的是()A. 对角线相等的是矩形B. 对角线互相垂直的是菱形C. 对角线互相垂直且相等的是正方形D. 对角线互相平分的是平行四边形5.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y=1x、y=4x 上，边BC交y=1x于点E，连接AE，则△ABE的面积为()A. 94B. 34C. 38D. 987.已知是一次函数的图象上的两个点，则的大小关系是A. B. C. D. 不能确定8.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，按如图所示的方式放置．点A1，A2…和点C1，C2…分别在直线y=x+1和x轴上，则B7的坐标是()A. (127,63)B. (127,64)C. (128,63)D. (128,64)9.一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为()A. 13B. 12C. 4D. 510.已知实数x、y互为倒数，则y随x变化的函数图象是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.一元二次方程(2x−3)2=2(2x−3)的解是______．12.如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯______(填“能”或“否”)到达墙的顶端．13.已知x1，x2是方程x2+3x−6=0的两实根，则值为。
北京市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
北京市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC，在线段CB延长线上取一点P,以AP为△, 过点D作DE⊥CB,垂足直角边，点P为直角顶点，在射线CB上方作等腰Rt APD为点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：AC=PE；（3）连接DB，并延长交AC的延长线于点F，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并证明．2．在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点.（1）如图1，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.（2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙点P （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出∠BPC的度数是 .（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2 B．6 C．10 D．123．定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形ABC 中，BAC ∠︒＞90，=ACB α∠，=ABC β∠，过点A 的直线l 交BC 边于点D ．点E 在直线l 上，且=BC BE ．（1）若=AB AC ，点E 在AD 延长线上．① 当=30α︒，点D 恰好为BC 中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;② 如图2，若=2BAE α∠，图中是否存在“半角三角形”（△ABD 除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；（2）如图3，若AB AC ＜，保持BEA ∠的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出BAE ∠，α，β 满足的数量关系：______．4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F .（1）在图1中，依题意补全图形；（2）记DAC α∠=（45α<︒），求ABF ∠的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明.5．如图，∠MON =60°，点A 是OM 边上一点，点B ，C 是ON 边上两点，且AB =AC ，作点B 关于OM 的对称点点D ，连接AD ，CD ，OD .（1）依题意补全图形；（2）猜想∠DAC °，并证明；（3）猜想线段OA、OD、OC的数量关系，并证明.6．已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合）,动点F在射线AC上，连结DE, DF.(1)如图1，当∠DEB=∠DFC=90°时，直接写出DE与DF的数量关系;(2)如图2，当∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明；(3)当点E,D,F在同一条直线上时，①依题意补全图3；②在点E运动的过程中，是否存在EB=FC？（填“存在”或“不存在” ）.7．在△ABC中，AB＞BC,直线l垂直平分AC.（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D ，连接AD ，CD .①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明.（2）如图2，直线l 与△ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D ，连接AD ，CD .求证：∠BAD =∠BCD .8．对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点1M ，2M ，3M ，……,n M 都在△ABC 的边上，且123n PM PM PM PM ====，那么称点1M ，2M ，3M ，……,n M 为△ABC 关于点P 的等距点，线段1PM ，2PM ，3PM ，……,n PM 为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点1M ，2M 分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段1PM ，2PM ；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC =1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C .若BC a =，直接写出PC 长的取值范围.（用含a 的式子表示）9．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒,点D 在BC 边上，连接,,AD AE AD AE AD ⊥=，连接,CE DE（1）求证：B ACE ∠=∠（2）点A 关于直线CE 的对称点为M ，连接,CM EM①补全图形并证明EMC BAD ∠=∠②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当,,D E M 三点恰好共线时点D 的位置，请直接写出此时BAD ∠的度数，并画出相应的图形10．在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∠MDN 的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM =DN .（1）如图甲，若∠C =90°，∠BAC =60°，AC =9，∠MDN =120°，ND ∥AB .①写出∠MDA = °，AB 的长是 .②求四边形AMDN 的周长；（2）如图乙，过D 作DF ⊥AC 于F ，先补全图乙再证明AM +AN =2AF .11．如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =α（0°<α<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE .（1）求∠DBC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；（3）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明.12．我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H 代表所有的水平移动，H 1代表向右水平移动1个单位长度，H -1代表向左平移1个单位长度；S 代表上下移动，S 1代表向上移动1个单位长度，S -1代表向下移动1个单位长度，(__)P H S →表示点P 在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动；(__)P S H →表示点P 在网格内先一次性上下移动，在此基础上再一次性水平移动.（1）如图，在网格中标出(12)A H S →移动后所到达的目标点'A ；（2）如图，在网格中的点B 到达目标点A ，写出点B 的移动方法________________；（3）如图，在网格内有格点线段AC，现需要由点A出发，到达目标点D,使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.13．如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F.（1）补全图形；（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明.14．如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接EC 并延长，交射线AD 于点F .（1）补全图形；（2）求∠AFE 的度数；（3）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明.参考答案1．（1）见解析；（2）见解析；（3）AC=CF，见解析【分析】（1）根据描述作出图形；（2）先证明△ACP≌△DEP，根据全等的性质即可得出结论；（3）根据（2）中全等得出PC=DE，再由线段间的转化可得出PC=BE，故可得出△DBE为等腰直角三角形，从而△BCF也为等腰直角三角形，结论得证.【详解】解：（1）依题意补全图形；（2）证明：∵DE⊥CB, ∠C=90°，∴∠DEP=∠C =90°，∴∠3+∠2=90°，又∵∠APD =90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，又∵AP=DP，∴△ACP≌△PED （AAS），∴AC=PE.（3）线段CF与AC的数量关系是CF=AC.∵△ACP≌△PED，∴PC=DE，又∵AC=BC，∴BC=PE，∴PC=BE,∴BE=DE，即△DBE为等腰直角三角形，易证△BCF为等腰直角三角形，∴BC=CF，∴AC=CF .【点睛】本题主要考查全等以及等腰三角形的判定，是中考常考题型.2．(1)见解析;(2)40°,160° ，140° ，80°;(3)C.【分析】（1）根据题意可知，巧妙点必在某条边的垂直平分线上，所以只需要作出两边的垂直平分线即可找到巧妙点；（2）根据题意分别以A、C为圆心，AC为半径画圆，交BC边的垂直平分线的点即为点P，连接两圆的交点与BC边的垂直平分线的交点也为点P，最后分类讨论即可求∠BPC的度数；（3）分别以等边三角形的三条边作其垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.【详解】解：（1）作BC 边的垂直平分线：分别以B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，连接其圆弧的交点；同理作AB 边的垂直平分线：分别以A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径，连接其圆弧的交点； AB 边的垂直平分线与BC 边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.∴点P 为所求.（2）作BC 边上的垂直平分线，再分别以A 、C 为圆心，AC 为半径画圆，交BC 边的垂直平分线的交点从上至下依次为134P P P 、、 ,连接两圆的交点，交CB 边的垂直平分线的交点为2P ，1234p p p p 、、、、即为所求.①接11BP CP 、,∵1AB AC AP ==,∴1111P BA BP A,PCA CP A ∠=∠∠=∠, ∵1111P BA BP A P CA CP A BAC 80∠+∠+∠+∠=∠=∴1111BPC BP A CP A BAC 402∠=∠+∠=∠=； ②连接22BP CP 、,∵2P 是AC 、BC 边的垂直平分线的交点，∴222BP CP AP ==∴2222BAP ABP ,ACP CAP ∠=∠∠=, 22222BP C BAP ABP ACP CAP ∠=∠+∠+∠+即：()222BP C 2BAP CAP 2BAC 160∠=∠+∠=∠=③接 33BP CP 、,∵AB AC =,3AP 为BC 边上的垂直平分线， ∴331BAP CAP BAC 402∠=∠=∠= ∵3AB AC AP ==,∴()33333ABP AP B ACP AP C 180BAP 270∠=∠=∠=∠=-∠÷=∴3333BP C BP A CP A 2BP A 140∠=∠+∠=∠=；④连接44BP CP 、，∵AB AC =,4AC CP =,4AP 为BC 边上的垂直平分线,∴44AB AC BP CP ===,∴4444BAP BP A,CAP AP C ∠=∠∠=∠,44444BP C AP C AP B CAP BAP BAC 80∠=∠+∠=∠+∠=∠=；综上所述BPC ∠的度数可能为4080140160、、、.（3）分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.如下图：巧妙点P 有10个，故选C.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是在理解题意的前提下明白巧妙点就是三角形两条边的垂直平分线的交点，以及构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等.3．（1）① 如图，见解析；△ABD 或△ACD 或△BDE 或△ABE ; ②存在，“半角三角形”为△BAE ；证明见解析；（2）BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒．【分析】（1）①根据题干描述作出图形即可，利用等腰三角形的性质，根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意，可得出结果.②延长DA 到F ，使得AF AC =，连接BF ，构造全等三角形△BAF ≌△BAC ．再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化，可求得BEA F C α∠=∠=∠=，从而可得出结果.（2）由（1）中②可知，BEA C α∠=∠=，延长CA 到点F ，使得CF AE =，连接BF ，构造全等三角形△CBF ≌△EBA ，进而可得出=FAB BAE αβ∠=∠+.因为90BAC ∠>︒，所以以B 为圆心，BC 长为半径作圆与直线AD 一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的BAE '∠，所以可得出另外一种情况.【详解】（1）① 如图，图中的一个 “半角三角形”：△ABD 或△ACD 或△BDE 或△ABE ;② 存在，“半角三角形”为△BAE .延长DA 到F ，使得AF AC =，连接BF ．∵AB AC =，∴ αβ=.∴ 1802BAC α∠=︒-.∵2BAE α∠=，∴1802BAF α∠=︒-．∴BAF BAC ∠=∠．在△BAF 和△BAC 中，,,,AF AC BAF BAC BA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BAF ≌△BAC .∴ F C ∠=∠，BF BC =.∵ BE BC =，∴ BF BE =.∴BEA F C α∠=∠=∠=．∴∠BAE=2∠BEA,∴△BAE 为“半角三角形”.（2）BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒.解：①延长CA 到点F ，使得CF AE =，连接BF,∵BC BE =，=AEB ACB α∠=∠，∴△CBF ≌△EBA .过点B 分别作BG CF ⊥于点G ，BH AE ⊥于点H ,可得BG BH =.∴=FAB BAE αβ∠=∠+.②因为90BAC ∠>︒，所以以B 为圆心，BC 长为半径作圆与直线AD 一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的BAE '∠．可知：180180()BAE BAE αβ'∠=︒-∠=︒-+.综上所述，这三个角之间的关系有两种，BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒．【点睛】对于新定义问题，理解概念是关键.同时需要结合等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质解决问题，另外在解题时，注意运截长补短法构造全等的运用.4．（1）见解析；（2）45ABF α∠=︒+；（3）BC =2EF ，证明见解析.【分析】（1）根据题意画图即可补全图形；（2）如图3，连接AE 、DE ，根据轴对称的性质可得：AE =AC ，∠EAD =DAC α∠=，进而可用α的代数式表示出∠BAF ，然后在等腰△ABE 中利用三角形的内角和即可求出ABF ∠； （3）如图4，设AF 、CE 交于点G ，由△ACE 是等边三角形可得∠EAC =60°，CE=AC ，然后根据轴对称的性质可得AF ⊥CE ，∠F AE =30FAC ∠=︒，进而可得∠BAF =60°，CE =2EG ，易证△EFG 为等腰直角三角形，从而可得EF =，而BC =，进一步即可得出结论.【详解】解：（1）补全图形如图2：（2）如图3，连接AE 、DE ，∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AE =AC ，∠EAD =DAC α∠=，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AB =AE ，902BAE α∠=︒-， ∴()1809021804522BAE ABF αα︒-︒-︒-∠∠===︒+；（3）猜想：BC =2EF .证明：如图4，设AF 、CE 交于点G ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC =60°，CE=AC ，∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AF ⊥CE ，∠F AE =30FAC ∠=︒，∴∠BAF =60°，CE =2EG ，由（2）题知，∠ABF =45°+30°=75°，则在△ABF 中，∠AFB =180°－∠ABF －∠BAF =45°，∴∠GEF =45°，∴EF =，又∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴BC =，∴2BC EF ===.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、等边三角形的的性质和轴对称的性质等知识，根据题意正确画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键.5．（1）见解析；（2）60，证明见解析；（3）猜想：AO=OC+OD ，证明见解析.【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；（2）连接BD，如图2，由点B与点D关于AO对称，可得AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，然后利用三角形的外角性质和三角形的内角和可得∠BAC与∠OAB的关系，而∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC，进一步即可得出∠DAC的度数；（3）在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，先根据SAS证明△ABO≌△ACF，可得∠AFO＝∠AOB＝60°，进而可证得△AOF是等边三角形，于是AO=OF，而点B与点D关于AO对称，于是有OB=OD，进一步即可得出线段OA、OD、OC的数量关系.【详解】解：（1）补全图形如图1：（2）∠DAC =60°；证明：连接BD，如图2，∵点B与点D关于AO对称，∴BD被AO垂直平分，∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AOB+∠OAB=60°+∠OAB，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2(60°+∠OAB)= 60°－2∠OAB，∴∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC＝2∠OAB+60°－2∠OAB=60°；故答案为：60；（3）猜想：AO=OC+OD.证明：在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，∵AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABO＝∠ACF，∴△ABO≌△ACF（SAS），∴∠AFO＝∠AOB＝60°，∴△AOF是等边三角形，∴AO=OF，∵点B与点D关于AO对称，∴OB=OD，∴OD=CF，∴AO=OF=OC+CF=OC+OD.【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题关键.6．（1）DE=DF；（2）DE=DF；证明见解析；（3）①见解析，②不存在【分析】（1）证明△BED≌△CFD，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，根据同角的补角相等，得出∠GED=∠DFC，根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，再根据角平分线的性质得出DG=DH，即可证明△EGD≌△FHD，从而得出结论；（3）①根据题意补全图形即可；②假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．证明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，进而得到G与B重合．由BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，从而得到结论．【详解】（1）DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）猜想：DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，∴∠EGD=∠FHD=90°．∵∠DEB+∠GED=180°，∠DEB+∠DFC=180°，∴∠GED=∠DFC．∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD．∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH．在△EGD和△FHD中，∵GED DFCEGD FHD DG DH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EGD≌△FHD，∴DE=DF．（3）①作图如下：②不存在．理由如下：假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴BE=EG．∵BE=CF，∴EG=CF．在△EGD和△FCD中，∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，∴△EGD≌△FCD，∴GD=CD．∵BD=CD，∴BD=GD，∴G与B重合．∵BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，∴BE=CF不成立，∴在点E运动的过程中，不存在EB=FC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是正确作出辅助线．7．（1）①见解析；②∠BAD+∠BCD=180°，证明见解析；（2）见解析.【分析】（1）①根据题意画图即可补全图形；②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DE=DF，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADE≌Rt△CDF，进而可得∠BAD=∠DCF，进一步即可得出∠BAD和∠BCD的数量关系；（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DG=DH，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADH≌Rt△CDG，进一步即可得出结论.【详解】解：（1）①补全图形如图3；②∠BAD+∠BCD=180°.证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，∵∠DCF+∠BCD=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°；（3）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），∴∠BAD=∠BCD，【点睛】本题考查了依题意作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和直角三角形全等的判定方法，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题关键.8．（1）①是，不是；②见解析；（2）DC=1或2；（3）11 32a PC a<<.【分析】（1）①根据阅读材料中△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义判断即可；②根据题意，点P在∠BAC的平分线上，要使相应的等距线段最短，只要过点P作AB、AC 的垂线段即可；（2）显然点D 不可能在AB 边上，分点D 在等边△ABC 的边AC 、BC 上，画出图形，然后根据等距点的概念和等边三角形的判定与性质求解即可；（3）先求出△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C 时的PC 的长，进而可得答案.【详解】解：（1）①∵点P 是BC 的中点，∴PB=PC ，∴点B 、C 是△ABC 关于点P 的等距点； ∵P A ≠PB ，∴线段P A ，PB 不是△ABC 关于点P 的等距线段；故答案为：是，不是；②线段1PM ，2PM 如图3所示：（2）显然，点D 不可能在AB 边上，若点D 在AC 边上，如图4所示，∵△ABC 是等边三角形，∴∠C =60°，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD ，∴△PCD 是等边三角形，∴CD=PC =1；若点D 在BC 边上，如图5所示，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD =1，∴CD =2；∴DC =1或2；（3）当PM ⊥AB 且PM=PC 时，如图6，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∵∠B ＝30°，∴BP =2PM ，∴BC =3PC =a ，∴13PC a =； 当点P 为BC 的中点时，如图7所示，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∴1122PC BC a ==； ∴△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 时，PC 长的取值范围是：1132a PC a <<.【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和30°角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键.9．（1）证明见解析；（2）①见解析；②画图见解析，22.5BAD ∠=︒.【分析】（1）先根据同角的余角相等推出∠BAD =∠CAE ，再根据SAS 证得△BAD ≌△CAE ，进而可得结论；（2）①根据题意作图即可补全图形；利用轴对称的性质可得ME=AE ，CM=CA ，然后根据SSS 可推出△CME ≌△CAE ，再利用全等三角形的性质和（1）题的∠BAD =∠CAE 即可证得结论；②当,,D E M 三点恰好共线时，设AC 、DM 交于点H ，如图3，由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM =135°，然后在△AEH 和△DCH 中利用三角形的内角和可得∠HAE =∠HDC ，进而可得EMC CDM ∠=∠，接着在△CDM 中利用三角形的内角和定理求出∠CMD 的度数，再利用①的结论即得答案.【详解】解：（1）证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE=90°，∴∠CAE +∠DAC =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠DAC =90°，∴∠BAD =∠CAE ，又∵BA=CA ，DA=EA ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴B ACE ∠=∠；（2）①补全图形如图2所示，∵点A 关于直线CE 的对称点为M ，∴ME=AE ，CM=CA ， ∵CE=CE ，∴△CME ≌△CAE （SSS ），∴EMC CAE ∠=∠，∵∠BAD =∠CAE ，∴EMC BAD ∠=∠；②当,,D E M 三点恰好共线时，设AC 、DM 交于点H ，如图3，由（1）题知：45B ACE ∠=∠=︒，∵△CME ≌△CAE ，∴45MCE ACE ∠=∠=︒，∴∠DCM =135°，在△AEH 和△DCH 中，∵∠AEH =∠ACD =45°，∠AHE =∠DHC ，∴∠HAE =∠HDC ， ∵EMC CAE ∠=∠，∴EMC CDM ∠=∠， ∴180********.522DCM CMD ︒-∠︒-︒∠===︒， ∵EMC BAD ∠=∠，∴22.5BAD ∠=︒.【点睛】本题考查了依题意作图、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识是解题关键.10．（1）①90，18；②30；（2）详见解析.【分析】（1）①先根据角平分线的定义可求出∠BAD的度数，再利用平行线的性质求出∠ADN的度数，进而可得∠MDA的度数；易求得∠B=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长；②易求得∠ADN=∠DAN=∠CDN=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得DN=2CN，AN=DN，进一步可得AC=3CN，即可求出CN的长，进而可求AN、DN的长，而由已知MD=ND，所以MD可得，然后在直角△AMD中利用30°角的直角三角形的性质即可求出AM的长，问题即得解决；（2）过点D作DG⊥AB于G，由HL分别证明Rt△ADG≌Rt△ADF和Rt△DFN≌Rt△DGM，得MG＝NF，AG＝AF，再把AM+AN变形即可得出结论．【详解】解：（1）①∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，∵∠MDN=120°，∴∠MDA=90°；∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵AC=9，∴AB=18；故答案为：90，18；②在△ACD中，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，∵∠ADN=30°，∴∠CDN=30°，∠ADN=∠DAN，∴DN=2CN，AN=DN，∵AC=9，∴AN+CN=2CN+CN=9，解得：CN=3，∴AN=DN=6，∵DM=DN，∴DM=6，∵∠MDA=90°，∠BAD =30°，∴AM=2MD=12，∴四边形AMDN的周长=AM+MD+DN+NA=12+6+6+6=30；（2）补全图乙如图1，证明：过点D作DG⊥AB于G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴DF＝DG，在Rt△ADG和Rt△ADF中，DG DF AD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，在Rt△DFN和Rt△DGM中，DF DG DN DM=⎧⎨=⎩，∴Rt△DFN≌Rt△DGM（HL），∴NF＝MG，又∵AG＝AF，∴AM+AN＝AG+MG+AN＝AF+NF+AN＝AF+AF＝2AF．【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定、30°角的直角三角形的性质和直角三角形全等的判定等知识，涉及的知识点多，熟练掌握上述知识、并通过作辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．11．（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD ，CE 之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD ，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，∴AC=DC ，∠DCP =∠ACP =α，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，∠ACB =60°，∴∠BCD =602α︒+，BC=DC ，∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ， ∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ， ∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.12．（1）见解析；（2）(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；（3）见解析.【分析】（1）根据题意，(12)A H S →表示点A 先向右水平移动1个单位，再向上移动2个单位，据此即可标出点A '；（2）由点B 到达目标点A ，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，据此解答即可；（3）先找出全部符合题意的点D ，再根据点的位置写出移动方法即可.【详解】解：（1）目标点A '的位置如图1所示；（2）由点B 到达目标点A ，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，所以点B 的移动方法是：(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；故答案为：(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；（3）如图2所示，使得A 、C 、D 三点构成的格点三角形是等腰直角三角形的点D 共有5个，分别是：D 1、D 2、D 3、D 4、D 5；∴A 到D 1的移动方法是：()24A H S -→或()42A S H →-；A 到D 2的移动方法是：()42A H S →或()24A S H →；A 到D 3的移动方法是：()31A H S →-或()13A S H -→；A 到D 4的移动方法是：()12A H S -→或()21A S H →-；A 到D 5的移动方法是：()21A H S →或()12A S H →.【点睛】本题考查了网格中点的平移规律和等腰直角三角形的判定等知识，正确理解题意、弄清平移的方法和规律是解题的关键.13．（1）见解析；（2）∠AEB =45α︒+；（3）BC ，证明见解析.【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABD ，再由BE =AB ，可得∠AEB =∠BAE ，然后利用三角形的内角和定理即可求得结果；（3）设l 与BC 交于点H ，过点E 作EG ⊥BF 于点G ，如图3，先利用轴对称的性推出∠BAH =∠CAH =α，再根据质余角的性质推出∠CBD =∠CAH =α，进一步利用（2）的结论和三角形的外角性质推出∠F=45°，进而可得EF=，然后根据AAS可证明△ABH≌△BEG，从而得BH=EG，而BC=2BH，进一步即可得出EF与BC的数量关系. 【详解】解：（1）补全图形如图1所示：（2）∵BD⊥AC，∠BAD=2α，∴∠ABD=90°－2α，∵BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=()1809021804522ABEαα︒-︒-︒-∠==︒+；（3）线段EF与BC的数量关系是：BC.证明：设l与BC交于点H，过点E作EG⊥BF于点G，如图2，∵点B关于直线l的对称点为C，∠BAC=2α，∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=α，∵AH⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CBD+∠ACH=90°，∴∠CBD=∠CAH=α，∵∠AEB45α=︒+，∠AEB=∠CBD+∠F，∴∠F=45°，则△EFG为等腰直角三角形，∴EF=，∵∠BAH=∠EBG=α，∠AHB=∠BGE=90°，AB=BE，∴△ABH≌△BEG（AAS），∴BH=EG，∵BC=2BH，∴BC=2EG.【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、余角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确作出图形、熟练掌握上述知识是解题关键.14．（1）答案见解析；（2）60°；（3）AF=EF+CF，理由见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接AE，根据对称性得到AE =AB ，∠F AB =∠F AE ，设∠F AC =α，则∠F AB =∠F AE = 60︒-α，故∠EAC = 60︒-α-α= 60︒- 2α，再根据AE =AC 得到∠AFE = 180︒-∠F AE -∠FEA = 60︒ ；（3）作∠FCG = 60︒交AD 于点G，连接BF，根据等边三角形的性质得到∠ACG = 60︒-∠GCD=∠BCF，再证明△ACG ≌△BCF，得到AG =BF，再根据对称性得到BF =EF 再得到AF =EF +CF【详解】（1）补全图形：（2）连接AE，∵△ABC 是等边三角形，∴ AB = AC = BC ， ∠BAC = ∠BCA = 60︒.∵点B 关于射线 AD 的对称点为 E ，∴ AE = AB ，∠F AB = ∠F AE .设∠F AC = α，则∠F AB = ∠F AE = 60︒ -α∴ ∠EAC = 60︒ -α-α= 60︒ - 2α， 又 AE = AC .∴ ∠AFE = 180︒ - ∠F AE - ∠FEA = 60︒（3） AF = EF + CF证明：如图 3，作∠FCG = 60︒ 交 AD 于点 G ，连接 BF .∴△ FCG 是等边三角形.∴ GF = CF = GC . ∠CGF = ∠GFC = ∠FCG = 60︒ .∴∠ACG = 60︒ - ∠GCD = ∠BCF在△ ACG 和△ BCF 中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ ACG ≌△ BCF .∴ AG = BF .∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ，∴ BF = EF .∵ AF = AG + GF .∴ AF = EF +CF【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的根据是熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理、对称轴的性质.。
北京市西城区2020—2021学年初二上期末考试数学试题含答案
北京市西城区2020—2021学年初二上期末考试数学试题含答案八年级数学 2021.1试卷满分：100分，考试时刻：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．运算22-的结果是（ ）．A.14B.14- C.4 D.4- 2．下列剪纸作品中，不是．．轴对称图形的是（ ）．3．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）． A.()xz yz z x y -+=-+ B. ()223232a b ab ab ab a b -+=- C. 232682(34)xy y y x y -=- D. 234(2)(x 2)3x x x x +-=+-+4．下列分式中，是最简分式的是（ ）．A ．2xy xB ．222x y -C ．22x y x y +-D ．22x x + 5．已知一次函数(2)3y m x =-+的图象通过第一、二、四象限，则m 的取值范畴是（ ）．A ．0m <B ．0m >C ．2m <D ．2m >6．分式11x--可变形为（ ）． A ．11x + B ．11x -+ C ．11x -- D ．11x - 7．若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则那个等腰三角形的周长是为（ ）．A. 8B. 10C. 8或10D.6或128．如图，B ，D ，E ，C 四点共线，且△ABD ≌△ACE ，若∠AEC =105°，则∠DAE 的度数等于（ ）．A. 30°B.40°C. 50°D.65°9．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，与AC 交于点D ，DE ⊥AB于点E ，若BC =5，△BCD 的面积为5，则ED 的长为（ ）．A. 12B. 1C.2D.510．如图，直线y =﹣x +m 与直线y =nx +5n （n ≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣x +m ＞nx +5n ＞0的整数解为（ ）．A.﹣5 ，﹣4，﹣3B. ﹣4，﹣3C.﹣4 ，﹣3，﹣2D. ﹣3，﹣2二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题2分）11．若分式11-x 在实数范畴内有意义，则x 的取值范畴是 ． 12．分解因式224x y -= ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点P （-2，3）关于y 轴的对称点的坐标是 ．14．如图，点B 在线段AD 上，∠ABC =∠D ， AB ED =．要使△ABC ≌△EDB ，则需要再添加的一个条件是（只需填一个条件即可）．15．如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ， AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点N ．连接MB ，若AB=8，△MBC 的周长是14 ，则BC 的长为 ．16．关于一次函数21y x =-+，当-2≤x ≤3时，函数值y 的取值范畴是 ．17．如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，能够在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC =CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长确实是AB 的长，其中用到的数学原理是：_ ．S (米)412048010a 018．甲、乙两人都从光明学校动身，去距离光明学校1500m 远的篮球馆打球，他们沿同一条道路匀速行走，乙比甲晚动身4min ．设甲行走的时刻为t (单位：min)，甲、乙两人相距 y (单位：m)，表示y 与t 的函数关系的图象如图所示，依照图中提供的信息，下列说法： ①甲行走的速度为30m/min②乙在距光明学校500m 处追上了甲③甲、乙两人的最远距离是480m ④甲从光明学校到篮球馆走了30min正确的是__ _（填写正确结论的序号）．练习题改编，识图能力，如何提取信息，数形结合思想三、解答题（本题共50分，第19，20题每小题6分；第21题～25题每小题5分； 第26题6分，第27题7分）19．分解因式：（1）2()3()a b a b -+- （2）221218ax ax a -+解： 解：20．运算：（1）42223248515a b a b c c ÷ （2）24()212x x x x x x -⋅+++ 解： 解：21．已知2a b-=，求222()2ab aaa ba ab b÷---+的值．解：22．解分式方程2242111x x xxx-+=+-解：23．已知：如图，A，O，B三点在同一条直线上，∠A=∠C，∠1=∠2，OD＝OB．求证：AD=CB．证明：24．列方程解应用题中国地大物博，过去由于交通不便，一些地区的经济进展受到了制约，自从“高铁网络”在全国连续延伸以后，许多地区的经济和旅行发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．李老师从北京到某地去旅行，从北京到该地普快列车行驶的路程约为1352km，高铁列车比普快列车行驶的路程少52km，高铁列车比普快列车行驶的时刻少8h．已知高铁列车的平均时速是普快列车平均时速的 2.5倍，求高铁列车的平均时速．解：25．在平面直角坐标系xOy 中，将正比例函数2y x =-的图象沿y 轴向上平移4个单位长度后与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）画正比例函数2y x =-的图象，并直截了当写出直线BC 的解析式； （2）假如一条直线通过点C 且与正比例函数2y x =-的图象交于点P (m ，2)，求m 的值及直线CP 的解析式．解：（1）直线BC 的解析式： ；（2）26．阅读下列材料：利用完全平方公式，能够将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把如此的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+ ＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++- ＝(8)(3)x x ++ 依照以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始显现错误的地点，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．（1）解：（2）正确的解答过程是：（3）证明：解： 2340x x -- =22233340x x -+-- =2(3)49x -- =(37)(37)x x -+-- =(4)(10)x x +-27．已知：△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判定BF与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．图1 备用图（1）BF与CF的数量关系为：．证明：（2）解：北京市西城区2020— 2021学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2021.1试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1．（1）已知32a ba+=，则ba= ；（2）已知115a b-=，则3533a ab ba ab b----= ．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．观看下列各等式：(8.1)(9)(8.1)(9)---=-÷-，11()(1)()(1)22---=-÷-，4242-=÷，993322-=÷，┅┅依照上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）填空：－4＝÷4；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特点：－＝÷；（4）假如用y表示等式左边第一个实数，用x表示等式左边第二个实数（x≠0 且x≠1），①x与y之间的关系能够表示为：（用x的式子表示y）；②若x＞1，当x时，y有最值(填“大”或“小”)，那个最值为．3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB=OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．（1）依题意补全图1；（2）线段OA，AC，OD之间的数量关系为：_____________________________；证明：（3）解：附加题答案1、（1）13（2）522、（1）差商（2）16 3（3）25255544-=÷；36366655-=÷（4）①21xyx=-②2 小43、（1）（2）作BE⊥OD四边形AOEB是正方形△ABC≌△BED∴OA+AC=OD（3）∵△ABC≌△BED ∴BC=BD∵BH⊥CD∴A、C、H、B四点共圆∴∠BAH=∠BCH=45°。
2020~2021北京市顺义区八年级初二上学期数学期末试卷及答案
顺义区2020—2021学年度第一学期期末八年级教学检测数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．若代数式23--xx有意义，则实数x的取值范围是A．2≥x B．3≠x C．2>x且3≠x D．2x≥且3≠x 2．在下列四个图案中，是轴对称图形的是A．B．C．D．3．实数2-，0.3，227，2，π-中，无理数的个数是A．2 B．3 C．4 D．54．若101=-m，则估计的值所在的范围是A．01m<<B．12m<<C．23m<<D．34m<<5. 下列事件中，是必然事件的是A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．13个人中至少有两个人生肖相同D．明天一定会下雨6.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是A．B．C．D．7. 化简22a b abb a--结果正确的是A. abB. ab- C. 22a b- D. 22b a-8. 下列计算正确的是A．325+=B．326⨯=mAB CDACBDAB CDDCBAC．4=D ．=9．长为3cm ，4cm ，7cm 的三条线段围成三角形的事件是A ． 必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上都不是 10. 如图，已知ABC △中，45ABC ∠=， F 是高AD 和BE的交点，=AC 2=BD ，则线段DF 的长度为.A．B ．2CD ．1二、填空题 （共10个小题，每小题2分，共20分） 11．27的立方根是 . 12．若代数式23-+x x 的值等于零，则实数x 的值是 . 13．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A'O'B'∠=∠AOB 的依据是 .14.1a =- ，则实数a 的取值范围是 .15. 命题 “到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的逆命题是 .16. 如图，已知ABC △中，=AB AC ，⊥BD AC 于D ，50︒∠=A ，则∠DBC 的度数是 .17. 如图，已知∠AOB =30°，P 是∠AOB 平分线上一点，CP ∥OB ，交OA 于点C ，PD ⊥OB ，垂足为点D ，且PC =4，则PD 等于 .18. 实数a b 、在数轴上的位置如图所示，且a b >，则化简a b +的结果为 .A′D′O′C′B′C DBOAD CBAEFACBDCDP AOB19. 如图，∆ABC 是等边三角形， AE BD = ，AD 与CE 交于点F ，则CFD ∠的度数是 ．20.已知∆ABC 中，=90∠︒C ，2=AB cm，+=AC BC cm ， 则∆ABC 的面积为 .三、解答题 （共12个小题，共60分） 21．（4÷+． 22.（4分）某学生化简分式212+11+-x x 出现了错误，解答过程如下： 原式=()()()()12+1111+-+-x x x x （第一步）=()()1+211+-x x （第二步）=231-x ．（第三步） （1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ； （2）请写出此题正确的解答过程． 23.（4分）计算：2-．24.（6分）先化简，再求值：21123369a a a a a ⎛⎫+÷⎪-+-+⎝⎭，其中2=-a ． 25.（5分）一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球.（1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性；（2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为23，求袋子中需再加入几个红球？26.（5分）解关于x 的方程：211.22x x x=---27.（5分）已知：如图，点B 、E 、C 、F 顺次在同一直线上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ．求证：AC ＝DF ．DE FA BCFED CBA28.(5分) 已知：如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．29. （5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图． （1）利用尺规作图在AC 边上找一点D ，使点D 到AB 、BC 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在网格中，△ABC 的下方．．，直接画出以E 、B 、C 三点为顶点的△EBC ，使△EBC 与△ABC 全等．30.（5分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1 000棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？…31.（6分）将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2CD =，求AC 的长．32.（6分）已知：如图，AC ∥BD ，AE ，BE 分别平分∠CAB 和∠ABD ，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．FE DCB ACBADBACE DBC A顺义区2020---2021学年度第一学期期末八年级教学质量检测数学试题答案及评分参考二、填空题三、解答题21. 解：原式+………………………………….….1分=分= ………. …………………………………….4分22. 解： （1）一、分式的基本性质用错；………………………………….… 2分（2）原式=()()()()12+1111-+-+-x x x x x ……………. ………… 3分 =()()111++-x x x=()11-x ． ………………. ……………………………4分 23. 解： 原式=3-. …………………………..2分(去括号各1分)=7- . ……………………….………..4分(两项各1分)24. 解：原式=()()()()()233233333⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦a a aa a a a a ………2分=22(3)(3)(3)2a a a a a-⨯+- ………………………………4分=33a a -+ ……………………………………………5分 当2=-a 时，原式=23523--=--+ …………………………………………6分25. 解：（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5，随意摸出一个球是红球的结果个数是2，∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是25…………………2分（2）设需再加入x 个红球.依题意，得 2253+=+x x………………………………………….4分 解得4=x∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为23，袋子中需再加入4个红球.……………5分26. 解：原方程变形为211+.22=--x x x…………………………1分 方程两边同乘以(2)-x ，得221=-+x x ． ……………………………2分解这个方程，得 1=-x ． …………………………… 3分 检验：当1=-x 时，20-≠x ． ………………………4分 1∴=-x 是原方程的解． ………………………………5分27．证明：∵=BE CF ，∴+=+BE EC CF EC ．即=BC EF ． …………………………………………………………… 1分∵AB ∥DE ，∴∠=∠B DEF ． ………………………………………………………… 2分 在△ABC 和△DEF 中,,,∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩A DB DEF BC EF ∴ ABC ∆≌DEF ∆． ……………………………………………………4分 ∴ AC DF =． ……………………………………………………… 5分28. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴12CD AB BD ==. ………………1分 ∴∠=∠ABC DCB . ………………2分 ∵DC ∥EF ，∴∠=∠CBF DCB . ………………3分 ∴∠=∠ABC CBF . ∴BC 平分ABF ∠. ………………5分29. 解：（1）如图，点D 即为所求．（2）如图，1BCE 和2BCE 即为所求．………………………………（1）作图3分，（2） 2分 30. 解：设原计划每天种树x 棵， ……………………………………1分 依题意列方程，得()100010005125%x x-=+. ………………………3分 解这个方程，得 40x =. ……………………………4分经检验，40x =是原方程的解，且符合题意. ………… 5分 答：原计划每天种40棵树.31. 解： 在∆BDC 中90,2∠=︒==D BD CD∴==BC …………………2分在∆ABC 中90,30∠=︒∠=︒ABC ACB2∴=AC AB ，222+=AB BC AC设=AB x ，则2AC x = ………………………………………3分222(2)x x ∴+= …………………………………………4分x ∴=……………………………………………………5分∴2AC AB ==…………………………………………6分E 2E 1D32． 线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系AB=AC +BD …… 1分证明：方法一在AB 上截取AF=AC ，连接EF . …………………………2分 ∵AE 平分∠CAB∴∠CAE=∠F AE 在△ACE 和△AFE 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC AF CAE FAE AE AE ∴△ACE ≌△AFE …………………………………………3分 ∴∠C =∠AFE ∵AC ∥BD ∴∠C +∠D =180° ∵∠AFE +∠BFE =180°∴∠D =∠BFE …………………………………………4分 ∵BE 平分∠ABD ∴∠DBE =∠FBE 在△DBE 和△FBE 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D BFE DBE FBE BE BE ∴△DBE ≌△FBE∴BF =BD …………………………………………5分 ∴AB=AF+BF=AC +BD ……………………………………6分证明：方法二延长AC 到点F ，使AF=AB ，连接EF . …………………2分FACBDE∵AE 平分∠CAB ∴∠BAE=∠F AE 在△ABE 和△AFE 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB AF BAE FAE AE AE ∴△ABE ≌△AFE …………………………………………3分 ∴BE =EF , ∠ABE=∠F ∵BE 平分∠ABD∴∠DBE =∠ABE∴∠DBE =∠F …………………………………………4分 ∵AC ∥BD∴∠D=∠FCE在△BDE 和△FCE 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D FCE DBEF BE EF∴△BDE ≌△FCE∴BD =FC ………………………………………5分 ∴ AB=AC+FC=AC +BD …………………………6分证明：证法三延长AC 和BE ，两线交于点F . ……………2分∵AC ∥BD∴∠F=∠DBE ∠FCE =∠D ∵BE 平分∠ABD∴∠DBE =∠ABE ∴∠F =∠ABE∴ AB=AF ……………………………………3分∵AE 平分∠CAB∴ BE=EF ………………………………………4分F EDCBAFEDCBA在△BDE 和△FCE 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D FCE DBEF BE EF∴△BDE ≌△FCE∴BD =FC ………………………………………5分 ∴ AB=AF=AC+FC=AC +BD ……………………6分。
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)
北京市朝阳区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的分类，分别投入相应标识的收集容器．下图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．2336(2)6ab a b =D ．223344a a a ÷= 3．一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）A ．三边形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 4．下列因式分解变形正确的是（ ）A ．22242(2)a a a a -=-B ．2221(1)a a a -+=-C ．24(2)(2)a a a -+=+-D ．256(2)(3)a a a a --=-- 5．把分式方程11122x x x--=--化为整式方程正确的是（ ） A ．1(1)1x --= B ．1(1)1x +-=C ．1(1)2x x --=-D ．1(1)2x x +-=- 6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，这时测得DE 的长就是AB 的长．判定△ABC ≌△EDC 最直接的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS7．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC 成轴对称．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．n m ，1m n +，1n 都有意义，下列等式①22n n m m=；②111m n m n =++；③22n n m m =；④22n n m m +=+中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．②④B ．①④C ．①②③④D ．②二、填空题9．分解因式：328x x -=______．10．若分式21x +有意义，则x 的取值范围是_________. 11．若20a b -=，且0b ≠，则分式a b a b +-的值为______． 12．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．13．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC=CD=DE,点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．三、解答题17．计算：3232()a a a a ⋅+-÷．18．解分式方程：22111x x x =--． 19．解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=-+-. 20．已知2277x x -=，求代数式2(23)(3)(21)x x x ---+的值．21．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，P 为BC 上一点（不与B ，C 重合）．在AB 上找一点M ，在AC 上找一点N ，使得△AMN 与△PMN 全等，以下是甲、乙两位同学的作法．甲：连接AP ，作线段AP 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则M ，N 两点即为所求；乙：过点P 作PM ∥AC ，交AB 于点M ，过点P 作PN ∥AB ，交AC 于点N ，则M ，N 两点即为所求．（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；A ．两人都正确B ．甲正确，乙错误C ．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ．求证：E 为AB 的中点．23．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？24．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．25．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =2，直线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接AM ，AN ，BM ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，求∠MAN 和∠MBC 的度数；（2）如图2，当点P 在线段BC 的延长线上时，①依题意补全图2；②探究是否存在点P ，使得3BM BN=，若存在，直接写出满足条件时CP 的长度；若不26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C ＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：厨余垃圾是轴对称图形；可回收物不是轴对称图形，注意箭头；有害垃圾是轴对称图形；其他垃圾不是轴对称图形，注意箭头．所以是轴对称图形的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．A【分析】根据幂的运算法则和整式的除法法则对各选项进行计算，即可作出判断．【详解】A 、232+35=a a a a ⋅=，故本选项正确；B 、32236=()a a a ⨯=，故本选项错误；C 、23336368()2=2ab a b a b =，故本选项错误；D 、223344a a ÷=，故本选项错误； 故选：A【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．D【分析】根据多边形的外角和为360°得到内角和的度数，再利用多边形内角和公式求解即可.【详解】解：设多边形的边数为x ，∵多边形的内角和等于外角和的两倍，∴多边形的内角和为360°×2=720°，∴180°（n ﹣2）=720°，解得n=6.故选D.【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，n 边形的内角的和等于： （n － 2）×180°(n 大于等于3且n 为整数）；多边形的外角和为360°.4．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A 错误；根据完全平方公式可得B 正确；根据平方差公式可得C 错误；根据十字相乘法可判断D 错误．【详解】A 、2242(2)a a a a -=-，故此选项错误；B 、2221(1)a a a -+=-，故此选项正确；C 、24(2)(2)a a a -+=+-，故此选项错误；D 、256(6)(+1)a a a a --=-，故此选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．5．D【分析】两边同时乘以最简公分母2x -即可化为整式方程，再依次判断即可．【详解】解：两边同时乘以2x -得1(1)2+-=-，x x故选：D．【点睛】本题考查解分式方程．注意去分母两边同时乘以最简公分母时两边都要乘，每一项都要乘．6．C【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．【详解】解：根据题意，∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，∴能证明△ABC≌△EDC最直接的依据是ASA．故选：C．【点睛】本题考查证明三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．A【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.【详解】解：如图，可以画6个.【点睛】本题考查了轴对称变换，能确定对称轴的位置是解题关键.8．D【分析】根据题意，判断出0m ≠，0n ≠，+0m n ≠，根据分式的性质逐个判断即可．【详解】解：∵ n m ，1m n +，1n都有意义， ∴ 0m ≠，0n ≠，+0m n ≠， ①222=n n n m mm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，仅需10n n m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即=1n m 时成立； ②111=m n m n++，不成立； ③22n n m m=，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④22n n m m +=+，()()2=2n m m n ++即2=2n m ，当=n m 时成立； 故仅有②一定不成立，故选D【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出m 、n 和+m n 的范围． 9．()()222+-x x x【分析】原式提取2x ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：328x x -22(4)x x =-2(2)(2)x x x =+-，故答案为：()()222+-x x x ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】 ∵分式21x +有意义， ∴10x +≠，解得1x ≠-.故答案为1x ≠-.11．3-【分析】由已知2a−b ＝0，可知b ＝2a ；将所得结果代入所求的式子中，经过约分、化简即可得到所求的值．【详解】解：∵2a−b ＝0，∴b ＝2a ； ∴23=32a b a a a a b a a a++==----． 故答案为−3．【点睛】正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．12．（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【分析】利用各图形的面积求解即可．【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．13．80°【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的【详解】∵OC CD DE ==，∴O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，∴2DCE DEC x ∠=∠=，∴180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，∵75BDE ∠=︒，∴180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．14．1【分析】过A 作AC ⊥OB ，首先证明△AOB 是等边三角形，再求出OC 的长即可．【详解】解，过A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AB=OB ，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB 是等边三角形，∵点B 的坐标为（2，0）∴OB=2∵AC ⊥OB∴112122OC OB ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．5或4．【分析】先设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，根据三角形面积公式，可求222,,412S S S a b c h ===，结合三角形三边的不等关系，可得关于h 的不等式组，解即可．【详解】解：设长度为4、12的高分别是a ，b 边上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积是S ，那么 222,,412S S S a b c h===， 又∵a-b ＜c ＜a+b ， ∴2222412412S S S S c -<<+， 即2233S S S h <<， 解得3＜h ＜6，∴h=4或h=5，故答案为：5或4．【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根据三边关系列出不等式组是解题关键．17．0．【分析】原式先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可．【详解】解：3232()a a a a ⋅+-÷=462a a a -÷=44a a -=0．【点睛】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 18．方程无解．【分析】先两边同乘以(1)(1)x x +-将分式方程化为整式方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．【详解】 22111x x x =--，即211(1)(1)x x x x =-+-， 方程两边同乘以(1)(1)x x +-化成整式方程，得12x x +=，移项，得21x x -=-，合并同类项，得1x -=-，系数化为1，得1x =，经检验，1x =时，原分式方程的分母等于0，即1x =不是原方程的解，故方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．19．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +-+=+，去括号得：22322x x x x ++-=+，移项合并得：1x -=-，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思路就是去分母两边乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．20．19【分析】先通过整式的运算法则将代数式化简成22712x x -+，再整体代入求值．【详解】解：原式()()224129263x x x x x =-+-+-- 224129253x x x x =-+-++22712x x =-+∵2277x x -=，∴2277x x -=，∴原式71219=+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．21．A ．【分析】(1)如图1，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MP，NA=NP，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PMN，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形AMPN为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到MA=PN，MP=AN，则根据“SSS”可判断△AMN≌△PNM，则可对乙进行判断．(2)根据（1）即可得出证明过程【详解】（1）解：如图1，∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，NA=NP，而MN=MN，∴△AMN≌△PMN（SSS），所以甲正确；如图2，∵MN∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN为平行四边形，∴MA=PN，MP=AN，而MN=MN，∴△AMN≌△PNM（SSS），所以乙正确．故选：A．（2）正确做法的证明同（1）【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．22．见解析【分析】证明AE=DE，EB=DE即可解决问题【详解】证明：∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ， 根据题意， 11125601050x x+=， 解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 24．（1）a ＞b ＞c ；（2）见解析【分析】（1）a 、b 、c 两两作差可得出a 、b 、c 之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a ，b ，c ，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【详解】（1）∵a -b =m 2+n 2-m 2=n 2＞0；a -c =m 2+n 2-mn =（m -n ）2+mn ＞0；b -c = m 2-mn =m （m -n ）＞0∴a ＞b ＞c ；（2）由（1）a ＞b ＞c 可得，a +b ＞c∵a -b = m 2+n 2-m 2=n 2＜mn∴a -b ＜c∴以a 、b 、c 为边长的三角形一定存在．【点睛】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在． 25．（1）∠MAN =90°，∠MBC =90°；（2）补全图形见解析；（3）存在，CP=1．【分析】（1）连接CN ，AP ，MP ，根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得∠NAC=∠CAP ，∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，再根据等腰直角三角形的性质即可求得∠MAN 和∠MBC ；（2）①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；②根据垂直平分线的性质可得PB=BM ，PC=CN ，再设BN 长为x ，利用3BM BN和线段的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）如图，连接CN ，AP ，MP ，∵N 、P 关于AC 对称，∴C 为PN 的中点，且AC 为NP 的中垂线，∴AN=AP ，∴△ANP 为等腰三角形，∴∠NAC=∠CAP （三线合一），同理可证∠PAB=∠MAB ，∠ABC=∠ABM ，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∴∠MAN=∠NAC+∠CAP+∠PAB+∠BAM=2∠CAB=90°，∠MBC=∠ABC+∠ABM=2∠ABC=90°；（2）①补全图2如下，②由（1）知B 在PM 的中垂线上，A 在PN 的中垂线上，∴PB=BM ，PC=CN ，设BN 长为x ，则BM 的长为3x ，CN 长为2-x ，∴PC=CN=2-x ，∵PB=BM=PC+BC,∴322x x =-+，解得x=1，∴满足条件的P 点存在，且CP=2-1=1．【点睛】本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等．理解轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键．26．（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ． ∵AB ＞AC ，∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．。
北京市怀柔区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案
北京市怀柔区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案学校班级姓名准考证号注意事项1.答题前请考生务必在每张答题卡的规定位置认真填写学校、班级、姓名、考号。
2.请认真核对条形码上的姓名、考号，确认无误后粘贴在考号条形码粘贴区内。
3.请按题号在规定答题区域内作答，未在对应答题区域内作答，或超出答题区域作答,均不得分。
4.修改时,不得使用涂改液、涂改带；请保持卡面清洁，不要折叠。
5.本试卷考试时刻为100分钟，满分 100 分。
一选择题（每题3分，共30分）1.在下列数：－1.414，－2，722，111000中，是无理数的是（）A．－1.414B．－2C．722D．1110002．下列事件为必定事件的是（）A．改日怀柔区必定下雪B．本次期末数学考试每个考场都只有一名考生C．百米短跑竞赛，一定产生第一名D．每天天安门的升旗时刻差不多上上午10点3．下列标志是轴对称图形的是（）4. 下列二次根式中能够和2相加合并的是（）A．14B．18C．31D．125. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线O C．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（）A．1，2，4 B．8，6，4C．12，6，5D．3，3，67．下列说法中正确的是（）A．带根号的数一定是无理数B．无限小数一定是无理数C．无理数一定是无限小数D．无理数是开平方或开立方开不尽的数8. 下列4个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）9．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长是（）A．13 B．16C．18D．2010.若分式1-5+mm的值为正整数，则整数m的值有（）A．3个B．4个C．6个D．8个二填空题（每题3分，共18分）11．当x时，分式11+-xx有意义.12．已知a，b为两个连续的整数，且a＜28＜b，则a＋b＝ .13.请你写出一个二次根式，要求被开方数只含有字母a，且不管a取任何数值时，那个二次根式都有意义，那个二次根式能够是.14.如图，长方形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为1，点A和点B是小正方形的格点，请你在图中画出从A到B的最短路程，则点A和点B之间的那个最短路程值为 .15.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE的面积为．16. 中国古代的数学家们关于勾股定理的发觉和证明，在世界数学史上具有专门的奉献和地位．专门是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，假如把它的各边分别延长1倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长1倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为（用含n的式子表示，n为正整数）．三、解答题17.（5分）运算：)22(28+-. 18. （5分）化简：xxxxxx2121122－－－－－＋÷.19. （5分）解方程：xxx--=+-21321.20. （4分）请你画出一个等腰三角形，使得顶角的度数是底角度数的一半.（不要求用尺规作图，画出图形并标识每个角的度数即可）．21.（5分）先化简，再求值：3211211aa a a⎛⎫÷-⎪-+-⎝⎭，其中012=-+aa.22.（5分）已知：如图，E,C是BF上两点，且AB∥DE，BE = FC，∠A=∠D.求证：AC = DF .ABDCEABCDE FA B C DA B C D14题图15题图三、解答题（11个小题，共52分） 三、解答题23. （5分） 列方程解应用题：北京时刻2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的都市，张家口也成为本届冬奥会的协办都市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告差不多获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是一般快车的1.5倍，用时比一般快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度. 24. （5分） 阅读材料，解答问题数学课上，同学们津津有味地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说：如图1，我用相同的两块含30° 角的直角三角板能够画角的平分线．画法如下： （1）在∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ； （2）把直角三角板按如图所示的位置放置， 两斜边交于点P ．射线OP 是∠AOB 的平分线． 小旭说：我只用刻度尺就能够画角平分线．请你也参与探讨，解决以下问题： （1）小惠的做法正确吗？说明理由；（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中∠QRS 的平分线，并简述画图的过程．25. （3分）图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探究这片网的结点数（V ），网眼数（F ），边数（E ）之间的关系，他采纳由专门到一样的方法进行探究，列表如下：专门网图结点数（V ） 4 6 9 12 网眼数（F ） 1 2 4 6 边数（E ）4712☆（1）表中“☆”处应填的数字为 ；依照上述探究过程，能够猜想V ，F ， E 之间满足的等量关系为 ；（2）如图2，若网眼形状为六边形，则V ，F ， E 之间满足的等量关系为 ．26. （5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，△ABD 是等边三角形，求CD 的长度．ADBC27. （5分）老师布置了如此一道作业题：在△ABC 中，AB ＝AC ≠BC ，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD ＝BC ，∠BAC ＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD ，求∠ADB 的度数．小聪提供了研究那个问题的过程和思路：先从专门问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB 为对称轴构造ΔABD 的轴对称图形ΔABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决那个问题．图1 图2（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种专门情形下∠ADB 的度数；（2）结合小聪研究专门问题的启发，请解决老师布置的这道作业题.图1ABOM NP图2RSQ图1 图22021～2021学年度第一学期八年级数学时期性质量监测试卷（B 卷）参考答案与评分标准一、选择题（每题3分，共30分） 1-5. BCBBA 6-10. BCDCA 二、填空题（每题3分，共18分）11．x ≠－1 12．11 13. 答案不唯独，正确即可，例如4a 14．5 15. 5 16. 5 n5 三、解答题（共52分） 17.解：18.解：()()()()()()()()()()()()()()()()222222221221112121112111111131111111141111151x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ÷⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋－－－－－＋－＋＝－＝－分－＋－－－＋－＋＋－＋＋＝－＝分－＋－＋－＋＋－－－＝＝分－＋－＋＝－分＋19．解：xxx －－＝＋－21321， 等式两边同时乘（x －2）得，1＋3（x －2）＝－（1－x ）………………2分 去括号得， 1＋3x －6＝x －1 移项合并同类项得， 2x ＝4系数化为1得， x ＝2………………4分当x ＝2时，x －2＝0，原方程中的分式无意义. 因此原方程无解.………………5分20. 解：因为等腰三角形两底角相等，又因为要作的等腰三角形顶角的度数是底角度数的一半，因此设顶角的度数为x .依照三角形内角和定理， x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°. 故等腰三角形的顶角为36°， 两个底角差不多上2×36°＝72° 画图正确………………3分， 角度标识正确.………………4分 21．解：()()()()()分－＝分－－＝－－－＝分－－－＝－－－－＝分－－－－－＝－－＋－原式＝41311112111111111111111122232323232323⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⨯⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯÷÷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛÷a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a 因为012=-+a a ,因此2a 1a -=-，代入得12-a a =22a a -= -1. ………………………………………5分22.证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ，……………………1分 ∵BE = FC ，∴BE ＋EC = FC ＋EC ，∴BC = FE ，……………………2分 在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠EF BC DEF B DA ＝＝∠∠=∠ ∴△ABC ≌△DEF （AAS ），……………………4分 ∴AC = DF .……………………5分23. 解：设一般快车的平均行驶速度为x 千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为 1.5x 千米/时，依题意得:………………………………………1分60205.1180180＝－x x ……………………3分 解得x ＝180……………………4分经检验，x ＝180是原方程的解且符合题意，180×1.5＝270（千米/时） 答：此高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．……………………5分24．解：（1）小惠的做法是正确的．……………………1分 理由如下：如图1，过O 点作OC ⊥PM 于C ，OD ⊥PN 于D ． ∴∠C =∠D =90°， 由题意，∠PMA =∠PNB =60°，∴∠OMC =∠PMA =60°，∠OND =∠PNB =60°．∴∠OMC =∠OND ．……………………2分()分－分－－＋－524222222228⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯=在△OMC 和△OND 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠ON OM D C DNO CMO ＝＝＝∴△OMC ≌△OND （AAS ），∴OC =OD ，∠COM =∠DON ， ∵OC ⊥PM 于C ，OD ⊥PN 于D ，∴点O 在∠CPD 的平分线上，∴∠CPO =∠DPO ，∴∠COP =∠DOP ，∴∠MOP =∠NOP ， 即射线OP 是∠AOB 的平分线；……………………3分 （2）如图2，射线RX 是∠QRS 的平分线，……………………4分 作图过程是：用刻度尺作RV =RW ，RT =RU ， 连接TW ，UV 交于点X ，射线RX 即为所求∠QRS 的平分线．……………………5分25．解：（1）17……………………1分 V ＋F －E ＝1 ……………………2分（2） V ＋F －E ＝1 ……………………3分26. 解：∵∠ACB =90°，AC =BC =2， ∴由勾股定理，得 AB =22BC AC ＋=2．……………………1分∠CAB =∠CBA =45°．∵△ABD 是等边三角形，∴AB =AD =BD =2，∠DAB =∠ABD =60°．……………………2分 ∵AC =BC ，AD =BD ，∴AB ⊥CD 于E ，且AE =BE =1． ……………………3分 在Rt △AEC 中，∠AEC =90°，∠EAC =45°，∴∠EAC =∠ACE =45°．∴AE =CE =1．在Rt △AED 中，∠AED =90°，AD =2，AE =1，∴DE =322＝－AE AD ……………………4分 ∴CD =3+1．……………………5分27. 解：（1）如图1作∠ABD ′=∠ABD ，BD ′=BD ，连接CD ′，AD ′， ∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠ABC =45°，……………………1分 ∵∠DBC =30°，∴∠ABD =∠ABC -∠DBC =15°， ∵AB =AB ，∠ABD ′=∠ABD ，BD ′=BD ， ∴△ABD ≌△ABD ′，∴∠ABD =∠ABD ′=15°，∠ADB =∠AD ′B ， ∴∠D ′BC =∠ABD ′+∠ABC =60°， ∵BD =BD ′，BD =BC ， ∴BD ′=BC ，∴△D ′BC 是等边三角形，∴D ′B =D ′C ，∠BD ′C =60°， ∵AB =AC ，AD '=AD '， ∴△AD ′B ≌△AD ′C ， ∴∠AD ′B =∠AD ′C ， ∴∠AD ′B =21∠BD ′C =30°， ∴∠ADB =30°.……………………2分（2）解：第①种情形：当60°＜α≤120°时，如图2，作∠AB D ′=∠ABD ，B D ′=BD ，连接CD ′，AD ′， ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ， ∵∠BAC =α， ∴∠ABC =2902180αα－＝－︒︒， ∴∠ABD =∠ABC -∠DBC =βα－－290︒，……………………3分同（1）可证△ABD ≌△ABD ′， ∴∠ABD =∠ABD ′=βα－－290︒，BD =BD ′，∠ADB =∠AD ′B∴∠D ′BC =∠ABD ′+∠ABC =290290αβα－＋－－︒︒=180°-（α+β），∵α+β=120°， ∴∠D ′BC =60°，以下同（1）可求得∠ADB =30°，……………………4分 第②种情形：当0°＜α＜60°时，如图3，作∠ABD ′=∠ABD ，BD ′=BD ，连接CD ′，AD ′．同理可得：∠ABC =2902180αα－＝－︒︒， ∴∠ABD =∠DBC -∠ABC =β−(90°−2α)，同（1）可证△ABD ≌△ABD ′，∴∠ABD =∠ABD ′=β−(90°−2α)，BD =BD ′，∠ADB =∠AD ′B ， ∴∠D ′BC =∠ABC -∠ABD ′=90°-2α−[β−(90°−2α)]＝180°−(α+β)，∴D ′B =D ′C ，∠BD ′C =60°．同（1）可证△AD ′B ≌△AD ′C ， ∴∠AD ′B =∠AD ′C ，∵∠AD ′B +∠AD ′C +∠BD ′C =360°，∴∠ADB =∠AD ′B =150°……………………5分。
2020-2021学年北京市大兴区八年级(上)期末数学试卷 (含解析)
2020-2021学年北京市大兴区八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a﹣2＝﹣2aC．a5÷a7＝a2D．（2a）0＝1（a≠0）3．如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍4．下列各分式中，最简分式是（）A．B．C．D．5．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°6．图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．45°B．62°C．73°D．135°7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b﹣1）＝ma+mb﹣mB．﹣a2+9b2＝﹣（a+3b）（a﹣3b）C．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2D．2x+1＝x（2+）8．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（共8小题）.9．若分式的值为0，则x＝．10．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于．11．计算：＝．12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．13．三角形中，其中两条边长分别为4cm和7cm，则第三边c的长度的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是．15．关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC＝6；④△ACD是等边三角形．所有正确结论的序号是．三、解答题（共52分，第17题6分，第18-22题每题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分）17．（1）分解因式：am2+4am+4a；（2）计算：x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）．18．计算：﹣．19．已知：如图1，∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB作法：①如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②如图3，画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C'D'．由作法可知OC＝O'C'，，，∴△COD≌△C'O'D'．（）（填推理依据）．∴∠A'O'B'＝∠AOB．∴∠A'O'B'就是所求作的角．20．已知x2+3x﹣9＝0，求代数式的值．21．随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机？22．已知：如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC＝∠BCE，AD＝BC．求证：DF＝FE．23．某种水果每千克进价20元，每千克售价x元（30＜x＜50），每天的销售量为（﹣x+50）千克．（1）求每天获得利润（用含x的代数式表示）；（2）当每千克售价为多少元时，每天可获得最大利润？（3）若每天获得利润200元，那么每千克售价应该定为多少元？24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形．P是线段BC上任意一点（不与点C重合），∠PAQ＝60°，且AP＝AQ．连接DQ，CQ，PQ．（1）求∠ADQ的度数；（2）若∠CQD＝90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．25．如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x ≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝；∠xON ＝°；（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB 之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a﹣2＝﹣2aC．a5÷a7＝a2D．（2a）0＝1（a≠0）【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，负整数指数幂的定义，同底数幂的除法法则以及任何非零数的零次幂等于1逐一判断即可．解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、a﹣2＝，故本选项不合题意；C、a5÷a7＝，故本选项不合题意；D、（2a）0＝1（a≠0），故本选项符合题意．故选：D．3．如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．解：＝＝，故选：A．4．下列各分式中，最简分式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．解：A.＝，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意；B.＝＝﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意；C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；D.＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：C．5．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°；故选：D．6．图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．45°B．62°C．73°D．135°【分析】根据全等三角形的性质得出即可．解：∵两个三角形全等，∴边长为a的对角是对应角，∴∠1＝73°，故选：C．7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b﹣1）＝ma+mb﹣mB．﹣a2+9b2＝﹣（a+3b）（a﹣3b）C．m2﹣m﹣2＝m（m﹣1）﹣2D．2x+1＝x（2+）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．解：A．从左到右的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．8．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（）A．3B．2C．1D．【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．解：过P作PE⊥OB于E，∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠AOP＝∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠PDE＝30°，∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1，故选：C．二、填空题（共24分，每小题3分）9．若分式的值为0，则x＝﹣2．【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，再解即可．解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，解得x＝±2，且x≠2，∴x＝﹣2，故答案为：﹣210．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于6或0．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．解：∵x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，∴m﹣3＝±3，解得：m＝6或0．故答案为：6或0．11．计算：＝8b．【分析】根据分式的除法法则即可求出答案．解：原式＝•＝8b，故答案为：8b．12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．13．三角形中，其中两条边长分别为4cm和7cm，则第三边c的长度的取值范围是3cm＜x＜11cm．【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边即可求第三边长的范围．解：根据三角形的三边关系得：7﹣4＜x＜7+4．即3＜x＜11，故答案为：3cm＜x＜11cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是35°．【分析】根据“∠ACB＝90°和∠ACD＝55°”先求出∠BCE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求出∠B．解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝55°，∴∠BCE＝180°﹣90°﹣55°＝35°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠BCE＝35°．故答案为：35°．15．关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为﹣3．【分析】先去分母得到整式方程，解整式方程得x＝m+5，利用分式方程无解得到x＝2，所以m+5＝2，然后解关于m的方程即可．解：去分母得m+3＝x﹣2，解得x＝m+5，∵原方程无解，∴x＝2，即m+5＝2，解得m＝﹣3，即当m＝﹣3时，关于x的分式方程﹣＝1无解．故答案为﹣3．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC＝6；④△ACD是等边三角形．所有正确结论的序号是①②④．【分析】根据已知条件得到AD＝CD，BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据含30°角的直角三角形的性质可求BC，根据等边三角形的判定得到△ACD是等边三角形，于是得到结论．解：①由作图可得AD＝CD，故①正确；②∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，故②正确；③∵BD⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝BC＝3，∴BC＝3××2＝3，故③错误；④∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（共52分，第17题6分，第18-22题每题5分，第23题6分，第24题7分，第25题8分）17．（1）分解因式：am2+4am+4a；（2）计算：x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）．【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用整式的乘法运算法则及平方差公式计算得出答案．解：（1）am2+4am+4a＝a（m2+4m+4）＝a（m+2）2；（2）x（x﹣2）+（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2x+x2﹣4y2＝2x2﹣2x﹣4y2．18．计算：﹣．【分析】直接通分，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．解：原式＝﹣＝＝．19．已知：如图1，∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB作法：①如图2，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②如图3，画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C'D'．由作法可知OC＝O'C'，OD＝OD′，CD﹣CD′，∴△COD≌△C'O'D'．（SSS）（填推理依据）．∴∠A'O'B'＝∠AOB．∴∠A'O'B'就是所求作的角．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据作图过程可得OC＝O'C'，OD＝OD′，CD＝CD′，进而可以完成证明．【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；（2）证明：连接C'D'．由作法可知：OC＝O'C'，OD＝OD′，CD＝CD′，∴△COD≌△C'O'D'．（SSS）（填推理依据）．∴∠A'O'B'＝∠AOB．∴∠A'O'B'就是所求作的角．故答案为：OD＝O'D'，CD＝C'D'，SSS．20．已知x2+3x﹣9＝0，求代数式的值．【分析】由已知等式得出x2+3x＝9，将其代入到＝＝＝＝可得答案．解：∵x2+3x﹣9＝0，∴x2+3x＝9，则＝•﹣＝＝＝＝1．21．随着5G网络技术的发展，对5G手机的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 手机的生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每月比更新技术前每月多生产2万部5G手机，现在生产60万部5G手机所需的时间与更新技术前生产50万部5G手机所需时间相同，求更新技术前每月生产多少万部5G手机？【分析】设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产（x+2）万部5G 手机，由题意列出分式方程，解方程即可．解：设更新技术前每月生产x万部5G手机，则更新技术后每月生产（x+2）万部5G手机，由题意列方程，得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，答：更新技术前每月生产10万部5G手机．22．已知：如图，点C在线段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC＝∠BCE，AD＝BC．求证：DF＝FE．【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DAC＝∠CBE，在△ACD和△BEC中，∴△ACD≌△BEC（ASA），∴DC＝CE，∴△DCE是等腰三角形．∵CF平分∠DCE，∴DF＝FE．23．某种水果每千克进价20元，每千克售价x元（30＜x＜50），每天的销售量为（﹣x+50）千克．（1）求每天获得利润（用含x的代数式表示）；（2）当每千克售价为多少元时，每天可获得最大利润？（3）若每天获得利润200元，那么每千克售价应该定为多少元？【分析】（1）根据每天获得利润＝（每千克售价﹣每千克进价）×每天的销售量列式即可；（2）设每天可获得的利润为w，将（1）中的利润表达式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）令每天获得的利润等于200元，解方程，结合30＜x＜50，可得答案．解：（1）（x﹣20）（﹣x+50）＝﹣x2+70x﹣1000，∴每天获得的利润为（﹣x2+70x﹣1000）元；（2）设每天可获得的利润为w，由题意得：w＝﹣x2+70x﹣1000＝﹣（x2﹣70x）﹣1000＝﹣（x2﹣70x+352﹣352）﹣1000＝﹣（x﹣35）2+225，∴当x＝35时，w有最大值225．∴当每千克售价为35元时，每天可获得最大利润；（3）由题意得：﹣（x﹣35）2+225＝200，∴（x﹣35）2＝25，∵平方等于25的数是5或﹣5，∴x﹣35＝5，或x﹣35＝﹣5，∴x＝40或x＝30，∵30＜x＜50，∴x＝40．∴若每天获得利润200元，那么每千克售价应定为40元．24．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD是等边三角形．P是线段BC上任意一点（不与点C重合），∠PAQ＝60°，且AP＝AQ．连接DQ，CQ，PQ．（1）求∠ADQ的度数；（2）若∠CQD＝90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AD，进而利用SAS证明△PAC≌△QAD，进而解答即可；（2）根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．解：（1）∵∠PAQ＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD．∠CAD＝60°＝∠PAQ，∴∠PAC＝∠QAD，在△PAC和△QAD中，，∴△PAC≌△QAD（SAS），∴∠ADQ＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠ADQ＝90°；（2）线段CQ与AD的数量关系是：，位置关系是：CQ∥AD，∵∠ADQ＝90°，∠CQD＝90°，∴∠CQD+∠ADQ＝180°，∴AD∥CQ，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD，∴∠ADC＝60°，∴∠QDC＝30°，∴，∴．25．如图1，在平面内取一个定点O，自O引一条射线Ox，设M是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0），以射线Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM的度数为x°（x ≥0）．那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）．例如，在图2中，如果OG＝4，∠xOG＝120°，那么点G在平面内的位置，记为G（4，120°）．（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON＝6；∠xON ＝35°；（2）如图4，点A，点B在射线Ox上，点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），点A，E，C在同一条直线上，且OE＝BC．用等式表示∠OEA与∠ACB 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；（2）过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F，根据题意OB＝2OA，则OA＝AB，通过证得△AOF≌△ABC，得到OF＝BC，即可证得OE＝OF，进而即可证得∠OEA＝∠ACB．解：（1）根据点N在平面内的位置记为N（6，35°）可知，ON＝6，∠xON＝35°．故答案为：6；35；（2）用等式表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系是：∠OEA＝∠ACB．证明：过点O作BC的平行线交CA的延长线于点F．∴∠ACB＝∠F．∵点A，B在平面内的位置分别记为（a，0°），（2a，0°），∴OB＝2OA，∴OA＝AB，在△AOF和△ABC中，∴△AOF≌△ABC（AAS），∴OF＝BC，∵OE＝BC．∴OE＝OF．∴∠F＝∠OEA．又∵∠ACB＝∠F，∴∠OEA＝∠ACB．。
2020-2021学年北京海淀区人教版八年级(上)期末数学试卷(含答案)
2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣73．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a54．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是．（写出一个即可）13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为cm．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．18．（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．19．（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．20．（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠．（）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．21．（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．22．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．23．（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝对称．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．25．（7分）（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l为过点M（m，0）且与x轴垂直的直线．对某图形上的点P（a，b）作如下变换：当b≥|m|时，作出点P关于直线l的对称点P1，称为Ⅰ（m）变换；当b＜|m|时，作出点P关于x轴的对称点P2，称为Ⅱ（m）变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ（m）变换，又有点作了Ⅱ（m）变换，我们就称该图形为m﹣双变换图形．例如，已知A（1，3），B（2，﹣1），如图1所示，当m＝2时，点A应作Ⅰ（2）变换，变换后A1的坐标是（3，3）；点B作Ⅱ（2）变换，变换后B1的坐标是（2，1）．请解决下面的问题：（1）当m＝0时，①已知点P的坐标是（﹣1，1），则点P作相应变换后的点的坐标是；②若点P（a，b）作相应变换后的点的坐标为（﹣1，2），求点P的坐标；（2）已知点C（﹣1，5），D（﹣4，2），①若线段CD是m﹣双变换图形，则m的取值范围是；②已知点E（m，m）在第一象限，若△CDE及其内部（点E除外）组成的图形是m﹣双变换图形，且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积．2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）【考点】因式分解的意义．【专题】整式；运算能力．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；作图—基本作图．【专题】作图题；应用意识．【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝a﹣b，当a﹣b＝2时，原式＝2．故选：A．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定【考点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，证明△AEB≌△HEC，根据全等三角形的性质得到AB＝CH，∠BAE＝∠H，根据三角形的高、中线、角平分线的定义解答即可．【解答】解：假设AB＜AC，如图所示，延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，在△AEB和△HEC中，，∴△AEB≌△HEC（SAS），∴AB＝CH，∠BAE＝∠H，∵AB＜AC，∴CH＜AC，∴∠CAH＜∠H，∴∠CAH＜∠BAE，∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是x≠2．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式的分母不等于零分式有意义，可得答案．【解答】解：要使式子有意义，得x﹣2≠0．解得x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用了分式的分母为零分式无意义．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝3a+2．【考点】整式的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（3a2+2a）÷a＝3a2÷a+2a÷a＝3a+2．故答案为：3a+2．【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为3．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝，故答案为：3．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．（写出一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】由全等三角形的判定定理可求解．【解答】解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；故答案为：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1＞S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：方案一：如图1，S1＝a2﹣b2，方案二：如图2，S2＝（a﹣b）（+b+）﹣b2＝（a﹣b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣b2﹣b2＝a2﹣2b2，∵S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝a2﹣b2﹣a2+2b2＝b2＞0，∴S1＞S2．故答案为：＞．【点评】本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为30°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN的垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．【考点】等腰直角三角形；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由轴对称的性质可求点B坐标，由等腰直角三角形的性质可求OC＝OA＝3，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，∴点B（0，﹣3），∴OA＝OB＝3，又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴OC＝OA＝OB＝3，∴点C（3，0）或（﹣3，0），故答案为：（3，0）或（﹣3，0）．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是本题的关键．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为64cm．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据已知条件得到当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵在骑行过程中脚总可以踩到踏板，∴当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，则，AD最长为AB+BC﹣CD＝40+40﹣16＝64（cm），故答案为：64．【点评】本题考查了旋转的性质，知道当AB+BC＝AD+CD时，AD最长是解题的关键．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（8分）（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂．【专题】因式分解；实数；运算能力．【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝+﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（5分）（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，∵3x2﹣x﹣1＝0，∴3x2﹣x＝1．∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．19．（5分）（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD ＝CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC＝CB，∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定．20．（5分）（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB．（等边对等角）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题；推理能力．【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．【解答】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠ADB＞∠C，∴∠ABD＞∠C，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD，∴∠ABC＞∠C．故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（5分）（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．【考点】分式方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【分析】设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元，根据题意可得等量关系：2800元所购买的香蕉的重量﹣2500元所购买的橘子的重量＝150，再列出方程，解出x的值即可．【解答】解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元．根据题意，得﹣＝150，解得x＝10，检验：当x＝10时，70%x≠0．所以原分式方程的解为x＝10且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．22．（6分）（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝90°，在Rt△CAE与Rt△ABD中，，∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），∴CE＝AD．（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．由（1）得CE＝AD，∵AD＝CF，∴CE＝CF．∴∠CFE＝∠E，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFB＝∠E．∵∠E＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，∴∠EAC＝∠DBC．∵∠EAC＝∠BAD，∴∠BAD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．23．（5分）（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝2对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝﹣1对称．【考点】配方法的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；（2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴＝3即可；（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，则多项式关于x＝2对称，故答案为：2；（2）∵x2+2bx+3＝（x+b）2+3﹣b2，∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称，∴﹣b＝3，∴b＝﹣3；（3）原式＝（x+4）2（x﹣2）2＝[（x+4）（x﹣2）]2＝（x2+2x﹣8）2＝[（x+1）2﹣9]2＝[（x+1+3）（x+1﹣3）]2＝（x+4）2（x﹣2）2，当x＝﹣4和2时，原式＝0，∴关于x＝﹣1对称，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．。
2020-2021北京市初二数学上期末试题(附答案)
2020-2021北京市初二数学上期末试题（附答案）一、选择题1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学 记数法表示为（） A. 5.6x10 1B. 5.6x10 2C. 5.6x10 3D. 0.56x10 12.如图，R3ABC 中，AD 是NBAC 的平分线，DE±AB,垂足为E,若AB=10cm, AC=6cm,则BE 的长度为（）( 4/n + 4那么代数式〃? +I mA. -2B. -1C. 2D. 34 .计算：Ex ，-2x ） + （ _ 2x ）的结果是（ ）A. 2x 2- 1B. -2x2-1 c. -2x2+l D , - 2x 25.2019年7月30 口阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150E1,现在高速路程缩短了 20k 〃，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间 比走国道少用L5小时，设走国道的平均车速为双〃/〃，则根据题意可列方程为（）7 .已知关于x 的分式方程匕"-1 =?一的解是正数，则/〃的取值范围是（） X-l 1-XA. 〃？V4且〃?彳3B. m<4C.加9 且阳#3D.加>5且加r6nrm + 2的值是（♦寺） 150-20 150 f _ A. -------------- ——= 1.5 x 2.5x 150 150-20 ♦ . B. -------- - ----- = 1.52.5% x150 150-20 C. --- - -------- 二 1.3150-20 150 D. ------- - --- =1.2)6.如图，在^ABC 中，ZACB=90°,分别以点A 和B 为圆心,为半径作弧，两弧相交于点M 和N,作直线MN 交AB 于点D,以相同的长（大于?AB ） 2交BC 于点E,连接CD,C. ZA=ZBEDD. ZECD=ZEDC3.如果，/ +2m —2 = 0轴于点N,再分别以点M 、N 为圆心，大于L MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于2 点P.若点P 的坐标为（2a, b+1）,则a 与b 的数量关系为（）A. a=bB. 2a+b= - 1C. 2a - b=l 9 .如图，在△ABC 中，以点8为圆心，以84长为半径画弧交边8c 于点。
北京市石景山区2020-2021学年八年级上期期末试卷数学(含解析)
石景山区2020—2021学年第一学期初二期末试卷数学一、选择题1. 3的算术平方根是（）A. 3B.C.D. 92. 下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 下列事件中，为必然事件的是（）A. 明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起B. 成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀C. 从能被2整除的数中，随机抽取一个数能被8整除D. 从10本图书中随机抽取一本是小说4. ）A.12x>- B. 12x≠- C.12x<- D.21x≥-5. 如图所示在ABC∆中，AB边上的高线画法正确的是( ) A. B.C. D.6. 下列式子的变形正确的是（）A.22b ba a= B.22+++a ba ba b=C. 2422x y x yx x--= D.22m nnm-=-7. 下列说法正确的是（）A. 无理数是开方开不尽的数B. 一个实数的绝对值总是正数C. 不存在绝对值最小的实数D. 实数与数轴上的点一一对应8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A. B. C. D.二、填空题9. 一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是____．10. 如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的取值范围为__．11. 如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的∠1=______°．12. 将分式42326xyx y约分可得____，依据为_____．13. 若[x]表示实数x的整数部分，例如：[3.5]=3，则___．14. 如图，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，请添加一个条件，使得ABE≌ACD．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．15. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为__尺，根据题意，可列方程为___．16. 有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72°；③测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%；④测试成绩为A或B等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是______．三、解答题17. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：⊥以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；⊥分别以点A，B为圆心，以大于12AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；⊥作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝ ，P A ＝ ，⊥PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）．18. ()01-π．19. 计算：20. 解方程：26139x x x =++-．21. 如图，ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，且AD=BE ．求证：AE = CD ．22. 在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．23. 已知21a a +=，求代数式221312442a a a a a a a +---÷++++的值．24. 关于x 的分式方程321x m x -=+的解是负数，求满足条件的整数m 的最大值．25.创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26. 某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27. 如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．28. 如图，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图形；②若AC=a，BD=b，则AB的长为(用含a，b的式子表示)．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．参考答案与解析一、1~5：BBADB 6~8：CDB二、 9.12 10.3<a<13 11.105 12.(1). 3y x(2). 分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变 13.4 14.∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）15.(1). ()3x - (2). ()22238x x -+= 16.①②④ 三、17.【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA ，QB ．⊥QA ＝QB ，P A ＝PB ，⊥PQ ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB ；PB ；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18.()01-π =3-4+1=0．19.【详解】解：====20.【详解】解：26139x x x =++- 方程两边同时乘以29x -可得：()2396x x x -=-+，整理得：33x -=-，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的解．21.【详解】解：⊥ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BA ，CB 延长线上的点，∴AB CA =，120ABE CAD ∠=∠=︒，在ABE △和CAD 中，AB CA ABE CAD BE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE △≌CAD ，∴AE CD =．22.【详解】解：如图，OAB 和OBC的等腰三角形，作图如下：，可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有OAB 、OAE △、OAD △、OBC 、OBD 共5种．23.【详解】解：原式()22132212a a a a a a +-+=-⋅+-+ ()()213221a a a a a +-=-++- ()()()()22132121a a a a a a --=-+-+-222a a =+-， ∵21a a +=，⊥原式2212==--． 24.【详解】解：321x m x -=+ 3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2x=2+m ，∵方程的解是负数，且10x +≠，∴2+m<0且210m ++≠，解得m<-2且m ≠-3．∴满足条件的整数m 的最大值-4．25.【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵， 根据题意可得：()480048004120x x -=+%， 解得200x =，经检验得200x =是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．26.【详解】解：（1）由统计表可知做5个的人数最多，故众数为5；第20和第21个人做的个数都为5，所以中位数为5；（2）选择中位数5个比较合适，因为大部分学生都能达到；（3）11413238000480040++⨯+⨯⨯=（人）， ∴估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数为4800人．27.【详解】解：（1）连接AE ，，⊥26AC AB ==，BC =⊥222AC AB BC =+， ⊥ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，⊥DE 垂直平分AC ，⊥AE CE =，在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，⊥()2223BE BE =+，解得BE =（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，∴AM CM =，∴CM MN AM MN +=+，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，，在ABC 和CNA 中，B ANCACB CAN AC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊥ABC ≌CNA ，⊥AN BC ==．28.【详解】解：（1）①补全图形如下：；②过点O 作OE AB ⊥，，⊥AO 平分PAB ∠，CD AP ⊥，OE AB ⊥，⊥OAC OAE ∠=∠，OC OE =，又⊥AO 为公共边，⊥OAE △≌OAC ，⊥AE AC a ==，同理可得BE BD b ==，⊥AB AE BE a b =+=+；（2）如图，过点O 作EF AP ⊥，，由（1）可知OE OF =，AB AE BF =+，又⊥90CEO DFO ∠=∠=︒，COE DOF ∠=∠， ⊥COE ≌DOF △，⊥CE DF =，⊥AB AE BF AE BD DF AE CE BD AC BD =+=++=++=+．。
2020-2021学年北京市丰台区初二数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市丰台区初二数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）若分式21x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．2B ．2-C ．12 D ．12-2．（2分）下面的四个图案分别是“T 型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是( )A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BDD ．线段DA4．（2分）下列计算正确的是( ) A ．236a a a ⋅=B ．248()a a =C ．22a a -=-D ．33a a a ÷=5．（2分）如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ，OA 于点E ，F ．下列结论错误的是( )A ．PC PD =B ．OC OD =C ．CPO DPO ∠=∠D ．PC PE =6．（2分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( ) A ．15B ．20C ．25D ．20或257．（2分）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：如果厨余垃圾分出率100%=⨯厨余垃圾分出量生活垃圾总量（生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是( ) A ．660840014710x x ⨯=B ．6608400147660840010x x ⨯=++C ．6608400147660840010x x=⨯++D ．7840066010146608400x x++⨯= 8．（2分）设a ，b 是实数，定义一种新运算：2*()a b a b =-．下面有四个推断： ①**a b b a =； ②222(*)*a b a b =； ③()**()a b a b -=-； ④*()**a b c a b a c +=+． 其中所有正确推断的序号是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②D ．①③二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3x 的取值范围为 ． 10．（3分）分解因式：228n -= ．11．（3分）写出一个比小的整数 ．12．（3分）如图，将ABC ∆沿BC 所在的直线平移得到DEF ∆．如果2GC =， 4.5DF =，那么AG = ．13．（3分）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ．14．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥于D 点，若1BD =，则AD = ．15．（3分）如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b = ．16．（3分）如图是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A ，B 均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C 也在此44⨯的正方形网格的格点上，且ABC ∆是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C 的坐标 ；满足条件的点C 一共有 个．三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）计算：2()(2)x y x x y ---．18．（5分）计算：21(1)11m m m -÷++． 19．（5218(2)21|4--．20．（5分）解分式方程：1111x x x-=++． 21．（5分）如图，AB AD =，AC AE =，CAE BAD ∠=∠．22．（5分）先化简，再求值：23()xyy x y-⋅+，其中340x y-=．23．（5分）下面是小明设计的“作一个含30︒角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点A．求作：ABC∆，使得90ACB∠=︒，30ABC∠=︒．作法：如图2，①在直线l上取点D；②分别以点A，D为圆心，AD长为半径画弧，交于点B，E；③作直线BE，交直线l于点C；④连接AB．ABC∆就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EA，ED．BA BD AD==，ABD∴∆是等边三角形．60BAD∴∠=︒．BA BD=，EA=，∴点B，E在线段AD的垂直平分线上()（填推理的依据）．BE AD∴⊥．90(ABC BAD ∴∠+∠=︒ )（填推理的依据）． 30ABC ∴∠=︒．24．（6分）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B ∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠．25．（6分）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律： 11111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n +-=-=++++． 反过来，有111(1)1n n n n =-++． 运用这个运算规律可以计算：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）请你运用这个运算规律计算：111233445++=⨯⨯⨯ ； （2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有1L 水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L 水，第2次倒出的水量是12L 的13，第3次倒出的水量是13L 的14，第4次倒出的水量是14L 的15⋯第m 次倒出的水量是1L m 的11m ⋯+按照这种倒水的方法，这1L 水能倒完吗？ 请你补充解决过程：①列出倒m 次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L 水能倒完吗”，并说明理由．26．（6分）已知：如图，60MON ∠=︒，点A 在射线OM 上，点B ，C 在射线ON 上（点C 在点B 的右侧），且60OAB OAC ∠+∠=︒．点B 关于直线OM 的对称点为D ，连接CD ． （1）依题意补全图形；（2）猜想线段CD ，AB 的数量关系，并证明．27．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)P a b 和图形w ，给出如下定义：如果图形W 上存在一点(,)Q c d ，使得a cb d k =⎧⎨+=⎩，那么点P 是图形W 的“k 阶关联点” （1）若点P 是原点O 的“1-阶关联点”，则点P 的坐标为 ； （2）如图，在ABC ∆中，(1,1)A -，(2,4)B --，(0,6)C -．①若点P 是ABC ∆的“0阶关联点”，把所有符合题意的点P 都画在图中； ②若点P 是ABC ∆的“k 阶关联点”，且点P 在ABC ∆上，求k 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
2020-2021学年北京市通州区八年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年北京市通州区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列说法正确的是()A. 圆是轴对称图形B. 三点确定一个圆C. 大于半圆的弧叫做劣弧D. 长度相等的弧叫做等弧2.如图，小红作出了边长为1的第1个等边△A1B1C1，算出了等边△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个等边△A2B2C2，算出了等边△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个等边△A3B3C3，算出了等边△A3B3C3的面积…，由此可得，第n个等边△A n B n C n的面积是()A. √34×(12)n−1 B. √34×(12)n C. √34×(14)n−1 D. √34×(14)n3.下列式子没有意义的是()A. √−2B. √0C. √3D. √(−1)24.如图所示，镖盘为两个半径为1：2的两个同心圆，其中阴影部分为小圆内部一个90∘的扇形，向大圆上投掷飞镖，则镖针落在阴影部分的概率为()A. 132B. 116C. 18D. 145.下列说法属于必然事件的是()A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 相等的弦所对的圆周角相等C. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 平分弦的直径垂直于弦6.具备下列条件的两个三角形，全等的是()A. 两个角分别相等，且有一边相等B. 一边相等，且这边上的高也相等C. 两边分别相等，且第三边上的中线也相等D. 两边且其中一条对应边的对角对应相等7.若关于x 的方程x+2x−2=mx−2+2无解，则m 的值是( )A. m =0B. m =2C. m =4D. m =68. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为底边在△ABC 外作等腰△ACD ，过点D 作∠ADC 的平分线分别交AB ，AC 于点E ，F.若AC =12，BC =5，△ABC 的周长为30，点P 是直线DE 上的一个动点，则△PBC 周长的最小值为( )A. 15B. 17C. 18D. 20二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9.比较大小：√15−12______32(填“>，<或=”)．10. 若代数式x 2−4x+2的值为0，则实数x 的值是_________．11. 若2x+3(x+1)(x+2)=Ax−1−Bx+2恒成立，则A −B =______． 12. 计算：√8÷√18=______．13. 已知|2x −4|+√x +2y −10=0，则xy 的立方根是______．14. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外都相同的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验3000次，记录结果如下： 实验次数n 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 摸到红球次数m 65 124 1783024816201240 1845摸到红球频率mn0.650.620.593 0.604 0.601 0.620 0.620 0.615估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为______.(精确到0.1) 15. 如图，正方形网格的边长为1，点A ，B ，C 在网格的格点上，点P 为BC 的中点，则AP = ______ ．16. 如图，C与AB的中点，且CD=BE，请添加一个条件______ ，使得△ACD≌△CBE．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 解方程：xx−2−1=x−12−x．四、解答题（本大题共9小题，共47.0分）18. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在BC和CD边上，分别连接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求△CEF的周长．19. (1)计算：√8−√92−√3√6√3(√3−2)0√(1−√2)2；(2)先化简，再求值：2x4x2−4x4×x−2x22x−1x−2，其中x=2√3．20. 图1、图2分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C(点C必须在小正方形的顶点上)，使以A、B、C为顶点的三角形的面积为10，且分别满足以下要求：(1)在图1中画一个直角三角形ABC；(2)在图2中画一个钝角等腰三角形ABC；(3)图2中△ABC的周长为______.(请直接写出答案)21. 若实数x、y满足x2+6x+√x−y+1+9=0，求代数式(1x−y+1x+y)÷yx2−y2的值．(要求对代数式先化简，再求值．)22. 如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向△ABC外作等边△BCD，把△ABD绕点D，逆时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB=4，AC=3．(1)试判断△ADE的形状，并说明理由；(2)求∠BAD的度数；(3)求AD的长．23. 为厉行节能减排，倡导绿色出行，某区推行“共亨单车”公益活动．么同小区分别投放数量相等的A、B两种不同款型的共享单车，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A型、B型单车投放成本分别为33000元和34500元(1)求A型共享单车的单价是多少元？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A，B两车型的数量比为3：2进行投放，且投资总价值不低于11万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3√2，求△ABC的周长和面积．25. (1)计算：|−√3|+(1−√3)0−(−4)．(2)化简：a+3a2+2a −12a+a2．26. 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴表示地平面，y轴表示海拔高度(单位长度为1千米).某炮位于坐标原点．图示炮弹发射后的轨迹(曲线)方程：y=kx−120(1+k2)x2(k>0)，k与炮弹的射程有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮弹的最大射程；(2)设第一象限有个飞行物(忽略其大小)的飞行高度为3.2千米，则该飞行物的横坐标不超过多少千米时，炮弹能够击中它？参考答案及解析1.答案：A解析：解：A、圆是轴对称图形，正确，符合题意；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；C、小于半圆的弧叫做劣弧，故错误，不符合题意；D、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；故选：A．根据确定圆的条件及圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．考查了确定圆的条件及圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关性质及定义，难度不大．2.答案：C解析：解：等边△A1B1C1的面积为：12×√34×12=√34，∵△A1B1C1三边的中点为A2，B2，C2，∴A2B2是△A1B1C1的中位线，∴A2B2//A1B1，A2B2=12A1B1，∴△A2B2C2∽△A1B1C1，∴△A2B2C2的面积：△A1B1C1的面积=1：4，∴等边△A2B2C2的面积为：√34×14=√342，同理可知，等边△A3B3C3的面积：等边△A2B2C2的面积=1：4，∴等边△A3B3C3的面积为：√342×14=√343，…，依此类推第n个等边△A n B n C n的面积是：√34n =√34×(14)n−1，故选：C．证A2B2是△A1B1C1的中位线，得A2B2//A1B1，A2B2=12A1B1，则△A2B2C2∽△A1B1C1，由相似三角形的性质求出等边△A2B2C2，以及等边△A3B3C3的面积，依此类推△A n B n C n的面积即可．此题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，找出题中的规律是解题的关键．3.答案：A解析：解：因为正数有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根，所以，选项B、C、D都有意义，只有选项A没有意义，故选：A．根据正数有一个算术平方根，负数没有算术平方根逐个判断即可．本题考查了对算术平方根定义的应用，能理解正数有两个平方根，负数没有平方根是解此题的关键．4.答案：B解析：解：两同心圆半径之比为1：2，因此得出两圆面积之比为1：4，又因为扇形圆心角为90°，得扇形为小圆面积的14，从而得出概率P=14×14=116．故选：B．求出阴影部分的面积与大圆的面积之比，就是一个飞镖刚好落在阴影部分内的概率．本题主要考查了几何概率的计算公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．5.答案：C解析：解：A、垂直于圆的半径的且过半径的外端直线是圆的切线，此事件是随机事件，故A不符合题意；B、等圆或同圆中相等的弦所对的圆周角相等，此事件是随机事件，故B不符合题意；C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形是必然事件，故C符合题意；D、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，此事件是随机事件，故D不符合题意；故选：C．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件6.答案：C解析：解：A、两个角分别相等，且有一边相等的两个三角形不一定全等，故选项A不符合题意；B、一边相等，且这边上的高也相等的两个三角形不一定全等，故选项B不符合题意；C、两边分别相等，且第三边上的中线也相等的两个三角形全等，故选项C符合题意；D、两边且其中一条对应边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故选项D不符合题意；故选：C．由全等三角形的判定依次判断可求解．本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．7.答案：C解析：解：方程两边同乘(x−2)，得x+2=m+2(x−2)，当x=2时，分式方程无解，解得：m=4；故选C．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程的解，使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0．8.答案：C解析：解：∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，DE平分∠ADC，∴ED垂直平分AC，∴点A与点C关于DE对称，∴PC=PA，如图所示，当点P与点E重合时，PC+PB=PA+PB=AB，此时△PBC的周长最小，∵AC=12，BC=5，△ABC的周长为30，∴AB=13，∴△PBC周长的最小值为AB+BC=13+5=18，故选：C．根据点A与点C关于DE对称，即可得出PC=PA，当点P与点E重合时，PC+PB=PA+PB=AB，此时△PBC的周长最小，根据AB与BC的长即可得到△PBC周长的最小值．本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．9.答案：<解析：解：∵√15−12−32=√15−42<4−42=0，∴√15−12−32<0，∴√15−12<32．故答案为：<． 比较出√15−12、32的差的正负，即可判断出它们的大小关系．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．10.答案：2解析：本题考查了分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解决问题的关键.分式值为零的条件有两个：分子为零且分母不为零，根据这一条件列出关于x 的式子，求解即可得到答案．解：∵代数式x 2−4x+2的值为0，∴x 2−4=0且x +2≠0， ∴x =2． 故答案为2．11.答案：2解析：解：Ax−1−Bx+2 =A(x+2)−B(x−1)(x+1)(x+2)=(A−B)x+2A+B (x+1)(x+2)，由题意可知：{A −B =22A +B =3，解得：{A =53B =−13， ∴A −B =2， 故答案为：2．根据分式的加减运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．12.答案：23解析：解：√8÷√18=√818=√49=23，故答案为：23．根据二次根式的除法，即可解答．本题考查了二次根式的除法，解决本题的关键是熟记二次根式的除法法则．13.答案：2解析：解：∵|2x−4|+√x+2y−10=0，∴2x−4=0，x+2y−10=0，解得：x=2，y=4，则xy=8，故xy的立方根为：2．故答案为：2．直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质得出x，y的值，进而得出答案．此题主要考查了算术平方根，立方根以及非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．14.答案：0.6解析：解：由表格中的数据可得，从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为0.6，故答案为：0.6．根据表格中的数据，可以估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率，本题得以解决．本题考查利用频数估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．15.答案：5√22解析：此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的性质，关键是确定三角形是直角三角形．首先根据网格计算出AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，进而可得∠CAB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．解：AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，∴AC2+AB2=CB2，∴∠CAB=90°，∵点P为BC的中点，∴AP=12BC=12×√50=5√22．故答案为5√22．16.答案：AD=CE或∠A=∠BCE解析：解：添加AD=CE或∠A=∠BCE后可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE．故答案为：AD=CE或∠A=∠BCE．要使△ACD≌△CBE，已知CD=BE，可求AC=CB，则可以添加一个边从而利用SSS来判定其全等，或添加一个夹角从而利用SAS来判定其全等．本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．17.答案：解：去分母得：x−x+2=1−x，解得：x=−1，经检验x=−1是分式方程的解．解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18.答案：解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，由旋转的性质得，HD=BE，AH=AE，∠DAH=∠BAE，所以，∠FAH=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=90°−∠EAF，∵∠EAF=45°，∴∠FAH=90°−45°=45°，∴∠FAH=∠EAF，在△AEF和△AHF中，{AH=AE∠FAH=∠EAF AF=AF，∴△AEF≌△AHF(SAS)，∴EF=FH，∴△CEF的周长=EF+CF+CE=FH+CF+CE=FD+DH+CF+CE=DF+BE+CF+CE=(BE+CE)+(DF+CF)=BC+CD，∵正方形ABCD的边长为5，∴△CEF的周长为5+5=10．解析：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，根据旋转的性质可得HD=BE，AH=AE，∠DAH=∠BAE，然后求出∠FAH=∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FH，然后求出△CEF的周长=BC+CD，再根据正方形的边长求解即可．本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角形并用正方形的边长表示出△CEF的周长．19.答案：(1)解：原式=2√2−32√2−(1+√2)+1+|1−√2|.=2√2−32√2−1−√2+1+√2−1．=12√2−1．(2)解：原式=2(x2)(x−2)2×x−2x(x2)−1x−2=2x(x−2)−xx(x−2)=2−xx(x−2)=−1x，∴当x=2√3时，原式=−√36．解析：(1)首先将各二次根式化简，然后利用二次根式的加减运算求解即可求得答案；(2)首先利用分式的混合运算法则化简原式，然后将x=2√3代入，即可求得答案．20.答案：(1)如图1所示：(2)如图2所示：(3)10+4√5解析：解：(1)见答案．(2)见答案．(3)AC=√42+82=4√5，△ABC的周长为5+5+4√5=10+4√5．故答案为：10+4√5．(1)在图1中画出直角边为5和4的直角三角形即为所求；(2)在图2中画出腰长为5的钝角等腰三角形ABC即为所求；(3)先根据勾股定理得到AC的长，再根据周长的定义求解即可．本题考查了勾股定理、直角三角形、钝角等腰三角形、及三角形的面积，属于基础题，注意各个知识点的掌握．21.答案：解：x2+6x+√x−y+1+9=0，∴(x+3)2+√x−y+1=0，∴x+3=0且x−y+1=0，解得：x=−3，y=−2，(1 x−y +1x+y)÷yx2−y2，=2x(x−y)(x+y)×x2−y2y，=2xy，将x=−3，y=−2代入，则上式=2×(−3)−2=3．解析：先把所求的代数式利用分式的计算法则化简后，再利用方程求得x，y的值代入即可求解．22.答案：解：(1)∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°，到△ECD位置，∴∠ECD=∠ABD，∠ADE=60°，AD=DE，AB=CE=4，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∵∠DCE=∠ABD，∴∠ACD+∠DCE=180°，∴A，C，E共线，∴∠ADE=60°，AD=DE，∴△ADE是等边三角形，(2)∵△ADE是等边三角形，∴∠E=60°，又∵∠BAD=∠E，∴∠BAD=60°(3)∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE=AC+CE=AC+AB=7．解析：(1)由旋转的性质可得∠ECD=∠ABD，∠ADE=60°，AD=DE，AB=CE=4，通过证明A，C，E共线，可得△ADE是等边三角形；(2)由等边三角形的性质和旋转的性质可求解；(3)由等边三角形的性质可得AD=AE=7．本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE为等边三角形是解题的关键．23.答案：解：(1)设A 型共享单车的单价为x 元，则B 型共享单车的单价是(x +10)元， 33000x =34500x+10， 解得，x =220， 经检验，x =220是原分式方程的解， 答：A 型共享单车的单价是220元；(2)设试点投放中A ，B 两车型的数量分别为3a 辆，2a 辆，由(1)知，B 型共享单车的单价为220+10=230(元)，220×3a +230×2a ≥110000，解得，a ≥98314，∴3a ≥294914，2a ≥19637， ∵3a 、2a 均为整数，∴3a 的最小值是295，2a 的最小值是197，∴城区10万人口平均每100人至少享有A 型车为：295100000100=0.295(辆)，城区10万人口平均每100人至少享有B 型车为：107100000100=0.107(辆)，答：城区10万人口平均每100人至少享有A 型车0.295辆，B 型车0.107辆．解析：(1)根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A 型共享单车的单价，注意分式方程要检验；(2)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得区10万人口平均每100人至少享有A 型车与B 型车各多少辆．本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分式方程的知识和不等式的性质解答．24.答案：解：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3√2，∴AB =2BC ．∴BC =√AB 2−AC 2=√4BC 2−AC 2=√4BC 2−18．∴BC =√6∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =3BC +AC =3√2+3√6．△ABC 的面积=12AC ⋅BC =12×3√2×√6=3√3．解析：根据已知条件推知：AB=2BC，然后结合勾股定理求得BC的长度；最后由三角形的周长，面积公式解答．此题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，直角三角形面积求法，得出BC的长是解题关键．25.答案：解：(1)原式=√3+1+4=√3+5；(2)原式=a+3−1a(a+2)=a+2 a(a+2)=1a．解析：(1)分别根据绝对值的定义，任何非零数的零次幂等于1计算即可；(2)根据同分母分式的加减法法则计算即可．本题主要考查了分式的加减以及实数的运算，熟记相关运算法则是解答本题的关键．26.答案：(1)解：根据题意得：y=kx−120(1+k2)x2=0，即：x=20k1+k2=20k+1k，∵(√k√k)2≥0，∴k+1k≥2，∴x=20k+1k≤10，∴炮弹的最大射程是10千米．(2)解：∵速度与炮弹的射程有关，炮弹能够击中目标．∴k>0，根据题意的：y=kx−120(1+k2)x2=3.2，整理得：x2k2−20xk+64+x2=0，由△=(−20x)2−4x2(64+x2)≥0得：x≤6，此时：k=20x+√(−20x)2−4x2(x2+64)2x2>0(不考虑另一根)∴飞行物的横坐标不超过6千米时，炮弹能够击中它．解析：(1)求炮的最大射程即求y=kx−120(1+k2)x2(k>0)与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解即可．(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解即可．本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案本试卷共100分，考试时长100分钟。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是2. 下列运算正确的是A. x+x 2=x 3B. x 2·x 3=x 6C. （x 3）2=x 6D. x 9÷x 3=x 33. 下列式子为最简二次根式的是A.3B.4C.8D.214. 假如2 x 有意义，那么x 的取值范畴是A. x>2B. x≥2C. x≤2D. x<25. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，假如AC=3cm ，那么AE+DE 等于A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6. 如图，所示的图形面积由以下哪个公式表示 A. a 2-b 2=a （a-b ）+b （a-b ）B. （a-b ）2=a 2-2ab+b 2C. （a+b ）2=a 2+2ab+b 2D. a 2-b 2=（a-b ）（a+b ）7. 若分式112--x x 的值为0，则x 的值为A. x=1B. x=-1C. x=±1D. x≠18. 若x-x 1=1，则x 2+21x的值是 A. 3B. 2C. 1D. 49. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，连接OC ，OB ，则图中全等的三角形有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则那个最小值为A. 3B. 23C. 26D.6二、填空题（本题共14分，11-15题每小题2分，16题4分）11. 中国女药学家屠呦呦获2020年诺贝尔医学奖，她的突出奉献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为____米.12. 如图，AB=AC ，点E ，点D 分别在AC ，AB 上，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是______.（添加一个条件即可）13. 若x 2+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m 应为_______.14. 如图，Rt △ABC 的斜边AB 的中垂线MN 与AC 交于点M ，∠A=15°，BM=2，则△AMB 的面积为______.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则如此的点P 共有_______个.16. 观看下列关于自然数的等式： 32-4×12=5 ①52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③依照上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示）______________________.三、解答题（本题共56分）解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学复习试卷含答案
北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学复习试卷含答案初二数学复习检测试卷一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 运算0)2(-的结果是 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 22. 医学研究发觉一种新病毒的直径约为0.000043毫米，那个数用科学记数法表示为 （ ）A. 41043.0-⨯B. 41043.0⨯C. 5103.4-⨯D. 5103.4⨯3. 点P （1，2）关于y 轴对称点的坐标是 （ ）A. （－1，2）B. （1，－2）C. （1，2）D. （－1，－2）4. 下列运算中正确的是A. 10552a a a =+B. 623623a a a =⋅C. 326a a a =÷ D. 2224)2(b a ab =-5. 如图1，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下的部分与、地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为 （ ）图1A. 10米B. 15米C. 25米D. 30米6. 化简aba b a +-222的结果是 （ ）A.a b a 2- B. a b a - C. a b a + D. ba ba +-7. 如图2：已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，则下列结论中错误的是 （ ）CD图2A. ∠B ＝∠CB. ∠BAD ＝∠CADC. AD ⊥BCD. ∠BAC ＝∠C8. 已知点A(-2，1y )、B(-1，2y )、C(3，3y )都在反比例函数xy 2=的图象上，则 （ ）A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 312y y y <<D. 213y y y << 9. 若21=+x x ，则221xx +的值是 （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －410. 如图3：△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AC 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC ＝5，那么△ABC 的周长是（ ）图3A. 24B. 23C. 19D. 18二、填空题：（共8个小题，每小题2分，共16分）11. 在扇形统计图中，若其中一个扇形的面积占圆面积的41，则那个扇形的圆心角为_____________度。
2020-2021学年度北京市各区八年级上学期数学期末试卷及答案(9套)
初二数学答案 第 1 页 (共 5 页)
C
20．证明：∵AD=EB， ∴AD－BD=EB－BD. 即 AB=ED.……………………… 1 分 ∵AC∥EF， ∴∠A=∠E.
A
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北京市昌平区2020-2021学年八年级第一学期数学期末试卷及参考答案
北京昌平区2020-2021学年度第一学期期末八年级数学试卷一、单选题（共10题；共30分）1.一组数据17，35，18，50，36，99的中位数为（）A. 18B. 35C. 35.5D. 502.下列计算正确的是（）A. √3+√2=√5B. 2+√2=2√2C. 2√6−√5=1D. √8−√2=√23.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若BM=2，CN=3，则MN的长为（）A. 10B. 5.5C. 6D. 54.在平面直角坐标系中，若点P(x,y)在第二象限，且|x|−1=0，y2−4=0，则点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（）A. (−1,−2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (1,2)5.一个三角形三个内角的度数之比是3：4：5，则这个三角形一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定6.某电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200 分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（）A. 10B. 15C. 20D. 307.如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（）A. 4cmB. 5cmC. 8cmD. √34cm8.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ， y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 {3x +2y =19x +4y =23 ，在图2所示的算筹图所表示的方程组是（ ）A. {2x +y =114x +3y =27B. {2x +y =14x +3y =7C. {2x +y =274x +3y =11D. {2y +x =114y +3x =279.已知：一次函数y=kx+b (k≠0)的图象经过第二、三、四象限，则一次函数y=-bx+kb 的图象可能是( )A. B.C. D.10.如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是6，……，则第2019次输出的结果是（ ）A. 1B. 3C. 6D. 8二、填空题（共10题；共30分）11.点 M(−1,2) 关于x 轴对称的点的坐标为________．12.已知，方程 x a−1−2y 2+b +3=0 是关于 x,y 的二元一次方程，则 a +b = ________． 13.学校气象小组观测一周的温度并记录如下：记录表中星期日的气温记录不小心被墨水涂掉，请你根据表中的数据写出星期日的气温为________ ℃.14.25的算术平方根是________；√3的倒数是________；√(3−π)2＝________15.若y＝√x−3+√3−x+4，则x＝________，y＝________．16.若一次函数y=kx+2 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________.17.如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，AD=2，AB=1，点A在数轴上对应的数是-1，以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数是________．18.如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=√6,∠ABC=90°则四边形ABCD的面积是________．19.如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=100°，则∠BOC=________度．20.在同一直角坐标系中，对于以下四个函数①y=−x+1；②y=x+1；③y=−(x+1)；④y=−2(x+1)的图象，下列说法正确的个数是________．⑴①③④三个函数的图象中，当x1>x2时，y1>y2；⑵在x轴上交点相同的是②和④；⑶②中的点到x轴的距离比到y轴的距离都要大1；⑷函数①和②的图象和x轴围成的图形面积为2．三、计算题（共2题；共25分）21.计算：（1）(√125+√18)−(√45−√8)+3√48（2）2√12−6√133+|√3−2|+√(−3)2−(−√3)（3）√−8（4）(√2+1)(√2−1)−(√3−2)222.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b ＝24，求a.四、解答题（共4题；共20分）23.如图，一棵小树在大风中被吹歪，用一根棍子把小树扶直，已知支撑点到地面的距离是√10米，棍子的长度为5.5米，求棍子和地面接触点C到小树底部B的距离是多少?24.学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？25.某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：七年级88 94 90 94 84 94 99 94 99 100八年级84 93 88 94 93 98 93 98 97 99整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：分析数据：补全下列表格中的统计量：得出结论：你认为抽取的学生哪个年级的成绩较为稳定？并说明理由．26.如图，AC//BD，AE平分∠BAC交BD于点E，且∠1=64∘，求∠2的度数.五、综合题（共1题；共15分）x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C(0,4)，动27.如图，直线L：y=−12点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求ΔCOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t为何值时ΔCOM≌ΔAOB，并求此时M点的坐标．北京昌平区2020-2021学年度第一学期期末八年级数学答案一、单选题1-5.C D D B A 6-10. C D A A B二、填空题11.（-1，-2）12. 113. 714. 5；√3；π−3315. 3；416. k＞017.√5−1+√218. 1219. 14020. 1三、计算题21.（1）解：(√125+√18)−(√45−√8)=5√5+3√2−3√5+2√2=2√5+5√2;+3√48（2）解：2√12−6√13+3×4√3=2×2√3−6×√33=4√3−2√3+12√3=14√3;3+|√3−2|+√(−3)2−(−√3)（3）解：√−8=−2+2−√3+3+√3=3;（4）解：(√2+1)(√2−1)−(√3−2)2=(√2)2−1−[(√3)2−4√3+4]=2−1−[3−4√3+4]=2−1−7+4√3=−6+4√3.22.解：设a=15x，则c=17x，由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2，解得，x=3，则a=15x=45．四、解答题23.由题意知：AB= √10米，AC=5.5米，∵∠ABC=90°，∴ BC =√AC 2−AB 2=√(5.5)2−(√10)2 =4.5米， 24.解：设男生志愿者有x 人，女生志愿者有y 人，根据题意得： {30x +20y =68050x +40y =1240 ， 解得： {x =12y =16． 答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人25.解：整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：分析数据：补全下列表格中的统计量：八年级的成绩较为稳定，理由：∵七年级的方差=24.2，八年级的方差=20.4，24.2＞20.4，∴八年级的成绩较为稳定．故答案为：1，1，93.5，94． 26.解：∵AC ∥BD ， ∴∠ABE=∠1=64°. ∴∠BAC=180°-∠1=180°-64°=116°. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE= 12 ∠BAC=58°.∴∠2=∠BAE+∠ABE=58°+64°=122°. 五、综合题27.（1）解：∵y ＝﹣ 12 x+2，当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝4，则A 、B 两点的坐标分别为A （4，0）、B （0，2）；（2）解：∵C （0，4），A （4，0） ∴OC ＝OA ＝4，当0≤t≤4时，OM ＝OA ﹣AM ＝4﹣t ，S △OCM ＝ 12 ×4×（4﹣t ）＝8﹣2t ； 当t ＞4时，OM ＝AM ﹣OA ＝t ﹣4，S △OCM ＝ 12 ×4×（t ﹣4）＝2t ﹣8；∴ ΔCOM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式为： S ={8-2t (0<t ≤4)2t -8(t >4)（3）解：∵OC＝OA，∠AOB＝∠COM＝90°，∴只需OB＝OM，则△COM≌△AOB，即OM＝2，此时，若M在x轴的正半轴时，t＝2，M在x轴的负半轴，则t＝6．故当t＝2或6时，△COM≌△AOB，此时M（2，0）或（﹣2，0）．。
北京市西城区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题及参考答案
①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________；
②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________；
（3）已知直线l与坐标轴分别交于点 和 ，点 是线段 上的一个动点．当点 ， ， 的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．
27．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ．求证： ．小明的方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明结论．
（1）点B的坐标为_________，点C的横坐标为________；
（2）设 与x轴交于点D，连接 ，过点C作 轴于点E．若射线 平分 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
29．在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ，定义如下：点M与点N的“直角距离”为 ，记作 ．例如：点 与 的“直角距离” ．
【详解】
设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min，
依题意得：
故选：B.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.
10．D
【分析】
根据图像，以及点的运动变化情况，前两段是y关于x的一次函数图像，判断y随x的增减变化趋势，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，即可排除A,B,C选项．
【详解】
根据图像，前端段是y关于x的一次函数图像，
∴应在AC,BD两段活动,故A，B错误，
第一段y随x的增大而减小,第二段y随x增大而增大，第一段的最高值与第二段的最高值不相等，
∵AE=EC
∴C错误
故选:D
【点睛】
本题考查函数的图像，比较抽象，解题的关键是根据图像判断函数值随自变量的值的增减变化情况，以及理解分段函数的最值是解题的关键．
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2020-2021北京市初二数学上期末试题(附答案)一、选择题1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3D ．0.56×10﹣1 2．如图，Rt △ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则BE 的长度为( )A ．10cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm3．如果2220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭的值是()A ．2-B ．1-C ．2D ．3 4．计算：（4x 3﹣2x ）÷（﹣2x ）的结果是（ ）A ．2x 2﹣1B ．﹣2x 2﹣1C ．﹣2x 2+1D ．﹣2x 2 5．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150km ，现在高速路程缩短了20km ，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/xkm h ，则根据题意可列方程为（ ）A ．15020150 1.52.5x x --=B ．15015020 1.52.5x x--= C ．15015020 1.52.5x x --= D ．15020150 1.52.5x x--= 6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点A 和B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是（ ）A ．AD=BDB ．BD=CDC ．∠A=∠BED D ．∠ECD=∠EDC7．已知关于x 的分式方程12111m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜4且m ≠3 B ．m ＜4C ．m ≤4且m ≠3D ．m ＞5且m ≠6 8．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A ．a=bB ．2a+b=﹣1C ．2a ﹣b=1D ．2a+b=19．如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D ，连接AD ．若∠B =40°，∠C =36°，则∠DAC 的度数是（ ）A ．70°B ．44°C ．34°D ．24°10．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( )A ．已知三角形两边的长度和夹角的度数B ．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度C ．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数D ．已知三角形的三边的长度11．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4B ．2C ．0D ．4 12．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）A ．九边形B ．八边形C ．七边形D ．六边形 二、填空题13．分解因式：39a a -= __________14．分解因式：3327a a -=___________________.15．已知：如图△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝90°，在射线BA 上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形，则∠ACD 的度数为_____．16．如图，五边形ABCDE 的每一个内角都相等，则外角CBF =∠__________．17．如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为.18．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x管道，那么根据题意，可得方程．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长是___；20．中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为．三、解答题21．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）在图中画出△ABC与关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1、B1、C1的坐标；（2）若将线段A1C1平移后得到线段A2C2，且A2（a，2），C2（﹣2，b），求a+b的值．22．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE ⊥AD ，并且始终保持AE=AD ，连接CE ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若AF 平分∠DAE 交BC 于F ，探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若BD=3，CF=4，求AD 的长．23．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边的中线，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ，过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ．(1)试说明AE ＝CD ；(2)若AC ＝10cm ，求BD 的长．24．先化简，再求值：21(1)11x x x -÷+-，其中 21x =. 25．如果230x x +-=，求代数式321121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【详解】2．C解析：C【解析】试题解析：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴CD=DE ，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，{CD DE AD AD＝＝， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AE=AC=6cm ，∵AB=10cm ，∴EB=4cm ．故选C ．3．C解析：C【解析】分析：先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式22m m =+，然后利用2220m m +-=进行整体代入计算． 详解：原式2222244(2)(2)222m m m m m m m m m m m m m +++=⋅=⋅=+=+++， ∵2220m m +-=，∴222m m ，+= ∴原式=2.故选C.点睛：考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.注意整体代入法的应用.4．C解析：C【解析】【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：（4x 3﹣2x ）÷（﹣2x ）=﹣2x 2+1．故选C ．【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.5．C解析：C【解析】【分析】根据“走高速用的时间比走国道少花1.5小时”列出方程即可得出答案.【详解】 根据题意可得，走高速所用时间150202.5x -小时，走国道所用时间150x小时即150150201.52.5x x--=故答案选择C.【点睛】本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，根据公式“路程=速度×时间”及其变形列出等式是解决本题的关键.6．D解析：D【解析】【分析】根据题目描述的作图方法，可知MN垂直平分AB，由垂直平分线的性质可进行判断.【详解】∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，熟悉尺规作图，根据题目描述判断MN为AB的垂直平分线是关键.7．A解析：A【解析】【详解】方程两边同时乘以x-1得，1-m-（x-1）+2=0，解得x=4-m．∵x为正数，∴4-m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4-m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选A．8．B解析：B【解析】试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B．9．C解析：C【解析】【分析】易得△ABD 为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC【详解】∵AB=BD ，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB ﹣∠C=34°．故选C.【点睛】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．【详解】A 、符合全等三角形的判定SAS ，能作出唯一三角形；B 、两个角对应相等，夹边确定，如这样的三角形可作很多则可以依据ASA 判定全等，因而所作三角形是唯一的；C 、已知两边和其中一边的对角对应相等，也不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形；D 、符合全等三角形的判定SSS ，能作出唯一三角形；故选C.【点睛】本题主要考查由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做．11．D解析：D【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4，∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4．关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．B解析：B【解析】【分析】n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【详解】根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180=1080，解得n=8，∴这个多边形的边数是8，故选B ．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．二、填空题13．【解析】分解因式的方法为提公因式法和公式法及分组分解法原式==a(3+a)(3-a)解析：(3)(3)a a a +-【解析】分解因式的方法为提公因式法和公式法及分组分解法．原式==a(3+a)(3-a)． 14．【解析】【分析】先提取公因式然后根据平方差公式进行分解即可【详解】解：故答案为【点睛】本题考查了提取公因式平方差公式法分解因式属于基础题解析：()()333a a a +-【解析】【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式进行分解即可.【详解】解：()()()3232739333a a a a a a a -=-=+-故答案为()()333a a a +-.【点睛】本题考查了提取公因式、平方差公式法分解因式，属于基础题．15．70°或40°或20°【解析】【分析】分三种情况：①当AC ＝AD 时②当CD′＝AD′时③当AC ＝AD″时分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可【详解】解：∵∠B＝50°∠C＝90°∴∠B解析：70°或40°或20°【解析】【分析】分三种情况：①当AC ＝AD 时，②当CD′＝AD′时，③当AC ＝AD″时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可.【详解】解：∵∠B ＝50°，∠C ＝90°，∴∠BAC ＝90°－50°＝40°，如图，有三种情况：①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝1180402＝70°；②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝∠BAC ＝40°；③当AC ＝AD″时，∠ACD″＝12∠BAC ＝20°， 故答案为：70°或40°或20°【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．【解析】【分析】多边形的外角和等于360度依此列出算式计算即可求解【详解】360°÷5=72°故外角∠CBF 等于72°故答案为：【点睛】此题考查了多边形内角与外角关键是熟悉多边形的外角和等于360度解析：72︒【解析】【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．【详解】360°÷5=72°．故外角∠CBF 等于72°．故答案为：72︒．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．17．65°【解析】【分析】根据已知条件中的作图步骤知AG是∠CAB的平分线根据角平分线的性质解答即可【详解】根据已知条件中的作图步骤知AG是∠CAB的平分线∵∠CAB=50°∴∠CAD=25°；在△AD解析：65°【解析】【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【详解】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．18．【解析】因为原计划每天铺设xm管道所以后来的工作效率为（1+20）x根据题意得解析：() 12030012030120%120180 (30)1.2x xx x-+=++=或【解析】因为原计划每天铺设xm管道，所以后来的工作效率为（1+20%）x根据题意，得12030012030(120%)x x-+=+．19．6cm【解析】【分析】先利用角角边证明△ACD和△AED全等根据全等三角形对应边相等可得AC=AECD=DE然后求出BD+DE=AE进而可得△DEB的周长【详解】解：∵DE⊥AB∴∠C=∠AED=9解析：6cm【解析】【分析】先利用“角角边”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，CD=DE，然后求出BD+DE=AE，进而可得△DEB的周长．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中，C AEDCAD EADAD DA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE，CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，BD+DE+BE=AE+BE=AB=6，所以，△DEB的周长为6cm．故答案为：6cm.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．20．5×10-6【解析】试题分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10﹣n与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定解解析：5×10-6【解析】试题分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.0000015=1.5×10﹣6，故答案为1.5×10﹣6．考点：科学记数法—表示较小的数．三、解答题21．（1）如图所示见解析，A1（2，3）、B1（3，2）、C1（1，1）；（2）-1．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质确定出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；（2）由点A1、C1的坐标，根据平移与坐标变化的规律可规定出a、b的值，从而可求得a+b的值．【详解】（1）如图所示：A 1（2，3）、B 1（3，2）、C 1（1，1）．（2）∵A 1（2，3）、C 1（1，1），A 2（a ，2），C 2（-2，b ）．∴将线段A 1C 1向下平移了1个单位，向左平移了3个单位．∴a=-1，b=0．∴a+b=-1+0=-1．【点睛】本题主要考查的轴对称变化、坐标变化与平移，根据根据平移与坐标变化的规律确定出a 、b 的值是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）结论：BD 2+FC 2=DF 2．证明见解析；（3）35.【解析】【分析】（1）根据SAS ，只要证明∠1=∠2即可解决问题；（2）结论：BD 2+FC 2=DF 2．连接FE ，想办法证明∠ECF=90°，EF=DF ，利用勾股定理即可解决问题；（3）过点A 作AG ⊥BC 于G ，在Rt △ADG 中，想办法求出AG 、DG 即可解决问题.【详解】（1）证明：如图，∵AE ⊥AD ，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°，又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2，在△ABD 和△ACE 中12AB AC AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE ．（2）结论：BD 2+FC 2=DF 2．理由如下：连接FE ，∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠3=45°由（1）知△ABD ≌△ACE∴∠4=∠B=45°，BD=CE∴∠ECF=∠3+∠4=90°，∴CE 2+CF 2=EF 2，∴BD 2+FC 2=EF 2，∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF=∠EAF ，在△DAF 和△EAF 中AF AF DAF EAF AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAF ≌△EAF∴DF=EF∴BD 2+FC 2=DF 2．（3）过点A 作AG ⊥BC 于G ，由（2）知DF 2=BD 2+FC 2=32+42=25∴DF=5，∴BC=BD+DF+FC=3+5+4=12，∵AB=AC ，AG ⊥BC ，∴BG=AG=12BC=6， ∴DG=BG-BD=6-3=3， ∴在Rt △ADG 中，【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.23．（1）见解析；（2）5cm【解析】【详解】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC ．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，∴Rt △CDB ≌Rt △AEC （HL ）∴BD=EC=12BC=12AC ，且AC=10cm ． ∴BD=5cm ．【点睛】 熟悉证明三角形全等的条件，并且能够灵活运用，具有多方面看问题的数学思维.24．原式【解析】分析：先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=x-1，然后再把x 的值代入x-1计算即可．详解：原式=21111x x x x+--⨯+ =(1)(1)1x x x x x+-⨯+ =x-1;当时，原式.点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．25．13【解析】【分析】 先根据分式的混合运算得到21x x+，再把230x x +-=变形为2=3x x +，再代入到化简结果中计算即可.【详解】321121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭， =21(1)(1)1(1)x x x x x x x -++-⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭ =1(1)1(1)x x x x -⎛⎫⋅ ⎪-+⎝⎭ =1(1)x x + =21x x+ 当230x x +-=，即23+=x x 时，原式=1 3 .【点睛】本题考查了分式的化简求值，在分式的化简过程中要注意运算顺序，化简后的最后结果要化成最简分式或整式.。