白噪声通过线性系统
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1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
RY ( )
G X ( ) G X ( ) G X ( ) 4mX 1mX 2 ( )
1 2
G
GY ( )
若两个输入任一个零均值
RX ( ) RX ( ) RX ( )
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系
R X (t1 , t 2 )
RXY (t1 , t 2 )
h (t 2 )
h ( t1 )
RY (t1 , t 2 )
R X (t1 , t 2 )
平稳情况
h ( t1 )
RYX (t1 , t 2 )
h (t 2 )
RY (t1 , t 2 )
RX ( )
1 R ( ) 相关函数： Y 2
1 2 G ( ) cos( ) d 0 Y 2 2 sin N 0 K 0 2 4 2
0 FY () cos( )d
7
t) RY(
相关系数：
sin 2 Y ( ) 2
包络： a( )
2
2
2
2
输出信号的功率谱
2 K N 0 0 0 FY ( ) 0 2 2 otherwise 0
计算任一高频带通滤波器的 输出相关函数，先用等效低
频系统代替，在乘上 cos(0 )
9
• 白噪声通过理想带通系统
GY ( ) H ( ) G X ( )
2
2
两个随机过程之和通过线性系统
X (t ) X1(t ) X 2 (t )
R X ( )
Y (t ) Y1(t ) Y2 (t )
RY ( )
G X ( )
GY ( )
若两个输入不相关
RX ( ) RX ( ) RX ( ) 2mX 1mX 2
1、用于系统辨识（ P90， 95） 2、色噪声（平稳过程）的产生
6
•白噪声通过理想低通系统 |H()| K0 -/2 /2
K 0 | H ( ) | 0
/ 2 / 2 other
输出物理谱（频域特征）：
N0 K 2 0 / 2 2 0 FY ( ) N0 H ( ) other 0
可以通过对白噪声通过系统的输出进行分析来实现
3、研究白噪声通过系统的输出来衡量系统性能
5
1、白噪声通过线性系统的特征分析 频域 时域
N0 ( ) 2
R X ( ) N0 ( ) 2
GX
N0 GXY ( ) H ( ) 2
R XY ( )
输出信号的功率谱 2 N0 GY ( ) H ( ) 2
H ( )
K0
( 0 ) 2 | H ( ) | K 0 exp 2 2
0
0
2
2 ( ) 2 0 输出功率谱： FY ( ) N 0 H ( ) N 0 K 0 exp 2 2 2
相关函数：
N0 K RY ( ) e 2
2 0
4
cos 0
输出功率：
2 N K 2 0 0 Y RY (0) 2
11
0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
相关系数：
相关时间：
2 2 Y ( ) e 4 cos0 2 2 0 e 4 d 0
h ( )
R ( ) ) R YX XY (
h ( ) h ( )
RY ( )
R X ( )
h ( )
R (t1 , t 2)) R ( YX XY
RY ( )
1
输出的频域统计特性
G XY ( ) G X ( ) H ( )
GYX ( ) G X ( ) H ( )
N0 2
( ) h( )d
N0 h( ) * h( ) 2
N0 h( ) 2
FY () N0 H ()
输出平均功率ຫໍສະໝຸດ Baidu
WY
2
色 噪 声
RY ( )
h( )
2 R XY ( ) N0
N0 2 H ( ) d RY (0) 2 0
2 sin N 0 K 0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
相关系数
输出的平均功率
用相关系数的包络（慢变化）定义输出过程的相关时间：
0
0
sin
2 d 1 2f 2
与低通滤波器输出过程的相关时间定义相同
10
•白噪声通过高斯型带通系统
RY ( ) RY ( ) RY ( ) 1 2
G X ( ) G X ( ) G X ( )
1 2
GY ( ) GY ( ) GY ( ) 1 2
3
第十二讲
主要内容： 白噪声通过线性系统的特性分析 等效噪声带宽
4
为什么研究白噪声通过线性系统
1、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白噪声作 为实际噪声的模型，任何随机信号与白噪声结合都会使 分析简单化。 2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声通过某 个线性系统的输出，要研究平稳随机信号的统计特性，
8
• 白噪声通过理想带通系统 带通滤波器的频响函数：
K H ( ) 0 0
自相关函数：
2 sin N 0 K 0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
0
0 2 2 otherwise
H ( )
t
0
2 sin N 0 K 0 2 RY ( ) 4 2
相关时间：
0
0
sin
2 d 2 1 2 2f 2
输出功率：
2 R (0) Y Y 2 N0 K0 4
输出随机过程的相关时间与 系统的带宽成反比
h( ) * h( )
H ( ) 2
RY ( )
G X ( ) G X ( ) G X ( ) 4mX 1mX 2 ( )
1 2
G
GY ( )
若两个输入任一个零均值
RX ( ) RX ( ) RX ( )
1 2
h( ) * h( )
H ( ) 2
随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系
R X (t1 , t 2 )
RXY (t1 , t 2 )
h (t 2 )
h ( t1 )
RY (t1 , t 2 )
R X (t1 , t 2 )
平稳情况
h ( t1 )
RYX (t1 , t 2 )
h (t 2 )
RY (t1 , t 2 )
RX ( )
1 R ( ) 相关函数： Y 2
1 2 G ( ) cos( ) d 0 Y 2 2 sin N 0 K 0 2 4 2
0 FY () cos( )d
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t) RY(
相关系数：
sin 2 Y ( ) 2
包络： a( )
2
2
2
2
输出信号的功率谱
2 K N 0 0 0 FY ( ) 0 2 2 otherwise 0
计算任一高频带通滤波器的 输出相关函数，先用等效低
频系统代替，在乘上 cos(0 )
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• 白噪声通过理想带通系统
GY ( ) H ( ) G X ( )
2
2
两个随机过程之和通过线性系统
X (t ) X1(t ) X 2 (t )
R X ( )
Y (t ) Y1(t ) Y2 (t )
RY ( )
G X ( )
GY ( )
若两个输入不相关
RX ( ) RX ( ) RX ( ) 2mX 1mX 2
1、用于系统辨识（ P90， 95） 2、色噪声（平稳过程）的产生
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•白噪声通过理想低通系统 |H()| K0 -/2 /2
K 0 | H ( ) | 0
/ 2 / 2 other
输出物理谱（频域特征）：
N0 K 2 0 / 2 2 0 FY ( ) N0 H ( ) other 0
可以通过对白噪声通过系统的输出进行分析来实现
3、研究白噪声通过系统的输出来衡量系统性能
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1、白噪声通过线性系统的特征分析 频域 时域
N0 ( ) 2
R X ( ) N0 ( ) 2
GX
N0 GXY ( ) H ( ) 2
R XY ( )
输出信号的功率谱 2 N0 GY ( ) H ( ) 2
H ( )
K0
( 0 ) 2 | H ( ) | K 0 exp 2 2
0
0
2
2 ( ) 2 0 输出功率谱： FY ( ) N 0 H ( ) N 0 K 0 exp 2 2 2
相关函数：
N0 K RY ( ) e 2
2 0
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cos 0
输出功率：
2 N K 2 0 0 Y RY (0) 2
11
0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
相关系数：
相关时间：
2 2 Y ( ) e 4 cos0 2 2 0 e 4 d 0
h ( )
R ( ) ) R YX XY (
h ( ) h ( )
RY ( )
R X ( )
h ( )
R (t1 , t 2)) R ( YX XY
RY ( )
1
输出的频域统计特性
G XY ( ) G X ( ) H ( )
GYX ( ) G X ( ) H ( )
N0 2
( ) h( )d
N0 h( ) * h( ) 2
N0 h( ) 2
FY () N0 H ()
输出平均功率ຫໍສະໝຸດ Baidu
WY
2
色 噪 声
RY ( )
h( )
2 R XY ( ) N0
N0 2 H ( ) d RY (0) 2 0
2 sin N 0 K 0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
相关系数
输出的平均功率
用相关系数的包络（慢变化）定义输出过程的相关时间：
0
0
sin
2 d 1 2f 2
与低通滤波器输出过程的相关时间定义相同
10
•白噪声通过高斯型带通系统
RY ( ) RY ( ) RY ( ) 1 2
G X ( ) G X ( ) G X ( )
1 2
GY ( ) GY ( ) GY ( ) 1 2
3
第十二讲
主要内容： 白噪声通过线性系统的特性分析 等效噪声带宽
4
为什么研究白噪声通过线性系统
1、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白噪声作 为实际噪声的模型，任何随机信号与白噪声结合都会使 分析简单化。 2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声通过某 个线性系统的输出，要研究平稳随机信号的统计特性，
8
• 白噪声通过理想带通系统 带通滤波器的频响函数：
K H ( ) 0 0
自相关函数：
2 sin N 0 K 0 2 cos RY ( ) 2 0 4 2
0
0 2 2 otherwise
H ( )
t
0
2 sin N 0 K 0 2 RY ( ) 4 2
相关时间：
0
0
sin
2 d 2 1 2 2f 2
输出功率：
2 R (0) Y Y 2 N0 K0 4
输出随机过程的相关时间与 系统的带宽成反比