高三数学专题04数学开放性问题怎么解

数学开放性问题怎么解

陕西永寿县中学 特级教师安振平

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

例 1 设等比数列{}n a 的公比为 q ，前 n 项和为 n S ，是否存在常数 c ，使数列 {}c S n +也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请 明 理 由.

讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ， 使数列{}c S n + 成等比数列.

2

12)())((c S c S c S n n n +=++++

2112

22(++++--=-⋅∴n n n n n n S S S c S S S

(i) 当 1=q 时，1na S n = 代入上式得

()[])2()1((1)2(12

2

12

1+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即2

1a =0

但01≠a , 于是不存在常数c ，使{}c S n +成等比数列.

(ii) 当 1≠q 时，q

q a S n n --=1)

1(， 代 入 上 式 得

1,)1()1()1()

1(12122

2

1-=∴--=---q a c q q q ca q q q a n n .

综 上 可 知 , 存 在 常 数 1

1

-=

q a c ，使{}c S n +成等比数列.

等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1=q 的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !

例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.

讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1）98]42

)

1(12[50-⨯-+

-=x x x x y =984022

-+-x x . （2）解不等式 984022

-+-x x ＞0, 得 5110-＜x ＜5110+.

∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.

（3）(i) ∵

）

x x x x x y 98

2(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当x

x 98

2=时，即x=7时，等号成立.

∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.

(ii) y=-2x 2+40x-98= -2（x-10）2

+102， ∴当x=10时，y max =102.

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函数f (x )=

4

12

-x (x <-2)

(1)求f (x )的反函数f -1

(x );

(2)设a 1=1,

1

1+n a =-f -1

(a n )(n ∈N ),求a n ;

(3)设S n =a 12+a 22

+…+a n 2

,b n =S n +1-S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N ,有b n <25

m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在说明理由.

讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性. (1) y =

4

12

-x ,

∵x <-2，∴x= -2

14y +

, 即y =f -1

(x )= - 2

1

4x +

(x >0).

(2) ∵

211

41n n a a +=+ , ∴221

11n n a a -+=4. ∴{

21

n

a }是公差为4的等差数列. ∵a 1=1, ∴

2

1n a =21

1

a +4(n -1)=4n -3. ∵a n >0 , ∴a n =

3

41

-n .

(3) b n =S n +1-S n =a n +12

=141+n , 由b n <25m ,得 m >1

425

+n 对于n ∈N 成立.

∵

1

425

+n ≤5 , ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <

25

m

成立. 为了求a n ,我们先求

21n a ,这是因为{21n

a }是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.

例4 已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x-y+1=0上. （1） 求数列{a n }的通项公式；