2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案

2020年北京市海淀区高三二模试卷 数 学 2020.6

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若全集U =R ，{}|1A x x =<，{}|1B x x =>-，则

（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）U

B A ⊆

（D ）

U

A B ⊆

（2）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是

（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =

（D ）ln y x =

（3）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于

（A ）4

（B ）6

（C ）8

（D ）10

（4）已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为

（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//l m ，m α⊂，则//l α （C ）若//l α，//l β，则//αβ

（D ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥

（5）在△ABC 中，若7a =，8b =，1

cos 7

B =-，则A ∠的大小为

（A ）6

π

（B ）4

π

（C ）3

π

（D ）2

π

（6）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3

π

个单位长度，得到函数()g x 的图象，则

()g x =

（A ）sin(2)6x π

+

（B ）2sin(2)3

x π+

（C ）cos2x

（D ）cos2x -

（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体

积为

（A ）23

（B ）43

（C ）2

（D ）4

（8）对于非零向量,a b ，“2()2+⋅=a b a a ”是“ = a b ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（9）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面

ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.

若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）255

（B ）455

（C ）5

（D ）25

（10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离. 某公司会议

室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座. 例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）. 根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为 （A ）9

（B ）10

（C ）11

（D ）12

A

B

C

D

1

A 1

B 1

C 1

D O

P

主视图

左视图

俯视图

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）若复数(2i)(i)a -+为纯虚数，则实数a =_______.

（12）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可

以为_______.（写出一个即可） （13）数列n a 中，1

2a ，1

2n

n a a ，*n N . 若其前k 项和为126，则k _______.

（14）已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，||||AP AB AC =-，O 为坐标原点，则||AP =

_______，OP 与OA 夹角的取值范围是_______.

（15）已知函数1,0,

()|ln |,0.

ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 给出下列三个结论：

① 当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；

③ 若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.

其中，所有正确结论的序号是_______.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共14分）

已知{}n a 是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为n S . 又 ，且540S =，是否存在大于1的正整数k ,使得1k S S =若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.

从①14a =，②2d =-这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=︒，

1

12

BC CD AD ==

=，E 为线段AD 的中点. PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G .

（Ⅰ）求证：//BE FG ；

（Ⅱ）若PC 与AB 所成的角为4

π

，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值．

B

C

D P

E G

F