高等数学习题集

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(数一)高等数学习题集(含解答)

第一章函数·极限·连续一. 填空题1．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+a t axx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e =a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2. 2. ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =213. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1. 4. )3(lim n n n n n --+∞→=_______.解. nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n5. ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______.解. 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x6. 已知A n n n k kn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解. A kn n n n n k n k kn =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991;1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点解. (a) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例 ⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1(c) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) = )()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数xex x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案. 3. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 4. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为(a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 = 502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→ =5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 5. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案.6. 设232)(-+=xxx f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解. x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 7. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. 0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求下列极限 (1) xxx e x 1)(lim ++∞→解. e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xxx =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2) x x xx )1cos 2(sinlim +∞→解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee y y y y yy y y y ==+-+→→(3) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)s i n 1(s i nt a n s i nt a n s i n10s i n 1s i n t a n 1lim x x x x x x x x x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==3sin tan limx xx x e -→=3)cos 1(sin limx x x x e-→=212sin 2sin lim32e ex xx x =⋅→.2. 求下列极限 (1) 323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时, 331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换 33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 解. 方法1：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++- =21122cos 2sin cos 4cos 2lim220+++-→x x x x x x x=2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220c o t 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx3. 求下列极限 (1) )1(ln lim-∞→nn n nn解. n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2) nxnxn e e --∞→+-11lim解. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3) nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0 解. nnnn b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim a b c n x /,/1== xc xxx x x ae c a 2ln )1ln(lim 10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 1212)(11+-=xxx f解. 11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.( 2 ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 11s i nlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x c o s 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e x x x f 1sin )(00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.6. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f ≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 10. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0.11. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xx x x x x320200)c o s 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→- 06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x x x x x x 所以 0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及23)(limxx f x +→. 解. 0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f x x x x x . 所以 0)(3s i n lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为0)(3s i n lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→ =2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim 20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章导数与微分一. 填空题 1. xx x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______. 解. 1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12 , 则=22dx d y______.解. t tdx dy 2sin -=, 32'224cos sin 214sin 2cos 22sin t t t t t t t t t dxdt t t dx y d t -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y eyx , 所以xyx e e xy y y y x yx sin sin '--=++4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('005. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim 000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +6. 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________. 解. )('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf = 所以 31=k7. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解. x xx f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f 8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy eyx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y eyx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0. 二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) nx f n 2)]([!解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x fn =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得x f x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim)1('0=ab af xaf x af x ==∆-∆→∆)0(')0()(lim 0, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. ⎩⎨⎧=3324)(xx x f 00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o xdy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题1. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=解. )310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ，求++= 解. ='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a xx a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctan ln22=+确定的, 求'y .解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+=' 4. 已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin , 求22dx yd . 解. tt tt t e t e t e t e dx dy t t t t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=,dt dx t t t t t t dx dt t t t t dt d dx y d 1)sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 22222⋅+--+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 322)s i n (c o s 2t t e dx y d t +-= 5. 设2/322)(x x u y y x +=+=，, 求dudy解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(23212++=dx x x x dxdu dyy )12(23)12(2++=+)12()12(322+++=x x x y d u d y 6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f , 且⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π, 求0=t dx dy , 022=t dx yd . 解. )('3)1('33t fe ef dx dy t t -=, 所以0=t dx dy=3. 3333323322)]('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t t t t t t ---+-= 所以2322)]0('[)0(''6)0('9)]0('[)0('')0(')0(')]0('3)0(''3[30f f f f f f f f f t dx y d +=-+== 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组⎩⎨⎧=+=e e e te x yt t 2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率. 解. ee e e e y t ty t t 2'-=-=. 所以)2)(1(12''e e t te e e e e x y dx dy t t t t tt t -+=+-== 所以et dx dy 211-==.t t tt t ee e t te e e dx dt e e t dt d dx y d 2322)2()1(22)2)(1(1-++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=所以 222811et dx y d -==. 在t = 1的曲率为 2322322232)41(411811)'1(|''|--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+=e e e e t y y k四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=cbx ax x f x F 2)()( 00>≤x x二阶可导.解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 0x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0);因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且 ⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x)0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ，求-=. 解. xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)( 11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n fk=, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f=121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n xn n 所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n七. 已知'.,sin cos 20022y y tdt dt e x y t 求+=⎰⎰解. 两边对x 求导, 2222cos 2cos 2',cos '2cos 2'22yy ex x y y yy x x y e y y -=+=第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解. =-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 212. c x x x x d x x dx x x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解. c x x x x d x x dx x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 = c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878 =c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 815．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1 ⎰⎰⎰+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dtsec tan cos 22 =⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 222.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt xxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-23211313.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++t td dt t t t dt t t t xx dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(=c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a a x a x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx xx 421解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx xx 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin =c x x c u +-=+33233)1(cos 317.⎰-+dx x xx 1122解. 令 tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1. ⎰+-+dx e e e e x xxx 1243 解. ⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x x x x x x x x x x x xx x )arctan(1)()(11222243 2.⎰+)41(2x x dx解. 令xt 2=, 2ln t dtdx =c tt dt t t t t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分:1. ⎰-dx x x 1005)2( 解. ⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x x c x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(95969798992345 2.⎰+41xxdx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos 解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412c x x x x +++=2cos 812sin 414122.⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan secc x x x x xd x +++=⎰|t a n s e c |ln 21tan sec 21sec 3 3. ⎰dx xx 23)(ln 解. ⎰⎰⎰+-=-=dx x x x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln ⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(ln c xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 23 4.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x xx dx xxx 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分: 1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(xd x x dx x x x x =⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21 t x t a n =令 tdt t t x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t t x x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++t t d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c t t x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22 =c xx xx x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(22222.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx x x x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan=c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223. ⎰dx e e xx2arctan解. dx e e e e e de e dx e e x x x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan dx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x xx )1(121arctan 2122 c x e e e dx e e e e e x x x xx x xx +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xex x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(.解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dxx x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x cx x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以 c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x 八. 设x b x a e f xcos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令t x e t xln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以 ⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)( =c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解. 令t x sin 2=⎰⎰⎰--==-t td t tdt t dx x x cos cos )cos 1(32cos sin 324222323 =c x x c t t +---=++-23225253)4(34)4(51cos 532cos 332 2.⎰>-)0(22a dx xa x解. 令t a x sec =⎰⎰⎰+-===>-c at t a tdt a t t a ta ta a dx x a x tan tan tan sec sec tan )0(222 =c xaa a x +--arccos 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.=-+⎰d ee e xx x 21)1(⎰-dx ee xx 21+dx ee xx ⎰-221=⎰-x x e de 21－dx e e d xx ⎰--221)1(21=c e e x x +--21arcsin 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十. 求下列不定积分:1.⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 342.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十一. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解.⎰⎰+=+=++++c x d dx x xx xx xx 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解. )523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十二. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x ⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21 dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122 c xxx x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t t d t t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222 c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3. ⎰-+⋅dx xx x x 22211arcsin解. ⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t t x dx xx x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令 ⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cot c t t t t +++-=221|sin |ln cot c x x x x x+++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x ⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰ c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cot c x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十三. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令 c t t t d dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32 c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22 解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x xa x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十四. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin ⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u uu du u u |22|ln 2211)211(22 c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112.⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt=c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十五. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x+--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e xx 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c eee c t t t x xx+-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx xx x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x t tan sec 2,sec ,1tan ,1arctan22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1。

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习题课(二)
必作习题
P157 9，10，11，12，13
必交习题
一、用简便方法求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
二、求曲线在相应的点处的切线方程。
三、设曲线在原点相切，求。
四、落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外圈半径的增大率总是，问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？
四、设，又，求。
§4初等函数的求导问题§5高阶导数
必作习题
P121-122 2(双数号题)，3(单数号题)；
P126-127 1(单数号题)，2，3，4，5，9
必交习题
一、求下列函数的导数
(1)
(2) ；
(3)
(4)设，其中具有二阶导数，求 .
二、将多项式，改写成，求。
三、设，其中有二阶连续导数，问是否存在；若不存在，请说明理由；若存在，求出其值。
第二章导数与微分
§1导数概念
必作习题
P105-107 1，4，5，6，9，12
必交习题
一、设函数在处连续，且，求。
二、确定的值，使函数在处可导。
三、求下列函数的，并问是否存在？
(1) ；
(2)
四、在抛物线上取横坐标为的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线可平行于这割线？
§2函数的和、差、积、商的求导法则
§3反函数的导数复合函数的求导法则
必作习题
P111 2，3，4，5；
P118-119 1(单数号题)，2(双数号题)，3(单数号题)
必交习题
一、求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
(5) ；

高等数学习题集及解答

第一章函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,07．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( )A ．()+∞∞-,B ．()0,∞-C ．[)+∞,0D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -= 10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．2118．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为，()0f = ，()1f = 。

高等数学习题集及解答

高等数学习题集及解答第二章一、填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。

2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。

3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。

4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。

5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。

6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。

7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。

8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。

9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。

10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。

11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。

13、设lny =_______________(0)y '''=。

14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。

(数一)高等数学习题集(含解答)

第一章函数·极限·连续一. 填空题1．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a taxx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e =a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2. 2. ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =213. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1.4. )3(lim n n n n n --+∞→=_______.解. nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n5. ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______.解. 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 6. 已知A n n n k kn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解. A kn n n n n k n k kn =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991; 1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点解. (a) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1 (c) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1 (d) 反设 g(x ) =)()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案. 2. 设函数xex x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案. 3. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 4. 设8)1()1()1(lim502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 = 502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→=5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 5. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案.6. 设232)(-+=xxx f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解. x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 7. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. 0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求下列极限 (1) xxx e x 1)(lim ++∞→解. e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xxx =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2) x x xx )1cos 2(sinlim +∞→解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee yy y y yy y y y ==+-+→→(3) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)s i n 1(s i nt a n s i nt a n s i n10s i n 1s i n t a n 1lim x xx x x x x x x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==30sin tan lim x x x x e -→ =30)cos 1(sin limxx x x e -→=212sin 2sin lim32e e xx x x =⋅→.2. 求下列极限 (1) 323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时, 331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot1lim 解. 方法1：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x xx x x x x x x x →→++- =21122cos 2sin cos 4cos 2lim220+++-→x x x x x x x =2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim 0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220c o t 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx3. 求下列极限 (1) )1(ln lim-∞→nn n nn解. n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2) nxnxn e e --∞→+-11lim解. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3) nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0 解. nnnn b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim a b c n x /,/1== x c xxx x x ae c a 2ln )1ln(lim10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 1212)(11+-=xxx f解. 11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.( 2 ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 11s i nlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x c o s 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e xx x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin(lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.6. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f ≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤ 所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 9. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 10. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0.11. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xx x x x x320200)c o s 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('xx x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x xx x x x 所以 0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→. 解. 0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f xx x x x . 所以 0)(3s i n lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为0)(3s i n lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim xx x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→ =2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章导数与微分一. 填空题 1. xx x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______. 解. 1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则 111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f 2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12 , 则=22dx d y______.解. t tdx dy 2sin -=, 32'224cos sin 214sin 2cos 22sin t t t t t t t t t dxdt t t dx y d t -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y eyx , 所以xyx e e xy y y y x yx sin sin '--=++4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('005. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim 000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +6. 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________. 解. )('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf = 所以 31=k7. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解. x x x f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y eyx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0. 二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) nx f n 2)]([!解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x fk =1)]([!+k x f k , 所以)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x fn =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得x f x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim)1('0=ab af xaf x af x ==∆-∆→∆)0(')0()(lim 0, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. ⎩⎨⎧=3324)(xx x f 00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdy y x ∆-∆→∆0lim 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o xdy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题1. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=解. )310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-=2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ，求++=解. ='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a xx a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctan ln22=+确定的, 求'y .解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++ y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+=' 4. 已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin , 求22dx yd . 解. tt tt t e t e t e t e dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=, dt dx t t t t t t dx dt t t t t dt d dx y d 1)sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 22222⋅+--+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 322)s i n (c o s 2t t e dx y d t +-= 5. 设2/322)(x x u y y x +=+=，, 求dudy解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(23212++=dx x x x dxdu dyy )12(23)12(2++=+)12()12(322+++=x x x y d u d y 6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f , 且⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π, 求0=t dx dy , 022=t dx yd . 解. )('3)1('33t fe ef dx dy t t -=, 所以0=t dx dy=3. 3333323322)]('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t t t t t t ---+-= 所以2322)]0('[)0(''6)0('9)]0('[)0('')0(')0(')]0('3)0(''3[30f f f f f f f f f t dx y d +=-+== 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组⎩⎨⎧=+=ee e te x y t t2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率. 解. ee e e e y t ty t t 2'-=-=. 所以)2)(1(12''e e t te e e e e x y dx dy t t t t tt t -+=+-== 所以 et dx dy 211-==. t t tt t ee e t te e e dx dt e e t dt d dx y d 2322)2()1(22)2)(1(1-++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 所以 222811e t dx y d -==. 在t = 1的曲率为 2322322232)41(411811)'1(|''|--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+=e e e e t y y k 四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时 ⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 00>≤x x二阶可导.解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 00x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0); 因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x )0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以 )0(''21f a = 五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ，求-=. 解. x x x f +⋅+-⋅+-=112111211)( 11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n n n n x x n x f0)0()12(=+k f, k = 0, 1, 2, … !)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f =121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n x n n 所以 )!2()1()1(2)(--=-n fn n 七. 已知'.,sin cos 20022y y tdt dt e x yt 求+=⎰⎰ 解. 两边对x 求导, 2222cos 2cos 2',cos '2cos 2'22y y e x x y y yy x x y e y y -=+=第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1. ⎰-+-dx x x x 11ln 112解. =-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 21 2. c x x x x d x x dx x x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3. ⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解. c x x x x d x x dx x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4. ⎰+)1(8x x dx 解. 方法一: 令t x 1=, c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 = c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878=c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 5．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1 ⎰⎰⎰+++++--=dx xx dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121 dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121x d x x x x ⎰++++-= c x x x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121 二. 求下列不定积分: 1. ⎰+++22)1(22x x x dx解. ⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dt sec tan cos 22 =⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 22 2. ⎰+241x x dx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt xx dx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224 =c x x x x +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2321131 3. ⎰++221)12(x x dx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++t t d dt t t t dt t t t x x dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12( =c x xc t ++=+21arctan sin arctan4. ⎰-222x a dx x (a > 0) 解. 令t a x sin = ⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dx x 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222 =c x a a x a x a +⎪⎭⎫ ⎝⎛--2222arcsin 25. ⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt t t dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432 =⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83 =c t t t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6. ⎰-dx x x 421 解. 令tx 1= ⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx xx 224224211111 u t sin =令⎰-udu u 2cos sin =c x x c u +-=+33233)1(cos 31 7. ⎰-+dx x x x 1122解. 令 tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x x x sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222 c xx x +-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243 解. ⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x x x x x x x x x x x x x x )arctan(1)()(11222243 2. ⎰+)41(2x x dx解. 令x t 2=, 2ln t dt dx = c t t dt t tt t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分: 1. ⎰-dx x x 1005)2( 解. ⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x x c x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(95969798992345 2. ⎰+41x x dx 解. ⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令 c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分:1. ⎰xdx x 2cos 解. ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412 c x x x x +++=2cos 812sin 41412 2. ⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec 3 =⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan sec c x x x x x d x +++=⎰|t a n s e c |ln 21tan sec 21sec 3 3. ⎰dx x x 23)(ln 解. ⎰⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln ⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx xx x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(ln c xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 23 4. ⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln ∴c x x x dx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln 5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434 c x x x x d x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分: 1. ⎰-++dx x x x x 222)1()1ln( 解. ⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(x d x x dx x x x x =⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21 t x t a n =令 tdt tt x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰=dt tt x x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++tt d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c tt x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22 =c xx x x x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222 2. ⎰+dx x xx 21arctan解. ⎰⎰⎰++-+=+=+dx x x x x x xd dx xxx 2222211arctan 11arctan 1arctan =c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 12222 3. ⎰dx ee x x2arctan 解. dx e e e e e de e dx e e xx x x x x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan dx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x x x )1(121arctan 2122 c x e e e dx e e e e e x x x x x x x x +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-x ex x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(. 解. ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dx x x dx x f x )32()3)1ln(()(22 ⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以 c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令t x e t x ln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)(=c x a b x b a x +-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1. ⎰-dx x x 234解. 令t x sin 2=⎰⎰⎰--==-t td t tdt t dx x x cos cos )cos 1(32cos sin 324222323 =c x x c t t +---=++-23225253)4(34)4(51cos 532cos 332 2. ⎰>-)0(22a dx x a x 解. 令t a x sec = ⎰⎰⎰+-===>-c at t a tdt a t t a ta t a a dx x a x tan tan tan sec sec tan )0(222 =c xaa a x +--arccos 22 3. dx e e e x x x ⎰-+21)1(解. =-+⎰d e e e x x x 21)1(⎰-dx e e x x21+dx e e x x⎰-221=⎰-x xe de 21－dx e e d xx ⎰--221)1(21=c e e x x +--21arcsin 4. ⎰-dx xa x x 2 (a > 0) 解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8 =⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222 =c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222=c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222=c a x a a x ax a a x a a x a a x a +----2222222232arcsin 3222 =c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin 32十. 求下列不定积分: 1.⎰+-dx x x cos 2sin 2解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2 t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt=c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 34 2.⎰+dx x x x x cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx x x x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十一. 求下列不定积分: 1. ⎰++dx x x x )32(332解. ⎰⎰+=+=++++c x d dx x xx x x x x 3ln 3)3(3)32(332332222. ⎰-+-dx x x x )13()523(232解. )523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x x c x x ++-=252)523(513. dx x x x ⎰+++221)1ln(解. ⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4. ⎰+++++)11ln()11(222x x x xdx 解. c x x x d x x x xdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十二. 求下列不定积分: 1. ⎰+dx x x x )1(arctan 2解. ⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x ⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21 dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令 c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122 c x x x x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2. ⎰+dx xx 1arcsin 解. 令t x t x x 2tan ,1arcsin==+则 ⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t t d t t t t d t dx xx tan tan tan tan tan 1arcsin 2222 c x x x x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3. ⎰-+⋅dx xx x x 22211arcsin 解. ⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t t x dx x x x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令 ⎰⎰⎰+++-=+-=c t t d tt t dt t tdt t 221cot cot cot c t t t t +++-=221|sin |ln cotc x x x x x+++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin 4.dx x x x⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰ c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cot c x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十三. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令 c t t t d dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32 c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22 解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x xa x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十四. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin ⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u uu du u u |22|ln 2211)211(22 c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112. ⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2 t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212=⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十五. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x +--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e xx 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c eee c t t t x xx+-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx xx x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x t tan sec 2,sec ,1tan ,1arctan22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1 ⎰⎰⎰⎰--=-=-=222tan 2tan 2tan 22cos 2t dt t t t t t d t dt t dt t t c t t t t +-+=2|cos |ln 2tan 2 c x x x x +-----=2)1(arctan ||ln 1arctan12第三章一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a ，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.证明: 假设f(ξ)≠ 0, a < ξ < b, 不妨假设f(ξ) > 0. 因为f(x)在[a ，b]上连续, 所以存在δ > 0, 使得在[ξ－δ, ξ + δ]上f(x) > 0. 令m =)(minx f x δξδξ+≤≤-. 按以下方法定义[a ，b]上Φ(x): 在[ξ－δ, ξ + δ]上Φ(x) =22)(ξδ--x , 其它地方Φ(x) = 0. 所以02)()()()(2>≥Φ=Φ⎰⎰+-πδδξδξmdx x x f dx x x f ba.和0)()(=Φ⎰badx x x f 矛盾. 所以f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明: ⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x . 证明: 先证:4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+20)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f令 t =x -2π, 所以=+⎰2)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰-+02)()(sin )(cos )(cos πt d t f t f t f= =+⎰20)(sin )(cos )(cos πdt t f t f t f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f于是=+⎰20)(cos )(sin )(sin 2πdx x f x f x f ++⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f=2)(cos )(sin )(cos )(sin 2020πππ==++⎰⎰dx dx x f x f x f x f所以4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+20)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f .所以 ⎰+=2)(tan 11πλdx x I 4)(sin )(cos )(cos cos sin 11220ππλλλπλ=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰x x x dx x x 同理 4)(cot 1120ππλ=+=⎰dx x I .三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)－f(y)| < M |x －y|, 证明nMn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=证明:∑⎰⎰=-=nk n kn k dx x f dx x f 111)()(, =∑=n k nkf n 1)(1dx nk f nk n k n k ∑⎰=-11)( n MnM dx x n k M dxn kx M dx n k f x f dx n k f x f n k f n dx x f nk nk n knk nk n knk nk n kn k nk n kn k n k 212)()()(|)()(|)(1)(1211111111110==⎪⎭⎫⎝⎛-=-≤-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∑∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰==-=-=-=-=四. 设⎰=4tan πxdx I n n , n 为大于1的正整数, 证明:)1(21)1(21-<<+n I n n .。

专升本高等数学习题集及参考答案

第一章函数一、选择题1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数A. x x y +=tanB. y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】A.33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==C. 1)(,1)(2-=-=x x g x x fD. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==3. A. y C. y4. A. y C. y5. 函数A. C. [6. A. y C. y7. A. (C. (8. A. (C. (9. A. fC.()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x =10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】A. ()cos f x x =B. ()arccos f x x =C. ()tan f x x =D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】A. (,22ππ-B. (0,)πC. (,)-∞+∞D. [1,1]-12. 下列函数是奇函数的是【】A. arcsin y x x =B.arccos y x x =C.arccot y x x = D. 2arctan y x x =13. 函数53sin ln x y=的复合过程为【 A 】A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35==== B.x u u y sin ln ,53==C.x u u ysin ,ln 53== D.x v v u u y sin ,ln ,35===二、填空题1. 函数5arctan 5arcsin x x y +=的定义域是___________.2.()arcsin3xf x =的定义域为 ___________.3.函数1()arcsinx f x +=的定义域为 ___________。

(word完整版)高等数学习题集及答案

第一章函数一、选择题1. 下列函数中，【】不是奇函数A. x x y +=tanB. y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】A. +arctan y x x =B. cos y x =C. arcsin y x =D. sin y x x =⋅4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】A. (0,)πB. (,)22ππ-C. [,]22ππ-D. (,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]-9. 下列各组函数中，【】是相同的函数A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x =B. ()f x x =和()g x =C. ()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】A. ()cos f x x =B. ()arccos f x x =C. ()tan f x x =D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】A. (,)22ππ-B. (0,)πC. (,)-∞+∞D. [1,1]-12. 下列函数是奇函数的是【】A. arcsin y x x =B. arccos y x x =C. arccot y x x =D. 2arctan y x x = 13. 函数53sin ln x y =的复合过程为【】A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35==== B.x u u y sin ln ,53== C.x u u y sin ,ln 53== D.x v v u u y sin ,ln ,35===二、填空题1. 函数5arctan 5arcsin x x y +=的定义域是___________.2.()arcsin3xf x =的定义域为 ___________.3. 函数1()arcsin3x f x +=的定义域为 ___________。

高等代数学习题集

高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。

高等数学基础习题集(含答案)

sin x
,则 f ( x ) 是（
）（C）周期函数（D）单调函数
（B）无界函数
【解题思路】把函数看成三个分函数，该指数函数无奇偶性， x 为非周期函数， tan x 无严格单调性. 【详解】 f ( x ) x tan x e
sin x
中， tan x 无界，另负无穷到正无穷都能取到，故整体无界.
n
7、已知极限 lim
x a
f ( x) f (a) 存在，则 lim f ( x) 是否存在？若存在，为多少？ x a xa f ( x) f (a) 0 中，分母趋向于 0，而此极限存在，故只能为型，因此分 xa 0
x a x a
【解题思路】考虑极限的类型. 2、设 f ( x) 0, 1,
x 1, x 1, g ( x ) e x ，求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] ，并作出这两个函数的图形. x 1,
x
x x 【解题思路】求 f [ g ( x)] 时，中间变量为 g ( x ) e ，利用函数 y e 的单调性质，考虑 e
【解题思路】利用数列的单调有界准则. 先求出 a2 , a3 ，易猜测数列是单调递减的，故只需证有下界即可. 【详解】由已知条件易得 an 0 ，利用基本不等式可得， an+1 = (an + 有下界；又因为 an +1 an = 限 lim an 存在. 证毕.
x a
子也以 0 为极限，故 lim f ( x) f (a) 0 ，所以 lim f ( x) 存在，为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)

高等数学课外习题集

函数、极限、无穷小、连续性考研真题：专题一：求函数表达式 1.（90）设函数11,()10,x f x x ≤⎧=⎨>⎩则[]()f f x = 12.（92）设函数220()0x x f x x x x≤⎧=⎨>+⎩则()f x -=2200x x xx x<⎧-⎨≥⎩3.（92）设222(1)l n2xf x x -=-且()()ln f x xϕ=则()x dx ϕ=⎰2ln 1x x c+-+4．（97）设()2020xx g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()200x x f x x x<⎧=⎨≥-⎩则(())g f x =20202x x x x<⎧+⎨≥+⎩，5.（01）设()111x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 则()(){}f f f x = 1专题二：求数列极限1.（03）设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0,lim 1,lim n n n n n n a b c →∞→∞→∞===∞，则必有：A n n a b <对任意n 成立B n n b c <对任意n 成立C 极限lim n n n a c →∞⋅不存在 D 极限lim n n n b c →∞⋅不存在2.（98）设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞⋅=则下列断言正确的是：A 若n x 发散，则n y 必发散B 若n x 无界，则n y 必有界C 若n x 有界，则n y 必为无穷D 若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小3.（99）对任意给定的()0,1ε∈，总存在正整数N ，当n>N 时，恒有2n x a ε-≤，是数列{}n x 收敛于a 的充分必要条件。

4.（93）当0x →，变量211sinxx是：A 无穷小B 无穷大C 有界的，但是不是无穷小D 无界的，但不是无穷大5.（98）求2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n ππππ→∞⎡⎤⎢⎥+++=⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦6.（96）设1110,(1,2)n x x n +=== ，试证数列{}n x 极限存在，并求之。

高等数学第一章习题集(函数与极限)

6
高等数学习题集
(5) lim 1 x 1 x ；
x0
x
(6)
lim
x1

x
1 1

3 x3 1

．
3.
设
lim
x

x2 1 x 1

ax

b

0,
求 a 和 b 的值．
7
高等数学习题集
§1.6 极限存在准则两个重要极限
1. 选择题.
(1)
lim
x x0
f
(x )存在是
f (x) 在 x0 的某一去心领域内有界的______ 条件.
(2)
设函数
ax2 f (x)
2x 1
x 1, 且 lim f (x) 存在，则 a _____. x 1 x1
3* 根据函数极限的定义证明：
(1)
lim
x
1 x3 2x3
x x0
x x0
A) lim f x lim f x
x x0
x x0
C) lim f x 不一定存在 x x0
(2) lim x2 9 (
).
x3 x 3
).
B) lim f x lim f x
x x0
x x0
1 x sin x 1
(题集
§1.8 函数的连续性与间断点
1. 选择题.
(1) 设 f x 在 x x0 处连续 , 且存在 0 , 使当 0 x x0 时有 f x 0, 则
(
)．
A) f x0 0

高等数学习题集[附答案及解析]

第一章函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x ef -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设xx f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111Λ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-，Λ。

(word完整版)考研专项练习高等数学--习题集.docx

第一章函数·极限·连续一. 填空题1. 已知 f ( x)sin x, f [ ( x)] 1 x 2 , 则 (x)__________, 定义域为 ___________.1 xax2．设 limate tdt , 则 a = ________.xx3. lim12n222=________.nnn 1 nn 2nn n1 | x | 1 4. 已知函数 f (x)| x | 1 0, 则 f[f(x)] _______.5.lim ( n3 nnn ) =_______.n6. 设当 x0 时, f (x)ex1ax为 x 的 3 阶无穷小 , 则 a _____, b ______ .1 bx7.lim cot x1 1=______.sin x xx 08. 已知 limn 1990A (0), 则 A = ______, k = _______.n k(n 1) kn二. 选择题1. 设 f(x)和 (x)在 (－ , + )内有定义 , f(x)为连续函数 , 且 f(x) 0, (x)有间断点 , 则(a) [ f(x)]必有间断点(b) [(x)]2必有间断点(c) f [(x)] 必有间断点 (d)( x)必有间断点f ( x)2. 设函数 f ( x) x tan xe sin x , 则 f(x) 是(a) 偶函数(b) 无界函数 (c) 周期函数(d) 单调函数3. 函数 f ( x)| x | sin( x 2) 在下列哪个区间内有界x( x 1)( x 2)2(a) ( － 1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2) (d) (2, 3)1时, 函数x 21 4. 当 x1e x 1 的极限x 15. 极限lim352n12 的值是122222n2( n1)n23(a) 0(b) 1(c) 2(d)不存在( x1)95 ( ax1)56. 设lim2508 ,则a的值为x( x1)(a) 1(b) 2(c) 58(d) 均不对7.设lim ( x 1)( x 2)( x3)( x 4)( x 5)x(3x2), 则,的数值为(a)= 1,1(b)= 5,1(c)1(d) 均不对=== 5, =33358. 设f ( x) 2x3x 2 ,则当x0 时(a) f(x) 是 x 的等价无穷小(b) f(x) 是 x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x) 比 x 较低价无穷小(d) f(x) 比 x 较高价无穷小9.设lim (1 x)(12x)(13x)a 6 ,则a的值为x 0x(a)－1(b) 1(c) 2(d) 310. 设lim a tan x b(1 cos x)22，其中 a2c20 ,则必有x 0cln( 1 2x) d(1 e x)(a) b = 4d(b) b = － 4d(c) a = 4c(d) a =－4c三. 计算题1.求下列极限1(1)lim (x e x ) xx(2)lim (sin2cos1) x x x x1tan x1 lim x3(3)x 01sin x2.求下列极限(1)lim ln(1 3x1)(2) lim1 cot2 x x 0x 23. 求下列极限 (1) limn(n n 1)nln n1 e nx (2)lim nx n 1 eannn b(3) lim, 其中 a > 0, b > 0n22(1 cosx)x 0x 2 4.f (x) 1x1 x2 dt x 0x costf (x) 在x0 的性与可性 .5. 求下列函数的断点并判型1(1) f ( x)2 x 112 x 1x(2 x)x2 cos x(2) f (x)1sinx 021xx sin 1x 06. 函数 f ( x)xxe x在 x = 0 的性 .7. f(x) 在 [a, b] 上 , 且 a < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, ⋯ , n) 任意正数 , 在 (a, b) 内至少存在一个, 使f ( )c 1 f (x 1 ) c 2 f ( x 2 )c ncn .c 1 c 28. f(x) 在 [a, b]上 , 且 f(a) < a, f(b) > b, 在 (a, b)内至少存在一个 , 使 f( ) = .9. 设 f(x) 在 [0, 1] 上连续 , 且 0 f(x) 1, 试证在 [0, 1] 内至少存在一个, 使 f( ) = .10. 设 f(x), g(x) 在[a, b] 上连续 , 且 f(a) < g(a), f(b) > g(b),试证在(a, b)内至少存在一个, 使f( ) = g( ).11.证明方程x5－3x－2 = 0 在(1, 2) 内至少有一个实根 .12. 设 f(x) 在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且lim sin 3x f ( x)0 ,求f (0), f ' (0), f ' '(0)及limf (x)3 x3x2x2.x 0x 0第二章导数与微分一. 填空题1 . 设lim f ( x0k x) f ( x0 )1f '( x0 ) ,则 k = ________.x0x32.设函数 y = y(x) 由方程e xy cos(xy)0确定 ,则 dy______.dx3.已知 f(－ x) =－f(x), 且f ' (x0 )k ,则 f ' ( x0 )______.4.设 f(x) 可导 ,f ( x0m x) f (x0n x)_______.则 limxx05. f ( x)1x ,则 f ( n ) ( x) = _______.1x6.已知df11, 则f '1_______. dx x2x27.设 f 为可导函数 ,y sin{ f [sindy_______.f ( x)]} ,则dx8.设 y = f(x) 由方程e2 x y cos( xy )e1所确定 , 则曲线 y = f(x) 在点 (0, 1)处的法线方程为 _______.二. 选择题1.已知函数 f(x) 具有任意阶导数 , 且f ' (x)[ f (x)] 2,则当 n 为大于 2 的正整数时 , f(x) 的 n 阶导数是(a) n![ f ( x)]n1(b)n[ f ( x)] n 1(c)[ f (x)] 2n(d)n![ f ( x)] 2n2.设函数对任意x 均满足 f(1 + x) = af(x),且 f ' (0)b,其中 a, b 为非零常数 , 则(a) f(x) 在 x = 1处不可导(b) f(x) 在 x = 1处可导 ,且 f ' (1) a(c) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1) b(d) f(x) 在 x = 1处可导 , 且f ' (1)ab3.设 f ( x)3x3x 2| x |,则使 f ( n)(0) 存在的最高阶导数n 为(a) 0(b) 1(c) 2(d) 34.设函数 y = f(x) 在点 x 0处可导 , 当自变量 x 由 x 0增加到 x0 +y dyx 时 , 记 y 为 f(x) 的增量 , dy 为 f(x) 的微分 , lim等于x 0xx2 sin 1x05. 设f ( x)x x0ax b在 x = 0 处可导 , 则(a) a = 1, b = 0(b) a = 0, b 为任意常数(c) a = 0, b = 0(d) a = 1, b 为任意常数三. 计算题1.y ln[cos( 103x 2 )]，求 y'2. 已知 f(u) 可导 ,y f [ln( x a x2 )]，求 y'3.已知y e t 2dt x2costdt sin y2,求 y' .004.设 y 为 x 的函数是由方程ln x 2y2arctan y确定的 , 求y' . x四. 已知当 x0 时, f( x) 有定义且二阶可导 ,问 a, b, c 为何值时F ( x)f ( x)x0二阶可导 . ax2bx c x0五. 已知f ( x)x 2，求 f(n ) ( 0) .1x2六. 设y xln x ,求f( n) (1) .第三章一元函数积分学 (不定积分 )一. 求下列不定积分 : 1.1 2 ln 1 xdx 1 x 1 x1 1 x 1 x 1 x 1 1 22.x 1 x 2arctandx arctand arctanx 2arctanc1 x1 x1 1 x3.cos x sin x1 1 sin x dx(1 cos x)21 cos x4.dx x( x 8 1)1 111 sin x(1 sin x cosx)(sin x cosx)5．dx 222dx1 sin x cosx1 sin x cosx二. 求下列不定积分 :dx1.( x 1)2 x 2 2 x 2dx 2.x 4 1 x 23.dx1) 1 x 2(2x 2x 2dx 4.(a > 0)a 2 x 25.(1 x 2 ) 3 dx6.x 21dxx 4x 17.dxx2x21三. 求下列不定积分:e3x e xdx 1.e2xe4 x1dx2.2x (1 4 x)四. 求下列不定积分:x51.( x2)100dxdx2.x 1 x4五. 求下列不定积分:1.x cos2 xdx2.sec3 xdx3.(ln x)3dxx 24.cos(ln x)dxx cos4x1x cos4x1x1x sin 2x1sin 2xdx5.2dxx2dx xd sin 2sin 3 x8sin3 3 x828282cos221x sin 2 x1sin 2 x d x1x sin2x1cotxc824228242六. 求下列不定积分 :x ln( x1x 2 )2.x arctan x dx1x23.arctan e x dxe2 x七.x ln(1x 2 ) 3x0设 f ( x)22x 3)e x x, 求 f (x)dx .( x0八.设 f ' (e x ) a sin x b cos x, (a, b为不同时为零的常数), 求 f(x).九. 求下列不定积分:1.3x23x (2x3)dx32.(3x 22x5) 2(3x1) dx3.ln( x 1 x2 )dx1x2xdx4.(1 x2x21) ln(1x 21)十. 求下列不定积分:x arctan x1.(1x2)dx2.arcsinxdx 1 xarcsinx1x2 3.2dxx1x 2arctan x4.2(1x 2dxx)十一 . 求下列不定积分: 1.x34x 2 dxx2a22.x3.e x (1e x ) dx1e2 x4.xxdx (a > 0) 2a x十二 . 求下列不定积分:dx1.sin x 1cos x2.2sin x2dxcos x3.sin x cos x dxsin x cos x十三 . 求下列不定积分:x1.dx1 x x2.e x 1dxe x 13.x 1arctan x 1 dxx第三章一元函数积分学 (定积分 )b0 ,则f(x) 0.一．若 f(x) 在[a， b]上连续 , 证明 : 对于任意选定的连续函数(x), 均有f (x) ( x)dxa二. 设为任意实数 , 证明 :I21dx=21.0 1(tan x)0 1dx (cot x)4三．已知 f(x) 在 [0， 1]上连续 , 对任意 x, y 都有 |f(x) － f(y)| < M|x－y|, 证明f ( x)dx1n f k M1n k n2n01四.设 In4 tan n xdx , n为大于1的正整数,证明:1I n1.02(n1)2(n1)五. 设 f(x) 在[0, 1] 连续 , 且单调减少 , f(x) > 0,证明:对于满足0 << < 1 的任何, , 有f ( x)dx f ( x)dx六. 设 f(x) 在[a, b] 上二阶可导 , 且 f ' ' ( x) < 0,证明 :b f (x)dx (b a) fa ba2七. 设 f(x) 在[0, 1] 上连续 , 且单调不增 , 证明 : 任给 (0, 1), 有1 f ( x)dxf ( x)dx八. 设 f(x) 在[a, b] 上连续 ,f ' ( x) 在 [a, b]内存在而且可积 , f(a) = f(b) = 0, 试证 :| f ( x) |1b2 | f ' (x) | dx , (a < x < b)a九. 设 f(x) 在[0, 1] 上具有二阶连续导数f ' ' ( x) , 且 f (0) f (1) 0， f ( x) 0 , 试证 :1f ' ' ( x)dx 4f ( x)十. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数 , 且 f(1) －f(0) = 1,试证 :1 2dx 1[ f ' (x)] 022十一 . 设函数 f(x) 在 [0, 2] 上连续 , 且f (x)dx = 0,xf ( x)dx = a > 0. 证明 :[0, 2], 使 |f( )| a.0 0第三章一元函数积分学(广义积分 )一. 计算下列广义积分:x2edx(1)10 (e x1)31(2)0( x21)( x24)dx(3)dx3 (1 x2 ) 21(4)sin(ln x)dx11dx (5)2 x x21 (6)arctan x3dx(1 x2 ) 2第四章微分中值定理一. 设函数 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上可微 , 对于 [0, 1] 上每一个 x, 函数 f(x) 的值都在开区间(0, 1)内 , 且 f ' ( x) 1, 证明 : 在 (0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x.1f ( x) dxf (0) . 证明 : 在(0, 1)内存在一个, 使 f ' ( ) 0 .二. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上连续 , (0, 1) 内可导 , 且 3 2 3三．设函数 f(x) 在[1, 2] 上有二阶导数 , 且 f(1) = f(2) = 0,又 F(x) =(x － 1)2f(x), 证明 : 在(1, 2)内至少存在一个 , 使 F ' ' ( ) 0 .四. 设 f(x)在 [0, x](x > 0) 上连续 , 在 (0, x)内可导 , 且 f(0) = 0, 试证 : 在(0, x) 内存在一个, 使f ( x) (1 ) ln(1 x) f ' ( ) .五. 设 f(x)在 [a, b]上可导 , 且 ab > 0, 试证 : 存在一个 (a, b), 使1b n a n [nf ( ) f '()] n 1f (b)b a f (a)六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在 [a, b] 上连续 , 在(a, b)内可导 , 证明 :存在一个(a, b), 使f (a) g(a) h(a)f (b)g( b) h(b) 0f ' ( )g' ( )h' ( )七. 设 f(x)在 [x1, x2] 上二阶可导 , 且 0< x1 < x2 , 证明 : 在( x1 , x2)内至少存在一个, 使1e x1e x2 e x1e x2 f ( x1 )f ( ) f ' ( )f ( x2 )八. 若 x1x2 > 0, 证明 : 存在一个(x1, x2)或( x2, x1 ), 使x1e x2x2 e x1(1)e (x1x2 )九 .设f(x), g( x) 在 [a, b] 上连续 ,在(a,b) 内可导 ,且f( a) = f(b) = 0, g(x)0,试证:至少存在一个(a, b),使f ' ( ) g( ) g' ( ) f ( )十. 设 f(x) 在 [a, b] 上连续(0 a b) ,在(a, b)内可导,证明在(a, b)存在,2f ' ()使 f ' ( )ab.第五章一元微积分的应用一. 选择题1. 设 f(x) 在 (－, + )内可导 , 且对任意x1, x2 , x1 > x2时, 都有 f(x 1) > f(x 2), 则(a) 对任意 x, f '( x) 0(b) 对任意 x, f '( x)0(c) 函数 f( － x)单调增加(d) 函数－ f(－ x)单调增加1x 2x 1的渐近线有2. 曲线y e x2arctan( x 1)( x2)(a) 1 条(b) 2 条(c) 3 条(d) 4 条3. 设 f(x) 在 [－ , + ] 上连续 , 当 a 为何值时 , F (a)[ f (x) a cosnx ]2 dx 的值为极小值.(a) f ( x) cos nxdx(b)(c)2(d)f ( x) cosnxdx4. 函数 y = f(x)具有下列特征 :1f ( x) cosnxdx 1f ( x) cosnxdx 2f(0) = 1; f ' (0)0 ,当x0 时, f '( x)0x00 ; f '' ( x)x, 则其图形00(a)(b)(c)(d)11115. 设三次函数y f ( x) ax3bx 2cx d ,若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于 y 轴对称(b) 关于原点对称(c) 关于直线 y = x 轴对称(d) 以上均错6.曲线 y x( x 1)(2 x) 与x轴所围图形面积可表示为21)( 2x)dx11)( 2x) dx21)( 2x)dx(a)x( x(b)x( x x( x00111)( 2x)dx21)(2x)dx21)(2x)dx(c)x(x x(x(d)x( x010二. 填空题x11. 函数F ( x)2dt (x > 0)的单调减少区间______.1t2. 曲线y x3x 与其在x13. 二椭圆x2y 21,x2y 21( a > b > 0)之间的图形的面积______. a2b2b2 a 24. x2+ y2= a2绕 x =－b(b > a > 0) 旋转所成旋转体体积_______.(5) 求心脏线= 4(1+cos ) 和直线= 0, =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____.2三. 证明题xtf (t )dt0 时函数( x)01. 设 f(x) 为连续正值函数 , 证明当 x单调增加 .xf (t )dt2. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内f ' ' ( x)f ( x) f (a)0 ,证明 ( x)在 (a, b)内单增 .x a3. 设 f(x)在[ a, b]上连续 , 在(a, b)内可导且f ' ( x)0 ,求证:F ( x)1xf (t )dt 在(a, b)内也 F ' ( x) 0 . x a a4. 设 f(x)在[ a, b] 上连续 , 且 f(x) > 0,又 F ( x)x x 1f ( t)dt dt .证明:a b f ( t)i. F ' ( x) 2, ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根.5. 明方程tan x 1 x 在(0, 1)内有唯一根.6.a1, a2, ⋯ , a n n 个数 , 并足a1a2(1) n 1a n0 .明:方程32n1a1 cos x a2 cos3x a n cos(2n1) x0在 (0,2) 内至少有一根 .四. 算1. 在直 x－y + 1=0 与抛物y x24x 5 的交点上引抛物的法, 求由两法及接两交点的弦所成的三角形的面.22f (x)] 2 dx 最小的直方程.2. 求通点 (1, 1)的直 y = f(x)中 , 使得[ x3. 求函数f ( x)x2(2 t)e t dt 的最大与最小. 04. 已知 (x－ b)2 + y2 = a2, 其中 b > a > 0, 求此 y 旋所构成的旋体体和表面.第六章多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面 4 条性质( I ) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续;( II ) f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续; ( I II) f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处可微;( IV ) f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在;若用 P Q 表示可由性质P推出性质Q,则有( A ) ( C )(II )(III )( I )(III )(IV )( I )( B )( D )( III )(II )( I )(III )(I )( IV )xy2,( x, y)(0,0)二. 二元函数f ( x, y)x2y0) 处在点 (0, 0,(x, y)(0,0)( A ) 连续 , 偏导数存在 ;( B ) 连续 , 偏导数不存在 ; ( C ) 不连续 , 偏导数存在 ;( D ) 不连续 , 偏导数不存在 .三. 设 f, g 为连续可微函数 , u f ( x, xy)， v g( x xy) ,求uv . x x四. 设x2z2y z, 其中为可微函数 , 求z .y y五. 设u f ( x, y, z)，又 y(x, t )， t( x, z)，求u. x六. 求下列方程所确定函数的全微分:1. f ( x y, y z, z x)0，求 dz ;2.z f ( xz， z y)，求 dz .七. 设z f ( e x sin y, x2y 2 ) ,其中f具有二阶连续偏导数, 求 2z.x y八.已知 z f (2 x, x )，求 zxx ' '， z yy ' ' . y九. 已知z f (xln,)' ' ,zxy' ' ,zyy' '.y x y ，求 z xx十. 设y y( x)， zx y z z20确定 , 求dy dz z(x)，由y2z z30， .x dx dx十一 . 设z xf (y)(y)，求 x2 2 z2xy 2 z y 2 2 zx x x 2x y y22十二 . 设z f [ x2y, ( xy)] ,其中f(u, v)具有二阶连续偏导数,(u) 二阶可导,求z. x y十三 . 设F ( x, y(x), z(x))P( x, y(x)) Q ( x, y( x)) z( x) ,其中出现的函数都是连续可微的F d F , 试计算.第七章二重积分一. 比较积分值的大小:1. 设I1D 结论正确的是x y x y 3xy{( x, y) | (x 1)2( y1)22},则下列dxdy, I2dxdy, I 3dxdy 其中D4D4D4( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C )I 1I 3I 2( D )I 3I 2I 12.设 I ie ( x2y2) dxdy, i1, 2，3, 其中 :D1{( x, y) | x 2y2r 2 } , D2{( x, y) | x2y 22r 2 } ,D iD 3{( x, y) | | x |r , | y |r } 则下列结论正确的是( A )I 1I 2I 3( B )I 2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 13.设I1cos x 2y2,I 2cos(x 2y2 ), I 3cos(x 2y 2 ) 2其中 D{( x, y) | x2y 21} ,则下列D D D结论正确的是( A ) I1I 2I 3( B ) I2I 3I 1( C ) I1I 3I 2( D ) I3I 2I 1二. 将二重积分I f ( x, y)d 化为累次积分(两种形式),其中D给定如下:D1. D: 由y28x 与 x28 y 所围之区域.2. D: 由 x = 3, x = 5, x －2y + 1 = 0 及 x －2y + 7 = 0 所围之区域 .3. D: 由x2y 2 1 , y x 及 x > 0 所围之区域 .4. D: 由 |x| + |y| 1 所围之区域 .三.改变下列积分次序 :a a2x21.dx a2x 2 f ( x, y)dy2a1x 233xf (x, y) dy2.dx0f (x, y)dy dx201002x 2f ( x, y)dy12x23.dxx dxxf ( x, y) dy10四. 将二重积分I f ( x, y)d 化为极坐标形式的累次积分, 其中 :D1.D: a2x2 +y 2b2 , y0, (b > a > 0)2.D: x 2+y2y, x03.D: 0x +y1, 0 x1五. 求解下列二重积分:2x 1.dx1x sinx42dy dx2y2xxsin dy1y 2 x2. dx e 2 dy003.y dxdy , D:由y = x4－x3的上凸弧段部分与x 轴所形成的曲边梯形Dx 64.xydxdy , D: y x及1 x2+ y22 x2y2D六. 计算下列二重积分 :x222y 21.yx 1 .1dxdy , D:22 Da b a b2.ln( x2y 2 )dxdy , D:2x 2y 21 , 并求上述二重积分当0 时的极限 .Dax f ' ( y)3.dxdy(a x)( x y)1 x 2y 24.2 2 dxdy , D: x 2 + y 2 1, x 0, y 0. D1 x y2七. 求证 :f ( xy)dxdy ln 2 f ( u) du , 其中 D 是由 xy = 1, xy = 2, y = x 及 y = 4x(x > 0, y > 0) 所围成之区域 .1Df ( x y)dxdy2 2f (u)du八 . 求证 :2 u x 2y 2121x2y 21t 2e2 dxdy a九 . 设 f(t)是半径为 t 的圆周长 , 试证 : f (t) e 2 dt2x 2 y2 a220m y n dxdy 0十 . 设 m, n 均为正整数 , 其中至少有一个是奇数, 证明xx 2y2 a2十一.设平面区域 D {( x, y) | x 3y 1, 1 x 1}, f (x) 是定义在 [ a, a] (a1) 上的任意连续函数试求: I 2 y[( x 1) f ( x) (x1) f ( x)] dxdyDLy x 3第八章无穷级数一. 填空题x 1n a n1(1) 设有级数a n, 若lim2a n 1, 则该级数的收敛半径为 ______.n 1n3(2) 幂级数n n3)n x2n 1的收敛半径为 ______.n 1 2((3) 幂级数x n的收敛区间为 ______. n 1n 1(4) 幂级数x n 1的收敛区间为 ______. n 1 n2n(5)幂级数(n1)x n的和函数为______.n1二. 单项选择题(1)设 a n0(n1,2,)，且a n收敛,常数(0,) ,则级数( 1)n (n tan ) a2 nn 12n 1n(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D) 收敛性与有关(2)设 u n( 1)n ln(11) ,则n(A)u n与u n2都收敛. (B)u n与u n2都发散. (C)u n收敛,而u n2发散. (D)u n发散,u n2收敛.n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1(3)下列各选项正确的是(A) 若u n2与v n2都收敛 , 则(u n v n ) 2收敛n 1n 1n 1(B) 若| u n v n | 收敛,则u n2与v n2都收敛n 1n 1n 1u n 1(C) 若正项级数发散 ,则u nn 1n(D) 若级数u n收敛,且 u n v n ( n 1,2, ) ,则级数v n收敛.sin n1(4) 设为常数 , 则级数nn 1 n2(A)绝对收敛 . (B) 发散 . (C) 条件收敛 . (D) 敛散性与取值有关 .三. 判断下列级数的敛散性:11(1)sinn 1 ln( n 2)n(2)1( a 0) n 1 ( a n 1)( a n)( a n 1)3n n!(3)n 1 n nn2(4)n 1 ( n 1 / n) n( n! )2(5)n1 ( 2n)!(6)(1ln n)nn 1n四. 判断下列级数的敛散性n(1)( 1)n 2n1n 13n1(2)( 1)n n1n 1(n 1) n 1 1(3)sin( n)n 1n(4)( 1)n 1 tan1n 1n n五. 求下列级数的收敛域:( x2x1)n (1)n 1n( n1) (2)( 1)n x2 n 1n 12n 1 (3)2n 1 x2 n 1n 12n( x1)2 n(4)n 1n 9n六. 求下列级数的和:(1)( 1)n 1 x2 n 12n 1n 1(2)n(n 1)xn 1( x1)n (3)n 1n2nn七. 把下列级数展成x 的幂级数 :(1) f ( x)1ln1x1arctan x 21x2x ln(1x)(2) f ( x)x dx第九章常微分方程及差分方程简介一. 填空题1. 微分方程y' y tan x cos x 的通解为_________.2.微分方程 ydx( x24x)dy0的通解为 ________.3.微分方程 y' 'y 2 x 的通解为________.4.微分方程 y' ' 2 y' 2 y e x的通解为________.5.已知曲线 y f ( x) 过点(0,1),且其上任一点 (x, y) 处的切线斜率为x ln(1x2 ) ,则 f ( x) =_______.2二. 单项选择题2 x 1. 若函数 f (x) 满足关系式 f ( x)tf ( )dt ln 2 ,则 f (x) 等于(A)e x ln 2(B)e2 x ln 2(C)e x ln 2(D)e2 x ln 22.微分方程 y' 'y e x1的一个特解应具有形式(式中 a、 b 为常数 )(A)ae x b(B)axe x b (C) ae x bx(D) axe x bx三. 解下列微分方程:dy3( x 1) 2 (1 y 2 )1. dxy| x 012. (1y2 )dx x(1 x) ydy0dy13.1dx x y四. 解下列微分方程:yy1. y' e xx2.xdy ydx x2y 2 dxy y3. ( x y cos )dx x cos dy0x x五. 解下列微分方程:1.y' y cos x e sin x1x2.x2 y' y x2 e x3.xy' ln x y ax(ln x1)4.y' sin x cos x y sin3 x0六. 解下列微分方程:1.y' y tan x sec x， y(0)02.y' y cos x sin x cos x， y(0)13.y' x sin 2 y xe x2 cos2 y， y( 0)4七. 解下列方程 :1.y' ' 2 2 y' 2 y02.y' ' 2 y' 3y03.y' ' 2 y' 3y0八. 解下列方程 :x 23 )e2x 1. y' ' 4 y' 4y (1 x2.y' ' 3 y' 2y cos 2x3.y' ' 2 y' y5xe x4. 2 y' ' 2 y' 3 y x22x 15.y' ' y' x21第十章函数方程与不等式证明11aa n 1a n一. 证明不等式ln a( n 1) 21 1n 1 a n. (a > 1, n 1)n 2二. 若 a0, b 0, 0 < p < 1, 证明( ab) p a p b p三. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上有连续导数 , 满足 0f ' ( x) 1且 f (0)0. 求证1 213( x)dxf ( x)dxf四. 求证| a |p | b |p 21 p (| a | | b |) p , (0 < p < 1).五. 求证 : 若 x + y + z = 6,则 x2y 2 z 2 12 , (x 0, y 0, z0).六.证明 : 1 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上2 若 f(x) 在[a, b] 上是增加的，且在其上f ' ' ( x) 0，则 (b a) f ( a) f ( x) dx (b a)f (a)f (b)ba2f ' ' ( x) 0 ，则 ( b a) f (b) f ( x)dx ( b a) f (a) f (b)ba2x1x2x n x12x22x n2七. 证明 : 1n nx1x2x n nx1 x2x n2n八. 设f ' ' ( x)c[ a, b] , 且f (a)f (b) 0, 求证f (x) dx(b a) 3ba12a x b九. 若 f ' ( x) 在 [0, 2 ] 上连续 , 且 f ' (x)2 2[ f (2 ) f (0)]0, n(正整数 )有f ( x) sin nxdxn十. 设在 [a, b] 上 f ' ' ( x) 0 , a < x 1 < x 2 < b, 0 << 1, 试证 :f ( x 1 ) (1 ) f ( x 2 ) f [ x 1 (1) x 2 ]第十一章微积分在经济中的应用一．生产某产品的固定成本为10, 而当产量为 x 时的边际成本函数为 C ' 40 20 x3x 2, 边际收益为R'32 10x ,试求: ( 1 )总利润函数 ; ( 2 ) 使总利润最大的产量 .二. 设某商品的需求量Q 是单价 P(单位 : 元 )的函数 : Q = 12000 －80P; 商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数 : C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税 2 元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.三. 一商家销售某种商品的价格满足关系P = 7－ 0.2x(万元 / 吨), x 为销售量 ( 单位 :吨 ), 商品的成本函数C3x 1(万元). (1)若每销售一吨商品政府要征税 t ( 万元 ), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时 , 政府税收总额最大 .四 . 设某企业每月需要使用某种零件2400 件 , 每件成本为150 元, 每年库存费为成本的 6 , 每次订货费为100 元, 试求每批订货量为多少时, 方使每月的库存费与订货费之和最少, 并求出这个最少费用(假设零件是均匀使用).。

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sin x
, x
0
(1)f ( x)
x), x
；
ln(1
0
x
, x
0
(2)f ( x)1
1
e上取横坐标为x1
1和x2
3的两点，作过这两点的割线，问该抛物
线上哪一点的切线可平行于这割线？
2
高等数学习题集
§2函数的和、差、积、商的求导法则
§3反函数的导数复合函数的求导法则
0
g(x)
在x
0处二阶可导。
四、设xg( y)是yf ( x)的反函数，问如何由f ( x), f(x)算出g ( y)？
8
高等数学习题集
§6隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
必作习题
P138-1401，2，3，7，8，11
必交习题
一、求下列函数的导数
(1)设arctanylnx2y2，求dy；
2x在x
1处当x
0.02时的增量
y与微分dy。
二、求下列函数的微分：
(1)yln( 2x1) sin x2；
(2)y
1
x37
x
2。
x
2
( x
4)
11/14
三、(1)当| x |
1
x
1时，求出
的关于x的线性近似式；
1
x
3
(2)计算998的近似值。
四、一个圆扇形，测得半径R10cm，圆心角600.5，求扇形面积的绝对误差
x0
（3）指出是否有lim
f
( )
f
(0)。
x 0
x
二、设函数f (x)与g ( x)在x可导，求下列函数的导数：
(1)y[ f (x)]2[ g( x)]2；

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第一章函数一、选择题1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数A. x x y +=tanB. y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】A. +arctan y x x =B. cos y x =C. arcsin y x =D. sin y x x =⋅4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】A. (0,)πB. (,)22ππ-C. [,]22ππ-D. (,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]-9. 下列各组函数中，【 A 】是相同的函数A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x =B. ()f x x =和()g x =C. ()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】A. ()cos f x x =B. ()arccos f x x =C. ()tan f x x =D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】A. (,)22ππ-B. (0,)πC. (,)-∞+∞D. [1,1]-12. 下列函数是奇函数的是【】A. arcsin y x x =B. arccos y x x =C. arccot y x x =D. 2arctan y x x = 13. 函数53sin ln x y =的复合过程为【 A 】A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35==== B.x u u y sin ln ,53== C.x u u y sin ,ln 53== D.x v v u u y sin ,ln ,35===二、填空题1. 函数5arctan 5arcsin x x y +=的定义域是___________.2.()arcsin3xf x =的定义域为 ___________.3. 函数1()arcsin3x f x +=的定义域为 ___________。

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第二章导数与微分
§1 导数概念
必作习题
P105-107 1，4，5，6，9，12
必交习题
一、设函数)(x f 在2=x 处连续，且32
)( lim 2=-→x x f x ，求)2(f '。

二、确定b a ,的值，使函数⎩
⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f ，，在1=x 处可导。

三、求下列函数)(x f 的)0()0(+-''f f 和，并问)0(f '是否存在？
(1)⎩⎨
⎧≥+<=0),1ln(0,sin )(x x x x x f ；
(2)⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e x x f x
四、在抛物线2x y =上取横坐标为3121==x x 和的两点，作过这两点的割线，问该抛物
线上哪一点的切线可平行于这割线？
§2 函数的和、差、积、商的求导法则
§3 反函数的导数复合函数的求导法则
必作习题
P111 2，3，4，5；
P118-119 1(单数号题)，2(双数号题)，3(单数号题)
必交习题
一、求下列函数的导数：
(1)2ln x x x y -=；
(2)x x
y sin cos 1-=；
(3)x x x y tan )1(+=；
(4)x e y 1tan =
(5)x x y 1
231arccos ---=；
(6)2|11
='-+=x y x x y ，求。

二、设x d cx x b ax x f cos )(sin )()(+++=，确定d c b a ,,,使x x x f cos )(='。

三、求垂直于直线0162=+-y x ，且与曲线5323--=x x y 相切的直线方程。

四、设)2
323(+-=x x f y ，又2arctan )(x x f ='，求0
=x dx dy 。

§4 初等函数的求导问题 §5 高阶导数
必作习题
P121-122 2(双数号题)，3(单数号题)；
P126-127 1(单数号题)，2，3，4，5，9
必交习题
一、求下列函数的导数 (1)y x x y '+=，求2ch 21
ch ln
(2)y x x
y ''-=，求21；
(3))(2231
n y x x y ，求+-=
(4)设)]([x x f y ϕ=，其中ϕ,f 具有二阶导数，求22dx y
d .
二、将多项式32531)(x x x x P +++=，改写成3
32210)1()1()1()(-+-+-+=x c x c x c c x P ，
求
3210,,,c c c c 。

三、设)()()(3x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ有二阶连续导数，问)(a f '''是否存在；若不存在，
请说明理由；若存在，求出其值。

四、问自然数n 至少多大，才能使
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0
0,1sin )(x x x x x f n 在0=x 处二阶可导，并求)0(f ''。

第二章习题课(一)
必作习题
P156-157 1，2，5，6，7
必交习题
一、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00
0sin )(12x x x x f x ，，，，
（1）讨论0)(=x x f 在处的可导性；
（2）讨论)( lim 0
x f x '→的存在性；
（3）指出是否有)0()( lim 0
f x f x '='→。

二、设函数)()(x g x f 与在x 可导，求下列函数的导数： (1)22)]([)]([x g x f y +=；
(2))]1(sin
[n
n n x g f y =。

三、设)(x g 二阶可导，确定c b a ,,，使函数
⎩⎨⎧≤>++=0,)
(0,)(2x x g x c bx ax x f 在0=x 处二阶可导。

四、设)(y g x =是)(x f y =的反函数，问如何由)()(),(y g x f x f '''''算出？
§6 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
必作习题
P138-140 1，2，3，7，8，11
必交习题
一、求下列函数的导数
(1) 设dx
dy y x x y ，求22ln arctan
+=；
(2) 设0220||0ln ===-x x dx
y d dx dy y xy ，求，
（3）设x x y sin 2)
1(+=，求y '.
二、求下列函数的导数：
(1) 设22tan co ln dx
y d dx dy y t x 与，求，θθα==；
(2)设)()()(t f t f t y t f x -'='=，，又)(t f ''存在且不为零，求2
2dx y d dx dy 与；
三、设水从高为18厘米，底半径为6厘米的圆锥形漏斗流入半径为5厘米的圆柱形筒内，
若漏斗中水深为12厘米时水面下降速度为1厘米/分，求此时圆筒中水面的上升速度。

§7 函数的微分
§8 微分在近似计算中的应用
必作习题
P148-149 1，3，4；P154-155 1，5，8，11
必交习题
一、求函数02.0123=∆-=+=x x x x y 处当在时的增量y ∆与微分dy 。

二、求下列函数的微分：
(1)2sin )12ln(x x y ⋅+=；
(2)322)4(71---=x x
x x y 。

三、(1)当x
x x +-<<111||时，求出
的关于x 的线性近似式；
(2)计算3
998的近似值。

四、一个圆扇形，测得半径cm R 10=，圆心角 5.060±=α，求扇形面积的绝对误差
与相对误差。

习题课(二)
必作习题
P157 9，10，11，12，13
必交习题
一、用简便方法求下列函数的导数： (1)21)1(ln
x x x y --=；
(2)x x x
y =；
二、求曲线⎩⎨⎧=++=-+0
10)1(y te t t x y 在0=t 相应的点处的切线方程。

三、设曲线x y x f y sin )(==与在原点相切，求)( lim 2x x xf +∞
→。

四、落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外圈半径的增大率总是s m /6，问在2秒
末扰动水面面积的增大率为多少？。