上海市2017高二数学上学期期末考试!(2)

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【上海专版】-上海市黄浦区2017-2018学年高二上学期期末数学试题(解析版)

黄浦区2017学年度第一学期高二年级期终调研测试数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1.计算32lim 5n n n →∞+=-________．【答案】3【解析】【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】32lim 5n n n →∞+=-2330lim 35101n n n →∞++==--. 故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则,考查计算能力,属于基础题．2.已知点(1,2)A ，(2,7)B -，那么向量AB u u u r的位置向量的终点坐标为________．【答案】(3,5)-【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】由题, ()()21,723,5AB =---=-u u u r .故答案为：()3,5-【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算,属于基础题.3.抛物线28y x =-的准线方程为________．【答案】2x =【解析】【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可.【详解】由题, 28y x =-开口向左,且284p p =⇒=,故准线方程为22p x ==,即2x =. 故答案为：2x =【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题.4.若倾斜角为34π的直线过点(1,3)和(2,)m ，则m =________．【答案】2【解析】【分析】根据直线斜率的公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】因为直线倾斜角为34π,故斜率为3tan 14π=-.故3121m -=--,解得2m =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及两点间的斜率公式.属于基础题.5.直线1y =与直线210x y ++=的夹角为________（结果用反三角函数值表示）．【答案】arctan 2【解析】【分析】直线1y =为一条水平直线，所以两条直线的夹角即为直线210x y ++=倾斜角（或补角），即可求解.【详解】直线1y =为一条水平直线，所以两条直线的夹角即为直线210x y ++=倾斜角（或补角），直线210x y ++=，即21y x =--，设直线210x y ++=的倾斜角为α，则tan 2α=-，由两直线夹角的取值范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以直线1y =与直线210x y ++=的夹角为倾斜角为α的补角，即arctan 2.故答案为：arctan 2.【点睛】本题考查了两直线夹角的求法，反三角函数的表示方法，属于基础题.6.若非零向量a r ，b r 满足||||a b a b +=-r r r r ，则a r 与b r 所成角的大小为________．【答案】2π 【解析】【分析】根据||||a b a b +=-r r r r ，两边平方化简求解.【详解】因为||||a b a b +=-r r r r ，所以22||||a b a b +=-r r r r ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，所以40a b ⋅=r r，所以a r 与b r 所成角的大小为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【答案】11【解析】【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =.8.已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n na a a a a →∞++++=L __________ 【答案】32【解析】【分析】先对等比数列进行求和，再进行极限运算.【详解】因为3n n a =，所以21233(13)33313n nn a a a a ⋅-++++=+++=-L L ，所以123313lim lim (1)232n n n n n a a a a a →∞→∞++++=-=L . 故答案为32. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和、数列极限计算，考查数列中的基本量法，考查基本的运算求解能力. 9.曲线2xy =上的点到直线0x y +=的距离的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】设与直线0x y ++=平行的直线的方程为0x y m ++=，联立方程组，由0∆=，求得m 的值，得到直线的方程，利用两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】设与直线0x y ++=平行的直线的方程为0x y m ++=，联立方程组02x y m xy ++=⎧⎨=⎩，可得220x mx ++=，令2420m ∆=-⨯=，解得m =±此时直线0x y +±=与曲线2xy =相切，结合图象，可得当m =时，曲线2xy =上的点到直线0x y +=的距离最小，即最小值为两平行线0x y ++=和0x y +=的距离，所以最小值为1d ==.【点睛】本题主要考查了两曲线间最短距离的求解，以及两平行线间的距离公式的应用，其中解答中把两曲线间的距离转化为两平行线间的距离是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用. 10.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________.【答案】3.6 cm【解析】【分析】如图先根据实际情况合理建立直角坐标系，设出抛物线方程，结合题设数据找点求出抛物线方程，灯泡与反射镜顶点间的距离即为抛物线焦点与顶点距离.【详解】取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xoy ，如图所示．因为灯口直径24AB ＝，灯深10OP ＝，所以点A 的坐标是()10,12．设抛物线的方程为22(0)y px p >＝，由点()A 10,12在抛物线上，得212210p ⨯＝，所以7.2p =.所以抛物线的焦点F 的坐标为()3.60，．因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6cm .【点睛】本题属于抛物线的实际应用题，熟练掌握抛物线的方程及性质是解题关键.11.已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围为________．【答案】[2,6]【解析】【分析】先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，设,4)P θθ+，利用数量积运算结合三角函数的性质求解.【详解】因为圆的方程22(4)2x y +-=，所以其参数方程为：,4x R y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，设,4)P θθ，所以(4)2sin()44πθθθ⋅++=++u u u r u u u r OP OQ ，因为[]sin()1,14πθ+∈-，所以[2,6]⋅∈u u u r u u u r OP OQ .故答案为：[2,6]【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知动点A 在x 轴的非负半轴上，动点B 在y 轴的非负半轴上，且||2AB =，C 为AB 的中点，若点P 满足点集{|1}D P PC =≤，则D 所表示图形的面积为________．【答案】2π【解析】【分析】由条件可得1||||12OC A B ==，然后可得C 的轨迹方程为221(0,0)x y x y +=≥≥，然后由点集{|1}D P PC =≤得点P 对应的区域是由圆心在点C 的轨迹上，半径为1的动圆形成的区域，即由四分之一半径为2的圆的面积和两个半径为1的半圆面积构成，然后算出答案即可. 【详解】由题意，1||||12OC A B ==，于是可得C 的轨迹方程为221(0,0)x y x y +=≥≥ 由点集{|1}D P PC =≤得点P 对应的区域是由圆心在点C 的轨迹上，半径为1的动圆形成的区域，即由四分之一半径为2的圆的面积和两个半径为1的半圆面积构成.所以D 所表示图形的面积为2211224πππ⋅+⋅⋅=故答案为：2π【点睛】本题考查的是圆的相关知识，作出图形是解题的关键.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．13.已知向量(5,8)a =r ，1(2,3)e =-u r ，若向量a r 可以唯一表示为1e u r 、2e u u r 的线性组合，那么2e u u r 可以是（）．A. (0,0)B. (2,3)C. (2,3)-D. (6,9)-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量基本定理可得1e u r 、2e u u r 不共线，逐个对四个选项进行判断即可.【详解】∵a r 可以唯一表示为1e u r 、2e u u r 的线性组合，∴1e u r 、2e u u r 可以构成一组基底，即1e u r 、2e u u r 不共线，由向量共线的概念易得A ，C ，D 中的向量均与1(2,3)e =-u r 共线，B 中的选项和1(2,3)e =-u r 不共线，故选：B .【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.14.“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线3(1)(7)0x a y a +---=平行且不重合”的（）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】两个方面分析本题，分别当3a =时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a 的范围，结合充分条件、必要条件的概念即可得出结果.【详解】当3a =时，两直线分别为：3290x y ++=，3240x y ++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则3 1723a a aa≠=--，∴3a =，综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件，故选：C.【点睛】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式，属于中档题.15.已知数列{}n a ，{}n b （n *∈N ），如果数列{}n n a b +和{}n n a b -的极限均存在，那么在下列数列中，其极限不一定存在的数列是（）．A. {}n aB. {32}n n a b -C. {}n n a b ×D. n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】【分析】利用极限的运算法则与性质，结合反例，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列{}n n a b +和{}n n a b -的极限均存在，设数列{}n n a b +和{}n n a b -的极限分别为lim (),lim ()n n n n n n a b A a b B →+∞→+∞+=-=, 则1lim lim 2lim[()()]22n n n n n n n n n A B a a a b a b →+∞→+∞→+∞+==++-=，所以A 正确；又由1lim lim 2lim[()()]22n n n n n n n n n A B b b a b a b →+∞→+∞→+∞-==+--=，所以5lim (32)lim 3lim 232222n n n n n n n A B A B A B a b a b →+∞→+∞→+∞+-+-=-=⨯-⨯=，所以B 正确；由221lim lim lim lim 2222n n n n n n n n n n A B A B A B a b a b a b →+∞→+∞→+∞→+∞+--⋅=⋅=⋅=⨯=,所以C 正确；对于D 中，例如211,n n a b n n ==，可得n n a n b =，此时数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的极限不存在. 故选：D.【点睛】本题主要考查数列的极限的定义，以及数列的极限的运算法则的应用，其中解答中熟记极限的运算法则，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，若四点1(1,1)P ，2(0,1)P，3(P -，4P 中恰有三点在椭圆Γ上，则不在Γ上的点为（）．A. 1PB. 2PC. 3PD. 4P 【答案】A【解析】【分析】由3(P -，4P 关于y 轴对称，利用椭圆的对称性，椭圆必经过3P ，4P ，得到221314a b +=，再根据2222111314a b a b +>+=，得到椭圆不经过1P 的结论.【详解】因为3(P -，4P 关于y 轴对称，所以椭圆经过3P ，4P ，所以221314a b+=，当2P 在椭圆上时，211b =，解得221,4b a ==，椭圆方程为：2214x y +=成立. 因为2222111314a b a b +>+=，所以椭圆不经过1P ，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17.将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++L L 的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++=L L ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++=L L ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立．【答案】①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++L L ； ⑥：21k +；⑦：2(1)k +【解析】【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案.【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=L L ，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=L L ．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++L L()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立.故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++L L ；⑥：21k +；⑦：2(1)k +【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力.18.已知等差数列{}()n a n N *∈，n S 为其前n 项和，1a t =，46a t =-，其中t R ∈．（1）求10a 及10S （用t 表示）；（2）在1S ，2S ，…，n S 中，有且只有8S 的值最大，求t 的取值范围．【答案】（1）1018a t =-，101090S t =-；（2）()14,16t ∈【解析】【分析】（1）根据1a t =，46a t =-求出公差，根据等差数列的通项公式和前n 项和公式即可求出结果；（2）由题意易得8900a a >⎧⎨<⎩，列出关于t 的不等式组解出即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1a t =，46a t =-∴4163a a d -=-=，即2d =-，∴101918a a d t =+=-，110102181010109022a a t S t +-=⨯=⨯=-. （2）∵在1S ，2S ，…，n S 中，有且只有8S 的值最大，∴8900a a >⎧⎨<⎩即140160t t ->⎧⎨-<⎩，解得1416t <<，即t的取值范围()14,16.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式和前n项和公式中基本量的计算，等差数列中前n项和中最大值问题，属于基础题.19.已知圆22:4210C x y x y+---=．（1）求y轴被圆C所截得的线段的长；（2）过圆C圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S，求S的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）将0x=代入22:4210C x y x y+---=可得2210y y--=，将线段长为12y y-=和韦达定理相结合即可得出结果；（2）设:1(,0)x yl a ba b+=>，由直线过圆心可得211a b=+，利用基本不等式可得8ab≥，最后根据三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1）设圆22:4210C x y x y+---=与y轴的交点为()10y,，()20,y，将0x=代入22:4210C x y x y+---=可得2210y y--=，即122y y+=，121y y⋅=-，所以y轴被圆C所截得的线段的长为12y y-==（2）设:1(,0)x yl a ba b+=>，由于l过(2,1)C，∴211a b=+，利用基本不等式，得2118aba b=+≥≥，∴142S ab=≥，即S的最小值为4，此时4,2a b==，:142x yl+=，即:240l x y+-=【点睛】本题主要考查了直线截圆所得弦长问题，直线截距式的应用，利用基本不等式求最值，属于中档题.20.已知双曲线2222:1(,0)x ya ba bΓ-=>，O为坐标原点．（1）若Γ为等轴双曲线，且Γ的右焦点F到点O的距离为2，求Γ的方程；（2）a =b =设斜率为1的直线l 交Γ于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，若l 与圆222(0)x y r r +=>相切，求r 的值．【答案】（1）22122x y -=；（2）r =【解析】【分析】（1）由等轴双曲线的概念可得a b =，由右焦点F 到点O 的距离为2可得2c =，结合222c a b =+得到,a b 的值，进而得到结果；（2）设直线:l y x m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将直线方程代入双曲线方程，将OP OQ ⊥与韦达定理相结合可得m 的值，结合圆心到直线的距离等于半径即可得结果.【详解】（1）∵Γ为等轴双曲线，∴a b =，又∵右焦点F 到点O 的距离为2，∴2c =，结合222c a b =+，得出a b ==∴Γ的方程22122x y -=. （2）22:123x y Γ-=，设直线:l y x m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y 将直线方程代入双曲线方程，并化简得224(26)0x mx m --+=，则212212244804(26)m x x m x x m ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-+⎩（*），∵OP OQ ⊥，∴2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，将（*）代入，得212m =，∴m =±直线与圆相切，可得r d ===【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系，韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已如椭圆222:1(0)9x y b bΓ+=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为Γ上的动点．（1）若b =P 的横坐标为0x ，试用解析式将1||PF 表示成0x 的函数；（2）试根据b 的不同取值，讨论满足12F F P V 为等腰锐角三角形的点P 的个数．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设00(,)P x y ，写出椭圆的方程及1F 的坐标，利用两点间的距离公式求出1PF 的表达式，点P 坐标代入椭圆方程用0x 表示出0y ，即可进一步将1||PF 表示成0x 的函数；（2）作出图1至图5的图象，其中图2与图4为临界情况，分别求出图2与图4所对应的b 值，即可得出结论.【详解】（1）设00(,)P x y ，其中2200195x y +=，0[3,3]x ∈-，由952c =-=得左焦点1(2,0)F -，则222201000||(2)(2)5(1)9x PF x y x =++=++- 20000042249|3|3,[3,3]933x x x x x =++=+=+∈-；（2）图1至图5分别对应P 点为2个，2个，6个，4个，4个的情况，其中图2与图4为临界情况，如图2：312P F F △等腰直角三角形（1232F F P π∠=），设31(,)P c y ，则2221121199y c c y b b +=⇒=-， 1232||||F F P F =Q ，2219c c b ∴=-，又229b c +=，可得42363240b b +-=，解得218218b =-，则18218b =-；如图4：112F P F △为等腰直角三角形（1122F P F π∠=），由12OP OF =得b c =，又229b c +=，所以32b c ==.所以①b∈，点P的个数为2；②b∈，点P的个数为6；③b∈，点P的个数为4．【点睛】本题考查椭圆的几何性质、椭圆中的焦点三角形形状问题，分析出临界情况是解题关键，涉及两点间的距离公式，属于较难题.。

上海市徐汇区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2017-2018学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的倾斜角．【分析】根据所给的直线3x﹣4y﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα=，α∈[0，π]，∴α=arctan，故答案为：arctan．2．若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．3．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4．行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【考点】三阶矩阵．【分析】由题意可知求得A12=﹣=k+4，代入即可求得k的值．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．5．以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y ﹣5）2=17．【考点】圆的标准方程．【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．6．若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程．【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．7．在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．故答案为．8．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．9．在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．10．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】Rt△PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF1F2面积为16，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．11．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．12．在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【考点】轨迹方程．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A15．已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】交集及其运算．【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．16．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…18．已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：19．如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、B的纵坐标，S△ABC=|OA|•|y B﹣y C|，代入数值即可求得面积．【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，∴S△ABC=|OA|•|y B﹣y C|=×2=6，△ABC的面积为6．20．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；双曲线的标准方程．【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；（2）设点P的坐标，根据∠F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．21．对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【考点】曲线与方程．【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．2018年9月6日。

上海市高二上学期期末数学试卷

上海市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知是直线的倾斜角，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是（）A .B . 2C .D .3. （2分）如图，一圆形纸片的圆心为O, F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD, 设CD与OM交于P, 则点P的轨迹是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆4. （2分） (2018高一下·三明期末) 已知直线经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·江西期中) 若实数数列：成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）A . 或B . 或C .D . 或106. （2分） (2016高一下·大连期中) 若直线l1：ax+2y+6=0与直线平行，则a=（）A . .2或﹣1B . .2C . ﹣1D . 以上都不对7. （2分） (2019高三上·清远期末) 平行于直线，且与圆相切的直线的方程是（）A .B .C .D .8. （2分）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面是侧棱长为3的等腰三角形，则二面角的余弦值的大小为（）A .B .C .D .9. （2分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中不正确的是（）A . 圆M的圆心为（4，﹣3）B . 圆M被x轴截得的弦长为8C . 圆M的半径为25D . 圆M被y轴截得的弦长为610. （2分） (2016高二上·大连开学考) 已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y= 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为（）A . 150°B . 135°C . 120°D . 不存在11. （2分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A . 5B . +C . 7+D . 612. （2分） (2015高二上·天水期末) 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， CA=2CB，CC1=3CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一上·秦安期末) 经过直线l1：2x+3y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣3=0的交点且平行于直线2x+y ﹣3=0的直线方程为________．14. （1分）若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则 ________.15. （1分）(2019·镇江模拟) 已知A ， B为圆C: 上两个动点，且AB=2，直线 :，若线段AB的中点D关于原点的对称点为D′，若直线上任一点P ，都有，则实数的取值范围是________.16. （1分）如图，O为原点，从椭圆的左焦点F引圆x2+y2=4的切线FT交椭圆于点P，切点T 位于F、P之间，M为线段FP的中点，M位于F、T之间，则|MO|﹣|MT|的值为________三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2015高一下·厦门期中) 已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边上的高线所在的直线方程；（2）求三角形ABC的面积．18. （5分）如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和 .19. （5分） (2017高一下·安庆期末) 已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．20. （10分）(2017·陆川模拟) 已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．21. （10分）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC= ，AB=2，AC=2，PA=2．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．22. （15分） (2019高二上·河南月考) 已知圆的圆心为，且直线与圆相切，设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，切点为 .（1）求圆的标准方程；（2）若，试求点的坐标；（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程.23. （15分） (2020高一下·大兴期末) 如图所示，在正方体中， .（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）用一张正方形的纸把正方体完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积.（结果不要求证明）24. （10分） (2019高二上·吉林月考) 已知椭圆：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足，，求面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、。

上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析

上海市2016-2017学年高二上期末数学试卷含答案解析高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1.椭圆x^2/25 + y^2/6.25 = 1的长轴长为10.2.已知直线l的一个方向向量的坐标是(3.4.-5)，则直线l的倾斜角为53.13°。

3.已知二元一次方程组2x + 3y = 1.4x + ky = 2的增广矩阵是[2 3 1.4 k 2]，则此方程组的解是x = (2 - 3k)/(2k - 12)，y = (4 - 2x)/k。

4.行列式中-3的代数余子式的值为-1.5.已知△ABC的三个顶点分别为A(1.2)，B(4.1)，C(3.6)，则AC边上的中线BM所在直线的方程为x + 2y = 5.6.已知直线l1的方程为3x - y + 1 = 0，直线l2的方程为2x + y - 3 = 0，则两直线l1与l2的夹角是45°。

7.用数学归纳法证明“1 + 2 + … + n < n(n+1)/2（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是k+1.8.执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是12.9.若圆C的方程为x^2 + y^2 - 2ax - 1 = 0，且A(-1.2)，B(2.1)两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是(1.2)。

10.若x^2 + 2ax + 1 = 0，且存在y，使得y^2 + 2ay + 1 = 0，则实数a的取值范围是(-∞。

-1)∪(-1.0)∪(0.+∞)。

11.已知直线l1过点P(1.4)且与x轴交于A点，直线l2过点Q(3.-1)且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且PA = QB，则点M的轨迹方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0.12.如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则∠APB的取值范围是(90°。

2017-2018学年上海市浦东新区高二上学期期末考试数学试题扫描版

浦东新区2017学年度高二数学第一学期期末质量抽测评分标准一、填空题（每小题3分，共36分）1．1； 2．()43,； 3． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-813521；4．34； 5．15； 6．22； 7．21c c ++；8. 8； 9．1121+-n ； 10．()10,； 11．2； 12．112231+-⨯-n n . 二、选择题（每小题3分，共12分）13. C ； 14. B ； 15. B ； 16．D ．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）解：（1）因为圆心O 到直线l 的距离1312030=+-⨯+=d ，…………………2分所以弦长2AB ==.………………………………2分（2）弦AB 的垂直平分线的方程可设为03=+-c y x ，……………………2分由圆的性质知，弦AB 的垂直平分线经过圆心O ，所以，0=c ，………1分所以，弦AB 的垂直平分线的方程为03=-y x .…………………………1分 18．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）因为θ=⋅cos ，…………………………………………………2分所以，向量在向量521232=++==θcos .…3分（2）因为()k ,k k 213--=-=，且()21,=，…………………………2分因为⊥，所以，0=⋅，即，()()021231=-⨯+-⨯k k ，解得，1=k ，此时，()12-=,.…………………………………………………3分 19．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）显然直线l 的斜率k 存在且0<k ，设l ：()21+-=x k y ，得⎪⎭⎫⎝⎛-021,k A ，()k ,B -20.………………………………2分则，⎪⎭⎫⎝⎛=22,k ，()k ,--=1，由3=，得，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=k k 3232，即32-=k ………………………………………………………2分所以，所求直线l 的方程为()2132+--=x y 或写成0432=-+y x .………1分（2）由题意知，OB OA S AOB 21=∆()k k -⎪⎭⎫⎝⎛-=22121 ()44212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=k k ()0<k ，…………………………………………2分则()44=⎪⎭⎫⎝⎛-+-k k ，解得2-=k . …………………………………………2分此时直线l 的方程为()212+--=x y 或写成280x y +-=.………………1分 20．（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）解：（1）由⎩⎨⎧=+=+1854510811d a d a ，解得⎩⎨⎧==351d a ，………………………………3分所以，()23315+=⨯-+=n n a n . ……………………………………………2分（2）只要把a k =3k+2在数列{}n b 的第几项确定，而{}n b 其余的项都是3，那么{}n b 确定了。

上海市2017—2018学年高二上学期期末模拟考试卷(二)

上海市2017—2018学年高二上学期期末模拟考试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．2．已知复数z与（z+2）2+5均为纯虚数，则复数z=．3．已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．4．若圆C经过点A（1，2）及点B（3，1），且以AB为直径，则圆C的标准方程为．5．已知|z|=1，则的取值范围是．6．抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为．7．已知直线x﹣y﹣1=0与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|=．8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为．9．与椭圆有相同的焦点且以y=为渐近线的双曲线方程为．10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．11．已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是．12．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为．13．已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B （1，0）}，则表示M∩N的图形面积为．14．关于曲线，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y=0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；⑤曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．已知直线，则下列说法错误的是（）A．直线的倾斜角为B．直线必过点C．当t=1时，直线上对应点到点（1，2）的距离是D．直线不经过第二象限17．若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或218．F1，F2分别是双曲线的左右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则的值为（）A．2 B．C． D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．已知复数z满足z=﹣4．（1）求复数z的共轭复数；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．20．已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．21．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．22．设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；（2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）n a（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于，求实数x0的取值范围．23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案一、填空题1．解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4∴=1∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）2．解：设z=bi（b∈R，b≠0），∵（z+2）2+5=（bi+2）2+5=9﹣b2+4bi为纯虚数，∴，解得b=±3，∴z=±3i．故答案为：±3i．3．解：设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．则=a﹣b=0，∴=tanα，∴α=，故答案为：．4．解：∵A （1，2），B （3，1），设圆心为C ，∴圆心C 的坐标为C （2，）；∴|AC |=，即圆的半径r=，则以线段AB 为直径的圆的方程是（x ﹣2）2+（y ﹣）2=．故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣）2=．5．解：∵|z |=1，∴|z |﹣|1﹣i |≤|z ﹣1+i |≤|z |+|1﹣i |，即﹣1≤|z ﹣1+i |≤3，故答案为：[﹣1，3]．6．解：椭圆的右焦点，（3，0），则抛物线的p=6，物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，所求抛物线方程为：y 2=12x ．故答案为：y 2=12x ．7．解：抛物线的焦点坐标（1，0），直线x ﹣y ﹣1=0经过抛物线的焦点．联立方程组，得x 2﹣6x +1=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=6，x 1•x 2=﹣1，k=1， ∴|AB |=x 1+x 2+p=8．故答案为：8．8．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由图象可知当点M 位于A 时，直线的斜率最小，由，解得，即A （3，﹣1），∴OM的斜率k=，故答案为：．9．解：∵椭圆的焦点为（5，0）（﹣5，0），故双曲线中的c=5，且满足∴所以双曲线的方程为．故答案为：．10．解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1，故答案为： +1．11．解：联立函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m得x=1±．当x=1﹣时，y=1﹣m，当x=1+时，y=1+m，设动点P（x，y），则=（1﹣﹣x，1﹣m﹣y），=（1+﹣x，1+m﹣y），则+=（2﹣2x，2﹣2y），由|+|=2，得（2﹣2x）2+（2﹣2y）2=4，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，∴P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．12．解：∵动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，∴，化为|a﹣b|+|a+b﹣2|=4．分为以下4种情况：或或或．可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．可知：当取点A时，取得最大值=．∴a2+b2的最大值为18．故答案为：18．13．解：建立坐标系：M 为直线y=x ﹣1和y=x ﹣3之间的点的集合（含线上的点），设P 点的坐标为（x ，y ）则可将PA ≥PB 表示成：≥，∴（x +1）2+y 2≥2[（x ﹣1）2+y 2]， ∴（x ﹣3）2+y 2 ≤8，即N 集合为以（3，0）为中心，半径为2的圆内的点的集合，则直线y=x ﹣3经过圆心F ，过圆心F 做FE ⊥CD ，垂足为E ，联立方程组得到，解得x=2±，y=1±，则D （2﹣，1﹣），C （2+，1+），∴|CD |2=（2+﹣2+）2+（1+﹣1+）2=24，即CD=2，∴CE=CD=，在直角三角形CEF 中，sinCFE===，∴∠CFE=60°， ∴∠CFD=120°，∴S 扇形CFD =π×8=π，S △CFD =CF•DF•sin120°=×8×=2，∴S 弓形=S 扇形CFD ﹣S △CFD =π﹣2，∵S 半圆=π×8=4π，∴S M ∩N 的图形=S 半圆﹣S 弓形=4π﹣（π﹣2）=π+2，故答案为：π+2．14．解：对于①，将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，故①正确；对于②，将方程中的x换成﹣y，y换成﹣x方程不变，故②正确；对于③，由方程得x2＞1，y2＞1，故曲线C不是封闭图形，故③错；对于④，联立曲线圆x2+y2=2，方程组无解，无公共点，故④正确；对于⑤，当x＞0，y＞0时，联立曲线C与x+y=2只有一解（），根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，正确．故答案为：①②④⑤二、选择题15．解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．16．解：直线，普通方程为3x﹣4y﹣25=0，直线的倾斜角为arctan；x=1时，y=﹣，直线不经过第二象限，故选C．17．解：将直线ax+by﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（a2+b2）y2﹣6by+9﹣3a2=0．令△＜0得，a2+b2＜3．又a、b不同时为零，∴0＜a2+b2＜3．由0＜a2+b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，∵椭圆方程知长半轴a=2，短半轴b=，∴可知P（a，b）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆=1的公共点有2个．故选：C．18．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a，又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e===．故选：B．三、解答题19．解：（1），∴．（2）w=﹣8+（2+a）i，∴，，∵|w|≤|z|，则68+4a+a2≤68，a2+4a≤0，﹣4≤a≤0，所以，实数a的取值范围是：﹣4≤a≤0．20．解：（1）线段AB的垂直平分线为2x+y﹣9=0与直线x﹣2y﹣2=0联立可得圆心C（4，1），…∴半径r=5，故所求圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．…（2）当直线l的斜率不存在时，x=0显然满足题意；…当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx，∵弦长为6，∴圆心C到直线l的距离d=4，…即，解得，此时直线l：15x+8y=0，…故所求直线l的方程为x=0或15x+8y=0．…21．解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时=3，直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．22．解：（1）β是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，则，所以m=4（2）方法1：①当n为奇数时，|α+3|﹣|α﹣3|=2a，常数），轨迹C1为双曲线，其方程为，x≥a；②当n为偶数时，|α+3|+|α﹣3|=4a，常数），轨迹C2为椭圆，其方程为；依题意得方程组解得a2=3，因为，所以，此时轨迹为C1与C2的方程分别是：，x≥，．方法2：依题意得轨迹为C1与C2都经过点，且点对应的复数，代入上式得，即对应的轨迹C1是双曲线，方程为；对应的轨迹C2是椭圆，方程为．（3）由（2）知，轨迹C2：，设点A的坐标为（x，y），则=，当即时，当即时，，综上或．，23．解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．。

2017-2018学年上海市嘉定区高二(上)期末数学试卷及参考答案

2017-2018学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）与同方向的单位向量＝．2．（3分）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是．3．（3分）线性方程组的增广矩阵是．4．（3分）根据下列框图，写出所打印数列{a n}的递推公式：．5．（3分）已知首项a1＝2的无穷等比数列的各项和等于3，则数列{a n}的公比等于．6．（3分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线l：x﹣y+m＝0对称，则实数m＝．7．（3分）已知直线l：y＝kx+2与两点A（﹣4，1）、B（1，﹣1）．若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．8．（3分）经过点（﹣3，4）且与圆x2+y2＝25相切的直线方程是．9．（3分）若a ij表示n×n阶矩阵中第i行第j列的元素（i，j＝1，2，3，…，n）．若a ij＝200，则（i，j）＝．10．（3分）数列{a n}满足a n+1＝2（a n﹣1），n∈N*．若a2018≥a1，则a1的取值范围是．11．（3分）设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y）．则|P A|•|PB|的最大值是．12．（3分）已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值不小于，则的取值范围是．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）数列{a n}中，，则＝（）A．0B．1C．0或1D．不存在15．（3分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by＝0与圆C：x2+y2+ax+by＝0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知．若与平行，求实数λ的值．18．（10分）解关于x，y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论．19．（10分）已知过点A（0，1）的动直线l与圆C：（x﹣3）2+y2＝4相交于P、Q两点．（1）当时，求直线l的方程；（2）设动点M满足，求点M的轨迹方程．20．（12分）已知方程x2+y2+2x﹣4y+m＝0的曲线是圆C．（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y﹣1＝0与圆C相交于M、N两点，且（O为坐标原点），求实数m的值；（3）当m＝4时，设T为直线n：2x﹣y﹣1＝0上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足：，2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n﹣a n}是等比数列；（3）求证：数列{b n}是递增数列；若当且仅当n＝3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．2017-2018学年上海市嘉定区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）与同方向的单位向量＝．【解答】解：||＝＝5，故与同方向的单位向量＝，故答案为：．2．（3分）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是．【解答】解：设直线l的倾斜角是θ，可得：tanθ＝，θ∈[0，π），解得θ＝．故答案为：．3．（3分）线性方程组的增广矩阵是．【解答】解：线性方程组的增广矩阵是．故答案为：．4．（3分）根据下列框图，写出所打印数列{a n}的递推公式：，n∈N*．【解答】解：根据首次打印确定数列{a n}的首项：a1＝1，然后根据程序图中：“A←A*2，A←（A+1）”得出：当n≥2时，a n＝2a n﹣1+1，得出数列的递推公式，最后利用分段函数的形式写出a n，即所打印数列的递推公式，n∈N*，故答案为：，n∈N*，5．（3分）已知首项a1＝2的无穷等比数列的各项和等于3，则数列{a n}的公比等于．【解答】解：设数列{a n}的公比为q，∵首项a1＝2的无穷等比数列的各项和等于3，∴＝＝3，解得数列{a n}的公比q＝．故答案为：．6．（3分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线l：x﹣y+m＝0对称，则实数m＝3．【解答】解：依题意圆心（﹣1，2）在直线l：x﹣y+m＝0上，∴﹣1﹣2+m＝0，∴m＝3，故答案为：3．7．（3分）已知直线l：y＝kx+2与两点A（﹣4，1）、B（1，﹣1）．若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是．【解答】解：直线l：y＝kx+2经过定点P（0，2），k AB＝＝，k PB＝＝﹣3．∵直线l与线段AB相交，∴实数k的取值范围是为：．故答案为：．8．（3分）经过点（﹣3，4）且与圆x2+y2＝25相切的直线方程是3x﹣4y+25＝0．【解答】解：∵点P（﹣3，4）在圆x2+y2＝25上，∴过点P（﹣3，4）且与圆x2+y2＝25相切的直线与OP垂直，而，∴所求直线的斜率为，则所求切线方程为，即3x﹣4y+25＝0．故答案为：3x﹣4y+25＝0．9．（3分）若a ij表示n×n阶矩阵中第i行第j列的元素（i，j ＝1，2，3，…，n）．若a ij＝200，则（i，j）＝（15，4）．【解答】解：，有4个数，有9个数，有25个数，故n矩阵有n2个数，因为142＝196，152＝225，所以a ij＝200属于第25个矩阵，即i＝15，其奇数行从左到右是逐渐递增的，196+4＝200，故j＝4，故（i，j）＝（15，4）故答案为；（15，4）10．（3分）数列{a n}满足a n+1＝2（a n﹣1），n∈N*．若a2018≥a1，则a1的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：由a n+1＝2（a n﹣1），n∈N*得a n+1＝2a n﹣2，n∈N*，所以a n+1﹣2＝2（a n﹣2），n∈N*．若a1＝2，则a n＝2，n∈N*，符合题意；若a1≠2，则数列{a n﹣2}是以a1﹣2为首项、以2为公比的一个等比数列，则得，即，n∈N*．所以．因为a2018≥a1，所以，即．又因为22017﹣1＞0，所以a1﹣2≥0，解得a1≥2，因此a1＞2．综上，所求a1的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．11．（3分）设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y）．则|P A|•|PB|的最大值是5．【解答】解：由题意可知，动直线x+my＝0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3＝0即m（x﹣1）﹣y+3＝0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my＝0和动直线mx﹣y﹣m+3＝0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有P A⊥PB，∴|P A|2+|PB|2＝|AB|2＝10．故|P A|•|PB|≤＝5（当且仅当时取“＝”）故答案为：512．（3分）已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值不小于，则的取值范围是（0，]．【解答】解：设，则．因为，所以点C在直线AB上，因此f（λ）的最小值m即为||的最小值．当CP⊥AB时，最小，所以，f（λ）的最小值m即为点P到直线AB的距离，且当m最大时，CP过圆心O，如右图所示．又因为m的最大值不小于，所以，||＝2||＝2≤2＝，因此的取值范围是，故答案为：（0，]．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2＝ac；若b＝0，a＝2，c＝0，满足b2＝ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．故选：B．14．（3分）数列{a n}中，，则＝（）A．0B．1C．0或1D．不存在【解答】解：数列{a n}中，，则＝＝＝＝1．故选：B．15．（3分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by＝0与圆C：x2+y2+ax+by＝0的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定【解答】解：由圆C：x2+y2+ax+by＝0得圆心C（﹣，﹣），半径r＝＝，∵圆心C到直线l距离d＝＝＝r，所以直线l：：ax+by＝0与圆C：x2+y2+ax+by＝0的位置关系是相切．故选：C．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD＝＝∴BC•CD＝BD•r，∴r＝，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵＝λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μ＝cosθ+sinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知．若与平行，求实数λ的值．【解答】解：由，得，，∵与平行，∴3（1﹣2λ）＝2+2λ，解得：．∴实数λ的值等于．18．（10分）解关于x，y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论．【解答】（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题（5分），第2小题（5分）．解：，．…（3分）当m≠±1时，D≠0，原方程组有唯一解…（5分）当m＝﹣1时，D＝0，D x≠0，原方程组无解．…（7分）当m＝1时，D＝0，D x＝0，D y＝0，原方程组有无穷多组解．这时原方程组为令x＝t（t∈R），则原方程组的解可表示为…（10分）19．（10分）已知过点A（0，1）的动直线l与圆C：（x﹣3）2+y2＝4相交于P、Q两点．（1）当时，求直线l的方程；（2）设动点M满足，求点M的轨迹方程．【解答】（本题满分10分）（1）解：由题意知，圆C的圆心坐标是（3，0），半径为2．若直线l的斜率不存在，直线l的方程是x＝0，圆心C到直线l的距离d＝|3﹣0|＝3＞2，此时直线l与圆C相离．不符合题意；…（1分）若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0．由题意得，圆心C到直线l的距离，所以．…（3分）化简得8k2+6k＝0，解得．所以所求直线l的方程分别为y＝1或3x+4y﹣4＝0．…（5分）（2）解：设M（x，y），则．…（7分）由题意动点M满足，得（﹣x）•（3﹣x）+（1﹣y）•（﹣y）＝﹣1，化简得x2+y2﹣3x﹣y+1＝0．所以点M的轨迹方程是x2+y2﹣3x﹣y+1＝0．…（10分）20．（12分）已知方程x2+y2+2x﹣4y+m＝0的曲线是圆C．（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y﹣1＝0与圆C相交于M、N两点，且（O为坐标原点），求实数m的值；（3）当m＝4时，设T为直线n：2x﹣y﹣1＝0上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值．【解答】解：（1）由x2+y2+2x﹣4y+m＝0，得（x+1）2+（y﹣2）2＝5﹣m．由5﹣m＞0，解得m＜5．∴所求实数m的取值范围是（﹣∞，5）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＝1﹣2y1，x2＝1﹣2y2，得x1x2＝（1﹣2y1）（1﹣2y2），即x1x2＝1﹣2（y1+y2）+4y1y2．由，得x1x2+y1y2＝0，则1﹣2（y1+y2）+5y1y2＝0，①联立，得5y2﹣12y+3+m＝0．由，解得．于是．代入①得，解得，符合题意．∴所求实数m的值等于；（3）当m＝4时，圆C的方程为x2+y2+2x﹣4y+4＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝1，∴圆C的圆心坐标是（﹣1，2），半径是1．由于TG、TH为圆C的两条切线，∴．又，而|CT|的最小值为点C到直线n的距离d．∵，∴．因此四边形TGCH面积的最小值是2．21．（12分）已知数列{a n}满足：，2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N*），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n﹣a n}是等比数列；（3）求证：数列{b n}是递增数列；若当且仅当n＝3时，S n取得最小值，求b1的取值范围．【解答】（1）解：∵2a n＝a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N*）．∴a2﹣a1＝a3﹣a2＝a4﹣a3＝…，∴数列{a n}是等差数列．设等差数列{a n}的公差为d．又，∴，∴a n＝＝n﹣．（2）证明：∵3b n﹣b n﹣1＝n（n≥2，n∈N*），∴，由（1）得，于是＝．∵b1＜0，∴，∴{b n﹣a n}是以为首项、以为公比的一个等比数列．（3）证明：由（2）得，由（1）得，∴．于是当n≥2，n∈N*时，．又b1＜0，∴b n﹣b n﹣1＞0．∴{b n}是递增数列．当且仅当n＝3时，S n取得最小值，∴．即，解得b1∈（﹣47，﹣11）．∴所求b1的取值范围是（﹣47，﹣11）．。

沪教版高二上期末数学试卷2(附答案及详细解析)

沪教版高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置.）1．（3分）已知数列{a n}是等差数列，若a1＝2，a3＝5，则a7＝．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝．3．（3分）无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为．4．（3分）三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为．5．（3分）若点A（1，1）、B（2，0）在直线l：y＝kx的两侧，则实数k取值范围为．6．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，则输出a的值为．7．（3分）若向量与的夹角为120°，且||＝1，||＝1，则||＝．8．（3分）若直线l的一个方向向量是＝（1，﹣），则直线l的倾斜角是．9．（3分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝（k∈N*），则数列{a n}的前2n项和S2n＝．10．（3分）如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC的中点，若＝+（λ，µ∈R），则λ+µ＝．11．（3分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝+，＝+，＝+，按此规律，＝（n ≥3，n∈N*）．12．（3分）已知向量、、共面，是单位向量，若向量满足﹣8•+15＝0，向量与的夹角为，则||的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的13．（3分）已知直线l1与l2的斜率存在，且分别为k1、k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分也不是必要条件14．（3分）数列{a n}中，a n＝（n∈N*），则＝（）A．0B．0或2C．2D．不存在15．（3分）在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）16．（3分）已知圆O的方程为x2+y2＝r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，设以P为中点的弦所在的直线为m，方程为ax+by＝r2的直线为n，则（）A．m∥n，且n与圆O相交B．m∥n，且n与圆O相离C．m⊥n，且n与圆O相交D．m⊥n，且n与圆O相离三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知向量＝3﹣，＝2+，其中，是互相垂直的单位向量．（1）求向量在向量方向上的投影；（2）设向量＝﹣，＝λ+，若⊥，求实数λ的值．18．（10分）已知直线l1：mx+2y＝m+1，l2：x﹣y＝n．（1）若直线l1与l2重合，求实数m，n的值；（2）若直线l1与圆x2+y2＝1相切，求实数m的值．19．（10分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．20．（10分）如图1，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度ν（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．（1）为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应向什么方向行驶？（精确到1°）（2）海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点M出发才能行程最短？（如图2建立坐标系，用坐标表示点M的位置）21．（14分）若数列{a n}满足：对任意n∈N*，都有≤≤2，则称{a n}为“紧密”数列．（1）设某个数列为“紧密”数列，其前5项依次为1、、、x、，求x的取值范围．（2）若数列{b n}的前项和S n＝（n2+3n）（n∈N*），判断{b n}是否为“紧密”数列，并说明理由．（3）设{c n}是公比为q的等比数列，前n项和为T n，且{c n}与{T n}均为“紧密”数列，求实数q的取值范围．沪教版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.答案填在答题纸相应位置.）1．（3分）已知数列{a n}是等差数列，若a1＝2，a3＝5，则a7＝11．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a1＝2，a3＝5，∴d＝＝＝，a7＝a1+6d＝2+6×＝11．故答案为：11．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝2．【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：，将解代入上面方程组，可得：．∴a+b＝2．故答案为：2．3．（3分）无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，则{a n}的各项的和为3．【解答】解：{a n}的各项的和为：＝＝3．故答案为：3．4．（3分）三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为4．【解答】解：三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为：（﹣1）1+1＝0﹣（﹣4）＝4．故答案为：4．5．（3分）若点A（1，1）、B（2，0）在直线l：y＝kx的两侧，则实数k取值范围为（0，1）．【解答】解：∵点A（1，1）、B（2，0）在直线l：y＝kx即kx﹣y＝0的两侧，∴（k﹣1）（2k﹣0）＜0，即k（k﹣1）＜0，得0＜k＜1，即实数k的取值范围是（0，1），故答案为：（0，1）6．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，则输出a的值为15．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1执行循环体，a＝3不满足条件a＞10，执行循环体，a＝7不满足条件a＞10，执行循环体，a＝15此时，满足条件a＞10，退出循环，输出a的值为15．故答案为：15．7．（3分）若向量与的夹角为120°，且||＝1，||＝1，则||＝．【解答】解：由向量与的夹角为120°，且||＝1，||＝1，则•＝||||cos120°＝﹣，所以||＝＝＝＝，故答案为：．8．（3分）若直线l的一个方向向量是＝（1，﹣），则直线l的倾斜角是．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ＝﹣，∴θ＝．故答案为：．9．（3分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝（k∈N*），则数列{a n}的前2n项和S2n＝n2+2n+1﹣2．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝（k∈N*），∴数列{a n}的前2n项和S2n＝[1+3+…+（2n﹣1）]+（2+22+23+…+2n）＝+＝n2+2n+1﹣2．故答案为：n2+2n+1﹣2．10．（3分）如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC的中点，若＝+（λ，µ∈R），则λ+µ＝．【解答】解：由平面向量的线性运算得：＝+，＝+，即λ＝（）+（+µ），所以：═（）+（+µ），又＝，又，不共线，由平面向量基本定理得：，即，故答案为：．11．（3分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：＝ +，＝ +，＝ +，按此规律，＝（n≥3，n∈N*）．【解答】解：由＝+，＝+，＝+，可推理出：＝，故答案为：．12．（3分）已知向量、、共面，是单位向量，若向量满足﹣8•+15＝0，向量与的夹角为，则||的最小值为1．【解答】解：设＝（1，0），＝＝（x，y），由﹣8•+15＝0得x2+y2﹣8x+15＝0，即（x﹣4）2+y2＝1，即点M的轨迹是以C（4，0）为圆心1为半径的圆，∵与的夹角为，∴设＝，则不妨设点N的轨迹为y＝x，则|﹣|＝|﹣|＝||的最小值为圆心C（4，0）到直线y＝x的距离减去半径1，即|﹣|min＝﹣1＝2﹣1＝1，故答案为：1．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的13．（3分）已知直线l1与l2的斜率存在，且分别为k1、k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分也不是必要条件【解答】解：∵两直线l1与l2对应的斜率分别为k1与k2，∴直线斜率垂直，此时若k1＝k2，则l1∥l2成立．若l1∥l2成立，则不重合的两直线k1＝k2，∴“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．故选：C．14．（3分）数列{a n}中，a n＝（n∈N*），则＝（）A．0B．0或2C．2D．不存在【解答】解：因为数列{a n}中，a n＝（n∈N*），则＝＝2．故选：C．15．（3分）在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n＝2n2+n时，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k+1时需要证明的等式为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）＝2（k+1）2+（k+1）．故选：D．16．（3分）已知圆O的方程为x2+y2＝r2，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，设以P为中点的弦所在的直线为m，方程为ax+by＝r2的直线为n，则（）A．m∥n，且n与圆O相交B．m∥n，且n与圆O相离C．m⊥n，且n与圆O相交D．m⊥n，且n与圆O相离【解答】解：直线OP的斜率为，由垂径定理可知，m⊥OP，所以，直线m的方程为，即ax+by＝a2+b2，由于点P是圆O内一点，则a2+b2＜r2，所以，m∥n，圆心O到直线n的距离为，因此，直线n与圆O相离，故选：B．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知向量＝3﹣，＝2+，其中，是互相垂直的单位向量．（1）求向量在向量方向上的投影；（2）设向量＝﹣，＝λ+，若⊥，求实数λ的值．【解答】解：根据题意得，＝，＝，•＝5，（1）向量在方向上的投影为×＝；（2）∵•＝0，∴2+（1﹣λ）•﹣2＝0，∴10λ+5（1﹣λ）﹣5＝0，∴λ＝0．18．（10分）已知直线l1：mx+2y＝m+1，l2：x﹣y＝n．（1）若直线l1与l2重合，求实数m，n的值；（2）若直线l1与圆x2+y2＝1相切，求实数m的值．【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+2y＝m+1，l2：x﹣y＝n，即﹣2x+2y＝﹣2n，若直线l1与l2重合，必有，解可得m＝﹣2，n＝；（2）若直线l1与圆x2+y2＝1相切，必有＝1，解可得：m＝．19．（10分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，若S3＝15，则S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，则d＝a2﹣a1＝5﹣2＝3，又由a n＝56，则有a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣1＝56，解可得：n＝19；（2）根据题意，b2＝a3＝a1+2d＝6，则q＝＝3，则T n＝＝＝3n﹣1．20．（10分）如图1，点A为半径为2千米的圆形海岛的最东端，点B为最北端，在点A的正东4千米C处停泊着一艘缉私艇，某刻，发现在B处有一小船正以速度ν（千米/小时）向正北方向行驶，已知缉私艇的速度为3v（千米/小时）．（1）为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应向什么方向行驶？（精确到1°）（2）海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养，问选择海岛边缘的哪一点M出发才能行程最短？（如图2建立坐标系，用坐标表示点M的位置）【解答】解：（1）根据题意，为了在最短的时间内拦截小船检査，缉私艇应该在OB的延长线上与小船相遇，设经过t小时，缉私艇在OB的延长线上拦截小船，此时CD＝3vt，OD＝vt+2，OC＝6，则有（3vt）2＝（vt+2）2+36，解可得：vt＝或﹣2（舍），此时CD＝，OD＝，则有tan∠DCO＝，则∠DCO＝36.8°，故缉私艇应向南偏东36.8°的方向行驶，（2）当OM与CD垂直时，行程最短，如图21．（14分）若数列{a n}满足：对任意n∈N*，都有≤≤2，则称{a n}为“紧密”数列．（1）设某个数列为“紧密”数列，其前5项依次为1、、、x、，求x的取值范围．（2）若数列{b n}的前项和S n＝（n2+3n）（n∈N*），判断{b n}是否为“紧密”数列，并说明理由．（3）设{c n}是公比为q的等比数列，前n项和为T n，且{c n}与{T n}均为“紧密”数列，求实数q的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：≤≤2，≤≤2，解得≤x≤；（2）由S n＝（n2+3n）（n∈N*），n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]＝n+，n＝1时，a1＝S1＝1，对于上式也成立．因此a n＝n+．∴＝＝1+．因为对任意n∈N*，0＜≤，即1＜1+≤，∴≤≤2（n∈N*），即数列{a n}是“紧密数列”；（3）由{c n}是公比为q的等比数列，得q＝，∵{c n}是“紧密数列”，∴≤≤2，①当q＝1时，T n＝nC1，＝＝1+，∵1＜1+≤2，∴q＝1时，数列{T n}为“紧密数列”，故q＝1满足题意．②当q≠1时，T n＝，则＝，∵数列{T n}为“紧密数列”，∴≤≤2，对任意n∈N*恒成立．（ⅰ）当≤q＜1时，（1﹣q n）≤1﹣q n+1≤2（1﹣q n），即，对任意n∈N*恒成立．∵0＜q n≤q＜1，0≤2q﹣1＜1，﹣≤q﹣2＜﹣1，∴q n（2q﹣1）＜q＜1，q n（q﹣2）≥q（q﹣2）≥×（﹣）＝﹣＞﹣1，∴当≤q＜1时，，对任意n∈N*恒成立．（ⅱ）当1＜q≤2时，（q n﹣1）≤q n+1﹣1≤2（q n﹣1），即，对任意n∈N*恒成立．∵q n≥q＞1，2q﹣1＞1，﹣1＜q﹣2≤0．∴，解得q＝1，又1＜q≤2，此时q不存在．综上所述，q的取值范围是[，1]．。

2017年七宝中学高二年级上学期期末考试数学试卷

2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空（每题4分，共48分）1、准线方程为10y +=的抛物线标准方程为 .【答案】24x y =【解析】由题意可知，准线方程为1y =-，开口向上，所以抛物线的标准方程为24x y =. 故答案为：24x y =.2、已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 圆的切线方程为 .【答案】250x y +-=【解析】由于点()1,2A 在圆225x y +=上，故过点A 且与圆相切的直线方程是250x y +-=.故答案为：250x y +-=.3、若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为 . 【答案】12-【解析】设斜率为k ，则直线的方程为()24y k x -=-，即240kx y k -+-=，代入椭圆的方程化简得()()22221416326464200k x k k x k ++-+--=，所以21223216814k k x x k -+==+，解得12k =-. 故答案为：12-.4、参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，且R θ∈）化为普通方程是 . 【答案】23y x =-+【解析】由22sin cos 1θθ+=得221y x -+=，化简得23y x =-+，[]1,1x ∈-故答案为：23y x =-+，[]1,1x ∈-.5、已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为 . 【答案】4【解析】由题意得，2493,a -=-解得4a =±，0,4a a >∴=Q .故答案为：4.6、设1F 和2F 为双曲线22421x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1260F PF ∠=o ，则12F PF V 的面积是 .【答案】2【解析】由双曲线焦点三角形面积公式21cotcot 30222S b θ==︒=.7、已知抛物线24y x =的焦点F 和点()1,1A ，点P 为抛物线上的动点，则PA PF +取得最小值时点P 的坐标为 .【答案】1,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】过点P 作PB 垂直于准线，过点A 作AH 垂直于准线，PA PF PA PB AH +=+≤, 此时最小，点P 与点A 纵坐标相同，所以点P 为1,14⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：1,14⎛⎫⎪⎝⎭.8、椭圆2211612x y +=上的点到直线2120x y --=的距离最大值为 .【答案】【解析】椭圆2211612x y +=的参数方程为4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩∴设点()4cos P θθ∴点P 到直线2120x y --=的距离d ==当cos 13πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d取得最大值，即max d ==.故答案为：9、双曲线22214x y b -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1126,0PF PF PF =⋅=u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线渐近线的夹角为 .【答案】2arctanπ-或2arctan 【解析】根据题意22PF =,由焦点三角形面积公式2121cot 4562S b PF PF =︒=⨯⨯=， ∴26b =，渐近线为y x =，夹角为π-或故答案为：2arctan 2π-或2arctan 3.10、已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 与圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程 .【答案】22=1412x y - 【解析】点M 到点P 的距离和点M 到点Q 的距离之差为常数4R =，则动点M 的轨迹是以P 、Q 为焦点，且24a =的双曲线，得2a =，4c =，所以轨迹方程为22=1412x y -.故答案为：22=1412x y -.11、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 .【答案】()2,4【解析】设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减，得()()()121212+4y y y y x x -=-，当l 的斜率不存在，即12x x =时，符合条件的直线l 必有两条，当l 的斜率k 存在，即12x x ≠时，有()()0121224y y y x x -=-，即02k y =当CM AB ⊥,得00052CM y y k x ==-，即03x =，因为点M 在抛物线内部，所以20412y x <=，又12x x ≠，所以120y y +≠，即20012y <<，因为点M 在圆上，所以()222005x y r -+=，即2204r y =+，所以2416r <<，即24r <<.故答案为：()2,4.12、已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +u u u r u u u r的最小值是 .【答案】1【解析】12l l ⊥，1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，P ∴轨迹为圆()()222+22x y --=，作垂线段CD AB ⊥,1CD =,+++22PA PB PC CA AC CB PC CD PD +==+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,结合图形可知，最小值为1.故答案为：1.二、选择题：（每题4分，共16分）13.当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（）【A 】.焦点在x 轴的椭圆【B 】.焦点在x 轴的双曲线【C 】.焦点在y 轴上的椭圆【D 】.焦点在y 轴上的双曲线【答案】D【解析】原方程可变形为x 2b a -y 2b a=1,∵a ,b 异号，\ba <0，所以此方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线。

精品解析：上海市七宝中学2017-2018学年高二上学期期末数学试题(解析版)

上海市七宝中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题1.将参数方程122x ty t=+⎧⎨=-⎩,(t R ∈,t 为参数)化为普通方程______________．【答案】250x y +-= 【解析】【分析】可将2y t =-左右同乘2，再消参即可求解普通方程【详解】2242y t y t =-⇒=-，结合12x t =+可得250x y +-= 故答案为：250x y +-=【点睛】本题考查参数方程转化成普通方程，属于基础题2.已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是______________．【答案】5【解析】【分析】可将椭圆的标准式转化为参数方程，再由点到直线距离公式求解即可【详解】由22194x y +=⇒对应参数方程为：3cos 2sin x y =⎧⎨=⎩θθ，由点到直线距离公式得d ==()sin 1+=-θϕ时，mind ==故答案为：5【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，属于中档题 3.123101011111111111392733C C C C -+-+--+除以5的余数是【答案】3【解析】试题分析：123101011111111111392733C C C C -+-+--+1111(13)2204820453=-+===+，它除以5余数为3．考点：二项式定理，整除的知识．4.如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm【答案】4π 【解析】【分析】根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为底面半径为1∴4= ∴圆锥的侧面积：144S ππ=⨯⨯=本题正确结果：4π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.5.甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到、、A B C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是______________．【答案】16【解析】【分析】可把甲乙看成一个整体，再分到三个社区，算出对应的方法种数，再由题意算出所有的分配种数，结合古典概型公式求解即可【详解】把甲乙看作一个整体，再与其他两人分到、、A B C 三个社区共有33A 种方法，而所有的分配方法有2343C A种，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是33234316A P C A == 故答案为：16【点睛】本题考查排列组合公式的应用，古典概型的求法，属于基础题6.在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，过A 作截面AEF ，交SB 于E ，交SC 于F ，则截面AEF 周长的最小值为__________．【答案】6 【解析】将棱锥的侧面沿侧棱SA 展开，如图，'AA 的长就是截面AEF 周长的最小值，由题意'120ASA ∠=︒，由等腰三角形的性质得'2cos3026AA SA =︒=⨯=.【点睛】立体几何中的最短距离问题，主要是空间几何体表面上的距离问题，解决此问题的方法是把几何体的表面（或侧面）展开，化空间问题为平面问题，利用平面上两点间线段最短的性质求解．这部分我们要着重掌握直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的性质以及展开的方法． 7.长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且AB BC 2==，1AA =A 、B 两点之间的球面距离为______．【答案】2π3【解析】【分析】利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB 所对球心角，利用弧长公式求出答案．【详解】由2AB BC ==，1AA =得114AC BD ===，∴长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径1122BO AO AC AB ==== ABO ∴为正三角形，∴3AOB π∠=，,A B ∴两点间的球面距离为π2π233⨯=，故答案为：2π3．【点睛】本题考查了长方体外接球问题，以及求两点球面距离，属于简单题．8.从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈，共有1mn C +种取法．在这1mn C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出的m 个球中白球1m -个，则共有01111m m n n C C C C -⋅+⋅种取法，即有等式：011111m m mn n n C C C C C -+⋅+⋅=．试根据上述思想化简下列式子：1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅= ．(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈．【答案】mn k C +【解析】解：在01122m m m k m kk n k n k n k n C C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅=中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n 个白球，k 个黑球的袋子里，取出m 个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k 球中取出m 个球的不同取法数mn k C +故答案为：mn k C +9.在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，90BAD ∠=︒ ，60A AB A AD ''∠=∠=︒ ，则AC '= __________．【解析】连接AC ，因为04,3,90AB AD BAD ==∠=，所以5AC =, 根据cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠''，即1cos 2A AC '=∠045A AC ∠='，则0135C CA ∠=', 而5,5AC AA '==,根据余弦定理得AC '=.点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间象限能力，计算推理的能力，属于中档试题，立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点，此类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．10.的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则+a b 的最大值为．【答案】4 【解析】构造如图所示长方体，长方体的长、宽、高分别为，则，，，，所以。

2017上海市华二附中高二数学期末试卷(含答案解析)

华二附中高二期末数学试卷一.填空题1.直径为2的球的表面积与此球的体积之比是__________2. 直线PA 与平面ABC 所成角为3π, 则直线PA 与平面ABC 内的任意一条直线所成角的取值范国是__________ 3.己知正整数n ，二项式n xx )223+（的展开式中含有7x 的项,则n 的最小值是__________ 4.若)()1*∉+N n ax n （展开式中,所有各项的系数的绝对値之和是243,则n a ,的可能值是=),n a （________5. 已知空间向量)0,21,23()1,21,23(-=-=b a ,若空间単位向量c 满足: 0=⋅=⋅b c a c ，则c =________6.某天有10名工人生产同一零部件,生产的件数分别是15，17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ,中位数为b , 众数为c ,则c b a ,,从小到大依次是________7.掷三个般子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________8.高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排, 身高由矮到高,再由高到矮(最高的女生站在正中间).这七位女生的排队姿态有________种9.在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于________10. 从集合{1！，2！，3！，…24！}中, 删掉一个元素________后,集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数11.给定集合B A 、,则“B A B A ⋃⊇⋂”是“B A =”的( )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要 12 下列说法中,正确的是( )A.数据3,3,4,5,4,6的众数是4B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C. 频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D.数据1,2,3,4的标准差是数据2,4,6,8的标准差的一半13.下列四个组合数公式:对N k n ∈,，约定1000C =！,有（1）)0(!n k k P C k n kn≤≤= （2）)0(n k C C k n n k n ≤≤=- （3）)1(11n k C C nk k n k n ≤≤=-- （4）)1(111n k C C C k n k n k n ≤≤+=--- 其中正确公式的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个14.圆锥SO 的底面圆O 的半径为1，高SO 为h .已知圆锥SO 的内接圆柱O O 1（圆柱O O 1的下底面圆的圆心是O ，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π274，则该圆锥的内接圆柱O O 1且其体积为8π的个数有（） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个15 解不等式（1）解关于实数x 的不等式:1)132->-a x a （，其中a 是实参数；（2）解关于正整数n k 2≤的不等式:122->k n k n C C ，其中n 是给定的正整数.16. 四棱锥ABCD S -中， a DA BC ==，其中0>a .（1）证明: 棱锥的底面四边形ABCD 是短形；（2）求此棱锥的全面积S 和棱锥的体积V .，a CD AB SD SC SB SA 2======17.非空有限集合S 是由若干个正实数组成,集合S 的元素个数2≥S .对于任意b a S b a ≠∈,,，数b a 或a b 中至少有一个属于S ，称集合S 是“好集”:否则,称集合S 是“坏集”.（1）判断{}931，，=A 和⎭⎬⎫⎩⎨⎧=161,41,211，B 是“好集”,还是“坏集”；（2）题设的有限集合S 中,既有大于1的元素,又有小于1的元素,证明:集合S 是“坏集”.18.小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成.得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格.小威的目标是至少得7分获得及格.在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分；而他做余下的四道题中每道题做对的概率均为)10(<,只做一道更容易及格.（1）求:小威从余下的四適题中恰做三道并且及格的概率3P ；从余下的四道題中全做并且及格的概率4P .（2）由于P 的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?参考答案一、填空題(每小題4分,共40分)1.直径为2的球的表面积与此球的体积之比是______. 3:12.直线PA 与平面ABC 所成角为3π ,则直线PA 与平面ABC 内的任意一条直线所成角的取值范围是______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡丨π，π23 3.己知正整数n ，二项式n xx )223+（的展开式中含有7x 的项,则n 的最小值是_______. 4 4.若)()1*∉+N n ax n （展开式中,所有各项的系数的绝对値之和是243,则n a ,的可能值是=),n a （_______.（2,5）或（-2,5）5 已知空间向量)0,21,23()1,21,23(-=-=b a .若空间単位向量c 满足： 0=⋅=⋅b c a c ，则=c _______.），，（02321或），，（02321- 6.某天有10名工人生产同一零部件,生产的件数分别是: 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c 从小到大依次是_______.c b a <<7. 掷三个般子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是_______.87 8.高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照,摄影师要求她们排成一排,身高由矮到高,再由高到矮(最高的女生站在正中间).这-七位女生不同的排队姿态有_______种. 209.在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于_______.209 【解析】由于4条体对角线都经过正方体的中心,所选的两条对角线必定包含一条画对角线 ①两条对角线都是面对角线:任取1条面对角线,剩余的11条面对角线中,有5条与之异面,考虑重复选取, 302512=⨯∴（种）； ②一条面对角线一条体对角线:任取1条面对角线,有2条体对角线与之异面_，∴12x2 = 24 (种) ∴概率为2092430216=+C10.从集合{1！，2！，3！，…，24！}中，删掉一个元素_______后,集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数. 12! 【该题改编自2013年新知杯试题】【解析】！24！3！2！1 ⨯⨯()()()！！！！！！24234321⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ()()()242323433211⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=！！！！！！()()244223212⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ！！！ ()！！！！1222321122⨯⨯⨯⨯⨯= ()！！！！122232126⨯⨯⨯⨯⨯= ∴删掉的元素为12！【结论】从集合{}*∈N n n ,)!4(,,321 ！！，！，中，删掉一个元素）（n 2！后，集合中余下的14-n 个元素之积是一个完全平方数.二、选择题(每小题4分,共16分)11. 给定集合B A ,,则B A B A ⋃⊇⋂是B A =的( B)条件.（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要12.下列说法中,正石商的是( D).（A ）数据3,3,4,5,4,6的众数是4 （B ）一组数据的标准差是这组数据的方差的平方（C ）频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数（D ）数据1,2,3,4的标准差是数据2,4,6,8的标准差的一半13.下列四个组合数公式:对N k n ∈,，约定1000==C ！，有（1）)0(!n k k P C k n kn≤≤= （2）)0(n k C C k n n k n ≤≤=- （3）)1(11n k C C nk k n k n ≤≤=-- （4）)1(111n k C C C k n k n k n ≤≤+=--- 其中正确公式的个数是（A ）.(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D) 1个 15.14.圆锥SO 的底面圆O 的半径为1，高SO 为h .已知圆锥SO 的内接圆柱O O 1（圆柱O O 1的下底面圆的圆心是O ，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π274，则该圆锥的内接圆柱O O 1且其体积为8π的个数有（ B ）. (A)3个 (B)2个 (C) 1个 (D)0个【解析】设11h SO =，内接圆注O O 1的半径为)10(<<r r ,则易得rh h =1，)1()(,2211r hr rh h r V rh h OO OO -=-=∴-=ππ圆柱2743)22(21)22(21)1(32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⋅≤-⋅⋅⋅=-丨r r r r r r r r 1274274)1(21=⇒=≤-=∴h h r hr V OO πππ圆柱 01888)1(2321=--⇒=-=r r r r V OO ππ圆柱，考虑到10<<r ，∴方程有两解符合题意， ∴选B三、解答题（12分+10分+10分+12分，共44分）15.解不等式（1）解关于实数x 的不等式:1)132->-a x a （，其中a 是实参数；（2）解关于正整数n k 2≤的不等式:122->k n k n C C ，其中n 是给定的正整数. 【解】（1）①1=a 时，Ø；②1-=a 时，R ；③11-<<a 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11,-2a a a oO ； ④1-<a 或1>a 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++oO a a a ,112.（2）*∉≤≤N k n k ,1.17. 16.四棱锥ABCD S -中， a DA BC ==，其中0>a .（1）证明: 棱锥的底面四边形ABCD 是短形；，a CD AB SD SC SB SA 2======（2）求此棱锥的全面积S 和棱锥的体积V .【解】（1）略；（2）32311,243415a V a S =++=. 17.非空有限集合S 是由若干个正实数组成,集合S 的元素个数2≥S .对于任意b a S b a ≠∈,,，数b a 或a b 中至少有一个属于S ，称集合S 是“好集”:否则,称集合S 是“坏集”.（1）判断{}931，，=A 和⎭⎬⎫⎩⎨⎧=161,41,211，B 是“好集”,还是“坏集”；（2）题设的有限集合S 中,既有大于1的元素,又有小于1的元素,证明:集合S 是“坏集”.【解】（1）A ∉93 且A A ∴∉，39是“坏集”；B 是“好集”. （2）若a 是S 中小于1的元素中的最小元素，b 是S 中大于1的元素中的最小元素则由指数函数的单调性可得，a a a b =<1b b b a =<<11，从而S a b ∉且S b a ∉，∴集合S 是“坏集”.18.小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成.得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格.小威的目标是至少得7分获得及格.在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分；而他做余下的四道题中每道题做对的概率均为)10(<,只做一道更容易及格.（1）求:小威从余下的四適题中恰做三道并且及格的概率3P ；从余下的四道題中全做并且及格的概率4P .（2）由于P 的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?【解】（1）3P [所做的三道全对或二道对，一道错]：()()p P P P P P 23132233-=-+=； 4P [所做的四道全对或三道对，一道错]：()()p p p p p P 34143344-=-+=.（2）①恰做一道并且及格的概率最大：⎩⎨⎧>>4131P PP P ,解得210<>4313P P P P ,解得121<>3414P P P P ,无解； ④21=p 时，恰做一道或三道并且及格的概率最大；综上，①210<<p 时，恰做一道并且及格的概率最大；②21=p ，恰做一道或三道并且及格的概率最大；③121<<p 时，恰做三道并且及格的概率最大.。

上海市2017-2018年上海师范大学附中高二上期末数学试题

2017学年第一学期上大附中期末考试高二年级数学试卷一. 填空题（共36分）1. =-+∞→nn n n 352lim 22 ．2．双曲线221169x y -=的渐近线方程是．3. 已知矩阵114231A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB = ．4．已知),1(x a =，)2,4(=b ，若b a ⊥，则实数=x ．5. 行列式42354112k---中，第2行第1列元素的代数余子式的值为10，则实数k = ．6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是．7.若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 ．8．已知实数、满足条件,则的最大值为．9.曲线C 的方程是25(1cos 2)212sin x y θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则曲线C 被坐标轴所截的线段长d = ． 10. 椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为4，O 为原点，Q 为1PF 的中点，则=||OQ ． 11.设(,)P x y是曲线:1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为．12、已知各项均为正数的数列{}n a 满足()()01211=-⋅-++n n n n a a a a （*N n ∈），且121a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为．x y 490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩3x y -二. 选择题（每题4分，共16分）13. 已知复数1213,3z i z i =+=+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）（A ）AB DC = （B ）AD AB AC += （C ）AB AD BD -=（D ）AD CB += →015.已知C z ∈，2=-++i z i z ,则z 对应的点Z 的轨迹为（）(A) 椭圆 (B) 双曲线 (C) 抛物线 (D) 线段16.在平面直角坐标系中，点A (1，2)、点B (3，1)到直线l 的距离分别为1、2，则符合条件的直线l 的条数为（）(A)、1 ； (B)、2 ； (C)、3； (D)、4.三. 解答题（共48分）17.（8分）已知复数1234,25z i z i =-=+. （1）比较12z z 与的大小；（2）判断复数12z z z =+在复平面上所对应的点Z 与圆22100x y +=的位置关系.18．（8分）已知()()12,3A B m -，、（1）当2m =时，求直线AB ；（2）当1,1m ⎡⎫∈--⎪⎢⎪⎣⎭，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．19．（8分）已知关于,x y 的方程C :04222=+--+m y x y x ，m ∈R 表示圆. (1)求m 的取值范围；(2)若该圆与直线l :4370x y -+=相交于,M N 两点，且MN =m 的值.x20、（10分）已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,Bb（1）若a =()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.21、（14分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴；（2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小明所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小明连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小明马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小明求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小明能做到吗？请你说出理由．2017学年第一学期上大附中期末考试高二年级数学试卷一. 填空题（共36分）1. =-+∞→nn n n 352lim 22 22．双曲线221169x y -=的渐近线方程是___34y x =±_______3. 已知矩阵114231A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB=．4．已知),1(x a =，)2,4(=b ，若⊥，则实数=x _______．-25. 行列式42354112k---中，第2行第1列元素的代数余子式的值为10，则实数k = 6 ；6. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是 . 3或57.若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 28．已知实数、满足条件,则的最大值为__1-_______9.曲线C 的方程是25(1cos 2)212sin x y θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，则曲线C 被坐标轴所截的线段长d=__13 10. 椭圆192522=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离为4，O 为原点，Q 为1PF 的中点，则=||OQ 3 11.设(,)P x y 是曲线:1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为 10x y 490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩3x y -12、已知各项均为正数的数列{}n a 满足()()01211=-⋅-++n n n n a a a a （*N n ∈），且121a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为______32____________二. 选择题（每题4分，共16分）13. 已知复数1213,3z i z i =+=+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ C ）（A ）AB DC = （B ）AD AB AC += （C ）AB AD BD -=（D ）AD CB += →015.已知C z ∈，2=-++i z i z ,则z 对应的点Z 的轨迹为（ D ）(A) 椭圆 (B) 双曲线 (C) 抛物线 (D) 线段16.在平面直角坐标系中，点A (1，2)、点B (3，1)到直线l 的距离分别为1、2，则符合条件的直线l 的条数为( ) B(A)、1 ； (B)、2 ； (C)、3； (D)、4.三. 解答题（共48分）17.（8分）已知复数1234,25z i z i =-=+. （1）比较12z z 与的大小；（2）判断复数12z z z =+在复平面上所对应的点Z 与圆22100x y +=的位置关系. （1）< （2）圆内18．（8分）已知()()12,3A B m -，、（1）当m =2时，求直线AB ；（2）当m ∈[﹣﹣1，-1），求直线AB 的倾斜角α的取值范围．（1）370x y -+= （2）223ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，19．（8分）已知关于,x y 的方程C :04222=+--+m y x y x ，m ∈R 表示圆. (1)求m 的取值范围；(2)若该圆与直线l :4370x y -+=相交于,M N 两点，且MN =m 的值. (1) m<5（4分）（2）m=1（6分）20、（10分）已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b（1）若a =()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.解：(1)l 的方程是：0634=++y x ...................2分点)0,3(2F 到l 的距离为518=d .....................2分（2）设),(y x P ，则),(),,(21y b x PB y b x PB --=---=代入221-=⋅PB PB 得 2222-=+b y x ①.....................2分),(y x P 在双曲线22221x y a b -=上 2222(1)x y b a ∴=- ②① ，② 可得 2222222b x x b a +=-即222222c x b a =-即222112292112b b b -≥⇒≥⇒≥....................................3分又92<bb ∴∈..............................................1分21、（14分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切x点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（2）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴；（2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小明所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小明连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小明马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小明求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小明能做到吗？请你说出理由．解：（1）由222202y k x b x p k x p b x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +,设切线方程为y k xm=+，由2220p k x p m --=,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．（2） 22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=． 232211122216ABCpk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=． C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．（本小题也可以求AB h =，切点到直线l的距离2d ==，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h有关，将316ABCh S p ∆=中的h 换成2h，可得31816ACE BCF h S S p ∆∆==⋅．记3116ABCha Sp∆==，321416ACE BCFha S Sp∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a h S ap ===-。

2017学年度上海市嘉定区高二年级第一学期期末考试数学试卷

2017学年度上海市嘉定区高二年级第一学期期末考试数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题纸密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1．与)4,3(=a ρ同方向的单位向量=0a ．2．若直线l 的一个方向向量是)3,1(=d ρ，则直线l 的倾斜角是．3．线性方程组⎩⎨⎧=-+=-08352y x y x 的增广矩阵是_____________________．4．根据下列框图，写出所打印数列}{n a 的递推公式：．5．已知首项21=a 的无穷等比数列)(}{*N ∈n a n 的各项和等于3，则数列}{n a 的公比等于_________．6．已知圆4)2()1(:22=-++y x C 关于直线0:=+-m y x l 对称，则实数=m __________．7．已知直线2:+=kx y l 与两点)1,4(-A 、)1,1(-B ．若直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是．8．经过点)4,3(-且与圆2522=+y x 相切的直线方程是___________________．9．若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn a 21201918172213141516231276524118342510921中第i 行第j 列的元素（n j i ,,3,2,1,⋅⋅⋅=）．若200=ij a ，则 =),(j i _______________．10．数列}{n a 满足)1(21-=+n n a a ，*N ∈n ．若12018a a ≥，则1a 的取值范围是___________．11．设R ∈m ，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点P ，则||||PB PA ⋅的最大值是___________．12．已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点．若||)(f λλ-= （R ∈λ）的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值不小于34是．二．选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．13．设a 、b 、c 是三个实数，则“ac b =2”是“a 、b 、c 成等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．数列{}n a 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤≤=1001,2110001,3122n nn n n a nn ，则=∞→n n a lim （）A ．0B ．1C ．0或1D ．不存在 15．已知a 、R ∈b ，022≠+b a ，则直线0:=+by ax l 与圆0:22=+++by ax y x C 的位置关系是（） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不能确定16．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值是（）A ．3B ．22C ．5D ．2三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．(本题满分8分)已知)5,1(),2,2(),2,1(-=-==c b a ρρρ．若b a ρρλ-与c b ρρ+平行，求实数λ的值．18．（本题满分10分）解关于,x y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21，并对解的情况进行讨论．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知过点)1,0(A 的动直线l 与圆4)3(:22=+-y x C 相交于P 、Q 两点．（1）当32||=PQ 时，求直线l 的方程；（2）设动点M 满足1-=⋅，求点M 的轨迹方程．20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题3分，第2小题5分，第3小题4分．已知方程04222=+-++m y x y x 的曲线是圆C ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若直线012:=-+y x l 与圆C 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥（O 为坐标原点），求实数m 的值；（3）当4=m 时，设T 为直线012:=--y x n 上的动点，过T 作圆C 的两条切线TG 、TH ，切点分别为G 、H ，求四边形TGCH 面积的最小值．21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分．已知数列}{n a 满足：43,4121==a a ，112-++=n n n a a a （*,2N ∈≥n n ），数列}{n b 满足：01<b ，n b b n n =--13 （*,2N ∈≥n n ），数列}{n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求证：数列}{n n a b -是等比数列；（3）求证：数列}{n b 是递增数列；若当且仅当3=n 时，n S 取得最小值，求1b 的取值范围．2017学年度嘉定区高二年级第一学期期末考试数学试卷参考答案与评分意见 2018.1说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3 分，否则一律得零分．1．)54,53( 2．3π 3．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-851231 4．⎩⎨⎧+==+12111n n a a a ，*N ∈n 5．31 6．3 7．),41[]3,(+∞--∞Y 8．02543=+-y x 9．)4,15(10．),2[+∞解：由)1(21-=+n n a a ，*N ∈n 得 221-=+n n a a ，*N ∈n ，所以 )2(221-=-+n n a a ，*N ∈n ．若21=a ，则2=n a ，*N ∈n ，符合题意；若21≠a ，则数列}2{-n a 是以21-a 为首项、以2为公比的一个等比数列，则得 112)2(2-⋅-=-n n a a ，即22)2(11+⋅-=-n n a a ，*N ∈n ．所以22)2(201712018+⋅-=a a ．因为12018a a ≥，所以12017122)2(a a ≥+⋅-，即 0)12()2(20171≥-⋅-a ．又因为0122017>-，所以021≥-a ，解得21≥a ，因此21>a ．综上，所求1a 的取值范围是 ),2[+∞．11．5解：由题意得动直线0=+my x 过定点)0,0(A ，动直线03=+--m y mx ，即 03)1(=+--y x m ，即)1(3-=-x m y ，所以动直线03=+--m y mx 过定点)3,1(B ．动直线0=+my x 的一个法向量是),1(1m n =，动直线03=+--m y mx 的一个法向量是)1,(2-=m n ，由021=⋅n n 知，上述两条动直线相互垂直，所以 PB PA ⊥，由勾股定理得 222||||||AB PB PA =+，即 10||||22=+PB PA ．由基本不等式得52||||||||22=+≤⋅PB PA PB PA ，当且仅当5||||==PB PA 时，等号成立．所以||||PB PA ⋅的最大值是 5． 12．]324,0( 解：设=λ，则||||||)(CP AC AP AB AP f =-=-=λλ．因为=λ，所以点C 在直线AB 上，因此)(λf 的最小值m 即为||的最小值．当AB CP ⊥时，||CP 最小，所以)(λf 的最小值m 即为点P 到直线AB 的距离，且当m 最大时，CP 过圆心O ，如右图所示．又因为m 的最大值不小于43，所以324)134(12||2=--≤AB]324,0(．二、选择题（每小题3分，满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．选对得3分，否则一律得零分．13．B 14．B 15．C16．A解：分别以矩形的边BC 、BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的建立平面直角坐标系，则)1,2(),0,2(),0,0(),1,0(D C B A ．由题意可得，圆的半径552=r ，所以圆C 的方程是 54)2(22=+-y x ．设),(y x P ，则)0,2(),1,0(),1,(=-=-=y x ．因为μλ+=，即)0,2()1,0()1,(μλ+-=-y x ，可得 ⎩⎨⎧-=-=λμ12y x ，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y x 12λμ，所以 12+-=+y x μλ．因此直线012=--+-μλy x 与圆54)2(22=+-y x 有公共点．所以圆心(20),到直线012=--+-μλy x的距离d r ≤，ABCO P即552)1()21(|2|22≤-+--μλ，解得 31≤+≤μλ．所以λμ+的最大值是 3．选A ．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．(本题满分8分)解：由题意得)22,21(λλλ+-=-b a ρρ，)3,1(=+c b ρρ， …………………………3分因为b a ρρλ-与c b ρρ+平行，所以 1)22(3)21(⋅+=⋅-λλ，…………………………6分解得 81=λ．因此所求实数λ的值等于81．………………………………………………………………8分18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题5分．解：221111(1)(1),(1),12x m m D m m m D m m m m mmm+==-=-+==-=-)1)(12(122112-+=--=+=m m m m mm m D y ．………………………………………3分当1m ≠±时，0≠D ，原方程组有唯一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.112,1m m y m m x …………………………………5分当1m =-时，0,0,x D D =≠原方程组无解．……………………………………………7分当1m =时，0,0,0,x yD D D ===原方程组有无穷多组解．这时原方程组为⎩⎨⎧=+=+.2,2y x y x 令)(R ∈=t t x ，则原方程组的解可表示为)(.2,R ∈⎩⎨⎧-==t t y t x ……………………10分19．（本题满分10分）（1）解：由题意知，圆C 的圆心坐标是)0,3(，半径为2．若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程是0=x ，圆心C 到直线l 的距离23|03|>=-=d ，此时直线l 与圆C 相离．不符合题意；……………………………1分若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为1y kx =+，即01=+-y kx ．由题意得，圆心C 到直线l 的距离1)3(222=-=d ，所以1=． …………………………………………………………………………3分化简得2860k k +=，解得30,4k k ==-．所以所求直线l 的方程分别为1y =或0443=-+y x ．…………………………………5分（2）解：设(,)M x y ，则),3(),1,(y x MC y x MA --=--=． ………………………7分由题意得 1)()1()3()(-=-⋅-+-⋅-y y x x ，化简得 01322=+--+y x y x ．所以点M 的轨迹方程是22310x y x y +--+=．………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有3个l 小题，第1小题3分，第2小题5分，第3小题4分．（1）解：由04222=+-++m y x y x 得m y x -=-++5)2()1(22．………………2分由05>-m 解得 5<m ．所以所求实数m 的取值范围是 )5,(-∞．…………………………………………………3分（2）解：设),(),,(2211y x N y x M ，则221121,21y x y x -=-=，得)21)(21(2121y y x x --=，即2121214)(21y y y y x x ++-=．因为ON OM ⊥，则得 02121=+y y x x ，所以05)(212121=++-y y y y ① ………5分联立⎩⎨⎧=+-++=-+04201222m y x y x y x ，得 031252=++-m y y ．由⎩⎨⎧>+--=∆<0)3(20)12(52m m 解得521<m ．于是 53,5122121my y y y +==+．…………………………………………………………7分代入①得 053551221=+⨯+⨯-m ，解得 54=m ，符合题意．所以所求实数m 的值等于54． ………………………………………………………………8分（3）解法一：当4=m 时，圆C 的方程为 044222=+-++y x y x ，即1)2()1(22=-++y x ，所以圆C 的圆心坐标是)2,1(-，半径是1．由于TG 、TH 为圆C 的两条切线，所以||||||2122TG CG TG S S TGC TGCH =⋅⋅⋅==∆． ………………………………………9分又1||||||||222-=-=CT CG CT TG ，而||CT 的最小值为点C 到直线n 的距离d ．因为521|12)1(2|22=+---⨯=d ，所以21)|(|||2min min =-=CT TG ．………11分因此四边形TGCH 面积的最小值是2．………………………………………………12分解法二：当4=m 时，圆C 的方程是04222=+-++m y x y x ，即1)2()1(22=-++y x ，所以圆C 的圆心坐标是)2,1(-，半径是1．由于TG 、TH 为圆C 的两条切线，所以||||||2122TG CG TG S S TGC TGCH =⋅⋅⋅==∆．…………………………………9分又1||||||||222-=-=CT CG CT TG ．设点T 的坐标为(,)x y ，则012=--y x ，即12-=x y ，所以22)2()1(||-++=y x CT ，即22)32()1(||-++=x x CT ，即10105||2+-=x x CT ，即 5)1(5||2+-=x CT ．当1=x ，1=y 时，5||min =CT ．所以21)|(|||2min min =-=CT TG ．……………………………………………………11分因此四边形TGCH 面积的最小值为2．…………………………………………………12分 21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分．（1）解：112-++=n n n a a a Θ （*,2N ∈≥n n ）．11n n n n a a a a +-∴-=-，即⋅⋅⋅=-=-=-342312a a a a a a ，}{n a ∴是等差数列．…………………………………………………………………………1分设等差数列}{n a 的公差为d ．又43,4121==a a Θ，214143=-=∴d ，41221)1(41-=⋅-+=∴n n a n ，即 4121-=n a n ．………………………………………4分（2）证明：n b b n n =--13Θ （*,2N ∈≥n n ），n b b n n 31311+=∴-，由（1）得 4121-=n a n ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=-++41)1(21)1(313111n n b a b n n n )(314121311216131n n n n a b n b n b -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=．………6分 01<b Θ，041111≠-=-∴b a b ， }{n n a b -∴是以411-b 为首项、以31为公比的一个等比数列．…………………………8分（3）证明：由（2）得 11)31()41(-⋅-=-n n n b a b ，由（1）得 4121-=n a n ，4121)31()41(11-+⋅-=∴-n b b n n ．……………………………………………………9分于是当*,2N ∈≥n n 时，211)31()41(3221--⋅-⋅-=-n n n b b b ．又01-∴-n n b b ．}{n b ∴是递增数列． …………………………………………………………………10分3=n 当且仅当Θ时，n S 取得最小值，⎩⎨⎧><∴0043b b ． …………………………………………………………………………11分即2131511()()0443711()()0443b b ⎧+-<⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩，解得)11,47(1--∈b ． ∴所求1b 的取值范围是 )11,47(--．………………………………………………12分。

上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是______．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=______．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．9．关于x的方程=0的解为______．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为______．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．12．定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．114．下列正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+115．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+ 16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是5．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为3．行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．【考点】三阶矩阵．【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；故答案为：﹣1．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=（，）或（﹣，﹣）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵a n=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为﹣3．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320．【考点】程序框图．【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320．9．关于x的方程=0的解为x=2或x=3．【考点】三阶矩阵．【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x 的值．【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）∪（3，6）．【考点】数列的极限．【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由S n==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴S n==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是[0，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值；当点M位于边BC时，•取得最大值．即可得出．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．12．定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=（）n ﹣1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A．14．下列正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+1【考点】数列的极限．【分析】对于A，可举a n=n，b n=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举a n=n，b n=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举a n=（）n﹣1，S n=，求出极限即可判断；对于D，可举a n=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．【解答】解：对于A，若（a n•b n）=a≠0，可举a n=n，b n=，即有a n不存在，=0，故A错；对于B，若（a n•b n）=0，可举a n=n，b n=，则a n不存在，b n=0，故B 错；对于C，若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，可举a n=（）n﹣1，S n=，即有a n=0，S n=2，显然=a1+a2+…+a n不成立，故C错；对于D，若无穷数列{a n}有极限，可举a n=，=0，显然=0，故D正确．故选：D．15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B．16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．故选：C．三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值；（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：．18．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．【考点】数列的极限．【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）当；（2）当，由．综上得．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得a n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）a n=1000×=104﹣n，=，∴lga n=4﹣n，∴．（2）设数列{b n}的前n项之和为T n，则=﹣+，当n=6，7时，T n取得最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；（2）把（1）中求得的p，q值代入S n+1=pS n+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a n}是等比数列，进一步得到通项公式；（3）求出数列{a n}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．∴{a n}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．2016年9月26日。

上海市数学高二上学期理数期末考试试卷

上海市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)2. （2分） (2017高三上·同心期中) 已知复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 已知命题，则命题的否定是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·伊春期末) 下列不等式关系正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则5. （2分） a,b,c成等比数列是b=的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件6. （2分）已知函数，则f'（﹣5）等于（）A .B .C . 25D . ﹣257. （2分）(2020·梧州模拟) 已知向量，则＝（）A .B .C . 4D . 58. （2分）△ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹为（）A .B .C .D .9. （2分）已知变量x,y满足约束条件则的最大值为（）A . -3B . -1C . 1D . 310. （2分）若点P到直线的距离比它到点（2,0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线11. （2分）在等差数列中，已知，则该数列前11项和=（）A . 58B . 88C . 143D . 17612. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 有一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若当水面下降1m时，则水面宽为（）A .B .C . 4.5mD . 9m二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·长宁模拟) （若复数（a+i）（1+i）在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=________．14. （1分）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ ．15. （1分） (2018高一下·通辽期末) 在中，，则此三角形的最大边的长为________．16. （1分） (2016高二下·民勤期中) 一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n（1）求数列{an}的通项公式；（2）判断数列{an}是否是等差数列，若是求出首项和公差，若否，请说明理由．18. （10分） (2016高一下·汕头期末) 在△ABC中，（5a﹣4c）cosB﹣4bcosC=0．（1）求cosB的值；（2）若c=5，b= ，求△ABC的面积S．19. （5分）已知曲线 .求：（1）曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；（2）（1）中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？20. （5分） (2017高二上·南宁月考) 如图，在四棱锥中，直线平面，.（1）求证：直线平面 .（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.22. （10分） (2019高二上·德惠期中) 中心在原点的双曲线的右焦点为 ,渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点。

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2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．3．抛物线24y x =的焦点坐标为．4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是．5．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是．6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的一个根,则实数=a ．7．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则=⋅||||21PF PF ．8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为．9．设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l距离为10的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是． 11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是．12．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。

M 的最大值为．二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（）．（A ）⎡⎣（B ）⎡⎣（C ）⎡⎣（D ）⎡⎣14．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2，那么直线0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是（）．（A ）平行（B ）垂直（C ）相交但不垂直（D ）重合15．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-，则ABC ∆的形状是（）．（A ）等腰三角形（B ）等腰直角三角形（C ）直角三角形（D ）等边三角形16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，)(25|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．已知2||=a ,1||=b ,a 与b的夹角为︒135.(1)求)2()(b a b a-⋅+的值；（2）若k 为实数，求||b k a+的最小值．．（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；（2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是02=-y x 和01=-+y x ，求边BC 所在直线方程．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点21,F F 为双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=︒，圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）教材曾有介绍：圆222r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。

我们将其结论推广：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）上的点),(00y x 处的切线方程为12020=+b yy a x x ，在解本题时可以直接应用。

已知，直线03=+-y x 与椭圆E ：1222=+y ax （1>a ）有且只有一个公共点．（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点),2(m M ．①设0m ≠，直线AB 、OM 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k 为定值． ②设m R ∈，求OAB ∆面积的最大值．金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）．1arctan23．抛物线24y x =的焦点坐标为．10,16⎛⎫⎪⎝⎭4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是． 605．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是． 206．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的根，则实数=a ．37．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，02160=∠PF F ,则=⋅||||21PF PF ．48．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为． 909．设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l距离为10的点的个数为____________．2 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是． 230(40)px y q p q ++=-> 11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是． -212．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。

M的最大值为．2222221,101a ab b a b ⎧+-≥⎪⎨+<-<⎪⎩二.选择题（每小题5分，共20分） 13. 已知复数满足2|43|=-+i z ，则|1|-z 的取值范围是（）．B（A ）[]252,252+-（B ）[]25,23（C ）[]25,22（D ）[]24,2314．设c b a ,,是△ABC 三个内角C B A ,,所对应的边，且ac b =2，那么直线0sin sin 2=-+a A y A x 与直线0sin sin 2=-+c C y B x 的位置关系是（）．D（A ）平行（B ）垂直（C ）相交但不垂直（D ）重合15．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则A B C ∆的形状是（）．A（A ）等腰三角形（B ）等腰直角三角形（C ）直角三角形（D ）等边三角形16．若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）．C（A ）210x y +-= （B）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17．（本题满分14分）设复数z 满足5||=z ，且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线，)(25|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值．z =或z =……（8分）当02z m ==或…………（11分）当0222z m =--=或-…………（14分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知2||=a,1||=b ,a 与b的夹角为︒135.(1)求)2()(b a b a-⋅+的值；（2）若k 为实数，求||b k a+的最小值．（1）)2()(b a b a-⋅+=2…………………………（6分）（2）当1k =时，||b k a+的最小值为1………………………（14分）19．（本题满分14分, 第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）一条光线通过点()1,2-P ，被直线01:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点()1,3Q ，求反射光线所在的直线方程；（2）已知ABC ∆的一顶点()4,1A ，ABC ∠与ACB ∠的平分线所在直线的方程分别是02=-y x 和01=-+y x ，求边BC 所在直线方程.（1）25110x y +-=………………………………（6分）（2）A 关于01=-+y x 的对称点为B(-3，0) A 关于02=-y x 的对称点为198(,)55C - :417120BC x y ++=…………………………（14分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点21,F F 为双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且02130=∠F MF ，圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为21,P P ，求12PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线L 交双曲线C 于,A B 两点，AB 中点为D ，求证:2AB OD =．解（1）设2F 、M 的坐标分别为)、)0y )0(0>y因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20b y =，所以22MF b =在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b = 由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -= ……………（4分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为10l y -=， 2:0l y += 设双曲线C 上的点),(00y x P ，设1l 的倾斜角为θ，则tan θ=则点P到两条渐近线的距离分别为1||PP =，2||PP =……（6分）因为),(00y x P 在双曲线:C 2212y x -=上，所以220022x y -=221tan 121cos 21tan 123θθθ--===-++，从而121cos cos(2)cos 23PPP πθθ=∠=-=-…（8分）所以12PP PP⋅220012212339x y PPP -=∠=⋅=……………（10分）（3）由题意，即证：OA OB ⊥．设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=，且22002x y += ①当00y ≠时，将切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦-所以222200001212222222000000(24)8242()0(2)22y x x y OA OB x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--- ②当00y =时，易知上述结论也成立．所以12120OA OB x x y y ⋅=+=综上，OA OB ⊥，所以2AB OD =． ……………（16分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）教材曾有介绍：圆222r y x =+上的点),(00y x 处的切线方程为200r y y x x =+。