平面向量知识点归纳

平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与

AB 共线的单位向量是||

AB

AB ±)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点

A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如 下列命题：（1）若

a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，

则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如

AB ，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，

j 为基底，则平面内的

任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =

+=，

称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有

一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b ==

(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：13

22

a b -）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-=

C.

12(3,5),(6,10)e e == D. 1213

(2,3),(,)24

e e =-=-

（答：B ）；

（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且

,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：24

33

a b +）；

（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→

−−→

−=DB CD 2，−→

−−→

−−→

−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___

（答：0）

四．实数与向量的积：实数

λ

与向量

a

的积是一个向量，记作

λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，

当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b =

=，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝

2

π

时，a ，b 垂直。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a

•b ，即a •b ＝cos a b θ

。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注

意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）已知11(1,

),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4

π

，则k 等于____ （答：1）；

（2）已知

2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____

；

（3）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____

（答：30）

3．b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：5

12

） 4．a

•b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a

b a b ⊥⇔•=；

②当a ，b 同向时，a •b ＝a b

，特别地，22

2

,a

a a a a a

=•==；当a 与b 反向时，a •b ＝

－

a b ；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a b

θ

•=

；④||||||a b a b •≤。如

（1）已知)2,(λλ=→

a

，)2,3(λ=→

b ，如果→

a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______

（答：43λ<-或0λ>且1

3

λ≠）；

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设

,AB a BC b

==，那么向量

AC

叫做

a

与

b

的和，即

a b AB BC AC +=+=；

②向量的减法：用“三角形法则”：设

,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点

指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如

（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____

（答：①

AD ；②CB ；③0）

； （2）若正方形ABCD 的边长为1，

,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____

（答：；

2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。如