一维波动方程推导教学内容
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导波动方程是研究波动现象的基本方程，可以用于描述电磁波、声波、水波等物理现象。
本文重点介绍一维波动方程的推导，该方程用于描述一条细长的弹性介质中的波动。
一、假设考虑一根无限长细弹性介质（如一根线），其质量和长度均匀分布在整个介质中。
为简化情况，我们假设该介质在垂直于其初始方向的方向上运动（如在横向振动）。
为进一步简化情况，我们也假设振动幅度很小且初始速度为零。
这些假设可以使我们向更简单的物理模型过渡。
二、波动方程的推导根据牛顿第二定律可得，在 x 处截面内的物质元素受到 x+dx 处截面内的物质元素产生的力的作用。
因此，其受力可以表示为：F = ma = ρdx · A(x+dx) - ρdx · A(x) (1)其中，ρ表示介质的密度，A(x)表示在 x 处截面内的介质的横截面积，dx表示两截面之间的距离。
根据胡克定律可得，介质受到的合力可以表示为：F = -k[dA(x+dx) - dA(x)] (2)其中，k表示介质的弹性系数。
将公式（1）和公式（2）代入牛顿第二定律可得：ρA(x) ∂^2u/∂t^2 · dt = k[dA(x+dx) - dA(x)] (3)这里，u(x, t)表示在 x 处的位移，t表示时间。
我们可以化简后的上面公式为：∂^2u/∂t^2 = (k/ρA(x)) [A(x+dx) - A(x)]/dx (4)引入波速 c 来替换k/ρ，c 的定义为：c = sqrt(k/ρ) (5)则公式（4）可以简化为：∂^2u/∂t^2 = (c^2/dx^2) [A(x+dx) - A(x)] (6)通过对这一细弹性介质的初始状态和运动方式的假设，我们推导出一维波动方程。
这个方程描述了弹性介质中的波动，具有广泛的应用价值。
它可以应用于物理、地质学和工程学中等多领域。
一维波动方程
a a u 0 x t x t
ut au x v
按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得
D’Alembert公式(2.8).
§2 一维波动方程 7
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的
《偏微分方程教程》
第四章 双曲型方程
特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，
这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知,
方程(2.1)的特征方程是
dx a dt 0
2 2 2
由此求得特征曲线为
c 其中 1 c2为任意常数. 为了将方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换
满足初始条件 u ( x 0) ( x)
ut ( x 0) ( x)
x x ,
(2.2)
其中a 是一个正常数，函数 ( x) C 2 ( x) C1 是定义在区 间
( ) 上的已知函数.
§2 一维波动方程 2
§2 一维波动方程
9
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对 求积分, 便得方程(2.11)的通解 u ( ) ( )d 1 ( ) 写成 其中1 ( )是 的任意函数. 若令 2 ( ) ( )d , 上式可
u( ) 1 ( ) 2 ()
其中 x 和 y 都是其变元的任意连续可微函数. 变回到原来的 变量1 和 2 , 便得到方程(2.10)的通解为
x u ( x y ) 1 ( xy ) xy 2 ( ) y
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数1 和 2.首先,容 易得到下面两个等式： 1 ( x) x2 ( x) ( x) (2.15)
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导一维波动方程是描述一维介质中传播的波动现象的数学模型，它可以应用于声波、水波、电磁波等各种波动现象的研究。
其基本假设是介质中的波动是沿着介质传播的。
在推导一维波动方程时，我们需要先建立波动现象的数学模型。
假设介质中的波动是沿着x轴方向传播的，用u(x,t)表示波动处于x 点时的位移量。
我们需要考虑介质中的质点在时间t和t+Δt之间发生的位移量，即Δu(x,t)=u(x,t+Δt)-u(x,t)。
根据牛顿第二定律，质点在单位时间内所受到的合力等于质点的质量乘以加速度。
因此，介质中的质点在时间t和t+Δt之间的加速度可以表示为：a(x,t) = 1/ρ(x) * F(x,t)其中，ρ(x)是介质在x点处的密度，F(x,t)是介质在x点处的作用力。
根据胡克定律，介质中的质点在受到作用力时会发生弹性形变。
弹性形变的大小与作用力成正比，与介质的弹性系数成反比。
因此，介质在x点处的作用力可以表示为：F(x,t) = E(x) * u(x,t)/x其中，E(x)是介质在x点处的弹性系数，u(x,t)/x是介质在x点处的曲率。
将上述两个式子代入到a(x,t)的表达式中，得到：a(x,t) = 1/ρ(x) * E(x) * u(x,t)/x在介质中传播的波动是一种能量传输的过程。
波动在传播过程中，会带动介质中的质点振动，将能量从一个点传递到另一个点。
因此，介质中传播的波动在时间和空间上都是具有连续性的。
由此，我们可以得到波动方程的基本表达式：u(x,t)/t = c * u(x,t)/x其中，c=E/ρ，表示波动在介质中传播的速度的平方。
这就是一维波动方程的基本表达式。
在具体的应用中，我们需要根据不同的介质和波动特性，选择不同的初始条件和边界条件，来求解波动方程。
数理方程3.1 一维波动方程的初值问题
§3.1 一维波动方程的初值问题
21 5 x − y = C1 x + y = C , 2
特征线为
作变量代换
ξ = 5x − y η = x + y,
原方程化为
uξη = 0
其通解
u = F (5x − y ) + G(x + y )
利用初始条件可得
F (5x) + G(x) = 5x, −F ′ (5x) + G′ (x) = 0
utt = a2 uxx , u(x, 0) = 1 , ut (x, 0) = 0, 1 + 4 x2 − ∞ < x < +∞, t > 0, − ∞ < x < +∞
1 . 1+4x2
从静止开始
由达朗贝尔公式得
1 1 1 1 1 u(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)] = · + · 2 2 2 1 + 4(x + at) 2 1 + 4(x − at)2
其中ϕ(x), ψ (x)分别表示初值位移和初始速度. 1. 泛定方程的通解 x 2 dx 2 采用第2.1节中的方法, 特征方程为( d （特征 dt ) − a = 0, 特征线方程为 dt = ±a, 其通解 线）为x + at = C1 , x − at = C2 , 作变换
ξ = x + at, η = x − at,
第三章
波动方程的初值问题与行波法
§3.1 一维波动方程的初值问题
本节思路: 无界弦的自由振动(utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞): 经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解, 代入初始条件得特解（达朗贝尔公式） 无界弦的受迫振动(utt = a2 uxx + f, −∞ < x < +∞): 由叠加原理分解为: 齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解） 半无界弦的振动问题(utt = a2 uxx + f, 0 < x < +∞): 以某种方式延拓f 及初始函数, 转成无限长的弦的振动, 求出解后限制在半无界区域上.
一维波动方程的达朗贝尔公式ppt
u f ( )
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
其中 f1, f2 都就是任意二次连续可微函数。
4
u(x,t) f ( )d f2 () f1(x at) f2 (x at) (9、1、6)
式(9、1、6)就就是方程(9、1、1)得通解。
4 SaMt
(at)2
或简记成 u(M ,t) 1 0 dS 1 1 dS
4 a t SaMt r
4 a SaMt r
上式称为三维波动方程得Poisson公式。
18
例2 求解定解问题
utt a22u x, y, z , t 0,
u
t0
x3
y2z,
ut t0 0.
解:这里 0 x, y, z x3 y2z, 1 x, y, z 0
(9、1、11)
2
2a xat
——无限长弦自由振动得D’Alembert(达朗贝尔)公式。 6
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
x at
( )d
2
2a xat
D’Alembert解得物理意义:
(9、1、11)
先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解得物理意义。 此时式(9、1、11)给出
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
5
f1(x) f2 (x) (x) (9、1、8)
a f1(x) a f2(x) (x) (9、1、9)
x 式(9、1、9)两端对 积分一次,得:
f1(x)
f2 ( x)
1 a
x
( )d C
0
(9、1、10)
课程设计波动方程
课程设计波动方程一、教学目标本节课的学习目标为：知识目标：学生能够理解波动方程的基本概念，掌握一维波动方程的求解方法。
技能目标：学生能够运用波动方程解决实际问题，如声波传播、振动等问题。
情感态度价值观目标：通过学习波动方程，培养学生对物理学科的兴趣和好奇心，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容本节课的教学内容主要为：1.波动方程的基本概念，包括波动、波速、波长等。
2.一维波动方程的求解方法，包括初始条件和边界条件的设定，以及求解过程的推导。
3.波动方程在实际问题中的应用，如声波传播、振动等问题的解决。
三、教学方法为了提高教学效果，本节课将采用以下教学方法：1.讲授法：用于讲解波动方程的基本概念和求解方法。
2.讨论法：引导学生分组讨论实际问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
3.案例分析法：通过分析具体案例，使学生更好地理解波动方程的应用。
4.实验法：安排实验环节，让学生亲身体验波动现象，提高学生的实践能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本节课将准备以下教学资源：1.教材：提供波动方程的相关理论知识。
2.参考书：为学生提供更多的学习资料，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：通过动画、视频等形式，形象地展示波动现象，提高学生的学习兴趣。
4.实验设备：为学生提供实验所需的器材，确保实验环节的顺利进行。
五、教学评估本节课的评估方式包括：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评估学生的学习态度和理解程度。
2.作业：布置与本节课内容相关的作业，评估学生对波动方程知识的掌握情况。
3.考试：安排一次考试，全面测试学生对波动方程的理解和应用能力。
评估方式应客观、公正，能够全面反映学生的学习成果。
通过这些评估方式，教师可以了解学生的学习情况，及时给予反馈和指导。
六、教学安排本节课的教学安排如下：1.教学进度：按照教材的章节安排，逐步讲解波动方程的基本概念、求解方法和应用。
《一维波动方程》课件
三维波动方程
描述空间波的传播
三维波动方程适用于描述在三维空间 中波的传播，例如声波、电磁波等。
物理应用广泛
三维波动方程在物理、工程等领域有 广泛的应用，如地震波传播、电磁波 传播等。
多维波动方程的解法
数值解法
对于多维波动方程，由于其复杂性， 通常采用数值解法来求解。常见的数 值解法包括有限差分法、有限元法等 。
解的物理意义
通过求解一维波动方程，可以得到波在空间中传播时的具体形式和性质，如波速、波长、振幅和相位 等。这些解具有明确的物理意义，可以用于描述和分析各种波动现象。
03
一维波动方程的解法
Chapter
分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为多个常微分 方程，逐个求解，得到波动方程的解。
VS
详细描述
03
三维波动方程
描述三维空间中波的传播和变化规律，一般形式为：∂²u/∂t² = c² *
(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) + f(x, y, z, t)。
02
一维波动方程的建立
Chapter
一维波动方程的推导
波动现象的观察
波动现象在自然界中广泛存在，如声波、光波和水 波等。通过对这些现象的观察，可以发现波动具有 传播、干涉和衍射等特性。
有限差分法
总结词
通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组，然后求解差分方程组得到波 动方程的近似解。
详细描述
有限差分法是一种通过将一维波动方程离散化，转化为差分方程组的方法。在 离散化的过程中，需要考虑差分方程的稳定性和精度。然后利用数值计算方法 求解差分方程组，得到波动方程的近似解。
04
第一节 一维波动方程的Cauchy问题
第二章 波行法本章将利用行波法和球平均法分别求解一维和二维、三波动方程Cauchy 问题的§1 一维波动方程的Cauchy 问题一、 D ’Alembert 公式考虑初始位移为)(x ϕ，初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动，该振动可以归结为如下初值问题：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<∞-=>+∞<<-∞=-==x x u x x u t x u a u t t t xx tt )()()0,(0002ψϕ（2.1） 由第一章第三节弦振动方程可经自变量变换简化，作变换：⎩⎨⎧+=-=atx atx ηξ 由ηξηξηξu u u u u x x x +=+=ηηξηξξηηξξηξηξu u u u u u u u x x xx ++=+++=2)()()(ξηηξu u a au au u t -=+-=)(2ηηξηξξu u u a u tt +-=代入方程(2.1)得042=-ξηu a由 02>=ρTa ，有0=ξηu先对η积分,得()uf ξξ=其中()f ξ是任意的函数,再ξ对积分,得到212()()()()u f d F F F ξξηξη=+=+⎰其中12,F F 都是任意的函数.把,ξη换成x,t 的表示式,即得)()(),(21at x F at x F t x u ++-= (2.2) (2.2)给出的仅仅是泛定方程的解为了得到满足(2.1)的解,考虑初值条件)()()()0,(21x x F x F x u ϕ=+= (2.3) 和)()()()0,(21x dx x dF dxx dF a x u t ψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-= (2.4) 将(2.4)两端取从0x 到x 积分：[]⎰=++-xx d C x F x F a 0)()()(21ααψ (2.5) 其中)]()([,02010x F x F a C x -=任意. 联立(2.4)和(2.5)，解得：a Cd a x x F x x 2)(21)(21)(01+⎰-=ξξψϕ a Cd a x x F x x 2)(21)(21)(02-⎰+=ξξψϕ将以上两式代入(2.2)即得Cauchy 问题(2.1)的解 ⎰+++-=+-atx at x d aat x at x t x u ξξψϕϕ)(212)()(),(这叫做一维波动方程Cauchy 问题的D ．’．Alembert ．．．．．．．．公．式．.。
第三章 一维波动方程的达朗贝尔公式-1
第三章：行波法与积分变换法
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
深圳大学电子科学与技术学院
深圳大学电子科学与技术学院
本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
深圳大学电子科学与技术学院
结果：
1 1 x at (1747) u ( x, t ) ( x at) ( x at) ( X ) d X 2 2a x at
2 2u u 2 a 2 t x 2
( x )， u t 0
u ( x), ( x) t t 0
深圳大学电子科学与技术学院
波动方程的特解
无界弦的自由振动: 任意初始位移,任意初始速度。 无界弦自由振动的初值问题为：
2 2u 2 u a t 2 x 2
( x ) u t ( x)
t 0
（1）
u t 0 ( x),
( x )
（2）
将(1)化成以 , 为变量:
u u u u u x x x 2u u u u u 2 x x x u u u u 2u 2u 2u 2 2 2
（3）
(1)的通解为： u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
由(2)得到：
u
t 0
f1 ( x) f 2 ( x) ( x )
一维波动方程的推导
一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。
弹簧的劲度系数（又称“倔强系数”）为k：
其中u(x) 表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。
施加在位于x+h处的质点m上的力为：
其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力，代表根据
胡克定律计算的弹簧作用力。
所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h处质点的运动方程为：
式中已注明u(x) 是时间t的显函数。
若N个质点间隔均匀地固定在长度L = N h的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k/N，我们可以将上面的方程写为：
取极限N, h就得到这个系统的波动方程：
在这个例子中，波速。
数理方法 第七章 一维波动方程的付氏解
第二节 齐次方程混合问题的分离变数解法 §7.2.1分离变数法 例：两端固定的弦的自由振动
utt
a2uxx ,(0
x
l,t
0)
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0)
(7.1) (7.2)
u(
x
,
0)
(
x
),
ut
(
x
,
0)
(
x
),
(0
x l)
(7.3)
代表的是驻波,称为弦的本征振动，其波矢量为kn ,
圆频率为n ,1 称为基频.其余称为谐频（泛音）
波长为：n
2
a
n
2
kn
2l n
n次谐波（泛音）波节的位置在：
sin n x 0 x m l m n ,(m 0,1, 2,L , n)
l
n2
相邻波节间距 l / n n / 2
初始条件通常通过未知函数及其导数在自变量的 一个特定点的值给出。
如：
y f ( x, y),
(1).
y
|x0
2
y py qy f ( x)
(2).
y
|x0
3
y
|x0
4
2.弦振动方程的定解条件
2.1 初始条件 类似于常微分方程定解过程的初值。
nl
l
0
(
)sin kn
d
2
n a
l
0
波动光学WaveOptics光波的基本性质一维波动方程One
四、波叠加原理
对于线性微分方程，叠加原理成立：如果 和 分别满足 某一微分方程，那么 同样也满足该方程。 如果 得到 波的叠加原理是光的干涉与衍射特性的理论基础。 • 一个波可以具有周期性，但不必要是简谐波， 如激光光波不一定是单色波； • 但是具有周期性的波总可以写成简谐行波的 线形组合； • 正向传播和反向传播的行波是相互独立，不 能互相表达。 ，并且
• 球坐标下单位体积表示为： • 球坐标下Laplacian算符表示为：
• 最后坐标独立的微分波动方程为：
选择哪个坐标体系视具体问题的对称情况而定
六、三维波动方程
平面波：介质的特性在与波传播方向垂直的任何一个平面上都相同 • 三维平面波方程可写为 • 在笛卡尔坐标 (Cartesian)下， • 波前 (wavefront)：定义 为 2π的整数倍的平面，与传播方向垂直； • 平面波的复数表达： 满足三维波动方程：其中 ， 其中 ；
• Huygens advanced several new concepts concerning the propagation of light waves. • Young championed the wave theory of light and discovered the principle of optical interference.
五、波的复数表达形式
复数在经典光学的讨论中可以带来代数运算方面的便捷。 虚数： ；复数： ，其中x和y分别为实部和虚部；
Euler relation:
Tayler series:
复平面
共轭复数：
conjugate complex c.c.
五、波的复数表达形式
复数运算
简谐波的复数表达 (方便三角函数计算)：
数理方程3.1 一维波动方程的初值问题
波动方程的初值问题与行波法
§3.1 一维波动方程的初值问题
本节思路: 无界弦的自由振动(utt = a2 uxx , −∞ < x < +∞): 经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解, 代入初始条件得特解（达朗贝尔公式） 无界弦的受迫振动(utt = a2 uxx + f, −∞ < x < +∞): 由叠加原理分解为: 齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解） 半无界弦的振动问题(utt = a2 uxx + f, 0 < x < +∞): 以某种方式延拓f 及初始函数, 转成无限长的弦的振动, 求出解后限制在半无界区域上.
∫
x
ψ (ξ )dξ + C.
x0
其中x0 为任意一点, C 为常数. 进而, 有
∫ x 1 1 C F (x) = ϕ(x) + ψ (ξ )dξ + , 2 2a x0 2 ∫ x 1 1 C G(x) = ϕ(x) − ψ (ξ )dξ − 2 2a x0 2
将F (x)和G(x)中的x分别换成x + at和x − at后一并代入(3.1.2), 即得初值问题(3.1.1)的解的表 达式 ∫
§3.1 一维波动方程的初值问题
21 5 x − y = C1 x + y = C , 2
特征线为
作变量代换
ξ = 5x − y η = x + y,
原方程化为
uξη = 0
其通解
u = F (5x − y ) + G(x + y )
利用初始条件可得
F (5x) + G(x) = 5x, −F ′ (5x) + G′ (x) = 0
一维波动方程推导
1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状
一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值解法
2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即 u x,t g x ct
则上行波引起的质点振动速度
V g cg' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
（21）
上行波引起的桩身应变为
g g '
x
（22）
（21）、（22）
结论：
V c
F EA EAV ZV
为R，因为上行波的力和速度的大小均为R/2,总和为R。
第第2二1十页一页/，共共444页3。页
如果阻力在L/C时刻作用在桩尖，根据力的平衡条件，将产生一个上行的应力 波，其值为R。质点速度为－R/Z。 如果在时段x/c<2L/c内有一阻力R持续作用，则在2L/C时刻，力和速度记录中将包 含下列影响：
u u u
x
(5)
u c u u
(6)
t
2u x2
2u
2
2u
2
2
2u
(7)
2u t 2
c2
2u
2
2u
2
2
2u
(8)
将式（5）～式（8）代入式（4）
2u 0
(9)
第第8八页页，/共共444页3。页
一维波动方程推导
，即得著名的一维波动方程
c2
2 x
x 2
2u t 2
第第6六页页，/共共444页3。页
（1） （2）
（3）
1.2.2一维波动方程的解
• 求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离 变量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波 法。
作变量代换： x ct
x ct
（4）
第第7七页页，/共共444页3。页
2
F 1 ( F ZV )
2
(26)
V 1 (V F )
2
Z
V 1 (V F ) 2 Z 第第1十4四页页，/共共444页3。页
4 上下行波在界面或端部的反射
当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：
F F F 0
（27）
F F
（28）
将式（20）和式（24）带入式（27）得
F2
F2
2Z2 Z1 Z2
F1
Z1 Z1
Z2 Z2
F2
（36）
第1第7十七页页，/共共444页。3页
图2 阻抗变化引起的反射波
当只有下行波通过界面时：
（36）
F1
Z 2 Z1 Z1 Z 2
F1
F2
2Z2 Z1 Z 2
F1
当只有上行波通过界面时：
（36）
F1
2 Z1 Z1 Z 2
F2
F2
V V
（29）
公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相反，幅值 相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则反射的一定是拉伸波，下行的 是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射波的规律与自由端类似。
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1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波
当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示， 由变阻抗处的连续条件可得：
F1 F1 F2 F2 V1 V1 V2 V2
（35）
将式（20）和（24）代入式（35），可得
F1
Z2 Z1 Z1 Z2
F1
2Z1 Z1 Z2
V g cg' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
（21）
上行波引起的桩身应变为
g g '
x
（22）
（21）、（22） 结论：
V c
FEAEAVZV
C
①下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致；
②上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。
（23） （24）
3 通过计算可以分离出桩身各截面 上行波和下行波的值，具体如下：
u f '
x
（17） （18）
式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。
（17）、（18）
V c
（19）
FEAEAVZV
C
（20）
式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。
2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即ux,t gxct
则上行波引起的质点振动速度
(7)
2tu2 c22u22u222u
(8)
将式（5）～式（8）代入式（4）
2u 0
(9)
对式（9）连续两次积分得到方程的通解：
u,fg
（10）
ux,tfx ctgxct
（11）
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。
设问题的初始位移和初始速度分别为：
(11)、(12) 积分（13）有：
（25）、（28）
VVV2V
（30）
即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度增加一倍。
当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为
VVV0
V V
（31） （32）
将式（20）和式（24）带入式（31）得
类似地
F F
FF F 2F
（33） （34）
公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与 入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产 生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。
方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。
1.2.1 一维杆的纵向波动方程
一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L
，截面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ
。若杆变形时符合平截面假定，在杆上端 施加一瞬时外力，单元受力如图所示。图 中包含外力、土阻力、阻尼力的作用。
2u t 2
（1） （2）
（3）
1.2.2一维波动方程的解
求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变 量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。
作变量代换： x c t
x
ct
（4）
u u u
x
(5)
u c u u
(6)
t
x2u2 2u2 2u2 22u
F F
（28）
将式（20）和式（24）带入式（27）得
V V
（29）
公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相 反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则反射的一
定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射
波的规律与自由端类似。
一维波动方程推导
1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文， 1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告
1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程 1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪 采用波动方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷 进行实测波形的拟合法分析。
u(x,0)(x) 0xL
u(x,0) t
(x)
0xL
（12）
f(xct)g(xct)(x) f'(xct)g'(xct)(x)/c
f(xct)g(xct)1x(x)dxk
cx0
（13） （14）
f
(xct)1(xct)1 xct(x)dxk
2
2c x0
2
g(xct)12(xct)21cxx0ct(x)dxk2
F F F
(25)
V V V
将式（20）和式（24）带入式（25），即得
F 1 (F Z V ) 2
F 1 (F Z V )
2
(26)
V 1 (V F )
2
Z
V 1 (V F )
2
Z
4 上下行波在界面或端部的反射
当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：
FFF0
（27）
杆单元受力图
L dx x
x
u
u
u t
dt
x
x
dx
x
ห้องสมุดไป่ตู้
以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得
xAx xxdxAAdx 2 tu 2
由材料力学知识得：
x
E
u x
x x
E
2u x 2
将式（2）带入式（1）：
2u E 2u
t 2
x 2
令
c 2 E ，即得著名的一维波动方程
c2
2 x
x 2
（15）
因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表示为：
ux,tfxctgxct
ux,t1(xct)(xct)1xct(x)dx （16）
2
2cxct
这一通解公式称为D`Alembert 公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。
1.2.3 解的物理意义
假设式（16）的第二式为零，即 ，当波速一定时，随 着时间的 增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理 称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化， 因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。 前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了c×t0的距离， 波速为c×t0/t0＝c，这表明波在传播中速度不变。
物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到 时，相应点将发生位移的变化，振动穿过后，该点仍回到平衡位置。
1.2.4 一维波动方程的解在基桩测试中的应用
1 ux,t f 假设桩身中只有下行波（压力波为例），即 xct
则下行波引起的质点振动速度 下行波引起的桩身应变为
V u cf ' t