2019年甘肃省天水市中考数学试题(含解析)
甘肃省天水市2019中考数学试卷(解析版)
2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. −3B. −1C. −1或−3D. 1或−32.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. 73×10−6B. 0.73×10−4C. 7.3×10−4D. 7.3×10−53.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（）A. 145∘B. 140∘C. 135∘D. 130∘5.下列运算正确的是（）A. (ab)2=a2b2B. a2+a2=a4C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a66.已知a+b=1，则代数式2a+2b-3的值是（）2A. 2B. −2C. −4D. −3127.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A. 14B. 12C. π8D. π4 8. 如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A. (1,1)B. (1,√3)C. (√3,1)D. (√3,√3)9. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D =80°，则∠EAC 的度数为（ ）A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 35∘10. 已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A. B. C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 函数y =√x −2中，自变量x 的取值范围是______．12. 分式方程1x−1-2x =0的解是______．13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示）15. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，若M =4a +2b ，N =a -b ．则M 、N的大小关系为M ______N ．（填“＞”、“=”或“＜”）16. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA =30°，则圆中阴影部分的面积为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为______．18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19. （1）计算：（-2）3+√16-2sin30°+（2019-π）0+|√3-4| （2）先化简，再求值：（x x 2+x -1）÷x 2−1x 2+2x+1，其中x 的值从不等式组{2x −1<5−x≤1的整数解中选取．20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=4的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，x与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；＞0中x的取值范围；（2）根据图象直接写出kx+b-4x（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．25.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得：2×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y 随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】2π-2√3【解析】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】45【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7， 第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13， ……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇， 故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4-2×12+1+4-√3=-8+4-1+1+4-√3=-√3；（2）原式=x−x 2−x x(x+1)•x+1x−1=-x x+1•x+1x−1=x 1−x ，解不等式组{2x −1<5−x≤1得-1≤x ＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x ≠±1，x ≠0，∴x =2，则原式=21−2=-2．【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1）8÷16%=50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×=115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．21.【答案】解：（1）∵点A 在反比例函数y =4x 上， ∴4m =4，解得m =1，∴点A 的坐标为（1，4），又∵点B 也在反比例函数y =4x 上，∴42=n ，解得n =2，∴点B 的坐标为（2，2），又∵点A 、B 在y =kx +b 的图象上，∴{2k +b =2k+b=4，解得{b =6k=−2，∴一次函数的解析式为y =-2x +6．（2）根据图象得：kx +b -4x ＞0时，x 的取值范围为x ＜0或1＜x ＜2；（3）∵直线y =-2x +6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0），S △AOB =S △AON -S △BON =12×3×4-12×3×2=3． 【解析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可；（3）将△AOB 的面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3，∴tanα=√3=√33， ∴α=30°；（2）该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD =6米，∵新坡面的坡度为1：√3，∴tan∠CAD=CDAD =6AD=√3，解得，AD=6√3米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD=6米，∴BD=6米，∴AB=AD-BD=（6√3-6）米，又∵PB=8米，∴PA=PB-AB=8-（6√3-6）=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：{16k+b=2410k+b=30，解得：{b=40k=−1，所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W=（x-10）y=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，∵a=-1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵{OA=OC PA=PC OP=OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC tan∠COB=5√3．【解析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4√2，BE=5√2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=√73．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y =ax 2+bx +c 经过点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）， ∴抛物线的解析式为y =a （x +3）（x -9），∵点C （0，4）在抛物线上，∴4=-27a ，∴a =-427， ∴抛物线的解析式为：y =-427（x +3）（x -9）=-427x 2+89x +4，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），令-427x 2+89x +4=4，解得，x =0或x =6，∴点D 的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线y =-427x 2+89x +4的顶点，∴F （3，163），∴FH =163-4=43，∵GH ∥A 1O 1，∴△FGH ∽△FA 1O 1，∴GH A1O 1=FH FO 1， ∴GH3=434，解得，GH =1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=S △A 1O 1F -S △FGH=12A 1O 1•O 1F -12GH •FH=12×3×4−12×1×43=163；（3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ，∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ，∴O 2M DE =OO 2OE， ∴O 2M4=t 6，∴O 2M =23t ，∴S =S △OO 2M =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2； ②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，将点D （6，4）代入y =kx ，得，k =23，∴y OD =23x ，将点（t -3，0），（t ，4）代入y =kx +b ，得，{kt +b =4k(t−3)+b=0，解得，k =43，b =-43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x -43t +4，联立y OD =23x 与y =43x -43t +4，得，23x =43x -43t +4，解得，x =-6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（-6+2t ，-4+43t ），故点M 到O 2C 2的距离为6-t ，∵C 2N ∥OC ，∴△DC 2N ∽△DCO ，∴DC 2CD =C 2NOC ，∴6−t6=C 2N4，∴C 2N =23（6-t ），∴S =S 四边形A 2O 2NM =S △A 2O 2C 2-S △C 2MN=12OA •OC -12C 2N （6-t ）=12×3×4-12×23（6-t ）（6-t ）=-13t 2+4t -6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13t 2(0＜t ≤3)−13t 2+4t −6(3＜t ≤6)．【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S== -可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
2019年甘肃省天水市中考数学试题(解析版)
2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1．（4分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣1或﹣3D．1或﹣32．（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣53．（4分）如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．4．（4分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BF A的大小为（）A．145°B．140°C．135°D．130°5．（4分）下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a66．（4分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（）A．2B．﹣2C．﹣4D．﹣37．（4分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）9．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．（4分）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
甘肃省天水市2019中考数学试卷(解析版)[真题卷]
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2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. −3B. −1C. −1或−3D. 1或−32.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. 73×10−6B. 0.73×10−4C. 7.3×10−4D. 7.3×10−53.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（）A. 145∘B. 140∘C. 135∘D. 130∘5.下列运算正确的是（）A. (ab)2=a2b2B. a2+a2=a4C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a66.已知a+b=1，则代数式2a+2b-3的值是（）2A. 2B. −2C. −4D. −3127.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A. 14B. 12C. π8D. π4 8. 如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A. (1,1)B. (1,√3)C. (√3,1)D. (√3,√3)9. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D =80°，则∠EAC 的度数为（ ）A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 35∘10. 已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A. B. C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 函数y =√x −2中，自变量x 的取值范围是______．12. 分式方程1x−1-2x =0的解是______．13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示）15. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，若M =4a +2b ，N =a -b ．则M 、N的大小关系为M ______N ．（填“＞”、“=”或“＜”）16. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA =30°，则圆中阴影部分的面积为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为______．18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19. （1）计算：（-2）3+√16-2sin30°+（2019-π）0+|√3-4| （2）先化简，再求值：（x x 2+x -1）÷x 2−1x 2+2x+1，其中x 的值从不等式组{2x −1<5−x≤1的整数解中选取．20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=4的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，x与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；＞0中x的取值范围；（2）根据图象直接写出kx+b-4x（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．25.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得：2×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y 随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】2π-2√3【解析】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】45【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7， 第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13， ……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇， 故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4-2×12+1+4-√3=-8+4-1+1+4-√3=-√3；（2）原式=x−x 2−x x(x+1)•x+1x−1=-x x+1•x+1x−1=x 1−x ，解不等式组{2x −1<5−x≤1得-1≤x ＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x ≠±1，x ≠0，∴x =2，则原式=21−2=-2．【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1）8÷16%=50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×=115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．21.【答案】解：（1）∵点A 在反比例函数y =4x 上， ∴4m =4，解得m =1，∴点A 的坐标为（1，4），又∵点B 也在反比例函数y =4x 上，∴42=n ，解得n =2，∴点B 的坐标为（2，2），又∵点A 、B 在y =kx +b 的图象上，∴{2k +b =2k+b=4，解得{b =6k=−2，∴一次函数的解析式为y =-2x +6．（2）根据图象得：kx +b -4x ＞0时，x 的取值范围为x ＜0或1＜x ＜2；（3）∵直线y =-2x +6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0），S △AOB =S △AON -S △BON =12×3×4-12×3×2=3． 【解析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可；（3）将△AOB 的面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3，∴tanα=√3=√33， ∴α=30°；（2）该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD =6米，∵新坡面的坡度为1：√3，∴tan∠CAD=CDAD =6AD=√3，解得，AD=6√3米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD=6米，∴BD=6米，∴AB=AD-BD=（6√3-6）米，又∵PB=8米，∴PA=PB-AB=8-（6√3-6）=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：{16k+b=2410k+b=30，解得：{b=40k=−1，所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W=（x-10）y=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，∵a=-1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵{OA=OC PA=PC OP=OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC tan∠COB=5√3．【解析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4√2，BE=5√2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=√73．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y =ax 2+bx +c 经过点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）， ∴抛物线的解析式为y =a （x +3）（x -9），∵点C （0，4）在抛物线上，∴4=-27a ，∴a =-427， ∴抛物线的解析式为：y =-427（x +3）（x -9）=-427x 2+89x +4，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），令-427x 2+89x +4=4，解得，x =0或x =6，∴点D 的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线y =-427x 2+89x +4的顶点，∴F （3，163），∴FH =163-4=43，∵GH ∥A 1O 1，∴△FGH ∽△FA 1O 1，∴GH A1O 1=FH FO 1， ∴GH3=434，解得，GH =1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=S △A 1O 1F -S △FGH=12A 1O 1•O 1F -12GH •FH=12×3×4−12×1×43=163；（3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ，∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ，∴O 2M DE =OO 2OE， ∴O 2M4=t 6，∴O 2M =23t ，∴S =S △OO 2M =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2； ②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，将点D （6，4）代入y =kx ，得，k =23，∴y OD =23x ，将点（t -3，0），（t ，4）代入y =kx +b ，得，{kt +b =4k(t−3)+b=0，解得，k =43，b =-43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x -43t +4，联立y OD =23x 与y =43x -43t +4，得，23x =43x -43t +4，解得，x =-6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（-6+2t ，-4+43t ），故点M 到O 2C 2的距离为6-t ，∵C 2N ∥OC ，∴△DC 2N ∽△DCO ，∴DC 2CD =C 2NOC ，∴6−t6=C 2N4，∴C 2N =23（6-t ），∴S =S 四边形A 2O 2NM =S △A 2O 2C 2-S △C 2MN=12OA •OC -12C 2N （6-t ）=12×3×4-12×23（6-t ）（6-t ）=-13t 2+4t -6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13t 2(0＜t ≤3)−13t 2+4t −6(3＜t ≤6)．【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S== -可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
2019年甘肃省天水市中考数学试卷及答案(Word解析版)
甘肃省天水市2019年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来。
）3．（4分）（2019•天水）下列图形中，中心对称图形有（）4．（4分）（2019•天水）函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（）5．（4分）（2019•天水）如图，直线l1∥l2，则∠α为（）6．（4分）（2019•天水）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2），方差为8．（4分）（2019•天水）从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，9．（4分）（2019•天水）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）EAB==OM10．（4分）（2019•天水）如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，E 、F 、G 分别是边AB、BC 、CA 的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 与x 的函数图象大致是（ ）．．．．x ×=x x+1二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
只要求填写最后结果） 11．（4分）（2019•天水）已知点M （3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N ，则点N 的坐标是 （﹣1，1） ．12．（4分）（2019•天水）从1至9这9个自然数中任取一个数，使它既是2的倍数又是3的倍数的概率是．．故答案为：．13．（4分）（2019•天水）已知分式的值为零，那么x的值是1．14．（4分）（2019•天水）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=5，则这个梯形中位线的长等于 6.5．（（=BE===13×15．（4分）（2019•天水）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程．第一块试验田的面积为：第二块试验田的面积为：16．（4分）（2019•天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是2＜r＜8．17．（4分）（2019•天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A 与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是4﹣π．=×ππ18．（4分）（2019•天水）观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32019+32019①，①×3得3S=3+32+33+…+32019+32019②，②﹣①得2S=32019﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52019=．S=故答案为三、解答题（本大题共3小题，共28分。
2019年甘肃省天水市中考数学试卷-答案
甘肃省天水市2019年中考试卷数学答案解析 一、选择题1.【答案】C【解析】解：∵||1a =,b 是2的相反数,∴1a =或1a =-,2b =-,当1a =时,121a b +=-=-；当1a =-时,123a b +=--=-； 综上,a b +的值为1-或3-,故选：C .【考点】有理数的加法.2.【答案】D【解析】解：0.000 073用科学记数法表示为57.310-⨯,故选：D .【考点】科学记数法表示较小的数.3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形,如图所示：故选：A .【考点】三视图.4.【答案】B【解析】解：9050140FDE C CED ∠=∠+∠=︒+︒=︒,∵DE AF ∥,∴140BFA FDE ∠=∠=︒.故选：B .【考点】平行线的性质.5.【答案】A【解析】解：A .选项,积的乘方：222()ab a b =,正确；B .选项,合并同类项：2222a a a +=,错误；C 选项,幂的乘方：236()a a =,错误；D 选项,同底数幂相乘：235a a a =g ,错误.故选：A .【考点】合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方.6.【答案】B【解析】解：∵2232()3a b a b +-=+-, ∴将12a b +=代入得：12322⨯-=- 故选：B .【考点】代数式求值的整体代入.7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD 的边长为2a , 针尖落在黑色区域内的概率221ππ248a a ⨯⨯==. 故选：C .【考点】几何概率.8.【答案】B【解析】解：过点B 作BH AO ⊥于H 点,∵OAB △是等边三角形,∴1OH =,BH =∴点B的坐标为.故选：B .【考点】等边三角形的性质.9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形,80D ∠=︒, ∴11(180)5022ACB DCB D ∠=∠=︒-∠=︒,∵四边形AECD 是圆内接四边形,∴80AEB D ∠=∠=︒,∴30EAC AEB ACE ∠=∠-∠=︒,故选：C .【考点】菱形的性质,三角形的内角和,圆内接四边形的性质.10.【答案】D【解析】解：y 与x 的函数图象分三个部分,而B 选项和C 选项中的封闭图形都有4条线段,其图象要分四个部分,所以B 、C 选项不正确；A 选项中的封闭图形为圆,开始y 随x 的增大而增大,然后y 随x 的减小而减小,所以A 选项不正确； D 选项为三角形,M 点在三边上运动对应三段图象,且M 点在P 点的对边上运动时,PM 的长有最小值. 故选：D .【考点】动点问题的函数图象.二、填空题11.【答案】2x ≥【解析】解：依题意,得20x -≥,解得：2x ≥,故答案为：2x ≥.【考点】函数自变量的取值范围,二次根式的被开方数是非负数.12.【答案】2x = 【解析】解：原式通分得：2(1)0(1)x x x x --=- 去分母得：2(1)0x x --=去括号解得,2x =经检验,2x =为原分式方程的解故答案为2x =.【考点】解分式方程.13.【答案】5【解析】解：∵整数a 是这组数据中的中位数,∴4a =, ∴这组数据的平均数1(2.2 3.3 4.4411.1)55=++++=.故答案为5.【考点】中位数,算术平方根.14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x ,220000(1)39200x +=,解得,10.4x =,2 2.4x =-(舍去),∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%,故答案为：40%.【考点】一元二次方程的应用.15.【答案】＜【解析】解：当1x =-时,0y a b c =-+＞,当2x =时,420y a b c =++＜,42()M N a b a b -=+--42()0a b c a b c =++--+＜,即M N ＜,故答案为：＜.【考点】二次函数.16.【答案】2π-【解析】解：连接AB ,∵90AOB ∠=︒,∴AB 是直径,根据同弧对的圆周角相等得30OBA C ∠=∠=︒,∵OB =,∴tan tan302OA OB ABO OB =∠=︒==,sin304AB AO =÷︒=,即圆的半径为2,∴2π2122π22ABO S S S ⨯=-=-⨯⨯-△阴影半圆.故答案为：2π-【考点】扇形面积的计算.17.【答案】45【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形,∴5AD BC ==,3AB CD ==,∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上的F 处, ∴5AF AD ==,EF DE =,在Rt ABF △中,∵4BF ,∴541CF BC BF =-=-=,设CE x =,则3DE EF x ==-在Rt ECF △中,∵222CE FC EF +=,∴2212(3)x x +=-,解得43x =, ∴533EF x =-=, ∴4sin 5CE EFC EF ∠==. 故答案为：45. 【考点】折叠的性质,矩形的性质,勾股定理.18.【答案】6 058【解析】解：由图可得,第1个图象中〇的个数为：1314+⨯=,第2个图象中〇的个数为：1327+⨯=,第3个图象中〇的个数为：13310+⨯=,第4个图象中〇的个数为：13413+⨯=,……∴第2 019个图形中共有：132019160576058+⨯=+=个〇, 故答案为：6 058.【考点】图形的变化类.三、解答题19.【答案】解：(1)原式1842142=-+-⨯++84114=-+-++=；(2)原式21(1)1x x x x x x x --+=++-g111x x x x +=-+-g1xx =-,解不等式组1215x x -⎧⎨-⎩≤＜得13x -≤＜,则不等式组的整数解为1-、0、1、2,∵1x ≠±,0x ≠,∴2x =, 则原式2212==--.【解析】解：(1)原式1842142=-+-⨯++84114=-+-++-=；(2)原式21(1)1x x xx x x x --+=++-g111x x x x +=-+-g1xx =-,解不等式组1215x x -⎧⎨-⎩≤＜得13x -≤＜,则不等式组的整数解为1-、0、1、2,∵1x ≠±,0x ≠,∴2x =, 则原式2212==--.【考点】分式的化简求值.20.【答案】解：(1)816%50÷=,所以在这次调查中,一共抽查了50名学生；(2)喜欢戏曲的人数为5081012164----=(人),条形统计图为：(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为16 360115.250︒⨯=︒；故答案为115.2；(4)12 120028850⨯=,所以估计该校1 200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生.【解析】解：(1)816%50÷=,所以在这次调查中,一共抽查了50名学生；(2)喜欢戏曲的人数为5081012164----=(人),条形统计图为：(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为16 360115.250︒⨯=︒；故答案为115.2；(4)12 120028850⨯=,所以估计该校1 200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生.【考点】条形统计图.21.【答案】解：(1)∵点A 在反比例函数4y x=上, ∴44m=,解得1m =, ∴点A 的坐标为(1,4),又∵点B 也在反比例函数4y x=上, ∴42n =,解得2n =, ∴点B 的坐标为(2,2),又∵点A 、B 在y kx b =+的图象上,∴420k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得26k b =-⎧⎨=⎩, ∴一次函数的解析式为26y x =-+.(2)根据图象得：40kx b x+-＞时,x 的取值范围为0x ＜或12x ＜＜；(3)∵直线26y x =-+与x 轴的交点为N ,∴点N 的坐标为(3,0), 113432322AOB AON BON S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=△△△. 【解析】解：(1)∵点A 在反比例函数4y x=上, ∴44m=,解得1m =, ∴点A 的坐标为(1,4),又∵点B 也在反比例函数4y x=上, ∴42n =,解得2n =, ∴点B 的坐标为(2,2),又∵点A 、B 在y kx b =+的图象上,∴420k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得26k b =-⎧⎨=⎩, ∴一次函数的解析式为26y x =-+.(2)根据图象得：40kx b x+-＞时,x 的取值范围为0x ＜或12x ＜＜；(3)∵直线26y x =-+与x 轴的交点为N ,∴点N 的坐标为(3,0), 113432322AOB AON BON S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=△△△. 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法.22.【答案】解：(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为,∴tanα== ∴30α=︒；(2)该文化墙PM 不需要拆除,理由：作CD AB ⊥于点D ,则6CD =米,∵新坡面的坡度为, ∴6tanCD CAD AD AD ∠===解得,AD =,∵坡面BC 的坡度为1:1,6CD =米,∴6BD =米,∴6)AB AD BD =-=米,又∵8PB =米,∴86)14146 1.732 3.63PA PB AB =-=-=-≈-⨯≈米＞米, ∴该文化墙PM 不需要拆除.【解析】解：(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为,∴tanα==∴30α=︒；(2)该文化墙PM 不需要拆除,理由：作CD AB ⊥于点D ,则6CD =米,∵新坡面的坡度为, ∴6tanCD CAD AD AD ∠===解得,AD =,∵坡面BC 的坡度为1:1,6CD =米,∴6BD =米,∴6)AB AD BD =-=米,又∵8PB =米,∴86)14146 1.732 3.63PA PB AB =-=-=-≈-⨯≈米＞米, ∴该文化墙PM 不需要拆除.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角.23.【答案】解：(1)设y 与x 的函数解析式为y kx b =+,将(10,30)、(16,24)代入,得：10301624k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得：140k b =-⎧⎨=⎩, 所以y 与x 的函数解析式为40(1016)y x x =-+≤≤；(2)根据题意知,(10)W x y =-(10)(40)x x =--+250400x x =-+-2(25)225x =--+,∵10a =-＜,∴当25x ＜时,W 随x 的增大而增大,∵1016x ≤≤,∴当16x =时,W 取得最大值,最大值为144.答：每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.【解析】解：(1)设y 与x 的函数解析式为y kx b =+,将(10,30)、(16,24)代入,得：10301624k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得：140k b =-⎧⎨=⎩, 所以y 与x 的函数解析式为40(1016)y x x =-+≤≤；(2)根据题意知,(10)W x y =-(10)(40)x x =--+250400x x =-+-2(25)225x =--+,∵10a =-＜,∴当25x ＜时,W 随x 的增大而增大,∵1016x ≤≤,∴当16x =时,W 取得最大值,最大值为144.答：每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.【考点】二次函数的应用.24.【答案】(1)证明：连接OC ,∵OD AC ⊥,OD 经过圆心O ,∴AD CD =,∴PA PC =,在OAP △和OCP △中,∵OA OC PA PC OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴(SSS)OAP OCP △≌△,∵P A 是O e 的切线,∴90OAP ∠=︒.∴90OCP ∠=︒,即OC PC ⊥∴PC 是O e 的切线.(2)解：∵OB OC =,60OBC ∠=︒,∴OBC △是等边三角形,∴60COB ∠=︒,∵10AB =,∴5OC =,由(1)知90OCF ∠=︒,∴tan CF OC COB =∠=【解析】(1)证明：连接OC ,∵OD AC ⊥,OD 经过圆心O ,∴AD CD =,∴PA PC =,在OAP △和OCP △中,∵OA OCPA PC OP OP=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴(SSS)OAP OCP △≌△,∴OCP OAP ∠=∠∵P A 是O e 的切线,∴90OAP ∠=︒.即OC PC ⊥∴PC 是O e 的切线.(2)解：∵OB OC =,60OBC ∠=︒,∴OBC △是等边三角形,∴60COB ∠=︒,∵10AB =,∴5OC =,由(1)知90OCF ∠=︒,∴tan CF OC COB =∠=【考点】切线的性质定理以及判定定理,直角三角形三角函数的应用.25.【答案】(1)解：四边形ABCD 是垂直四边形.证明：∵AB AD =,∴点A 在线段BD 的垂直平分线上,∵CB CD =,∴点C 在线段BD 的垂直平分线上,∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线,∴AC BD ⊥,即四边形ABCD 是垂直四边形；(2)证明：∵AC BD ⊥,∴90AED AEB BEC CED ∠=∠=∠=∠=︒,由勾股定理得,222222AD BC AE DE BE CE +=+++,222222AB CD AE BE CE DE +=+++,∴2222AD BC AB CD +=+；故答案为：2222AD BC AB CD +=+.(3)解：连接CG 、BE ,图3∵90CAG BAE ∠=∠=︒,∴CAG BAC BAE BAC ∠+∠=∠+∠,即GAB CAE ∠=∠,在GAB △和CAE △中,AG AC GAB CAB AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴(SAS)GAB CAE △≌△,∴ABG AEC ∠=∠,又90AEC AME ∠+∠=︒,∴90ABG AME ∠+∠=︒,即CE BG ⊥,∴四边形CGEB 是垂直四边形,由(2)得,2222CG BE CB GE +=+,∵4AC =,5AB =,∴3BC =,CG =,BE =,∴222273GE CG BE CB =+-=,∴GE =【解析】(1)解：四边形ABCD 是垂直四边形.证明：∵AB AD =,∴点A 在线段BD 的垂直平分线上,∵CB CD =,∴点C 在线段BD 的垂直平分线上,∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线,∴AC BD ⊥,即四边形ABCD 是垂直四边形；(2)证明：∵AC BD ⊥,∴90AED AEB BEC CED ∠=∠=∠=∠=︒,由勾股定理得,222222AD BC AE DE BE CE +=+++,222222AB CD AE BE CE DE +=+++,∴2222AD BC AB CD +=+；故答案为：2222AD BC AB CD +=+.(3)解：连接CG 、BE ,图3∵90CAG BAE ∠=∠=︒,∴CAG BAC BAE BAC ∠+∠=∠+∠,即GAB CAE ∠=∠,在GAB △和CAE △中,AG AC GAB CAB AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴(SAS)GAB CAE △≌△,∴ABG AEC ∠=∠,又90AEC AME ∠+∠=︒,∴90ABG AME ∠+∠=︒,即CE BG ⊥,∴四边形CGEB 是垂直四边形,由(2)得,2222CG BE CB GE +=+,∵4AC =,5AB =,∴3BC =,CG =,BE =,∴222273GE CG BE CB =+-=,∴GE =【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,垂直的定义,勾股定理的应用.26.【答案】解：(1)∵抛抛线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(9,0)B 和(0,4)C , ∴抛物线的解析式为(3)(9)y a x x =+-,∵点(0,4)C 在抛物线上,∴427a =-, ∴427a =-, ∴抛物线的解析式为：2448(3)(9)427279y x x x x =-+-=-++, ∵CD 垂直于y 轴,(0,4)C ,令24844279x x -++=, 解得,0x =或6x =,∴点D 的坐标为(6,4)；(2)如图1所示,设A 1F 交CD 于点G ,O 1F 交CD 于点H ,图1∵点F 是抛物线2484279y x x =-++的顶点, ∴16(3,)3F , ∴164433FH =-=, ∵11GH AO ∥,∴11FGH FAO △∽△, ∴111GH FH A O FO =, ∴4334GH =, 解得,1GH =,∵11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ,∴11A O F FGH S S S =-△△重叠部分1111122AO O F GH FH =-g g 114341223=⨯⨯-⨯⨯163=； (3)①当03t ＜≤时,如图2所示,设O 2C 2交OD 于点M ,图2∵22C O DE ∥,∴2OO M OED △∽△, ∴22O M OO DE OE=, ∴246O M t =, ∴223O M t =, ∴222211212233OO M S S OO O M t t t ==⨯=⨯=△；②当36t ＜≤时,如图3所示,设A 2C 2交OD 于点M ,O 2C 2交OD 于点N ,图3将点(6,4)D 代入y kx =,得,23k =,∴23OD y x =,将点(3,0)t -,(,4)t 代入y kx b =+,得,(3)04k t b kt b -+=⎧⎨+=⎩,解得,43k =,443b t =-+,∴直线A 2C 2的解析式为：44433y x t =-+,联立23OD y x =与44433y x t =-+,得,2444333x x t =-+,解得,62x t =-+,∴两直线交点M 坐标为4(62,4)3t t -+-+,故点M 到O 2C 2的距离为6t -,∵2C N OC ∥,∴2DC N DCO △∽△, ∴22DC C NCD OC =, ∴2664C Nt-=, ∴22(6)3C N t =-,∴222222A O C MN A O NM S S S S ==-△△C 四边形211(6)22OA OC C N t =--g1134(6)(6)22t t =⨯⨯-⨯--21463t t =-+-；∴S 与t 的函数关系式为：221(03)3146(36)3t t S t t t ⎧⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩≤≤＜≤.【解析】解：(1)∵抛抛线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(9,0)B 和(0,4)C , ∴抛物线的解析式为(3)(9)y a x x =+-,∵点(0,4)C 在抛物线上,∴427a =-, ∴427a =-, ∴抛物线的解析式为：2448(3)(9)427279y x x x x =-+-=-++, ∵CD 垂直于y 轴,(0,4)C , 令24844279x x -++=, 解得,0x =或6x =,∴点D 的坐标为(6,4)；(2)如图1所示,设A 1F 交CD 于点G ,O 1F 交CD 于点H ,图1∵点F 是抛物线2484279y x x =-++的顶点, ∴16(3,)3F , ∴164433FH =-=, ∵11GH AO ∥,∴11FGH FAO △∽△,∴111GH FH A O FO =, ∴4334GH =, 解得,1GH =,∵11Rt AO F △与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG , ∴11A O F FGH S S S =-△△重叠部分 1111122AO O F GH FH =-g g 114341223=⨯⨯-⨯⨯ 163=； (3)①当03t ＜≤时,如图2所示,设O 2C 2交OD 于点M ,图2∵22C O DE ∥,∴2OO M OED △∽△, ∴22O M OO DE OE=, ∴246O M t =, ∴223O M t =, ∴222211212233OO M S S OO O M t t t ==⨯=⨯=△； ②当36t ＜≤时,如图3所示,设A 2C 2交OD 于点M ,O 2C 2交OD 于点N ,21 / 22图3将点(6,4)D 代入y kx =,得,23k =, ∴23OD y x =,将点(3,0)t -,(,4)t 代入y kx b =+,得,(3)04k t b kt b -+=⎧⎨+=⎩,解得,43k =,443b t =-+,∴直线A 2C 2的解析式为：44433y x t =-+,联立23OD y x =与44433y x t =-+,得,2444333x x t =-+,解得,62x t =-+,∴两直线交点M 坐标为4(62,4)3t t -+-+,故点M 到O 2C 2的距离为6t -,∵2C N OC ∥,∴2DC N DCO △∽△, ∴22DC C NCD OC =, ∴2664C Nt -=,22 / 22∴22(6)3C N t =-,∴222222A O C MN A O NM S S S S ==-△△C 四边形 211(6)22OA OC C N t =--g 1134(6)(6)22t t =⨯⨯-⨯-- 21463t t =-+-； ∴S 与t 的函数关系式为：221(03)3146(36)3t t S t t t ⎧⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩≤≤＜≤. 【考点】待定系数法求解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积.。
2019年甘肃天水中考数学试题(解析版)
边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且 ∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（ ）
A．145°
B．140°
C．135°
D．130°
{答案}B
{解析}本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质，∵∠C=90°，∠CED=50°，∴∠
{解析}本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法a×10n表示较小的数，1≤a＜10，n
表示最前面0的个数，00073，7的前面共有5个0，所以0.000073=7.3×10－5，因此本题选D．
{分值}4
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}
{类别:常考题}
{考点:幂的乘方}
{考点:积的乘方}
{考点:合并同类项}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}6．（2019年天水T6）已知 a b
1
，则代数式2a+2b－3的值是（
）
2
A．2
B．－2
C．－4
D． 3 1 2
{答案}B
{解析}本题考查了求代数式的值，2a+2b－3=2(a+b) －3= 2 1 3 2 ，因此本题选B． 2
{来源}2019年天水中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}
{标题}2019年甘肃省天水市中考数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分．
{题目}1．（2019年天水T1）已知| a | =1，b是2的相反数，则a＋b的值为（ ）
2019年甘肃省天水市中考数学试卷解析带答案
2019 年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1．（4 分）已知|a|＝1，b 是2 的相反数，则a+b 的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1 或﹣3 D．1 或﹣32．（4 分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073 米，将0.000073 用科学记数法表示为（）A．73×10﹣6 B．0.73×10﹣4 C．7.3×10﹣4 D．7.3×10﹣53．（4 分）如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C． D．4．（4 分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和点A，且∠CED＝50°，那么∠BFA 的大小为（）A．145°B．140°C．135°D．130°5．（4 分）下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2 B．a2+a2＝a4 C．（a2）3＝a5 D．a2•a3＝a66．（4 分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3 的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣37．（4 分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A． B． C． D．8．（4 分）如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）9．（4 分）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A、C、D，与BC 相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．（4 分）已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x，线段PM 的长度为y，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A． B． C．二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分。
甘肃省天水市2019年中考数学真题试题(含解析)
2019年甘肃省天水市中考数学试卷注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. −3B. −1C. −1或−3D. 1或−32.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. 73×10−6B. 0.73×10−4C. 7.3×10−4D. 7.3×10−53.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（）A. 145∘B. 140∘C. 135∘D. 130∘5.下列运算正确的是（）A. (aa)2=a2a2B. a2+a2=a4C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a6，则代数式2a+2b-3的值是（）6.已知a+b=12A. 2B. −2C. −4D. −3127.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A. 14B. 12C. a8D. a48. 如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A. (1,1)B. (1,√3)C. (√3,1)D. (√3,√3) 9. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D =80°，则∠EAC 的度数为（ ） A. 20∘ B. 25∘ C. 30∘ D. 35∘ 10. 已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 函数y =√a −2中，自变量x 的取值范围是______． 12. 分式方程1a −1-2a =0的解是______．13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示） 15. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，若M =4a +2b ，N =a -b ．则M 、N 的大小关系为M ______N ．（填“＞”、“=”或“＜”）16. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA =30°，则圆中阴影部分的面积为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为______． 18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19. （1）计算：（-2）3+√16-2sin30°+（2019-π）0+|√3-4|（2）先化简，再求值：（aa 2+a -1）÷a 2−1a 2+2a +1，其中x 的值从不等式组{2a −1<5−a ≤1的整数解中选取．20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生． （2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=4的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，a与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；＞0中x的取值范围；（2）根据图象直接写出kx+b-4a（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．25.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA 的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得：2×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM 的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】2π-2√3【解析】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】45【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF 的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4-2×12+1+4-√3=-8+4-1+1+4-√3=-√3；（2）原式=a−a 2−aa(a+1)•a+1 a−1=-aa+1•a+1a−1=a1−a，解不等式组{2a−1<5−a≤1得-1≤x＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x≠±1，x≠0，∴x=2，则原式=2=-2．1−2【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1）8÷16%=50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×=115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．上，21.【答案】解：（1）∵点A在反比例函数y=4a=4，解得m=1，∴4a∴点A的坐标为（1，4），又∵点B也在反比例函数y=4上，a=n，解得n=2，∴42∴点B 的坐标为（2，2），又∵点A 、B 在y =kx +b 的图象上，∴{2a +a =2a +a =4，解得{a =6a =−2，∴一次函数的解析式为y =-2x +6．（2）根据图象得：kx +b -4a ＞0时，x 的取值范围为x ＜0或1＜x ＜2；（3）∵直线y =-2x +6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0）， S △AOB =S △AON -S △BON =12×3×4-12×3×2=3．【解析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可；（3）将△AOB 的面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3，∴tanα=1√3=√33，∴α=30°；（2）该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD =6米，∵新坡面的坡度为1：√3，∴tan ∠CAD =aa aa =6aa =1√3，解得，AD =6√3米，∵坡面BC 的坡度为1：1，CD =6米，∴BD =6米，∴AB =AD -BD =（6√3-6）米，又∵PB =8米，∴PA =PB -AB =8-（6√3-6）=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA 的长度，然后与3比较大小即可解答本题． 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y 与x 的函数解析式为y =kx +b ，将（10，30）、（16，24）代入，得：{16a +a =2410a +a =30，解得：{a =40a =−1， 所以y 与x 的函数解析式为y =-x +40（10≤x ≤16）；（2）根据题意知，W =（x -10）y=（x -10）（-x +40）=-x 2+50x -400=-（x -25）2+225，∵a =-1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤16，∴当x =16时，W 取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC ，∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ，∴AD =CD ，∴PA =PC ，在△OAP 和△OCP 中， ∵{aa =aaaa =aa aa =aa，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OCP =∠OAP∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP =90°．∴∠OCP =90°，即OC ⊥PC∴PC 是⊙O 的切线．（2）∵OB =OC ，∠OBC =60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°，∵AB =10，∴OC =5，由（1）知∠OCF =90°，∴CF =OC tan ∠COB =5√3．【解析】（1）连接OC ，可以证得△OAP ≌△OCP ，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC ⊥PC ，即可证得；（2）先证△OBC 是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD 是垂美四边形．证明：∵AB =AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB =CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为E ，求证：AD 2+BC 2=AB 2+CD 2证明：∵AC ⊥BD ，∴∠AED =∠AEB =∠BEC =∠CED =90°，由勾股定理得，AD 2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2，AB 2+CD 2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；故答案为：AD 2+BC 2=AB 2+CD 2．（3）连接CG 、BE ，∵∠CAG =∠BAE =90°，∴∠CAG +∠BAC =∠BAE +∠BAC ，即∠GAB =∠CAE ， 在△GAB 和△CAE 中，{aa =aa∠aaa =∠aaa aa =aa，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG =∠AEC ，又∠AEC +∠AME =90°，∴∠ABG +∠AME =90°，即CE ⊥BG ，∴四边形CGEB 是垂美四边形，由（2）得，CG 2+BE 2=CB 2+GE 2，∵AC =4，AB =5， ∴BC =3，CG =4√2，BE =5√2，∴GE 2=CG 2+BE 2-CB 2=73，∴GE =√73．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y =ax 2+bx +c 经过点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）， ∴抛物线的解析式为y =a （x +3）（x -9），∵点C （0，4）在抛物线上，∴4=-27a ，∴a =-427， ∴抛物线的解析式为：y =-427（x +3）（x -9）=-427x 2+89x +4，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），令-427x 2+89x +4=4，解得，x =0或x =6，∴点D 的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线y =-427x 2+89x +4的顶点，∴F （3，163），∴FH =163-4=43，∵GH ∥A 1O 1，∴△FGH ∽△FA 1O 1，∴aa a 1a 1=aaaa 1，∴aa3=434， 解得，GH =1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=a △a 1a 1a -S △FGH=12A 1O 1•O 1F -12GH •FH=12×3×4−12×1×43=163；（3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ，∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ，∴a 2aaa =aa 2aa ， ∴a 2a4=a6，∴O 2M =23t ， ∴S =a △aa 2a =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2；②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，将点D （6，4）代入y =kx ，得，k =23，∴y OD =23x ，将点（t -3，0），（t ，4）代入y =kx +b ，得，{aa +a =4a (a −3)+a =0，解得，k =43，b =-43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x -43t +4，联立y OD =23x 与y =43x -43t +4，得，23x =43x -43t +4，解得，x =-6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（-6+2t ，-4+43t ），故点M 到O 2C 2的距离为6-t ，∵C 2N ∥OC ，∴△DC 2N ∽△DCO ，∴aa 2aa =a 2a aa ，∴6−a6=a 2a 4， ∴C 2N =23（6-t ），∴S =a 四边形a 2a 2aa =a △a 2a 2a 2-a △a 2aa=12OA •OC -12C 2N （6-t ）=12×3×4-12×23（6-t ）（6-t ）=-13t 2+4t -6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13a 2(0＜a ≤3)−13a 2+4a −6(3＜a ≤6)． 【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH 的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S==-可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
甘肃省天水市2019中考数学试卷(解析版)[真题]
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2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. −3B. −1C. −1或−3D. 1或−32.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. 73×10−6B. 0.73×10−4C. 7.3×10−4D. 7.3×10−53.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（）A. 145∘B. 140∘C. 135∘D. 130∘5.下列运算正确的是（）A. (ab)2=a2b2B. a2+a2=a4C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a66.已知a+b=1，则代数式2a+2b-3的值是（）2A. 2B. −2C. −4D. −3127.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A. 14B. 12C. π8D. π4 8. 如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A. (1,1)B. (1,√3)C. (√3,1)D. (√3,√3)9. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D =80°，则∠EAC 的度数为（ ）A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 35∘10. 已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A. B. C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 函数y =√x −2中，自变量x 的取值范围是______．12. 分式方程1x−1-2x =0的解是______．13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示）15. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，若M =4a +2b ，N =a -b ．则M 、N的大小关系为M ______N ．（填“＞”、“=”或“＜”）16. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA =30°，则圆中阴影部分的面积为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为______．18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19. （1）计算：（-2）3+√16-2sin30°+（2019-π）0+|√3-4| （2）先化简，再求值：（x x 2+x -1）÷x 2−1x 2+2x+1，其中x 的值从不等式组{2x −1<5−x≤1的整数解中选取．20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=4的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，x与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；＞0中x的取值范围；（2）根据图象直接写出kx+b-4x（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．25.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得：2×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y 随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】2π-2√3【解析】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】45【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7， 第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13， ……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇， 故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4-2×12+1+4-√3=-8+4-1+1+4-√3=-√3；（2）原式=x−x 2−x x(x+1)•x+1x−1=-x x+1•x+1x−1=x 1−x ，解不等式组{2x −1<5−x≤1得-1≤x ＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x ≠±1，x ≠0，∴x =2，则原式=21−2=-2．【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1）8÷16%=50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×=115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．21.【答案】解：（1）∵点A 在反比例函数y =4x 上， ∴4m =4，解得m =1，∴点A 的坐标为（1，4），又∵点B 也在反比例函数y =4x 上，∴42=n ，解得n =2，∴点B 的坐标为（2，2），又∵点A 、B 在y =kx +b 的图象上，∴{2k +b =2k+b=4，解得{b =6k=−2，∴一次函数的解析式为y =-2x +6．（2）根据图象得：kx +b -4x ＞0时，x 的取值范围为x ＜0或1＜x ＜2；（3）∵直线y =-2x +6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0），S △AOB =S △AON -S △BON =12×3×4-12×3×2=3． 【解析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可；（3）将△AOB 的面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3，∴tanα=√3=√33， ∴α=30°；（2）该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD =6米，∵新坡面的坡度为1：√3，∴tan∠CAD=CDAD =6AD=√3，解得，AD=6√3米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD=6米，∴BD=6米，∴AB=AD-BD=（6√3-6）米，又∵PB=8米，∴PA=PB-AB=8-（6√3-6）=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：{16k+b=2410k+b=30，解得：{b=40k=−1，所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W=（x-10）y=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，∵a=-1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵{OA=OC PA=PC OP=OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC tan∠COB=5√3．【解析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4√2，BE=5√2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=√73．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y =ax 2+bx +c 经过点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）， ∴抛物线的解析式为y =a （x +3）（x -9），∵点C （0，4）在抛物线上，∴4=-27a ，∴a =-427， ∴抛物线的解析式为：y =-427（x +3）（x -9）=-427x 2+89x +4，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），令-427x 2+89x +4=4，解得，x =0或x =6，∴点D 的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线y =-427x 2+89x +4的顶点，∴F （3，163），∴FH =163-4=43，∵GH ∥A 1O 1，∴△FGH ∽△FA 1O 1，∴GH A1O 1=FH FO 1， ∴GH3=434，解得，GH =1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=S △A 1O 1F -S △FGH=12A 1O 1•O 1F -12GH •FH=12×3×4−12×1×43=163；（3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ，∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ，∴O 2M DE =OO 2OE， ∴O 2M4=t 6，∴O 2M =23t ，∴S =S △OO 2M =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2； ②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，将点D （6，4）代入y =kx ，得，k =23，∴y OD =23x ，将点（t -3，0），（t ，4）代入y =kx +b ，得，{kt +b =4k(t−3)+b=0，解得，k =43，b =-43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x -43t +4，联立y OD =23x 与y =43x -43t +4，得，23x =43x -43t +4，解得，x =-6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（-6+2t ，-4+43t ），故点M 到O 2C 2的距离为6-t ，∵C 2N ∥OC ，∴△DC 2N ∽△DCO ，∴DC 2CD =C 2NOC ，∴6−t6=C 2N4，∴C 2N =23（6-t ），∴S =S 四边形A 2O 2NM =S △A 2O 2C 2-S △C 2MN=12OA •OC -12C 2N （6-t ）=12×3×4-12×23（6-t ）（6-t ）=-13t 2+4t -6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13t 2(0＜t ≤3)−13t 2+4t −6(3＜t ≤6)．【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S== -可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
2019年天水市中考数学试卷(解析版)
2019年天水市中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣1或﹣3D．1或﹣3【解答】解：∵|a|＝1，b是2的相反数，∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；综上，a+b的值为﹣1或﹣3，故选：C．2．（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣5【解答】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5，故选：D．3．（4分）如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．4．（4分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BF A 的大小为（）A．145°B．140°C．135°D．130°【解答】解：∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+50°＝140°，∵DE∥AF，∴∠BF A＝∠FDE＝140°．故选：B．5．（4分）下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a6【解答】解：A选项，积的乘方：（ab）2＝a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2＝2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3＝a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3＝a5，错误故选：A．6．（4分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（）A．2B．﹣2C．﹣4D．﹣3【解答】解：∵2a+2b﹣3＝2（a+b）﹣3，∴将a+b＝代入得：2×﹣3＝﹣2故选：B．7．（4分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故选：C．8．（4分）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH＝1，BH＝．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．9．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D ＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．10．（4分）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
甘肃省天水市2019中考数学试卷(解析版)-精品
2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. B. C. 或 D. 1或2.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. B. C.D.3.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含°、°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED= °，那么∠BFA的大小为（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.6.已知a+b=，则代数式2a+2b-3的值是（）A. 2B.C.D.7.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A. B. C. D.8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A.B.C.D.9.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D= °，则∠EAC的度数为（）A.B.C.D.10.已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.函数y=中，自变量x的取值范围是______．12.分式方程-=0的解是______．13.一组数据 2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示）15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a-b．则M、N的大小关系为M______N．（填“＞”、“=”或“＜”）16.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA=°，则圆中阴影部分的面积为______．17.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为______．18.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.（1）计算：（-2）3+- sin °+（2019-π）0+|-4|（2）先化简，再求值：（-1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．20.天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx+b-＞0中x的取值范围；（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：=1.414，=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC= °，AB=10，求线段CF的长．25.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为 . ×-5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×-n，其中≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=9 °+ °= °，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE= °．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED= °，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2?a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得：×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D= °，∴∠ACB=∠DCB=（°-∠D）= °，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D= °，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE= °，故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（°-∠D）= °，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D= °，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥ 【解析】解：依题意，得x-≥，解得：x≥，故答案为：x≥．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】π-2【解析】解：连接AB，∵∠AOB=9 °，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C= °，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan °= ×=2，AB=AO÷sin °= ，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×× = π-2．故答案为：π-2．连接AB，根据∠AOB=9 °可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C= °，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S -S△ABO即可得出结论．半圆本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为： + × = ，第2个图象中〇的个数为： + × = ，第3个图象中〇的个数为： + × = ，第4个图象中〇的个数为： + × = ，…… ∴第2019个图形中共有： + × 9= + = 个〇，故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4-×+1+4-=-8+4-1+1+4-=-；（2）原式=?=-?=，解不等式组得-≤x＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x≠±，x≠，∴x=2，则原式==-2．【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1）÷ %= ，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为°×= . °；故答案为50；115.2；（4）×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．21.【答案】解：（1）∵点A在反比例函数y=上，∴=4，解得m=1，∴点A的坐标为（1，4），又∵点B也在反比例函数y=上，∴=n，解得n=2，∴点B的坐标为（2，2），又∵点A、B在y=kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=-2x+6．（2）根据图象得：kx+b-＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；（3）∵直线y=-2x+6与x轴的交点为N，∴点N的坐标为（3，0），S△AOB=S△AON-S△BON=×× -×× = ．【解析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；（3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，∴tanα＝，∴α= °；（2）该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD=6米，∵新坡面的坡度为1：，∴tan∠CAD=，解得，AD=6米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD=6米，∴BD=6米，∴AB=AD-BD=（-6）米，又∵PB=8米，∴PA=PB-AB=8-（-6）=14-6≈-× . ≈ . 米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以y与x的函数解析式为y=-x+40（≤x≤）；（2）根据题意知，W=（x-10）y=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，∵a=-1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵≤x≤，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=9 °．∴∠OCP=9 °，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB= °，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=9 °，∴CF=OC tan∠COB=5．【解析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=9 °，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB= °，再由（1）中所证切线可得∠OCF=9 °，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=9 °，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=9 °，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，∠ ∠ ，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=9 °，∴∠ABG+∠AME=9 °，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），∴抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-9），∵点C（0，4）在抛物线上，∴4=-27a，∴a=-，x+4，∴抛物线的解析式为：y=-（x+3）（x-9）=-x2+9∵CD垂直于y轴，C（0，4），x+4=4，令-x2+9解得，x=0或x=6，∴点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，∵点F是抛物线y=-x2+x+4的顶9点，∴F（3，），∴FH=-4=，∵GH∥A1O1，∴△FGH∽△FA1O1，∴，∴，解得，GH=1，∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，∴S重叠部分=-S△FGH=A1O1?O1F-GH?FH==；（3）①当0＜t≤ 时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，∵C2O2∥DE，∴△OO2M∽△OED，∴，∴，∴O2M=t，∴S==OO2×O2M=t×t=t2；②当3＜t≤ 时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D（6，4）代入y=kx，得，k=，∴y OD=x，将点（t-3，0），（t，4）代入y=kx+b，得，，解得，k=，b=-t+4，∴直线A2C2的解析式为：y=x-t+4，联立y OD=x与y=x-t+4，得，x=x-t+4，解得，x=-6+2t，∴两直线交点M坐标为（-6+2t，-4+t），故点M到O2C2的距离为6-t，∵C2N∥OC，∴△DC2N∽△DCO，∴，∴，∴C2N=（6-t），∴S=四边形=-=OA?OC-C2N（6-t）=×× -×（6-t）（6-t）=-t2+4t-6；∴S与t的函数关系式为：S=＜ ＜ ．【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤ 时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×Ｏ2M=t2；当3＜t≤ 时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M 的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S==-可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
2019甘肃省天水市中考数学真题(含答案)
2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1．（4分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣1或﹣3D．1或﹣32．（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣53．（4分）如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．4．（4分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED＝50°，那么∠BF A的大小为（）A．145°B．140°C．135°D．130°5．（4分）下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a66．（4分）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（）A．2B．﹣2C．﹣4D．﹣37．（4分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A．B．C．D．8．（4分）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）9．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．（4分）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
【数学】2019甘肃省天水市中考真题(解析版)
2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）1．已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣1或﹣3D．1或﹣3【答案】C【解析】∵|a|＝1，b是2的相反数，∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；综上，a+b的值为﹣1或﹣3，故选：C．2．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣5【答案】D【解析】0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5，故选：D．3．如图所示，圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．4．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED ＝50°，那么∠BF A的大小为（）A．145°B．140°C．135°D．130°【答案】B【解析】∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+50°＝140°，∵DE∥AF，∴∠BF A＝∠FDE＝140°．故选：B．5．下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a6【答案】A【解析】A选项，积的乘方：（ab）2＝a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2＝2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3＝a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3＝a5，错误故选：A．6．已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（）A．2B．﹣2C．﹣4D．﹣3【答案】B【解析】∵2a+2b﹣3＝2（a+b）﹣3，∴将a+b＝代入得：2×﹣3＝﹣2，故选：B．7．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故选：C．8．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）【答案】B【解析】过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH＝1，BH＝．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．9．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．10．已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM 的长有最小值．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。
2019年甘肃省天水市中考数学真题试题和答案解析
2019年甘肃省天水市中考数学真题试题和答案解析注：请使用office word软件打开，wps word 会导致公式错乱一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. −3B. −1C. −1或−3D. 1或−32.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. 73×10−6B. 0.73×10−4C. 7.3×10−4D. 7.3×10−53.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（）A. 145∘B. 140∘C. 135∘D. 130∘5.下列运算正确的是（）A. (aa)2=a2a2B. a2+a2=a4C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a6，则代数式2a+2b-3的值是（）6.已知a+b=12A. 2B. −2C. −4D. −3127.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为1（ ） A. 14B. 12C. a8D. a48. 如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A. (1,1)B. (1,√3)C. (√3,1)D. (√3,√3) 9. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D =80°，则∠EAC 的度数为（ ） A. 20∘ B. 25∘ C. 30∘ D. 35∘ 10. 已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ） A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 函数y =√a −2中，自变量x 的取值范围是______． 12. 分式方程1a −1-2a =0的解是______．13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示）15. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，若M =4a +2b ，N =a -b ．则M 、N 的大小关系为M ______N ．（填“＞”、“=”或“＜”）316. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA =30°，则圆中阴影部分的面积为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为______． 18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19. （1）计算：（-2）3+√16-2sin30°+（2019-π）0+|√3-4|（2）先化简，再求值：（aa 2+a -1）÷a 2−1a 2+2a +1，其中x 的值从不等式组{2a −1<5−a ≤1的整数解中选取．20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生． （2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=4的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，a与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；＞0中x的取值范围；（2）根据图象直接写出kx+b-4a（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．525.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．7答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA 的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得：2×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，9故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM 的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】2π-2√3【解析】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】45【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，11在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF 的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4-2×12+1+4-√3=-8+4-1+1+4-√3=-√3；（2）原式=a−a 2−aa(a+1)•a+1 a−1=-aa+1•a+1a−1=a1−a，解不等式组{2a−1<5−a≤1得-1≤x＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x≠±1，x≠0，∴x=2，则原式=21−2=-2．【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1）8÷16%=50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×=115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．21.【答案】解：（1）∵点A在反比例函数y=4a上，∴4a=4，解得m=1，∴点A的坐标为（1，4），又∵点B也在反比例函数y=4a上，∴42=n，解得n=2，13∴点B 的坐标为（2，2）， 又∵点A 、B 在y =kx +b 的图象上，∴{2a +a =2a +a =4，解得{a =6a =−2，∴一次函数的解析式为y =-2x +6．（2）根据图象得：kx +b -4a ＞0时，x 的取值范围为x ＜0或1＜x ＜2；（3）∵直线y =-2x +6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0）， S △AOB =S △AON -S △BON =12×3×4-12×3×2=3．【解析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可；（3）将△AOB 的面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3，∴tanα=√3=√33，∴α=30°；（2）该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD =6米，∵新坡面的坡度为1：√3，∴tan ∠CAD =aa aa =6aa =√3，解得，AD =6√3米，∵坡面BC 的坡度为1：1，CD =6米，∴BD =6米，∴AB =AD -BD =（6√3-6）米，又∵PB =8米，∴PA =PB -AB =8-（6√3-6）=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA 的长度，然后与3比较大小即可解答本题． 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y 与x 的函数解析式为y =kx +b ，将（10，30）、（16，24）代入，得：{16a +a =2410a +a =30，解得：{a =40a =−1， 所以y 与x 的函数解析式为y =-x +40（10≤x ≤16）；15（2）根据题意知，W =（x -10）y=（x -10）（-x +40）=-x 2+50x -400=-（x -25）2+225，∵a =-1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤16，∴当x =16时，W 取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC ，∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ，∴AD =CD ，∴PA =PC ，在△OAP 和△OCP 中， ∵{aa =aaaa =aa aa =aa，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OCP =∠OAP∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP =90°．∴∠OCP =90°，即OC ⊥PC∴PC 是⊙O 的切线．（2）∵OB =OC ，∠OBC =60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°，∵AB =10，∴OC =5，由（1）知∠OCF =90°，∴CF =OC tan ∠COB =5√3．【解析】（1）连接OC ，可以证得△OAP ≌△OCP ，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC ⊥PC ，即可证得；（2）先证△OBC 是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD 是垂美四边形．证明：∵AB =AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB =CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为E ，求证：AD 2+BC 2=AB 2+CD 2证明：∵AC ⊥BD ，∴∠AED =∠AEB =∠BEC =∠CED =90°，由勾股定理得，AD 2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2，AB 2+CD 2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；故答案为：AD 2+BC 2=AB 2+CD 2．（3）连接CG 、BE ，∵∠CAG =∠BAE =90°，∴∠CAG +∠BAC =∠BAE +∠BAC ，即∠GAB =∠CAE ， 在△GAB 和△CAE 中，{aa =aa∠aaa =∠aaa aa =aa，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG =∠AEC ，又∠AEC +∠AME =90°，∴∠ABG +∠AME =90°，即CE ⊥BG ，∴四边形CGEB 是垂美四边形，由（2）得，CG 2+BE 2=CB 2+GE 2，∵AC =4，AB =5，∴BC =3，CG =4√2，BE =5√2，∴GE 2=CG 2+BE 2-CB 2=73，∴GE =√73．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y =ax 2+bx +c 经过点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）， ∴抛物线的解析式为y =a （x +3）（x -9），17∵点C （0，4）在抛物线上，∴4=-27a ，∴a =-427， ∴抛物线的解析式为：y =-427（x +3）（x -9）=-427x 2+89x +4，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），令-427x 2+89x +4=4，解得，x =0或x =6，∴点D 的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线y =-427x 2+89x +4的顶点，∴F （3，163），∴FH =163-4=43，∵GH ∥A 1O 1，∴△FGH ∽△FA 1O 1，∴aa a 1a 1=aaaa 1，∴aa3=434， 解得，GH =1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=a △a 1a 1a -S △FGH=12A 1O 1•O 1F -12GH •FH=12×3×4−12×1×43=163；（3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ，∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ，∴a 2aaa =aa 2aa ， ∴a 2a4=a6，∴O 2M =23t ， ∴S =a △aa 2a =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2；②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，将点D （6，4）代入y =kx ，得，k =23，∴y OD =23x ，将点（t -3，0），（t ，4）代入y =kx +b ，得，{aa +a =4a (a −3)+a =0，解得，k =43，b =-43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x -43t +4，联立y OD =23x 与y =43x -43t +4，得，23x =43x -43t +4，解得，x =-6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（-6+2t ，-4+43t ），故点M 到O 2C 2的距离为6-t ，∵C 2N ∥OC ，∴△DC 2N ∽△DCO ，∴aa 2aa =a 2a aa ，∴6−a6=a 2a 4， ∴C 2N =23（6-t ），∴S =a 四边形a 2a 2aa =a △a 2a 2a 2-a △a 2aa=12OA •OC -12C 2N （6-t ）=12×3×4-12×23（6-t ）（6-t ）=-13t 2+4t -6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13a 2(0＜a ≤3)−13a 2+4a −6(3＜a ≤6)． 【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH 的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S==-可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．19。
甘肃省天水市2019中考数学试卷(解析版)(真题)
2019年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A. −3B. −1C. −1或−3D. 1或−32.自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A. 73×10−6B. 0.73×10−4C. 7.3×10−4D. 7.3×10−53.如图所示，圆锥的主视图是（）A.B.C.D.4.一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（）A. 145∘B. 140∘C. 135∘D. 130∘5.下列运算正确的是（）A. (ab)2=a2b2B. a2+a2=a4C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a66.已知a+b=1，则代数式2a+2b-3的值是（）2A. 2B. −2C. −4D. −3127.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A. 14B. 12C. π8D. π4 8. 如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A. (1,1)B. (1,√3)C. (√3,1)D. (√3,√3)9. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D =80°，则∠EAC 的度数为（ ）A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 35∘10. 已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）A. B. C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 函数y =√x −2中，自变量x 的取值范围是______．12. 分式方程1x−1-2x =0的解是______．13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是______．14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为______．（用百分数表示）15. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，若M =4a +2b ，N =a -b ．则M 、N的大小关系为M ______N ．（填“＞”、“=”或“＜”）16. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为（0，2√3），OC 与⊙D 交于点C ，∠OCA =30°，则圆中阴影部分的面积为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin ∠EFC 的值为______．18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19. （1）计算：（-2）3+√16-2sin30°+（2019-π）0+|√3-4| （2）先化简，再求值：（x x 2+x -1）÷x 2−1x 2+2x+1，其中x 的值从不等式组{2x −1<5−x≤1的整数解中选取．20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．（2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？21.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=4的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，x与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；＞0中x的取值范围；（2）根据图象直接写出kx+b-4x（3）求△AOB的面积．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？24.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．25.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l 向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|a|=1，b是2的相反数，∴a=1或a=-1，b=-2，当a=1时，a+b=1-2=-1；当a=-1时，a+b=-1-2=-3；综上，a+b的值为-1或-3，故选：C．先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．2.【答案】D【解析】解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5，故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】B【解析】解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选：B．先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5.【答案】A【解析】解：A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误故选：A．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2（a+b）-3，∴将a+b=代入得：2×-3=-2故选：B．注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b=，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．7.【答案】C【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，针尖落在黑色区域内的概率==．故选：C．用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．8.【答案】B【解析】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=．∴点B的坐标为（1，）．故选：B．过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质．9.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，故选：C．根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y 随x的减小而减小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．11.【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】x=2【解析】解：原式通分得：=0去分母得：x-2（x-1）=0去括号解得，x=2经检验，x=2为原分式方程的解故答案为x=2先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．13.【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a=4，∴这组数据的平均数=（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．故答案为5．先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．14.【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2=39200，解得，x1=0.4，x2=-2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率．15.【答案】＜【解析】解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，M-N=4a+2b-（a-b）=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．16.【答案】2π-2√3【解析】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17.【答案】45【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF==4，∴CF=BC-BF=5-4=1，设CE=x，则DE=EF=3-x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=（3-x）2，解得x=，∴EF=3-x=，∴sin∠EFC==．故答案为：．先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．18.【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7， 第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13， ……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇， 故答案为：6058．根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：（1）原式=-8+4-2×12+1+4-√3=-8+4-1+1+4-√3=-√3；（2）原式=x−x 2−x x(x+1)•x+1x−1=-x x+1•x+1x−1=x 1−x ，解不等式组{2x −1<5−x≤1得-1≤x ＜3，则不等式组的整数解为-1、0、1、2，∵x ≠±1，x ≠0，∴x =2，则原式=21−2=-2．【解析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．20.【答案】50 115.2【解析】解：（1）8÷16%=50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×=115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．21.【答案】解：（1）∵点A 在反比例函数y =4x 上， ∴4m =4，解得m =1，∴点A 的坐标为（1，4），又∵点B 也在反比例函数y =4x 上，∴42=n ，解得n =2，∴点B 的坐标为（2，2），又∵点A 、B 在y =kx +b 的图象上，∴{2k +b =2k+b=4，解得{b =6k=−2，∴一次函数的解析式为y =-2x +6．（2）根据图象得：kx +b -4x ＞0时，x 的取值范围为x ＜0或1＜x ＜2；（3）∵直线y =-2x +6与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为（3，0），S △AOB =S △AON -S △BON =12×3×4-12×3×2=3． 【解析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可；（3）将△AOB 的面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3，∴tanα=√3=√33， ∴α=30°；（2）该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD =6米，∵新坡面的坡度为1：√3，∴tan∠CAD=CDAD =6AD=√3，解得，AD=6√3米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD=6米，∴BD=6米，∴AB=AD-BD=（6√3-6）米，又∵PB=8米，∴PA=PB-AB=8-（6√3-6）=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【解析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．23.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：{16k+b=2410k+b=30，解得：{b=40k=−1，所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W=（x-10）y=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，∵a=-1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．24.【答案】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵{OA=OC PA=PC OP=OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC tan∠COB=5√3．【解析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4√2，BE=5√2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=√73．【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：（1）∵抛抛线y =ax 2+bx +c 经过点A （-3，0）、B （9，0）和C （0，4）， ∴抛物线的解析式为y =a （x +3）（x -9），∵点C （0，4）在抛物线上，∴4=-27a ，∴a =-427， ∴抛物线的解析式为：y =-427（x +3）（x -9）=-427x 2+89x +4，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），令-427x 2+89x +4=4，解得，x =0或x =6，∴点D 的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A 1F 交CD 于点G ，O 1F 交CD 于点H ，∵点F 是抛物线y =-427x 2+89x +4的顶点，∴F （3，163），∴FH =163-4=43，∵GH ∥A 1O 1，∴△FGH ∽△FA 1O 1，∴GH A1O 1=FH FO 1， ∴GH3=434，解得，GH =1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=S △A 1O 1F -S △FGH=12A 1O 1•O 1F -12GH •FH=12×3×4−12×1×43=163；（3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ，∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ，∴O 2M DE =OO 2OE， ∴O 2M4=t 6，∴O 2M =23t ，∴S =S △OO 2M =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2； ②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，将点D （6，4）代入y =kx ，得，k =23，∴y OD =23x ，将点（t -3，0），（t ，4）代入y =kx +b ，得，{kt +b =4k(t−3)+b=0，解得，k =43，b =-43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x -43t +4，联立y OD =23x 与y =43x -43t +4，得，23x =43x -43t +4，解得，x =-6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（-6+2t ，-4+43t ），故点M 到O 2C 2的距离为6-t ，∵C 2N ∥OC ，∴△DC 2N ∽△DCO ，∴DC 2CD =C 2NOC ，∴6−t6=C 2N4，∴C 2N =23（6-t ），∴S =S 四边形A 2O 2NM =S △A 2O 2C 2-S △C 2MN=12OA •OC -12C 2N （6-t ）=12×3×4-12×23（6-t ）（6-t ）=-13t 2+4t -6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13t 2(0＜t ≤3)−13t 2+4t −6(3＜t ≤6)．【解析】（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=-S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S== -可求出S与t的函数表达式．本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．。
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2019年甘肃省天水市中考试题解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40）1．（2019甘肃天水，1，4分）已知|a|＝1，b是2的相反数，则a+b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3【答案】C【解析】解：∵|a|＝1，b是2的相反数，∴a＝1或a＝﹣1，b＝﹣2，当a＝1时，a+b＝1﹣2＝﹣1；当a＝﹣1时，a+b＝﹣1﹣2＝﹣3；综上，a+b的值为﹣1或﹣3，故选：C．【知识点】绝对值；相反数2.（2019甘肃天水，2，4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（）A．73×10﹣6B．0.73×10﹣4C．7.3×10﹣4D．7.3×10﹣5【答案】D【解析】0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5，故选：D．【知识点】科学记数法—表示较小的数3.（2019甘肃天水，3，4分）. 如图所示，圆锥的主视图是（）【答案】A【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：故选：A．【知识点】简单几何体的三视图4. （2019甘肃天水，4，4分）一把直尺和一块三角板ABC （含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 和点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 和点A ，且∠CED ＝50°，那么∠BF A 的大小为（ ）A ．145°B ．140°C ．135°D ．130°【答案】B【解析】解：∠FDE ＝∠C +∠CED ＝90°+50°＝140°， ∵DE ∥AF ，∴∠BF A ＝∠FDE ＝140°． 故选：B ．【知识点】平行线的性质5. （2019甘肃天水，5，4分）下列运算正确的是（ ） A ．（ab ）2＝a 2b 2 B ．a 2+a 2＝a 4 C ．（a 2）3＝a 5 D ．a 2•a 3＝a 6【答案】A【解析】解：根据积的乘方法则：（ab ）2＝a 2b 2，A 选项正确 根据合并同类项法则：a 2+a 2＝2a 2，B 选项错误 根据幂的乘方法则：（a 2）3＝a 6，C 选项错误 根据同底数幂相乘法则：a 2•a 3＝a 5，D 选项错误 故选：A ．【知识点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方6.（2019甘肃天水，6，4分）已知a +b =12，则代数式2a +2b ﹣3的值是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．﹣4 D ．﹣312【答案】B【解析】解：∵2a +2b ﹣3＝2（a +b ）﹣3， ∴将a +b =12代入得：2×12−3＝﹣2 故选：B ．【知识点】代数式求值7. （2019甘肃天水，7，4分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（ ）A ．14B ．12C ．π8D ．π4【答案】C【解析】解：设正方形ABCD 的边长为2a ，针尖落在黑色区域内的概率=12×π×a 24a 2=π8．故选：C ．【知识点】几何概率8. （2019甘肃天水，8，4分）如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（1，√3）C ．（√3，1）D ．（√3，√3）【答案】B【解析】解：过点B 作BH ⊥AO 于H 点，∵△OAB 是等边三角形，∴OH ＝1，BH =√3． ∴点B 的坐标为（1，√3）． 故选：B ．【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质9.（2019甘肃天水，9，4分）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB=12∠DCB=12（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．【知识点】菱形的性质；圆周角定理10.（2019甘肃天水，10，4分）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）【答案】D【解析】解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．故选：D．【知识点】动点问题的函数图象二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.（2019甘肃天水，11，4分）函数y=√x−2中，自变量x的取值范围是．【答案】x≥2【解析】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．【知识点】函数自变量的取值范围12.（2019甘肃天水，12，4分）分式方程1x−1−2x=0的解是．【答案】x＝2【解析】解：原式通分得：x−2(x−1)x(x−1)=0去分母得：x﹣2（x﹣1）＝0去括号解得，x＝2经检验，x＝2为原分式方程的解故答案为x＝2【知识点】解分式方程13.（2019甘肃天水，13，4分）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是．【答案】5【解析】解：∵整数a是这组数据中的中位数，∴a＝4，∴这组数据的平均数=15（2.2+3.3+4.4+4+11.1）＝5．故答案为5．【知识点】算术平均数；中位数14.（2019甘肃天水，14，4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为．（用百分数表示）【答案】40%【解析】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2＝39200，解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．【知识点】一元二次方程的应用15.（2019甘肃天水，15，4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）【答案】＜【解析】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜【知识点】二次函数图象与系数的关系16.（2019甘肃天水，16，4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2√3），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则圆中阴影部分的面积为．【答案】2π﹣2√3【解析】解：连接AB，∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，∵OB＝2√3，∴OA＝OB tan∠ABO＝OB tan30°＝2√3×√33=2，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO=π×222−12×2×2√3=2π﹣2√3．故答案为：2π﹣2√3．【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；扇形面积的计算17.（2019甘肃天水，17，4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【答案】45．【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝3，∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处， ∴AF ＝AD ＝5，EF ＝DE ，在Rt △ABF 中，∵BF =√AF 2−AB 2=4， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣4＝1， 设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝3﹣x 在Rt △ECF 中，∵CE 2+FC 2＝EF 2， ∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得x =43， ∴EF ＝3﹣x =53， ∴sin ∠EFC =CE EF =45． 故答案为：45．【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形18. （2019甘肃天水，18，4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇．【答案】6058【解析】解：由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7， 第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇， 故答案为：6058．【知识点】规律型三、解答题（本大题共8小题，满分78分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019甘肃天水，19，10分）（1）计算：（﹣2）3+√16−2sin30°+（2019﹣π）0+|√3−4| （2）先化简，再求值：（x x 2+x−1）÷x 2−1x 2+2x+1，其中x 的值从不等式组{−x ≤12x −1＜5的整数解中选取．【思路分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．【解题过程】解：（1）原式＝﹣8+4﹣2×12+1+4−√3 ＝﹣8+4﹣1+1+4−√3 =−√3；（2）原式=x−x 2−x x(x+1)•x+1x−1=−x x+1•x+1x−1=x 1−x， 解不等式组{−x ≤12x −1＜5得﹣1≤x ＜3，则不等式组的整数解为﹣1、0、1、2， ∵x ≠±1，x ≠0， ∴x ＝2， 则原式=21−2=−2． 【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值；一元一次不等式组的整数解20. （2019甘肃天水，20，8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生． （2）请你补全条形统计图．（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为 度．（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？【思路分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．【解题过程】解：（1）8÷16%＝50，所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；（2）喜欢戏曲的人数为50﹣8﹣10﹣12﹣16＝4（人），条形统计图为：（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°×1650=115.2°；故答案为50；115.2；（4）1200×1250=288，所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图21.（2019甘肃天水，21，10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=4x的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出kx +b −4x ＞0中x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积．【思路分析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标； （2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可； （3）将△AOB 的面积转化为S △AON ﹣S △BON 的面积即可． 【解题过程】解：（1）∵点A 在反比例函数y =4x 上， ∴4m=4，解得m ＝1，∴点A 的坐标为（1，4）， 又∵点B 也在反比例函数y =4x 上， ∴42=n ，解得n ＝2，∴点B 的坐标为（2，2）， 又∵点A 、B 在y ＝kx +b 的图象上， ∴{k +b =42k +b =2，解得{k =−2b =6， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣2x +6．（2）根据图象得：kx +b −4x＞0时，x 的取值范围为x ＜0或1＜x ＜2； （3）∵直线y ＝﹣2x +6与x 轴的交点为N ， ∴点N 的坐标为（3，0），S △AOB ＝S △AON ﹣S △BON =12×3×4−12×3×2＝3． 【知识点】反比例函数与一次函数的交点22. （2019甘肃天水，22，7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．【思路分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得P A的长度，然后与3比较大小即可解答本题．【解题过程】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：√3，∴tanα=1√3=√33，∴α＝30°；（2）该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，∵新坡面的坡度为1：√3，∴tan∠CAD=CDAD=6AD=1√3，解得，AD＝6√3米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD﹣BD＝（6√3−6）米，又∵PB＝8米，∴P A＝PB﹣AB＝8﹣（6√3−6）＝14﹣6√3≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题23.（2019甘肃天水，23，10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【思路分析】（1）利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．【解题过程】解：（1）设y 与x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（10，30）、（16，24）代入，得：{10k +b =3016k +b =24， 解得：{k =−1b =40， 所以y 与x 的函数解析式为y ＝﹣x +40（10≤x ≤16）；（2）根据题意知，W ＝（x ﹣10）y＝（x ﹣10）（﹣x +40）＝﹣x 2+50x ﹣400＝﹣（x ﹣25）2+225，∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【知识点】二次函数的应用24. （2019甘肃天水，24，10分）如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ．过点A 作⊙O 的切线与OD 的延长线交于点P ，PC 、AB 的延长线交于点F ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若∠ABC ＝60°，AB ＝10，求线段CF 的长．【思路分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．【解题过程】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴P A＝PC，在△OAP和△OCP中，∵{OA=OC PA=PC OP=OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP∵P A是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC tan∠COB＝5√3．【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质25.（2019甘肃天水，25，10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【思路分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解题过程】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4√2，BE＝5√2，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE=√73．【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质；垂直的定义；勾股定理；新定义26.（2019甘肃天水，26，13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED 重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【思路分析】（1）将点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y＝ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y＝4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△F A1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分=S△A1O1F−S△FGH，即可求出结果；（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M=23t，可直接求出S=S△OO2M=12OO2×O2M=13t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N=23（6﹣t），由S=S四边形A2O2NM =S△A2O2C2−S△C2MN可求出S与t的函数表达式．【解题过程】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9），∵点C（0，4）在抛物线上，∴4＝﹣27a，∴a=−4 27，∴抛物线的解析式为：y=−427（x+3）（x﹣9）=−427x2+89x+4，∵CD垂直于y轴，C（0，4），令−427x2+89x+4＝4，解得，x＝0或x＝6，∴点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，∵点F 是抛物线y =−427x 2+89x +4的顶点， ∴F （3，163），∴FH =163−4=43，∵GH ∥A 1O 1，∴△FGH ∽△F A 1O 1，∴GH A 1O 1=FH FO 1， ∴GH 3=434，解得，GH ＝1，∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=S △A 1O 1F −S △FGH=12A 1O 1•O 1F −12GH •FH=12×3×4−12×1×43=163； （3）①当0＜t ≤3时，如图2所示，设O 2C 2交OD 于点M ，∵C 2O 2∥DE ，∴△OO 2M ∽△OED ，∴O 2M DE =OO 2OE ， ∴O 2M 4=t 6，∴O 2M =23t ，∴S =S △OO 2M =12OO 2×O 2M =12t ×23t =13t 2；②当3＜t ≤6时，如图3所示，设A 2C 2交OD 于点M ，O 2C 2交OD 于点N ，将点D （6，4）代入y ＝kx ，得，k =23，∴y OD =23x ，将点（t ﹣3，0），（t ，4）代入y ＝kx +b ，得，{k(t −3)+b =0kt +b =4， 解得，k =43，b =−43t +4，∴直线A 2C 2的解析式为：y =43x −43t +4，联立y OD =23x 与y =43x −43t +4，得，23x =43x −43t +4， 解得，x ＝﹣6+2t ，∴两直线交点M 坐标为（﹣6+2t ，﹣4+43t ），故点M 到O 2C 2的距离为6﹣t ，∵C 2N ∥OC ，∴△DC 2N ∽△DCO ，∴DC 2CD =C 2N OC ， ∴6−t 6=C 2N 4，∴C 2N =23（6﹣t ），∴S =S 四边形A 2O 2NM =S △A 2O 2C 2−S △C 2MN=12OA •OC −12C 2N （6﹣t ）=12×3×4−12×23（6﹣t ）（6﹣t ）=−13t 2+4t ﹣6；∴S 与t 的函数关系式为：S ={13t 2(0＜t ≤3)−13t 2+4t −6(3＜t ≤6)． 【知识点】二次函数综合题；待定系数法求解析式；相似三角形的判定与性质；三角形的面积。